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TEMA 4: COMBINATORIA La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto contar el número de agrupaciones diferentes, y con unas determinadas características, que se pueden formar con los elementos de un conjunto dado. Las características de una agrupación están determinadas por: • La cantidad de elementos del conjunto dado que se utilizan para formar la agrupación. • La posibilidad de que puedan o no repetirse los elementos en la agrupación. • La consideración o no del orden como factor diferenciador de agrupaciones con los mismos elementos. Es decir, dentro de la Combinatoria es dónde tienen sentido preguntas del tipo: − ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse? − ¿Cuántas posibles combinaciones pueden darse en la lotería primitiva? − ¿Qué posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute? − ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 asientos de un cine? Trataremos de dar respuesta a estas cuestiones y algunas más.

1. MUESTRAS SIN ELEMENTOS REPETIDOS 1.1. Variaciones sin repetición u ordinarias Comencemos con la siguiente pregunta: ¿De cuántas maneras podemos repartir los 3 primeros premios de un concurso entre 8 personas? Si designamos a las personas con las 8 primeras letras del abecedario a, b, c, d, e, f, g y h, una manera posible sería abc, otra bad, otra fgh. Debemos, pues, agrupar las 8 letras (personas) de 3 en 3 sin repetir ninguna, porque una misma persona no se puede llevar más de un premio, y considerando el orden, ya que no es lo mismo obtener el 1er premio que el 2º o el 3º. En matemáticas consideramos que estamos calculando variaciones sin repetición de 8 elementos tomados de 3 en 3. En general definimos: Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k, k ≤ n, son los distintos grupos ordenados que se pueden formar con los n elementos, de manera que: • En cada grupo entren k elementos diferentes. • Dos grupos son diferentes si se diferencian en algún elemento, o si constan de los mismos elementos, cuando estos se disponen en distinto orden. Se representan por V kn . Veamos como se procede a la formación ordenada de las variaciones sin repetición y el número de ellas. Se llaman variaciones monarias a las variaciones de n elementos tomados de 1 en 1, binarias a las variaciones (sin repetición) de n elementos tomados de 2 en 2, ternarias a las tomadas de 3 en 3, etc...

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Para formar las variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k se procede como sigue. Primero se forman las variaciones monarias. A continuación se forman las binarias colocando a la derecha de cada variación monaria cada uno de los elementos del conjunto formado por esos n elementos, excepto aquellos que ya figuran en las variaciones monarias. Después se forman las variaciones ternarias colocando a la derecha de cada variación binaria cada uno de los elementos del conjunto que no forme ya parte de ellas, y así sucesivamente. Ejemplo: Formemos las variaciones sin repetición de los elementos a, b, c y d tomados de 3 en 3: Variaciones monarias: a ab ba  Variaciones binarias:  ca da

b

abc bac  Variaciones ternarias:  cab dab

c

d

ac bc cb db

ad bd cd dc

abd bad cad

acb bca cba

acd bcd cbd

adb bda cda

adc bdc cdb

dac

dba

dbc

dca

dcb

Veamos el número de las variaciones sin repetición: Si tenemos n elementos y queremos extraer un grupo ordenado y sin repetición de tamaño k (k ≤ n), razonemos de este modo: − − − −

El primer elemento lo podemos elegir entre n elementos. El segundo, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n − 1 elementos. El tercero, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n – 2 elementos. ⋮ El elemento k, lo podremos elegir entre n − k + 1 elementos.

Por tanto, el número de variaciones monarias es V ternarias es V

k n

1 n

= n, el de binarias es V

2 n

= n · (n – 1), el de las

= n (n – 1) · (n – 2) y aplicando este principio de multiplicación en total hay: V

k n

= n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)

Observa que en el producto que define V kn tiene exactamente k factores decrecientes a partir de n (el primero es n y vamos disminuyendo cada factor en una unidad hasta conseguir k factores) Ejemplos: 1. Las variaciones sin repetición de los elementos a, b, c y d tomados de 3 en 3 son: V 34 = 4 · 3 · 2 = 24

2. ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 cartas, extraídas sucesivamente y sin repetir, de una baraja española? La primera se puede elegir de 40 formas. La segunda, al no poder repetir, sólo se puede elegir de 39 maneras. Por tanto, en total hay V 240 = 40 · 39 = 1560 posibilidades. 2 / 16

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3. Seis ciclistas llegan al sprint en una prueba de las Olimpiadas, ¿De cuántas maneras se pueden colocar los tres primeros puestos? Para el primer puesto hay 6 posibilidades. Para el segundo, sólo 5 posibilidades. Para el tercero, quedan 4 opciones. Por tanto hay en total V63 = 6 · 5 · 4 = 120 maneras. (Nota: Observa que k, indica el número de factores que hay que multiplicar, por ejemplo, en los ejemplos anteriores, en el segundo los grupos eran de tamaño 2 y multiplicábamos 2 factores, y en el tercero eran muestras de tamaño tres y multiplicábamos tres factores). Ejercicio 1: ¿Cuántos números de cuatro cifras no repetidas se pueden formar con las cifras del 1 al 9 (ambas inclusive)? Solución: 3024 números.

1.2. Permutaciones sin repetición u ordinarias ¿De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas en un banco con 8 plazas? Como hay el mismo número de plazas que de personas, se trata de cambiar éstas de lugar. Es decir, se tiene que calcular el número de agrupaciones de 8 elementos tomados de 8 en 8, considerando el orden de colocación: V

n n

= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320

Las permutaciones son un caso particular de las variaciones sin repetición en las que se toman todos los elementos disponibles, es decir, k = n. Así pues, dos permutaciones diferentes sólo se diferencian en el orden de colocación de sus elementos. Si designamos por Pn al número de permutaciones de n elementos, se tiene: Pn = V

n n

= n · (n − 1) · ... · (n − n + 1) = n · (n − 1) · ... · 1

El producto de todos los números enteros desde el 1 hasta el n se denomina factorial de n y se representa por n!. Por definición, 0! = 1 y 1! = 1. Evidentemente no existen los factoriales de los números. Por tanto este caso particular de variaciones sin repetición se denomina permutaciones sin repetición de n elementos y se expresa: Pn = n! Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en 5 asientos en un cine? La primera persona se puede sentar en 5 sitios. La segunda sólo en 4, la tercera en 3, la cuarta en 2 y la quinta en 1. De modo que hay 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 posibilidades, es decir, P5 = 5! = 120. Ejercicio 2: ¿Cuántas palabras de 8 letras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras A, B, C, D, E, F, G y H sin repetir ninguna? Solución: 40320 palabras.

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1.3. Combinaciones sin repetición u ordinarias ¿De cuántas maneras podemos seleccionar a 3 personas de un grupo de 10 para realizar un determinado trabajo? Tenemos que calcular el número de agrupaciones de 3 elementos que podemos formar con los 10 iniciales sin repetir ninguno, pues las personas tienen que ser diferentes, y sin considerar el orden pues van a desempeñar el mismo trabajo. Por tanto, si formamos las variaciones sin repetición de elementos tomados de 3 en 3 y prescindimos de las variaciones que tienen los mismos elementos pero colocados en distinto orden, obtendremos las combinaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3. En general, se define: Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k, k ≤ n, son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que: • En cada grupo entren k elementos. • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento. Se representan por C kn . Para formar las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k se procede como sigue: Recordemos que las variaciones con repetición, y por tanto, de las permutaciones es esencial el orden de colocación de sus elementos, de modo que dos variaciones que tengan los mismos elementos serán diferentes si se diferencian en el orden de colocación de los mismos. Vamos a construir las combinaciones sin repetición a partir de las variaciones sin repetición prescindiendo en éstas últimas del orden de colocación de sus elementos. Podemos representar una combinación de k elementos por cualquier variación sin repetición que contenga a esos k elementos, de modo que si sabemos formar las variaciones sin repetición también sabremos formar las combinaciones. Ejemplo: Formemos las combinaciones sin repetición de los elementos a, b, c y d tomados de 3 en 3: Combinaciones monarias: a ab   ba Combinaciones binarias:   ca  da  Combinaciones ternarias: abc acb bac  adb bad abd  adc cad acd  bdc cbd bcd

b

c

ac

ad

bc

bd

cb

cd

db

dc

bca

cab

cba

bda

dab

dba

cda

dac

dca

cdb

dbc

dcb

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d

⇒

⇒

4·3 V42 = =6 C = 2 2!

C 14 = 4

2 4

⇒

C 34 =

4·3·2 V43 = =4 =4 6 3!

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Formalizando lo anterior, si tenemos n elementos y se forman grupos de tamaño k ordenadas serían: V

k n

= n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)

Pero como son no ordenadas tenemos que dividir por el número de maneras de ordenar esos grupos de tamaño k, es decir hay que dividir por: Pk = k! Resumiendo, el número de grupos no ordenados y sin repetición de tamaño k que se extraen de un conjunto de n elementos es: V kn Pk A estos grupos no ordenados y sin repetición se denominan Combinaciones sin repetición y las expresaremos: Vk C kn = n Pk El número de combinaciones sin repetición C kn se recuerda de manera más sencilla mediante otra fórmula: n C kn =   k  n La expresión   se denomina número combinatorio y se lee “n sobre k”. Una regla sencilla que k  permite calcular este número combinatorio es: n n!  =  k  k !·(n − k )! Ejemplos: 1. Supongamos que tenemos una bolsa con 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos dos bolas, sin importarnos el orden y sin repetir, ¿cuántos posibles resultados hay? Examinemos las posibilidades. Si el orden posibilidades ( V 52 = 5 · 4) que serían: 1, 2 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1

fuese importante ya sabemos que tendríamos 5 · 4 = 20 1, 3 2, 3 3, 2 4, 2 5, 2

1, 4 2, 4 3, 4 4, 3 5, 3

1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 4

Ahora bien, como no nos importa el orden, para nosotros las parejas (2, 1) y (1, 2) que son 2, en realidad sólo deberían contar como una, y lo mismo ocurre con el resto de parejas. Estamos contando cada pareja 2 veces. Por tanto, para obtener el número de parejas que buscamos tenemos que dividir entre 2. As í resulta que el número de muestras no ordenadas y sin repetición que 2 20 2 V5 = = 10 , sólo 10 posibilidades que son: tenemos es de: C 5 = 2! 2 5 / 16

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(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) Si sacásemos 3 bolas en lugar de 2, tendríamos los tríos: 1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 etc... en total 5 · 4 · 3 = 60 posibilidades ( V 35 = 5 · 4 · 3). Razonando de igual manera al caso anterior, todos aquellos tríos en los que estuviesen por ejemplo, el 1, el 2 y el 3 estarían repetidos. Ahora bien, ¿cuántas veces se repite cada trío? Veamos, tomando como ejemplo los tríos con 1, 2 y 3 obtenemos: 1,2,3 ; 1,3,2 ; 2,1,3 ; 2,3,1 ; 3,1,2 ; 3,2,1 , esto es, 6 posibilidades (P3 = 3!) que en realidad representan lo mismo pues no nos importa el orden. Lo mismo ocurre con cada trío, de modo que cada uno de ellos se repite 6 veces, así pues si no tenemos en cuenta el orden, el número de muestras no son 60 sino: C 35 =

V53 60 = = 10 maneras 3! 6

Ejercicio 3: Escribir los 10 tríos del ejemplo anterior. 2. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas numeradas en cualquier orden, de una bolsa que contiene 5 bolas? Serían combinaciones de 5 elementos de los que sacamos 3, es decir, tenemos que calcular:  5 5! C 35 =   = = 10  3  3!·2! son las maneras que habíamos calculado en el ejemplo de la introducción. 3. ¿De cuántas formas se puede formar un grupo de trabajo de 6 alumnos de entre una clase de 27? En este caso son combinaciones (no importa el orden ) de 27 elementos de los que se escogen 6, es decir:  27  27! 27! C 627 =   = = = 296010  6  6!·(27 − 6)! 6!·21! Ejercicio 4: ¿De cuántas maneras se pueden extraer 6 bolas de un bombo que contiene 49 bolas? (Lotería Primitiva) Solución: 13983816 maneras.

2. MUESTRAS CON ELEMENTOS REPETIDOS 2.1. Variaciones con repetición Comencemos planteando la siguiente pregunta: ¿qué y cuántos resultados se obtienen al lanzar un dado dos veces? Pensemos en algunos posibles resultados, por ejemplo: (2, 2) es un resultado, (2, 3) otro, pero también (3, 2) es otro diferente (el orden sí que importa). Podemos entonces formar todos los posibles resultados, teniendo en cuenta que se pueden repetir y que en su formación influye el orden de colocación, sin más que colocar a la derecha de cada elemento inicial todos y cada uno de ellos:

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1,1 2,1 ⋮

1, 2 2, 2 ⋮

1,3 2, 3 ⋮

1, 4 2, 4 ⋮

1,5 2, 5 ⋮

6,1

6, 2

6,3

6, 4

6,5

1, 6  2, 6   ⋮  6, 6 

Obtenemos así los 62 = 36 resultados posibles al lanzar un dado 2 veces.

En matemáticas se dice que hemos formado las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2, y hemos calculado su número, que si lo representamos por VR 62 = 62 = 36. En general, se define: Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, son los distintos grupos ordenados que se pueden formar con los n elementos, de manera que: • En cada grupo entren k elementos, repetidos o no. • Dos grupos son diferentes si se diferencian en algún elemento, o si constan de los mismos elementos, cuando estos se disponen en distinto orden. Se representan por VR kn . Veamos cual es su número. Si el conjunto inicial tiene n elementos y se forman grupos de tamaño k, pero ahora permitimos repeticiones, procedemos así: − − −

El primer elemento se puede elegir de n maneras. Como podemos repetir, el segundo también se puede elegir de n maneras. ⋮ El elemento número k se puede elegir también de n maneras.

En total tendremos: VR kn = n · n · ... · n (k veces) = nk Para formar todas las variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k se procede como sigue: Primero se forman las variaciones monarias. A continuación se forman las binarias colocando a la derecha de cada variación monaria cada uno de los elementos del conjunto formado por esos n elementos. Después se forman las variaciones ternarias colocando a la derecha de cada variación binaria cada uno de los elementos del conjunto, y así sucesivamente. Ejemplos: 1. Formemos las variaciones con repetición de los elementos a, b, c y d tomados de 2 en 2: Variaciones monarias: a aa ba  Variaciones binarias:  ca da

b

c

d

ab

ac

ad

bb cb db

bc cc dc

bd cd dd

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⇒

VR 14 = 41 = 4

⇒

VR 24 = 42 = 16

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2. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 2 cartas de una baraja de 40 cartas, si tras sacar la primera ésta se devuelve a la baraja (con remplazamiento)? La primera se puede elegir de 40 maneras. La segunda, al poder repetir, también se puede elegir de 40 maneras. En total hay 40 · 40 = 1600 formas. Ejercicio 5: ¿Cuántos números de tres cifras (no necesariamente distintas) pueden formarse con los dígitos 1, 6, 7, 8, 9? Solución: 125 números.

2.2. Permutaciones con elementos repetidos Las permutaciones con repetición de n elementos de los cuales hay un cierto número n1 iguales, otro número n2 iguales entre sí pero distintos de los anteriores, etc..., son cada una de las distintas maneras de ordenarlos. Por tanto, dos cualesquiera se distinguirán, cuando menos, por el lugar que ocupan dos elementos distintos. Los grupos aaab y aaba sirven como ejemplo de permutaciones distintas formadas por cuatro elementos, de los cuales tres son iguales entre sí. Si queremos calcular el número de permutaciones de n elementos de los cuáles hay n1 de una clase, n2 de otra, etc... de modo que n1 + n2 + ... + n r = n, supongamos que tenemos formado el cuadro con todas ellas. Si sustituimos los n1 elementos iguales por otros distintos y luego los permutamos de todos los modos posibles conservando en sus puestos a los otros (n – n1) elementos, de cada grupo de este cuadro se obtendrán n1! grupos distintos. Si procedemos de igual modo con los n2 elementos también iguales entre sí (aunque distintos de los anteriores y así sucesivamente, al final llegamos a que el número de permutaciones con repetición es: n , n2 ,..., n r

P n1

=

n! n1 !· n2 !·...· n r !

Ejemplo: Con las letras A, A, A, B y B,¿cuántas palabras, con o sin sentido, pueden formarse? La A se repite 3 veces y la letra B se repite 2 veces, y en total hay 5 letras. As í el número total de palabras son: 5! 5· 4·3·2·1 5·4 P 3,2 = = = 10 5 = 3!·2! 3·2·1 · 2·1 2 Dichas palabras serían: AAABB, AABAB, AABBA, ABAAB, ABABA, ABBAA, BAAAB, BAABA, BABAA y BBAAA.

Ejercicio 6: Con 5 signos + y 3 signos –, ¿cuántas cadenas de símbolos se pueden formar? Solución: 56

2.3. Combinaciones con repetición Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que: • En cada grupo entren k elementos, repetidos o no. • Dos grupos son iguales si tienen los mismos elementos, sin importar su orden de colocación. Se representan por CR kn . 8 / 16

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Nota: En el caso de las combinaciones con repetición, k puede ser mayor que n. El número de combinaciones con repetición se calcula a partir de la expresión:  n + k − 1 CR kn =    k  Ejemplo: Las combinaciones con repetición de las letras A, B, C y D tomadas de 3 en 3 son:  4 + 3 − 1  6  CR 36 =   =   = 20  3   3 Dichas combinaciones serían: ABC, ABD, ACD, BCD, AAA, AAB, AAC, AAD, BBA, BBB, BBC, BBD, CCA, CCB, CCC, CCD, DDA, DDB, DDC y DDD. Ejercicio 7: ¿Cuántos productos de cuatro factores escogidos entre los tres primeros números primos se pueden formar?  6 Solución: CR 34 =   = 15.  4

3. CUADRO RESUMEN La siguiente tabla resume los distintos tipos de configuraciones vistas: Tipos de configuraciones Variaciones ordinarias Variaciones con repetición

Características • Importa el orden. • No pueden repetirse los elementos.

Número V kn = n · (n – 1) · ... · (n – k + 1)

• Importa el orden.

VR kn = n k

• Sí pueden repetirse los elementos. • Importa el orden.

Permutaciones ordinarias

• Intervienen todos los elementos.

Pn = n !

• No pueden repetirse los elementos. • Importa el orden.

Permutaciones con repetición Combinaciones ordinarias Combinaciones con repetición

• Intervienen todos los elementos. • Existen elementos iguales entre sí. • No importa el orden. • No pueden repetirse los elementos. • No importa el orden. • Sí pueden repetirse los elementos.

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n , n2 ,..., n r

P n1

=

n! n1 !· n2 !·...· n r !

n C kn =   k   n + k − 1 CR kn =    k 

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4. PRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE COMBINATORIA Para caracterizar las agrupaciones por las que se nos pregunta en un problema, debemos saber contestar a estas cuatro preguntas clave: • • • •

¿Cuántos elementos tiene el conjunto base con los que se hacen las agrupaciones? Cuál es el tamaño de las agrupaciones? En cada agrupación ¿se pueden repetir o no los elementos? ¿Influye el orden en el que están colocados los elementos en cada agrupación?

Así si contestamos de manera correcta a esta cuatro preguntas, podremos resolver cualquier problema. Aquí tienes un diagrama que te ayudará:

¿Importa el orden de colocación de los elementos? SÍ

NO

¿Intervienen todos los elementos en todas las agrupaciones?

¿Pueden repetirse los elementos?

SÍ

NO

¿Hay elementos iguales entre sí? SÍ Permutaciones con repetición

SÍ

¿Pueden repetirse los elementos? NO

Permutaciones ordinarias

SÍ

Combinaciones con repetición

NO

Combinaciones ordinarias

NO

Variaciones con repetición

Variaciones ordinarias

Ejercicio 8: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4 y 5?? Solución: 64

Ejercicio 9: ¿Cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar con las vocales a y e y las consonantes b, m y p? Solución: 60

Ejercicio 10: ¿Cuántos números de tres cifras distintas, formados con los dígitos 3, 5, 7 y 9, hay entre 500 y 800? Solución: 12

Ejercicio 11: ¿Cuántos Números de 6 cifras son capicúas? ¿Y de 5?? Solución: 919; 919

Ejercicio 12: ¿De cuántas formas se puede elegir una comisión de tres alumnos entre los 27 que forman el grupo 1º B? Solución: 2925

Ejercicio 13: ¿De cuántas maneras se pueden extraer 2 bolas rojas y tres verdes de una urna que contiene 15 bolas rojas y 12 verdes? Solución: 23100

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Ejercicio 14: ¿ Si el número de subconjuntos de 2 elementos que tiene el conjunto B es 10,¿cuántos elementos tiene el conjunto B? Solución: 5

Ejercicio 15: ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 10 chicos en un banco? Solución: 3628800

Ejercicio 16: ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra PERMUTACIÓN, sin que se repita ninguna letra? ¿Cuántas empiezan por E y terminan en ON? Solución: 39916800; 40320

Ejercicio 17: En un torneo participan 4 equipos. Forma todas las clasificaciones posibles del torneo. Solución: 24

Ejercicio 18: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? Solución: 24

Ejercicio 19: Con las cifras 6, 7, 8 y 9, ¿cuántos números de 6 cifras se pueden formar? ¿Cuántos de ellos terminan en 6? ¿Cuántos de ellos son mayores de 750000? Solución: 4096; 1024; 3072

Ejercicio 20: ¿Cuántas palabras pueden formarse con todas las letras de ELOISA sin que haya dos consonantes juntas? Solución: 480

Ejercicio 21: ¿Cuántas palabras de cinco letras pueden formarse con las vocales A y E y las consonantes B, C y D, de forma que las vocales ocupen los lugares 2º y 4º de la palabra? Solución: 108

Ejercicio 22: ¿Cuántos helados diferentes de 2 bolas se pueden formar con 10 sabores distintos? Solución: 55

4. NÚMEROS COMBINATORIOS. TRIÁNGULO DE TARTAGLIA. BINOMIO DE NEWTON 4.1. Propiedades de los números combinatorios n n a) Para cualquier número natural n, se cumple:   =   = 1 0 n n  n  b) Para cualquier número natural n, se cumple:   =  =n  1   n − 1 n  n  c) Para cualesquiera números naturales n y k, tales que k ≤ n, se cumple:   =   k  n−k   n   n   n + 1 d) Para cualesquiera números naturales n y k, tales que k < n, se cumple:   +  =   k   k + 1  k + 1

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4.2. Triángulo de Tartaglia Es una tabla que contiene en cada fila todos los números combinatorios con al mismo índice superior, empezando por n = 0. Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

Fila n

 0    0  1   1      0   1  2  2  2       0 1  2  3  3  3   3          0 1  2   3  4  4  4  4  4           0 1  2  3  4 ⋮ n n  n  n     ················     0 1  n − 1  n 

1 1 1

1 2

1

⇒ 1 1

3 4

3 6

1 4

1

⋮

Veremos a continuación una aplicación práctica del triángulo de Tartaglia para obtener los coeficientes del desarrollo del Binomio de Newton, que son números combinatorios. 4.3. Binomio de Newton El problema consiste en calcular el desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio, (a + b)n, siendo n cualquier número natural. Utilizando las propiedades de las operaciones con expresiones algebraicas, obtenemos el desarrollo para los primeros valores de n:

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

(a + b)1 = (a + b)2 = (a + b)3 = (a + b)4 = (a + b)5 =

Desarrollo a+b 2 a + 2ab + b2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 4 a + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Coeficientes 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Todas las potencies de (a + b)n tienen las siguientes características: • • • • • •

El número de términos de (a + b)n es (n + 1). Cada término es el producto del coeficiente, una potencia de a y otra potencia de b. Todos los términos del desarrollo tienen igual grado. Los coeficientes son los elementos de la fila n-ésima del triángulo de Tartaglia. Los exponentes de a disminuyen de uno en uno, desde n hasta 0. Los exponentes de b aumentan de uno en uno, desde 0 hasta n.

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Puede demostrarse que estas características se cumplen en cualquier potencia del tipo (a + b)n, para n natural, por lo que en general: n n n  n  1 n – 1 n 0 n (a + b)n =   anb0 +   an – 1b1 +   an – 2b2 + ⋯ +  +  ab  ab 0 1  2  n − 1 n Esta expresión se conoce como Binomio de Newton. Nota: Para obtener el desarrollo de (a – b)n basta considerar que (a – b) = a + (–b). Luego: n (a – b)n =   anb0 – 0

n n – 1 1   a b + 1

n n – 2 2 n–1   a b + ⋯ + (–1)  2

 n  1 n–1 + (–1)n   ab  n − 1

n 0 n   ab n

4.4. Números combinatorios y factoriales en la calculadora Las calculadoras científicas poseen algunas teclas útiles para el cálculo de factoriales y números combinatorios. Para el factorial, se utiliza la tecla !, que suele encontrarse sobre alguna otra tecla, por lo que al utilizarla habrá que presionar antes la tecla SHIFT (o INV). Dado que los factoriales crecen a una velocidad enorme, un calculadora normal sólo puede calcular hasta el factorial de 69, y ya si pretendemos calcular 70!, se produce un mensaje de error. Observemos que un número tan inofensivo como 13! ya tiene un valor de 6.227.020.800. Para el caso de los números combinatorios, algunas calculadoras poseen una función para calcularlos. Suele estar situada sobre la tecla de la división (depende mucho del modelo de calculadora). Dicha función es nCr n  5 y calcula el número combinatorio   , de modo que si queremos calcular   , basta con introducir r  3 el 5, luego SHIFT (o INV), posteriormente el 3 y luego presionar la tecla de = para obtener 10. (Ya lo habíamos calculado antes). Evidentemente si alguna de estas funciones tiene una tecla propia en la calculadora, es decir, no está encima de otra, no es necesario presionar la tecla SHIFT (o INV) para operar con ella.

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Estadística Aplicada

Tema 4

EJERCICIOS 1. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? a) Sin que se repita ninguno. b) Pudiendo repetir cifras. Solución: a) 3024; b) 6561

2. Con los siete primeros números, ¿cuántas sumas diferentes de tres sumandos distintos podemos hacer? Solución: 35

3. Una línea circular de autobuses consta de 17 paradas. ¿Cuántos billetes tienen que imprimirse si cada uno debe llevar la parada de origen y la de destino? Solución: 272

4. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 personas en un banco alargado? ¿Y en un banco circular? Solución: 40320; 5040

5. El dominó es un juego que consta de 28 fichas; suelen participar 4 jugadores diferentes que reciben 7 fichas cada uno. ¿Cuántos juegos de fichas diferentes puede tener cada jugador? Solución: 1184040

6. En un examen hay que contestar 8 preguntas entre las 16 propuestas. ¿Cuántas contestaciones diferentes podrían darse? Solución: 12870

7. a) ¿Cuántas banderas de 4 colores se pueden hacer con los siete colores del arco iris? b) ¿Y si en todas debe estar el color rojo? c) ¿Cuántas hay con el color verde, pero no con el color negro? Solución: a) 840; b) 480; c) 240

8. Se extraen 4 cartas de una baraja de 40, sin reemplazamiento. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse? ¿Y si fuera con reemplazamiento? Solución: 2193360; 2560000

9. Con los números pares 2, 4, 6 y 8 y con el número impar 5: a) ¿Cuántos números de 4 cifras se puede formar? b) ¿Cuántos son de cuatro cifras distintas? c) Cuántos comienzan por 5? d) ¿Cuántos son mayores de 7000? Solución: a)625; b)120; c)125; d)125

10. ¿Cuántos equipos de fútbol se pueden formar con los alumnos de una clase de 30? ¿Y si dos de ellos sólo actúan de porteros? Solución: 54627300; 26246220

11. Con las letras de la palabra ALUMNO, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer, de modo que no aparezcan dos vocales juntas? ¿Cuántas tienen dos consonantes juntas? Solución: 144; 72

12. ¿Cuántas rectas pueden trazarse uniendo 20 puntos de un mismo plano y tales que no haya ningún grupo de tres que estén alineados? Solución: 190

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Estadística Aplicada

Tema 4

13. En la final de 100 metros espalda de natación participaron 8 nadadores. a) ¿De cuántas formas pudo formarse el podio? b) Si hay 2 alemanes, 2 norteamericanos, 1 chino, 1 ruso, 1 australiano y 1 inglés, ¿Cuántos grupos de banderas pudieron izarse? c) ¿Y si ganaron tres países distintos? Solución: a) 336; b) 150; c) 120

14. ¿Cuántas quinielas pueden hacerse con seis 1, tres X y seis 2? Solución: 420420

15. Se tiene 8 libros distintos grandes, 7 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño? Solución: 7315660800

16. En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos dos veces (ida y vuelta). ¿Cuántos partidos se habrán jugado al final de la misma?. Solución: 380 partidos

17. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5: a) ¿cuántos números de cinco cifras, sin repetición, se pueden formar?[120 números] b) ¿Cuántos de esos números empiezan por 1? c) ¿Cuántos terminan en 5? d) ¿Cuántos empiezan por 1 y acaban en 5? e) ¿Cuántos son pares? f) ¿Cuántos son múltiplos de 5? g) ¿Cuántos son mayores que 20000? Solución: a) 120 ; b) 24 ; c) 24 ; d) 6 ; e) 48 ; f) 24 ; g) 96

18. Un club de baloncesto dispone de 10 jugadores de los cuales juegan 5 a la vez. ¿Cuántos equipos distintos de 5 jugadores pueden sacar el entrenador para cada partido? Solución: 252 equipos

19. Con las letras de la palabra CINEMA: a) ¿Cuántas palabras distintas de 6 letras, tengan sentido o no, se pueden formar? b) ¿Cuántas terminan en A? c) ¿Cuántas empiezan con N? d) ¿Cuántas empiezan con C y terminan en I? e) ¿Cuántas empiezan con vocal? f) ¿Cuántas tienen vocal y consonante alternadas? Solución: a) 720 ; b) 120 ; c) 120 ; d) 24 ; e) 360 f) 72

20. Siete chicos e igual número de chicas quieren formar pareja para el baile. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar? Solución: 91 parejas

21. Si las matrículas de vehículos estuviesen formadas por un número de cuatro dígitos y de dos letras, sin repetirse ninguna (abecedario de 28). ¿Cuántas matrículas distintas se pueden formar? Solución: 7560000

22. Suponiendo que existiera 100 elementos distintos en la naturaleza y que cada sustancia estuviese formada por 3 exclusivamente. ¿Cuántas sustancias distintas tendríamos? Solución: 161700 sustancias

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Estadística Aplicada

Tema 4

23. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿cuántos números de tres cifras se pueden hacer? Solución: 343

24. Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres franjas horizontales de igual ancho pero de distinto color. a) ¿Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido? b) ¿Y si se puede repetir los colores? Solución: a) 210 ; b) 343

25. Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0. ¿Cuántas combinaciones pueden darse? Solución: 32

26. a)¿Cuántas quinielas de 14 hay que hacer que tengan cinco 1, cinco 2 y cuatro X? b) ¿Cuántas que tengan trece 1 y una X? Solución: a) 252252 ; b) 14

27. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra CALABAZA? Solución: 1680

28. En una carrera participan cinco coches. ¿Cuántas clasificaciones se pueden producir al final, si cada uno de los coches emplean distintos tiempos? Solución: 120

29. Resolver la ecuación: C 7x = C 7x + 3 Solución: x = 2

30. ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres chicos y tres chicas en fila, alternadamente. Solución: 72

31. Un estudiante tiene que resolver ocho cuestiones de doce en un examen. a) ¿De cuántas maneras puede elegirlas? b) ¿Y si las tres primeras son obligatorias? c) ¿Y si tiene que contestar sólo a tres de las cinco primeras? Solución: a) 495 ; b) 126 ; c) 210

32. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro amigos en una mesa de seis cubiertos? Solución: 360

33. De cuántas formas pueden repartirse siete libros entre siete niños si: a) Los libros son distintos. b) Hay cuatro libros iguales y el resto distintos. c) Los libros son todos distintos y queremos que a Juan le toque el de novelas y a Pedro el libro de cuentos. Solución: a) 5040 ; b) 210 ; c) 120

34. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera? Solución: 24

35. En una cafetería hay 4 tipos de bocadillos para comer. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir seis bocadillos de entre los 4 tipos? Solución: 84

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