Riemannsche Geometrie Dirk Ferus Sommersemester 2004

Version vom 29.07.2008

Inhaltsverzeichnis 0 Literatur

4

1 Riemannsche Metrik

1

2 Die Levi-Civita-Ableitung

7

3 Innere Metrik

14

4 Geod¨ atische

16

5 Geod¨ atische und K¨ urzeste

21

6 Geod¨ atische Konvexit¨ at

26

7 Der Satz von Hopf-Rinow

28

8 Parallelverschiebung

34

9 Der Kr¨ ummungstensor

36

10 Beispiele f¨ ur Kr¨ ummungstensor und Schnittkr¨ ummung.

42

11 Kr¨ ummung und Jacobifelder

44

12 R¨ aume konstanter Kr¨ ummung

46

13 Die zweite Variation und der Satz von Jacobi

50

14 Der Satz von Bonnet-Myers

54

15 Der Satz von Synge

57

16 Der Satz von Hadamard-Cartan

60

17 Riemannsche Submersionen

61

18 Der komplexe projektive Raum

66

19 Vergleich von Jacobifeldern

70

20 L¨ angenvergleich

76

21 Winkelvergleich, Dreiecke, Maximaler Durchmessser

79

22 Der Indexsatz von Morse

84

23 Der Schnittort

90

24 Der Injektivit¨ atsradius I

95

25 Der Sph¨ arensatz

97

26 Der Injektivit¨ atsradius II

101

25 Anhang

108

25.1 Warum heißt der Torsionstensor Torsionstensor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 25.2 Elementares u ¨ber Liegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

0

Literatur

W. K¨ uhnel: Differentialgeometrie, Vieweg 1999 M do Carmo: Riemanian Geometry, Birkh¨auser 1992 J. M. Lee: Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature, Springer 1997 S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: Riemannian Geometry, Springer 1990 D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Großen, LNM 55 Springer 1968 B. O’Neill: Semi-Riemannian Geometry, Academic Press 1983 M. Berger: Riemannian Geometry during the second half of the twentieth century, Jahresberichte der DMV 1998 M. Berger: A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer 2003 Mit [VL Mannigfaltigkeiten] zitiere ich die Vorlesung Mannigfaltigkeiten aus dem Wintersemester 2003/4 Anmerkung Juli 2008. Ich danke Herrn Schulz-Baldes f¨ ur umfangreiche Korrekturen von Schreibfehlern.

1

Riemannsche Metrik

Wenn nichts anderes gesagt wird, seien Mannigfaltigkeiten, Abbildungen und Tensorfelder immer von der Klasse C ∞ vorausgesetzt. Mannigfaltigkeiten seien u ¨berdies hausdorffsch mit abz¨ ahlbarer Basis der Topologie. Das ist von selbst erf¨ ullt, wenn Mannigfaltigkeiten per definitionem regul¨ are Untermannigfaltigkeiten eines RN sind. Vergleichen Sie aber das Beispiel 28. Definition 1. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist eine Mannigfaltigkeit M zusammen mit einem Tensorfeld g, das jedem Punkt p ∈ M eine Euklidische Metrik gp von Tp M zuordnet. Das Tensorfeld g heißt eine Riemannsche Metrik auf M . Ist gp nicht positiv-definit, sondern f¨ ur jedes p eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform, so heißt (M, g) eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Hat gp in jedem p die Signatur (−, +, . . . , +), so heißt (M, g) auch eine Lorentzmannigfaltigkeit. Beispiel 2. Der Euklidische Raum Rm ist auf nat¨ urliche Weise eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Wir schreiben h. , .i gleichermaßen f¨ ur die Euklidische Metrik und die von ihr induzierte Riemannsche Metrik auf Rm . Beispiel 3. Eine Immersion M → Rn induziert eine 1. Fundamentalform g := f ∗ h. , .i mit gp (v, w) := hdp f (v), dp f (w)i,

v, w ∈ Tp M.

Damit wird M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Allgemeiner ist jede Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen Mannigflatigkeit auf nat¨ urliche Weise eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Beispiel 4. Insbesondere ist die Sph¨are S m := {x ∈ Rm+1 | hx, xi = 1} mit der vom Euklidischen Raum (Rm+1 , h. , .i) induzierten Metrik eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ihre Metrik bezeichnen wir als die kanonische Metrik auf S m . Beispiel 5 (Lorentzmodell des hyperbolischen Raums). Den Rm+1 mit dem Lorentzschen Skalarprodukt hx, yi = −x0 y0 + x1 y1 + . . . + xm ym bezeichnen wir auch mit R1,m . Betrachten wir darin eine Untermannigfaltigkeit, so ist das auf den Tangentialr¨ aumen induzierte Skalarprodukt im allgemeinen degeneriert. Aber f¨ ur spezielle Untermannigfaltigkeiten kann es nat¨ urlich auch nicht-degeneriert vom Typ (−, +, . . . , +) oder sogar positiv-definit sein. Entsprechend erh¨alt man eine Lorentzmannigfaltigkeit oder eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Konkrete Beispiele liefern die Mengen {x | hx, xi = +1} bzw. der hyperbolische Raum H m := {x | hx, xi = −1, x0 > 0}, den Sie aus [VL Mannigfaltigkeiten] kennen. Der Tangentialraum in x ∈ H m ist Tx H m = {v | hx, vi = 0}, und nach Linearer Algebra ist das Sklarprodukt darauf positiv-definit.

1

¨ Beispiel 6 (Konforme Anderung der Metrik). Ist g eine Riemannsche Metrik auf M und λ : M → R eine differenzierbare Funktion, so ist auch e2λ g eine Riemannsche Metrik auf M .

Beispiel 7 (Poincar´ emodell des hyperbolischen Raums). Auf der offenen Einheits¨ kugel Dm im Rm erh¨ alt man durch spezielle konforme Anderung der Euklidischen Metrik eine neue Riemannsche Metrik 4 gp (v, w) := hv, wi. (1 − kpk2 )2 (Dm , g) ist ein anderes Modell f¨ ur den m-dimensionalen hyperbolischen Raum H m .

Beispiel 8. Auf jeder Mannigfaltigkeit (Hausdorff mit abz¨ahlbarer Basis der Topologie!) gibt es eine Riemannsche Metrik. (Zerlegung der Eins).

Der Begriff der Riemannschen Metrik und Mannigfaltigkeit schafft sofort eine Vielzahl neuer Begriffe und Strukturen. Definition 9 (Isometrische Immersion, Isometrie). Seien (M, g) und (N, h) zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten. (i) Eine Abbildung f : N ⊂ G → M einer offenen Teilmenge G ⊂ N heißt eine isometrische Immersion, wenn auf G f ∗ g = h, d.h. wenn f¨ ur alle p ∈ G und v, w ∈ Tp N gf (p) (dp f (v), dp f (w)) = hp (v, w). Beachten Sie, daß f dann wirklich eine Immersion ist. (ii) Ein Diffeomorphismus f : N → M heißt eine Isometrie, wenn f ∗g = h gilt. (iii) Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, so ist Iso(M, g) := {f : M → M | f Isometrie} bez¨ uglich der Komposition eine Gruppe, die sogenannte Isometriegruppe von (M, g). Beispiel 10. Jede Immersion f : N → M in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist eine isometrische Immersion, wenn man N mit der Metrik f ∗ g versieht.

Beispiel 11. Die stereographische Projektion IR m

σ : Rm+1 ⊃ {(x0 , . . . , xm ) | x0 > −1} → Rm

x = (x , x) 0

vom Punkt (−1, 0, . . . , 0) aus ist gegeben durch

σ (x , x) 0

x0

1 σ(x0 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm ). 1 + x0

-1

2

IR

Sie liefert • im R1,m eine Isometrie des Lorentzmodells des hyperbolischen Raumes aus Beispiel 5 auf das Poincar´emodell aus Beispiel 7 mit der Metrik gp (v, w) :=

4 hv, wi. (1 − kpk2 )2

und ebenso • im Rm+1 eine Isometrie der Einheitssph¨are S m := {(x0 , . . . , xm ) | x20 + . . . + x2m = 1} ohne den S¨ udpol mit der kanonischen Metrik auf den Rm mit der konform ge¨anderten Metrik 4 gp (v, w) := hv, wi. (1 + kpk2 )2 Beweis. Gegeben seien (x0 , x), (v0 , v) ∈ R × Rm mit x0 6= −1 und x20 ± kxk2 = 1, x0 v0 ± hx, vi = 0,

d.h. (x0 , x) ∈ S m oder ∈ H m , d.h. (v0 , v) im Tangentialraum an S m oder H m in (x0 , x).

Dann ist d(x0 ,x) σ(v0 , v) = −

v0 1 x+ v. 2 (1 + x0 ) 1 + x0

Es folgt 4 kd(x0 ,x) σ(v0 , v)k2 (1 ± kσ(x0 , x)k2 )2 4 = kd(x0 ,x) σ(v0 , v)k2 kxk2 2 (1 ± (1+x ) 2 0) 4(1 + x0 )4 kd(x0 ,x) σ(v0 , v)k2 ((1 + x0 )2 ± kxk2 )2 4(1 + x0 )4 = kd(x0 ,x) σ(v0 , v)k2 (1 + 2x0 + x20 ± kxk2 )2

=

= (1 + x0 )2 kd(x0 ,x) σ(v0 , v)k2   v02 1 v0 2 2 = (1 + x0 )2 kxk + kvk − 2 hx, vi (1 + x0 )4 (1 + x0 )2 (1 + x0 )3 v02 v0 =± (1 − x20 ) + kvk2 ± 2 x0 v0 (1 + x0 )2 1 + x0 v 2 (1 − x0 ) + 2v02 x0 =± 0 (1 − x0 ) + kvk2 1 + x0 = ±v02 + kvk2 = h(v0 , v), (v0 , v)i.

3

Beispiel 12 (Schnitt durch Schwarzschild-Modell eines schwarzen Lochs). Sei M := R3 \{0} und sei r : M → R die Normfunktion. Wir betrachten M mit der Metrik 1 g = (1 + )4 h. . . , . . .i. r Dann ist die Inversion an der Einheitssph¨are, also f : M → M,

x 7→

x , r(x)2

eine Isometrie. Beweis. Zun¨ achst ist dx f (v) = und hdx f (v), dx f (v)i =

−2hx, vi 1 v+ x r(x)2 r(x)4

1 −4hx, vi2 4hx, vi2 hv, vi hv, vi + + = . 4 6 6 r(x) r(x) r(x) r(x)4

Es folgt (f ∗ g)x (v, v) = (1 +

1 hv, vi 1 )4 =( + 1)4 hv, vi. r ◦ f (x) r(x)4 r(x)

Beispiel 13. F¨ ur die Sph¨ are S m mit der kanonischen Metrik ist offenbar {f |S m | f ∈ O(m + 1)} ⊂ Iso(S m ). F¨ ur den hyperbolischen Raum aus Beispiel 5 ist {f |H m | f ∈ O(1, m)} ⊂ Iso(H m ). Dabei ist O(1, m) die Gruppe der linearen Automorphismen von R1,m , die das Lorentzprodukt erhalten.1 Die Gruppe O(1, m) enth¨alt insbesondere Abbildungen der Form (x0 , x) 7→ (x0 , Ax) mit A ∈ O(m) und Abbildungen mit einer Matrix   cosh t sinh t 0 .  sinh t cosh t 0 Em−1 Mit einer Isometrie der ersten Art kann man einen beliebigen Punkt von H m drehen“ ” in einen Punkt der Form (x0 , x1 , 0, . . . , 0) ∈ H m . Mit einer hyperbolischen Drehung der zweiten Form kann man diesen dann in den Punkt (1, 0, . . . , 0) abbilden. Daher operiert Iso(H m ) transitiv auf H m : Man kann jeden Punkt durch eine Isometrie in jeden anderen transportieren. F¨ ur sp¨ atere Verwendung halten wir noch fest: Durch Isometrien der ersten Art kann man unter Festhalten von (1, 0, . . . , 0) jeden weiteren Punkt von H m in einen der Form (y0 , y1 , 0, . . . , 0) mit −y02 + y12 = −1 bringen. Dieser Punkt ist dann von der Form (cosh t0 , sinh t0 , 0, . . . , 0) f¨ ur ein t0 ∈ R. Wenn man also Punktepaare p, q ∈ H m untersuchen will, kann man bis auf eine Isometrie annehmen, daß p = (1, 0, . . . , 0) und q = (cosh t0 , sinh t0 , 0, . . . , 0) ist. Analoges gilt f¨ ur S m . 1 Wir

werden sp¨ ater sehen, daß in beiden F¨ allen sogar Gleichheit gilt.

4

Mit einer Riemannschen Metrik kann man L¨angen und Winkel von Tangentialvektoren messen. Damit kann man auch den Winkel zwischen sich schneidenen Kurven und durch Integration die L¨ ange von Kurven messen: Definition 14 (Kurvenl¨ ange). F¨ ur eine Kurve c : [a, b] → M in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) definieren wir ihre L¨ ange durch Z bq gc(t) (c(t), ˙ c(t))dt. ˙ L(c) := a

Es ist klar, daß in der Definition C 1 statt C ∞ ausreichend ist und wie man den L¨angenbegriff ausdehnt auf (stetige) st¨ uckweise-C 1 -Kurven Es ist auch klar, daß isometrische Immersionen L¨angen und Winkel erhalten. Lemma 15 (Parameterinvarianz der Kurvenl¨ ange). Die Kurvenl¨ ange ist invariant gegen¨ uber Umparametrisierungen: Ist c : [a, b] → M eine Kurve in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und φ : [α, β] → [a, b] eine bijektive C ∞ -Abbildung, so gilt L(c ◦ φ) = L(c).

Beispiel 16. Im Lorentzmodell des hyperbolischen Raums betrachten wir die Kurve c(t) := (cosh t, sinh t, 0, . . . , 0),

0 ≤ t ≤ t0

von p = (1, 0, . . . , 0) nach q = (cosh t0 , sinh t0 , 0, . . . , 0). Ihre L¨ange ist Z t0 p − sinh2 t + cosh2 t dt = t0 = cosh−1 q0 = cosh−1 (−hp, qi). L(c) = | {z } 0

(1)

=1

Nach der Bemerkung am Schluß von Beispiel 13 findet man daher zwischen je zwei beliebigen Punkten p und q in H m eine Verbidungskurve der L¨ange cosh−1 (−hp, qi). Ebenso findet man zwischen zwei Punkten in S m immer eine Verbindungskurve der L¨ange L(c) = cos−1 hp, qi.

Beispiel 17. Im hyperbolischen Raum betrachten wir zwei Punkte p und q. Wir wollen die L¨ange von p mit q verbindenden Kurven absch¨atzen und zeigen, daß sie alle mindestens die L¨ange cosh−1 (−hp, qi) haben. Wieder k¨ onnen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, daß im Lorentzmodell p = (1, 0) und q = (q0 , q1 , 0, . . . , 0). Wir betrachten die Abbildung π : {(x0 , x) ∈ Rm+1 | x0 ≥ 1} → Rm+1 mit  q  2 π(x0 , x) = x0 , x0 − 1, 0, . . . , 0 . Dann ist π(H m ) ⊂ H m . Die Abbildung π|H m ist stetig und im Komplement von p differenzierbar. F¨ ur (x0 , x) ∈ H m mit x0 > 1 und (v0 , v) ∈ T(x0 ,x) H m , d.h. hx, vi = −x0 v0 + hx, vieuklidisch = 0 5

(2)

erhalten wir

x0 v0 , 0, . . . , 0). d(x0 ,x) π(v0 , v) = (v0 , p 2 x0 − 1

Daraus folgt kd(x0 ,x) π(v0 , v)k2lorentz = −v02 + = −v02 +

x20 v02 x20 v02 = −v02 + 2 2 x0 − 1 kxkeuklidisch hx, vi2euklidisch ≤ −v02 + kvk2euklidisch = k(v0 , v)k2lorentz . kxk2euklidisch

Die Abbildung π kontrahiert also die L¨angen von Tangentialvektoren und damit die L¨ange von Kurven. Ist also c : [0, t0 ] → H m eine Kurve2 von p nach q, so ist wegen der Voraussetzungen an p und q auch π ◦ c eine Kurve von p nach q und L(c) ≥ L(π ◦ c). Es gilt Z

t0

L(π ◦ c) = 0

Z ≥ 0

t0

v u u t−c˙2 (t) + 0

!2 Z t0 |c˙ (t)| c0 c˙0 p p 0 dt = 2 c0 − 1 c20 (t) − 1 0 Z q0 c˙ (t) du p 0 √ = = cosh−1 q0 = L(˜ c). 2 u2 − 1 c0 (t) − 1 1

Dabei ist c˜(t) der kanonische Weg von p nach q, vgl. Beispiel 16. Das ist also eine k¨ urzeste Kurve von p nach q. Analoges findet man f¨ ur die Sph¨are. In Verbindung mit dem Beispiel 13 erhalten wir: Eine k¨ urzeste Verbindungskurve zwischen zwei Punkten p, q im Lorentzmodell des H m oder in S m wird gegeben durch einen monoton parametrisierten Großkreisbogen“ (im Falle der Sph¨are von der L¨ange ≤ π). Ein Groß” ” kreis“ ist dabei die Schnittkurve von H m bzw. S m mit einer Ebene durch 0 ∈ Rm+1 . Die L¨ange dieser K¨ urzesten ist cosh−1 (−hp, qi)

bzw. cos−1 hp, qi.

2 Hier gibt es ein kleines Problem, weil π in p nicht differenzierbar ist. Man kann aber annehmen, daß c(t) 6= p f¨ ur alle t > 0. Mit dem Satz von Bohnenblust (vgl. Analysis I) oder Taylorentwicklung sieht man dann, daß π ◦ c in 0 wenigstens noch C 1 ist.

6

2

Die Levi-Civita-Ableitung

L¨ angen- und Winkelmessung geben die Grundlagen f¨ ur die Geometrie. Ein weiteres wichtiges Element in der Euklidischen Geometrie ist die Parallelverschiebung. In Riemannschen Mannigfaltigkeiten hat man – in eingeschr¨ankter Weise – auch diese Struktur. Sie wird gegeben durch die Levi-Civita-Ableitung, die die Parallelverschiebung zwar nicht global, wohl aber l¨angs Kurven gestattet. Eine kovariante Ableitung auf M ist eine Abbildung ∇ : Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ) mit den Ihnen aus [VL Mannigfaltigkeiten] gel¨aufigen Eigenschaften (e.g. R-Bilinearit¨at, Produktregel). Im allgemeinen gibt es auf einer Mannigfaltigkeit viele kovariante Ableitungen, aber keine besonders ausgezeichnete. Im Riemannschen Fall ist das anders: Die Riemannsche Metrik erlaubt die Auswahl einer ausgezeichneten kovarianten Ableitung, der Levi-CivitaAbleitung.

Satz 18 (und Definition: Levi-Civita-Ableitung). Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) gibt es genau eine kovariante Ableitung ∇ mit (∇Z g)(X, Y ) := Z · g(X, Y ) − g(∇Z X, Y ) − g(X, ∇Z Y ) = 0, (Ricci-Identit¨ at) T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = 0. (Torsionsfreiheit)

(3) (4)

∇ heißt die Levi-Civita-Ableitung von (M, g). Sie ist gegeben durch 2g(X, ∇Z Y ) =Z · g(X, Y ) + Y · g(X, Z) − X · g(Y, Z) + g(Z, [X, Y ]) + g(Y, [X, Z]) − g(X, [Y, Z]).

(5)

Der Beweis ist kanonisch: Zur Eindeutigkeit schreibt man (3) mit zyklischer Vertauschung der Argumente und findet unter Benutzung von (4) die Gleichung (5). F¨ ur die Existenz definiert man ∇Z Y durch (5) und rechnet die Eigenschaften einer kovarianten Ableitung, die Ricci-Identit¨ at und die Torsionsfreiheit nach. ∂ Lokale Beschreibung mit Christoffelsymbolen. Ist ∂x die Gaußbasis eines lokalen i Koordinatensystems f¨ ur M , so wird eine kovariante Ableitung beschrieben durch die Christoffelsymbole Γkij , die definiert sind durch m

∇

∂ ∂xi

X ∂ ∂ = Γkij . ∂xj ∂xk k=1

Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und die Metrik im lokalen Koordinatensystem gegeben durch ∂ ∂ gij := g( , ), ∂xi ∂xj so sind die Christoffelsymbole gegeben durch 2

m X l=1

glk Γlij =

∂gik ∂gjk ∂gij + − . ∂xj ∂xi ∂xk

Das ist eine unmittelbare Konsequenz von (5).

7

Beispiel 19. Vergleiche die Beispiele 6 und 7. Ist ∇ die Levi-Civita-Ableitung zur Metrik g, so ist ˜ Z Y = ∇Z Y + (Z · λ)Y + (Y · λ)Z − g(Y, Z)gradg λ ∇ mit g(gradg λ, X) := X · λ die Levi-Civita-Ableitung zur Metrik g˜ := e2λ g. Insbesondere ergibt sich f¨ ur das Poincar´emodell von H m die Ableitung ∇Z Y = DZ Y +

2 (< Z, x > Y + < Y, x > Z− < Y, Z > x). 1 − kxk2

Beweis. Es ist ˜ ZY ) 2e2λ g(X, ∇ ˜ ZY ) = 2˜ g (X, ∇ = Z · g˜(X, Y ) + Y · g˜(X, Z) − X · g˜(Y, Z) + g˜(Z, [X, Y ]) + g˜(Y, [X, Z]) − g˜(X, [Y, Z]) = e2λ {2g(X, ∇Z Y ) + 2(Z · λ)g(X, Y ) + (Y · λ)g(X, Z) − g(X, gradg λ)g(Y, Z)} = 2e2λ g(X, ∇Z Y + (Z · λ)Y + (Y · λ)Z − g(Y, Z) gradg λ) Insbesondere gilt f¨ ur den hyperbolischen Raum e2λ =

4 (1 − kxk2 )2

λ = ln 2 − ln(1 − kxk2 )

⇒

2 < X, x > 1 − kxk2 2 gradgx λ = x. 1 − kxk2

⇒

X ·λ=

⇒

Beispiel 20 (Biinvariante Metriken auf Liegruppen). Seien G eine Liegruppe und ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur T G. Sei Z1 , . . . , Zn eine Basis im Raum g ∼ = Te G der linksinvarianten Vektorfelder. Dann lassen sich beliebige Vektorfelder X, Y ∈ Γ(T G) schreiben als X X X= ξi Zi , Y = ηj Zj , mit C ∞ -Koeffizienten ξi , ηj , und aus den Rechenregeln f¨ ur kovariante Ableitungen folgt X X ∇X Y = ξi ηj ∇Zi Zj + (X · ηj )Zj . (6) i,j

j

Die kovariante Ableitung ∇ ist also bestimmt durch ihre Werte auf den linksinvarianten Vektorfeldern einer Basis. Umgekehrt kann man die Vektorfelder ∇Zi Zj beliebig vorgeben, und (6) definiert eine kovariante Ableitung. W¨ahlt man ∇Zi Zj := c[Zi , Zj ] mit einer Konstanten c ∈ R, so erh¨ alt man f¨ ur linksinvariante X, Y , also konstante ξi , ηj ∇X Y = c[X, Y ].

(7)

Die Gleichung (7) definiert also eine von einer Basiswahl Zi unabh¨angige kovariante Ableitung auf G. 8

Der zugeh¨ orige Torsionstensor wird dann auf linksinvarianten Vektorfeldern T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = c[X, Y ] − c[Y, X] − [X, Y ] = (2c − 1)[X, Y ]. F¨ ur c = 1/2 wird der Torsionstensor auf linksinvarianten Vektorfeldern null. Also ist er – als Tensor – auf allen Vektorfeldern null. Durch ∇X Y :=

1 [X, Y ] 2

f¨ ur X, Y ∈ g

(8)

wird also auf jeder Liegruppe ein ausgezeichneter torisonsfreier Zusammenhang definiert. Sei nun g eine biinvariante Metrik G, d.h. Links- und Rechtstranslationen Lx und Rx seien Isometrien. Dann ist Adx : d(Lx ◦ Rx−1 ) : Te G → Te G f¨ ur alle x ∈ G eine orthogonale Abbildung von (Te G, ge ). Daher ist adX = de Ad(X) : Te G → Te G, Y 7→ [X, Y ] schiefsymmetrisch bez¨ uglich ge : g([X, Y ], Z) + g(Y, [X, Z]) = 0.

(9)

Sei ∇ definiert durch (8). Dann ist f¨ ur linksinvariante Vektorfelder, 1 (∇X g)(Y, Z) := X · g(Y, Z) −g(∇X Y, Z) − g(Y, ∇X Z) = − (g([X, Y ], Z) + g(Y, [X, Z])) | {z } 2 =const

= 0. (9)

Damit verschwindet der (tensorielle!) Ausdruck (∇X g)(Y, Z) aber auch f¨ ur beliebige Vektorfelder. Fazit: Die Levi-Civita-Ableitung einer biinvarianten Metrik auf einer Liegruppe ist f¨ ur linksinvariante(!) Vektorfelder gegeben durch (8). Sie ist f¨ ur alle biinvarianten Metriken dieselbe, aber meistens“ sind solche Metriken ohnehin bis auf einen konstanten Faktor eindeutig. ”

Eine wichtige Rolle werden in diesem Semester Vektorfelder l¨ angs Abbildungen und deren kovariante Ableitungen spielen. Deshalb gehen wir hier noch einmal darauf ein. Wir bezeichnen mit Γ(V ) den Modul der Schnitte im Vektorb¨ undel V , also mit Γ(T M ) die (tangentialen) Vektorfelder auf der Mannigfaltigkeit M . Ist f : N → M eine Abbildung, so ist ein Vektorfeld l¨angs f eine Abbildung Y : N → T M mit Yp ∈ Tf (p) M

f¨ ur alle p ∈ N.

Typische Beispiele sind das Geschwindigkeitsfeld c˙ einer Kurve in M oder ein Einheitsnormalenfeld einer Hyperfl¨ achenimmersion. Die Abbildung f induziert aus dem Tangentialb¨ undel u undel f ∗ T M u ¨ber M ein B¨ ¨ber N , dessen Faser u ¨ber x ∈ N gerade Tf (x) M ist. Vektorfelder l¨angs Abbildungen sind also nichts anderes als Schnitte im induzierten B¨ undel. Wir bezeichnen den Modul der Vektorfelder l¨angs f mit Γ(f ∗ T M ). TM

f ∗T M Y ↑↓ TM

Y

TM

% → f

↓ M

9

→ TM ↓ → M f

Satz 21 (Kovariante Ableitung l¨ angs Abbildungen). Sei ∇ eine kovariante Ableitung auf der Mannigfaltigkeit M (nicht notwendig die LeviCivita-Ableitung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit). Sei f : N → M eine Abbildung. Dann gibt es genau eine Abbildung f ∗ ∇ : Γ(T N ) × Γ(f ∗ T M ) → Γ(f ∗ T M ) mit folgenden Eigenschaften: f ∗ ∇ ist eine kovariante Ableitung im induzierten B¨ undel f ∗ T M

(10)

und f¨ ur X ∈ Γ(T N ) und Z ∈ Γ(T M ) gilt (f ∗ ∇)X (Z ◦ f ) = ∇df (X) Z.

(11)

Dabei sind Z ◦ f und ∇df (X) Z : p 7→ ∇dp f (Xp ) Z offenbar Vektorfelder l¨ angs f . Statt f ∗ ∇ schreibt man meistens einfach wieder ∇.

Beweis. Zur Einzigkeit. Bez¨ uglich einer Karte von M schreiben wir f¨ ur Y ∈ Γ(f ∗ T M ) Y =

X

Yj

∂ ◦ f. ∂xj

(12)

Dann erhalten wir mit den vorausgesetzten Eigenschaften X ∂ ∂ ◦ f) + Y k (f ∗ ∇)X ( ◦ f) ∂xk ∂xk k k X X ∂ ∂ ◦ f) + Y k ∇df (X) . = (X · Y k )( ∂xk ∂xk

(f ∗ ∇)X Y =

X

(X · Y k )(

k

(13)

k

Daraus folgt die Eindeutigkeit. Zur Existenz benutzt man (13) zur lokalen Definition von f ∗ ∇ und rechnet die Eigenschaften (10) und (11) nach. Aus der Eindeutigkeit folgt, daß die auf diese Weise lokal definierten Ableitungen nicht von der Kartenwahl abh¨angen und sich deshalb zu einer global definierten Ableitung zusammenf¨ ugen. Lokale Darstellung mit Christoffelsymbolen. In einer Karte x f¨ ur M sei Y =

X

Yj

j

∂ ◦ f, ∂xj

df (X) =

X i

Xi

∂ ◦ f. ∂xi

Weiter seien Γkij die Christoffelsymbole von ∇ in dieser Karte. Dann gilt   X X ∂ X · Y k + (f ∗ ∇)X Y = X i Y j (Γkij ◦ f ) ◦ f. ∂x k i,j

(14)

k

Beispiel 22. Wir betrachten die Kurve c(t) := tv im Poincar´emodell von H m mit LeviCivirta-Ableitung ∇, vergleiche Beispiel 19. Dabei seien v ∈ Rm ein Einheitvektor und t ∈ N :=] − 1, 1 [. Dann ist c˙ ∈ Γ(c∗ T H m ) und

d dt

∈ Γ(T N ). Es gilt c˙ = v = v ◦ c, 10

wenn wir v als konstantes Vektorfeld auf Dm betrachten. Dann wird (c∗ ∇) d c˙ = ∇dc( d ) v = ∇v◦c v = (∇v v) ◦ c dt

dt

Mit Beispiel 19 und c(t) = tv finden wir 2 2t (2hv, civ − hv, vic) = v. (c∗ ∇) d c˙ = Dv v ◦ c + 2 dt | {z } 1 − ktvk 1 − t2 =0

Lemma 23. Die definierende Formel (11) gestattet folgende Verallgemeinerung: Sind M, N, K Mannigfaltigkeiten, ist ∇ eine kovariante Ableitung f¨ ur M und sind f : N → M und g : K → N Abbildungen, so gilt f¨ ur X ∈ Γ(T K) und Y ∈ Γ(f ∗ T M ) ((f ◦ g)∗ ∇)X (Y ◦ g) = (f ∗ ∇)dg(X) Y.

(15)

Beweis. Betrachte zun¨ achst den Spezialfall Y = Z ◦ f f¨ ur Z ∈ Γ(T M ). Schreibe dann ein allgemeines Y wie in (12). Die Ricci-Identit¨ at und die Torsionsfreiheit gelten auch f¨ ur Vektorfelder l¨angs Abbildungen. Genauer: Satz 24. Sei f : N → M eine Abbildung in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) mit Levi-Civita-Ableitung ∇. (i) F¨ ur X ∈ Γ(T N ) und Y1 , Y2 ∈ Γ(f ∗ T M ) gilt: X · g(Y1 , Y2 ) = g((f ∗ ∇)X Y1 , Y2 ) + g(Y1 , (f ∗ ∇)X Y2 ). (ii) F¨ ur X, Y ∈ Γ(T N ) gilt (f ∗ ∇)X df (Y ) − (f ∗ ∇)Y df (X) = df ([X, Y ]).

Beweis. Zu (i). Selbst. Zu (ii). Wir schreiben bez¨ uglich einer Karte f¨ ur M df (X) =

X

Xj

∂ ◦f ∂xj

und entsprechend f¨ ur Y . Dann ist X ∂ ∂ ◦f + Xi Yj (∇ ∂ )◦f ∂xi ∂x ∂xj j X X ∂ ∂ − (Y · Xj ) ◦f − Yi Xj (∇ ∂ )◦f ∂x i ∂xj ∂xj X X ∂ ∂ = (X · Yj ) ◦f − (Y · Xj ) ◦ f. ∂xj ∂xj

(f ∗ ∇)X df (Y ) − (f ∗ ∇)Y df (X) =

X

(X · Yj )

11

Andrerseits ist f¨ ur eine Funktion φ df ([X, Y ]) · φ = [X, Y ] · (φ ◦ f ) = X · (Y · (φ ◦ f )) − Y · (X · (φ ◦ f )) X ∂φ =X ·( Y k( ◦ f )) − . . . ∂xk k

=

X

=

X

(X · Y k )(

k

k

X ∂φ ∂2φ ◦ f) + Y kXj ◦ f − ... ∂xk ∂xj ∂xk j,k

∂φ (X · Y k − Y · X k )( ◦ f) ∂xk

Daraus folgt die Behauptung. Satz 25 (Levi-Civita). Sei f : (N, h) → (M, g) eine isometrische Immersion zwischen N

Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sei π : f ∗ T M → T N die orthogonale Projektion. Mit ∇ M

und ∇ bezeichen wir die Levi-Civita-Zusammenh¨ ange. Dann gilt f¨ ur X, Y ∈ Γ(T N )   N M ∇X Y = π (f ∗ ∇)X df (Y ) .

(16)

Bemerkungen: 1. Die Tangentialprojektion ist die Standardmethode zur Gewinnung einer kovarianten Ableitung auf Fl¨ achen im R3 und in analogen h¨oher- dimensionalen Situationen. 2. Eine leicht zu beweisende Verallgemeinerung des Satzes zeigt, daß auch die LeviCivita-Ableitung des hyperbolischen Raumes im Lorentzmodell einfach die lorentzorthogonale Projektion der Euklidischen Ableitung auf den Tangentialraum ist. Beweis. Wir definieren f¨ ur X, Y ∈ Γ(T N ) 

 ∇X Y := π (f ∇)X df (Y ) . ∗

M

Dann ist ∇ offenbar R-linear im zweiten und C ∞ (N )-linear im ersten Argument. F¨ ur φ : N → R gilt   M ∗ ∇X (φY ) = π (X · φ)df (Y ) + φ(f ∇)X df (Y ) = (X · φ)Y + φ∇X Y. Also ist ∇ eine kovariante Ableitung auf N . Wir zeigen nun die Ricci-Identit¨at und die Torsionsfreiheit von ∇. F¨ ur X, Y, Z ∈ Γ(T N ) ist M

M

h(∇X Y, Z) = g(df (π((f ∗ ∇)X df (Y ))), df (Z)) = g((f ∗ ∇)X df (Y ), df (Z)). Damit ergibt sich M

M

h(∇X Y, Z) + h(Y, ∇X , Z) = g((f ∗ ∇)X df (Y ), df (Z)) + g(df (Y ), (f ∗ ∇)X df (Z)) = X · g(df (Y ), df (Z)) Satz 24

= X · h(Y, Z) 12

(17)

Also gilt f¨ ur ∇ die Ricci-Identit¨ at. Schließlich ist nach Satz 24 M

M

(f ∗ ∇)X df (Y ) − (f ∗ ∇)X df (Y ) = df ([X, Y ]) Anwendung von π liefert ∇X Y − ∇Y X = πdf ([X, Y ]) = [X, Y ]. Damit ist ∇ auch torsionsfrei, also der Levi-Civita-Zusammenhang. Beispiel 26. Ein extremes Beispiel ist der Fall einer Isometrie f : (N, h) → (M, g). In diesem Fall folgt aus (16) N

M

M

df (∇X Y ) = df (π((f ∗ ∇)X df (Y ))) = (f ∗ ∇)X df (Y ). Isometrien erhalten die Levi-Civita-Ableitung.

˜ die kanonische Ableitung im Rm+1 bzw. im R(1,m) (die beiBeispiel 27. Bezeichnet ∇ den sind gleich!), so sind die Levi-Civita-Ableitungen der Sph¨are bzw. des hyperbolischen Raumes f¨ ur tangentiale Vektorfelder X, Y an der Stelle x gegeben durch Sm

˜ X Y + hX, Y ix, ∇ XY = ∇

Hm

˜ X Y − hX, Y ix. ∇ XY = ∇

13

3

Innere Metrik

In diesem Abschnitt machen wir Gebrauch von unserer Voraussetzung, daß Mannigfaltigkeiten hausdorffsch sind, genauer von der Implikation kompakt =⇒ abgeschlossen. Wir geben hier ein Beispiel einer nicht-hausdorffschen Mannigfaltigkeit, in der das nicht wahr ist. Beispiel 28. Sei X := R ∪ {p}, wobei p ∈ / R. Offene Teilmengen von X seien die offenen Teilmengen von R und alle Mengen der Form Y ∪ {p}, f¨ ur die Y ∪ {0} offen in R ist. Das definiert eine Topologie f¨ ur X. p

X

Die nebenstehende Abbildung zeigt X und eine typische offene Umgebung von p.

IR 0

Die Menge [−1, +1] ist kompakt, aber ihr Komplement in X ist nicht offen.

Satz 29. Sei (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Definiere f¨ ur p, q ∈ M d(p, q) := inf{L(c) | c ist eine st¨ uckweise C ∞ -Kurve von p nach q}. Dann ist (M, d) ein metrischer Raum, und die induzierte Topologie ist die Mannigfaltigkeitstopologie.

Beweis. Weil M lokal diffeomeorph zum Rm ist, ist die Menge der Punkte, die sich mit einem festen p ∈ M durch einen st¨ uckweise C ∞ -Weg verbinden lassen, offen. Dasselbe gilt f¨ ur die Menge der Punkte, die sich nicht mit p durch einen st¨ uckweise C ∞ -Weg verbinden lassen. Weil M zusammenh¨ angend ist, lassen sich alle Punkte mit p verbinden und d ist wohldefiniert und reellwertig. Die Eigenschaften d(p, p) = 0, d(p, q) = d(q, p), d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) einer Metrik sind evident. Als n¨ achstes wollen wir zeigen, daß d(p, q) = 0

=⇒

p = q.

(18)

Zwischenbetrachtung. Sei p ∈ M . Wir w¨ahlen eine Karte u : M ⊃ U → Rm um p mit u(p) = 0 und ein ρ > 0, so daß die abgeschlossen Kugel Bρ vom Radius ρ um 0 im Rm ganz in u(U ) liegt. Dann ist B := u−1 (Bρ ) eine kompakte Umgebung von p in M . Wir wollen die L¨ange von Kurven c : J → B vergleichen mit der Euklidischen L¨ange der Bildkurven u ◦ c im Rm . Wir schreiben φ := u−1 .

14

Die Abbildung Bρ × S m−1 → R,

(x, v) 7→

q

gφ(x) (dx φ(v), dx φ(v))

ist positiv und stetig auf einem Kompaktum und nimmt deshalb ihr Minimum δ > 0 und Maximum ∆ an. F¨ ur jedes (x, v) ∈ Bρ × Rm folgt δkvkeukl ≤ kdx φ(v)kg ≤ ∆kvkeukl . Daraus folgt δ Leukl (u ◦ c) ≤ L(c) ≤ ∆ Leukl (u ◦ c) f¨ ur jedes c in φ(Bρ ).

(19)

Sei nun q 6= p. Zu p w¨ ahlen wir u : U → Rm und ρ > 0 wie oben. Weil M hausdorffsch ist, k¨ onnen wir annehmen daß q ∈ / U . Die Menge φ(Bρ ) ist kompakt, also M \ φ(Bρ ) offen. Weil φ ein Diffeomorphismus ist, ist φ({x | kxk < ρ}) offen. Also teilt φ({x | kxk = ρ} die Mannigfaltigkeit in zwei disjunkte offene Mengen, die jeweils einen der Punkte p und q enthalten. Jede Kurve von p nach q trifft also φ({x | kxk = ρ} und die Kurvenl¨ange bis zum ersten Treffen ist ≥ ρ δ. Daher ist d(p, q) ≥ ρ δ und (18) bewiesen.3 Es bleibt zu zeigen, daß die Topologien u ¨bereinstimmen, d.h. die Gleichheit M −offen = d−offen. Ist q ∈ M mit d(p, q) < ρ δ, so liefert das vorstehende Argument q ∈ U . Also enth¨alt jede Kartenumgebung U von p eine offene d-Kugel um p, und daher sind die M −offenen Teilmengen d−offen. F¨ ur die Umkehrung bleiben wir bei den vorstehenden Bezeichnungen. Sei U (p) := {q | d(p, q) < } eine offene Kugel vom Radius  um p. Ggf. nach Verkleinerung von ρ k¨onnen wir annehmen, daß ρ ∆ < . Jedes q in der M -offenen Menge V := φ({x | kxk < ρ}) l¨aßt sich mit p durch eine Kurve der L¨ ange ≤ ρ ∆ verbinden, d.h. V ⊂ Uρ ∆ (p) ⊂ U (p). Offene d-Kugeln sind daher M −offen. Damit stimmen beide Topologien u ¨berein.

Beispiel 30. Im Euklidischen Raum erzeugt die kanonische Riemannsche Metrik gerade die u ¨bliche Euklidische Metrik. (Beweis?)

Beispiel 31. Im ersten Abschnitt haben wir gesehen, daß • auf der Sph¨ are S m d(p, q) = cos−1 hp, qi, • auf dem hyperbolischen Raum H m d(p, q) = cosh−1 (−hp, qi).

3 Um diese Argumentation zu genießen, betrachten Sie noch einmal das Beispiel 28 mit der offensichtlichen Riemannschen Metrik. Dort k¨ onnen Sie von p nach 0 auf beliebig kurzem Weg kommen, ohne den Rand einer ρ-Umgebung von 0 zu u ¨berqueren.

15

4

Geod¨ atische

Definition 32 (Beschleunigung). Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit LeviCivita-Ableitung ∇ und c : R ⊃ J → M eine Kurve in M , definiert auf einem Intervall J ⊂ R. Dann ist c˙ ∈ Γ(c∗ T M ) das Geschwindigkeitsfeld dieser Kurve. Bezeichnen wir mit d D = dt das kanonische Vektorfeld auf R, so ist also ∇D c˙ ∈ Γ(c∗ T M ) wieder ein Vektorfeld l¨angs c, das Beschleunigungsfeld von c. Lemma 33 (Beschleunigung unter Umparametrisierung). Gegeben seien die Daten aus der Definition und eine C ∞ Abbildung φ : I → J zwischen Intervallen. Dann gilt ¨ c˙ ◦ φ) + φ˙ 2 (∇D c) ∇D (c ◦ φ)˙ = φ( ˙ ◦ φ.

(20)

Beachten Sie: Das ist die offensichtliche Verallgemeinerung der Identit¨at (f ◦ g)00 = (f 0 ◦ g)g 00 + (f 00 ◦ g)(g 0 )2 . Beweis. Nach (15) gilt ¨ ˙ ˙ D (c◦φ) ˙ φ˙ 2 (∇D c)◦φ ˙ ∇D (c◦φ)˙ = ∇D (φ˙ (c◦φ)) ˙ = φ¨ (c◦φ)+ ˙ φ∇ ˙ = φ¨ (c◦φ)+ ˙ φ∇ dφ(D) c˙ = φ (c◦φ)+ | {z } ˙ D◦φ =φ

Definition 34. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Ableitung ∇.

(i) Eine Geod¨ atische ist eine Kurve c : R ⊃ J → M mit Beschleunigung 0: ∇D c˙ = 0. (ii) Eine Pr¨ ageod¨ atische ist eine Kurve c : R ⊃ J → M mit ∇D c˙ = λc˙ f¨ ur eine Funktion λ : J → R. Bemerkungen. 1. Aus der Ricci-Identit¨at folgt f¨ ur Geod¨atische c D · g(c, ˙ c) ˙ = 2g(∇D c, ˙ c) ˙ = 0. Geod¨ atische sind also mit konstanter Geschwindigkeit paramerisiert. 2. Parametrisiert man eine Pr¨ ageod¨atische c nach der Bogenl¨ange um4 , so ist also D · g((c ◦ φ)˙, (c ◦ φ)˙) = 0 und daher nach der Ricci-Identit¨ at g(∇D (c ◦ φ)˙, (c ◦ φ)˙) = 0. Andrerseits ist ∇D (c ◦ φ)˙ nach (20) proportional zu (c ◦ φ)˙ und daher = 0. Pr¨ageod¨atische werden also bei geeigneter Umparametrisierung zu Geod¨atischen. 3. Isometrien erhalten die Levi-Civita-Ableitung, vgl. Beispiel 26. Es gilt daher dc f (∇D c) ˙ = ∇D df (c) ˙ = ∇D (f ◦ c)˙,

(21)

Deshalb ist mit c auch f ◦ c eine Geod¨atische. Verschiedene Beispiele von Geod¨atischen und Pr¨ageod¨atischen sind Ihnen bereits bekannt. 4 Das

ist m¨ oglich, wenn c regul¨ ar, also eine Immersion ist.

16

Beispiel 35 (Großkreise). Parametrisiert man die Schnittkurve von S m oder vom LorentzH m mit einer Ebene durch 0 ∈ Rm+1 so liegt die (Euklidische) zweite Ableitung in dieser Ebene.

Weil letztere aber den Normalenvektor von S m bzw. H m enth¨ alt, ist die Tangentialprojektion der zweiten Ableitung linear abh¨ angig von der ersten Ableitung: die Kurven sind Pr¨ ageod¨ atische, vgl. Satz 25.

. c(t) .. c(t)

Beispiel 36 (Poincar´ emodell). Wir haben in Beispiel 22 f¨ ur die Kurve c˜ : [0, 1] → H m , t 7→ tv

mit kvk = 1

die Levi-Civita-Ableitung des H m ausgerechnet: ∇D c˜˙ =

2t ˙ c˜. 1 − t2

Sie ist also eine Pr¨ ageod¨ atische. Die Kurve c(t) = c˜(ψ(t)) hat die Geschwindigkeit g(c, ˙ c) ˙ =

˙ 2 4 4ψ(t) ˙ ˙ hψ(t)v, ψ(t)vi = 2 2 (1 − |c(t)| ) (1 − ψ(t)2 )2

Daher ist  c(t) =

tanh

t 2

 v

eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve, denn (tanh)˙ = 1 − tanh2 .

Beispiel 37 (Fixkurven von Isometrien). Seien c : R ⊃ J → M eine mit konstanter Geschwindigkeit parametrisierte Kurve und f : M → M eine Isometrie, die c fest l¨aßt: f ◦ c = c. Weiter gelte ker(Id − dc(t) f ) = Rc˙ f¨ ur alle t. Dann ist c eine Geod¨ atische. Insbesondere gilt das f¨ ur Meridiankurven von Rotationsfl¨ achen. Das gibt einen neuen Beweis f¨ ur die Aussage von Beispiel 35. Beweis. Aus (21) folgt wegen f ◦ c = c, daß dc f (∇D c) ˙ = ∇D c. ˙ Also ist ∇D c˙ ∈ Rc. ˙ Andrerseits folgt aus g(c, ˙ c) ˙ = const. durch Differenzieren 0 = Dg(c, ˙ c) ˙ = 2g(∇D c, ˙ c), ˙ und deshalb ist ∇D c˙ = 0.

17

Beispiel 38 (Biinvariante Metriken auf Liegruppen). F¨ ur eine biinvariante Metrik g auf einer Liegruppe G, war die Levi-Civita-Ableitung 1 [X, Y ], 2

∇X Y =

X, Y ∈ g.

Vgl. Beispiel 20. Ist X ∈ g ein linksinvariantes Vektorfeld, so folgt f¨ ur seine Integralkurve c(t) = exp(tX) 1 [X, X] ◦ c = 0. 2

∇D c˙ = (∇X X) ◦ c =

Die Integralkurven von linksinvarianten Vektorfeldern sind also Geod¨atische der biinvarianten Metrik. Die spezielle orthogonale Gruppe SO(3) gestattet biinvariante Metriken. Ein solche ist zum Beispiel gegeben durch hX, Y i := Spur(XY t )

f¨ ur X, Y ∈ so(3).

Die Integralkurve von  0 −1 X = 1 0 0 0

 0 0 ∈ so(3) 0

ist gegeben durch die Drehung um die z-Achse:  cos t c(t) := etX =  sin t 0

 − sin t 0 cos t 0 , 0 1

Das ist also eine Geod¨ atische in SO(3).

Geod¨ atischengleichung in lokalen Koordinaten. Sei (u, U ) eine Karte f¨ ur M . Dann ist ∇ gegeben durch die Christoffelsymbole ∇

∂ ∂ui

X ∂ ∂ = Γkij . ∂uj ∂uk k

Beschreibt man die Kurve c in U durch die Komponentenfunktionen in der Karte, d.h. setzt man ci := ui ◦ c, so lautet die Bedingung daf¨ ur, daß c eine Geod¨atische ist c¨k +

X

Γkij (c)c˙i c˙j = 0.

i,j

Vergleichen Sie dazu die Rechnung im Beweis von Lemma 33. Das ist eine (nichtlineare) gew¨ ohnliche Differentialgleichung 2. Ordnung. Als gibt es zu gegebenen Anfangswerten c(a), c(a) ˙ lokal genau eine Geod¨atische c :]a − , a + [ → M .

18

Satz 39 (Exponentialabbildung). Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau eine C ∞ -Abbildung exp : W → M einer offenen Teilmenge W ⊂ T M mit folgender Eigenschaften: F¨ ur alle p ∈ M, v ∈ Tp M ist Jv := {t | tv ∈ W } ein offenes Intervall um 0, und cv : Jv → M, t 7→ exp tv ist die eindeutig bestimmte maximale Geod¨ atische mit c˙v (0) = v. Wp := W ∩ Tp M ist eine offene sternf¨ ormige Umgebung von 0 ∈ TM und es gilt d0 (exp |Tp M ) = IdTp M . Insbesondere bildet exp eine Umgebung von 0 in Tp M diffeomorph auf eine Umgebung von p in M ab. (Geod¨ atische Koordinaten). Die Abbildung exp heißt die Exponentialabbildung von (M, g).

Beweis. Tp M

Wir formulieren die Geod¨ atischengleichung um als Differentialgleichung 1. Ordnung auf TM und wenden dann den Satz u ¨ber den maximalen Fluß eines Vektorfeldes an.

W ∩ Tp M tv

exp tv

M

0. Vorbemerkung. Wir notieren eine Geod¨atische mit Anfangsvektor v als cv . Dann gilt • Ist c eine Geod¨ atische, so ist auch γ(t) = c(t0 + t) wieder eine Geod¨atische und γ(0) ˙ = c(t ˙ 0 ). Also gilt cc(t (t0 + t). (22) ˙ 0 ) (t) = cc(0) ˙ • Ist c eine Geod¨ atische, so ist auch δ(t) = cv (τ t) wieder eine Geod¨atische und es gilt ˙ δ(0) = τ c(0). ˙ Also gilt cc(0) (τ t) = cτ c(0) (t) (23) ˙ ˙ und insbesondere (mit t = 1 und t statt τ ) cc(0) (t) = ctc(0) (1). ˙ ˙

(24)

1. Der geod¨ atische Spray Sei π : T M → M das Tangentialb¨ undel von M . Jede Karte u(U ) ˜ = u−1 (U )) f¨ induziert eine Karte (˜ u, U ur T M wie folgt: u ˜(v) := (u1 (π(v)), . . . , um (π(v)), du1 (v), . . . , dum (v)).

(25)

Zu v ∈ T M sei cv : J → M eine Geod¨atische mit c˙v (0) = v. Dann hat man c˙v : J → T M und wir setzen ˜ v := c¨v (0) ∈ Tv T M. X

(26)

˜ ein wohldefiniertes Vektorfeld auf Da cv bis auf den Definitionsbereich eindeutig ist, ist X T M , der sogenannte geod¨ atische Spray von (M, g). Wir wollen zeigen, daß es differenzierbar 19

˜u ist. Dazu reicht der Nachweis, daß X ˜ f¨ ur die in (1) definierten Karten differenzierbar ist. ˜ Dann sind die Koeffizienten von X in der Karte u ˜ differenzierbar. F¨ ur 1 ≤ k ≤ m ist d d d ˜v u X ˜k = c¨v (0) u ˜k = (˜ uk ◦ c˙v )(0) = (uk (π(c˙v )))(0) = (uk ◦ cv )(0) dt dt dt = duk (c˙v (0)) = duk (v) = u ˜m+k (v). Ebenso d d ˜v u um+k ◦ c˙v )(0) = (duk (c˙v )) = c¨vk X ˜m+k = (˜ dt dt X  X k =− Γij (cv (0))c˙vi (0)c˙vj (0) = − (Γkij ◦ π)˜ um+i u ˜m+j (v). ˜ und Geod¨atische. Ist c eine Geod¨atische, so ist cc(t 2. Integralkurven von X ˙ 0 ) (t) = c(t + t0 ). Also ist d d ˜ c(t c(t ˙ + t0 )(0) = c(t ˙ 0 ). X ˙ 0) = dt dt ˜ Also ist c˙ eine Integralkurve von X. ˜ Sei c eine Geod¨atische mit c(t Sei umgekehrt c˜ eine Integralkurve von X. ˙ 0 ) = c˜(t0 ). Dann ist ˜ also stimmen c˜ und c˙ auf einer Umgebung von t0 u auch c˙ eine Integralkurve von X, ¨berein. Es folgt, daß π ◦ c˜ = π ◦ c˙ = c eine Geod¨atische ist. ˜ : R × TM ⊃ W ˜ → T M der maximale Fluß von X. ˜ Wir 3. Die Exponentialabbildung. Sei Φ setzen ˜} W := {v | (1, v) ∈ W ˜ v). exp : W → M, v 7→ π ◦ Φ(1, ˜ offen und exp differenzierbar. Weiter gilt Offenbar sind W mit W ˜ tv) = ctv (1) = cv (t) = π ◦ Φ(t, ˜ v). exp(tv) = π ◦ Φ(1, Deshalb ist Jv → M, t 7→ exp(tv) die maximale Geod¨atische mit c˙ = v. Offenbar ist Wp offen und sternf¨ ormig bez¨ uglich 0 in Tp M . Schließlich ist d0 exp(v) = D exp(tv)|0 = Dcv (0) = v. Beispiel 40. F¨ ur Liegruppen mit biinvarianter Metrik haben wir schon gesehen, daß die Integralkurven linksinvarianter Vektorfelder Geod¨atische sind. Sie sind auf ganz R definiert und werden in der Liegruppentheorie ebenfalls mit t 7→ exp tX, bezeichnet. In diesem Fall ist also W = T M .

20

X∈g

5

Geod¨ atische und Ku ¨ rzeste

Im Euklidischen Raum sind Strecken durch zwei wichtige Eigenschaften ausgezeichnet: Sie sind gerade, d.h. sie haben keine Kr¨ ummung, und sie sind k¨ urzeste Verbindungen ihrer Endpunkte. Die Geradheit bedeutet bei Parametrisierung mit konstanter Geschwindigkeit gerade die Beschleunigungsfreiheit, Strecken sind Geod¨atische. Wir wollen nun kl¨aren, wieweit Geod¨ atische in Riemannschen Manigfaltigkeiten auch die K¨ urzesteneigenschaft haben. Definition 41. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und c : [a, b] → M eine Kurve. (i) Sei J ⊂ R ein offenes Intervall um 0. V : [a, b] × J → M, (t, τ ) 7→ V (t, τ ) = cτ (t) heißt eine Variation von c, wenn c = c0 . Gilt u ¨berdies cτ (a) = c(a),

cτ (b) = c(b)

f¨ ur alle τ,

so heißt V eine Variation mit festen Endpunkten. (ii) Sei V eine Variation von c. Seien

∂ ∂ ∂t , ∂τ 2

die beiden konstanten Einheitsvektorfelder in

Richtung der kanonischen Basis auf R . Wir definieren Vektorfelder l¨angs V durch

X

∂ ∂ ) = V(t,τ ) = c˙τ (t) ∂t ∂t ∂ ∂ := d(t,τ ) V ( ) = V(t,τ ) ∂τ ∂τ

X(t,τ ) := d(t,τ ) V ( Y(t,τ )

Y

c0 cτ

Y heißt das Variationsvektorfeld von V .

Satz 42 (Erste Variation der Bogenl¨ ange). Sei V eine Variation der nicht-konstanten Geod¨ atischen c : [a, b] → M , und sei Z L(τ ) := L(cτ ) =

b

q gcτ (t) (c˙τ (t), c˙τ (t))dt.

a

Dann gilt f¨ ur X und Y wie oben ∂ X (b,0) L(0) = g(Y, )| . ∂τ kXk (a,0) Dabei ist kX(t,0) k gerade die (konstante) Geschwindigkeit der Geod¨ atischen, also ∂ (b,0) L(0) = g(Y, X)|(a,0) , ∂τ falls c nach der Bogenl¨ ange parametrisiert ist. Insbesondere ist f¨ ur Variationen mit festen Endpunkten wegen Y(a,0) = 0, Y(b,0) = 0 ∂ L(0) = 0. ∂τ

21

Beweis. ∂ ∂ L(τ ) = ∂τ ∂τ Z b =

gcτ (t) (c˙τ (t), c˙τ (t))dt

1 ∂ gc (t) (c˙τ (t), c˙τ (t))dt 2kc˙τ (t)k ∂τ τ

b

1 ∂ g(X, X)(t,τ ) dt 2kX(t,τ ) k ∂τ

= a b

Z

q

a

a

Z

b

Z

1

=

kX(t,τ ) k

a

g(∇

∂ ∂τ

X, X)(t,τ ) dt

Aber nach Satz 24 hat man ∇

∂ ∂τ

X −∇∂ Y =∇ ∂t

∂ ∂τ

dV (

∂ ∂ ∂ ∂ ) − ∇ ∂ dV ( ) = dV ([ , ]) = 0. ∂t ∂t ∂τ ∂τ ∂t

Es folgt d L(τ ) = dτ

Z a

b

1 kX(t,τ ) k

g(∇ ∂ Y, X)(t,τ ) dt ∂t

und wegen der Konstanz von kX(t,0) k =: λ d 1 L(0) = dτ λ

Z

1 λ

Z

1 λ

Z

1 = λ

Z

= =

b

g(∇ ∂ Y, X)(t,0) dt ∂t

a b

(

∂ g(Y, X)(t,0) − g(Y, ∇ ∂ X)(t,0) )dt ∂t ∂t

(

∂ g(Y, X)(t,0) − g(Y(t,0) , (∇D c) ˙ t ))dt ∂t

a b

a b

∂ g(Y, X)(t,0) dt ∂t a X (b,0) = g(Y, )| . kXk (a,0)

Im folgenden Satz betrachten wir die Einschr¨ankung der Exponentialabbildung auf einen Tangentialraum Tp M , genauer auf die offene Teilmenge Wp = W ∩ Tp M davon. Dann ist f¨ ur x ∈ Wp Tp M ∼ = Tx (Tp M ) ⊂ Tx (T M ), und in diesem Sinne dx exp : Tp M → Texp(x) M .

Satz 43 (Gauß-Lemma). Die Exponentialabbildung der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) ist in jedem Punkt radialisometrisch: Ist Wp der Definitionsbereich von exp |Tp M , so gilt f¨ ur alle x ∈ Wp und v, w ∈ Tp M mit v ∈ Rx: gexp x (dx exp(v), dx exp(w)) = gp (v, w). F¨ ur hinreichend kleines δ > 0 werden also die Sph¨ aren {x ∈ Tp M | gp (x, x) = δ 2 } durch exp diffeomorph auf Untermannigfaltigkeiten von M abgebildet, die die von p ausgehenden Geod¨ atischen senkrecht schneiden.

22

Beweis. Trivial f¨ ur x = 0, weil d0 exp |Tp M = Id. Sei also x 6= 0 und o.E. v = x. Wir betrachten die Variation V (t, τ ) := exp(t(x cos τ + w sin τ )) von t 7→ exp tx. Daf¨ ur ist X(t,0) = dtx exp(x) Y(t,0) = dtx exp(tw). Es gilt L(τ ) = kx cos τ + w sin τ k und deshalb

∂L 2g(x, w) x (0) = = g(w, ). ∂τ 2kxk kxk Einsetzen dieser Gr¨ oßen in die Variationsformel liefert wegen Y(0,0) = 0 g(w,

dx exp(x) x ) = gexp x (dx exp(w), ) kxk kxk

und damit die Behauptung. Satz 44 (Geod¨ atische sind lokal K¨ urzeste I). Sei (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Seien p ∈ M und  > 0. Die Menge W := {x ∈ Tp M | kxk < } werde durch exp diffeomorph in M abgebildet. Dann ist f¨ ur alle x ∈ W d(p, exp x) = kxk und exp(W ) = {q ∈ M ; d(p, q) < }. Die Kurve c : [0, 1] → M, t 7→ exp(tx) ist die (bis auf monotone Umparametrisierung) eindeutig bestimmte k¨ urzeste Kurve von p nach exp x.

Beweis. Wir wissen bereits, daß c : [0, 1] → M eine Kurve der L¨ange kxk von p nach exp x ist. Wir zeigen: Ist γ : [a, b] → M eine Kurve von p nach exp x, so ist L(γ) ≥ kxk. Wir nehmen zun¨ achst an, daß γ = exp γ˜ f¨ ur eine Kurve γ˜ in W . Wir k¨onnen weiter anneh˜ : y 7→ y das radiale Einheitsvektorfeld men, daß γ˜ (t) 6= 0 f¨ ur t > a. Wir bezeichnen mit R kyk auf W \{0} und mit R das dazu unter dem Diffeomorphismus exp korrespondierende Feld auf exp(W \{0}). Beachte, daß R nach dem Gauß-Lemma ein Einheitsfeld ist. Dann gilt Z bq Z b L(γ) = gγ (γ, ˙ γ)dt ˙ ≥ gγ (γ, ˙ Rγ )dt a

a

Z

b

˜ γ˜ )dt = gp (γ˜˙ , R

= a

Z = a

Z a

b

b

γ˜ gp (γ˜˙ , )dt k˜ γk

d k˜ γ kdt = k˜ γ (b)k = kxk. dt

23

Gleichheit erh¨ alt man nur, wenn γ˙ stets ein positives Vielfaches von R ◦ γ ist, d.h. wenn γ = c bis auf monotone Umparametrisierung. Verl¨ aßt die Kurve γ die Menge exp(W ), so verl¨aßt ihr (exp |W ) -Urbild“ die Kugel W , und ” nach der vorstehenden Rechnung ist ihre L¨ange ≥ . Damit ist der Satz vollst¨ andig bewiesen. Beispiel 45. Mit dem Gaußlemma erh¨alt man einen neuen Beweis f¨ ur die K¨ urzestenEigenschaft der Großkreisb¨ ogen“ aus Beispiel 17. ”

Lemma 46. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Dann gibt es  > 0 und eine Umgebung U von p in M , so daß f¨ ur alle q ∈ U die Menge W (q) := {v ∈ Tq M | kvk < } durch exp diffeomorph in M abgebildet wird.

Beweis. Wir schreiben in diesem Beweis 0q f¨ ur den Nullvektor in Tq M und bezeichnen mit exp : T M ⊃ W → M die Exponentialabbildung von (M, g). Definiere E : T M ⊃ W → M × M, v 7→ E(v) = (π(v), exp v). Dann gilt f¨ ur alle q ∈ M E(0q ) = (q, q), d0q E = (d0q π, d0q exp)

ist ein Isomorphismus.

(27) (28)

Zum Beweis von (28) betrachte f¨ ur v ∈ Tq M die Kurven a : t 7→ 0exp(tv) und b : t 7→ tv in T M . Dann gilt E(a(t)) = (exp(tv), exp(tv))

=⇒

E(b(t)) = (q, exp(tv))

=⇒

d0 E(a(0)) ˙ = (v, v) ˙ d0 E(b(0)) = (0, v).

Daher ist E in allen Punkten 0q ein lokaler Diffeomorphismus, und es gibt eine offene Um˜ von 0p , die durch E diffeomorph abgebildet wird. Dazu gibt es eine Umgebung gebung W U in M und ein  > 0, so daß ˜. {v ∈ T M | π(v) ∈ U ∧ kvk < } ⊂ W Dann ist E|W (q) f¨ ur alle q ein Diffeomorphismus auf E(W (q)) = {q} × exp(W (q)) Also ist auch exp |W (q) ein Diffeomorphismus. Satz 47 (Geod¨ atische sind lokal K¨ urzeste II). Sei c : [a, b] → M eine Geod¨ atische in der zusammenh¨ angenden Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Dann gibt es eine Zerlegung a = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = b, so daß c|[ti−1 ,ti ] f¨ ur jedes i die (bis auf Parametrisierung eindeutig bestimmte) K¨ urzeste zwischen den Endpunkten ist.

Beweis. W¨ ahle zu t eine Umgebung U von p = c(t) und ein t wie im Lemma. Wegen der Kompaktheit von [a, b] gibt es dann ein  > 0, so daß W (c(t)) f¨ ur alle t diffeomorph 24

abgebildet wird. W¨ ahle die Zerlegung von [a, b] so fein, daß d(c(ti−1 ), c(ti )) <  f¨ ur alle i. Dann ist c(ti ) ∈ exp(W (c(ti−1 ))) und deshalb c|[ti−1 ,ti ] die bis auf Parametrisierung eindeutig bestimmte K¨ urzeste zwischen c(ti−1 ) und c(ti ). Wir kommen jetzt zur umgekehrten Frage: Sind K¨ urzeste in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit auch Geod¨ atische?

Satz 48 (K¨ urzeste sind Pr¨ ageod¨ atische). Seien (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit und p, q ∈ M . Sei γ : [a, b] → M eine st¨ uckweise-C ∞ -Kurve von p nach q mit d(p, q) = L(γ). Dann gibt es eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische c : [0, L(γ)] → M und eine st¨ uckweise–C ∞ -Funktion φ : [a, b] → [0, L(γ)] mit γ = c ◦ φ.

Beweis. Weil γ([a, b]) kompakt ist, gibt es nach dem Lemma 46 ein  > 0, so daß jedes W (γ(t)) durch exp diffeomorph abgebildet wird. W¨ahle eine Zerlegung a = t0 ≤ . . . ≤ tk = b, so daß γ|[ti−1 ,ti ] differenzierbar und d(γ(ti−1 ), γ(ti+1 )) < .

(29)

Weil γ K¨ urzeste ist, gilt nach der Dreiecksungleichung f¨ ur s < t L(γ|[s,t] ) = d(γ(s), γ(t)).

(30)

Aus (29), (30) folgt nach dem Satz 44 γ([ti−1 , ti+1 ]) ⊂ exp(W (γ(ti−1 ))) und γ|[ti−1 ,ti+1 ] ist eine monoton umparametrisierte Geod¨atische: γ|[ti−1 ,ti+1 ] = ci−1 ◦ φi−1 , φi−1 : [ti−1 , ti+1 ] → R st¨ uckweise C ∞ . Insbesondere hat γ an der Stelle ti keinen echten Knick! Wir nehmen o.E. an, daß ci−1 nach der Bogenl¨ ange parametrisiert ist: kc˙i−1 k = 1. Dann hat das Definitionsintervall von ci−1 die L¨ ange L(γ|[ti−1 ,ti+1 ] ) = L(γ|[t0 ,ti+1 ] ) − L(γ|[t0 ,ti−1 ] ). Wir k¨onnen deshalb annehmen, daß ci−1 : [L(γ|[t0 ,ti−1 ] ), L(γ|[t0 ,ti+1 ] )] → M. Auf [L(γ|[t0 ,ti ] ), L(γ|[t0 ,ti+1 ] )] sind dann sowohl ci−1 als auch ci definierte, nach der Bogenl¨ ange parametrisierte k¨ urzeste Geod¨atische von γ(ti ) nach γ(ti+1 ). Also stimmen sie auf diesem Intervall u ¨berein, und die ci setzen sich zu einer nach der Bogenl¨ange parametrisierten Geod¨ atischen c : [0, L(γ)] → M zusammen. Offenbar setzen sich auch die φi zu einer stetigen, st¨ uckweise differenzierbaren Abbildung φ : [a, b] → [0, L(γ)] zusammen.

25

6

Geod¨ atische Konvexit¨ at

Die folgenden Definitionen ben¨ otigen wir momentan nur im Beweis von Satz 51. Sie sind aber auch sonst von Interesse. Definition 49. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und φ eine differenzierbare Funktion auf M . (i) Der Gradient von φ ist das Vektorfeld definiert durch g(gradp φ, v) := dp φ(v) = v · φ f¨ ur alle p ∈ M, v ∈ Tp M . (ii) Die Hessesche von φ ist das Bilinearformenfeld definiert durch hess φ(v, w) := g(∇v gradφ, w) f¨ ur alle p ∈ M, v, w ∈ Tp M . In kritischen Punkten von φ h¨angt also die 2. Ableitung nicht von der kovarianten Ableitung ab. Lemma 50. Es gilt (i) hess φ(v, w) = hess φ(w, v). (ii) Ist gradp φ = 0, so gilt f¨ ur ein beliebiges Vektorfeld W mit Wp = w: hess φ(v, w) = v · (W · φ).

Beweis. Seien V, W Vektorfelder mit Vp = v, Wp = w. Dann ist g(∇V grad φ, W ) = V · g(grad φ, W ) − g(grad φ, ∇V W ) = V · (W · φ) − (∇V W ) · φ Ist 0 = gradp φ, so folgt daraus (ii). Im allgemeinen k¨onnen wir wegen der Torsionsfreiheit weiter schließen g(∇V grad φ, W ) = V · (W · φ) − (∇W V + [V, W ]) · φ = V · (W · φ) − (∇W V ) · φ − V · (W · φ) + W · (V · φ) = W · (V · φ) − (∇W V ) · φ = g(∇W grad φ, V ). Daraus folgt die Symmetrie der Hesseschen. Satz 51 (Geod¨ atisch-konvexe Umgebungen). Sei (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jedem Punkt p ∈ M ein δ0 > 0, so daß f¨ ur alle δ ∈]0, δ0 [ die offene d-Kugel Uδ (p) vom Radius δ um p geod¨ atisch konvex ist: je zwei Punkte x, y ∈ Uδ (p) lassen sich durch genau eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte K¨ urzeste von x nach y verbinden, und diese liegt in Uδ (p).

Beweis. A. Sei 0 > 0 so gew¨ ahlt, daß exp |W

0 (p)

ein Diffeomorphismus ist. Dann gibt es

nach dem Lemma 46 zu der kompakten Menge C := exp(W0 (p)) ein  > 0, so daß exp |W (q) 26

f¨ ur jedes q ∈ C ein Diffeomorphismus ist. Wir w¨ahlen ein solches  mit  < 0 , und setzen δ0 = /2. Sei 0 < δ < δ0 . Dann gilt f¨ ur q, r ∈ exp(Wδ (p)), daß q ∈ C und d(q, r) < 2δ < . Daher gibt es eine bis auf Parametrisierung eindeutig bestimmte K¨ urzeste c : [a, b] → M von q nach r. Es gilt nach der Dreiecksungleichung c([a, b]) ⊂ exp(W (p)), aber im allgemeinen nicht c([a, b]) ⊂ exp(Wδ (p)). B. F¨ ur eine Geod¨ atische c und eine C ∞ -Funktion φ auf M gilt mit D =

d dt

D2 (φ ◦ c) = Dg(gradc φ, c) ˙ = g(∇D gradc φ, c) ˙ + g(gradc φ, ∇D c˙) = hess φ(c, ˙ c). ˙ |{z} =0

Wir betrachten auf exp(W (p)) die Funktion φ := d(p, .)2 = k(exp |W (p) )−1 (.)k2 . F¨ ur die Geod¨ atische cv : t 7→ exp(tv) mit v ∈ Tp M gilt D2 (φ ◦ cv ) = D2 ktvk2 = 2kvk2 . Die letztere Formel zeigt, daß hess φ in p positiv-definit ist. W¨ahlt man  klein genug, so ist hessq φ positiv-definit f¨ ur alle q ∈ exp(W (p)), d.h. φ ◦ c ist f¨ ur alle Geod¨atischen in exp(W (p)) eine konvexe Funktion und es gilt d(p, c) < δ.

27

7

Der Satz von Hopf-Rinow

Definition 52. Die Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt (geod¨atisch) vollst¨ andig, wenn es einen Punkt p ∈ M gibt, so daß exp auf ganz Tp M definiert ist, d.h. so daß jede Geod¨ atische durch p sich auf ganz R fortsetzen l¨aßt. Lemma 53. Sei (M, g) geod¨ atisch vollst¨ andig bez¨ uglich p und zusammenh¨ angend. Dann gibt es zu jedem q ∈ M eine Geod¨ atische c von p nach q mit L(c) = d(p, q).

Beweis. Wir setzen r := d(p, q) und w¨ahlen  > 0 so, daß exp den kompakten Ball W (p) diffeomorph auf eine Menge B(p) ⊂ M abbildet. Sei S(p) = exp({w ∈ Tp M | kwk = }) deren Rand. Wir nehmen an, daß q ∈ / B(p), denn sonst sind wir ohnehin fertig. Die stetige Funktion d(., q)|S(p) nimmt ihr Minimum an in einem Punkt x = exp(v),

v ∈ Tp M, kvk = 1.

Nach Voraussetzung ist die Geod¨atische c(t) := exp(tv) f¨ ur alle t ∈ R definiert. Es gen¨ ugt zu zeigen: c(r) = q,

(31)

denn dann ist c|[0,r] eine Geod¨ atische der L¨ange r von p nach q und die Behauptung ist bewiesen. Zum Beweis von (31) beachten wir, daß f¨ ur alle t nach der Dreiecksungleichung d(c(t), q) ≥ d(p, q) − d(p, c(t)) ≥ r − t

(32)

gilt. Wir betrachten die Menge der t, die Gleichheit liefern: A := {t ∈ [0, r] | d(c(t), q) = r − t}. Es gen¨ ugt zu zeigen: sup A = r.

(33)

Weil A offenbar abgeschlossen ist, ist dann r ∈ A, also d(c(r), q) = r − r = 0 und (31) ist erf¨ ullt. Zun¨ achst ist A 6= ∅, weil 0 ∈ A, und daher ist sup A ∈ [0, r]. Zwischenbetrachtung. Weil wir das Argument sp¨ater brauchen, zeigen wir, daß auch  ∈ A. Andernfalls w¨ are n¨ amlich d(x, q) = d(c(), q) > r −  = d(p, q) − . Das bedeutet d(p, q) <  + d(x, q), und es gibt einen Weg der L¨ange <  + d(x, q) von p nach q. Dieser trifft S(p) in einem Punkt y ∈ S(p) mit d(p, y) + d(y, q) =  + d(y, q) <  + d(x, q). 28

Dann w¨ are d(y, q) < d(x, q) im Widerspruch zur Wahl von x. Wir halten fest: d(x, q) = d(c(), q) = r − .

(34)

Es gen¨ ugt zu zeigen: Ist t0 ∈ A ∩ [0, r[, so gibt es 0 > 0 mit t0 + 0 ∈ A.

(35)

Daraus folgt dann (33), und wir sind fertig. Zum Beweis der letzten Behauptung setzen wir p0 := c(t0 ) und w¨ahlen ein 0 < r − t0 , so daß exp auf W0 (p0 ) ein Diffeomorphismus ist. Wir definieren S(p0 ), und x0 ∈ S(p0 ) analog zu S(p) und x. Weil t0 ∈ A ist, ist d(p0 , q) = r − t0 . Das Argument der Zwischenbetrachtung liefert deshalb d(x0 , q) = r − t0 − 0 (36) und d(p, x0 ) ≥ d(p, q) − d(x0 , q) = t0 + 0 . Der geod¨ atische Weg c von p nach p0 gefolgt von der minimalen Geod¨atischen von p0 nach x0 hat die L¨ ange t0 + 0 und ist deshalb eine K¨ urzeste, also eine (Pr¨a-)Geod¨atische ohne Knick, d.h. x0 = c(t0 + 0 ). Aus (36) folgt (35).

Satz 54. (Hopf-Rinow 1931). Sei (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit innerer Metrik d. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (i) (M, g) ist geod¨ atisch vollst¨ andig. (ii) Jede abgeschlossene und beschr¨ ankte Teilmenge von (M, d) ist kompakt. (iii) (M, d) ist vollst¨ andig. Zusatz: In diesem Fall lassen sich je zwei Punkte p, q ∈ M durch eine Geod¨ atische c mit L(c) = d(p, q) verbinden und jede Geod¨ atische l¨ aßt sich auf ganz R fortsetzen.

Beweis. (i) =⇒ (ii). Sei exp auf ganz Tp M definiert. Sei A ⊂ M abgeschlossen und beschr¨ ankt. Weil A beschr¨ ankt ist, gibt es nach dem Lemma ein r > 0, so daß A ⊂ exp(Wr (p)). Die letztere Menge ist als stetiges Bild einer kompakten Menge kompakt. Als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist dann auch A kompakt. (ii) =⇒ (iii). (Diese Implikation gilt in beliebigen metrischen R¨aumen.) Sei (pn ) eine dCauchyfolge in M . Dann ist A := {pn } eine abgeschlossene und beschr¨ankte Menge. Also besitzt (pn ) nach Bolzano-Weierstraß eine gegen p ∈ A konvergente Teilfolge. Weil (pn ) Cauchyfolge ist, konvergiert die Folge selbst gegen A. (iii) =⇒ (i). Sei c : [0, b[→ M eine nach rechts maximal fortgesetzte, nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ atische. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß dann b = ∞. Dann l¨aßt sich jede Geod¨ atische auf ganz R fortsetzen und (M, g) ist insbesondere geod¨atisch vollst¨andig. Annahme: b < ∞. Sei (tn ) eine von unten gegen b konvergente Folge. Wegen d(c(s), c(t)) ≤ |t − s| 29

(37)

ist (c(tn )) eine Cauchyfolge, also konvergent gegen einen Punkt q ∈ M . Die Menge {c(tn )} ∪ {q} ist kompakt. Nach dem Lemma 46 gibt es  > 0, so daß exp |W (c(tn )) f¨ ur alle n ein Diffeomorphismus ist. W¨ ahle n mit b − tn < . Dann ist c|[tn ,b[ eine Geod¨atische in W (c(tn )) der L¨ ange < , l¨ aßt sich also u ¨ber b hinaus verl¨angern. Widerspruch zur Annahme! Es ist einleuchtend, daß der Satz von Hopf-Rinow u ¨berall in der globalen Differentialgeometrie eine Rolle spielt, weil es dort eben um vollst¨andige Mannigfaltigkeiten geht. Ein ¨ wichtiger Begriff in dem Zusammenhang ist der Uberlagerungsbegriff, auf den wir jetzt kurz eingehen. ¨ Definition 55. Eine surjektive differenzierbare Abbildung π : N → M heißt eine Uberlagerung, wenn gilt: Zu jedem p ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von p, so daß π −1 (U ) die disjunkte Vereinigung offener Mengen Ui ⊂ N ist, deren jede durch π diffeomorph auf U abgebildet wird. Bemerkung: Die Funktion p 7→ #π −1 ({p}) ist lokal konstant auf M und heißt die Bl¨atterzahl von π. Beispiel 56. • R → S 1 , x 7→ exp(ix) • S m → RP m . • Die 3-Sph¨ are S 3 kann man als Menge der Quaternionen vom Betrage 1 betrachten: Sie bildet dann eine 3-dimensionale Liegruppe. F¨ ur q ∈ S 3 bildet die Konjugati3 −1 on H → H, x 7→ qxq den zu R isomorphen Raum der imagin¨aren Quaternionen Spann{i, j, k} in sich ab und induziert so eine orthogonale Abbildung Aq ∈ SO(3). Die ¨ ¨ Abbildung S 3 → SO(3), q 7→ Aq ist eine 2-bl¨attrige Uberlagerung. Die Uberlagerungseigenschaft beweist man leicht mit dem Satz 58.

˜ , g˜), (M, g) zusammenh¨ ¨ Satz 57 (Riemannsche Uberlagerungen). Seien (M angende ˜ , g˜) sei vollst¨ Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension. (M andig und ˜ , g˜) → (M, g) π : (M ˜ ist dp˜π : Tp˜M ˜ → Tp M eine Isometrie. eine isometrische Immersion, d.h. f¨ ur alle p˜ ∈ M ¨ Dann ist π eine Uberlagerung.

Beweis. Als Immersion zwischen gleichdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist π ein lokaler Diffeomorphismus, also eine lokale Isometrie. Insbesondere bildet π Geod¨atische in Geod¨atische ab. ˜ , p := π(˜ ˜ mit p) und v ∈ Tp M . Dann gibt es v˜ ∈ Tp˜M A) (M, g) ist vollst¨ andig. Seien p˜ ∈ M dπ(˜ v ) = v, und t 7→ π(exp(t˜ v )) ist eine Geod¨atische in (M, g) mit c(0) ˙ = dπ(˜ v ) = v. Daraus folgt, daß auch (M, g) vollst¨ andig ist und daß ˜

π ◦ expM = expM ◦ dπ.

30

(38)

˜ , p := π(˜ ˜ ). B) π ist surjektiv. Seien p˜ ∈ M p) und q ∈ M . Wir wollen zeigen, daß q ∈ π(M ˜ mit dπ(˜ Nach dem Satz von Hopf-Rinow gibt es v ∈ Tp M mit exp v = q. Sei v˜ ∈ Tp˜M v ) = v. Dann ist nach (38) π(exp v˜) = exp v = q. ¨ Sei p ∈ M . W¨ahle dazu  > 0, so daß exp auf W2 (p) ein C) π ist eine Uberlagerung. Diffeomorphismus ist und definiere ˜

U := expM (W (p)),

Up˜ := expM (W (˜ p))

f¨ ur alle p˜ ∈ π −1 ({p}). Es gen¨ ugt zu zeigen: F¨ ur alle p˜ ∈ π −1 ({p}) ist Up˜ offen und π|Up˜ : Up˜ → U ein Diffeomorphismus. [ π −1 (U ) = Up˜. F¨ ur p˜ 6= q˜ mit π(˜ p) = π(˜ q ) = p ist Up˜ ∩ Uq˜ = ∅. ˜

(39) (40) (41)

˜

p) ein Diffeomorphismus Zu (39). Aus (38) folgt, daß π ◦ expM , also erst recht expM , auf W (˜ ist. Daher ist Up˜ offen und π|Up˜ : Up˜ → U ein Diffeomorphismus. S Zu (40). Nach (39) ist π −1 (U ) ⊃ Up˜. Sei umgekehrt x ˜ ∈ π −1 (U ) und x := π(˜ x) ∈ U . Dann M ˜ . Aus (38) folgt gibt es ein v ∈ W (x) mit exp (v) = p. Sei dπ(˜ v ) = v f¨ ur ein v˜ ∈ Tx˜ M ˜

π(expM (˜ v )) = p. ˜

v ) ∈ p˜ ∈ π −1 ({p}), und wegen d(˜ x, p˜) <  ist x ˜ ∈ Up˜. Es folgt π −1 (U ) ⊂ Also ist p˜ := expM (˜ S Up˜. Zu (41). Seien p˜1 , p˜2 ∈ π −1 ({p}) und q˜ ∈ Up˜1 ∩ Up˜2 . Dann gibt es Geod¨atische c˜i der L¨ange <  von q˜ nach p˜i . Diese projizieren sich unter π auf Geod¨atische der L¨ange <  in U von π(˜ q ) nach p. Es gibt aber nur eine solche Geod¨atische. Also haben c˜1 und c˜2 denselben Anfangsvektor und sind deshalb gleich. Daher ist p˜1 = p˜2 . ˜ → M ein lokaler Diffeomorphismus von Satz 58 (Plattenwechsler-Satz). Sei π : M ˜ ¨ Mannigfaltigkeiten. M sei kompakt und M zusammenh¨ angend. Dann ist π eine Uberlagerung.

˜ ) offen, Beweis. Als lokaler Diffeomorphismus ist π offen und lokal injektiv. Also ist π(M wegen Kompaktheit aber auch abgeschlossen in M . Also ist π surjektiv. ˜ und der lokalen Injektivit¨at von π ist Sei p ∈ M . Wegen der Kompaktheit von M π −1 ({p}) = {x1 , . . . , xk } endlich. Nach dem Umkehrsatz und der Hausdorff-Eigenschaft gibt es paarweise disjunkte offen Umgebungen V1 , . . . , Vk , die durch π jeweils diffeomorph auf eine offene Umgebung Vi von p abgebildet werden. Setze \ [ ˜ \ Vi ). U := ( Vi ) \ π(M

31

U ist sicher offen. Setze weiter Ui := Vi ∩ π −1 (U ). Offenbar sind die Ui offen, disjunkt und werden durch π diffeomorphSauf U abgebildet. Ist ˜ \ Vi , d.h. x ∈ Vi f¨ schließlich x ∈ π −1 (U ), so liegt x nach Konstruktion nicht in M ur (genau) ein i. Da π die Menge Vi diffeomorph abbildet, und π(x) ∈ U nach Voraussetzung, folgt x ∈ Ui . Daher ist [ π −1 (U ) = Ui .

˜ und M zusammenh¨ Satz 59 (Hochheben von Homotopien). Seien M angende Mannig˜ ¨ faltigkeiten und π : M → M eine Uberlagerung. Dann gilt ˜ (i) Ist h : [a, b] × [0, 1] → M ∈ C ∞ und p˜ ∈ M mit π(˜ p) = h(a, 0) =: p,

˜ M

so gibt es genau eine C ∞ -Abbildung ˜ : [a, b] × [0, 1] → M ˜ h

[a, b] × [0, 1]

mit

˜% h

↓π

→ h

M

˜ = h und h(a, ˜ 0) = p˜. π◦h ˜ → M ein Diffeomorphismus. (ii) Ist M einfach-zusammenh¨ angend, so ist π : M

Beweis. Zu (i). Selbst. ¨ Zu (ii). Weil π als Uberlagerung ein lokaler Diffeomorphismus ist, gen¨ ugt es zu zeigen, daß ˜ π injektiv ist. Seien p˜1 , p˜2 ∈ M mit π(˜ p1 ) = π(˜ p2 ) =: p. ˜ mit c˜(a) = p˜1 , c˜(b) = p˜2 . Dann ist c := π ◦ c˜ : [a, b] → M ein W¨ahle einen Weg c˜ : [a, b] → M in p geschlossener Weg. Weil M einfach-zusammenh¨angend ist, gibt es eine Homotopie von c zum konstanten Weg, d.h. eine Abbildung h : [a, b] × [0, 1] → M mit h(t, 0) = c(t) f¨ ur alle t ∈ [a, b], h(a, τ ) = p = h(b, τ ) f¨ ur alle τ ∈ [0, 1], h(t, 1) = p f¨ ur alle t ∈ [a, b]. ˜ : [a, b] × [0, 1] → M ˜ mit Nach (i) gibt es ein eindeutig bestimmtes h ˜ 0) = p˜1 und π ◦ h ˜ = h. h(a, Insbesondere ist also ˜ 0) = h(t, 0) = c(t) = π ◦ c˜(t). π ◦ h(t, 32

˜ 0) = c˜(t) und insbesondere h(b, ˜ 0) = c˜(b) = Aus der Eindeutigkeitsaussage von (i)5 folgt h(t, p˜2 . Auf der zusammenh¨ angenden Menge ({a} × [0, 1]) ∪ ([a, b] × {1}) ∪ ({b} × [0, 1]) ˜ konstant vom Wert p. Weil π lokal injektiv ist, ist auch h ˜ auf dieser Menge ist h = π ◦ h konstant und daher ˜ 0) = h(b, ˜ 0) = p˜2 . p˜1 = h(a,

~ p 1

~ c

~ p

1 ~ h

2

c

h p

0 a

5 angewendet

b

auf h0 (t, τ ) := h(t, 0)

33

8

Parallelverschiebung

Satz 60 (und Definition). Sei c : [a, b] → M eine Kurve in der Mannigfaltigkeit M und ∇ eine kovariante Ableitung auf M . Sei X0 ∈ Tc(a) M . Dann gibt es genau ein Vektorfeld X ∈ Γ(c∗ T M ) l¨ angs c mit ∇D X = 0 und X(a) = X0 . (42) Man nennt X das parallele Vektorfeld l¨ angs c mit Anfangswert X0 und die Abbildung Πc : Tc(a) M → Tc(b) M, X0 = X(a) 7→ X(b) die Parallelverschiebung l¨ angs c. Sie ist ein Isomorphismus reeller Vektorr¨ aume.

Beweis. 1. Schritt. Wir betrachten den Spezialfall, daß c([a, b]) ⊂ U , wo U ein Kartengebiet in M ist. Weiter sei t0 ∈ [a, b] beliebig und Y0 ∈ Tc(t0 ) M . ∂ Dann hat man auf U Gaußsche Basisfelder ∂x , und jedes Vektorfeld X l¨angs c ist von der i Form X ∂ ◦ c, X i : [a, b] → R. X= Xi ∂x i i

Die Differentialgleichung aus (42) schreibt sich   X X ∂ X˙ k + Γkij (c)c˙i X j  ◦ c = 0. ∂xk i,j k

Das ist ein lineares Differentialgleichungssystem mit C ∞ -Koeffizienten. Es hat nach der Theorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen genau eine C ∞ -L¨osung auf dem ganzen Intervall [a, b] mit X(t0 ) = Y0 . 2. Schritt. Unter den Voraussetzungen des Satzes gibt es eine Zerlegung a = t0 < t1 < . . . < tn = b, von [a, b], so daß f¨ ur jedes i die Menge c([ti−1 , ti+1 ]) in einer Kartenumgebung von M liegt(Lemma von Lebesgue). Dann gibt es nach dem ersten Schritt eindeutig bestimmte Vektorfelder Xi l¨ angs c|[ti−1 ,ti ] mit ∇D Xi = 0, X1 (t0 ) = X0 , Xi (ti−1 ) = Xi−1 (ti−1 ) f¨ ur i > 1. Definiere X(t) := Xi (t) f¨ ur ti−1 ≤ t ≤ ti . Dann ist X ein stetiges Vektorfeld l¨angs c mit X(a) = X(0) und ∇D X = 0 auf allen ]ti−1 , ti [. ˜ Nach dem ersten Schritt gibt es weiter auf [ti−1 , ti+1 ] genau ein paralleles C ∞ -Vektorfeld X ˜ l¨angs c mit X(ti ) = X(ti ). Nach der Eindeutigkeitsaussage im ersten Schritt ist dann aber ˜ [t ,t ] = Xi und X| ˜ [t ,t ] = Xi+1 . Daher ist X = X ˜ auf [ti−1 , ti+1 ], d.h. X ist C ∞ auch X| i−1 i i i+1 an den Stelle ti . Bemerkung. Die Menge Hp := {Πc | c : [a, b] → M, c(a) = p = c(b)} ⊂ GL(Tp M ) ist eine Untergruppe von GL(Tp M ), die sogenannte Holonomiegrupppe von ∇ im Punkt p ∈ M. 34

Beispiel 61. Sind X, Y parallele Vektorfelder l¨angs eine Kurve c : [a, b] → M in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Ableitung, so ist D · g(X, Y ) = g(∇D X, Y ) + g(X, ∇D Y ) = 0, d.h. die Parallelverschiebung erh¨alt die Riemannsche Metrik und liefert daher eine isometrische Abbildung von Tc(a) M nach Tc(b) M . F¨ ur in p ∈ M geschlossenes c ist also Πc ∈ O(Tp M ). Ist M dar¨ uberhinaus orientiert, so ¨andert ein Basisfeld unter der Parallelverschiebung seine Orientierung nicht, und daher ist Πc ∈ SO(Tp M ). Ist schließlich noch dim M ungerade, so hat Πc einen Eigenwert +1, d.h. es gibt l¨angs c ein nicht-triviales paralleles geschlossenes Vektorfeld: Xa = Xb 6= 0.

Beispiel 62 (Parallelverschiebung auf dem Kreiskegel). Die Parallelverschiebung auf ¨ einem Kreiskegel mit halbem Offnungswinkel α l¨angs eines Kreises um die Achse kann man berechnen, indem man den Kegel in die Ebene abwickelt (Isometrie!). Das gibt ein Segment mit ¨ Offungswinkel 2π sin α. Die Parallelverschiebung im R2 ist trivial. Also rotiert ein paralleles Tangentialvektorfeld l¨ angs des Kreises in der Abbildung bei α Verschiebung nach rechts im Uhrzeigersinn und bei Verschiebung einmal um den Kegel herum ergibt sich eine Rotation um den Winkel 2π sin α. Das gilt f¨ ur die Parallelverschiebung l¨angs jeder geschlossenen Kurve, die einmal um die Kegelachse heruml¨ auft. Die Holonomiegruppe in jedem Punkt des Kegels ist also {2πk sin α

2π sin α

2π sin α

mod 2π | k ∈ Z}.

F¨ ur rationales sin α ist sie also endlich zyklisch, f¨ ur irrationales eine dichte Untergruppe in der Drehgruppe S 1 = SO(2).

Beispiel 63 (Parallelverschiebung auf der Sph¨ are). Die Parallelverschiebung l¨angs eines (Klein)kreises auf der Einheitssph¨are S 2 kann man sich vorstellen, indem man den Kegel betrachtet, der die Sph¨ are l¨ angs dieses Kreises ber¨ uhrt. Dann ist die Tangentialprojektion l¨angs des Kreises ¨fur beide Fl¨ achen dieselbe, und nach dem Satz von Levi-Civita ist daher die Parallelverschiebung in beiden Fl¨ achen dieselbe. Hat der Kreis den sph¨arischen Radius β, so liefert die Verschiebung einmal um den Kreis herum eine Drehung um 2π sin( π2 − β) = 2π cos β. α

β

F¨ ur β = π2 , also Verschiebung l¨angs eines Großkreises ist die Rotation 0, weil auch der Tangentialvektor der Geod¨ atischen parallel ist. F¨ ur β & 0 get der Roationswinkel gegen 2π, und die Holonomiegruppe ist deshalb die volle Rotationsgruppe.

35

9

Der Kru ¨ mmungstensor

In einer Mannigfaltigkeit mit kovarianter Ableitung kann man, wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, einen Tangentialvektor l¨ angs einer Kurve zu einem parallelen Vektorfeld fortsetzen. Wenn man ihn aber (lokal) zu einem parallelen Vektorfeld auf einer ganzen Umgebung fortsetzen m¨ ochte, kann man das erst l¨angs einer Kurve, z.B. l¨angs einer Koordinatenlinie tun, dann das erhaltene Vektorfeld von der Kurve ausgehend in eine zweite Richtung parallel fortsetzen usw. Diesen Prozess wollen wir untersuchen. Wir nehmen also zun¨ achst an, daß wir, zum Beispiel durch die beiden ersten Kooordinaten einer Karte, ein Rechteck“ ” V : [0, 1] × [0, 1] → M,

V(t,τ)

(t, τ ) 7→ V (t, τ ) V(0,0)

gegeben haben und einen Tangentialvektor aus p = V (0, 0) zun¨ achst l¨ angs V (., 0) parallel verschieben.

V(t,0)

Wir erhalten ein Vektorfeld Z(., 0), das wir von jedem V (t, 0) parallel in τ -Richtung verschieben. Dadurch erhalten wir ein Vektorfeld Z l¨angs V , von dem wir unterstellen, daß es glatt ist. Es erf¨ ullt dann nach Konstruktion ∇ ∂ Z|(t,0) = 0,

∇

∂t

∂ ∂τ

Z = 0.

Wir w¨ ußten gern, ob auch ∇ ∂ Z = 0 ist. Weil das bei τ = 0 gilt, gen¨ ugt es zu zeigen, daß ∂t

∇ Umgekehrt wissen wir wegen ∇

∂ ∂τ

∂ ∂τ

∇ ∂ Z = 0.

(43)

∂t

Z = 0 ja schon, daß ∇∂ ∇ ∂t

∂ ∂τ

Z = 0.

Damit unsere Konstruktion klappt, muss also ∇

∂ ∂τ

∇∂ Z −∇∂ ∇ ∂t

∂t

∂ ∂τ

Z=0

(44)

sein. Hinreichend w¨ are, wenn f¨ ur alle Vektorfelder X, Y, Z ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z = 0.

(45)

Das kann aber nicht sein, denn zum Beispiel ist nach kurzer Rechnung ∇X ∇Y φZ − ∇Y ∇X φZ = φ(∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z) + ([X, Y ] · φ)Z. Wenn also (45) f¨ ur alle X, Y, Z gilt, dann folgt ([X, Y ] · φ)Z = 0 f¨ ur alle X, Y, Z und Funktionen φ. Unsinn! Dieses Problem werden wir los, wenn wir den letzten Term anders schreiben: ∇X ∇Y φZ − ∇Y ∇X φZ = φ(∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z) + ([X, Y ] · φ)Z = φ(∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z) + ∇[X,Y ] φZ − φ∇[X,Y ] Z oder ∇X ∇Y φZ − ∇Y ∇X φZ − ∇[X,Y ] φZ = φ(∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z). 36

Wenn diese Gleichung f¨ ur Z gilt, dann also auch f¨ ur alle φZ, und man rechnet nach, daß entsprechendes auch f¨ ur X und Y gilt: Der Ausdruck ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z ist ∂ ∂ tensoriell. Und weil [ ∂t , ∂τ ] = 0 k¨onnen wir (44) a¨quivalent ersetzen durch ∇

∂ ∂τ

∇∂ Z −∇∂ ∇ ∂t

∂t

∂ ∂τ

Z − ∇[ ∂ ,

∂ ∂t ∂τ

]Z

= 0.

(46)

Definition 64. F¨ ur eine Mannigfaltigkeit M mit kovarianter Ableitung ∇ heißt R(X, Y )Z := ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z der (Riemannsche) Kr¨ ummungstensor. Der Ausdruck ist linear bez¨ uglich der Multiplikation mit Funktionen in jedem Argument, definiert also tats¨achlich ein Tensorfeld. Damit findet man nun, daß (46) und damit (43) genau dann gilt, wenn R = 0 ist, vgl. Satz 65 unten. Die Bedingung R = 0 ist notwendig und, wie man zeigen kann, auch hinreichend daf¨ ur, daß man jeden Tangentialvektor lokal zu einem parallelen Vektorfeld fortsetzen kann. ¨ Die vorstehenden Uberlegungen motivieren die Definition des Kr¨ ummungstensors als Obstruktion der lokalen Parallelverschiebung. Was das mit Kr¨ ummung zu tun hat, die Motivation des Namens also, verschieben wir auf den Abschnitt 11 und widmen uns erst einmal den Eigenschaften von R und Beispielen. Bemerkungen Identit¨ aten f¨ ur Tensoren muß man nur auf Basisvektoren beweisen. Daher k¨ onnen die folgenden zwei Bemerkungen oft erhebliche Vereinfachungen der Beweise bedeuten: 1. Lokal gibt es immer Basen mit verschwindenden Lieklammern (Gaußsche Basisfelder). 2. Man kann einen Tangentialvektor v ∈ Tp M stets lokal zu einem Vektorfeld X fortsetzen, f¨ ur welches (∇X)p = 0. (Aber Vorsicht bei zweitenP Ableitungen!). ∂ Zum Beweis betrachten wir ein lokales Vektorfeld X = Xk ∂k . Dann ist ∇

∂ ∂ui

X=

X ∂Xk X ∂ ( + Xj Γkij ) . ∂ui ∂x k j k

Daher kann man X zum Beispiel definieren durch X Xk := vk − vj Γkij (p)(ui − ui (p)). i,j

Die erste Eigenschaft betrifft die Erweiterung auf Vektorfelder l¨angs Abbildungen, die wir in der vorstehenden Motivation schon kommentarlos benutzt haben. Satz 65. F¨ ur f : N → M , ein Vektorfeld Z ∈ Γ(f ∗ T M ) l¨ angs f und Vektorfelder X, Y auf N gilt die sogenannte Strukturgleichung R(df (X), df (Y ))Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z.

(47)

Dabei haben wir auf der rechten Seite die induzierte kovariante Ableitung f ∗ ∇ einfach wieder mit ∇ bezeichnet.

Beweis. Wir benutzen die definierenden Gleichung (11) f¨ ur ∇ = f ∗ ∇: ∇X (Z ◦ f ) = ∇df (X) Z

37

f¨ ur die kovariante Ableitung f ∗ ∇ von Vektorfeldern. Seien p ∈ N und E1 , . . . , Em Basisvektorfelder auf einer Umgebung von f (p), f¨ ur die (∇Ei )f (p) = 0. Wir schreiben Z=

X

Zi (Ei ◦ f ),

df (X) =

X

Xi (Ei ◦ f ),

df (Y ) =

X

Yi (Ei ◦ f ).

Dann erhalten wir im Punkt p ∇X ∇Y Z = ∇ X ∇Y

X

Zi Ei ◦ f =

i

X

∇X (Y · Zi )(Ei ◦ f ) + Zi ∇df (Y ) Ei




i

 X X  Yj ∇Ej Ei ) = X · (Y · Zi )(Ei ◦ f ) + (Y · Zi ) ∇df (X) Ei +(X · Zi ) ∇df (Y ) Ei +Zi ∇X ( | {z } | {z } j i 

=0

=

X

X · (Y · Zi )(Ei ◦ f ) +

X

i

=

X

=0

Zi Yj ∇df (X) (∇Ej Ei )

i,j

X · (Y · Zi )(Ei ◦ f ) +

i

X

Zi Yj Xk (∇Ek ∇Ej Ei ) ◦ f.

i,j,k

Wegen ∇[X,Y ] Zi (Ei ◦ f ) = ([X, Y ] · Zi )(Ei ◦ f ) + Zi ∇df ([X,Y ]) Ei {z } | =0

folgt ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z =

X

Zi Yj Xk (∇Ek ∇Ej Ei ) ◦ f −

i,j,k

=

X

X

Zi Xj Yk (∇Ek ∇Ej Ei ) ◦ f

i,j,k

Zi Yj Xk R(Ei , Ej )Ek ◦ f

i,j,k

= R(df (X), df (Y ))Z.

Satz 66 (Kr¨ ummungsidentit¨ aten). F¨ ur den Kr¨ ummungstensor R einer kovarianten Ableitung mit verschwindendem Torsionstensor T = 0 und Vektorfelder X, Y, Z, U auf M gilt: R(X, Y ) = −R(Y, X), R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0.

(48) (49)

Die letzte Gleichung heißt auch die 1. Bianchi-Identit¨ at. Ist ∇ die Levi-Civita-Ableitung der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), so gilt weiter: g(R(X, Y )Z, U ) = −g(R(X, Y )U, Z), g(R(X, Y )Z, U ) = g(R(Z, U )X, Y ).

Beweis. (48) ist trivial.

38

(50) (51)

Zu (49). Wir nehmen an, daß die Lieklammern der Vektorfelder X, Y, Z verschwinden. Dann gilt wegen der Torsionsfreiheit ∇Y Z = ∇Z Y usw. und man erh¨alt: R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z = ∇X ∇Z Y − ∇Y ∇X Z R(Z, X)Y = ∇Z ∇X Y − ∇X ∇Z Y = ∇Z ∇Y X − ∇X ∇Z Y R(Y, Z)X = ∇Y ∇Z X − ∇Z ∇Y X = ∇Y ∇X Z − ∇Z ∇Y X. Bei der Addition der drei Gleichungen heben sich die Terme paarweise weg. Zu (50). Wir nehmen an, daß alle beteiligten Vektorfelder in p kovariante Ableitung 0 haben. Dann verschwinden auch die Lieklammern in p. g(∇X ∇Y Z, U ) = Xg(∇Y Z, U ) − g(∇Y Z, ∇X U ) | {z } =0

= XY g(Z, U ) − Xg(Z, ∇Y U ) = XY g(Z, U ) − g(Z, ∇X ∇Y U ). Der erste Term in der letzten Gleichung ist wegen [X, Y ]p = 0 symmetrisch in X und Y . Deshalb folgt g(R(X, Y )Z, U ) = −g(Z, ∇X ∇Y U ) + g(Z, ∇Y ∇X U ) = −g(Z, R(X, Y )U ). Zu (51). Dies ist eine algebraische Folge der Gleichungen (48), (49), (50).

Nach diesen Identit¨ aten ist die Summe der Terme an den Ecken eines jeden schattierten Dreiecks in dem Oktaeder =0. Bei der Summation u ¨ber die oberen und das Negative der unteren Dreiecke heben sich die ¨aquatorialen Terme weg, und es bleibt zweimal der obere minus zweimal der untere Term. Daraus folgt (51). (Beweis nach Milnor).



Z

W



X



Y



Korollar 67 (Schnittkr¨ ummung). Seien (M, g) Riemannsch und (X, Y ) und (X 0 , Y 0 ) zwei Paare orthonormaler Vektoren in Tp M , die dieselbe Ebene aufspannen. Dann gilt R(X 0 , Y 0 ) = ±R(X, Y ). Daher ist g(R(X 0 , Y 0 )Y 0 , X 0 ) = ±g(R(X, Y )Y 0 , X 0 ) = ±g(R(Y 0 , X 0 )X, Y ) = g(R(X, Y )Y, X). nur abh¨ angig von der Ebene σXY := Spann(X, Y ). Man nennt K(σXY ) = g(R(X, Y )Y, X) die (Riemannsche) Schnittkr¨ ummung von (M, g) auf der Ebene σXY ⊂ Tp M .

39

Der Kr¨ ummungstensor ist schon punktweise als Objekt der linearen Algebra einigermaßen kompliziert. Auch die Schnittkr¨ ummung ist als Funktion auf der Grassmann-Mannigfaltigkeit der 2-dimensionalen Ebenen in Tp M nicht so einfach, aber als skalarwertige Funktion vielleicht doch zug¨ anglicher. Sie bestimmt den Kr¨ ummungstensor algebraisch: ˜ zwei trilineare Abbildungen des Euklidischen Vektorraums (T, g), Lemma 68. Seien R, R welche die Kr¨ ummungsidentit¨ aten aus Satz 66 erf¨ ullen. F¨ ur alle orthonormalen X, Y ∈ T sei ˜ hR(X, Y )Y, Xi = hR(X, Y )Y, Xi =: K(σXY ).

(52)

˜ Dann folgt R = R.

˜ = 0 zu f¨ ˜ Aus der Beweis. Offenbar gen¨ ugt es, den Beweis f¨ ur R uhren, betrachte R − R. Schiefsymmetrie folgt dann, daß hR(X, Y )Y, Xi = 0 nicht nur f¨ ur orthonormale, sondern f¨ ur beliebige X, Y ∈ T gilt. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur festes X ∈ T α(Y, Z) := hR(X, Y )Z, Xi = hR(Z, X)X, Y i = hR(X, Z)Y, Xi = α(Z, Y ). Also ist α eine symmetrische Bilinearform. Die zugeh¨orige quadratische Form α(X, X) ist nach Voraussetzung 0, also ist α = 0, d.h. hR(X, Y )Z, Xi = 0 f¨ ur alle X, Y, Z ∈ T.

(53)

Als n¨ achstes betrachten wir f¨ ur festes Y, Z ∈ T die Bilinearform β(X, U ) := hR(X, Y )Z, U i + hR(X, Z)Y, U i = hR(U, Z)Y, Xi + hR(U, Y )Z, Xi = β(U, X). Nach (53) ist die quadratischen Form von β Null, also ist auch β = 0 und daher R(X, Y )Z = −R(X, Z)Y.

(54)

daraus folgt aber 0 = R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 3R(X, Y )Z. Also ist R = 0. Satz 69. Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und hat in einem Punkt p ∈ M die Schnittkr¨ ummung auf allen Ebenen aus Tp M denselben Wert K, so gilt f¨ ur den Kr¨ ummungstensor im Punkt p R(X, Y )Z = K (g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ).

In diesem Punkt sieht der Kr¨ ummungstensor also so aus wie auf Fl¨achen, allerdings mit konstantem K. Beweis. Trivial nach Lemma 68, weil die rechte Seite die Kr¨ ummungsidentit¨aten erf¨ ullt und Schnittkr¨ ummung K hat. Wir schließen mit einer weiteren Kr¨ ummungsidentit¨at und ihrer Anwendung auf das Studium der Schnittkr¨ ummungsfunktion.

40

Satz 70 (2. Bianchi-Identit¨ at). Definiere den Tensor ∇R durch (∇X R)(Y, Z)U := ∇X (R(Y, Z)U ) − R(∇X Y, Z)U − R(Y, ∇X Z)U − R(Y, Z)∇X U.

(55)

Dann gilt (∇X R)(Y, Z)U + (∇Y R)(Z, X)U + (∇Z R)(X, Y )U = 0.

Beweis. Weil ∇X R ein Tensor ist, gen¨ ugt es, (55) in einem Punkt p zu zeigen, und zwar f¨ ur Vektorfelder X, Y, Z, U mit in p verschwindender Ableitung, so daß in diesem Punkt (∇X R)(Y, Z)U = ∇X (R(Y, Z)U ) usw. Es gilt (∇X R)(Y, Z)U + (∇Z R)(X, Y )U + (∇Y R)(Z, X)U = ∇X ∇Y ∇Z U − ∇X ∇Z ∇Y U − ∇X ∇[Y,Z] U + ∇Z ∇X ∇Y U − ∇Y ∇X ∇Z U − ∇Z ∇[X,Y ] U + ∇Y ∇Z ∇X U − ∇Z ∇Y ∇X U − ∇Y ∇[Z,X] U = R(X, Y )∇Z U + ∇[X,Y ] ∇Z U − ∇Z ∇[X,Y ] U + R(Z, X)∇Y U + ∇[Z,X] ∇Y U − ∇Y ∇[Z,X] U + R(Y, Z)∇X U + ∇[Y,Z] ∇X U − ∇X ∇[Y,Z] U = R(X, Y )∇Z U + R([X, Y ], Z)U + ∇[[X,Y ],Z] U + R(Z, X)∇Y U + R([Z, X], Y )U + ∇[[Z,X],Y ] U + R(Y, Z)∇X U + R([Y, Z], X)U + ∇[[Y,Z],X] U. Im Punkt p verschwinden alle Terme nach Wahl von X, Y, Z und U .

Satz 71 (Lemma von Schur). Ist (M, g) eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit, dim M ≥ 3, und ist die Schnittkr¨ ummung in jedem Punkt unabh¨ angig von der Ebene, so ist die Schnittkr¨ ummung auch vom Punkt unabh¨ angig.

Beweis. Nach Satz 69 haben wir R(X, Y )Z = K (g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ) mit einer Funktion K, deren Konstanz wir zeigen m¨ ussen. F¨ ur Vektorfelder X, Y, Z, U mit in p ∈ M verschwindender kovarianter Ableitung gilt (∇X R)(Y, Z)U = (X · K)(g(Z, U )Y − g(Y, U )Z). Mit der 2. Bianchi-Identit¨ at finden wir 0 = (X · K)(g(Z, U )Y − g(Y, U )Z) + (Z · K)(g(Y, U )X − g(X, U )Y ) + (Y · K)(g(X, U )Z − g(Z, U )X). Sei nun X ∈ Tp M erg¨ anzt durch Y, Z = U ∈ Tp M \{0} zu einem orthogonalen Dreibein. Wir setzen diese zu Vektorfeldern so fort, daß die kovarianten Ableitungen in p s¨amtlich verschwinden. Dann ist in p 0 = g(Z, Z)((X · K)Y − (Y · K)X) und daraus X · K = 0. Das beweist die Konstanz von K auf der zusammenh¨angenden Mannigfaltigkeit M . 41

10

Beispiele fu ¨ r Kru ¨ mmungstensor und Schnittkru ¨ mmung.

Als n¨ achstes betrachten wir Beispiele f¨ ur den Kr¨ ummungstensor. Beispiel 72. Im Rm ist R = 0, weil jeder Tangentialvektor sich global parallel fortsetzen l¨aßt.

Beispiel 73. Die kovariante Ableitung auf der Einheitssph¨are S m war (∇Y Z)x = ∇0Y Z + hY, Zix, wobei ∇0 die Ableitung auf Rm+1 bezeichnet, vgl. Beispiel 27. Damit erhalten wir

R(X, Y )Z = ∇X ∇0Y Z + hY, Zix − ∇Y ∇0X Z + hX, Zix − ∇0[X,Y ] Z − h[X, Y ], Zix = ∇0X ∇0Y Z + X · hY, Zix + hY, ZiX + hX, ∇0Y Z + hY, Zixix − . . . = R0 (X, Y )Z + hY, ZiX − hX, ZiY = hY, ZiX − hX, ZiY. Diese Formel gilt nat¨ urlich ebenso f¨ ur die Einheitssph¨are des Rm+1 mit der Metrik r12 h., .i, die in der Standardmetrik den Radius r besitzt und die wir mit S m (r) bezeichnen wollen. Also ist der Kr¨ ummungstensor von S m (r) bez¨ uglich der Standardmetrik des Rm+1 gegeben durch 1 R(X, Y )Z = 2 (hY, ZiX − hX, ZiY ) . r Ebenso findet man f¨ ur das verallgemeinerte Lorentzmodell des H m =: H m (1), also f¨ ur H m (r) := {x ∈ R1,m | hx, xiLorentz = −r2 } den Kr¨ ummungstensor R(X, Y )Z = −

1 (hY, ZiX − hX, ZiY ) . r2

Die Schnittkr¨ ummung ist dann gegeben durch K =

1 r2

bzw. durch K = − r12 .

Beispiel 74. (M, g)= Liegruppe mit biinvarianter Metrik. Dann ist ∇X Y = linksinvariante Vektorfelder X, Y , vgl. Beispiel 20. Daraus folgt

1 2 [X, Y

] f¨ ur

1 R(X, Y )Z = − [[X, Y ], Z] 4 und f¨ ur orthonormale X, Y K(σXY ) =

1 k[X, Y ]k2 . 4

Man zeigt leicht, daß K f¨ ur SO(3) positiv und konstant ist. F¨ ur SO(n), n > 3 hingegen nimmt K ≥ 0 auch den Wert 0 an.

Beispiel 75. F¨ ur dim M =2 ist R(X, Y )Z = K (g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ),

42

wobei K : M → R, p 7→ K(Tp M ) die Schnittkr¨ ummung ist. Beweis. Es gen¨ ugt, R(X, Y ) f¨ ur eine ON-Basis (X, Y ) zu kennen. Dazu gen¨ ugt es, R(X, Y )X und R(X, Y )Y zu kennen. Weil aber R(X, Y ) schiefadjungiert ist, ist R(X, Y )X = g(R(X, Y )X, Y )Y = −KY = K (g(Y, X)X − g(X, X)Y ) und ebenso R(X, Y )Y = K (g(Y, Y )X − g(X, Y )Y ).

¨ Beispiel 76. Andert man die Metrik konform durch g˜ =e2λ g und definiert die Hessesche bez¨ uglich g durch Hessλ X = ∇X grad λ,

hess λ(X, Y ) = g(Hessλ X, Y ),

so erh¨ alt man f¨ ur den neuen Kr¨ ummungstensor: ˜ R(X, Y )Z =R(X, Y )Z + hess λ(X, Z)Y − hess λ(Y, Z)X + g(X, Z) Hessλ Y − g(Y, Z) Hessλ X + ((Y · λ)(Z · λ) − g(Y, Z)k grad λk2 )X − ((X · λ)(Z · λ) − g(X, Z)k grad λk2 )Y + ((X · λ)g(Y, Z) − (Y · λ)g(X, Z)) grad λ. ¨ ¨ Das folgt aus der Formel f¨ ur die Anderung der Levi-Civita-Ableitung bei konformer Anderung der Metrik.

43

11

Kru ¨ mmung und Jacobifelder

Wir betrachten die 2-dimensionalen Sph¨are S 2 (r) vom Radius r und darauf Kreise um p vom Radius t. Ihr Umfang ist U (t) := 2πr sin

t t3 + . . .). = 2π(t − r 3!r2

r sin α

Der Umfang ist kleiner, als bei ebenen Kreisen von gleichem Radius, weil die Sph¨ are nach innen gekr¨ ummt ist. Der Effekt ist allerdings von h¨ oherer Ordnung. Wir finden U 0 (t) = 2π cos

p

t=rα

r

t r

1 t 1 U 00 (t) = −2π sin = − 2 U (t). r r r F¨ ur den hyperbolischen Fall (am bequemsten im Poincar´e-Modell) finden wir U (t) = 2πr sinh rt und entsprechend 1 U 00 (t) = + 2 U (t). r Eine etwas andere Interpretation dieses Ph¨anomens liefert der Blick auf die Radien des Kreises. Im sph¨ arischen Fall divergieren sie langsamer als im Euklidischen Fall, sie sind zuein” ander gekr¨ ummt“, im hyperbolischen auseinander gekr¨ ummt“ Wenn man das f¨ ur beliebige ” Riemannsche Mannigfaltigkeiten genauer erfassen will, braucht man die L¨angenverzerrung der Exponentialabbildung senkrecht zur tangentialen Richtung. Wir berechnen sie: ∂ Wir betrachten das Variationsvektorfeld Y = dV ( ∂τ ) zur radialen Variation“ ” V (t, τ ) := exp(t(v + τ w))

mit v, w ∈ Tp M . Wir schreiben Y (t) := Y (t, 0). Dann ist also Y (t) = dtv exp(tw), und wir m¨ ußten Y genauer kennen! Zun¨achst ist Y (0) = 0, ∂ ∂ Y˙ (0) = ∇ ∂ |(0,0) dV ( ) = ∇ ∂ |(0,0) dV ( ) ∂t ∂τ ∂τ ∂t = ∇ ∂ |(0,0) dt(v+τ w) exp(v + τ w) = ∇ ∂

∂τ |(0,0)

∂τ

(v + τ w)

= w. Weiter gilt ∇∂ ∇ ∂t

∂ ∂τ

∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V =∇∂ ∇∂ −∇ ∂ ∇∂ −∇ ∂ ∂ = R( , ) . ∂t ∂τ ∂t ∂τ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂τ ∂t [ , ] | {z } =0 |∂t{z∂τ } =0

Einschr¨ ankung auf (t, 0) liefert mit c(t) := V (t, 0) und ∇

∂ ∂τ

∂V ∂t

=∇∂

∂t

∂V ∂τ

Y¨ (t) = −R(Y, c) ˙ c. ˙ Vergleichen Sie das mit den obigen Differentialgleichungen f¨ ur den Kreisumfang. Die L¨ angenverzerrung von exp in Richtung orthogonal zu den Radien (aber auch in Richtung der Radien) wird also kontrolliert durch den Kr¨ ummungstensor. 44

Definition 77. Sei c : J → M eine Geod¨atische in der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Ein Vektorfeld Y : J → T M l¨angs c heißt ein Jacobifeld, wenn Y¨ + R(Y, c) ˙ c˙ = 0.

(56)

Dabei ist Y¨ := ∇D ∇D Y . Bemerkungen. 1. Die Jacobigleichung ist linear und von zweiter Ordnung, also ist der Raum der Jacobifelder l¨ angs c von der Dimension 2 dim M . 2. Ist Y ein Jacobifeld l¨ angs c, so rechnet man nach, daß auch Y T :=

g(Y, c) ˙ c˙ g(c, ˙ c) ˙

ein (an die Geod¨ atische tangentiales) Jacobifeld ist. Also ist auch Y ⊥ = Y − Y T ein zur Geod¨ atischen normales Jacobifeld. H¨aufig betrachtet man nur den Raum der zu c normalen Jacobifelder. Die Tangentialkomponente ist immer von der Form Y T (t) = (α + tβ)c(t), ˙ gibt also keine wesentliche Information. Satz 78 (Differential der Exponentialfunktion). Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, p ∈ M und v, w ∈ Tp M , so daß exp v definiert ist. Dann gilt f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1 dtv exp tw = Y (t), wobei Y das Jacobifeld l¨ angs c(t) = exp(tv) mit den Anfangsbedingungen Y (0) = 0,

Y˙ (0) = w

ist. Wir schließen mit einem Lemma, daß den Begriff der Jacobifelder genauer beleuchtet. Lemma 79. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und c : [a, b] → M eine Geod¨ atische in M . (i) Ist Y das Variationsvektorfeld einer Variation V (s, t) =: ct (s), f¨ ur die alle ct Geod¨ atische sind, so ist Y ein Jacobifeld. (ii) Jedes Jacobifeld Y l¨ angs einer Geod¨ atischen c kann man wie in (i) erhalten. Beweis. Zu (i). Den obigen Beweis kann man w¨ortlich u ¨bernehmen. Zu (ii). Sei Y ein Jacobifeld l¨ angs c : [0, b] → M und γ : [0, ] → M eine Geod¨atische mit γ(0) ˙ = Y (0). Seien weiter X0 , X1 parallele Vektorfelder l¨angs γ mit X0 (0) = c(0) ˙ und X1 (0) = Y˙ (0). Definiere V (t, τ ) := exp(t(X0 (τ ) + τ X1 (τ ))) =: cτ (t). Offenbar sind alle cτ Geod¨ atische und ist c0 = c. Daher ist das Variationsvektorfeld Z von V ein Jacobifeld. Es gen¨ ugt den Anfangsbedingungen Z(0) = ∂τ V (0, 0) = γ(0) ˙ = Y (0) ˙ Z(0) = ∇∂ ∂τ V (0, 0) t

= ∇∂τ ∂t V (0, 0) = ∇∂τ (X0 (τ ) + τ X1 (τ ))(0, 0) = X1 (0) = Y˙ (0). Daraus folgt Z = Y . 45

12

R¨ aume konstanter Kru ¨ mmung

Definition 80. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension > 1 mit konstanter Schnittkr¨ ummung heißt auch einfach eine Mannigfaltigkeit konstanter Kr¨ ummung oder ein Raum konstanter Kr¨ ummung. Vollst¨andige zusammenh¨angende Mannigfaltigkeiten konstanter Kr¨ ummung heißen Raumformen. Lemma 81 (Jacobifelder in R¨ aumen konstanter Kr¨ ummung). In R¨ aumen konstanter Schnittkr¨ ummung K sind die Jacobifelder mit Y˙ (0) ⊥ c(0) ˙

Y (0) = 0,

l¨ angs nach der Bogenl¨ ange parametrisierten Geod¨ atischen c : s 7→ exp sv, kvk = 1 von der Form Y (s) = sinK s W (s) mit parallelem W (s), W (0) = Y˙ (0). Dabei ist

sinK s =

  s

√ sin√ Ks K   sinh√√−Ks −K

K=0 K>0 K < 0.

Beweis. Es gilt d2 (sinK ) + K sinK = 0, dt2

sinK 0 = 0,

d sinK (0) = 1. dt

Damit ist g(Y, c) ˙ c˙ = sinK s g(W, c) ˙ = sinK s g(W (0), c(0)) ˙ =0 und Y¨ = −KY = −K(g(c, ˙ c)Y ˙ − g(Y, c) ˙ c). ˙ Also ist Y ein Jacobifeld, und aus Y (0) = 0 und Y˙ (0) = W (0) folgt die Behauptung.

Satz 82 (Lokale Klassifikation von Mannigfaltigkeiten konstanter Kr¨ ummung). Je zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension und gleicher konstanter Kr¨ ummung sind lokal isometrisch. Also ist jede solche lokal isometrisch zu Rm , S m (r) oder m H (r).

˜ , g˜) gleichdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher Beweis. Seien (M, g), (M ˜ , und sei  > 0 so gew¨ahlt, daß exp konstanter Schnittkr¨ ummung K. Seien p ∈ M, p˜ ∈ M die offenen Kugeln W (p) und W (˜ p) diffeomorph abbildet. Definiere expp := exp |W (p) und ˜ → Tp M . Dann ist expp˜ entsprechend. W¨ ahle eine Isometrie j : Tp˜M Φ := expp ◦j ◦ (expp˜)−1 ein Diffeomorphismus von exp(W (˜ p)) auf exp(W (p)).

46

~

TpM

Tp~M

j

exp p

~ exp p

~ p

Φ

p

~ M

M

Nach dem Lemma von Gauß ist Φ radial isometrisch. Sind andrerseits v, w1 , w2 ∈ Tp M, wi ⊥ v, kvk = 1 und Yi (t) = sinK t Wi (t),

Wi0 = 0

die Jacobifelder l¨ angs exp(tv) mit Yi (0) = 0, Y˙ i (0) = wi wie im Lemma, so folgt g(dtv exp tw1 , dtv exp tw2 ) = g(Y1 (t), Y2 (t)) = sin2K t g(W1 (t), W2 (t)) = sin2K t g(W1 (0), W2 (0)) = sin2K t g(w1 , w2 ). Das ist unabh¨ angig von der Mannigfaltigkeit, und deshalb folgt die Behauptung. Wir wollen nun eine globale Version dieses Satzes beweisen. Daf¨ ur brauchen wir ein Lemma, das auch sonst interessant ist. Unter anderem folgt aus ihm, daß die im Beispiel 13 angegebenen Isometrien der Sph¨ are oder des hyperbolischen Raums tats¨achlich die gesamte Isometriegruppe dieser Mannigfaltigkeiten aussch¨opfen. ˜ → M zwei Isometrien Riemannscher Mannigfaltigkeiten, ist M ˜ Lemma 83. Sind f, g : M ˜ zusammenh¨ angend und gibt es p˜ ∈ M mit f (˜ p) = g(˜ p),

dp˜f = dp˜g,

so folgt f = g.

Beweis des Lemmas. Weil (lokale) Isometrien Geod¨atische in Geod¨atische abbilden, gilt f¨ ur v ∈ Tp˜M und hinreichend kleine |t|: f ◦ exp tv = exp tdp˜f (v) = g ◦ exp tv. ˜ | f (˜ ˜ . Sie ist trivialerweise Folglich ist die Menge {˜ q∈M q ) = g(˜ q ) und dq˜f = dq˜g} offen in M ˜ auch abgeschlossen und enth¨ alt p. Daher ist sie = M .

Satz 84 (Einfach-zusammenh¨ angende Raumformen). Sei (M, g) eine einfachzusammenh¨ angende Raumform der Schnittkr¨ ummung K. Dann ist (M, g) isometrisch zum Euklidischen oder hyperbolischen Raum oder zur Sph¨ are der gleichen Schnittkr¨ ummung. F¨ ur K ≤ 0 bildet u ¨berdies die Exponentialabbildung jeden Tangentialraum diffeomorph auf die Mannigfaltigkeit ab.

47

Beweis. Sei p ∈ M und π := exp |Tp M : Tp M → M . Nach dem Lemma 81 sind die Jacobifelder mit Y (0) = 0, Y 0 (0) ⊥ c0 (0) gegeben durch Y (s) = sinK sW (s) mit parallelem W (s). 1. Fall: K ≤ 0. Dann haben die obigen Jacobifelder auf ]0, ∞[ keine Nullstellen, und weil exp |Tp M nach dem Gauß-Lemma radial isometrisch ist, ist die Exponentialabbildung auf Tp M ist eine Immersion. F¨ ur den Euklidischen oder hyperbolischen Raum ist sie bekanntlich sogar ein Diffeomorphismus auf den ganzen Raum. Die Konstruktion aus dem Beweis des ˜ → M . Nach Satz 57 ist das letzten Satzes liefert also eine isometrische Immersion Φ : M ¨ eine Riemannsche Uberlagerung und nach Satz 59 sogar eine Isometrie. Der letzte Satz der Behauptung folgt damit ebenfalls. 2. Fall: K > 0. Dann verschwinden alle Jacobifelder Y (s) = sinK s W (s) mit ∇D W = 0, W ⊥ c, ˙ das erste Mal wieder bei s =  := √πK . Daher ist exp |W (p) eine Immersion, aber die Sph¨are S (p) vom Radius  im Tangentialraum Tp M wird in einen Punkt abgebildet. Wir schreiben expp := exp |W (p) . p ˜ , g˜) = S m (1/ K) derselben Kr¨ Wir betrachten nun neben (M, g) die Sph¨are (M ummung ˜ → Tp M und und in dieser einen Punkt p˜. Wir w¨ahlen eine lineare Isometrie j : Tp˜M definieren ˜ ⊃ W (˜ ˜ expp˜ : Tp˜M p) → M analog. Dann ist Φ := expp ◦j ◦ exp−1 p˜ ˜ \{−˜ eine isometrische Immersion von M p} auf expp (W (p)) ⊂ M . ~˚ T~˚M

TM

p

p

j

TM

~˚ T~˚M

p

1

p1

j1 ~˚ p ~˚ p1

p p

~˚ M

1

M

~˚ -p

˜ \{˜ Wir w¨ ahlen nun einen Punkt p˜1 ∈ M p, −˜ p} und setze p1 := Φ(˜ p1 ). ˜ → Tp M . Dann erhalten wir wie oben eine isometrische Immersion Sei j1 := dp˜1 Φ : Tp˜1 M 1 Φ1 := expp1 ◦j1 ◦ expp−1 ˜1 ˜ \{−˜ von M p1 } auf expp (W (p1 )) ⊂ M Es gilt aber dp˜1 Φ1 = dp˜1 Φ. ˜ \{−˜ Daraus folgt Φ1 = Φ auf M p, −˜ p1 }. Insbesondere stimmen also Φ1 und Φ auf einer punktierten Umgebung von −˜ p u ¨berein. Mit Φ1 l¨aßt sich daher auch Φ als isometrische 48

¨ Immersion in −˜ p fortsetzen. Nach Satz 57 ist Φ eine Riemannsche Uberlagerung und nach Satz 59 sogar eine Isometrie. Clifford-Kleinsches Raumformenproblem. Wenn man im vorstehenden Satz die Raumform M nicht als einfach-zusammenh¨angend voraussetzt, liefert derselbe Beweis eine Rie¨ mannsche Uberlagerung ˜ → M, π:M ˜ je nach Kr¨ wobei M ummung K ein Euklidischer oder hyperbolischer Raum oder eine Sph¨are ist. Das Problem, alle (zusammenh¨angenden) Raumformen einer vorgegebenen Kr¨ ummung zu bestimmen, ist damit auf das Problem reduziert, welche Mannigfaltigkeiten sich isometrisch von einem der obigen Standardr¨aume u ¨berlagern lassen. Das hat zu tun mit der Bestimmung der frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden Untergruppen der jeweiligen Isometriegruppe und ist nicht vollst¨andig gel¨ost. Einige Resultate: (Hantzsche-Wendt 1935) F¨ ur m = 3 und K = 0 gibt es bis auf Hom¨oomorphie zehn kompakte und acht nicht-kompakte Raumformen. (Hopf 1926) F¨ ur m ≡ 0 mod 2 und K > 0 gibt es bis auf Isometrie nur zwei Raumformen, n¨ amlich die Sph¨ are S m und den reellen projektiven Raum RP m der entsprechenden Kr¨ ummung. (J.A.Wolf 1967) Vollst¨ andige Klassifikation bis auf Isometrie f¨ ur m ≥ 4 und K > 0.

49

13

Die zweite Variation und der Satz von Jacobi

F¨ ur die Frage, ob Geod¨ atische Minima der L¨ange bei Vergleich mit Nachbarkurven darstellen, ist es naheliegend, nicht nur die 1. Ableitung des L¨angenfunktionals (vgl. Satz 42), sondern auch die 2. Ableitung zu untersuchen. Wir betrachten also eine Variation V der Geod¨atischen c, kck ˙ =: r, und das L¨angenfunktional b

Z L(τ ) := L(cτ ) =

q

gcτ (t) (c˙τ (t), c˙τ (t))dt.

a

Wir schreiben zur Abk¨ urzung ∂t :=

∂ , ∂t

∂τ :=

∂ ∂τ

und ∇t := ∇∂t , ∇τ := ∇∂τ .

Seien X = ∂t V, Y = ∂τ V ∈ Γ(V ∗ T M ) und Y ⊥ ∈ Γ(c∗ T M ) die zu c˙ orthogonale Komponente von Y (., 0). Wir erinnern an ∇τ X = ∇t Y. Dann gilt b

Z

0

Z

b

∂τ kXkdt =

L (τ ) = a

a b

Z = a

1 ∂τ g(X, X)dt = 2kXk

Z a

b

1 g(∇τ X, X)dt kXk

1 g(∇t Y, X)dt, kXk

wobei der Integrand hier wie im folgenden an der Stelle (t, τ ) genommen wird. Es ergibt sich Z

00

b

L (τ ) = ∂τ a

Z

b

1 g(∇t Y, X)dt kXk

−

1 g(∇t Y, X)2 dt + kXk3

Z

b

1 ∂τ g(∇t Y, X)dt a a kXk Z b Z b Z b 1 g(∇τ ∇t Y, X) g(∇t Y, ∇τ X) 2 g(∇ Y, X) dt + dt + dt =− t 3 kXk kXk kXk a a a Z b Z b g(R(Y, X)Y, X) 1 2 g(∇t Y, X) dt + dt =− 3 kXk kXk a a Z b Z b g(∇t ∇τ Y, X) g(∇t Y, ∇τ X) + dt + dt. kXk kXk a a =

F¨ ur τ = 0 folgt Z Z Z Z 1 b 1 1 b 1 b 1 b ˙ ˙ 00 2 ˙ L (0) = − g(Y , c) ˙ dt + g(R(Y, c)Y, ˙ c)dt ˙ + g(∇t ∇τ Y, c)dt ˙ + g(Y , Y )dt r a r2 r a r a r a Z b Z b Z b 1 1 1 = g(Y˙ ⊥ , Y˙ ⊥ )dt + g(R(Y, c)Y, ˙ c)dt ˙ + (∂t g(∇τ Y, X) − g(∇τ Y, ∇t X ))dt. | {z } r a r a r a =0

Weil c Geod¨ atische ist, ist l¨ angs c 1 1 ˙⊥ d Y = ∇t (Y ⊥ ) = ∇t (Y − 2 g(Y, c) ˙ c) ˙ = Y˙ − 2 g(Y˙ , c) ˙ c) ˙ = Y˙ ⊥ . r r Aus den Kr¨ ummungsidentit¨ aten folgt g(R(Y, c)Y, ˙ c) ˙ = −g(R(Y, c) ˙ c, ˙ Y ) = −g(R(Y, c) ˙ c, ˙ Y ⊥ ) = −g(R(Y ⊥ , c) ˙ c, ˙ Y ⊥ ), 50

und wir erhalten: 1 1 (b,0) L (0) = g(∇τ Y, X)|(a,0) + r r 00

Z

b



 g(Y˙ ⊥ , Y˙ ⊥ ) − g(R(Y ⊥ , c) ˙ c, ˙ Y ⊥ ) dt.

a

F¨ ur Variationen mit festen Endpunkten verschwinden Y und seine τ -Ableitung an den Endpunkten, und deshalb verschwindet der intergralfreie Term und es ist L0 (0) = 0. Ist u ¨berdies die Schnittkr¨ ummung < 0 und Y ⊥ nicht trivial, so ist L00 (0) > 0. In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkr¨ ummung sind Geod¨atische also stets von minimaler L¨ange im Vergleich mit Nachbarkurven“. ” Definition 85 (Indexform). Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und c : [a, b] → M eine Geod¨ atische in M mit kck ˙ = r > 0. Definiere f¨ ur C ∞ -Vektorfelder Y1 , Y2 l¨angs c : [a, b] → M die Indexform 1 I(Y1 , Y2 ) := r

Z

b



 g(Y˙ 1 , Y˙ 2 ) − g(R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 ) dt

a

Das ist offenbar eine symmetrische Bilinearform auf Γ(c∗ T M ). Mit ihr erhalten wir

Satz 86 (Formel von Synge f¨ ur die 2. Variation). Seien V eine Variation der Geod¨ atischen c, kck ˙ =: r > 0 und Z L(τ ) :=

b

q gcτ (t) (c˙τ (t), c˙τ (t))dt.

a

Seien X, Y ∈ Γ(V ∗ T M ) und Y ⊥ ∈ Γ(c∗ T M ) definiert wie oben. Dann gilt (b,0) 1 + I(Y ⊥ , Y ⊥ ). L (0) = g(∇τ Y, X) r (a,0) 00

(57)

Gelegentlich ist es n¨ utzlich, Variationen (und mit diesen Variationsvektorfelder) zu betrachten, die in t-Richtung nur st¨ uckweise-C ∞ sind: Definition 87. Eine stetige Variation V (t, τ ), t ∈ [a, b], τ ∈] − , [, einer Kurve c = V (., 0) heißt st¨ uckweise glatt oder st¨ uckweise-C ∞ , wenn es eine Zerlegung a = t 0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk = b gibt, so daß jedes V |[tj−1 ,tj ]×]−,[ eine C ∞ -Abbildung ist. Das Variationsvektorfeld Y = ∂τ V |τ =0 ist dann ein st¨ uckweise-C ∞ Vektorfeld. Die Indexform definiert man f¨ ur solche Vektorfelder genauso wie oben. Statt st¨ uckweise-C ∞ sagt man auch gebrochen. Wendet man die Synge-Formel auf jedes V |[tj−1 ,tj ]×]−,[ einzeln an und addiert, so findet man: Satz 88. Satz 86 bleiben richtig f¨ ur gebrochene Variationen. Wir schreiben die Indexform noch etwas anders, sodaß man darin den Ausdruck aus der

51

Jacobigleichung erkennt: F¨ ur glatte Y1 , Y2 findet man Z  1 b ˙ ˙ g(Y1 , Y2 ) − g(R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 ) dt I(Y1 , Y2 ) = r a Z  1 b ∂t g(Y˙ 1 , Y2 ) − g(Y¨1 , Y2 ) − g(R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 ) dt = r a Z 1 ˙ 1 b ¨ b = g(Y1 , Y2 )|a − g(Y1 + R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 )dt. r r a F¨ ur an den Stellen ti gebrochene Vektorfelder Y1 , Y2 erh¨alt man entsprechend Z 1 b ¨ 1X ˙ −0 − g(Y1 + R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 )dt. I(Y1 , Y2 ) := g(Y1 , Y2 )|ttii−1 +0 r i r a

(58)

Definition 89 (Konjugierte Punkte). (i) Sei c : [a, b] → M eine nicht-konstante Geod¨ atische. Zwei Parameterwerte t0 , t1 ∈ [a, b] heißen konjugiert l¨ angs c, wenn es ein nicht-verschwindendes Jacobifeld Y l¨angs c gibt, f¨ ur das Y (t0 ) = 0 und Y (t1 ) = 0. 6 Man nennt dann auch c(t0 ) und c(t1 ) l¨angs c konjugiert. Ein t∗ ∈]a, b] oder auch c(t∗ ) heißt konjugiert, wenn es konjugiert zum Anfangspunkt a ist. (ii) v ∈ Tp M heißt zu p konjugiert, wenn exp v definiert und dv (exp |Tp M ) nicht injektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn 0 und 1 konjugiert l¨angs t 7→ exp tv sind. Satz 90 (Jacobi). Seien c : [a, b] → M eine nicht-konstante Geod¨ atische und t∗ ∈]a, b [ zu a konjugiert. Dann gibt es eine gebrochene Variation V (t, τ ) =: cτ (t) von c mit festen Endpunkten, so daß L(c) > L(cτ ) f¨ ur alle τ 6= 0: Nach dem ersten konjugierten Punkt ist keine Geod¨ atische mehr K¨ urzeste.

Beweis. Sei Y ein nicht-triviales (normales) Jacobifeld 6= 0 mit Y (0) = 0, Y (t∗ ) = 0. Dann ist Y˙ (t∗ ) 6= 0, denn sonst w¨ are Y = 0. Wir definieren ein gebrochenes Jacobifeld durch ( Y (t) f¨ ur a ≤ t ≤ t ∗ Yˆ (t) := 0 f¨ ur t∗ ≤ t ≤ b. Wir w¨ ahlen weiter ein differenzierbares normales Vektorfeld X l¨ angs c mit X(a) = 0,

X(b) = 0

und

g(Y˙ (t∗ ), X(t∗ )) < 0.

und definieren mit einem kleinen  > 0 ein gebrochenes Vektorfeld

X Y(t*)

c(b)

Z := Yˆ + X. Dieses Vektorfeld ist das Variationsvektorfeld einer Variation V (t, τ ) = exp τ Z(t) der Geod¨ atischen c mit festen Endpunkten.

6 Weil die Tangentialkomponente eines Jacobifeldes von der Form (α+βt)c(t) ˙ ist, hat sie nur eine Nullstelle oder sie verschwindet identisch. Also ist ein nicht-triviales Jacobifeld Y mit zwei Nullstellen immer normal (=orthogonal zu c). ˙

52

F¨ ur sie gilt nach der Syngeformel und (58) L00 (0) = I(Z, Z) = I(Yˆ , Yˆ ) + 2 I(X, X) + 2I(Yˆ , X) = 0 + 2 I(X, X) 



2  ˙  ˙ ˙ ˙ +  g(Yˆ (t∗− ), X(t∗ )) − g(Yˆ (a+ ), X(a)) + g(Yˆ (b− ), X(b)) − g(Yˆ (t∗+ ), X(t∗ )) | {z } | {z } r | {z } =0

 =

=0

=0

 2 ˙ ∗ ∗ g(Y (t ), X(t )) + I(X, X) . r

F¨ ur hinreichend kleines  > 0 ist dies negativ, und L hat in 0 ein striktes lokales Maximum.

53

14

Der Satz von Bonnet-Myers

Die Sph¨ are S m (r) vom Radius r hat die Schnittkr¨ ummung K = r12 . Wir betrachten eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte k¨ urzeste Geod¨atische c : [0, l] → S m (r) zwischen zwei Antipodalpunkten. Dann ist l = πr, und wenn W ein normales paralleles Einheitsfeld l¨angs c ist, ist πt t Y (t) := sin W (t) = sin W (t) r l ein Jacobifeld l¨ angs c, das an den Enden verschwindet, vgl. Lemma 81. F¨ ur die 2. Variation des L¨ angenfunktionals mit der Variation V (τ, t) = exp(τ Y (t)) finden wir Z

00

l

L (0) = −

g(Y¨ + R(Y, c) ˙ c, ˙ Y )dt

0 l

πt π2 W − R(W, c) ˙ c, ˙ W ) sin2 dt 2 l l 0  Z l 2 π πt 2 = − K(σcW dt. ˙ ) sin l2 l 0 Z

=

g(

Der Klammerausdruck im letzten Integranden ist 0, also L00 (0) = 0. Aber das wußten wir schon vorher, weil Y ein Jacobifeld ist, also Y¨ +R(Y, c) ˙ c˙ = 0 gilt. Die L¨ange der Geod¨atischen zwischen Antipodalpunkten ist bei der durch Y gegebenen Variation, die ja einfach durch Achsdrehung der Geod¨ atischen geliefert wird, von zweiter Ordnung station¨ar, im Wirklichkeit sogar konstant. Jetzt betrachten wir eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨atische der L¨ange l in einer beliebigen Riemannsche Mannigfaltigkeit und definieren W, Y und V wie oben. Dann ist L0 (0) = 0, weil c eine Geod¨ atische ist und die Variation feste Endpunkte hat. Wenn f¨ ur die Schnittkr¨ ummung K (l¨ angs der Geod¨atischen) π2 −K 0 f¨ ur die Schnittkr¨ ummungsfunktion K von (M, g). Dann ist M kompakt und π diam(M ) := sup{d(p, q); p, q ∈ M } ≤ √ . δ

Beweis. Nach dem Satz von Hopf-Rinow gibt es zwischen je zwei Punkten eine k¨ urzeste Geod¨ atische. H¨ atte diese L¨ ange l > √πδ , so w¨are K≥δ>

π2 , l2

also die Geod¨ atische keine K¨ urzeste. Daher ist diam(M ) ≤ √πδ . Insbesondere ist M also beschr¨ ankt und nat¨ urlich abgeschlossen, also nach dem Satz von Hopf-Rinow kompakt.

54

F¨ ur eine k¨ urzeste Geod¨ atische der L¨ange l in einer beliebigen Riemannsche Mannigfaltigkeit ist also  Z l 2 πt π − K(σ ) sin2 dt. 0 ≤ L00 (0) = cW ˙ 2 l l 0 Sind W2 , . . . , Wm parallele Einheitsvektorfelder orthogonal zu c, ˙ so folgt durch Anwendung auf jedes einzelne und Summation   Z l m 2 X π − 1  2 πt dt. 0≤ K(σcW ˙ j ) sin 2 l m − 1 l 0 j=2 Ist also der Mittelwert

m

1 X K(σcW ˙ j ) ≥ δ > 0, m − 1 j=2 uhrt so gilt l ≤ √πδ und es folgt ebenfalls die Behauptung des Satzes von Bonnet-Myers. Das f¨ zum Begriff der Riccikr¨ ummung. Definition 92. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. (i) F¨ ur p ∈ M und X ∈ Tp M definiere m

Ric X :=

1 X R(X, Ei )Ei . m − 1 i=1

Dabei seien E1 , . . . , Em eine Orthonormalbasis von Tp M . Die Definition ist unabh¨angig von der Wahl der Ei , vgl. nachstehende Bemerkung. Sie liefert ein Tensorfeld vom Typ (1, 1), den sogenannten Riccitensor.7 Aus den Kr¨ ummungsidentit¨aten folgt die Selbstadjungiertheit von Ric: g(Ric X, Y ) = g(X, Ric Y ). (ii) Weiter definiert man die symmetrische Bilinearform ric(X, Y ) := g(Ric X, Y ). Der Wert ric(X, X) heißt auch die Riccikr¨ ummung auf X. Zum besseren Verst¨ andnis von Ric und ric. 1. Ric ist durch ric eindeutig bestimmt. 2. ric als symmetrische Bilinearform ist vollst¨andig bestimmt durch die quadratische Form ric(X, X). Es gilt m

ric(X, X) =

1 X g(R(X, Ei )Ei , X) m − 1 i=1 m

=

1 X 1 g(R(Ei , X)X, Ei ) = Spur R(., X)X. m − 1 i=1 m−1

Damit sind ric und Ric unabh¨angig von der gew¨ahlten ON-Basis. 7 Den

Grund f¨ ur die Normierung mit m − 1 statt mit m erkl¨ aren wir unten.

55

3. Insbesondere kann man E1 in Richtung X w¨ahlen. Dann ist R(E1 , X)X = 0, und wenn kXk = 1 ist, folgt m

1 X ric(X, X) = K(σX,Ei ). m − 1 i=2

(59)

Also ist ric(X, X) das Mittel der Schnittkr¨ ummungen auf m − 1 zueinander orthogonalen Ebenen durch X. Das ist der Grund f¨ ur die Normierung mit m − 1. In R¨aumen konstanter Kr¨ ummung K wird Ric = K Id . 4. Die Mittelung u ummungen kann man auch kontinuierlich verstehen: ¨ber die Schnittkr¨ Lemma 93. Sei A ein selbstadjungierter Endomorphismus des Rn . Dann ist Z 1 1 Spur A = < Ax, x > dσS n−1 . n vol(S n−1 ) S n−1

P Beweis. Wir schreiben A = λi Pi , wobei die λi die Eigenwerte und die Pi die Orthogonalprojektionen auf die Eigenr¨aume sind. Dann ist Z X Z λi < Pi x, x > dσS n−1 < Ax, x > dσS n−1 = S n−1 X 1Z = λi (< P1 x, x > + . . . + < Pn x, x >)dσS n−1 n 1 = (Spur A) vol(S n−1 ). n

Mit (59) erhalten wir

Satz 94 (Satz von Bonnet-Myers: 2. Version). Sei (M, g) eine vollst¨ andige, zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 2. Es gebe δ > 0, so daß ric(X, X) ≥ δkXk2 f¨ ur alle X ∈ T M . Dann ist M kompakt und π diam(M ) ≤ √ . δ

56

15

Der Satz von Synge

Satz 95 (Lemma von Synge). Sei (M, g) eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit positiver Schnittkr¨ ummung K > 0. Sei c : [0, L] → M eine glatt-geschlossene Geod¨ atische der L¨ ange L(c) = L > 0. Dann gibt es eine Variation V (t, τ ) = cτ (t) von c, so daß alle Nachbarkurven cτ , τ 6= 0 glatt geschlossen und k¨ urzer als L sind.

Beweis. Die Parallelverschiebung von Vektoren X ∈ Tc(0) M mit X ⊥ c0 (0) l¨angs c liefert eine orthogonale Abbildung Φ von Tc(0) M auf Tc(L) M = Tc(0) M . Eine Orientierung von M liefert eine solche von Tc(0) M , und Φ ist orientierungstreu. Daher besitzt Π einen Eigenvektor zum Eigenwert +1, d.h. einen Fixvektor 6= 0. Sei X das durch Parallelverschiebung dieses Vektors erhaltene Vektorfeld. Beachte, daß X glatt geschlossen ist. Dann ist V (s, t) := exp(tX(s)) eine Variation von c, und f¨ ur die 2. Ableitung des L¨angenfunktionals gilt nach der Formel von Synge L00 (0) = I(X, X), der Integralfreie Term f¨ allt wegen der Geschlossenheit der Geod¨atischen weg. Also haben wir Z Z 1 L 1 L g(R(X, c0 )c0 , X)ds = − KkXk2 ds < 0. L00 (0) = − r 0 r 0 Daraus folgt die Behauptung.

Satz 96 (Satz von Synge). Eine zusammenh¨ angende, kompakte, orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) gerader Dimension mit positiver Schnittkr¨ ummung K > 0 ist einfach-zusammenh¨ angend. Der Beweis ist eine einfache Konsequenz aus dem Lemma von Synge und dem nachstehenden Lemma. Zun¨ achst die folgende Definition 97. Zwei geschlossene Kurven c0 , c1 : [a, b] → M heißen (in M ) frei homotop, wenn es eine Abbildung H : [a, b] × [0, 1] → M gibt, so daß gilt H(t, 0) = c0 (t), H(t, 1) = c1 (t) f¨ ur alle t, H(a, τ ) = H(b, τ ) f¨ ur alle τ.

(60) (61)

¨ ¨ Freie Homotopie ist eine Aquivalenzrelation. Die Aquivalenzklassen heißen freie Homotopieklassen. Bemerkung. Diese Definition macht Sinn f¨ ur einen beliebigen topologischen Raum M und stetige Abbildungen ci bzw. H. Ist M eine Mannigfaltigkeit, so gibt es in jeder freien Homotopieklasse eine geschlossene C ∞ -Kurve, und je zwei solche sind durch eine C ∞ -Homotopie verbunden. Man kann sich dann also auf glatte Homotopieklassen“ beschr¨anken. ” Lemma 98. Sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es in jeder freien Homotopieklasse eine glatt-geschlossene Geod¨ atische, die die L¨ ange in der Homotopieklasse minimiert.

57

Beweis. Kurven seien im folgenden st¨ uckweise C ∞ . ¨ Weil M kompakt ist, gibt es eine endliche offene Uberdeckung (Uk ) von M durch geod¨atischkonvexe offenen Mengen. Weiter gibt es nach dem Lemma von Lebesgue ein  > 0, so daß jede Menge vom Durchmesser < 3, insbesondere also jede Kurve der L¨ange< 3, in einem der Uk enthalten ist. Definition. Eine geschlossene Kurve c : [0, 1] → M heißt speziell, wenn eine Zerlegung 0 = t0 ≤ t 1 ≤ . . . ≤ t N = 1 mit folgender Eigenschaft existiert: F¨ ur alle j ist c|[tj−1 ,tj ] eine k¨ urzeste Geod¨atische zwischen c(tj−1 ) und c(tj ) von der L¨ange < . 1. Schritt: Zu jeder geschlossenen Kurve c : [0, 1] → M gibt es eine homotope spezielle Kurve, deren L¨ ange nicht gr¨ oßer ist. Beweis: W¨ ahle eine Zerlegung 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tN = 1, so daß L(c|[tj−1 ,tj ] ) <  f¨ ur alle j. Dann ist c|[tj−1 ,tj ] eine Kurve in einer der geod¨atisch konvexen Mengen Uk und l¨ aßt sich deshalb homotop deformieren in die k¨ urzeste Geod¨atische von c(tj−1 ) nach c(tj ). Auf diese Weise erh¨alt man eine zu c homotope und nicht l¨angere geschlossenen Kurve. 2. Schritt: Sei α eine freie Homotopieklasse und l das Infimum der L¨angen von Kurven in α. Dann gibt es eine Folge geschlossener Kurven ci in α, deren L¨angen gegen l konvergieren, und die s¨ amtlich speziell sind (1. Schritt). Wir k¨onnen weiter annehmen, daß keine dieser Kurven l¨ anger als 2l ist. 3. Schritt: Man kann die Folge der ci so w¨ahlen, daß sie s¨amtlich dieselbe Anzahl N von Teilpunkten 0 = ti0 ≤ ti1 ≤ . . . ≤ tiN = 1 haben. Beweis: Wir betrachten eine spezielle Kurve c = ci mit einer Zerlegung 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tN = 1. Wir betrachten folgende Teilkurven: γr := c|[t2r ,t2r+2 ] ,

r = 0, . . . , [

N ] − 1. 2

Hat jede dieser Kurven eine L¨ ange≥ , so ist 2l ≥ L(c) ≥

X

i.e. N ≤ 2(

L(γr ) ≥ [

N ], 2

2l + 1). 

Das bedeutet aber: Ist umgekehrt N > N0 := [2( 2l + 1)], so ist wenigstens ein γr k¨ urzer als  und damit in einem Uk enthalten. Also kann man γr homotop ersetzen durch die k¨ urzeste Geod¨ atische von γr (2r) nach γr (2r + 2) und hat c durch eine homotope spezielle Kurve ersetzt, die einen Teilpunkt weniger hat. Man kann daher annehmen, daß kein ci mehr als N0 Teilpunkte hat. Weil man aber beliebig Teilpunkte einf¨ ugen kann, kann man sogar annehmen, daß alle ci genau N0 Teilpunkte haben. 58

4. Schritt: Nach Wahl einer Teilfolge der ci k¨onnen wir annehmen, daß f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , N } der Grenzwert pj = lim ci (tij ) i

exisitiert. Die k¨ urzesten Geod¨ atischen zwischen diesen Grenzpunkten bilden eine geschlossene Kurve c der L¨ ange l. Beweis: X L(c) = d(pj , pj+1 ) X = d(lim ci (tij ), lim ci (tij+1 )) i i X i = lim d(ci (tj ), ci (tij+1 )) i X = lim L(ci |[tij ,tij+1 )] ) i

= lim L(ci ) i

= l. ur alle i ≥ i0 und alle j ∈ {0, . . . , N } 5. Schritt: Es gibt ein i0 , so daß f¨ d(pj , ci (tij )) < . Wir w¨ ahlen i = i0 . Dann ist d(pj , ci (tij+1 )) < 2 und weil d(pj , pj+1 ) ≤ , liegen die 4 Punkte i

c i( t j )

pj , pj+1 , ci (tij ), ci (tij+1 ) in einem geod¨ atisch konvexen Uk . Daher l¨aßt sich c homotop in ci deformieren und liegt also in α. Schließlich liegen pi und pi+2 in einem Uk . Die K¨ urzeste zwischen diesen Punkten liegt dann auch in Uk und ist deshalb homotop zu dem Bogen von c der pi und pi+2 verbindet. Weil L(c) aber minimal in der Klasse α ist, fallen diese beiden Verbindungen von pi nach pi+2 zusammen und c hat – im Gegensatz zum nebenstehenden Bild – in pj+1 keinen Knick.

59

pj

i c i ( tj+1 )

p

j+1

c i( t i ) j+2

p j+2

16

Der Satz von Hadamard-Cartan

Sei Y ein nicht-triviales normales Jacobifeld l¨angs der nicht-konstanten Geod¨atischen c mit Y (0) = 0. Dann gilt f¨ ur die Funktion f (t) := 12 g(Y (t), Y (t)) f˙ = g(Y˙ , Y ), f¨ = g(Y˙ , Y˙ ) + g(Y¨ , Y ) = g(Y˙ , Y˙ ) − g(R(Y, c) ˙ c, ˙ Y ). Ist die Schnittkr¨ ummung von M nicht positiv, so ist f also konvex mit f (0) = f 0 (0) = 0. Insbesondere hat f keine Nullstellen außer 0 und wir erhalten das Lemma 99. Geod¨ atische in Riemannschen Mannigfaltigkeiten nicht-positiver Schnittkr¨ ummung besitzen keine konjugierten Punkte.

Satz 100 (Hadamard-Cartan). Sei M eine vollst¨ andige, zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit nicht-positiver Schnittkr¨ ummung. Dann ist f¨ ur jedes p ∈ M exp : Tp M → M ¨ eine Uberlagerungsabildung. Ist M also einfach zusammenh¨ angend, so ist exp : Tp M → M ein Diffeomorphismus.

Beweis. Nach dem Lemma und Satz 78 ist exp : Tp M → M ein lokaler Diffeomorphismus. Mit exp∗ g wird Tp M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und exp eine lokale Isometrie. Die kanonisch parametrisierten Geraden durch 0 in Tp M werden auf Geod¨atische in M abgebildet, sind also Geod¨ atische in Tp M bez¨ uglich der zur¨ uckgeholten Metrik. Also ist ¨ Tp M mit dieser Metrik vollst¨ andig. Aus dem Satz 57 u ¨ber Riemannsche Uberlagerungen folgt die Behauptung.

60

17

Riemannsche Submersionen

˜ , g˜) → (M, g) eine Submersion von Riemannschen MannigfalDefinition 101. Sei π : (M tigkeiten. (i) F¨ ur p ∈ M ist ˜ p := π −1 ({p}) ⊂ M ˜ M ˜ − dim M , die Faser u eine Untermannigfaltigkeit der Dimension dim M ¨ber p. ˜ definiere (ii) F¨ ur p˜ ∈ M ˜ π(p) Vp˜π := Tp˜M ˜ = ker dp˜π ⊥ ˜ Hp˜π := (Tp˜Mπ(p) ˜ ) Vp˜π und Hp˜π heißen der Vertikalraum bzw. der Horizontalraum von π. Es ist ˜ = Vp˜π ⊕ Hp˜π, Tp˜M und wir bezeichnen mit X = X v + X h die entsprechende Zerlegung. Ein Tangentialvektor v˜ ∈ Vp˜π bzw. v˜ ∈ Hp˜π heißt vertikal bzw. horzontal. Auf die offensichtliche Weise definiert man die Begriffe horizontales Vektorfeld, horizontale Kurve etc. ˜ (iii) π heißt eine Riemannsche Submersion, wenn f¨ ur alle p˜ ∈ M ˜ → Tπ(p) dp˜π|Hp˜M˜ : Hp˜M ˜ M eine lineare Isometrie ist. ˜ , g˜) → (M, g) eine Riemannsche Submersion. Sei im folgenden π : (M Lemma 102. (i) Ein Vektorfeld X auf M besitzt einen eindeutigen horizontalen Lift, ˜ auf M ˜ , welches horizontal ist, und f¨ d.h. es gibt genau ein Vektorfeld X ur welches ˜ dπ(X) = X ◦ π gilt. ˜ c(t ) , einen (ii) Eine regul¨ are Kurve c : J → M besitzt zu gegebenem t0 ∈ J und p˜ ∈ M 0 eindeutigen horizontalen Lift von c˜ mit Anfangswert p˜. D.h. es gibt eine eindeutig ˜ mit c˜(t0 ) = p˜ und π ◦ c˜ = c. bestimmte horizontale Kurve c˜ : J → M

Beweis. Zu (i). Trivial. Zu (ii). Es gen¨ ugt zu zeigen, daß es auf einer hinreichend kleinen Umgebungvon t0 einen eindeutig bestimmten horizontalen Lift mit Anfangswert p˜ gibt. Mit einem Zusammenhangsargument folgt dann die globale Aussage. Nach dem Rangsatz k¨ onnen wir J erforderlichenfalls durch ein kleineres Intervall (wieder J genannt) um den Punkt t0 ersetzen, so daß N := c(J) eine Untermannigfaltigkeit von M ist, auf der c˙ ein Vektorfeld X mit X ◦ c = c˙ definiert. Wegen der Submersionseigenschaft von π ˜ := π −1 (N ) eine Untermannigfaltigkeit von M ˜ , und π| ˜ : N ˜ → N ist eine Riemannsche ist N N ˜ von X in N ˜ mit ist Submersion. Die Integralkurve c˜ mit c˜(t0 ) = p˜ des horizontalen Lifts X eine horizontale Kurve. F¨ ur sie gilt d (π ◦ c˜) = dπ(c˜˙) = Xπ◦˜c . dt 61

Damit sind c und π ◦ c˜ Integralkurven von X mit π ◦ c˜(t0 ) = c(t0 ). Daher gilt π ◦ c˜ = c. ˜ sein muß und Die Eindeutigkeit von c˜ folgt daraus, daß c˜ offenbar eine Integralkurve von X Integralkurven durch den Anfangspunkt eindeutig bestimmt sind. Lemma 103. (i) π erh¨ alt die L¨ ange von horizontalen Kurven und verk¨ urzt die L¨ ange anderer Kurven. (ii) Ist c : J → M eine Geod¨ atische, so ist ein horizontaler Lift von c ebenfalls eine Geod¨ atische. ˜ eine Geod¨ (iii) Ist c˜ : J → M atische mit horizontalem c˜˙(t0 ), so ist c˜ horizontal, und π ◦ c˜ ist eine Geod¨ atische in M . ˜ , g˜) vollst¨ (iv) Ist (M andig, so auch (M, g), falls M zusammenh¨ angend.

Beweis. Zu (i). Folgt aus kdπ(X)k2 = kdπ(X v + X h )k2 = kdπ(X h )k2 = kX h k2 ≤ kXk2 . urzeste ist, ist nach (i) auch c˜ lokal Zu (ii). Sei c˜ ein horiontaler Lift von c. Weil c lokal K¨ K¨ urzeste. Außerdem ist c˜ mit konstanter Geschwindigkeit parametrisiert, weil dasselbe f¨ ur c gilt. Daher ist c˜ Geod¨ atische. Zu (iii). Sei o.E. c˜˙(t0 ) 6= 0. Sei c die Geod¨atische mit c(t ˙ 0 ) = dπ(c˜˙(t0 )). Dann ist c nicht konstant und der horizontale Lift von c durch t0 mit Anfangswert c˜(0) eine Geod¨atische mit demselben Anfangspunkt wie c˜. Aber der horizontale Lift von c(t ˙ 0 ) ist c˜˙(t0 ). Also hat der horizontale Lift von c auch denselben Anfangsvektor wie c˜. Daher ist c˜ der horizontale Lift von c und c = π ◦ c˜. Zu (iv). Trivial nach (iii) und dem Satz von Hopf-Rinow. ˜ Y˜ und W ein verLemma 104. Seien X, Y Vektorfelder auf M mit horizontalen Lifts X, ˜ tikales Vektorfeld auf M . Dann gilt: ^ ˜ Y˜ ]h = [X, [X, Y ], ˜ ˜ [W, X] = [W, X]v , 1 ˜ ˜ v ˜ ˜ Y˜ = ∇ ^ ∇ X Y + [X, Y ] , X 2 1 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Y˜ ]). g˜(∇W X, Y ) = g˜(∇X˜ W, Y ) = − g˜(W, [X, 2

˜ Y˜ und die Vektorfelder X, Y sind π-verwandt: Beweis. Zu (62). Die Vektorfelder X, ˜ = X ◦ π, dπ(X)

dπ(Y˜ ) = Y ◦ π.

Daher gilt ˜ Y˜ ]) = [X, Y ] ◦ π. dπ([X, ^ ˜ Y˜ ]h = [X, Also ist [X, Y ] und es folgt (62). ˜ und die Vektorfelder 0, X sind π-verwandt. Daher ist Zu (63). Die Vektorfelder W, X ˜ = [0, X] ◦ π = 0. dπ([W, X]) 62

(62) (63) (64) (65)

˜ vertikal. Also ist [W, X] ˜) ur ein beliebiges Vektorfeld U ∈ Γ(T M Zu (64). Die Levi-Civita-Formel liefert f¨ ˜ ˜ Y˜ ) = X ˜ g˜(U, Y˜ ) + Y˜ g˜(U, X) ˜ − U g˜(X, ˜ Y˜ ) 2˜ g (U, ∇ X ˜ [U, Y˜ ]) + g˜(Y˜ , [U, X]) ˜ − g˜(U, [Y˜ , X]). ˜ + g˜(X, ˜ Dann ist Wir betrachten zun¨ achst den Fall eines horizontalen U = Z. ˜ g˜(U, Y˜ ) = X ˜ g˜(Z, ˜ Y˜ ) = X(g(Z, ˜ X Y ) ◦ π) = Xg(Z, Y ) und ^ ˜ [U, Y˜ ]) = g˜(X, ˜ [U, Y˜ ]h ) = g˜(X, ˜ [Z, g˜(X, Y ]) = g(X, [Z, Y ]) und entsprechend f¨ ur die anderen Terme. Also folgt ˜ ˜ Y˜ ) = 2g(Z, ∇X Y ) = 2˜ ^ 2˜ g (U, ∇ g (U, ∇ X Y ). X F¨ ur vertikales U verschwinden offenbar die beiden ersten Terme der Levi-Civita-Formel. Der ˜ Y˜ ) = g(X, Y ) ◦ π in vertikaler Richtung konstant ist. Nach dritte ist ebenfalls 0, weil g˜(X, (63) verschwinden die beiden n¨ achsten Terme der Levi-Civita-Formel, und es bleibt nur der letzte: ˜ = g˜(U, −[Y˜ , X] ˜ v ). ˜ ˜ Y˜ ) = −˜ g (U, [Y˜ , X]) 2˜ g (U, ∇ X ˜ ˜ Y˜ ist also 1 [X, ˜ Y˜ ]v . Der Vertikalanteil von ∇ X 2 Zu (65). Es gilt ˜ Y˜ ]). ˜ ˜ Y˜ ) = − 1 g˜(W, [X, ˜ W X, ˜ Y˜ ) = g˜(∇ ˜ ˜ W, Y˜ ) + g˜([W, X] ˜ , Y˜ ) = −˜ g (W, ∇ g˜(∇ X X | {z } 2 =0

˜ , g˜) → (M, g) eine Riemannsche Submersion und X,Y Satz 105 (O’Neill). Seien π : (M orthonormale Vektorfelder auf M . Dann gilt f¨ ur die Schnittkr¨ ummungen ˜ ˜ ˜ ) + 3 k [X, ˜ Y˜ ]v k2 . K(σXY ) = K(σ XY 4 Der Basisraum einer Riemannschen Submersion hat gr¨ oßere Kr¨ ummung als der Total” raum.“ ˜ Y˜ ]v tensoriell ist. Das kann Bemerkung: Die obige Formel suggeriert, daß der Ausdruck [X, man leicht best¨ atigen.

Beweis. Es gilt ˜ X, ˜ Y˜ )Y˜ , X) ˜ = g˜(∇ ˜ ˜∇ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜∇ ˜ ˜ Y˜ , X) ˜ − g˜(∇ ˜ ˜ ˜ Y˜ , X). ˜ g˜(R( ˜(∇ X Y˜ Y , X) − g Y X [X,Y ]

63

Der zweite Term rechts liefert ˜ ˜∇ ˜ ˜ Y˜ , X) ˜ = g˜(∇ ˜ ˜ ((∇ ˜ ˜ Y˜ )h + (∇ ˜ ˜ Y˜ )v ), X) ˜ g˜(∇ Y X Y X X ˜ ˜ Y˜ )h , X) ˜ ˜ Y˜ )v , X) ˜ ˜ (∇ ˜ + g˜(∇ ˜ ˜ (∇ ˜ = g˜(∇ Y

X

Y

X

˜ Y˜ ])v ), X) ˜ ˜ ( 1 [X, ˜ = g(∇Y ∇X Y, X) + g˜(∇ Y 2 1 ˜ Y˜ ])v , ∇ ˜ ˜ X). ˜ = g(∇Y ∇X Y, X) − g˜([X, Y 2 1 ˜ Y˜ ])v , [Y˜ , X] ˜ v ). = g(∇Y ∇X Y, X) − g˜([X, 4 1 ˜ Y˜ ])v , [X, ˜ Y˜ ]v ). = g(∇Y ∇X Y, X) + g˜([X, 4 Der erste Term liefert mit der gleichen Rechnung ˜ ˜∇ ˜ ˜ ˜ g˜(∇ X Y˜ Y , X) = g(∇X ∇Y Y, X), weil [Y˜ , Y˜ ] = 0. Der dritte Term ist ˜ ˜ = g˜(∇ ˜ ˜ ˜ h ˜ ˜ v Y˜ , X) ˜ ˜ ˜ Y˜ , X) g˜(∇ ([X,Y ] +[X,Y ] ) [X,Y ] ˜ ˜ ˜ h Y˜ , X) ˜ + g˜(∇ ˜ ˜ ˜ v Y˜ , X) ˜ = g˜(∇ [X,Y ] [X,Y ] 1 ˜ Y˜ ]v , [Y˜ , X] ˜ v) = g(∇[X,Y ] Y, X) − g˜([X, 2 1 ˜ Y˜ ]v , [X, ˜ Y˜ ]v ). = g(∇[X,Y ] Y, X) + g˜([X, 2

Beispiel 106. Sei G eine Liegruppe mit biinvarianter Metrik und H ⊂ G eine abgeschlossene Untergruppe. Dann hat G/H eine kanonische Mannigfaltigkeitsstruktur, die die kanonische Projektion π : G → G/H zu einer Submersion macht. Weil die Rechtstranslationen Isometrien sind, besitzt G/H eine eindeutig bestimmte Riemannsche Metrik, so daß π eine Riemannsche Submersion wird. Solche Quotienten heißen normale homogene R¨ aume. Sie sind tats¨ achlich homogen in dem Sinne, daß die Linkstranslationen von G Isometrien von G/H induzieren, die transitiv auf G/H operieren. Wir betrachten konkret den Fall G = S 3 der Quaternionen vom Betrag 1 und H = G ∩ (R + iR). Dann ist H genau die Isotropiegruppe der Aktion π : S3 × S2 → S2,

q 7→ qiq −1 = qi¯ q.

Dabei ist S 2 die Einheitssph¨ are im Raum der imagin¨aren Quaternionen. Die Metrik auf S 3 sei induziert von der Standardmetrik auf H = R4 : ha, bi = Re(a¯b). Das liefert eine biinvariante Metrik auf G = S 3 . Deshalb k¨onnen wir uns im folgenden auf die Faser u anken. Diese ist gegeben durch ¨ber i beschr¨ Si3 = {q ∈ S 3 | qi¯ q = i} = H.

64

Wir finden in p = 1 ∈ S 3 : T1 S 3 = Im H, V1 π = iR, H1 π = jR + kR. Weiter ist

( 0 f¨ ur v ∈ V1 π, d1 π(v) = vi1 + 1i¯ v = vi − iv = 2vi f¨ ur v ∈ H1 π.

F¨ ur horizontales v ist also bez¨ uglich der von h. , .i induzierten Metrik kd1 π(v)k = 2kvk. Damit π eine Riemannsche Immersion wird, muß man also die Metrik auf S 2 mit dem Faktor 1 ummung von S 2 ist dann konstant = 4. 4 multiplizieren. Die Kr¨ Die Vektorfelder x 7→ xj und x 7→ xk sind horizontale Vektorfelder, weil x 7→ xi vertikal ist: dq π(qi) = qii¯ q + qi ¯i¯ q=0 Wir berechnen die Lieklammer [xj, xk]. Es gilt exp(tkj) = cos t + sin t j und [xj, xk]1 =

d d |0 Adexp txj xk = |0 (cos t + sin t j)k(cos t − sin t j) = jk + k(−j) = 2i. dt dt

Damit ergibt sich f¨ ur die Schnittkr¨ ummungen aus der O’Neill-Formeln 3 K(T pM ) = 1 + k2ik2 = 4, 4 wie f¨ ur die skalierte Metrik auf S 2 zu erwarten.

65

18

Der komplexe projektive Raum

Die komplexen Geraden im Cm+1 bilden den m-dimensionalen komplexen projektiven Raum CP m . Identifiziert man die Geraden mit den unit¨aren Orthogonalprojektionen vom Rang 1 bez¨ uglich des hermiteschen Skalarprodukts X (x, y) := xi y¯i , so erh¨ alt man CP m eingebettet in den Raum der End(Cm+1 ).8 Wir verzichten auf den Nachweis, daß das eine reell 2m-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. Betrachten wir auf End(Cm+1 ) das reelle Skalarprodukt hA, Bi :=

1 Re SpurC (AB ∗ ), 2

so erh¨ alt dieser Raum und damit CP m eine Riemannsche Metrik, die wir jetzt untersuchen wollen. Genauer wollen wir in Anlehnung an den reellen Fall die Geometrie auf dem projektiven Raum mittels der Geometrie auf der Einheitssph¨are im Cm+1 beschreiben. Allerdings ist die Projektion π : Cm+1 ⊃ S 2m+1 → End(Cm+1 ),

x 7→ π(x) := (. , x)x

¨ in diesem Fall nicht mehr eine zweibl¨attrige Uberlagerung, weil komplexen Geraden die 2m+1 S nicht in zwei Punkten sondern in einem Großkreis schneiden: Die Faser von π durch x ist π −1 ({π(x)}) = Cx ∩ S 2m+1 = {eiφ x | φ ∈ R}. Das Euklidische Skalarprodukt auf Cm+1 = R2m+2 ist gegeben durch hx, yi = Re(x, y) =

1 ((x, y) + (y, x)). 2

Das Differential von π. F¨ ur p ∈ S 2m+1 und v ∈ Tx S 2m+1 = {v ∈ Cm+1 | hv, xi = 0} erhalten wir dx π(v) = (., v)x + (., x)v Der Kern ist also gegeben durch Vx := ker dx π = {v ∈ Tx S 2m+1 | v ∈ Rix}. Insbesondere ist π vom Rang m und daher eine Submersion. Der Horizontalraum, ist Hx = {v ∈ Tx S 2m+1 | hv, ixi = 0} = {v ∈ Tx S 2m+1 | (v, x) = 0} = {v ∈ Cm+1 | (v, x) = 0}. Der Horizontalraum wird unter dπ also isomorph auf den Tangentialraum Tπ(x) CP 2m+1 abgebildet und soll uns im folgenden als Modell f¨ ur diesen Tangentialraum dienen. Wichtig ist die Beobachtung, daß Hx = Heiφ x , so daß der Horizontalraum in allen Punkten einer Faser derselbe“ ist. ” 8 Eigentlich

sogar in den der selbstadjungierten Endomorphismen.

66

Die Metrik auf CP m . Wir zeigen nun, daß π eine Riemannsche Submersion ist: F¨ ur v, w ∈ Hx gilt hdx π(v), dx π(w)i = hv, wi. Beweis. 2hdx π(v), dx π(w)i = Re Spur[dx π(v) ◦ dx π(w)] = Re Spur[((., v)x + (., x)v) ◦ ((., w)x + (., x)w)] = Re Spur[((., w)x + (., x)w, v)x + ((., w)x + (., x)w, x)v ] = Re Spur[((., x)w, v)x + ((., w)x, x)v ] = Re Spur[(., x)(w, v)x + (., w)(x, x)v ] = Re Spur[(., x)(w, v)x + (., w)(x, x)v ] X = Re[(w, v) + (ei , w)(v, ei )] = Re[(w, v) + (v, w)] = 2hv, wi.

(Fast)komplexe Struktur. Hx ist ein komplexer Untervektorraum von Cm+1 , und die Multiplikation mit i in diesem Vektorraum induziert auf T CP m ein Endomorphismenfeld J : T CP m → T CP m . Daf¨ ur gilt ∇J = 0, d.h. ∇X (JY ) = J∇X Y. Mit J wird jeder Tangentialraum Tp CP m ein komplexer Vektorraum, und man schreibt u ¨blicherweise iX statt JX. Damit ist CP m eine sogenannte fastkomplexe Mannigfaltigkeit. CP m ist sogar eine komplexe Mannigfaltigkeit: Es gibt einen Atlas komplexer Karten mit holomorphen Kartenwechseln, aber darauf gehen wir nicht ein. Beweis. Es gilt ∇X (JY ) − J∇X (Y ) = 0

⇐⇒

^ ∇^ X (JY ) − J∇X (Y ) = 0.

Wir bezeichnen mit ∇0 die Levi-Civita-Ableitung der S 2m+1 . Dann ist nach Lemma 104  h  h  h ˜ ˜ (JY ˜ ) = ∇0˜ (iY˜ ) = i∇0˜ Y˜ . ∇^ X (JY ) = ∇X X X Andrerseits ist 0 ˜ h ^ ^ J∇ X (Y ) = i ∇X (Y ) = i(∇X ˜Y ) .

Weil aber Hx invariant unter i ist, folgt die Behauptung. Geod¨ atische. Die horizontalen nach der Bogenl¨ange parametrisierten Geod¨atischen in S 2m+1 sind von der Form c˜(s) = cos s x + sin s v mit v ∈ Hx , d.h. (v, x) = 0 und kvk = 1. Sie projizieren sich (doppelt) auf (ebenfalls geschlossene) Geod¨ atische in CP m von der L¨ange π. Das liefert alle Geod¨atischen in CP m . Zwei Geod¨ atische aus π(x) schneiden sich nach der L¨ange π/2, wenn ihre Anfangsvektoren

67

(bez¨ uglich J) komplex linear abh¨angig sind. Andernfalls schneiden sie sich nur im Ausurzeste. Der Durchmessser gangspunkt. Bis zur L¨ ange π2 sind alle Geod¨atischen deshalb K¨ π m von CP ist 2 . Beweis. Seien v, w ∈ Hx Einheitsvektoren. Wir untersuchen, wann π(cos s x + sin s v) = π(cos t x + sin t w), d.h. wann f¨ ur ein λ ∈ C mit |λ| = 1 gilt cos s − λ cos t = 0

(66)

sin s v − λ sin tw = 0. 1. Fall: sin s = 0. Dann ist (66) ¨aquivalent zu sin t = 0, cos s = ± cos t. Beide Geod¨atische gehen dann durch π(x). Insbesondere schließen sie sich nach der L¨ange π, und zwar glatt (Geschwindigkeitsvektor ist ebenfalls periodisch). Im weiteren k¨onnen wir uns daher einschr¨ anken auf 0 ≤ s, t ≤ π. 2. Fall: sin s 6= 0. Dann sind v und w komplex linear abh¨angig. Im Fall λ = ±1 hat man sogar reelle Abh¨ angigkeit, und die Geod¨atischen fallen wieder bis auf die Orientierung zusammen. Es bleibt der Fall λ 6= ±1, also cos s = 0 = cos t, also s = t = π2 . Projektive Geraden. F¨ ur x ∈ S 2m+1 und v ∈ Hx \{0} ist Cx + Cv eine komplexe Ebene, die S 2m+1 in einer Groß-S 3 trifft. Das π-Bild dieser S 3 besteht aus allen Orthogonalprojektionen auf (komplexe) Geraden in Cx + Cv, ist also ein CP 1 ⊂ CP m , eine sogenannte (komplexe) projektive Gerade g. Diese ist gleichzeitig das π-Bild aller (horiontalen) Geod¨atischen aus x mit Anfangsrichtung in Cv ⊂ Hx , also das Bild aller Geod¨atischen in CP m aus π(x) mit Anfangsrichtung in Spann{dπ(v), Jdπ(v)} = Cdπ(v). Weil J parallel ist, bleibt (c, ˙ J c) ˙ eine Basis des Tangentialraums an g l¨angs c(t) = exp tv, d.h. es gilt allgemein: Ist p ∈ CP m ein Punkt einer komplexen Geraden g und u ∈ Tp CP m tangential an g, u 6= 0, so ist g = exp(Cu) = exp(Tp g). g ist eine sogenannte totalgeod¨ atische Untermannigfaltigkeit. Nach dem vorangehenden Abschnitt ist g eine Kreisscheibe vom Radius π/2, bei der der Rand zu einem Punkt kontrahiert ist, also eine 2-Sph¨ are vom Umfang π. Jacobifelder. F¨ ur Euklidisch orthonormale x, v, w mit (x, v) = (x, w) = 0 ist cτ (t) = cos t x + sin t(cos τ v + sin τ w) eine Variation von c = c0 durch horizontale Geod¨atische. Das zugeh¨orige Jacobifeld ist Z(t) = sin t w. (Beachte, daß w ein in Cm+1 konstantes, an S 2m+1 tangentiales Vektorfeld l¨angs c ist.) Die horizontale Komponente von Z ist ( 1 sin 2t ic(t), ˙ falls w = iv h Z(t) = sin t w − hsin t w, ic(t)iic(t) ˙ = 2 sin t w, falls w ⊥ Cv. Beweis. c(t) = cos t x + sin t v. 2. Fall: (v, w) = 0. Z(t)h = sin t w − hsin t w, ic(t)iic(t) = sin t w − hsin t w, i cos t x + i sin t vii(cos t x + sin t v) = sin t w − sin2 thw, ivii(cos t x + sin t v) = sin t w. 68

1. Fall: w = iv. Dann erh¨ alt man wie oben Z(t)h = sin t iv − sin2 t i(cos t x + sin t v) = i sin t(v − sin t cos t x − sin2 t v) = i sin t cos t(− sin t x + cos t v) = sin t cos t ic(t). ˙

Das Jacobifeld der Variation π ◦cτ von π ◦c ist offenbar Y = dc π(Z) = dc π(Z h ) und Y˜ = Z h . Mit Lemma 104 finden wir Y¨ = dπ(Z¨ h ), also ( −4Y f¨ ur w = iv, ¨ Y = −Y f¨ ur w ⊥ Cv. Kr¨ ummungstensor. F¨ ur p ∈ CP m und X ∈ Tp CP m sei ΠX die Euklidische Orthogonalprojektion auf Spann{X, JX} = CX. Dann gilt f¨ ur den Kr¨ ummungstensor von CP m und Y ⊥X R(Y, X)X = Y + 3ΠX (Y ).

(67)

Insbesondere liegt die Schnittkr¨ ummung zwischen 1 und 4, vgl. die Formel von O’Neill. Beweis. Nach dem vorigen Absatz und der Jacobigleichung ist ( 4Y, falls Y = iX R(Y, X)X = Y, falls Y ⊥ CX = Y + 3ΠX (Y ),

falls Y = iX oder ⊥ CX.

Aus der Linearit¨ at beider Seiten folgt die Behauptung dann f¨ ur alle Y ⊥ X. Damit ist die Schnittkr¨ ummungsfunktion von CP m vollst¨andig bestimmt. Damit ist aber auch der Kr¨ ummungstensor bestimmt, vgl. Lemma 68.

69

19

Vergleich von Jacobifeldern

Wir erinnern daran, daß die normalen Jacobifelder in R¨aumen konstanter Kr¨ ummung κ mit den Anfangsbedingungen Y (0) = 0, Y˙ (0) = w gegeben sind durch Y (s) = sinκ sW , wobei W durch Parallelverschiebung von w entsteht, w¨ahrend  sin √κs f¨ ur κ > 0,   √κ sinκ s = s f¨ urκ = 0,   sinh√√−κs f¨ ur κ < 0. −κ

Satz 107 (Vergleichssatz von Rauch9 und Buser/Karcher10 ). Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, c : [0, b [→ M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische, Y ein normales Jacobifeld l¨ angs c mit Y (0) = 0, Y˙ (0) 6= 0. K bezeichne die Schnittkr¨ ummung von M . Sei cκ : [0, b [→ Mκ eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit konstanter Kr¨ ummung κ und Yκ ein normales Jacobifeld l¨ angs cκ mit Yκ (0) = 0, kY˙ κ (0)k = kY˙ (0)k. Seien δ, ∆ ∈ R. (i) Ist K ≤ ∆ und in ]0, b[ kein zu 0 konjugierter Punkt von c∆ , so gilt kY∆ k ≤ kY k auf [0, b[. (ii) Ist K ≥ δ und in ]0, b[ kein zu 0 konjugierter Punkt von c, so gilt kY k ≤ kYδ k auf [0, b[.

Bez¨ uglich einer Orthonormalbasis E2 , . . . , Em von parallelen normalen Vektorfeldern l¨angs c schreibt sich die Jacobigleichung als X Y¨ i + Rij Y j = 0. j

Dabei ist R(Ej , c) ˙ c˙ =

m X

Rij Ei .

i=2

Nach den Kr¨ ummungsidentit¨ aten ist die Matrix Rij selbstadjungiert. Pm i F¨ ur Y = i=2 Y Ei ⊥ c˙ mit kY k = 1 ist X Rij Y i Y j = g(R(Y, c) ˙ c, ˙ Y ) = K(σcY ˙ ) die Schnittkr¨ ummung. Wir vereinbaren noch f¨ ur δ, ∆ ∈ R und selbstadjungiertes R folgende Schreibweise: δ ≤ R ⇐⇒ δkXk2 ≤ hRX, Xi f¨ ur alle X, und entsprechend R ≤ ∆. Damit reduziert sich der Beweis des Vergleichssatzes auf folgenden 9 Ann.

Math. 1951 almost flat manifolds. Asterisque 81, 148 p. (1981).

10 Gromov’s

70

Satz 108 (Analytischer Vergleichssatz). Sei (V, h. , .i) ein Euklidischer Vektorraum und sei R : [0, b [→ Endsymm (V ) eine C ∞ -Abbildung. Seien δ, ∆ ∈ R. Die Abbildung Y : [0, b [→ V erf¨ ulle das Anfangswertproblem Y¨ + RY = 0 Y (0) = 0, kY˙ (0)k = 1.

(68)

Dann gilt: (i) Ist R ≤ ∆ und sin∆ > 0 auf ]0, b [, so gilt sin∆ ≤ kY k

auf [0, b [.

(69)

(ii) Ist δ ≤ R und hat keine L¨ osung von (68) eine Nullstelle in ]0, b [, so gilt kY k ≤ sinδ

auf [0, b [.

(70)

Zu (i). Wir zeigen kY (t)k =1 sin∆ t

(71)

d kY (t)k ≥ 0. dt sin∆ t

(72)

lim

t&0

und

Daraus folgt dann offenbar (69). Zun¨ achst ist nach der Definition der Differenzierbarkeit Y (t) = t(Y˙ (0) + α(t))

mit lim α(t) = 0 t&0

sin∆ t = t(1 + β(t))

mit lim β(t) = 0. t&0

Daraus folgt (71). Weiter ist kY k > 0 auf ]0,  [ f¨ ur hinreichend kleines  ∈]0, b [, so daß dort kY k eine C ∞ Funktion ist. Es folgt d dp Y kY k = < Y, Y > =< Y˙ , >, dt dt kY k d2 Y 1 Y kY k =< Y¨ , >+ {kY˙ k2 kY k2 − < Y, Y˙ >2 } ≥< Y¨ , >. {z } dt2 kY k kY k3 | kY k ≥0

Wegen d (uv ˙ − uv) ˙ =u ¨v − u¨ v dt kann man die Quotientenregel auch so schreiben:   Z d u 1 ( ) = 2 (uv ˙ − uu) ˙ t=a + (¨ uv − u¨ v )dt . dt v v a

71

(73)

Damit erhalten wir auf ]0,  [ wegen

d2 dt2

sin∆ +∆ sin∆ = 0  Z  2 1 d d kY k kY k sin t + ∆kY k sin t dt = ∆ ∆ dt sin∆ t (sin∆ t)2 dt2 Z 1 d2 = ( 2 kY k + ∆kY k) sin∆ t dt 2 | {z } (sin∆ t) dt ≥0 Z   1 sin∆ t ¨ , Y > +∆ < Y, Y > dt ≥ < Y 2 kY k (73) (sin∆ t) Z 1 sin∆ t ¨ = < Y + ∆Y, Y > dt {z } (sin∆ t)2 kY k | =≥0

≥ 0. Daraus folgt (72), also auch (69), auf ]0,  [, und offenbar kann man  = b annehmen. achst stellen wir fest, daß wir o.E. sinδ > 0 auf ]0, b [ annehmen k¨onnen. Ist Zu (ii). Zun¨ n¨amlich δ ≤ 0, so ist √ das sowieso der Fall. Und haben wir f¨ ur √δ > 0 die Behauptung (70) auf ]0, b [ ∩ ]0, π/ δ [ bewiesen, so gibt es im Fall b > π/ δ sicher L¨osungen des Anfangswertproblems mit einer Nullstelle in ]0, b [. Wir betrachten eine Matrixl¨ osung der Jacobigleichung, d.h. Z : [0, b [→ Endsymm (V ) mit Z¨ + RZ = 0 ˙ Z(0) = 0, Z(0) = Id . Dann ist Y = Zv f¨ ur v ∈ V die vektorwertige L¨osung der Jacobigleichung mit Anfangsbedingungen Y (0) = 0, Y˙ (0) = v. Also m¨ ussen wir zeigen, daß f¨ ur kvk=1: kZ(t)vk ≤ sinδ t

(74)

auf [0, b [. Zwischenbemerkung: Z(t0 ) ist f¨ ur alle t0 ∈]0, b [ invertierbar. Andernfalls w¨are f¨ ur v 6= 0 im Kern von Z(t0 ) das Feld Y˜ = Zv eine nichttriviale L¨osung der Jacobigleichung mit Nullstellen in 0 und t0 im Widerspruch zur Voraussetzung von (ii). Also ist Z auf ]0, b [ invertierbar und kZ(t)vk eine differenzierbare Funktion. Wie in (i) gen¨ ugt ( f¨ ur kvk = 1) der Nachweis der beiden Aussagen lim

t&0

kZ(t)vk =1 sinδ t

(75)

und

d kZ(t)vk ≤ 0 auf ]0, b [. dt sinδ t Dabei folgt wie oben aus der Definition der Differenzierbarkeit lim

t&0

1 Z(t) = Id sinδ t

(76)

(77)

und daraus (75). Der Beweis von (76) ist erheblich schwieriger: Zun¨ achst ist d 1 ˙ Zv > kZvk = < Zv, dt kZvk ˙ Zv > sinδ t − kZvk d sinδ t ˙ Zv > sinδ t − kZvk2 d sinδ t 1/kZvk < Zv, < Zv, d kZvk dt dt ( )= = . dt sinδ t sin2δ kZvk sin2δ t 72

Daher gen¨ ugt der Nachweis von d sinδ t ˙ ≤0 < Z(t)v, Z(t)v > sinδ s − kZ(t)vk2 dt f¨ ur alle t ∈]0, b [ und v ∈ V . Das ist ¨aquivalent dazu, daß f¨ ur alle t und v −1 ˙ < Z(t)Z (t)v, v > sinδ t − hv, vi

(78)

d sinδ t ≤ 0, dt

oder f¨ ur alle t und kvk = 1 −1 ˙ F (t) :=< Z(t)Z (t)v, v > sinδ t −

d sinδ t ≤ 0. dt

(79)

Dazu wollen wir zeigen, daß lim F (t) = 0

t&0

und

(80)

F˙ ≤ 0.

(81)

sinδ t Z −1 (t) → Id .

(82)

Zun¨ achst ist nach (77)

Mit kvk = 1 folgt   d sinδ t −1 ˙ = 1 − 1 = 0. lim F (t) = lim < Z(t)(sin (t)v, v > − δ t)Z t&0 t&0 dt Damit ist (80) bewiesen. F¨ ur die Berechnung der Ableitung von F interessiert uns die Ableitung von ˙ −1 . U := ZZ Daf¨ ur erhalten wir ¨ −1 − ZZ ˙ −1 ZZ ˙ −1 U˙ = ZZ = −RZZ −1 − U 2 = −R − U 2 . Wir stellen weiter fest, daß U selbstadjungiert ist: Es ist n¨amlich f¨ ur v, w ∈ V ˙ Zw > − < Zv, Zw ˙ >= 0 bei t = 0, < Zv, und weiter d ˙ Zw > − < Zv, Zw ˙ >) =< Zv, ¨ Zw > − < Zv, Zw ¨ > (< Zv, dt =< −RZv, Zw > + < Zv, RZw >= 0, ˙ Zw > − < Zv, Zw ˙ >= 0 u da R selbstadjungiert. Also gilt < Zv, ¨berall, und durch Anwenden auf Z −1 v und Z −1 w anstelle von v und w folgt die Symmetrie von U . Damit berechnen wir die Ableitung von F : d sinδ t d2 sinδ t − F˙ =< U˙ v, v > sinδ t+ < U v, v > dt dt2 d sinδ t + δ sinδ t dt d sinδ t ≤ (δ− < Rv, v >) sinδ t− < U v, v >2 sinδ t+ < U v, v > dt   d sinδ t ≤ − < U v, v > < U v, v > sinδ t − dt = − < Rv, v > sinδ t− < U 2 v, v > sinδ t+ < U v, v >

= − < U v, v > F, 73

also F˙ + < U v, v > F ≤ 0.

(83)

Dabei haben wir neben der Voraussetzung von (ii) benutzt, daß kvk = 1 und deshalb < U v, v >2 ≤ kU vk2 =< U v, U v >=< U 2 v, v > ist. Leider haben wir das Ziel, n¨amlich die Ungleichung (81), nicht erreicht. Wir werden stattdessen beweisen, daß lim < U (t)v, v >= +∞.

(84)

t&0

Die eigentlich gesuchte Ungleichung (79) ergibt sich dann mit (80), (83), (84) aus folgendem Lemma 109. Sind F, G :]0, b [→ R differenzierbar mit lim F (t) = 0 und lim G(t) ∈] 0, +∞],

t&0

t&0

und gilt F˙ + GF ≤ 0, so folgt F ≤ 0.

R

Beweis des Lemmas. Wir betrachten F e

G

. Daf¨ ur gilt nach Voraussetzung

R R d (F e G ) = (F˙ + F G)e G ≤ 0. dt

Das impliziert f¨ ur beliebige 0 < s < t < b Rt

F (t)e

s

G

Rs

≤ F (s)e

s

G

= F (s),

Rt

G

oder F (t) ≤ F (s)e−

s

.

(85)

Nach Voraussetzung gibt es s0 < t mit G(s) ≥ 0 f¨ ur alle s < s0 . Daher ist 0 ≤ e−

Rt s

G

= e−

Rs s

0

G −

e

Rt s0

G

−

≤e

Rt s0

G

,

Rt

also e− s G f¨ ur s & 0 beschr¨ ankt. Aus (85) folgt mit lims&0 F (s) = 0 deshalb die Behauptung des Lemmas. Schließlich m¨ ussen wir noch (84) beweisen. Das folgt aber sofort aus (82), denn < U (t)v, v >=

1 −1 ˙ < Z(t)(sin (t)v, v > . δ t)Z sinδ t

74

Ich gebe hier noch eine alternative Version des Vergleichssatzes. Darin bezeichnet cosκ analog zu sinκ die L¨ osung von y¨ + κy = 0 mit den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y(0) ˙ = 0 des Cosinus. Satz 110 (Vergleichssatz f¨ ur Jacobifelder, 2. Version). Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, c : [0, L [→ M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische, Y ein nicht-triviales normales Jacobifeld l¨ angs c mit d kY k(0) = b. dt

kY k(0) = a,

d Dabei ist dt kY k(0) die rechtsseitige Ableitung.11 F¨ ur die Schnittkr¨ ummung von M gelte

δ ≤ K ≤ ∆. Dann gilt a cos∆ +b sin∆ ≤ kY k ≤ a cosδ +b sinδ , falls die linke Seite auf ] 0, L [ positiv ist.

Bemerkungen. 1. Beachten Sie, daß wir hier obere und untere Kr¨ ummungsschranken gleichzeitig fordern. Das vereinfacht insbesondere die Voraussetzungen f¨ ur die rechte Ungleichung. 2. F¨ ur den fr¨ uher behandelten Fall a = 0 zeigt man Ungleichungen erhalten.

d dt kY

k(0) = kY˙ (0)k, so daß wir dieselben

3. Der Beweis dieser Version des Vergleichssatzes ist f¨ ur die linke Ungleichung ganz analog zum Beweis der 1. Version. Der Beweis der rechten Ungleichung ist schwieriger, vgl. [H.Karcher, Riemannian Center of Mass ..., Comm. Pure Appl. Math. 30(1977), Appendix A]. Wir werden den Satz nur im Spezialfall b = 0 verwenden, f¨ ur den auch die rechte Ungleichung analog dem fr¨ uheren Fall zu beweisen ist. 4. In den beiden F¨ allen mit a = 0 oder b = 0 ist a cosκ +b sinκ = kYκ k, wo κ ∈ {∆, δ} und Yκ das entsprechende Vergleichsfeld“ ist. ”

11 Diese

existiert auch im Fall Y (0) = 0, weil dann Y (t) ≈ tY˙ (0) und Y˙ (0) 6= 0.

75

20

L¨ angenvergleich

Satz 111 (L¨ angenvergleichssatz von Rauch). Seien (M0 , g0 ) eine m-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkr¨ ummung K0 und δ, ∆ ∈ R. Es gelte δ ≤ K0 ≤ ∆. Seien Mδ und M∆ die m-dimensionalen Standardr¨ aume konstanter Kr¨ ummung δ bzw. ∆. F¨ ur κ ∈ {0, δ, ∆} seien pκ ∈ Mκ und jκ : Rm → Tpκ Mκ eine lineare Isometrie. Sei  > 0, so daß die Exponentialabbildung von M0 auf der offenen -Kugel um 0 ∈ Tp0 M0 √ definiert ist. Falls ∆ > 0 sei  < π/ ∆. Sei c : [a, b ] → Rm eine Kurve mit kck <  und γκ := exp ◦jκ ◦ c : [a, b ] → Mκ . Dann gilt L(γ∆ ) ≤ L(γ0 ) ≤ L(γδ ).

radial

c

c

c

c

j

j

∆

exp

exp

γ

∆

M∆

0

M0

γ0

76

j

δ

exp

γ

δ

Mδ

Beweis. Sei t ∈ [a, b ] und o.E. c(t) 6= 0. Wir setzen c(t) ˙ radial := hc(t), ˙

c(t) c(t) i . kc(t)k kc(t)k

und zerlegen c(t) ˙ = c(t) ˙ radial + c(t) ˙ ⊥. Sei Yκ das Jacobifeld l¨ angs [0, 1] 3 s 7→ exp(sj κ ◦ c(t)) mit Yκ (0) = 0,

Y˙ κ (0) = jκ (c(t) ˙ ⊥ ).

Dann ist nach dem Gaußlemma und Satz 78 kγ˙ κ (t)k2 = kc(t) ˙ radial k2 + kYκ (t)k2 . Aus dem Vergleichssatz f¨ ur Jacobifelder folgt kγ˙ ∆ k ≤ kγ˙ 0 k ≤ kγ˙ δ k und daraus die Behauptung.

Satz 112 (L¨ angenvergleichssatz von M. Berger 1962). Sei (M0 , g0 ) eine vollst¨ andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkr¨ ummung K0 . Es gelte δ ≤ K0 ≤ ∆. Seien M∆ und Mδ wie oben und cκ : [0, b] → Mκ nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische mit parallelem Einheitsvektorfeld Wκ . Sei α der (l¨ angs jeder Geod¨ atischen konstante) Winkel zwischen Wκ und c˙κ , also unabh¨ angig von κ. Sei f : [0, b] → R eine nicht-negative differenzierbare Funktion. Wir definieren Kurven γκ durch γκ (t) = exp(f (t)Wκ (t)). Es gelte cos∆ > 0

auf [0, sup f [,

π d.h. f ≤ √ , falls ∆ > 0. 2 ∆

Dann gilt L(γ∆ ) ≤ L(γ0 ) ≤ L(γδ ).

Beweis. Wir unterdr¨ ucken den Index κ und betrachten V (t, τ ) := exp(τ f (t)W (t)). Dann ist γ(t) = V (t, 1) und γ(t) ˙ = Yt (1), wobei Yt (τ ) := ∂t V (t, τ ) das Variationsvektorfeld der geod¨atischen Variation V der Geod¨atischen µt : τ 7→ exp(τ f (t)W (t)) ist. Yt ist also ein Jacobifeld l¨ angs µt .

77

Wir bezeichnen mit (.)⊥ die Normalkomponente bez¨ uglich µt . Dann hat Yt die Anfangsbedingungen Yt (0) = ∂t V (t, 0) = c(t) ˙

Y (1) t

⊥

γ

= cos α W (t) + (c(t)) ˙ , ∇τ Yt (0) = ∇∂τ ∂t V (t, τ )|τ =0 = ∇∂t ∂τ V (t, τ )|τ =0 = ∇∂ f (t)W (t) = f˙(t)W (t).

M c

t

Wir k¨ onnen Yt schreiben als Summe Yt = YtT + Yt⊥ eines tangentialen und eines normalen Jacobifeldes l¨ angs µt mit Anfangsbedingungen Yt⊥ (0) = c(t) ˙ ⊥,

YtT (0) = cos α W (t), ∇τ (Y T )(0) = f˙(t)W (t),

∇τ (Yt⊥ )(0) = 0.

t

Dann ist YtT (τ ) = (cos α + τ f˙(t)) und kYt⊥ (0)k =

p 1 − cos2 α = sin α

Weiter ist kYt (1)k2 =

µ˙ t (τ ) f (t)

cos α + f˙(t) f (t)

!2 + kYt⊥ (1)k2 ,

Der erste Term ist unabh¨ angig von der Kr¨ ummung, also vom Index κ. Der zweite Term hingegen l¨ aßt sich mit der 2. Version des Vergleichssatzes f¨ ur Jacobifelder absch¨atzen, solange cos∆ > 0. Weil L(µt ) = f (t), folgt daraus die Behauptung.

78

21

Winkelvergleich, Dreiecke, Maximaler Durchmessser

Ein Dreieck ABC in einer (vollst¨andigen) Riemannschen Mannigfaltigkeit bestehe aus drei paarweise verschiedenen Punkten A,B,C und minimalen Geod¨atischen zwischen diesen. Beachten Sie, daß die Punkte die minimalen Geod¨atischen nicht immer eindeutig festlegen (Antipoden auf der Sph¨ are). Der folgende Satz wird u ¨blicherweise als zitiert als Winkelvergleichssatz von Toponogov. Von ihm stammt der Fall δ > 0 in beliebiger Dimension, den wir aber nicht beweisen. Wir zeigen nur den Fall δ ≤ 0, der auf Cartan zur¨ uckgeht. F¨ ur zweidimensionale Mannigfaltigkeiten und beliebiges δ stammt der Satz von Alexandrov und h¨ angt mit den Satz von Gauß-Bonnet zusammen.

Satz 113 (Winkelvergleichssatz von Cartan-Alexandrov-Toponogov). Seien (M, g) eine vollst¨ andige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkr¨ ummung K mit δ ≤ K ≤ ∆ und ABC ein Dreieck in M mit minimalen Geod¨ atischen als Seiten und den Eckwinkeln α, β, γ in der u ur den Umfang U des Dreiecks gelte im Falle δ > 0, ¨blichen Anordnung. F¨ 2π daß U < √ . δ Sei Mδ die einfach-zusammenh¨ angende, vollst¨ andige Fl¨ache der konstanten Kr¨ ummung δ. Dann gibt es in Mδ ein Dreieck Aδ Bδ Cδ mit denselben Seitenl¨ angen wie ABC. F¨ ur dessen Winkel gilt: αδ ≤ α, βδ ≤ β, γδ ≤ γ.

Beweis. Offenbar o.E. ∆ > 0. Fall A: δ ≤ 0. (i) Der Satz gilt f¨ ur die Winkel β, γ von schmalen“ Dreiecken, d.h. solchen mit ” π d(B, C) ≤ √ . 2 ∆ C

Dazu betrachten wir eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨atische cδ der L¨ ange L(c) := d(A, B) in Mδ mit den Endpunkten Aδ , Bδ , und dazu ein paralleles Einheitsvektorfeld Wδ , das mit cδ den Winkel β einschließt. Setze C 0 = exp(d(B, C)Wδ (d(A, B)).

C δ

C'

B

B δ

A

Aδ

Dann gibt es nach Euklidischer oder Hyperbolischer Geometrie eine (monoton wachsende) Funktion f : [0, d(A, B)] → R, 0 ≤ f ≤ 2√π∆ , so daß bδ (s) := exp(f (s)Wδ (s)),

0 ≤ s ≤ d(A, B)

die Seite Aδ C 0 im Dreieck Aδ Bδ C 0 parametrisiert. Wir betrachten nun das parallele Einheitsvektorfeld W l¨angs der Dreiecksseite c von A nach B, das bei B in Richtung BC weist, und konstruieren damit und mit der 79

Funktion f eine Verbindungskurve 0 ≤ s ≤ d(A, B)

b(s) := exp(f (s)W (s)),

von A nach C wie im Vergleichssatz von Berger. Nach diesem ist dann d(A, C) ≤ L(b) ≤ L(bδ ) = d(Aδ , C 0 ). Hier wird die obere Kr¨ ummungsschranke benutzt. Man muß also den Punkt C 0 auf Aδ zu bewegen, um die L¨ange der Seite AC 0 auf die gew¨ unschte L¨ ange d(A, C) zu verkleinern. Dabei verkleinert sich der gegen¨ uberliegende Winkel β zu βδ . (ii) Beliebiges Dreieck. Wir zerlegen das Dreieck ABC in schmale Dreiecke. Durch Aneinandersetzen von Vergleichsdreiecken in Mδ erh¨ alt man eine Figur mit gebrochener Seite Bδ Cδ , wobei sich nach (i) aufeinanderfolgende Winkel (gegen¨ uber von Aδ ) zu h¨ ochstens π addieren. Durch Ausstrecken“ der Seite zu einer glatten ” Geod¨ atischen werden die Winkel βδ , γδ weiter verkleinert.

C

C

δ

B

A

B δ

A

δ

Zum Fall B: δ > 0. 2π Der Beweis funktioniert wie oben, wenn die Seiten kurz sind. Die Voraussetzung U < √ δ garantiert das aber nicht, und man bekommt das Problem, daß die Funktion f nicht monoton ist. Daher ist nicht notwendig f ≤ 2√π∆ , wenn dies f¨ ur die Seite BC gilt, so daß man den Satz von Berger nicht anwenden kann. (Betrachte gleichschenklige Dreiecke in der Einheitssph¨are mit großem Winkel α.) Abhilfe schafft eine subtilere Zerlegung in Teildreiecke, vgl. Gromoll/Klingenberg/Meyer oder Cheeger/Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry. Ich verzichte hier darauf. Eine vollst¨ andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit positiver unterer Kr¨ ummungsschranke 0 < δ < K ist nach dem Satz von Bonnet-Myers kompakt vom Durchmesser ≤ √πδ . Das ist also die maximale Seitenl¨ ange eines Dreiecks in M . Wenn Sie die Sph¨are der Kr¨ ummung δ und in dieser ein Dreieck mit einer Seite der L¨ange √πδ betrachten, sind deren Endpunkte Antipoden. Sie haben daher f¨ ur die beiden anderen Seiten nicht mehr viel Auswahl. Das verallgemeinert der folgende

Satz 114 (Dreiecke von maximalem Umfang, Toponogov). Seien (M, g) eine vollst¨ andige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkr¨ ummung K mit 0 < δ ≤ K. Dann 2π . gibt es in M keine Dreiecke mit Umfang U > √ δ 2π Ist U = √ , so ist δ • entweder eine Seite von der L¨ ange Dreieck also ein Zweieck,

π √ δ

und der gegen¨ uberliegende Winkel = π, das

• oder alle Seiten sind k¨ urzer als √πδ und alle Winkel sind = π. Das Dreieck ist also eine glatt geschlossene Geod¨ atische.

80

Beweis. Fall A: U =

2π √ . δ

Dann ist also π d(A, B) ≤ √ . δ

Fall A.1: d(A, B) =

π √ . δ

Dann ist d(A, C) + d(C, B) = U − d(A, B) = √πδ = d(A, B), also hat die gebrochenen Geod¨ atische ACB bei C keinen Knick, das Dreieck ist ein geod¨atisches Zweieck. Entsprechendes gilt, wenn eine andere Seite die L¨ange √πδ hat. L¨anger kann aber keine Seite sein. Wir brauchen also nur noch folgende Situation zu betrachten: Fall A.2: Alle Seiten k¨ urzer als

π √ . δ

W¨ahle dann D auf der Seite AB, so daß d(C, A) + d(A, D) = d(D, B) + d(B, C) =

π U =√ , 2 δ

und eine K¨ urzeste von C nach D. Fall A.2.1: d(C, D)


2π √ . δ

L¨aßt man A und B auf den Seiten CA bzw. CB gegen C laufen, so geht der Umfang des Dreiecks gegen 0. Aus Stetigkeitsgr¨ unden gibt es daher auf diesen Seiten Teilpunkte A0 , B 0 , 2π 0 0 so daß U (CA B ) = √δ . Dann folgt aus dem Fall A, daß CA0 B 0 ein geod¨atisches Zweieck oder eine geschlossene Geod¨ atische ist. Im letzteren Fall ist γ = π. Das gilt aber auch beim Zweieck, weil nach Konstruktion d(C, A0 ) < d(C, A) ≤ √πδ (Bonnet-Myers) und ebenso d(C, B 0 ) < √πδ . Aus Symmetriegr¨ unden folgt α = β = π, das Dreieck ABC ist also eine glatt-geschlossene Geod¨ atische. W¨ahle einen Punkt D darauf, der mit C die L¨ange halbiert und eine K¨ urzeste CD von C nach D. D liegt notwendig zwischen A und B. Wir behaupten: 2π U (CAD) < √ δ

(86)

Beweis: W¨ are ∠(ACD) gleich π, so l¨age CB auf der K¨ urzesten CD von C nach D. Nach 2π Bonnet-Myers w¨ are 12 U = d(C, B) + d(B, D) = d(C, D) ≤ √πδ . Widerspruch zu U > √ . δ 81

˜ := Ebenso findet man, daß auch ∠(ADC) 6= π. Nach dem bisher Bewiesenen ist also U 2π U (CAD) ≤ √δ , denn andernfalls w¨aren alle Winkel in diesem Dreieck = π. 2π ˜ = √ , so w¨ aren wir im Fall A. Weil die Teilwinkel bei C und D nicht π sind ist W¨are U δ deshalb das Teildreieck ∆CAD ein geod¨atisches Zweieck mit d(C, D) = √πδ . Es folgt

2π 2π ˜ = d(C, A) + d(A, D) + d(D, C) > √ √ =U . | {z } | {z } δ δ > √π

= √π

δ

δ

Das ist ein Widerspruch, und deshalb gilt (86). Ebenso beweist man nat¨ urlich U (DBC)
√ δ δ Fall B kann also nicht auftreten. Wir kennen Beispiele zur Schranke f¨ ur den Durchmesser nach Bonnet-Myers: Die Sph¨are der Kr¨ ummung K = δ hat Durchmesser √πδ , die reellen projektiven R¨aume als Quotienten π der Sph¨ aren haben bei gleicher Kr¨ ummung der Durchmesser 2√ . Der komplexe projektive δ π Raum mit der Kr¨ ummung 1 ≤ K ≤ 4 hat den Durchmesser 2√ , vgl. Abschnitt 18. Der 1 maximale Durchmesser kommt tats¨achlich nur bei den Sph¨aren vor: Satz 115 (Satz vom maximalen Durchmesser, Toponogov 1959). Sei M eine zusammenh¨ angende und vollst¨ andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit K ≥ δ > 0. Ist M vom maximalen Durchmesser π diam(M ) = √ , δ so ist es isometrisch zur Sph¨ are Sδm gleicher Kr¨ ummung.

Beweis. Nach dem Satz von Bonnet-Myers ist M kompakt, und es gibt ein Punktepaar p, q maximalen Abstands d(p, q) = √πδ . Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt 2π √ δ

2π d(p, q) +d(q, x) + d(x, p) ≥ 2d(p, q) = √ . Satz 114 | {z } δ ≥

π √ δ

Daher ist d(p, x) + d(x, q) = d(p, q), also pxq eine K¨ urzeste und damit glatt. Deshalb geht jede Geod¨atische von p aus durch q und ist bis dahin K¨ urzeste. Wir identifizieren mittels linearer Isometrie die Tangentialr¨aume von Sδm im Nordpol und von M in p. Mittels der beiden Exponentialabbildungen erhalten wird dann eine Abbildung f : Sδm \{S¨ udpol} → M \{q}. f ist injektiv. Andernfalls k¨ onnte man einen Punkt x ∈ M durch zwei verschieden K¨ urzeste mit p verbinden. Dann k¨ onnte man aber eine geknickte K¨ urzeste von p nach q finden. Widerspruch! f ist surjektiv auf M \{q}. Klar nach Hopf-Rinow. 82

f ist isometrisch. Das ist klar in radialer Richtung. Sei nun c : [0, √πδ ] → M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨atische von p nach q. Dann ist c K¨ urzeste, also ist die Indexform von c nicht negativ f¨ ur alle Vektorfelder X, die an den Endpunkten von c verschwinden: 0 ≤ I(X, X). Wir w¨ahlen X(t) = sinδ t W (t), wobei W ein normales, paralleles Einheitsfeld l¨angs c ist. Dann ist Z √π δ ˙ 0 ≤ I(X, X) = g(X, X) − 0

Z =−

π √ δ

π √ δ

¨ + R(X, c) g(X ˙ c, ˙ X)dt

0

g (−δ sinδ t W (t) + R(sinδ t W (t), c(t)) ˙ c(t), ˙ sinδ t W (t)) dt

0

Z = 0

π √ δ

sin2δ t{δ − g(R(W (t), c(t)) ˙ c(t), ˙ W (t))}dt. | {z } ≥δ

Es folgt g(R(W (t), c(t)) ˙ c(t), ˙ W (t)) = δ f¨ ur alle t. Daher erf¨ ullen die normalen Jacobifelder l¨angs c dieselbe Jacobigleichung wie die auf Sδm , und f ist auch orthogonal zur radialen Richtung isometrisch. Damit ist M \{q} isometrisch zu Sδm \{S¨ udpol} und insbesondere M von konstanter Schnittkr¨ ummung δ. Wie im Beweis von Satz 84 setzt man die Isometrie in den Punkt q fort und erh¨ alt die Behauptung.

83

22

Der Indexsatz von Morse

Wir folgen dem DoCarmo, s. Literaturverzeichnis. Im weiteren seien M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und c : [0, b] → M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte (d.h. kck ˙ = 1) Geod¨atische. Wir definieren ˆ := Γ ˆ c := Vektorraum der normalen12 st¨ Γ uckweise glatten Vektorfelder l¨angs c, 0 0 0 ˆ := Γ ˆ c := Unterraum aller Felder X ∈ Γ ˆ c mit X(0) = 0 und X(b) = 0 . Γ

Wir hatten im Abschnitt 13 die Indexform ˆ ×Γ ˆ →R I:Γ definiert durch b

Z I(Y, Z) =



 ˙ − g(R(Y, c) g(Y˙ , Z) ˙ c, ˙ Z) dt

0

=

X

(87) g(Y˙

−0 , Z)|ttii−1 +0

Z −

i

b

g(Y¨ + R(Y, c) ˙ c, ˙ Z)dt,

0

vgl. (58). Dabei war 0 = t0 < . . . < tn = b eine Zerlegung von [0, b] in Glattheitsintervalle von Y . ˆ 0 gilt Lemma 116. F¨ ur Y ∈ Γ ˆ0. I(Y, Z) = 0 f¨ ur alle Z ∈ Γ

⇐⇒

Y ist Jacobifeld

Beweis. Zu ( =⇒ ). Das folgt direkt aus der zweiten Gleichung von (87). Zu (⇐). Sei 0 = t0 < . . . < tn = b eine Zerlegung von [0, b] in Glattheitsintervalle von Y . W¨ahle eine differenzierbare Funktion ψ : [0, b] → R mit

ψ(t) = 0

ψ ≥ 0, ⇐⇒ t ∈ {t0 , . . . , tn },

ˆ 0 durch und definiere Z ∈ Γ Z := ψ

n o Y¨ + R(Y, c) ˙ c˙ .

Dann ist Z(ti ) = 0 f¨ ur alle i. Es folgt Z

b

0 = I(Y, Z) = 0 −

ψkY¨ + R(Y, c) ˙ ck ˙ 2 dt

0

Also ist kY¨ + R(Y, c) ˙ ck ˙ = 0 und Y auf jedem [ti−1 , ti ] ein Jacobifeld. Um zu zeigen, daß Y ein Jacobifeld auf ganz [0, b] ist, m¨ ussen wir noch nachweisen, daß in jedem ti die links und rechtsseitigen Grenzwerte von Y (t) und Y˙ (t) u ¨bereinstimmen, dann folgt die Glattheit von Y aus dem Eindeutigkeitssatz f¨ ur die Jacobigleichung. Weil Y nach ˆ 0 stetig ist, m¨ Definition von Γ ussen wir nur die Ableitungen untersuchen. 12 d.h.

zu c˙ orthogonalen

84

ˆ 0 , und es ist Nach dem Obigen verschwindet der Integralterm f¨ ur beliebiges Z ∈ Γ X −0 0 = I(Y, Z) = g(Y˙ , Z)|ttii−1 +0 . i

ˆ 0 , so daß Z(ti ) = 0 f¨ W¨ahlt man ein j und dazu ein Z ∈ Γ ur alle i 6= j, so folgt 0 = I(Y, Z) = g(Y˙ (tj + 0) − Y˙ (tj − 0), Z(tj )),

1 < j < n.

Daraus folgt durch geeignete Wahl von Z, die gew¨ unschte Gleichheit Y˙ (tj + 0) = Y˙ (tj − 0) f¨ ur alle inneren tj . Lemma 117. Seien Y1 , Y2 Jacobifelder l¨ angs c : [0, b] → M mit Y1 (0) = 0 = Y2 (0). Dann gilt f¨ ur alle t ∈ [0, b] g(Y˙ 1 (t), Y2 (t)) = g(Y1 (t), Y˙ 2 (t)).

(88)

Beweis. Die Gleichung gilt f¨ ur t = 0, und es ist d d ˙ g(Y1 , Y2 ) = g(Y¨1 , Y2 ) + g(Y˙ 1 , Y˙ 2 ) = −g(R(Y1 , c) ˙ c, ˙ Y2 ) + g(Y˙ 1 , Y˙ 2 ) = g(Y1 , Y˙ 2 ). dt dt Daraus folgt die Behauptung. Satz 118 (Indexlemma). Die Geod¨ atische c : [0, b] → M habe keine konjugierten Punkte. ˆ Dann gilt f¨ ur alle Vektorfelder Y, Z ∈ Γ: Ist Y (0) = Z(0), Y (b) = Z(b) und Y ein Jacobifeld, so gilt I(Y, Y ) ≤ I(Z, Z) mit Gleichheit nur f¨ ur Z = Y .

Beweis. Fall A: Y (0) = Z(0) = 0. Sei 0 = t0 < . . . < tn = b eine Zerlegung von [0, b] in Glattheitsintervalle von Z und seien Y2 , . . . , Ym Jacobifelder l¨ angs c mit Y2 (0) = . . . = Ym (0) = 0 und linear unabh¨angigen Y˙ i (0). Dann sind die Yi (t) f¨ ur t > 0 eine Basis von c(t) ˙ ⊥ , weil die Geod¨atische keine konjugierten Punkte hat. Also ist f¨ ur t > 0 m X Z(t) = φi (t)Yi (t) i=2

mit st¨ uckweise glatten φi :]0, b] → R. Wir zeigen zun¨achst: Die φi lassen sich glatt in t = 0 fortsetzen. Zun¨achst gilt n¨amlich Yi (t) = tY˜i (t) mit in 0 glatten Vektorfeldern Y˜i , f¨ ur die Y˜i (0) = Y˙ i (0) (Lemma von Bohnenblust). Also sind die ˆ u Y˜i ∈ Γ berall auf [0, b] linear unabh¨angig und ¨ Z=

m X i=2

85

ψi Y˜i

mit st¨ uckweise glatten ψi und ψi (0) = 0. Wiederum nach dem Lemma von Bohnenblust ist ψi (t) = tχi (t) mit in 0 glatten χi , und wir erhalten f¨ ur t > 0 m X

φi (t)tY˜i (t) =

i=2

m X

ψi (t)Y˜i (t) =

i=2

m X

χi (t)tY˜i (t).

i=2

Es folgt φi (t) = χi (t) f¨ ur t > 0 und damit die Behauptung. Als n¨ achstes betrachten wir Z auf dem Komplement von {t0 , . . . , tn }. Wir schreiben X X φi Y˙ i Z˙ = φ˙ i Yi + | {z } | {z } =:Z1

=:Z2

Dann ist −R(Z, c) ˙ c˙ = −

X

φi R(Yi , c) ˙ c˙ =

X

φi Y¨i = Z˙ 2 −

X

φ˙ i Y˙ i ,

und mit (88) folgt X X −g(R(Z, c) ˙ c, ˙ Z) = g(Z, Z˙ 2 ) − g( φ˙ i Y˙ i , φj Yj ) X = g(Z, Z˙ 2 ) − φ˙ i φj g(Y˙ i , Yj ) X = g(Z, Z˙ 2 ) − φ˙ i φj g(Yi , Y˙ j ) = g(Z, Z˙ 2 ) − g(Z1 , Z2 ). Dann ist aber der Integrand der Indexform ˙ Z) ˙ − g(R(Z, c) g(Z, ˙ c, ˙ Z) = g(Z1 , Z1 ) + 2g(Z1 , Z2 ) + g(Z2 , Z2 ) + g(Z, Z˙ 2 ) − g(Z1 , Z2 ) = g(Z1 , Z1 ) + g(Z1 , Z2 ) + g(Z2 , Z2 ) + g(Z, Z˙ 2 ) ˙ Z2 ) + g(Z, Z˙ 2 ) = g(Z1 , Z1 ) + g(Z, d = kZ1 k2 + g(Z, Z2 ). dt Es folgt Z

b

I(Z, Z) = g(Z, Z2 )|0 +

b

kZ1 k2 dt = g(Z(b), Z2 (b)) +

0

Z

b

k

X

φ˙ i Yi k2 dt.

0

Die Entwicklung des JacobifeldesPY nach den Jacobifeldern Yi hat konstante Koeffizienten, P und wegen Y (b) = Z(b) ist Y = φi (b)Yi und Y˙ = φi (b)Y˙ i . Damit finden wir Z b X Z b X I(Z, Z) = g(Y (b), Y˙ (b)) + k φ˙ i Yi k2 dt = I(Y, Y ) + k φ˙ i Yi k2 dt ≥ I(Y, Y ). 0

0

P ˙ Gleichheit impliziert φi Yi = 0, also Konstanz der φi = φi (b) und damit Z = Y . Fall B: Y (0) = Z(0) beliebig. Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt ti −0 b−0 b−0 X I(Z, Y ) = g(Y˙ , Z) = g(Y˙ , Z) = g(Y˙ , Y ) = I(Y, Y ). ti−1 +0

a+0

a+0

ˆ 0 mit dem Jacobifeld 0 liefert nach Fall A Vergleich von Z − Y ∈ Γ 0 = I(0, 0) ≤ I(Z − Y, Z − Y ) = I(Z, Z) − 2I(Z, Y ) + I(Z, Z) = I(Z, Z) − I(Y, Y ) mit Gleichheit nur f¨ ur Z = Y . 86

Korollar 119. Sei c : [0, b] → M eine Geod¨ atische. Dann gilt ˆ0. c hat keine konjugierten Punkte in [0, b] ⇐⇒ Die Indexform von c ist positiv definit auf Γ

Beweis. Zu ( =⇒ ). Folgt aus dem Indexlemma mit Y = 0. Zu (⇐). Hat c einen konjugierten Punkt t0 ∈]0, b], so sei Y ein nicht-triviales normales ˆ 0 durch Z(t) := Y (t) f¨ Jacobifeld mit Y (0) = 0 und Y (b) = 0. Definiere Z ∈ Γ ur 0 ≤ t ≤ t0 und Z(t) = 0 sonst. Dann folgt I(Z, Z) = 0 und I ist nicht positiv definit. Definition 120 (Index, Nullit¨ at). Der Index einer symmetrischen Bilinearform β auf einem reellen Vektorraum V ist die maximale Dimension eines Unterraums von V , auf dem die Form negativ definit ist. Ihre Nullit¨ at ist die Dimension von ker(v 7→ β(v, .)). Im weiteren werden wir es gelegentlich mit der Indexform von Einschr¨ ankungen der Geod¨atischen c : [0, b] → M auf Teilintervalle [0, t] zutun haben. Wir bezeichnen diese mit It (Y, Z) := Ic|[0,t] . ˆ t und Γ ˆ 0t . Wir schreiben auch ct := c|[0,t] . Entsprechend definieren wir Γ Definition 121 (Multiplizit¨ at konjugierter Punkte). Die Multiplizit¨at eines zu 0 konjugierten Punktes t ∈]0, b] einer Geod¨atischen c : [0, b] → M ist die Dimension des Vektorraumes aller normalen Jacobifelder l¨angs c, die in 0 und t verschwinden. Nach Lemma 116 ˆ 0t . ist das die Nullit¨ at der Indexform von It auf Γ Lemma 122. Sei c : [0, b] → M eine Geod¨ atische ohne konjugierte Punkte. Dann ist das Randwertproblem Y¨ + R(Y, c) ˙ c˙ = 0 Y (0) = y0 , Y (b) = yb f¨ ur alle y0 ∈ c(0) ˙ ⊥ , yb ∈ c(b) ˙ ⊥ eindeutig l¨ osbar.

Beweis. Der Raum JF der normalen Jacobifelder auf c ist isomorph zum Raum der Anfangsbedingungen c(0) ˙ ⊥ × c(0) ˙ ⊥ , hat also die Dimension 2(m − 1). Weil c keine konjugierten Punkte hat, ist andrerseits die Abbildung JF → c(0) ˙ ⊥ × c(b) ˙ ⊥ Y 7→ (Y (0), Y (b)) injektiv, also bijektiv. Satz 123 (Indexsatz von Morse). Sei c : [0, b] → M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ atische in M . Dann ist der Index der Indexform von c endlich und gleich der mit Multiplizit¨ aten gez¨ ahlten Anzahl der zu 0 konjugierten Punkte von c in ]0, b [.

Beweis. Wir w¨ ahlen eine Zerlegung 0 = t0 < . . . < tn = b,

87

so daß c|[ti−1 ,ti ] f¨ ur alle i eine k¨ urzeste Geod¨atische ohne konjugierte Punkte ist. Das ist m¨oglich nach Lemma 46. Wir setzen f¨ ur j = 1, . . . , n ˆ − := {Y ∈ Γ ˆ t | Y (0) = 0 und Y |[t ,t ] ist f¨ Γ ur alle i ≤ j ein Jacobifeld}, j j i−1 i ˆ − := Γ ˆ− ˆ0 Γ n ∩Γ , ˆ + := {Z ∈ Γ ˆ 0 | Z(ti ) = 0 f¨ Γ ur alle i}. 1. Schritt. Wir zeigen ˆ0 = Γ ˆ− ⊕ Γ ˆ+ Γ ˆ−, Γ ˆ + ) = 0, I(Γ ˆ+

I ist auf Γ positiv definit.

(89) (90) (91)

Nach Lemma 122 ist auf [ti−1 , ti ] das Randwertproblen Y¨ + R(Y, c) ˙ c˙ = 0 Y (ti−1 ) = yi−1 , Y (ti ) = yi ˆ 0 genau ein Y ∈ Γ ˆ − mit eindeutig l¨ osbar. Daher gibt es zu X ∈ Γ Y (ti ) = X(ti )

f¨ ur alle i.

ˆ + und es folgt (89). Also ist X − Y ∈ Γ ˆ − und Z ∈ Γ ˆ + ist F¨ ur Y ∈ Γ I(Y, Z) =

X

−0 g(Y˙ , Z)|ttii−1 +0 −

Z

b

g(Y¨ + R(Y, c) ˙ c, ˙ Z)dt = 0.

0

Das beweist (90). ˆ+ Schließlich ist f¨ ur Z ∈ Γ I(Z, Z) =

n X

I(Z|[ti−1 ,ti ] , Z|[ti−1 ,ti ] ),

i=1

und aus dem Korollar 119 folgt (91). ˆ 0 gleich denen von I auf Damit wissen wir, daß Index und Nullit¨at der Indexform I auf Γ − − ˆ ˆ Γ sind. Aber Γ ist endlich-dimensional, n¨amlich ˆ− ∼ Γ ˙ 1 )⊥ ⊕ . . . ⊕ c(t ˙ n−1 )⊥ , = c(t

(92)

Also sind Index und Nullit¨ at von I endlich. 2. Schritt. Wir untersuchen nun die Funktion ι(t) := Index(It ). Offenbar ist ι(t) = 0 f¨ ur kleine t > 0, weil die Geod¨atische ein St¨ uck weit minimierend und die Indexform positiv definit sind. Weiter ist ι(t) monoton wachsend, weil It (Y, Y ) = Is (Y, Y ), ˆ 0t , auf dem It negativ definit ist, liefert wenn t < s und Y |[t,s] = 0. Ein Unterraum von Γ ˆ 0 , wenn man die also einen gleich-dimensionalen Unterraum mit derselben Eigenschaft von Γ s Vektorfelder trivial erweitert. Die Definition von ι(t) ist unabh¨angig von der Zerlegung durch die tj . Darum k¨onnen wir f¨ ur die lokale Untersuchung von ι(t) annehmen, daß tj−1 < t < tj und It eine quadratische ˆ − ist: Form auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum Γ j 88

ˆ − und tj−1 < t < tj sei Yt das Vektorfeld mit F¨ ur Y ∈ Γ j Yt = Y

auf [0, tj−1 ],

Y¨t + R(Yt , c) ˙ c˙ auf [tj−1 , t] Yt (t) = 0.

(93)

Vergleiche das Bild unten. Dann ist It (Yt , Yt ) = Itj−1 (Y, Y ) + g(Y˙ t (t), Yt (t)) −g(Y˙ t (tj−1 + 0), Yt (tj−1 )) | {z } =0

= Itj−1 (Y, Y ) − g(Y˙ t (tj−1 + 0), Y (tj−1 )). Beachte: Einzig Y˙ t (tj−1 + 0) ist auf ]tj−1 , tj [ stetig(!) abh¨angig von t. Ist daher It auf einem ˆ − negativ definit, so gilt dasselbe f¨ Unterraum von Γ ur Is mit s nah bei t. Also gibt es  > 0 j mit |t − s| <  =⇒ ι(s) ≥ ι(t) Aus der Monotonie von ι folgt t −  < s ≤ t =⇒ ι(s) = ι(t). Zum Beweis des Indexsatzes m¨ ussen wir schließlich noch folgendes zeigen: Ist t ∈]tj−1 , tj [ ein konjugierter Punkt der Multiplizit¨at d, d.h. ist die Nullit¨at von It gleich d, so gibt es  > 0 mit t < s < t +  =⇒ ι(s) = ι(t) + d (94) ˆ − der Kodimension ι(t) + d, und Zun¨ achst ist It positiv definit auf einem Unterraum von Γ j nach dem obigen Stetigkeitsargument gibt es  > 0, so daß f¨ ur t ≤ s < t +  auch Is positiv definit auf diesem Raum, also ι(s) ≤ ι(t) + d. Wir wollen die umgekehrte Ungleichung zeigen. Seien zun¨achst tj−1 < t < s < tj . Seien Yt bzw. Ys die Jacobi-Fortsetzungen“ ei” ˆ − entsprechend ˆ 0s nes Y ∈ Γ (93) und sei X ∈ Γ j definiert durch ( Yt (τ ) f¨ ur 0 ≤ τ ≤ t, X(τ ) := 0 f¨ ur t ≤ τ ≤ s.

Y

Y s

Y t

c(t j-1 )

X c(t)

c(s)

Dann folgt aus dem Indexlemma 118 It (Yt , Yt ) = Is (X, X) > Is (Ys , Ys ). ˆ − , so ist Is negativ definit auf der direkten Ist It negativ definit auf einem Unterraum von Γ j Summe dieses Raumes und des Nullraumes von It . Daher gilt ι(s) ≥ ι(t) + d. Damit ist der Indexsatz von Morse bewiesen.

89

23

Der Schnittort

Im folgenden schreiben wir ]0, +∞] := ]0, +∞[ ∪ {+∞} und versehen diesen Raum mit der Topologie, die erzeugt wird von allen offenen Intervalle ]a, b[ ⊂ ]0, +∞[ und allen Mengen der Form ]a, +∞] := ]a, +∞[ ∪ {+∞}. Definition 124. Sei M eine vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit. (i) Auf dem Einheitstangentialb¨ undel T 1 M definieren wir eine Funktion mit Werten in ]0, +∞] wie folgt: s(v) := sup{t ∈ R | d(exp 0v, exp tv) = t}. Wir nennen s die Schnittortfunktion von M . Die Geod¨ atische t 7→ exp tv ist also, falls s(v) < ∞, genau bis exp s(v)v K¨ urzeste. angs (ii) Ist p ∈ M , v ∈ Tp1 M und s(v) < ∞, so heißt exp s(v)v der Schnittpunkt von p l¨ der Geod¨ atischen t 7→ exp tv. Die Menge Cut(p) := {exp s(v)v | v ∈ Tp1 M, s(v) < ∞} heißt der Schnittort von p. Der folgende Satz kl¨ art, wann Geod¨atische aufh¨oren, K¨ urzeste zu sein. Satz 125. Seien v ∈ Tp1 M , c(t) := cv (t) := exp tv und 0 < t0 < ∞. (i) Ist t0 := s(v), so gilt a) t0 ist der erste zu 0 konjugierte Parameter von c, oder b) es gibt eine von c verschiedene K¨ urzeste von p nach c(t0 ). (ii) Gilt umgekehrt a) oder b), so ist s(v) ≤ t0 .

Beweis. Zu (i). Weil c(t) bei t0 = s(v) aufh¨ort, K¨ urzeste zu sein, gibt es zu jeder positiven Nullfolge (j ) eine Folge (γj ) von nach der Bogenl¨ange parametrisierten K¨ urzesten von p nach c(t0 + j ) = γj (t0 + 0j ), (95) die k¨ urzer sind als t0 + j , d.h. mit

0j < j .

Nach Wahl einer Teilfolge k¨ onnen wir annehmen, daß γ˙ j (0) → v∗ konvergiert. Sei cv∗ (t) := exp tv∗ . Aus Stetigkeitsgr¨ unden ist cv∗ eine K¨ urzeste von p nach limj→∞ cv (t0 + j ) =: q. Ihre L¨ange ist also t0 . Ist cv∗ 6= cv , so sind wir fertig. Andernfalls ist v∗ = v, und wir m¨ ussen wir zeigen, daß exp |Tp M in t0 v singul¨ar ist. Dann ist t0 zu 0 konjugiert, und nach Definition von t0 und dem Satz von Jacobi auch der erste zu 0 konjugierte Parameter l¨ angs cv .

90

W¨are exp |Tp M in t0 v regul¨ ar, so w¨ urde es eine Umgebung U von t0 v diffeomorph auf eine Umgebung von q abbilden. F¨ ur hinreichend großes j liegen aber (t0 + j )v und (t0 + 0j )γ˙ j (0) in U . Widerspruch zu (95). Zu (ii). Ist t0 konjugiert zu 0 auf c, so ist c nach dem Satz von Jacobi h¨ochstens bis t0 ein K¨ urzeste. Gibt es eine von c verschiedene Geod¨atische γ : [0, ∞[→ M mit kγk ˙ = 1 von p nach γ(t0 ) = c(t0 ), so liegen f¨ ur hinreichend kleines  > 0 die Punkte γ(t0 − ) und c(t0 + ) in einer geod¨ atisch konvexen Umgebung von c(t0 ). Sie lassen sich in dieser durch eine eindeutige K¨ urzeste σ verbinden. Wir k¨ onnen wegen c 6= γ annehmen, daß γ(t0 −) 6= c(t0 −). W¨are L(σ) = 2, so k¨ onnte man γ(t0 − ) und c(t0 + ) auch mit einer gebrochenen Geod¨ atischen gleicher L¨ange verbinden. Widerspruch! Also ist σ k¨ urzer als 2 und d(p, c(t0 + )) < t0 + . Also ist c h¨ochstens bis t0 K¨ urzeste.

γ γ(t 0−ε)

σ c(t0 +ε)

c(t ) 0

p

Korollar 126. Ist q der Schnittpunkt von p l¨ angs der Geod¨ atischen c, so ist p der Schnittpunkt von q l¨ angs der umgekehrt durchlaufenen Geod¨ atischen. Beispiel 127. Auf einem Kreiskegel oder -zylinder gibt es wegen K = 0 keine konjugierten Punkte. Der Schnittort eine Punktes p besteht aus der gegen¨ uberliegenden Mantellinie. Auf der Kugel ist jede Geod¨ atische bis zum Antipodenpunkt K¨ urzeste, der Antipode ist der Schnittort. RP 2

Auf dem reellen projektiven Raum der Kr¨ ummung 1 ist {q ∈ RP m | d(p, q) =

p

π } 2

q

der Schnittort von p. Das ist eine projektive Hyperebene, die auf der ¨ u are dem Aquator zu ¨berlagernden Sph¨ den Polen ±p entspricht.

q

Zwei Geodätische gleicher Länge von p nach q

Lemma 128. Die Schnittortfunktion s : T 1 M → R ∪ {∞} ist stetig. Beweis. Wir betrachten eine konvergente Folge vi → v∗ in T 1 M und setzen s(vi ) =: ti und s(v∗ ) =: t∗ . 1. Schritt. Wir zeigen lim sup ti ≤ t∗ .

(96)

Das ist klar, wenn t∗ = +∞. Sei also t∗ < +∞ und  > 0. Ist ti > t∗ + , so ist d(cvi (0), cvi (t∗ + )) = t∗ + . G¨abe es unendlich viele Indizes i mit dieser Eigenschaft, so w¨are aus Stetigkeitsgr¨ unden d(cv∗ (0), cv∗ (t∗ + )) = t∗ + . 91

im Widerspruch zur Definition von t∗ . Also gibt es h¨ochstens endlich viele solche ti und lim sup ti ≤ t∗ . 2. Schritt. Wir zeigen lim inf ti ≥ t∗ .

(97)

Wir k¨ onnnen annehmen, daß lim inf ti < +∞, sonst ist nichts zu zeigen. Und wir k¨onnen annehmen, daß lim inf ti = lim ti =: t# (Teilfolge). Sind unendlich viele der ti l¨ angs cvi konjugiert zu 0, d.h ist expπ(vi ) singul¨ar in ti vi , so ist auch expπ(v∗ ) singul¨ ar in t# v∗ und t# ≥ t∗ . Also k¨onnen wir annehmen, daß keines der ti l¨angs cvi konjugiert ist zu 0. Daher gibt es eine Folge (γi ) nach der Bogenl¨ange parametrisierter Geod¨atischer von cvi (0) nach cvi (ti ) von der L¨ ange L(γi ) = ti . Ohne Einschr¨ankung konvergieren die γi gegen eine Geod¨ atische γ von cv∗ (0) nach cv∗ (t# ). Falls γ(0) ˙ 6= v∗ ist t∗ ≤ t# nach Satz 125. Falls γ(0) ˙ = v∗ , zeigt man wie im Teil (i) vom Beweis zu diesem Satz, daß t# konjugiert zu 0 l¨angs cv∗ ist. Also ist ebenfalls t∗ ≤ t# . 3. Schritt. Aus (96) und (97) folgt die Behauptung. Korollar 129. Der Schnittort Cut(p) ist abgeschlossen.

Beweis. Sei (vi ) eine Folge in Tp1 M und q = lim exp s(vi )vi . i→∞

Wir m¨ ussen zeigen, daß dann q ∈ Cut(p). Ohne Einschr¨ankung existiert v := limi→∞ vi , und weil s stetig ist und s(vi ) = d(p, exp s(vi )vi ) → d(p, q) < ∞, existiert s(v) = lim s(vi ) ∈ R. Aus Stetigkeitsgr¨ unden ist dann q = exp s(v)v ∈ Cut(p). Korollar 130. Sind M vollst¨ andig und zusammenh¨ angend, p ∈ M und s|Tp1 M beschr¨ ankt, so ist M kompakt.

  Beweis. Ist s0 := sup s|Tp1 M , so ist s0 < ∞ und M = {exp tv | t ∈ [0, s0 ], v ∈ Tp1 M } das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung. Korollar 131. Seien M vollst¨ andig und zusammenh¨ angend und p ∈ M . Wir definieren U := {tv | v ∈ Tp1 M und t < s(v)}, ¯ := {tv | v ∈ Tp1 M und t ∈ [0, s(v)] ∩ [0, +∞[}. U Dann gilt (i) U ist offen und sternf¨ ormig bez¨ uglich 0, also diffeomorph zur offenen Kugel, und wird durch exp diffeomorph auf M \ Cut(p) abgebildet. 92

¯) = M. (ii) exp(U Eine kompakte Mannigfaltigkeit entsteht also aus einer Vollkugel durch Identifizierung von Randpunkten. Die ganze Topologie ist im Schnittort konzentriert. Beweis. Zu (i). Ist t0 v0 ∈ U und  := s(v0 ) − t0 > 0, so gibt es eine Umgebung U0 von v0 ∈ Tp1 M mit s(v) > t0 + 2 f¨ ur alle v ∈ U0 . Dann ist aber {tv | v ∈ U0 und t20 < t < t0 + 2 } eine in U enthaltene offene Umgebung von t0 s(v0 ). Also ist U offen. Nach dem Satz 125 ist exp |U injektiv und ein lokaler Diffeomorphismus, also ein Diffeomorphismus. Ist q ∈ Cut(p), so gibt es eine K¨ urzeste von p nach q, die danach keine K¨ urzseste mehr ist. Es gibt dann keine andere K¨ urzeste von p nach q, die l¨anger K¨ urzeste ist (Ecke schneiden). Also ist exp(U ) ⊂ M \ Cut(p). Ist umgekehrt q ∈ M \ Cut(p) und γ : [0, b] → M eine K¨ urzeste von p nach q = γ(b), so ist s(γ(0)) ˙ > b, also q ∈ exp(U ). Zu (ii). Klar.

Satz 132. Sei q ∈ Cut(p) und d(p, q) = d(p, Cut(p)). Dann gilt: • q ist zu 0 konjugiert l¨ angs einer k¨ urzesten Geod¨ atischen von p nach q oder • es gibt genau zwei nach der Bogenl¨ ange parametrisierte K¨ urzeste c1 , c2 : [0, b] → M von p nach q. F¨ ur diese ist c˙1 (b) = −c˙2 (b), d.h. c1 und c2 bilden eine geod¨ atische Schleife.

q Cut(p)

p

Beweis. Ist q l¨ angs keiner K¨ urzesten zu p konjugiert, so gibt es also zwei k¨ urzeste Geod¨atische c1 , c2 : t 7→ exp tvi , 0 ≤ t ≤ b von p nach q. Wir nehmen an, daß c˙1 (b) 6= −c˙2 (b), 93

und wollen daraus einen Widerspruch herleiten. Dann ist die Behauptung bewiesen. Unter der gemachten Annahme gibt es w ∈ Tq M mit g(w, c˙i (b)) < 0, i = 1, 2. Wir w¨ ahlen eine Kurve σ :] − , [→ M mit σ(0) = q, σ(0) ˙ = w, die das exp-Bild von Kurven σi :] − , [→ Tp M mit σi (0) = bvi ist. F¨ ur die erste Variation der L¨ ange Li (τ ) von t ci,τ (t) := exp σi (τ ) b gilt dann d |0 Li (τ ) = g(c˙i (b), w) < 0. dτ Also gibt es ein τ ∈]0, [ mit L(ci,τ ) < L(ci,0 ) = L(ci ) = d(p, q). Hat man zwei verschiedene Geod¨atische von p aus mit gleichem Endpunkt, so liegt auf einer davon ein Punkt von Cut(p), dessen Abstand von p in unserem Fall also < d(p, q) ist. Widerspruch!

σ1(0) σ2

v

q

1

c1

v

σ

2

c2 T M p

p

94

24

Der Injektivit¨ atsradius I

Definition 133 (Injektivit¨ atsradius). Sei M eine vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Schnittortfunktion s : T 1 M → [0, +∞]. (i) F¨ ur p ∈ M heißt i(p) :=

inf

s(v)

inf

s(v)

v∈Tp1 M

der Injektivit¨ atsradius in p. (ii) i(M ) :=

v∈T 1 M

heißt der Injektivit¨ atsradius von M . F¨ ur den Beweis des Sph¨ arensatzes sind untere Schranken f¨ ur den Injektivit¨atsradius von entscheidender Wichtigkeit. Wir versuchen solche zu gewinnen. Das wird zun¨achst nur mit einer Dimensionseinschr¨ ankung gelingen, den schwierigen Fall verschieben wir bis nach dem Beweis des Sph¨ arensatzes. Satz 134. Sei M eine vollst¨ andige zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit positiven Kr¨ ummungsschranken 0 < δ ≤ K ≤ ∆. Dann gilt: • i(M ) ≥

√π ∆

oder

• Es gibt eine glatt geschlossene Geod¨ atische in M von der L¨ ange 2i(M ). Beachte: Alle nicht-trivialen geschlossenen Geod¨ atischen haben L¨ ange ≥ 2i(M ).

Beweis. Nach dem Satz von Bonnet-Myers ist M kompakt und damit auch T 1 M kompakt und es gibt p ∈ M und v ∈ Tp1 M mit s(v) = i(M ). Sei q := exp s(v)v. Dann ist also d(p, q) = i(M ) = d(p, Cut(p)). Ist q konjugiert zu p, so ist nach dem Vergleichssatz 108 π d(p, q) ≥ √ . ∆ Andernfalls gibt es nach Satz 132 eine geod¨atische Schleife von p durch q. Umgekehrt ist aber d(q, p) = i(M ) = d(q, Cut(q)), und nach demselben Satz ist die Schleife auch in p glatt geschlossen, also eine geschlossene Geod¨atische der L¨ange 2i(M ). Auf einer geschlossenen Geod¨ atischen ist ein Punktepaar, das die L¨ange halbiert, offenbar durch zwei verschiedene Geod¨ atische verbindbar und deshalb vom Abstand ≥ i(M ). Also hat jede nichttriviale geschlossene Geod¨atische die L¨ange ≥ 2i(M ). Wir wollen den zweiten Fall genauer ansehen und nehmen an, daß π i(M ) = d(p, q) < √ ∆

95

Wir betrachten eine geschlossene Geod¨atische c durch p = c(0) von der L¨ange i(M ) wie oben. Wir machen weiter die Annahme: Es gibt ein paralleles, glatt geschlossenes normales Einheitsvektorfeld l¨angs c. (98) Wie im Lemma von Synge folgt die Existenz einer Variation cτ , so daß L(cτ ) < L(c) f¨ ur alle τ 6= 0. (Aber die cτ sind nat¨ urlich i.A. keine Geod¨atischen.) Sei (τj ) eine positive Nullfolge und qj ein Punkt von cj := cτj mit maximalem Abstand von cj (0) =: pj . Dann ist d(qj , pj ) ≤

1 1 L(cj ) < L(c) = d(p, q) = i(M ), 2 2

und daher gibt es eine eindeutig bestimmte k¨ urzeste nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ atischen σj von σj (0) = qj nach pj . Sei o.E. σ˙ j (0) konvergent gegen ein w ∈ Tq∗ M . Dann liegt q∗ auf c und hat von limj pj = p maximalen Abstand. Dann ist aber q∗ = q und σ : t 7→ exp tw ist eine k¨ urzeste Geod¨ atische von q nach p. Nach Konstruktion von σj ist σ˙ j (0) orthogonal zum Tangentialvektor von cj im selben Punkt. Es folgt w ⊥ c˙ bei q. Also gibt es drei verschiedene k¨ urzeste Geod¨ atische zwischen p und q im Widerspruch zu Satz 132.

qj c

q

cj σj

p

j

p

Wir pr¨ ufen daher die gemachte Annahme (98). Ist M gerad-dimensional und orientierbar, so gibt es wirklich l¨ angs jeder geschlossenen Geod¨atischen ein paralleles glatt geschlossenenes normales Einheitsvektorfeld, vgl. den Beweis zum Satz 96 von Synge . Wir erhalten Satz 135. Sei M eine orientierbare kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit 0 < δ ≤ K ≤ ∆. Dann gilt i(M ) ≥

√π . ∆

Im ungerad-dimensionalen Fall erfordert die Absch¨atzung des Injektivit¨atsradius st¨arkere Voraussetzungen und ist viel schwieriger zu beweisen. Es gilt

Satz 136 (Klingenberg). Sei M eine vollst¨ andige, einfach-zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit 0 ∆, so folgt

π π i(M ) ≥ √ > √ . ∆ 2 δ

Beweis. Sp¨ ater

96

25

Der Sph¨ arensatz

Wir verschieben den Beweis von Klingenbergs Absch¨atzung f¨ ur den Injektivit¨atsradius und zeigen erst einmal, wie daraus der Sph¨arensatz folgt. Wir beweisen:

Satz 137 (Sph¨ arensatz). Sei (M, g) eine vollst¨ andige, zusammenh¨ angende, einfachzusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit 0 ∆. Dann ist M hom¨ oomorph zur Sph¨ are. Der Beweis ben¨ otigt immer noch einige Vorbereitungen. Lemma 138 (Berger). Sei (M, g) vollst¨ andig. Seien p, q ∈ M , so daß d(p, .) in q ein lokales Maximum L hat. Sei v ∈ Tq1 M . Dann gibt es eine K¨ urzeste c : [0, L] → M von q nach p mit Winkel π ∠(c(0), ˙ v) ≤ . 2 In jedem Halbraum von Tq M findet man also Anfangsvektoren k¨ urzester Verbindungen nach p. Insbesondere gibt es also zwischen p und q keine eindeutig bestimmte K¨ urzeste. Beweis. Sei cv (t) := exp(tv). F¨ ur eine Folge (ti ) mit ti & 0 und nach der Bogenl¨ange parametrisierten K¨ urzesten ci : [0, Li ] → M von qi := cv (ti ) nach p bezeichne αi den Winkel zwischen c˙i (0) und c˙v (ti ). Wir zeigen, daß wir (ti ) und (ci ) so w¨ahlen k¨onnen, daß π αi ≤ 2

f¨ ur alle i.

p c cv

i

αi

(99)

v q

π 2

Dann kann man o.E. annehmen, daß c˙i (0) → w ∈ Tp M mit Winkel ∠(v, w) ≤ und Li → L. Die Geod¨ atische cw : s 7→ exp(sw) geht dann von q nach lim exp(c˙i (0)Li ) = p. Ihre L¨ange ist lim Li = lim d(p, cv (ti )) = d(p, q). Also bleibt nur noch der Beweis von (99). W¨are das falsch, so g¨ abe es t0 > 0, so daß f¨ ur alle t ∈]0, t0 [ und alle K¨ urzesten ct : [0, Lt ] → M von cv (t) nach p der Anfangswinkel > π2 ist. Wir w¨ahlen ein solches ct und eine Variation θ 7→ ct+θ , so daß ct+θ von cv (t + θ) nach p geht. (Existiert!) Dann ist nach der Formel f¨ ur die erste Variation

p

d L(ct+θ )|θ=0 = −g(c˙v (t), c˙t (0)) > 0, dθ

cv (t)

c t+θ q

c t-θ

also L(ct+θ ) streng monoton wachsend. Beachte, daß die Nachbarkurven ct+θ nicht unbedingt K¨ urzeste sind. Aber nat¨ urlich ist dann f¨ ur kleines θ > 0, d(p, cv (t − θ)) ≤ L(ct−θ ) < L(ct ) = d(p, cv (t)).

97

Damit ist aber t 7→ d(p, cv (t)) ist auf ]0, t0 [ streng monoton wachsend im Widerspruch zur Voraussetzung, daß d(p, .) in q ein lokales Maximum annimmt. F¨ ur das n¨ achste Lemma ben¨ otigen wir die Information u ¨ber den Injektivit¨atsradius. Lemma 139 (Berger). Unter den Voraussetzungen von Satz 137 sei p, q ein Punktepaar mit maximalem Abstand d(p, q) (≤ √πδ nach Bonnet-Myers). Dann ist f¨ ur alle x ∈ M

F¨ ur ρ >

π √ 2 δ

π min{d(p, x), d(q, x)} ≤ √ . 2 δ

ist also M ⊂ exp(Wρ (p)) ∪ exp(Wρ (q)).

Beweis von Tsukamoto (1962). Andernfalls gibt es ein x ∈ M mit d(p, x), d(q, x) > o.E d(p, x) ≥ d(q, x). Weil i(M ) >

π √ , 2 δ

π √ . 2 δ

Sei

gibt es ein ρ < i(M ), so daß π d(p, x) ≥ d(q, x) > ρ > √ . 2 δ

(100)

Die Exponentialabbildung bildet dann Wρ (p) und Wρ (q) diffeomorph auf offene B¨alle Uρ (p) und Uρ (q) ab. Wir betrachten k¨ urzeste Geod¨ atische von q nach x und p. Diese schneiden den Rand von Uρ (q) in Punkten q 0 und q 00 . Der Punkt q 0 liegt nicht in Uρ (p), denn sonst w¨are d(p, x) ≤ d(p, q 0 ) +d(q 0 , x) < d(q, q 0 ) + d(q 0 , x) = d(q, x) | {z }

p

x