Supraleitung – interaktiv 1

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weiß nicht

haben d-Wellen:

L=0

L=1

L=2

Entropie ist:

dF/dT

-dF/dT

T dF/dT

Spez. Wärmekapazität C ist:

T dS/dT

dQ/dT

-T d2F/dT2

Debye-Temperatur < 100K haben

Hg

Pb

Al

SL 2. Art haben

Zwischenzust. gemischten Z. Meißner-Z.

Spez. Wärme der e- im NL ist

∝T

∝ T2

∝T3

Gliederung 2.2 2.2. Supraflüssigkeit 2.2.1. Einführung 

2.2.1.1. Elektronenpaare 2.2.1.2. Kohärenter Zustand ✔

2.2.2. London-Theorie

 2.2.2.1. Reaktion auf E-Feld

2.2.2.2. Reaktion auf B-Feld 2.2.2.3. Meissner-Ochsenfeld-Effekt 2.2.2.4. Flussquantisierung

2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 2.2.4. Josephson-Effekte 2.3. Mikroskopische Theorie

2.2.2 London-Theorie •



gilt für schwache E − und B − Felder

• d. h. nPaare soll sich nicht ändern "Starrheit der Wellenfunktion" (F. London)

• daraus folgt: Meissner-Ochsenfeld-Effekt •


zur Vorbereitung: E − Feld anlegen!

2.2.2.1 Reaktion auf E-Feld
• sei E ∝ e − iωt Wechselfeld

• Newton:



 m p vs = q E

Paar- Masse mp=2me

Paare sind reibungsfrei

Paar- Ladung q = -2e Geschwindigkeit der Supraflüssigkeit



• Fourier-Trafo: −iω m p vs = q E
ns q2

E • Stromdichte: js = n s q vs = i mpω ns ≡ nPaare σs(ω) Dichte der Supraflüssigkeit

• Ergebnis:

ns q2 σs (ω) = i mpω

d. h. Drude-Formel für ωτ
1

2.2.2.1 E-Feld

Diskussion: Im(σ)

ns q2 σs (ω) = i mpω

• Faktor i: 90° Phasenverschiebung • induktive Reaktion

ω

• nur für ω → 0 geht wirklich σ → ∞ j ≠0 σ • ⇒ Strom der Normalflüssigkeit:

• für ω > 0 bleibt E =



jn = σ n E




ns q2
jgesamt = jn + js = (σ n + i )E mpω "1. London - Gleichung"

σgesamt(ω) komplexe Leitfähigkeit des SL

2.2.2.2 Reaktion auf B-Felder
Magnetfeld erzeugt Abschirmströme, d. h. setzt Paare in Bewegung: vs = ? Schwerpunkts-WF sei ∝ e



ik S rS

ebene Welle



ik
S
rS
ik
S
rS  k S ist EW des Impulsoperators: −i ∇ e =  kS e
 kS

d. h. QM

dann ist für B=0: d. h. Stromdichte:

↔


p kanonisch


k S
vs = mp

klassisch




2 k S js = q p n s vs = q p Ψ mp siehe letztesmal

mP ≡ 2 me qP ≡ –2 e

2.2.2.2 B-Feld

Stromdichte im Magnetfeld: / / /

Magnetfeld B hat Vektorpotenzial A so dass B = ∇ × A / / "London - Eichung" ∇⋅A = 0 hier soll gelten: dann wird klassisch:




p kanonisch = m p vs + q p A

kinetischer Impuls


bzw. vs =



p kanonisch − q p A mp

Feldimpuls

Anmerkung: Feldimpuls führt auf Lorentzkraft Hamilton - Jacobi - Formalismus, Schwabl Anhang B

entsprechend mit Impuls aus QM:

 kS − qp A
bzw. vs = mp


ns qp

js = ( k S − q p A) mp

2.2.2.2 B-Feld

verallgemeinerte Herleitung aus QM: Schwabl Kap. 2.7

(

• 1 Paar: • alle Paare: • mit

G 2 2 G G G G =q p q (r) Φ G G G G p * * j1 = −i A Φ (r)∇Φ (r) − Φ (r)∇Φ (r) − 2m p mp / / js = N Paare ⋅ j1

)

QM Stromdichte

/ / Ψ (r) = N Paare ⋅ Φ (r) :

G 2 2 G G G G =q p q Ψ (r) G G G G p * * ⇒ js = −i Ψ (r)∇Ψ (r) − Ψ (r)∇Ψ (r) − A 2m p mp / / / / / / iθ( /r ) iθ ( r ) z.B. θ(r) = k ⋅ r Ψ (r) ≡ Ψ (r) ⋅ e = ns ⋅ e :

(

• sei jetzt

)

/ / / ⇒ ∇Ψ = (∇ n s ) ⋅ eiθ + n s ⋅ eiθ ⋅ i∇θ / / / Ψ *∇Ψ = n s ∇ n s + n s ⋅ i∇θ

/ / / / / / * / Ψ (r)∇Ψ (r) − Ψ (r)∇Ψ (r) = 2i n s ⋅∇θ *

Produktregel+Kettenregel / k


nsq p

⇒ js = (  ∇θ − q p A ) mp

OK

2.2.2.2 B-Feld

Supraleiter ohne Transportstrom:

für B = 0 sei der SL stromlos: ∇θ = 0



"Starrheit der WF": auch für B ≠ 0 bleibt ∇θ = 0 unverändert

⇒

G ns qp G G n s q p2
js = (= ∇θ − q p A) = − A mp mp "diamagnetischer Strom"

bzw.



n s q p2
∇ × js = − B mp "2. London - Gleichung"

ns ≈ const

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld-Effekt

n s q p2
∇ × js = − B mp

• 2. London:
∇×

• Ampère:




∇ × B = µ 0 js

/ / / / / n s q p2 / einsetzen: ∇ × ∇ × B = µ 0 ∇ × js = − µ 0 B mp G G JG G 2 JG ∇ ⋅ (∇ ⋅ B) − ∇ B =0

G 2 JG n s q p2 G ⇒ ∇ B = µ0 B mp Poisson - Gl. lösen mit Randbedingung!

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld

Lösung für SL Halbraum: • Lösungsansatz:

Bz Ba


B ∝ e−x / λ

SL Bi Ba/e

• einsetzen in Poissongl.: n s q p2  1
 B = µ0 B 2 mp λ

λ

• d. h. Ansatz löst die Dgl, falls: λL =

mp µ0 n s q

2 p

Londonsche Eindringtiefe

λL ≈ 100 nm

• Makroskopische Probe: Inneres praktisch feldfrei, d. h. Meissnereffekt

x

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld

Stromdichte für SL Halbraum: • Berechnung durch Ampère: / 1 / / js = ∇×B µ0 • für Halbraum: jy = −

1 ∂ Bz B B = z = a e− x / λ µ0 ∂ x µ0λ µ0λ

-jy j0

SL

j0/e

λ

x

• auch Ströme nur nahe der Oberfläche! • Konsequenz: falls Ba = const., so auch j = const.

⇒ Dauerströme!

Paare müssen sich dauernd bewegen, damit ihr kinetischer Impuls den Feldimpuls kompensiert

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld

Messung der Eindringtiefe: • kleine Kugeln (∼ µm∅ ):

Integrator

• Spule als Dünnfilm auf makroskopische Probe aufdampfen:

SL

misst Magnetisierung der λ-Schicht

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld

weitere Messmethoden: • HF-Resonator:

Resonanzfrequenz messen

• Gegeninduktivitätsmessung:

Abschirmwirkung ist Maß für Eindringtiefe

2.2.2.3 Meissner-Ochsenfeld

Temperaturabhängigkeit der Eindringtiefe: λL =

mp µ 0 n s (T) q p2

hängt über ns(T) von der Temperatur ab

Messergebnis für Sn:

bei Tc geht ns → 0 ⇒ λ → ∞