Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Arithmetische Progressionen von Primzahlen

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Sei N := {1, 2, 3, . . . } die Menge der nat¨ urlichen Zahlen. Definition Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl > 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, . . . , 232582657 − 1, . . .

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Sei N := {1, 2, 3, . . . } die Menge der nat¨ urlichen Zahlen. Definition Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl > 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, . . . , 232582657 − 1, . . . Theorem (Eindeutige Primfaktorzerlegung) urliche Zahl l¨asst sich als Produkt von Primzahlen Jede nat¨ schreiben, und diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar: 1 1 1 1 + + + + ··· = 2 3 5 7

X p Primzahl

1 divergiert. p

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar: 1 1 1 1 + + + + ··· = 2 3 5 7

X p Primzahl

1 divergiert. p

Viele andere Fragen u ¨ber die Struktur der Menge der Primzahlen sind offen, zum Beispiel Vermutung Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Primzahlen p, so dass auch p + 2 eine Primzahl ist.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Definition Eine arithmetische Progression von Primzahlen der L¨ange k ist eine Folge p1 , p2 , . . . , pk von Primzahlen, derart dass je zwei aufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstand haben: p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1 6= 0

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Definition Eine arithmetische Progression von Primzahlen der L¨ange k ist eine Folge p1 , p2 , . . . , pk von Primzahlen, derart dass je zwei aufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstand haben: p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1 6= 0 Beispiel 5, 11, 17, 23, 29 (L¨ange 5, Abstand 6) 5 + 12 · i,

i = 0, 1, . . . , 4.

56.211.383.760.397 + 44.546.738.095.860i, i = 0, 1, . . . , 22 (M. Frind, P. Jobling, P. Underwood 2004)

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100 101 102 103 104 105 106 107 108

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Theorem (Green, Tao 2004) urlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetische Zu jeder nat¨ Progressionen von Primzahlen der L¨ange k.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Theorem (Green, Tao 2004) urlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetische Zu jeder nat¨ Progressionen von Primzahlen der L¨ange k. Vorher bekannte Resultate: van der Corput 1939: Es gibt unendlich viele arithmetische Progressionen von Primzahlen der L¨ange 3.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Offensichtliche Einschr¨ ankungen: Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der L¨ange k, mit Abstand r , so gilt Alle Primzahlen < k teilen r .

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Offensichtliche Einschr¨ ankungen: Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der L¨ange k, mit Abstand r , so gilt Alle Primzahlen < k teilen r . Beispiel (k=23) r ≥ 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 223.092.870 Frind, Jobling, Underwood: r = 44.546.738.095.860

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Offensichtliche Einschr¨ ankungen: Ist p, p + r , . . . , p + (k − 1)r eine AP von Primzahlen der L¨ange k, mit Abstand r , so gilt Alle Primzahlen < k teilen r . Beispiel (k=23) r ≥ 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 223.092.870 Frind, Jobling, Underwood: r = 44.546.738.095.860 Absch¨atzung nach oben Green, Tao: m¨oglich ist p + (k − 1)r ≤

2 22

22

22

100k

Vermutung: m¨oglich ist p + (k − 1)r ≤ k! + 1, f¨ ur k = 23: 23! + 1 = 25.852.016.738.884.976.640.001

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der Primzahlsatz Sei π(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|. 20

17.5

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0 0

10

20

30

40

50

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der Primzahlsatz Sei π(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|. 1.2 · 104

1 · 104

8 · 103

6 · 103

4 · 103

2 · 103

0 0

2 · 104

4 · 104

6 · 104

8 · 104

1 · 105

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der Primzahlsatz Sei π(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|. 1.2 · 104

1 · 104

8 · 103

6 · 103

4 · 103

2 · 103

0 0

2 · 104

4 · 104

6 · 104

8 · 104

1 · 105

Theorem (Hadamard, de la Vall´ee-Poussin 1896) x π(x) ∼ . log x

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der Primzahlsatz Sei π(x) = |{p ∈ N; p Primzahl, p ≤ x}|. 1.2 · 104

1 · 104

8 · 103

6 · 103

4 · 103

2 · 103

0 0

2 · 104

4 · 104

6 · 104

8 · 104

1 · 105

Theorem (Hadamard, de la Vall´ee-Poussin 1896) x π(x) ∼ . log x

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Hardy-Littlewood-Vermutung

Wir k¨onnen den Primzahlsatz benutzen, um eine heuristische ¨ Uberlegung durchzuf¨ uhren, wie viele arithmetische Progressionen von Primzahlen wir erwarten sollten.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Hardy-Littlewood-Vermutung

Wir k¨onnen den Primzahlsatz benutzen, um eine heuristische ¨ Uberlegung durchzuf¨ uhren, wie viele arithmetische Progressionen von Primzahlen wir erwarten sollten. “Wahrscheinlichkeit”, dass x ∈ {1, 2, . . . , N} prim ist:

1 log (N)

Sei 1 ≤ r ≤ N. Wir k¨onnen hoffen, dass die Ereignisse, dass x bzw. x + r prim sind, im wesentlichen unabh¨angig sind, also

P(x prim und x + r prim) = P(x prim)P(x + r prim) =

1 . log(N)2

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Wir f¨ uhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und den Abstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass f¨ ur x, r im Bereich {1, 2, . . . , N} ungef¨ahr N2 log(N)k arithmetische Progressionen von Primzahlen der L¨ange k existieren sollten.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Wir f¨ uhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und den Abstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass f¨ ur x, r im Bereich {1, 2, . . . , N} ungef¨ahr N2 log(N)k arithmetische Progressionen von Primzahlen der L¨ange k existieren sollten. Diese Argumentation ist offensichtlich zu naiv: wir haben schon gesehen, dass r von allen Primzahlen ≤ k geteilt werden muss.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Wir f¨ uhren das fort, lassen außerdem den Startpunkt x und den Abstand r variieren, und erhalten heuristisch, dass f¨ ur x, r im Bereich {1, 2, . . . , N} ungef¨ahr N2 log(N)k arithmetische Progressionen von Primzahlen der L¨ange k existieren sollten. Diese Argumentation ist offensichtlich zu naiv: wir haben schon gesehen, dass r von allen Primzahlen ≤ k geteilt werden muss. Vermutung (Hardy, Littlewood 1923) F¨ ur alle k gilt |{AP von PZ der L¨ange k mit Startpkt., Abstand in {1, . . . , N}}| =

γk N 2 (1 + o(1)). log(N)k

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Vermutung von Erd¨os und Tur´an Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen, kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine Teilmenge A ⊆ N arithmetische Progressionen beliebiger L¨ange enthalten muss.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Vermutung von Erd¨os und Tur´an Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen, kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine Teilmenge A ⊆ N arithmetische Progressionen beliebiger L¨ange enthalten muss. Vermutung (Erd¨os, Tur´an 1936) Ist A ⊆ N eine Teilmenge, so dass X1 a∈A

a

divergiert,

dann enth¨alt A arithmetische Progressionen beliebiger L¨ange.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der Satz von Szemer´edi

Theorem (Szemer´edi 1975) Sei A ⊆ N eine Teilmenge mit positiver oberer Dichte, d. h. lim sup N→∞

|A ∩ [1, N]| >0 N

Dann enth¨alt A arithmetische Progressionen beliebiger L¨ange. Allerdings ist die Dichte von {p Primzahl} ⊂ N gleich 0.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Furstenbergs Beweis

Theorem (Furstenberg 1977) Sei (X , B, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, T : X −→ X eine maßerhaltende Abbildung, d. h. µ(T −1 (M)) = µ(M) f¨ ur alle M ∈ B. Seien A ∈ B mit µ(A) > 0 und k ∈ N. Dann existiert n ∈ N, so dass k−1 \

µ(

j=0

T −jn A) > 0.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Wende dies an wie folgt: Sei Λ ⊆ Z eine Teilmenge mit positiver Dichte. Definiere T : P(Z) −→ P(Z) durch TM := {n ∈ Z; n + 1 ∈ M}. Sei X der Abschluss von {T n Λ; n ∈ Z} in P(Z), sei A = {M ∈ X ; 0 ∈ M}. Definiere ein T -invariantes Maß µ auf X mit µ(A) > 0 und folgere k−1 \ n0 T Λ∈ T −jn A j=0

f¨ ur n, n0 geeignet.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der schwach mischende Fall Bernoulli-System: Seien p1 , . . . , pr ∈ R≥0 mit

Pr

i=1 pi

= 1.

Betrachte (X , B, µ, T ) gegeben durch X = {(ωi )i∈Z ; ωi ∈ {1, 2, . . . , r }}, B die kleinste σ-Algebra, so dass alle Abb. (ωi )i 7→ ωi0 messbar sind, µ das Produktmaß µ(ωi1 = j1 , ωi2 = j2 , . . . , ωin = jn ) = pj1 · · · pjn . T ((ωi )i ) = (ωi+1 )i .

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Satz Sei (X , B, µ, T ) ein Bernoulli-System, und seien A0 , . . . , Ak ∈ B. Dann gilt lim µ(A0 ∩ T −n A1 ∩ · · · ∩ T −kn Ak ) = µ(A0 )µ(A1 ) · · · µ(Ak ).

n→∞

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Der kompakte Fall

Sei X = R/Z, B die Borel-σ-Algebra und µ das vom Lebesgue-Maß auf R induzierte W-Maß auf X . Sei T : X −→ X gegeben durch x 7→ x + α, α ∈ R. Satz In dieser Situation gilt f¨ ur alle k ≥ 1: lim inf N→∞

N 1 X µ(A ∩ T −n A ∩ · · · ∩ T −kn A) > 0. N n=1

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Umformulierung von Szemer´edis Satz Identifiziere {1, . . . , N} = Z/N. F¨ ur eine Funktion f : Z/N −→ R und A ⊆ Z/N setze 1 X f (n). E (f (n)|n ∈ A) = |A| n∈A

Theorem (Szemer´edi) Sei k ≥ 3, 0 < δ ≤ 1, und sei N ≥ 1 eine Primzahl. Sei f : Z/N −→ R mit 0 ≤ f (n) ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ Z/N, und E (f (n)|n ∈ Z/N) ≥ δ. Dann gilt E (f (n)f (n + r ) · · · f (n + (k − 1)r )|n, r ∈ Z/N) ≥ c(k, δ) − oδ (1).

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Idee von Green und Tao Finde P ⊆ A ⊆ N, so dass P in A relative Dichte > 0 hat, und dass A so beschaffen ist, dass Szemer´edis Satz auch f¨ ur Teilmengen von A gilt.

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Die Idee von Green und Tao Finde P ⊆ A ⊆ N, so dass P in A relative Dichte > 0 hat, und dass A so beschaffen ist, dass Szemer´edis Satz auch f¨ ur Teilmengen von A gilt. 1. Schritt: Verallgemeinere den Satz von Szemer´edi. Theorem (Green, Tao) Sei k ≥ 3, 0 < δ ≤ 1. Sei ν : Z/N −→ R≥0 eine k-Pseudozufallsdichte. Sei f : Z/N −→ R≥0 , so dass 0 ≤ f (n) ≤ ν(n) f¨ ur alle n ∈ Z/N, und E (f (n)|n ∈ Z/N) ≥ δ. Dann gilt E (f (n)f (n + r ) · · · f (n + (k − 1)r )|n, r ∈ Z/N) ≥ c(k, δ) − oδ,ν (1).

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Pseudo-Zufallsdichten Definition Eine k-Pseudozufallsdichte ist eine Familie von Funktionen νN : Z/N −→ R≥0 ,

N∈N

die eine “Linearformenbedingung” und eine “Korrelationsbedingung” erf¨ ullen. Beispiel (Konsequenzen der Linearformenbedingung) E (ν) = 1 + o(1) E (ν(x)ν(x + h1 )ν(x + h2 )ν(x + h1 + h2 )|x, h1 , h2 ∈ Z/N) = 1 + o(1)

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung auf die Primzahlen Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =

Q

p∈P p≤w (N)

p, k =

1 . 2k (k+4)!

von Mangoldt-Funktion  log p wenn n = p r , p prim, Λ(n) = 0 sonst.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung auf die Primzahlen Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =

Q

p∈P p≤w (N)

p, k =

1 . 2k (k+4)!

von Mangoldt-Funktion  log p wenn n = p r , p prim, Λ(n) = 0 sonst. W-Trick  e Λ(n) =

φ(W ) W

log(Wn + 1) wenn Wn + 1 prim, 0 sonst.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung auf die Primzahlen Seien k ≥ 1, N ∈ N, W =

Q

p∈P p≤w (N)

p, k =

1 . 2k (k+4)!

von Mangoldt-Funktion  log p wenn n = p r , p prim, Λ(n) = 0 sonst. W-Trick  e Λ(n) =

 f (n) =

φ(W ) W

log(Wn + 1) wenn Wn + 1 prim, 0 sonst.

e k −1 2−k−5 Λ(n) wenn k N ≤ n ≤ 2k N, 0 sonst.

Anwendung

Primzahlen

Primzahlsatz

Satz von Szemer´ edi

Verallg. von Green/Tao

Anwendung

Es gilt Λ(n) =

X

µ(d) log(n/d).

d|n

Definiere abgeschnittene Version von Λ (nach Goldston, Yildirim): X ΛR (n) = µ(d) log(R/d). d|n d≤R

Theorem Seien R = N k

−1 2−k−4

( ν(n) :=

und k =

1 . 2k (k+4)!

φ(W ) ΛR (Wn+1)2 W log R

1

Definiere

wenn k N ≤ n ≤ 2k N, sonst.

Dann ist ν eine k-Pseudozufallsdichte, die f majorisiert.