Gliederung Was ist eine Schr¨ odinger Katze? Realisierung mit Ionen Realisierung mit Photonenfeldern Zerfall Wignerfunktion
Schr¨odinger Katzen und Messung von Photonenfeldern Ruth Knobelspies Universit¨ at Ulm
9. Juli 2009
Ruth Knobelspies
Schr¨ odinger Katzen und Messung von Photonenfeldern
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Was ist eine Schr¨ odinger Katze? Realisierung von Schr¨ odinger Katzen mit Ionen Realisierung von Schr¨ odinger Katzen mit Photonenfeldern Zerfall des Schr¨odinger-Katzen Zustandes Wigner-Funktion einer Schr¨ odinger Katze
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Das Gedankenexperiment In einer blickdichten Stahlkammer befinden sich eine Katze ein R¨ohrchen mit Blaus¨aure eine radioaktive Substanz in einem Z¨ahlrohr Zerf¨allt ein Atom, so spircht das Z¨ahlrohr an, bet¨atigt u ¨ber ein ” Relais ein H¨ammerchen, das ein K¨ olbchen mit Blaus¨aure zertr¨ ummert.“[1] Was passiert nach einer Halbwertszeit?
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2 M¨oglichkeiten nach einer Halbwertszeit: 1
Atom noch nicht zerfallen ⇒ Katze lebt: Zustandsvektor: |,, ↑>
2
Atom zerfallen ⇒ Katze ist tot Zustandsvektor: |/, ↓>
Der Zustand des Atom ist unbestimmt ( verschmiert“ [1]). ” Diese Unbestimmtheit u ¨bertr¨agt sich auf den Zustand der Katze. Die verschr¨ankte Wellenfunktion |Ψ >=
|,, ↑> +|/, ↓> √ 2
|, > und |/ > Makro(quanten)zust¨ande | ↑> und | ↓> Mikroquantenzust¨ande Ruth Knobelspies
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Eine Katze die gleichzeitig tot und lebendig ist? ⇒ scheinbarer Konflikt zwischen der Existenz der quantenmechanischen Superposition und unsere Erfahrung, Beobachtung und Messung der Welt. Wieso scheinbarer Konflikt? Kasten ist blickdicht ⇒ Beobachtung in diesem Modell nicht inkludiert
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Eine Katze die gleichzeitig tot und lebendig ist? ⇒ scheinbarer Konflikt zwischen der Existenz der quantenmechanischen Superposition und unsere Erfahrung, Beobachtung und Messung der Welt. Wieso scheinbarer Konflikt? Kasten ist blickdicht ⇒ Beobachtung in diesem Modell nicht inkludiert Fragen: Wieso gibt es keine makroskopischen Schr¨ odinger Katzen“ in ” der allt¨aglichen Welt? Wie k¨onnen Schr¨ odinger Katzen“ im mesoskopischen ” Systemen realisiert werden? Ruth Knobelspies
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Realisierung von Schr¨odinger Katzen mit Ionen
Ziel: Realisierung eines Schr¨ odinger Katzen Zustandes in einem harmonischen Oszillator. ¨ ⇒ Uberlagerung von 2 r¨aumlich getrennten, lokalisierbaren Positionen x1 und x2 eines Ions. Zustandsfunktion: Ψ=
|x1 > | ↑> +|x2 > | ↓> √ 2
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Aufbau Be + Ion wird in einer Falle gefangen, welche den Einschluss in einem harmonischen Potential liefert. Das Ion wird auf den Grundzustand der Bewegung abgek¨ uhlt. Durch nicht-resonante Laser Impulse“ wird der innere und ” ¨außere Zustand ver¨andert.
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betrachtete Zust¨ande Wir betrachten: die zwei inneren Zust¨ ande 2S 1/2 (F = 2, mF = −2) (| ↓>) und 2S 1/2 (F = 1, mF = −1) (| ↑>) den ¨ außeren Zustand, charakterisiert durch die quantisierten Zust¨ande des harmonischen Oszillators |n > in der x Dimension
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betrachtete Zust¨ande Wir betrachten: die zwei inneren Zust¨ ande 2S 1/2 (F = 2, mF = −2) (| ↓>) und 2S 1/2 (F = 1, mF = −1) (| ↑>) den ¨ außeren Zustand, charakterisiert durch die quantisierten Zust¨ande des harmonischen Oszillators |n > in der x Dimension ωHF : Frequenzdifferenz der Zust¨ande (| ↓>) und (| ↑>) ωx : Frequenzdifferenz zweier Zust¨ande des harmonischen Ozillators Ruth Knobelspies
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ben¨otigte Laserstrahlen Tr¨ ager“ a und b ” Frequenzdifferenz von a und b ≈ ωHF ¨ Raman-Ubergang von | ↓> und | ↑> π-Puls: | ↓>↔ | ↑> Lichtkraft-Laserstrahlen“ b und c ” Frequendifferenz b,c ≈ ωx |0 > → |αe iθ > Nachweis Laserstrahl“ d ” σ − polarisiertes Licht, resonant mit dem ¨ Ubergang | ↓>i →2 P3/2 (F = 3, mf = −4)
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Verschr¨ankung
a & b koliniar ⇒ Bewegungszustand nicht beeinflusst Differenz der Wellenvektoren b & c zeigt in x Richtung ⇒ Bewegungszustand kann beeinflusst werden b & c zirkul¨ar polarisiert ⇒ nur Bewegungszust¨ande die mit | ↑>i verkn¨ upft sind werden beeinflusst ⇒ Verschr¨ankung
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Realisierung des Schr¨odinger Katzen Zustandes 1
Be + Ion auf Grundzustand | ↓> |nx = 0 > abgek¨ uhlt
2
Tr¨ager“: π/2 Puls ” ¨ ⇒ Uberlagerungszustand von | ↓> |0 > &| ↑> |0 >
3
Lichtkraft- Laserstrahlen“: ” | ↑> Komponente zu koh¨arentem Zustand |αe −iΦ/2 > angeregt
4
π Puls: Innerer Zustand der beiden Komponente wird vertauscht
5
Lichtkraft-Laserstrahlen“ 2. Komponente zu ” (koh¨arenten) Zustand |αe +iΦ/2 > angeregt
6
π/2 Puls, Kombination der 2 Zust¨ande Ruth Knobelspies
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Schr¨odinger Katzen Zustand Wir haben im Prozess zwei verschiedene S.Katzen erzeugt: Schr¨odinger Katze in Schritt E: iΦ/2
|Ψ >=
|αee
> | ↑>i +e iδ |αe −iφ/2 >e | ↓>i √ 2
Schr¨odinger Katze in Schritt F In Schritt F: |Ψ >= | ↓>i |S− >e −i| ↑>i |S+ >e mit: |S± >=
|αe −iΦ/2 >e ±e iδ |αe iΦ/2 >e 2
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Messung Gemessen wird die Interferenz der beiden Wellenpakete im | ↓> Zustand. Wkt., dass nach dem Laserimpuls des Nachweis-Laserstrahls Floureszent auftritt: Z P↓ (φ) = | < x|S− > |2 dx R
mit |S± >=
|αe −iΦ/2 >e ±e iδ |αe iΦ/2 >e 2
F¨ ur δ = 0 findet man; P↓ (0) = 0 ⇒ destruktive Interferenz P↓ (±π) =
1 2 Ruth Knobelspies
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F¨ ur δ = 0 gilt: P↓ (0) = 0 ⇒ destruktive Interferenz P↓ (±π) =
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Phasenkatzen
Ziel: ¨ Uberlagerung von zwei verschiedenen Phasen im Holraumresonator; verschr¨ankt mit den zirkul¨aren Rydbergzust¨anden (|e >, |g >) eines Atoms. 1 |Ψ >= √ (|e, αe iΦ > +|g , αe −iΦ >) 2 Ruth Knobelspies
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Nichtresonante Atom-Feld Wechselwirkung Wie entsteht ein verschr¨ankter Zustand |e, αe iΦ >? Atom im zirkul¨aren Zustand e oder g durchquert ein koh¨arentes Feld |α >. ¨ Frequenz von |α > nicht resonant zum Ubergang e→ g somit kein Energie¨ ubertrag m¨ oglich sondern Phasenverschiebung φ
|e > ⇒ |e, αe iΦ > |g > ⇒ |g , αe −iΦ >
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Eigenzust¨ande der gekoppelten Zust¨ande: ~ωeg + n~ωc −n~s0 2 ~ωeg + n~ωc +(n + 1)~s0 2 Ω20 4∆C
Egs ,n = − s Ee,n =
mit s0 = Daraus folgt:
δ e ωC
= s0
δ g ωC
= −s0
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effektive Hamiltonoperator: ~ Heff = ~ωc a† a + σz ωeg + ~s0 σz a† a + ~s0 σ+ σ− 2 mit s0 =
Ω20 4∆C
Hamiltonoperator des Feldes: V1 = ~(ωc + s0 σz )a† a Frequenz des Feldes ist um s0 σz verschoben. Die Feld-Frequenz h¨angt von der Orientierung des Spins ab.
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effektive Hamiltonoperator: ~ Heff = ~ωc a† a + σz ωeg + ~s0 σz a† a + ~s0 σ+ σ− 2 mit s0 =
Ω20 4∆C
Hamiltonoperator des Feldes: V1 = ~(ωc + s0 σz )a† a Frequenz des Feldes ist um s0 σz verschoben. Die Feld-Frequenz h¨angt von der Orientierung des Spins ab. Pseudo-Spin Operator: V2 =
~ σz (ωeg + 2s0 a† a) 2
¨ Ubergangsfrequenz h¨angt von der Anzahl der Atome im Feld ab. Ruth Knobelspies
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Atom durchquert in einer Superposition von |e > und |g > das Feld. 1 1 √ (|e > +|g >) ⇒ √ (|e, αe iΦ > +|g , αe −iΦ >) 2 2 ⇒ Schr¨ odinger Katzen Zustand
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Messung: Ramsey Interferometer
Zwei weitere Resonatoren R1 und R2 : ¨ Resonant zum Ubergang e ↔ g. jeweils π/2-Puls: Atom kann entweder in R1 oder in R2 in den anderen Zustand u ¨bergehen ⇒ Pfade“ nicht unterscheidbar. ” ⇒ Interferenz in den Wkt.amplituden Pg (ν) oszilliert
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Messung der Phasenkatze
zwischen R1 und R2 befindet sich der Resonator C Phasenverschiebung in C gibt Information u ¨ber Zustand des Atoms nach R1 Weginformation“ gemessen ⇒ Interferenz verschwindet ” somit: Schr¨odinger Katze in C ⇒ keine Interferenz
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a) C leer b)-d) Differenz der zwei Phasen im Feld wird gr¨oßer (⇔ Verstimmung ¨ zum e → g Ubergang wird verkleinert)
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Aufbau
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Dekoh¨arenz
Zerfall des Schr¨odinger Katzen Zustandes hervorgerufen durch unwillk¨ urliche Kopplung mit der Außenwelt die Umgebung misst das System ⇒ Katze zerf¨allt
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Messung der Dekoh¨arenz 2 Atom Korrelations Experiment 1
1. Atom: Superpositionszustand der 2 Feldkomponenten (wie oben)
2
2. Atom (Probe Atom): es entstehen wieder 2 Feldkomponenten ±Φ
3
resultierend: 3 Feldkomponenten mit Phasen ±2Φ und 0
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Messung der Dekoh¨arenz 2 Atom Korrelations Experiment 1
1. Atom: Superpositionszustand der 2 Feldkomponenten (wie oben)
2
2. Atom (Probe Atom): es entstehen wieder 2 Feldkomponenten ±Φ
3
resultierend: 3 Feldkomponenten mit Phasen ±2Φ und 0 Null-Phasen“ Komponente entsteht u ¨ber 2 verschiedene ” Wege (e,g) oder (g,e) Interferenzterm in den Warscheinlichkeiten Pee , Peg , Pge , Pgg Differenz der bedingten Wahrscheinlichkeiten η; η = 12 Feldkomponenten klar getrennt η = 0 statistische Verteilung Ruth Knobelspies
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Kreis: Distanz zwischen den Feldkomponenten klein ⇒ langsame Dekoh¨arenz Dreiecke:Distanz zwischen den Feldkomponenten groß ⇒ schnelle Dekoh¨arenz
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Reversible Dekoh¨arenz
Vorschlag zur Realisierung reversibler Dekoh¨ arenz Aufbau Resonator C wird mit einem weiteren Resonator C1 ( single ” mode reservoir“) gekoppelt. Die Energie oszilliert zwischen C und C1 entspricht einer Umgebung, die aus einem quanten“ Oszillator besteht ”
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1
Feld baut sich in C1 auf tr¨agt Information u ¨ber die Phase in C ist in C1 gen¨ ugend Information zur Bestimmung der Phase ⇒ Schr¨ odinger Katze zerf¨allt
2
Feld verschwindet aus C2 immer weniger Information vorhanden ⇒ nach einer Periode ist der Zustand in C wieder koh¨arent
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Modellierung der Dekoh¨arenz Koppelt man C mit vielen Resonatoren Ci i ∈ N ⇒ η(τ ) → 0
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Wignerfunktion
quantenmechanische Verteilungsfunktion“ im Phasenraum ” zeigt die Eigenschaften eines Quanten-Zustands; z.B negative Werte zeigen Interferenz der Wkt. Amplituden
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Wignerfunktion
quantenmechanische Verteilungsfunktion“ im Phasenraum ” zeigt die Eigenschaften eines Quanten-Zustands; z.B negative Werte zeigen Interferenz der Wkt. Amplituden Formal 1 W (x, p) = 2π~
Z
1 1 dy e ipy ψ ∗ (x − y )ψ(x + y ) 2 2 R
⇒ Fourier-Transformierte der verschobenen Wellenfunktion des Zustandes |Ψ >
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Wignerfunktion des Schr¨odinger-Katzen Zustandes W (x, p) =
1 2π~
Z
1 1 dy e ipy ψ ∗ (x − y )ψ(x + y ) 2 2 R
1 |Ψ > = N √ (|e, αe iΦ > −|g , αe −iΦ >) Schr¨odinger Katze 2 Ψ(x) = < x|Ψ > Ortsraum
eingesetzt und integriert folgt: 1 W|y > (x, p) = N 2 (W|αexp(iΦ)> + W|αexp(−iΦ)> + Wint ) 2 Ruth Knobelspies
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eingesetzt und integriert folgt: 1 W|y > (x, p) = N 2 (W|αexp(iΦ)> + W|αexp(−iΦ)> + Wint ) 2
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experimentell
experimentell wird die Wignerfunktion u ¨ber die Dichtematrix bestimmt Z 1 1 1 ρ|x − y >) W (x, p) = dy e ipy < x + y |ˆ 2π~ R 2 2
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experimentell
experimentell wird die Wignerfunktion u ¨ber die Dichtematrix bestimmt Z 1 1 1 ρ|x − y >) W (x, p) = dy e ipy < x + y |ˆ 2π~ R 2 2 f¨ ur reinen Zustand gilt: ρˆ = |Ψ >< Ψ| somit folgt: Z 1 1 1 W (x, p) = dy e ipy ψ ∗ (x − y )ψ(x + y ) 2π~ R 2 2
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rekonstruierte Wignerfunktion der Schr¨odinger Katze Schr¨odinger Katzen Zustand: 1 |Ψ >= √ (|e, αe iΦ > −|g , αe −iΦ >) 2
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Zerfall der Schr¨odinger Katze
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Film
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Vielen Dank f¨ ur die Aufmerksamkeit!
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E.Schr¨odinger, Die gegenw¨ artige Situation in der Quantenmechanik, Volume23, Number48/ November 1935. C.Monroe et al., A “Schr¨ odinger Cat”: Superposition State of an Atom, Science 272, 1131(1996). M.Brune et al., Observing the Progressive Decoherence of the “Meter” in a Quantum Measurement, Phys.Rev.Lett.77, 4887(1996). J.M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Reversible Decoherence of a Mesoscopic Superposition of Field States, Phys. Rev. Lett. 79, 1964-1967. J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Colloquium: Manipulating quantum entanglement with antoms and photons in a cavity, Rev. Mod. Phys. 73 565 (2001). Ruth Knobelspies
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Schleich, Wolfgang, Quantum Optics in Phase Space, WILEY-VCH, Berlin 2001. Del´eglise, Samuel et al., Reconstruction of non-classical cavity field states with snapshots of their decoherence, Phys. Rev. Lett. 78, 2547-2550 (1997) Haroche, Serge/ Raimond, Jean-Michel, Exploring the Quantum, OXFORD UNIVERSITY PRESS, 2006.
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