Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014-1

Tema 4. Control digital

Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí

Tema 4. Control digital

Contenido 1. 

Control digital .......................................................................................................................................... 3  1.1  Transformada Z ................................................................................................................................. 3  1.1.1  Definición y propiedades .......................................................................................................... 3  1.1.2  Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)............................................. 4  1.1.3  Solución de E (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio z ................................... 4  1.2  Respuesta temporal de los sistemas discretos ................................................................................... 4  1.3  Respuesta frecuencial de los sistemas discretos................................................................................ 9  1.4  Métodos de discretización ............................................................................................................... 10  1.4.1  Aproximaciones numéricas (I). De la derivada ..................................................................... 11  1.4.2  Aproximaciones numéricas (II). De la integral...................................................................... 12  1.4.3  Transformación bilineal (I) ..................................................................................................... 13  1.4.4  Transformación bilineal (II). Prewarping .............................................................................. 13  1.4.5  Invariancia de la respuesta temporal (I). Impulsional ............................................................ 14  1.4.6  Invariancia de la respuesta temporal (II). Indicial ................................................................. 15  1.4.7  Transformación directa (mapping) de ceros y polos finitos ................................................... 16  1.5  Discretización de reguladores PID ................................................................................................. 19  1.6  Análisis de controladores digitales ................................................................................................. 22  1.6.1  Lugar geométrico de las raíces ............................................................................................... 22  1.6.2  Análisis de estabilidad. Criterio de Jury ................................................................................ 24  1.7  Diseño de controladores digitales ................................................................................................... 26  1.7.1  Controlador dead beat ............................................................................................................. 26  1.7.2  Controlador de Kalman .......................................................................................................... 27  1.7.3  Controlador de Dahlin ............................................................................................................ 29  1.8  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 30 

2. 

Control digital de 2 grados de libertad................................................................................................. 34  2.1  Controlador RST digital .................................................................................................................. 34  2.1.1  Configuración RST ................................................................................................................. 34  2.1.2  Funciones de sensibilidad ....................................................................................................... 36  2.2  Conformación de las funciones Syp y Sup ......................................................................................... 37  2.2.1  Propiedades de la función de sensibilidad de la salida Syp...................................................... 37  2.2.2  Propiedades de la función de sensibilidad de la entrada Sup ................................................... 42  2.2.3  Plantillas para las funciones de sensiblidad ............................................................................ 43  2.2.4  Descripción de la incertidumbre. Condiciones de estabilidad robusta................................... 44  2.2.5  Plantillas para el margen de módulo y de retardo en Syp ........................................................ 45  2.3  Control digital de dos grados de libertad ....................................................................................... 46  2.4  Fijación de polos (para seguimiento y regulación) ......................................................................... 46  2.4.1  Formulación del problema ...................................................................................................... 47  2.4.2  Solución del problema ............................................................................................................ 47  2.4.3  Ejemplo .................................................................................................................................. 49  2.5  Seguimiento y regulación con objetivos independientes ................................................................. 50  2.5.1  Formulación del problema ...................................................................................................... 50  2.5.2  Solución del problema ............................................................................................................ 50  2.5.3  Ejemplos ................................................................................................................................. 52  2.6  Internal model control (IMC) .......................................................................................................... 55  2.6.1  Formulación del problema ...................................................................................................... 55  2.6.2  Solución del problema ............................................................................................................ 56  2.6.3  Ejemplo .................................................................................................................................. 58  2.7  Fijación de polos para conformar las funciones de sensibilidad .................................................... 60  2.7.1  Formulación del problema ...................................................................................................... 60  2.7.2  Solución del problema ............................................................................................................ 60  2.8  Ejercicio resuelto ............................................................................................................................ 61 

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Tema 4. Control digital

1.

Control digital

Formas equivalentes de describir un sistema dinámico Todo filtro, controlador o sistema dinámico puede ser descrito de diversas maneras, cada una con sus ventajas propias pero equivalentes entre sí, siendo la de Ecuaciones de Estado (EE) la más general. Continuo Ecuación diferencial (ED) Función de transferencia H(s) Respuesta frecuencial H(j) Ecuaciones de estado en t, EE(t)

Discreto Ecuación en diferencias (E) Función de transferencia H(z) Respuesta frecuencial H(ejT) Ecuaciones de estado en n, EE(n) Tabla 1

1.1

Transformada Z

1.1.1

Definición y propiedades

En los sistemas discretos en el tiempo se usa la variable de tiempo discreto n en vez de la variable de tiempo continuo t y se utiliza la transformada Z en lugar de la transformada de Laplace. Notar las similitudes y diferencias entre ambas transformadas: La transformada Z se define como:



Unilátera: Y ( z )  Z  y ( n) 



 y ( n) z

n

n0



Bilátera: YII ( z )  Z II  y ( n) 



 y ( n) z

n

n  

En cuanto a las propiedades, la relación entre un retardo en n y en el dominio transformado Z es:

z 1   (n  1) siendo  la delta de Kronecker.

Filtro generador La función de transferencia H(z) del filtro generador de la señal y(n) = an es H ( z )  al

excitar

dicho

filtro

con

un

impulso

u(n)

=

(n),

la

salida

del

z ya que, za mismo

es

 z  y ( n)  Z 1 Y ( z )  Z 1 H ( z )U ( z )  Z 1   1  a n , n  0. z  a 

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Tema 4. Control digital

Si a>1, este filtro presenta un polo inestable (exterior al círculo unitario centrado en el origen del plano z) de valor p = a.

1.1.2

Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)

Sistemas discretos: 1 TVI: y (1)  lim y (n)  lim(1  z )Y ( z )  lim Y ( z ) n1

z 

z 

1 TVF: y ()  lim y (n)  lim(1  z )Y ( z ) n 

1.1.3

z 1

Solución de E (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio z

Dada la ecuación en diferencias (E):

y (n  3)  a1 y (n  2)  a 2 y (n  1)  a 3 y (n)  b1u (n) , con las condiciones iniciales (CI): y (0) , y (1) , y ( 2) , la solución se obtiene a partir de los pasos siguientes: 1) Aplicar Z[ ] a ambos lados de la ecuación. 2) Despejar Y ( z )  3) Descomponer

N ( z) (función racional). D( z )

Y ( z) en suma de fracciones simples (de primer orden): z A3 A1 A2 Y ( z)  z z z . z  p1 z  p2 z  p3

3.1) Hallar los polos (raíces de D(z)): p1, p2, p3. 3.2) Hallar los residuos Ai  Y ( z )( z  p i ) z  p . (Nota: si los polos son complejos, conviene i

determinar los residuos gráficamente a partir del diagrama de polos y ceros) 4) Aplicar Z-1[ ].

 zA 

4.1) Polo real (p = r): Z 1   Arn.  z  r

 zA zA *  n    2  A  r  cos(n  A) ; ( p  r , p*  r   ) z  p z  p *  

4.2) Polos complejos: Z 1 

1.2

Respuesta temporal de los sistemas discretos

La correspondencia entre los resultados para sistemas en tiempo continuo y sistemas en tiempo discreto es la siguiente:

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4

Tema 4. Control digital

Transformada Polo real p

Continuo (tiempo: t) Laplace, H(s)

Discreto (tiempo: n) Z, H(z)

1 s p

z 1  z  p 1  pz 1

Modo natural e pt asociado al polo real p Ganancia en H (0) continua Eje de Frecuencia:  rad/s frecuencias Eje imaginario del plano complejo, j Respuesta H ( s ) s  j  H ( j ) frecuencial Región de estabilidad Teorema del valor final (TVF) Teorema del valor inicial (TVI) Constantes de error en régimen permanente

pn H (1) Frecuencia:  rad Círculo unitario (c.u.) centrado en el origen en el plano complejo

H ( z ) z e j  H (e j ) En sistemas muestreados:   Ts

Semiplano izquierdo (SPI) del Interior del c.u. plano complejo

lim sY ( s )

lim(1  z 1 )Y ( z )

lim sY ( s )

lim(1  z 1 )Y ( z )

k p  lim L( s )

k p  lim L( z )

s0

z 1

s 

z 

z 1

s 0

k p  lim sL( s )

1  z 1 L( z ) s 0 Ts

k p  lim

s 0

ka  lim s 2 L( s ) s 0

1  z   lim

1 2

ka

s 0

Ts2

L( z )

Tabla 2 En sistemas muestreados, la relación de frecuencias es   Ts , donde  es la frecuencia del sistema discreto/muestreado (en rad),  es la frecuencia del sistema analógico y Ts es el periodo de muestreo. Notar que la relación exacta entre los planos s y z en sistemas muestreados es

z  e sTs

s

,

1 ln z Ts

Transformada Z directa y región de convergencia (ROC) Dadas las muestras de la respuesta impulsional h(n) de un sistema., su transformada Z (unilátera) es: 

H ( z )  Z h( n )   h( n ) z n n 0

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Tema 4. Control digital

Transformada básica Dada la señal u ( n )  a n , n  0 , su transformada Z es 

U ( z )  Z u( n )   a z n

n 0

n



  az n 0



1 n

1 1  az 1    si az 1  1  1 1  az 1  az 1 





La condición az 1  1 (o equivalentemente z  a ), necesaria para que la transformada tenga una expresión cerrada, define la llamada región de convergencia (ROC, region of convergence). Para el análisis de estabilidad nos fijamos en el círculo unitario z  1 puesto que 

si a  1 la señal a n crece fuertemente con el tiempo n (inestabilidad)



si a  1 la amplitud de la señal a n se mantiene constante con el tiempo n (oscilación



sostenida) si a  1 la señal a n decrece con el tiempo n (estabilidad)

Por ello se dice también que un modo natural asociado al polo de un sistema es estable si su ROC incluye al c.u.

Tabla de transformadas Z

 

Modo natural

z za Escalón unitario z 1 Z 1n   1n z  1 1  z 1 Rampa unitaria z n (muestreo a Ts) Ts 2  z  1 Z an 

an

 

Tabla 3 Ejemplo 1. Transformada Z directa. Hallar la transformada Z unilátera de u (n)  cos( n) . Puesto que u (n)  cos( n) 

e j n  e  j n podemos calcular su transformada como 2 U ( z) 

1 z z   j  2 z e z  e  j 

Agrupando términos,

z z  e  j  z  e j z ( z  cos  ) U ( z)   2 j  j 2 2 z  z (e  e )  1 z  2 z cos   1

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Tema 4. Control digital

Transformada Z inversa Cada factor z-1 puede interpretarse como una delta de Kronecker decalada una muestra (Nota: la delta de Kronecker (n) vale 1 en n=0 y vale 0 para el resto de valores de n). Por ejemplo, la transformada Z inversa de la señal

z  1.2 z  0.64  z 1  1.2 z  0.64 z2 es, directamente, y ( n )   ( n  1)  1.2 ( n  1)  0.64 ( n ) Y ( z) 

También es posible obtener la respuesta a partir de las transformadas inversas de cada uno de los modos naturales. Por ejemplo,

Y ( z) 

2z 2  4z 2 z ( z  2) z 2   2 z  3z  2 ( z  2)( z  1) z 1

y ( n )  2  (1) n

, n0

Notar además que la división del numerador entre el denominador de Y(z) nos da las muestras en tiempo:

2z2  (2 z 2 0

 4z  6 z  4) 2z 4  ( 2 z  6  4 z 1 ) 0 2  4 z 1

z2 2

 3z  2 z 1

2  2 z 2

 ...

Cálculo de residuos En casos más complicados se procede igual que en tiempo continuo (descomposición en suma de fracciones simples y cálculo de residuos). Las fórmulas para el cálculo de residuos son análogas al caso continuo, A  Y ( z )

( z  1) . z z 1

Ejemplo 2. Transformada Z inversa vía cálculo de residuos. Vamos a obtener la transformada inversa de Y ( z ) 

z (3z  0.6) . Puesto que no es estrictamente propia, dividimos el numerador z  0.8 z  0.2 2

entre el denominador y obtenemos:

Y ( z) 

z (3 z  0.6) 1.8 z  0.6  3 2 z  0.8 z  0.2 z  0.8 z  0.2 2

Y ahora realizamos la descomposición en suma de fracciones simples del término estrictamente propio:

1.8 z  0.6 Az Bz   z  0.8 z  0.2 z  1 z  2 2

Los residuos son:

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Tema 4. Control digital

A

1.8 z  0.6 ( z  1) 1.8  0.6 2.4   2 ( z  1)( z  0.2) z z 1 1.2 1.2

B

1.8 z  0.6 ( z  0.2) 0.36  0.6 0.24   1 ( z  1)( z  0.2) z (  1.2)(  0.2) 0.24 z 0.2

Por tanto, la señal en el dominio temporal es:

y (n)  2(1) n  (0.2) n  3 (n) , n  0

Teoremas del valor inicial y final Para el señal Y ( z )  TVF: TVI:

2z , tenemos: ( z  1)

( z  1) 2 z 2 z ( z  1) ( z  1) 2 z 2 y (0)  lim(1  z 1 )Y ( z )  lim z  z  z ( z  1) y ( )  lim(1  z 1 )Y ( z )  lim z 1

z 1

Representación de la respuesta indicial con MATLAB Considerar el sistema

H ( z) 

z  0.6 z  z  0.29 2

Para obtener su respuesta indicial, se puede usar dstep: >> dstep([1 -0.6],[1 -1 0.29])

O bien, se puede usar step >> H=tf([1 -0.6],[1 -1 0.29],1) Transfer function: z - 0.6 -------------z^2 - z + 0.29 Sampling time: 1 >> step(H)

El resultado es:

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Tema 4. Control digital

Step Response 1.6

1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

Fig. 1 A continuación, verificamos el valor inicial y el valor final de la anterior respuesta indicial: (z)  H   z z z (  1 )  0 . 6 0 y (0)  lim(1  z 1 )Y ( z )  lim 2 z  z  z  z  z z   0. 29 1 Y (z)

H (z)

   z z z (  1 )  0 . 6 1  0 .6 0 .4 y (  )  lim(1  z 1 )Y ( z )  lim    1.379 2 z 1 z 1 z  z  z z   0. 29 1 1  1  0.29 0.29 Y ( z)

1.3

Respuesta frecuencial de los sistemas discretos

La respuesta frecuencial en un sistema discreto es H ( z ) z e j  H ( e j ) , donde  es la frecuencia

discreta (en rad). En los sistemas muestreados, la frecuencia discreta es   Ts , donde  es la frecuencia angular continua (en rad/s) y Ts es el periodo de muestreo (en s). Obtención punto a punto Se procede igual que en el caso de los sistemas continuos en el tiempo. Por ejemplo, considerar el siguiente sistema junto con su diagrama de polos y ceros: Im

z  0.5 H ( z)  2 z  z  0.5

p1

p2

1

1 2

 z

Re

Fig. 2

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Tema 4. Control digital

La siguiente tabla muestra los valores de la respuesta frecuencial.

 0

  

H 



0 .5

 0 .5  1 .5  2

2

2

H  0º

 0 .2

H  18.9º

H  0.35

4



0 .5 2  1

H 

2 3 4

 

2  0 .5 2 0 .5 2  1 .5 2 H  3 .9

H 

1.5 2  0.5

2  0.5

2

2



H  0º

1

H  85º H  180º

1.5 3 0.5

Tabla 4 Notar que en los sistemas discretos la respuesta frecuencial toma valores entre 0 y 2 y que, en realidad, basta con calcular la respuesta entre 0 y  puesto que entre  y 2 es simétrica. 6

4

Magnitude

Magnitude

6

2

0

0

0.5

1

1.5 2 Frequency (rad)

2.5

3

0

1

2

3 4 Frequency (rad)

5

6

7

0

1

2

3 4 Frequency (rad)

5

6

7

200 Phase (degrees)

Phase (degrees)

2

0

3.5

100

0

-100

-200

4

0

0.5

1

1.5 2 Frequency (rad)

2.5

3

3.5

100 0 -100 -200

Fig. 3. Respuesta frecuencial (a) de 0 a , (b) de 0 a 2

1.4

Métodos de discretización

Diacretización Los distintos métodos de discretización tratan de aproximar mediante sistemas discretos ciertas características dinámicas (respuesta frecuencial o temporal) de los sistemas analógicos. Ya que no existe el “mejor universal”, para seleccionar un método se puede atender a los siguientes aspectos: 1)

Fidelidad en la reproducción de una determinada característica dinámica (respuesta impulsional, respuesta indicial, respuesta frecuencial, polos y ceros, etc.).

2)

Dificultad de su cálculo.

Los distintos métodos pueden agruparse en diferentes categorías: 1) Aproximación numérica de la derivada y/o la integral. 2) Invariancia de las respuestas temporales (impulsional e indicial). ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

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Tema 4. Control digital

3) Transformación directa (mapping o matching) de polos y ceros finitos. 4) Por último existe el método de la transformación bilineal (transformada de Tustin), con y sin prewarping. Esta transformada puede incluirse en la primera categoría pero su utilidad, sobretodo en la reproducción aproximada de la respuesta frecuencial, le asigna un carácter propio.

Selección del muestreo Un tema previo es la elección de la frecuencia de muestreo fs (o de su inversa, el periodo de muestreo, Ts). Como criterio temporal, en sistemas con polos reales se recomienda tomar un mínimo de 5 muestras por constante de tiempo (considerando la constante de tiempo más rápida de entre las que son de interés). En sistemas con polos complejos conjugados, hay que tomar 10 muestras por ciclo (correspondiente a los polos dominantes). Como criterio frecuencial, la frecuencia de muestreo fs ha de ser, aproximadamente, de 5 a 10 veces la mayor frecuencia (o polo) de interés del sistema (su ancho de banda). O bien hay que asegurar que la modificación que introduce el muestreo en la frecuencia de crossover co (paso por 0dB) es inferior a 5º,

1.4.1

coTs 2

    5º  .  180º 

Aproximaciones numéricas (I). De la derivada

0) La transformación exacta es:

s

1 ln z . T

z 1 dx x(n  1)  x(n)   s 1) Diferencia progresiva: T T dt Comentarios:

Es sencilla pero puede producir inestabilidades. El SPI (s) se transforma en el círculo de la figura No presenta aliasing.

2) Diferencia regresiva: Comentarios:

z

dx x(n)  x(n  1)   T dt

s

1  z 1 z  1  T Tz

z

Es sencilla y no produce inestabilidad. El SPI (s) se transforma en el círculo de la figura No presenta aliasing.

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11

Tema 4. Control digital

1.4.2

Aproximaciones numéricas (II). De la integral t

0) Bases: La integral y (t )  y (t 0 ) 



x( )d puede

x

t0

n 1

aproximarse por y (n  1)  y (n) 

 x( )d , y, en n

consecuencia, por y (n  1)  y (n)  x(.)T . El tipo de aproximación dependerá del valor que se adopte para x(.).

n-1

n

T

1) Método de Euler progresivo (una muestra): El área sombreada es x(n)T , por tanto,

n-1

n

n+1

t

T

x x(n)

n-1

n T

T

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t

x(n)

Y ( s) 1 y (n)  y (n  1)  x(n)T . Y, puesto que  y X (s) s z 1 Y ( s) T  , se obtiene que s  . 1 zT X ( s) 1  z

x(n)  x(n  1) sombreada es T , por tanto, 2 x(n)  x(n  1) y (n  1)  y (n)  T . Y, puesto que 2 Y ( s) 1 Y ( s) z  1 T   y , se obtiene que X ( s) s X (s) z  1 2 2 z 1 s . T z 1

n+1

T

T

3) Regla trapezoidal o de Simpson (dos muestras): El área

t

x

Y ( s) 1  y y (n  1)  y (n)  x(n)T . Y, puesto que X (s) s z 1 Y ( s) T  , se obtiene que s  . T X (s) z  1

2) Método de Euler regresivo (una muestra): El área sombreada es x(n)T , por tanto,

n+1

x x(n+1) x(n)

n-1 T

n

n+1

t

T

12

Tema 4. Control digital

1.4.3

Transformación bilineal (I)

Además de obtenerla con razonamientos numéricos (regla de Simpson) es interesante obtenerla también como una aproximación de Padé de primer orden de la transformación exacta

z  e sT 

2 z 1 e sT / 2 1  sT / 2 s   . Operando obtenemos . T z 1 e  sT / 2 1  sT / 2

Comentarios: Es sencilla. Mejor aproximación que las otras dos. El SPI (s) se transforma en el círculo de la figura No produce inestabilidad. No presenta aliasing.

1.4.4

z 1

Transformación bilineal (II). Prewarping

La transformación bilineal supone una compresión de la frecuencia según se evidencia en la Figura (a): A N 

N

N

( / 2 ) T

z

s jA

DT 2

D

3

(a)

(b)

Fig. 4

2 z 1 , igualando los puntos correspondientes de las frecuencias A y D (ver T z 1  T 2   DT  2 e j D T  1  T  , se obtiene A  tg D  y, finalmente,  A  tg  Figura (b)), j A  j D T T  2  2 T e 1  2 

A partir de s 

cuya relación se representa en la Figura (a). Comentarios: 1) Si A es pequeña, el valor de ambas frecuencias coinciden  A   D .

1 3

2) La aproximación es muy buena (error menor que 1%) para  D   N , siendo  N 

 /2 T

.

3) Warping: Si la D se aleja de estos límites, la característica frecuencial de ambos filtros puede diferir (warping) bastante (  1D   1 A ). 4) Prewarping: Para compensarla se puede hacer una predistorsión o prewarping (expansión) tal que luego recupere su valor (  2 AP   1DP   2 A ) original.

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13

Tema 4. Control digital

1 d

0.7

pw

digital

1A

analógico predistorsionado

d

0.7

discreto (D)

1D

analógico original

1

analógico (A)

1A = 1D

1AP

(a)

(b)

Fig. 5 Pasos 0) Dado GA(s). 1) Se transforma la frecuencia crítica (por ejemplo, la b, filtro pasa-bajas),

 Ab   AbP 

2   Ab T  tg . T  2 

2) Se obtiene la nueva GA(sP). 3) Se aplica la transformación bilineal s 

2 z 1 a la nueva GA(sP). T z 1

4) Se ajusta la ganancia en continua. 5) La nueva característica GD(D) pasará por la frecuencia crítica elegida (b) y por GA (A = 0) ajustando así mejor la zona de frecuencias de interés de ambos filtros.

1.4.5

Base:

Invariancia de la respuesta temporal (I). Impulsional



Gd ( z )  Z g d ( n )  Z g a (t ) t nT



siendo g d (n) la respuesta impulsional discreta y

g a (t )  L Ga ( s ) la respuesta impulsional continua. 1

Método: 1) Descomponer Ga(s) en suma de fracciones simples G ai (s ) . 2) Hallar su L-1 de cada fracción. 3) Discretizar cada uno de sus términos g ai (t )  g ai (nT ) .





4) Calcular la transformada Z de cada uno de los términos discretos, Z g ai (nT ) . 5) Sumar dichos términos transformados. El resultado es Gd(z). Comentarios: Cálculo laborioso. Interesante en situaciones en que la respuesta impulsional es importante. La coincidencia entre la respuesta del sistema discreto y las muestras del continuo no asegura que el sistema muestreado (híbrido) resultante presente una buena respuesta entre muestras (intersample ringing). No produce inestabilidad. Presenta aliasing.

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14

Tema 4. Control digital

1.4.6

Invariancia de la respuesta temporal (II). Indicial

Base: La respuesta indicial del sistema discreto es igual a las muestras de la respuesta indicial del sistema analógico

z  1  1  G A ( s )  z 1 Z L  GD ( z )  G A ( s )  GD ( z )   . z z 1 s   s 

Comentarios: 1) El símbolo Z[ ] implica, como en el caso anterior: 1.1) la respuesta impulsional de

1 Ga (s) . s

1.2) Las muestras (t  nT). 1.3) La transformada Z de la señal discreta. 2) Cálculo laborioso. 3) Puede interpretarse también con la discretización (invariancia impulsional) del sistema precedido por un convertidor D/A tipo ZOH (modelo:

1  e  sT ). 2

Permite una aproximación sencilla (en el estudio de Leron) de añadir un retardo  e  sT / 2 .

Ejemplo 3. Discretización. Dado el sistema en tiempo continuo Gc ( s ) 

10 se pide obtener s  12

a mano su equivalente discreto GD(z) por el método de la invariancia indicial, es decir, anteponiéndole un mantenedor de orden cero (ZOH, zero order hold). Tomar como periodo de muestreo Ts=0.1s. Invariancia indicial significa que la respuesta indicial de Gc muestreada a 0.1s coincidirá con las muestras de la respuesta indicial de GD:

  1  z  G D ( z )  Z  L1  Gc ( s )  z 1   s  t nTs  Por tanto el procedimiento es el siguiente: Hallar la respuesta indicial de Gc:

Y ( s) 



10 10 10 1 A B 10     12  12  y (t )  1  e 12 t s  12 s s  12 s s  12 s 12

Muestrear la respuesta indicial:

y ( n )  y (t ) nT  s



10 1  e 12 nTs 12





Aplicar la transformada Z a la anterior respuesta indicial muestreada:

Y ( z) 

Despejar el término GD,

z 10  z   12Ts   12  z  1 z  e 

z GD ( z )  Y ( z ) z 1

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15

Tema 4. Control digital

GD ( z ) 

z  1 10  z z 10 z  e 12Ts  z  1   ( z  1 )  z 12  z  1 z  e 12Ts  12 ( z  1)( z  e 12Ts )

GD ( z ) 

10 0.6988 0.5823  12 z  0.3012 z  0.3012

Verificación por MATLAB; >> G=tf(10,[1 12]) Transfer function: 10 -----s + 12 >> c2d(G,0.1,'zoh') Transfer function: 0.5823 ---------z - 0.3012 Sampling time: 0.1

1.4.7

Transformación directa (mapping) de ceros y polos finitos

Pasos: p T z T 1) Transformar mediante z  e sT los polos (pA) y los ceros (zA) finitos: p D  e A , z D  e A . 2) Añadir e ceros en –1 (factores (z+1)e) siendo e el exceso del número de polos finitos sobre el de ceros finitos. 3) Añadir un factor k para ajustar la amplitud de continua.

( z  1) e 4) Resultado: G A ( s )  G D ( z )  k

 (z  z m

 (z  p

D

D

) .

)

n

Comentarios: Cálculos laboriosos. Facilita mantener la asociación polos/modos naturales. El siguiente ábaco permite ver la relación entre los polos discretos y , n correspondientes en continuo.

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16

Tema 4. Control digital IIm[z]

s  n  jn 1   2

z  eTs 1

3 5T

7 10T

0.8

n 



2 5T

2T

3 10T

4 5T

0.6

0.1 0.2 0.3

0.4 0.5 0.6

9 10T

0.4

 0

 5T

0.7



0.8 0.2

10T

0.9

n  0 -1



 1

T -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

IRe[z]

Fig. 6

Ejemplo 4.

Métodos de discretización.

controlador C ( s ) 

Considerar la planta G ( s ) 

10 y el s  7 s 2  6s 3

1.5( s  1) . Vamos a obtener la respuesta indicial del servo para el caso ( s  3)

analógico y tres tipos diferentes de discretización con Ts=0.1s. Para poder cerrar el lazo con un controlador digital y la planta, hay que obtener el equivalente discreto de la planta anteponiéndole un ZOH G=tf(10,[1 7 6 0]); Gz=c2d(G,ts,'zoh'), Transfer function: 0.001408 z^2 + 0.004756 z + 0.0009922 ------------------------------------z^3 - 2.454 z^2 + 1.95 z - 0.4966 Sampling time: 0.1

Ahora vamos a obtener los tres controladores discretos: (a)

Por el método de la diferencia regresiva, s 

1  z 1 Ts

 1  z 1   1 1.5 Ts 1.292  1.1538 z 1   C( z)   1  0.7692 z 1  1  z 1    3  Ts  C=tf(1.5*[1 1],[1 3]); Cz=bilin(ss(C),1,'BwdRec',Ts);Cz=tf(Cz),

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17

Tema 4. Control digital

Transfer function: 1.269 z - 1.154 --------------z - 0.7692 Sampling time: 0.1

(b)

Por el método de Tustin, s 

2 1  z 1 Ts 1  z 1

 2 1  z 1   1 1.5 1 Ts 1  z 1.3696  1.2931z 1   C( z)   1  0.7391z 1  2 1  z 1     3 1   Ts 1  z  Cz=c2d(C,ts,'Tustin'), Transfer function: 1.37 z - 1.239 -------------z - 0.7391 Sampling time: 0.1

(c)

Por el método de transformación directa de polos y ceros finitos.

C( z) 

Az  e 10.1  Az  0.90484  1.3618  1.2322 z 1 z  e 30.1   z  0.74082  1  0.74082 z 1

A se escoge para que la ganancia a bajas frecuencias sea la misma que para el caso analógico. El teorema del valor final para el controlador analógico establece que la ganancia en continua de éste es C (0)  1.5(0  1) /(0  3)  0.5 . En el caso discreto, puesto que z  exp( sTs ) , cuando s=0 tenemos z=1. La ganancia en continua del controlador discreto es C ( z ) z 1  A(1  0.90484) /(1  0.74082)  0.3672 A  0.5 , por tanto, A=1.3618. Cz=c2d(C,ts,'matched'), Transfer function: 1.362 z - 1.232 --------------z - 0.7408 Sampling time: 0.1

Si cerramos el lazo para cada uno de los controladores y comparamos las respuestas indiciales el resultado es el mostrado en la siguiente figura (donde se observa la ligera degradación de la respuesta que introduce la discretización). L3=series(Cz,Gz);T3=feedback(L3,1); y3=step(T3,t); figure(1),plot(t,ya,t,y1,t,y2,t,y3,'--'),grid, legend('analógico','diferencia regresiva','Tustin','matched'), axis([0 6 0 1.2]),xlabel('Tiempo (s)')

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18

Tema 4. Control digital

1.2

1

0.8

0.6

0.4 analógico diferencia regresiva Tustin matched

0.2

0

1.5

0

1

2

3 Tiempo (s)

4

5

6

Discretización de reguladores PID

El regulador de 3 términos o PID es el controlador industrial más utilizado y se usa a menudo en su versión digital. Se puede discretizar por cualquiera de los anteriores métodos (aunque Tustin no se recomienda), como veremos más adelante



La función de transferencia del PID es C ( s )  k p 1 



 1  Td s  . Ti s 

Una opción directa es

discretizar cada una de las acciones. Para la acción derivativa podemos usar la aproximación de la derivada, s  1  z 1 / Ts . Para la acción integral se pueden ir sumando las áreas del error: la integral en el instante n es la integral en el instante n-1 (la llamaremos PrevInt) más el área que hay entre los instantes n y n-1 y que podemos calcular como en  en 1 Ts / 2 . Así, la ecuación en diferencias del algoritmo PID queda como





 T ( e  en 1 ) 1  un  k p  en  d n Ts Ti 

 ( en  en 1 )Ts   PrevInt    2 

o, lo que es lo mismo,

kp  T  T T  T  un  k p 1  d  s en  k p   d  s en 1  PrevInt Ts 2Ti  Ti   Ts 2Ti  donde en cada intervalo hay que actualizar PrevInt  PrevInt 

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( en  en 1 )Ts . 2

19

Tema 4. Control digital

PID incremental Hay una versión de este algoritmo mucho más utilizada que consiste en calcular sólo los cambios de la señal de control con respecto a la muestra anterior. Este algoritmo recibe el nombre de algoritmo de velocidad o PID incremental y tiene diversas ventajas: no hay que guardar el valor absoluto de la integral hasta ese momento y se puede pasar de manera más suave del control manual al automático (bumpless transfer). Ello es así porque cuando el controlador ya está en marcha solo hay que calcular el primer movimiento incremental y no se debe inicializar para dar la misma señal absoluta un que se tenía en control manual. Además, muchos actuadores, como los motores paso a paso, ya esperan entradas de control incrementales. Para obtener el incremento de la señal de control basta con calcular u  un  un 1 . Notar que el área añadida a la integral en el instante n es añadida en el instante n-1 es

( en  en 1 )Ts mientras que el área 2

( en 1  en 2 )Ts siendo PrevIntn-1 la integral hasta el momento n-1. 2

Así,

    Td ( en  en 1 ) 1  ( en  en 1 )Ts ( en 1  en 2 )Ts      PrevInt n -1  u n  k p  en   T T 2 2   s i             PrevInt   ( e  en 2 )Ts   T (e  e ) 1  un 1  k p  en 1  d n 1 n 2   PrevInt n-1  n 1   2 Ts Ti    Restando, el algoritmo incremental queda como:

 T (e  2en 1  en  2 ) 1 u  un  un 1  k p  en  en 1  d n  Ts Ti 

Ejemplo 5.

 (en  en 1 )Ts     2  

Métodos de discretización de reguladores PID.

Considerar la planta

10 y el PID con kp=3, Td=0.333 y Ti=1.5s. Comparar la respuesta G( s)  3 2 s  8s  17 s  10 indicial del servo para varios métodos de discretización con Ts=1s. Para poder simular el lazo digital hallamos la función de transferencia de la planta discreta equivalente anteponiéndole un ZOH: G=tf(10,[1 8 Gz=c2d(G,Ts),

17

10]);

Transfer function: 0.001369 z^2 + 0.0045 z + 0.0009179 ----------------------------------z^3 - 2.33 z^2 + 1.786 z - 0.4493 Sampling time: 0.1

La función de transferencia del PID analógico es

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20

Tema 4. Control digital

  s 2  3s  2 1  Td s   C ( s )  k p 1  s  Ti s 

1  z 1 Discretización por diferencia regresiva, s  Ts 2

 1  z 1   1  z 1     3   2 T T 13.2  23z 1  10 z 2 s s    C( z)    1  z 1  1  z 1     Ts  Discretización de la derivada e integración explícita

kp  T  T T  T  un  k p 1  d  s en  k p   d  s en 1  PrevInt Ts 2Ti  T 2Ti   T   i  s    13.1

9.9

2

kp=3; td=0.333; ti=1.5; a = kp*(1 + td/ts + 0.5*ts/ti); b = kp*(-td/ts + 0.5*ts/ti); c = kp/ti; [numz,denz]=tfdata(Gz,'v'); integ=0; % integral previa uu=0;uu_1=0; %últ valor de u, últ valor -1 uy=0;uy_1=0;uy_2=0; ue=0; y(1)=0; for n=1:nmax e=1-uy; % error u(n) = a*e + b*ue + c*integ; % PID % planta y(n+1) = numz(2)*u(n) + numz(3)*uu + numz(4)*uu_1; y(n+1) = y(n+1) - denz(2)*uy - denz(3)*uy_1 - denz(4)*uy_2; % integral integ=integ + 0.5*Ts*(e+ue); % actualiz ue=e; uu_2=uu_1;uu_1=uu;uu=u(n); uy_2=uy_1;uy_1=uy;uy=y(n+1); end

Discretización por Tustin Cz=c2d(tf([1 3 2],[1 0]),0.1,'Tustin') Transfer function: 23.1 z^2 - 39.8 z + 17.1 -----------------------z^2 - 1 Sampling time: 0.1

La siguiente figura muestra las diferentes respuestas indiciales %analògic

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21

Tema 4. Control digital

La=series(C,G); Ta=feedback(La,1); ya=step(Ta,t); plot(t,y,t,y2,t,y3,t,ya),axis([0 5 0 1.2]),xlabel('Tiempo (s)'),grid legend('integración directa','diferencia regresiva','Tustin','analógico'),

1.2

salida del servo y

1

0.8

0.6

integración directa diferencia regresiva Tustin analógico

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

El comportamiento del PID discretizado vía Tustin no es adecuado debido a la aparición de un polo con parte real negativa (también llamado ringing pole). La siguiente figura muestra los esfuerzos de control de las tres discretizaciones: 25 20

esfuerzo de control u

15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Así, el PID discretizado vía Tustin no es adecuado porque desgasta físicamente al sistema, aumenta el consumo, además de conllevar oscilaciones en la respuesta del servo.

1.6 1.6.1

Análisis de controladores digitales Lugar geométrico de las raíces

El trazado e interpretación del lugar geométrico de las raíces para el caso de sistemas discretos en el tiempo es análogo al caso de sistemas continuos en el tiempo. Las reglas de trazado son las mismas (eje real, asíntotas, puntos de emergencia/incidencia del/al eje real, ajustes) con la única diferencia de que la determinación del límite de estabilidad se realiza hallando los cruces con el círculo unitario (c.u.). A nivel de cálculo, para obtener el corte con el c.u. hay que transformar L(z) en L(w) y aplicar el criterio de Routh-Hurwitz de los sistemas continuo en el tiempo.

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22

Tema 4. Control digital

Ejemplo 6. Trazado del lugar geométrico de las raíces. Representar el LGR correspondiente a la ecuación característica:

1  kL( z )  1  k

( z  0.9)( z  0.37) 0 z ( z  0.95)( z  1.35)

La aplicación de la regla del eje real indica que hay LGR de -∞ a -0.37, entre 0 y 0.9, y entre 0.95 y 1.35. Sólo hay un cero en el infinito y la primera regla ya nos indica que la recta asintótica es la recta de pendiente -180º.

dk  0 tiene 4 raíces que corresponden a otros a tantos puntos de ruptura. En dz concreto, como puntos de emergencia del eje real tenemos a  e1  1.056 (ke1  0.148) y  e 2  0.484 (ke 2  0.55) . Y como puntos de incidencia al eje real tenemos  i1  0.703 (ki1  0.531) y  i 2  1.185 (ki 2  3.77) . La solución de

T w 2 a L(z). Tomando T=1, Para obtener los cortes con el c.u. aplicamos la transformación z  T 1 w 2 3 2 0.2612 w  0.6411w  2.208w  0.2392 queda: L( w)  . w3  1.753w2  0.5085w  0.03055 1

La ecuación característica 1  kL( w)  0 resultante es:

w3 1  0.2612k   w2 1.735  0.6411k   w  0.5085  2.208k    0.0355  0.2392k   0          a

b

c

d

La tabla de Routh-Hurwitz es:

w3 w2 w1 w0

a b A1 d

c d 

donde debemos forzar A1=0 a fin de tener una fila de ceros.

A1 

bc  ad (1.4155k 2  4.1966k  0.8914)  (0.0625k 2  0.2485k  0.0355)  b b

A1 

1.3531k 2  3.9482k  0.8559 0 b

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23

Tema 4. Control digital

Los valores de k obtenidos son k1  0.2358 ( p1,2  0.99  j 0.13) y

k2  0.26821 ( p1,2  0.64  j 0.77)

>> L=tf(conv([1 -0.9],[1 0.37]),conv([1 -0.95],[1 -1.35 0]),1); >> rlocus(L) Root Locus 1.5

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

1.6.2

Análisis de estabilidad. Criterio de Jury

Para el análisis de la estabilidad dado el polinomio característico, los sistemas discretos en el tiempo cuentan con el criterio de Jury que, al igual que el criterio de Routh-Hurwitz, consiste en construir una tabla y analizar los signos de la primera columna. Construcción de la tabla Dado el polinomio característico P ( z )  z n  pn 1 z n 1    p0 , la primera fila de la tabla contiene sus coeficientes. Los valores de la segunda fila son los de la primera fila pero en orden inverso). A partir de las dos primeras filas (de datos) se calculan los coeficientes de la tercera fila:

A11  1  p0

p0 1

,

A12  pn 1  p1

p0 1

,

A13  pn 1  p0

p0 1



Los valores de la cuarta fila B1i son los valores de la tercera en orden inverso.

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24

Tema 4. Control digital

La quinta fila se obtiene a partir de las dos anteriores:

A21  A11  B11

B11 A11



Y así sucesivamente.

Interpretación Si los coeficientes pn, A11, A21,… son positivos entonces todas las raíces de P(z) están dentro del círculo unitario.

Ejemplo 7. Criterio de Jury. Considerar el lazo L( z ) 

10T . Se desea saber qué rango de ( z  1)

valores de T aseguran la estabilidad del servo con retroacción unitaria negativa alrededor de L(z).

T w 2 Primer método: Aplicar la transformación z  a L(z) y analizar el polinomio característico T 1 w 2 1

resultante. Éste es

1  L( w)  1  10

1

T w 2  0  w(1  5T )  10  0 w

Para que el sistema sea estable, 1  5T  0 , por tanto 0  T  0.2 Segundo método: Aplicar el criterio de Jury a la ecuación característica en z,

1  L( z )  1 

A1  p1 

p0 p0  1  (10T  1) 2 p1

B1  A1 

A2 A2  A1 A1

10T  0  z  (10T  1)  p1 z  p0  0 ( z  1) p1  1 p0  10T  1 p0  10T  1 p1  1 A1 A2  0 B1  p , A2  p0  0 p0  0 p1

La condición de estabilidad es que p1 y A1 sean positivas, por tanto,

A1  1  (10T  1) 2  0  1  10T  1  0  T  0.2

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

25

Tema 4. Control digital

1.7

Diseño de controladores digitales

1.7.1

Controlador dead beat

Una respuesta dead beat es la que sigue exactamente la excitación con una única muestra de retardo. Ello sólo puede conseguirse adecuadamente en sistemas de primer orden. Suponer que la planta es G(z). Si se excita con un escalón unitario, la respuesta deseada es

z 1 1 . La función de transferencia en lazo cerrado será z  z 1 z 1 Y ( z ) 1 /( z  1) 1 1 T ( z) 1/ z . T ( z)    . Así, el controlador será C ( z )   R ( z ) z /( z  1) z G ( z ) 1  T ( z ) 1  1 / z G ( z )

Y ( z) 

Ejemplo 8. Controlador dead beat. Comportamiento entre muestras. (Dutton) Considerar la

8 , cuya versión discreta anteponiéndole un ZOH con Ts=0.4s es s  2s  4 0.474069 z  0.361449 . G( z)  2 z  1.03157 z  0.449329

planta G ( s ) 

2

El controlador dead beat es

z 2  1.03157 z  0.449329 1/ z C( z)   0.474069 z 2  0.11262 z  0.361449 1  1 / z  20.474069 z  0.361449 z  1.03157 z  0.449329 C( z) 

2.1094  2.176 z 1  0.9478 z 2 1  0.2376 z 1  0.7624 z 2

Si realizamos la simulación con Simulink (variable step, ode45, max step size = 1e-2),

y representamos el resultado, >> t=db(:,1); >> plot(t,db(:,2)),hold on,stem(0:0.4:5,y,'r') >> xlabel('Tiempo (s)'),title('salida del servo (analógica y muesteada a 0.4s)') >> >> >> >> >>

G=tf(8,[1 2 4]); Gz=c2d(G,0.4,'zoh'); Cz=tf([2.1094 -2.176 0.9478],[1 -0.2376 -0.7624],0.4) Tu=feedback(Cz,Gz);figure(2),u=step(Tu,0:0.4:5);stairs(0:0.4:5,u) xlabel('Tiempo (s)'),title('salida del controlador')

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26

Tema 4. Control digital

Vemos que, efectivamente, si tomamos muestras a 0.4s podemos pensar que el seguimiento al escalón discreto es perfecto, con sólo una muestra de retardo. Sin embargo el comportamiento del sistema entre muestras dista mucho de ser el ideal. Es por ello por lo que el controlador dead beat no se usa en sistemas de orden 2 o superior salida del servo (analógica y muesteada a 0.4s)

salida del controlador

1.4

2.5 2

1.2

1.5

1 1

0.8

0.5 0

0.6

-0.5

0.4 -1

0.2

0

-1.5

0

1

2

3

4

5

-2

0

1

Tiempo (s)

1.7.2

2

3

4

5

Tiempo (s)

Controlador de Kalman

A la vista de las limitaciones del controlador dead beat del apartado anterior, Kalman razonó que ya que es imposible que un sistema siga la excitación en un solo intervalo de muestreo de retardo, quizá pueda seguirlo en un número mayor de intervalos de muestreo, tantos como el orden de la planta. Así, si la planta es de segundo orden, se trata de diseñar un controlador capaz de seguir perfectamente consignas con dos intervalos de retardo. Considerar que la consigna es un escalón unitario, r ( z )  1  z 1  z 2  ... En la salida, la primera muestra será 0, la segunda muestra valdrá cierto valor  y a partir de la tercera muestra ya tendremos el escalón unitario: y ( z )  0  z 1  z 2  ... En cuanto a la señal de control capaz de conseguir esto, la primera muestra  deberá ser mayor que el régimen permanente, la segunda muestra  deberá “frenar” al sistema a fin de situarlo en el punto adecuado y, a partir de la tercer muestra, tendremos un escalón unitario dividido por la ganancia en continua de la planta k:

u( z )    z 1 





1 2 z  ... . k

Para diseñar el controlador usaremos de nuevo la expresión C ( z ) 

1 T ( z) . Por tanto G( z) 1  T ( z)

necesitamos obtener la expresión de T(z) y G(z).

y ( z ) 0  z 1  z 2  z 3  ...   z 1  z 2  z 3  ...  z 1 z 1  z 2  z 3  ... 1 r( z ) 1  z 1 1 2 T ( z )  z  (1   ) z T ( z) 

Para obtener G(z), multiplicaremos y(z), u(z) por (1-z-1),

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27

Tema 4. Control digital

y( z) G( z)   u( z )

(1  z 1 )z 1  z 2  z 3 ... z 1  (1   ) z 2  1 2  1  1  1 3 (1  z )   z  z  z ...    (   ) z 1      z 2 k   k 





Ejemplo 9. Controlador de Kalman. Sistema de segundo orden. (Dutton) Considerar de nuevo

8 , cuya versión discreta anteponiéndole un ZOH con Ts=0.4s es s  2s  4 0.474069 z  0.361449 . G( z)  2 z  1.03157 z  0.449329

la planta G ( s ) 

2

El primer paso es identificar los coeficientes , , , k. Pero tal y como está la planta no es posible hacerlo puesto que los coeficientes del numerador no suman 1. Para solucionarlo, se puede multiplicar numerador y denominador por el siguiente factor: 1/(0.474069+0.361449). Así,

G( z) 

0.567 z 1  0.433z 2  1.197  1.235z 1  0.538 z 2

z 1  (1   ) z 2 1 k

 

  (   ) z 1      z 2

de donde se obtiene =0.567, =1.197, =-0.038 y k=2. Notar que T ( z )  z 1  (1   ) z 2  0.567 z 1  0.433z 2 . El controlador resultante será

C( z) 

1 T ( z) 1.197  1.235z 1  0.538 z 2  G( z) 1  T ( z) 1  0.567 z 1  0.433z 2

La salida del sistema y la señal de control se muestran en la siguiente figura: Esfuerzo de control con controlador de Kalman

Salida del sistema con controlador de Kalman 1.4

1.2

1.2

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2

0.2

0

0

0

0.5

1

1.5 Tiempo (s)

2

2.5

3

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-0.2

0

0.5

1

1.5 Tiempo (s)

2

2.5

3

28

Tema 4. Control digital

1.7.3

Controlador de Dahlin

Los problemas del controlador de Kalman se deben a que éste es muy dependiente del tiempo de muestreo. El tiempo de establecimiento depende de Ts. Si Ts es muy corto, la señal de control debe ser muy grande (la selección más común para el tiempo de muestreo mínimo es 5 veces la frecuencia natural más alta del sistema en lazo cerrado). Pero tampoco se puede hacer Ts demasiado largo puesto que este valor está limitado por el teorema de muestreo de Shannon y puede provocar problemas de aliasing. Una alternativa es usar el controlador de Dahlin. El controlador de Dahlin es una versión suavizada del controlador dead beat y su objetivo es conseguir una respuesta de tipo (1-exp(at)) al ser el sistema excitado con un escalón. Así, la velocidad de respuesta se ajusta con los parámetros del controlador y no es necesario cambiar Ts. Si la respuesta indicial del servo es del tipo y (t )  1  e at , tenemos que y ( n )  1  e tanto,

Y ( z) 



anTs

y, por



1 1 1  e  aTs z   z  1 z  e aTs z  e aTs z  1





y

T ( z) 

Ejemplo 10.

Controlador de Dahlin.

1  e  aTs z  e aTs

Ringing poles.

Considerar de nuevo la planta

8 , cuya versión discreta anteponiéndole un ZOH con Ts=0.4s es s  2s  4 0.474069 z  0.361449 G( z)  2 . Se desea diseñar una respuesta de primer orden con una z  1.03157 z  0.449329

G( s) 

2

contante de tiempo de 1.5s, por tanto, a=1/1.5.

1  e  aTs 0.23407 La función de transferencia del servo será: T ( z )    aTs z  0.76593 ze Y el controlador resultante es

C( z) 

1 T ( z) 0.494  0.509 z 1  0.222 z 2  G( z) 1  T ( z) 1  0.237 z 1  0.7624 z 2 Esfuerzo de control del controlador de Dahlin

Respuesta del controlador de Dahlin

0.6

1 0.9

0.5

0.8

0.4

0.7 0.6

0.3

0.5

0.2 0.4 0.3

0.1

0.2

0 0.1 0

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

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-0.1 0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

29

Tema 4. Control digital

La oscilación de la señal de control indica que tenemos un ringing pole. Si inspeccionamos el denominador del controlador, 1  0.237 z 1  0.7624 z 2  (1  z 1 )(0.474069  0.361449 z 1 ) , vemos que los polos son z = 1 y z = -0.76. Lo que se suele hacer para eliminar este polo es sustituirlo por su ganancia estática, 1/(0.474069+0.361449)=1.197. El nuevo controlador es:

C ( z )  1.197

0.494  0.509 z 1  0.222 z 2 0.591  0.609 z 1  0.266 z 2  1  z 1 1  z 1 Esfuerzo de control del controlador de Dahlin (sin ringing poles)

Respuesta del controlador de Dahlin (sin ringing poles) 1.4

0.6

1.2

0.5

1

0.4 0.8

0.3 0.6

0.2 0.4

0.1

0.2

0

0

2

4

6

8

10

0

0

Tiempo (s)

1.8

1

2

3 Tiempo (s)

4

5

6

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Transformada Z inversa. Bloque cuadrático

... A A* , se pide: z z 2 zp z  p* z  (2r cos  ) z  r 1) Hallar el valor de los polos p, p* en forma módulo-argumental (en función de r y ). 2) Demostrar que Z 1 H ( z )  2 A (r ) n cos(n  A) . Dado el bloque de segundo orden H ( z ) 

2

Solución: 1) Obtención de los polos en forma de módulo y argumento.

2r cos  4r 2 cos 2   4r 2 2r cos  2rj 1  cos 2  p, p*    r cos  jr sin   re  j 2 2  j p, p*  re 2) Obtención de la transformada Z inversa de H(z). La descomposición en suma de fracciones simples es

H ( z) 

... A A* A A* z z z z 2 j z p z  p* z  (2r cos ) z  r z  re z  re  j 2

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30

Tema 4. Control digital

 

Sabiendo que Z a n 

z , la transformada inversa de H(z) queda como za Z 1 H ( z )  Ar n e jn  A * r n e  jn

Puesto que el residuo A es complejo, también puede expresarse en forma módulo-argumental,

Z 1 H ( z )  A e jA r n e jn  A e  jA r n e  jn Agrupando términos,

Z 1 H ( z )  2 A r n cosn  A

c.q.d.

Ejercicio 2. Sistemas discretos. 1) Obtener el valor inicial y el valor final de la señal cuya transformada es X ( z )  2) Dada la señal X ( z ) 

1.5 z  0.6 . z  0.7

z z  , obtener su expresión temporal x(n). z  1 z  0.5

3) Dado el filtro analógico H ( s ) 

s 1 , obtener su equivalente discreto H(z) por el método de s  1.61

la invariancia impulsional. Tomar periodo de muestreo Ts=0.1.

Solución: 1)

TVI, TVF

z  1 1.5z  0.6   1.5 z  z  z z  0.7 z  1 1.5z  0.6  0 Valor final: x ( )  lim(1  z 1 ) X ( z )  lim z 1 z 1 z z  0.7 Valor inicial: x (1)  lim(1  z 1 ) X ( z )  lim

Impulse Response

Comprobación por Matlab (opcional):

1.8 1.6

>> impulse(X)

1.4 1.2 Amplitude

>> X=tf([1.5 0.6],[1 -0.7],1) Transfer function: 1.5 z + 0.6 ----------z - 0.7 Sampling time: 1

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

25

Time (sec)

2)

Transformada inversa

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31

Tema 4. Control digital

z   z x( n )  Z 1 X ( z )  Z 1    (1) n  ( 0.5) n ,   z  1 z  0.5  3)

n0

Discretización por invariancia impulsional

“Invariancia impulsional” significa que la respuesta impulsional del sistema continuo muestreado coincide con la respuesta impulsional del sistema equivalente discreto:

h( n )  h (t ) t nT O, lo que es lo mismo,

De ahí,

Z 1 H ( z )  L1 H ( s )



H ( z )  Z L1 H ( s )

t  nT

t  nT



Los pasos son los siguientes: Respuesta impulsional de H ( s ) 

H ( s) 

s 1 : s  1.61

s 1 s 1 d   , h(t )  e 1.61t  e 1.61t  0.61e 1.61t , t  0 s  1.61 s  1.61 s  1.61 dt

Respuesta impulsional de H(s) muestreada: h( n )  0.61e 1.61nT , n  0 Transformada Z de h(n): H ( z )  Z h ( n ) 

 0.61z  0.61z  T  0.1  1.61T ze z  0.8513

Verificación por Matlab: Impulse Response 0

>> Hz=c2d(tf(num,den),0.1,'imp' )

-0.1

Sampling time: 0.1 >> impulse(tf(num,den),Hz)

Amplitude

-0.2

Transfer function: -0.61 z ---------z - 0.8513

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time (sec)

Nota: La respuesta impulsional del sistema analógico obtenida a partir de la descomposición en suma de fracciones simples presenta una discontinuidad en t=0.

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32

Tema 4. Control digital

H ( s) 

s 1 0.61  1 , h(t )   (t )  0.61e 1.61t , t  0 s  1.61 s  1.61

Esto puede verse con ayuda de la función residue o con la funció ilaplace: >> num=[1 1];den=[1 1.61]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.6100 p = -1.6100 k = 1 >> syms s >> ilaplace((s+1)/(s+1.61)) ans = dirac(t)-61/100*exp(-161/100*t)

Sin embargo, para poder aplicar el método de discretización de la invarianza impulsional tal y como está en los apuntes es necesario que la respuesta impulsional del sistema analógico sea continua. Por ello, en la práctica, lo que se hace es tomar la respuesta impulsional del sistema analógico a partir de t=0+ (a fin de evitar la delta de Dirac). Esto es lo que hemos considerado implícitamente al suponer que la respuesta impulsional era derivable. Este tema está tratado con más detalle en la siguiente referencia: L. Jackson, "A correction to impulse invariance", IEEE Signal Processing Letters, Vol. 7, Oct. 2000.

Ejercicio 3.

Criterio de Jury.

Comprobar mediante el criterio de Jury que el polinomio

P( z )  z ( z  1.5)( z  0.5)  z 3  2 z 2  0.75 z presenta una raíz en el exterior del círculo unitario. Solución:

1 0

2 0.75

A11  1

A12  2

0.75

2

1

A21  0.43

A22  0.5

A23  

0.5

0.43

A31  0.133 0.133

A32  

0.75 2

0 1

A13  0.75 A14  

0 0 0 0 A11  1  0  1 , A12  2  0.75  2 , A13  0.75  0  0.75 , A14  0  0  0 1 1 1 1 0.75 0.75 0.75 A21  1  0.75  0.4375 , A22  2  2  0.5 , A23  0.75  1 0 1 1 1 0.5 (0.5)  0.133 , A32  0.5  0.44 0 A31  0.43  0.5 0.44 0.44 Puesto que el coeficiente A31 es negativo (mientras que el resto, p3, A11, A21 son positivos), hay una raíz fuera del círculo unitario.

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33

Tema 4. Control digital

2.

Control digital de 2 grados de libertad

Este apartado está basado en el trabajo de LANDAU, I.D., Commande des Systèmes. Conception, identification et mise en oeuvre, Hermès Lavoisier, 2002. Para más detalles, se recomienda su consulta.

2.1

Controlador RST digital

La figura muestra un esquema de control digital. El bloque "Planta" incluye el proceso a controlar así como los actuadores y transductores con los que se ha instrumentado el lazo de control. La variable temporal t corresponde al tiempo discreto (muestras).

reloj r(t)

Procesador (controlador)

y(t)

u(t) D/A + ZOH

Planta

A/D

Planta discretizada 2.1.1

Configuración RST

Los controladores de dos grados de libertad, tales como el controlador RST de la siguiente figura, permiten obtener simultáneamente seguimiento (tracking) y rechazo de las perturbaciones (regulación). El tracking se obtiene gracias al polinomio T mientras que la regulación se implementa con 1/S y R. Para la robustez, solo los polinomios S y R son importantes. d(t) r(t)

p(t)

+ Bm (q 1 ) Am (q 1 )

controlador

T(q-1)

y

+ _

1 S (q 1 )

-1

R(q )

+

u(t)

d

1

q B(q ) A(q 1 ) modelo de la planta

+

y(t)

+

+ + v(t)

d(t) y p(t) son perturbaciones a la entrada y a la salida de la planta respectivamente. v(t) es el ruido de medida. El efecto del mantenedor de orden cero (ZOH) se traduce en un retardo de una muestra de duración. El operador retardo se denota como q 1 y (t )  y (t  1) . Nota: No vamos a considerar qué sucede entre las muestras (inter-sampling behaviour). Por tanto, no consideraremos rechazo de las perturbaciones entre muestras. Tampoco se van a considerar efectos tales como los de la inicialización, discetización/cuantización, reset-windup,...

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34

Tema 4. Control digital

Modelo de la planta:

G (q 1 ) 



 

n d 1 ~ q  d B(q 1 ) q b1 q    bnB q B q  d 1 B (q 1 )   , A(q 1 ) A(q 1 ) 1  a1 q 1    bn A q  n A



donde q-d corresponde a un retardo entero (un retardo fraccional introduce ceros de fase no mínima en el polinomio B). Notar que B captura el efecto del ZOH (contiene q-1). Controlador R-S-T:

S (q 1 )u (t )  T (q 1 ) ~ y (t  d  1)  R(q 1 ) y (t ) , donde la trayectoria deseada para el lazo, ~ y (t  d  1) , es la predicción del valor futuro (a d+1 muestras) de la salida. En general, no se considera el valor ideal ~ y (t ) debido a que no se va a

~

cancelar el numerador de la planta q  d 1 B (q 1 ) . Polinomio característico:

P (q 1 )  A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) , contiene los polos del lazo cerrado deseados. Función de lazo:

L(q 1 ) 

R(q 1 ) q  d B(q 1 ) S (q 1 ) A(q 1 )

El seguimiento (tracking) de señales de referencia viene dado por la siguiente función de transferencia:

Bm (q 1 ) q  d T (q 1 ) B(q 1 ) M (q )  Am (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) 1

donde P(q-1) contiene los polos en lazo cerrado deseados. Y desde r hacia u tenemos:

M u (q 1 ) 

Bm (q 1 ) q  d T (q 1 ) A(q 1 ) . Am (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 )

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35

Tema 4. Control digital

2.1.2

Funciones de sensibilidad

Se pueden definir diversas funciones de sensibilidad que caracterizan la variación de la entrada u(t) y la salida y(t) de la planta en función de las distintas señales de entrada al lazo (p(t), d(t), v(t)). Función de sensibilidad de la entrada Sup: Es la función de transferencia en lazo cerrado desde p hacia u. Caracteriza el efecto de la perturbación p en la señal de control u. Si queremos bloquear la señal de control u para cierta frecuencia de perturbación p, Sup deberá presentar un cero a dicha frecuencia.

R( q 1 ) S ( q 1 )  A( q 1 ) R( q 1 )  A(q 1 ) R(q 1 ) S up ( q 1 )    R( q 1 ) q  d B(q 1 ) A( q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) P(q 1 ) 1 S (q 1 ) A(q 1 ) 

Función de sensibilidad de la salida Syp: Es la función de transferencia en lazo cerrado desde p hacia y. Caracteriza el efecto de la perturbación p en la salida y (así, describe el rechazo de la perturbación p). Para cancelar totalmente el efecto de una perturbación p de frecuencia  sobre la salida y, Syp debe presentar un cero a dicha frecuencia.

S yp ( q 1 ) 

A(q 1 ) S (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 ) 1   R(q 1 ) q  d B(q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) P (q 1 ) 1 S (q 1 ) A(q 1 )

Función de sensibilidad de la salida con respecto al ruido de medida Syv: Es la función de transferencia en lazo cerrado desde v hacia y. Caracteriza el efecto del ruido de medida v en la salida y. También se conoce como función de sensibilidad complementaria puesto que S yp  S yv  1 . Notar también que, para T=R, Syr=-Syv.

R(q 1 ) q  d B (q 1 ) S (q 1 ) A( q 1 )  q  d B(q 1 ) R (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) S yv ( q 1 )    R(q 1 ) q  d B(q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) P(q 1 ) 1 S (q 1 ) A(q 1 ) 

Función de sensibilidad de la salida con respecto a la perturbación de entrada Syd: Es la función de transferencia en lazo cerrado desde d hacia y. No se suele utilizar. Aún así, es importante para estudiar la estabilidad de la configuración IMC (internal model control).

q  d B(q 1 ) A(q 1 ) q  d B (q 1 ) S (q 1 ) q  d B(q 1 ) S (q 1 ) S yd (q 1 )    R(q 1 ) q  d B (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 ) P (q 1 ) 1 S (q 1 ) A(q 1 ) Las más utilizadas son Sup y Syp. Es necesario que las cuatro funciones de sensibilidad sean estables a fin de evitar diseños inapropiados tales como los que, por ejemplo, cancelan los polos inestables de la planta con ayuda del polinomio R. En ese caso, notar que Sup, Syp y Syv pueden ser estables, pero Syd será inestable:

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

36

Tema 4. Control digital

S up (q 1 ) 

 A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 )

, S yp ( q 1 ) 

S (q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 )

S yv (q 1 ) 

 q  d B(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 )

, S yd (q 1 ) 

q  d B(q 1 ) S (q 1 ) A(q 1 )  S (q 1 )  q  d B(q 1 )





En consecuencia, las perturbaciones a la entrada de la planta d son capaces de desestabilizar el sistema.

2.2

Conformación de las funciones Syp y Sup

Las funciones de sensibilidad juegan un papel clave en los estudios de robustez. De hecho, el control robusto puede interpretarse como una metodología para conformar las diferentes funciones de sensibilidad a fin de satisfacer diferentes familias de especificaciones. Por ello es fundamental entender e interpretar el comportamiento de las funciones de sensibilidad en el dominio frecuencial.

2.2.1

Propiedades de la función de sensibilidad de la salida Syp S yp (q 1 ) 

A(q 1 ) S (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B( q 1 ) R(q 1 )

Propiedad 1: Amplificación/atenuación. El módulo de Syp a cada frecuencia  nos da el

factor de amplificación o atenuación de la perturbación p a la salida de la planta y.



Si |Syp()|>1 (|Syp()|>0dB) el sistema amplifica la perturbación p de frecuencia .



Si |Syp()|=1 (|Syp()|=0dB) el sistema opera en lazo abierto (notar que es equivalente a cortar el lazo a la frecuencia , es decir, a hacer R=0)



Si |Syp()|0.5Ts puesto que ello implica ceros "inestables".

Al contrario que la fijación de polos simple, este método cancela los ceros de la planta y, por tanto, permite alcanzar perfectamente las especificaciones de comportamiento (sigue perfectamente la trayectoria deseada). Para ello, los ceros de la planta deben ser estables y su coeficiente de amortiguamiento debe ser adecuado, >0.2 (ello define una región admisible para los ceros del modelo de la planta).

2.5.1

Formulación del problema

Problema: Dada la planta G (q 1 )  q  d

B(q 1 ) ~ , con B (q 1 )  q 1 B (q 1 ) , y las especificaciones 1 A(q )

del diseño en forma de polinomio característico conteniendo los ceros de la planta

B (q 1 ) ~ P(q 1 )  P' (q 1 ) B (q 1 ) (para la regulación) y modelo m 1 (para el seguimiento), obtener Am (q ) los polinomios R (q 1 ) , S (q 1 ) y T (q 1 ) .

2.5.2

Solución del problema

Regulación: El polinomio característico deseado contiene los ceros de la planta,

~ ~ P (q 1 )  A(q 1 ) S (q 1 )  q  d 1 B (q 1 ) R(q 1 )  P' (q 1 ) B (q 1 ) ~

Si se toma S (q 1 )  S ' (q 1 ) B (q 1 ) , con S’ mónico (entonces s0 en S será igual a b1,

~ S (q 1 )  s 0  s1 q 1    B (q 1 ) S ' (q 1 )  (b1  b2 q 1  )(1  s1' q 1  ) ), la ecuación a

resolver se simplifica y queda como:

A(q 1 ) S ' (q 1 )  q  d 1 R(q 1 )  P' (q 1 )

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50

Tema 4. Control digital

Existe solución y es única si o nP'  n A  d En esas condiciones, la solución tiene n S '  d y n R  n A  1 o

S ' (q 1 )  1  s '1 q 1    s ' nS ' q  nS '

o

R (q 1 )  r0  r1 q 1    rnR q  nR

La ecuación diofántica se resuelve fácilmente de forma matricial, Mx  p , x  M 1p . Puesto que la matriz M es triangular inferior, este problema es más sencillo de resolver y numéricamente más robusto que el del problema de fijación de polos general.

 0  1   1         s '1   p1              s p ' 0    nA   d      r0 p nA1  1      0  0   r1       1 0         0  0 1  rnr   p nA d   

0  0  1 a   1 1  a 2 a1  0  1   a2 a nA  a1  a2  0      0  0 a nA   

0

d 1

0

nA

La inserción de los filtros HS y HR es análoga al caso de fijación de polos general. Seguimiento: El lazo cerrado es

M (q 1 ) 

La

trayectoria

M (q 1 ) 

de

Bm (q 1 ) q  d B(q 1 ) 1 T ( q ) Am (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 )  q d B(q 1 ) R(q 1 )

referencia

es

B (q 1 ) ~ y (t  d  1)  m 1 r (t ) . Am (q )

Puesto

que

Bm (q 1 ) q  d 1 1 T q , el resultado es T (q 1 )  P ' (q 1 ) . ( ) 1 1 Am (q ) P ' (q )

Ley de control: Como antes, S (q 1 )u (t )  T (q 1 ) ~ y (t  d  1)  R(q 1 ) y (t ) . Ahora,

S (q 1 )u (t )  P' (q 1 ) ~ y (t  d  1)  R(q 1 ) y (t ) , ~

donde S (q 1 )  s 0  s1 q 1    s 0 (1  S (q 1 )) , con s0=b1. Entonces,

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51

Tema 4. Control digital





u (t ) 

1 ~ P' (q 1 ) ~ y (t  d  1)  R(q 1 ) y (t )  S (q 1 )u (t  1) , b1

u (t ) 

1 b1

2.5.3

1   ~ 1 Bm ( q ) P ' ( q ) r (t )  R(q 1 ) y (t )  S (q 1 )u (t  1)  1 Am (q )  

Ejemplos

Periodo de muestreo: Ts=1s Planta:

q  d B(q 1 ) 0.2q 1  0.1q 2 0 q A(q 1 ) 1  1.3q 1  0.42q  2

Especificaciones:

 Seguimiento:

Bm (q 1 ) 0.0927  0.0687 q 1  Am (q 1 ) 1  1.2451q 1  0.4066q  2

(  n  0.5rad / s ,  = 0.9)

 Regulación: PD (q 1 )  1  1.3741q 1  0.4867q 2 (  n  0.4rad / s ,  = 0.9)  Acción integral: H S (q 1 )  1  q 1 Solución: polys = S: [0.2000 -0.1000 -0.1000] R: [0.9258 -1.2332 0.4200] T: [1 -1.3742 0.4868]

Efectivamente, S tiene un integrador S(1)=0 y T=P. Análisis: marges = GM: 2.1093 PM: 65.3277 DM: 1.2040 MM: 0.5259

Respuesta temporal:  Excitación: Escalón unitario con retardo de 9 muestras.  Perturbación: Escalón de valor -0.25 a partir de la muestra 50.

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52

Tema 4. Control digital

1.5

y

1

0.5

0

0

10

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

100

2

u

1

0

-1

El ringing observado es debido al cero de la planta (igual a -0.5, correspondiente a =0.2, en el límite del amortiguamiento deseable), el cual ahora forma parte del polinomio característico del sistema. En concreto: >> zpk(trfn.Sup) Zero/pole/gain: -4.629 (z-0.7) (z-0.6) (z^2 - 1.332z + 0.4537) ----------------------------------------------(z+0.5) (z^2 - 1.374z + 0.4868) Sampling time: 1

Periodo de muestreo: Ts=1s Planta:

q  d B(q 1 ) 0.2q 1  0.1q 2 3 q A(q 1 ) 1  1.3q 1  0.42q 2

Especificaciones:

Bm (q 1 ) 0.0927  0.0687 q 1   Seguimiento: Am (q 1 ) 1  1.2451q 1  0.4066q  2

(  n  0.5rad / s ,  = 0.9)

 Regulación: PD (q 1 )  1  1.3741q 1  0.4867q 2 (  n  0.4rad / s ,  = 0.9)  Acción integral: H S (q 1 )  1  q 1  Robustez: M  0.5 ,   1  Ts Solución: polys = S: [0.2000 0.0852 -0.0134 -0.0045 -0.1785 -0.0889] R: [0.8914 -1.1521 0.3732] T: [1 -1.3742 0.4868]

Análisis:

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53

Tema 4. Control digital

marges = GM: [2.0784 2.1796] PM: [58.0372 -69.9802 71.5384 -72.5586] DM: [3.9544 3.8626 0.6960 1.7269 1] MM: 0.5189

Hay varios márgenes puesto que el retardo d=3 ha tenido como consecuencia un incremento de vueltas del diagrama polar y, por tanto, diversos cruces por el círculo unitario. Nyquist Diagram 10 8 6

Imaginary Axis

4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

Real Axis

Se toman como márgenes de robustez los valores mínimos, esto es, GM=2.078, PM=58.037, MM=0.518 y DM=0.696s. Notar que el margen de retardo no cumple la especificación DM  1s. Ello se observa también en la siguiente figura: |S yp| 10 5 0

dB

-5 -10 -15 -20 -25 -30

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Para mejorar el margen de retardo se introducen 3 polos auxiliares a 0.1. |S yp| 10 5 0

dB

-5 -10 -15 -20 -25 -30

0

0.05

0.1

0.15

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

54

Tema 4. Control digital

La introducción de polos auxiliares también ha reducido el ringing. Las siguientes figuras muestran la respuesta temporal antes y después de introducir los polos auxiliares. 1.5

1

1 y

y

1.5

0.5

0

0.5

0

10

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

0

100

2

1

1

10

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

100

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

100

u

u

2

0

0

-1

0

0

10

20

30

40

50 t/Ts

60

70

80

90

100

-1

10

Los nuevos polinomios y márgenes de robustez son: polys = S: [0.2000 0.0252 -0.0329 0.0019 -0.1295 -0.0647] R: [0.6508 -0.8403 0.2716] T: [1 -1.6742 0.9290 -0.1883 0.0160 -4.8675e-004] marges = GM: [2.1586 2.9741] PM: [58.5372 -94.0039 110.9487] DM: [4.2981 3.6034 1.1869] MM: 0.5344

2.6

Internal model control (IMC)

Es otro caso particular de la fijación de polos. IMC es un nombre comercial pero puede llevar a confusión puesto que no tiene nada que ver con el "principio del modelo interno". De hecho, implementa una estrategia de control trivial. Los polos dominantes del lazo cerrado coinciden con los de la planta. Por tanto, no permite acelerar la respuesta del sistema en lazo cerrado. Y, además, el modelo de la planta deberá ser estable y bien amortiguado. Se usa en los casos en que existe un retardo muy grande (horas), mayor que la dinámica de la planta sin retardo (del orden de 2 o más de 2 veces superior).

2.6.1

Formulación del problema

Problema: Dada la planta G (q 1 )  q  d

B(q 1 ) ~ , con B (q 1 )  q 1 B (q 1 ) , y las especificaciones 1 A(q )

del diseño en forma de polinomio característico conteniendo los polos de la planta

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

55

Tema 4. Control digital

P(q 1 )  PA (q 1 ) A(q 1 ) (para la regulación) y modelo

Bm (q 1 ) (para el seguimiento), obtener Am (q 1 )

los polinomios R (q 1 ) , S (q 1 ) y T (q 1 ) .

2.6.2

Solución del problema

Regulación: El polinomio característico del sistema en lazo cerrado tiene como polos dominantes los de la planta ( A(q 1 ) ).

P (q 1 )  A(q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 )  A(q 1 ) PA (q 1 ) , Como polos auxiliares PA (q 1 ) se suelen usar factores del tipo PA (q 1 )  (1  q 1 )

n PA

.

Si se toma R (q 1 ) de la forma R (q 1 )  A(q 1 ) R ' (q 1 ) , la ecuación a resolver queda simplificada a:

S (q 1 )  q  d B (q 1 ) R' (q 1 )  PA (q 1 ) , Existe solución y es única si o n PA  d  n B  1 En esas condiciones, la solución tiene n S  d  n B  1 y n R '  0 o

S (q 1 )  1  s1 q 1    s nS ' q  nS

o

R' (q 1 )  r ' 0

La inserción de los filtros HS y HR es análoga al caso de fijación de polos general. Solución para el caso con integrador: En el caso de controlador con acción integral, S (q 1 )  (1  q 1 ) S ' (q 1 ) , la ecuación a resolver queda como:

(1  q 1 ) S ' (q 1 )  q  d B(q 1 ) R' (q 1 )  PA (q 1 ) El valor de R' se puede obtener fácilmente para el caso estático, q=1: r ' 0  PA (1) / B (1) . Así,

R (q 1 )  A(q 1 )

PA (1) P (1) y S (q 1 )  (1  q 1 ) S ' (q 1 )  PA (q 1 )  q  d B (q 1 ) A B (1) B(1)

Si, además, se añaden un filtro fijo HR, la solución queda como:

R (q 1 )  A(q 1 )

PA (1) H R (q 1 ) P (1) H R (q 1 ) y S (q 1 )  PA (q 1 )  q  d B (q 1 ) A B(1) H R (1) B(1) H R (1)

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56

Tema 4. Control digital

Seguimiento: El lazo cerrado es M (q 1 ) 

Bm (q 1 ) q  d B(q 1 ) 1 T q ( ) y la trayectoria de Am (q 1 ) A(q 1 ) PA (q 1 )

B (q 1 ) referencia es ~ y (t  d  1)  m 1 r (t ) .

Puesto que, en régimen permanente, interesa que

Am (q )

T (q 1 )

1 q  d B(q 1 ) 1 1 PA ( q ) 1, el polinomio T se escoge como  . T ( q ) A ( q ) B(1) A(q 1 ) PA (q 1 )

En el caso deque la dinámica de seguimiento coincida con la de regulación, Am  APA , se puede suprimir el modelo de referencia Bm/Am y tomar una T estática, T (q 1 )  T (1) 

A(1) PA (1) B(1)

Ley de control e interpretación: Para H r (q 1 )  1 , la ley de control es:

S (q 1 )u (t )  T (q 1 ) ~ y (t  d  1)  R(q 1 ) y (t ) Poniendo el valor de S, T y R, 1 PA (1) P (1) 1 PA ( q ) ~ PA (q )u (t )  q B(q ) u (t )  A(q ) y (t  d  1)  A(q 1 ) A y (t ) B(1) B(1) B(1) 1

d

1

PA (q 1 ) ~ P (1) P (1) PA (q )u (t )  A(q ) y (t  d  1)  A(q 1 ) A y (t )  q  d B(q 1 ) A u (t ) B(1) B(1) B(1) 1

1

y sacando factor común APA(1)/B(1) de los dos últimos términos,

  1 d 1   P ( 1 ) P ( q ) q B ( q ) ~ y (t  d  1)  A(q 1 ) A  y (t )  u (t ) PA (q 1 )u (t )  A(q 1 ) A 1    B (1)  B(1) A(q )  S0       T0 R0 modelo   El esquema equivalente se muestra en la figura: y(t+d+1)

T0(q-1)

+ _

1 S 0 (q 1 )

u(t)

y(t)

Planta modelo d

1

q B (q ) A(q 1 )

_

+

R0(q-1)

El modelo de la planta (modelo de predicción) está presente en el controlador. En lugar de aplicar la retroacción a la salida de la planta se aplica al error de predicción.

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57

Tema 4. Control digital

IMC parcial: Es un caso particular donde solo una parte de los polos de la planta forman parte del polinomio característico. Por ejemplo, suponer A(q 1 )  A1 (q 1 ) A2 (q 1 ) , donde A1 son los polos dominantes y A2 unos polos lejanos. Los polos lejanos formarán parte del polinomio característico mientras que los polos dominantes no puesto que, por lo que sea, queremos modificar su posición. Las ecuaciones serán:

A1 (q 1 ) A2 (q 1 ) S (q 1 )  q  d B(q 1 ) R(q 1 )  A2 (q 1 ) PA (q 1 ) donde R (q 1 )  A2 (q 1 ) R ' (q 1 ) .

2.6.3

Ejemplo

Periodo de muestreo: Ts=1s

q  d B(q 1 ) q 1 7  q A(q 1 ) 1  0.2q 1

Planta:

Especificaciones:  Robustez: M  0.5 y   Ts

 Comportamiento: integrador en el lazo Solución: Se satisface el margen de módulo, no así el de retardo: |S yp| 10

controller 1

5 0.8

0

0.6 0.4

dB

Imaginary Axis

-5 0.2 0

-10 -15

-0.2 -0.4

-20

-0.6

-25

-0.8 -1 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

-30

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Solución 2 y análisis: La introducción de polos auxiliares mejora la robustez con respecto al margen de retardo. Como ilustración se ensayan los polos 0.1, 0.3 y 0.333. Las figura superior muestra la plantilla correspondiente a   Ts y el módulo de Syv. La inferior muestra las plantillas de módulo y retardo y el módulo de Syp. El polo auxiliar en 0.333 satisface ya las especificaciones del problema.

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

58

Tema 4. Control digital

|S yv | 0

-2 dB

tmp 0.1 0.3 0.333

-4

-6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

|S yp| 10

dB

0 -10 -20 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

Solución 3 y análisis: Es posible mejorar las prestaciones del diseño haciendo uso de los grados de libertad que nos quedan. Podemos usar un polinomio característico de hasta orden 9 (nB+nA+d, donde nB=1, nA=1, d=7). Por ello, se ensaya un diseño con un polo auxiliar en 0.3 y 7 polos en 0.1. El resultado se compara con el obtenido con un único polo auxiliar en 0.5. Ambos cumplen las especificaciones. |S yv | 0

dB

-5 -10

tmp 0.5 7 x 0.1

-15 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

|S yp| 10

dB

0

-10

-20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

Solución 4 y análisis: Finalmente, se compara el caso de un polo auxiliar en 0.333 con el caso de añadir un filtro H R (q 1 )  1  q 1 a fin de abrir el lazo a frecuencia 0.5fs. Ambos diseños cumplen también las especificaciones de diseño.

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

59

Tema 4. Control digital

|S yv |

dB

0

tmp

-5

Hr =1+q-1 P aux =1-0.333q-1 -10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

|S yp| 10

dB

0 -10 -20 0

2.7 2.7.1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

Fijación de polos para conformar las funciones de sensibilidad Formulación del problema

El objetivo del control es conformar las funciones de sensibilidad de la entrada Sup y de la salida Syp. Estas dos funciones contienen todas las especificaciones del problema de control y se conforman mediante la introducción de polos auxiliares en el polinomio característico del sistema y la introducción de filtros en los controladores.

2.7.2

Solución del problema

Los pasos son: 1) Elegir los polos dominantes y los polos auxiliares del lazo cerrado. 2) Elegir la parte fija de los controladores (HS y HR) 3) Si es necesario, elegir de manera simultánea los polos auxiliares y las partes fijas de los controladores.

ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a

60

Tema 4. Control digital

2.8

Ejercicio resuelto

Ejercicio 4. Colada continua de acero El proceso de colada continua de acero puede modelizarse por medio de la siguiente función de transferencia (Landau, 2002): Planta: G (q 1 )  q  d 

1 B(q 1 )  2 0.5q q   A(q 1 ) 1  q 1

Periodo de muestreo: Ts=1s Especificaciones:  Atenuar las perturbaciones de baja frecuencia: desde 0 a 0.03Hz.  A frecuencia 0.07Hz la amplificación debe ser -6dB y margen de retardo  > Ts. Solución: Diseño A: Se escoge una dinámica de regulación (polinomio característico) correspondiente a

2 , =0.9 (tiempo continuo). A fin de abrir el lazo a 0.25Hz se introduce un filtro 10 H R (q 1 )  1  q 2 . Los márgenes de robustez se cumplen, =4.5549s y M=0.6224. Sin

n 

embargo, la especificación a 0.07Hz no se satisface. Diseño B: Para introducir una atenuación local a 0.07Hz, se añade el filtro

F (s) 

s 2  2  0.35  0.07 s  0.07 2 s 2  2  0.5  0.07 s  0.07 2

Ahora la especificación a 0.07Hz se cumple pero hemos entrado ligeramente en la zona de atenuación 0-0.03Hz. Los márgenes de robustez son =6.1194s y M=0.7131. Diseño C: Para solucionar este último inconveniente se escogen unos polos dominantes más rápidos:  n  0.9 , =0.9. Los márgenes de robustez obtenidos son =5.1016s y M=0.6408. Ahora sí se satisfacen todas las especificaciones, tal y como muestran las siguientes figuras: |S up|

|S yp|

0

10 up lo A B C

5

A B C

-10

-20

dB

dB

0

-30

-5

-40

-10

-15

-50

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

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-60

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 f/fs

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

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