Sommersemester 2008

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Erstes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie Aufgabe 1 Lineare Räume mit wenig Punkten Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle linearen Räume mit höchstens vier Punkten. Aufgabe 2 Koordinatenebene Bestimmen Sie für den Körper F2 = {0, 1} mit zwei Elementen die Punkte und Geraden der affinen Ebene A (F2 2 ) zum Vektorraum F2 2 . Aufgabe 3 Untersuchen Sie, welche der in Aufgabe 1 bestimmten linearen Räume affine Ebenen sind. Ordnen Sie die in Aufgabe 2 untersuchte Koordinatenebene in diese Erkenntnisse ein. Aufgabe 4 Es sei (A, G , I) eine affine Ebene. Weisen Sie nach: (a) Je zwei Punktreihen sind gleichmächtig. (b) Je zwei Geradenbüschel sind gleichmächtig. (c) Ist die Menge A endlich, so ist |A| eine Quadratzahl. Bestimmen Sie für den Fall, dass A endlich ist, die Anzahl |G | der Geraden in Abhängigkeit der Länge der Punktreihen. Aufgabe 5 (a) Sei (X, G , I) ein linearer Raum. Weisen Sie nach, dass (X, {[G] ; G ∈ G }, ∈) ein linearer Raum ist. (b) Konstruieren Sie Beispiele von Inzidenzstrukturen, bei denen die Blöcke nicht bereits durch ihre Punktreihe bestimmt sind.

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Zweites Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie Aufgabe 6 Schiebeebene [vgl. Vorlesung 1.6] Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung in Beispiel 1.6 definierte Schiebeebene S f eine affine Ebene ist. Aufgabe 7 Umformulierung des Parallelenaxioms [vgl. Vorlesung 1.12] In einem linearen Raum (A, G , I) sei die folgende abgeschwächte Form des bekannten Parallelenaxioms (P) gegeben: ˜ ∀p ∈ A ∀G ∈ G ∃G′ ∈ G : p I G′ || G (P) Zeigen Sie: Das Axiom (P) gilt genau dann, wenn die Relation || auf G transitiv ist und das ˜ gilt. Axiom (P) Aufgabe 8 Bestimmen Sie den projektiven Abschluss der in Aufgabe 2 und 3 untersuchten kleinsten affinen Ebene. Aufgabe 9 [vgl. Vorlesung 1.10] Es sei K ein kommutativer Körper mit Charakteristik char(K) 6= 2. Zeigen Sie: (a) Die Abbildung q : K → K : x 7→ x2 ist eine Differenzenfunktion. (b) Die Schiebeebene Sq ist isomorph zu A (K2 ). Aufgabe 10 Differenzenfunktionen [vgl. Vorlesung 1.7] Zeigen Sie, dass jede stetig differenzierbare Funktion f : R → R, deren Ableitung bijektiv ist, eine Differenzenfunktion ist. Aufgabe 11 Moultonebene [vgl. Vorlesung 1.5] Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung in Beispiel 1.5 definierte Moulton-Ebene Mk eine affine Ebene ist.

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Drittes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie Aufgabe 12 Ableitung projektiver Ebenen Es sei P = (P, L , I) eine projektive Ebene und L ∈ L eine Gerade. Zeigen Sie, dass P L := (P \ [L], L \ {L}, J) mit J := I ∩ ((P \ [L]) × (L \ {L})) eine affine Ebene ist. Die affine Ebene P L heißt affine Ableitung an der Geraden L. Aufgabe 13 Bündelmodell Es sei K ein (Schief-) Körper und V ein dreidimensionaler K-(links-) Vektorraum. Mit Gn (V ) wird die Menge der n-dimensionalen Untervektorräume von V bezeichnet. Zeigen Sie, dass P(V ) = (G1 (V ), G2 (V ), ⊆) eine projektive Ebene ist. Aufgabe 14 Kollineationsgruppe Der lineare Raum (A, G , ∈) besitzt A := {0, 1, 2, 3, 4} und G := {{0, 1, 4}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3, 4}} als Punkt- beziehungsweise Geradenmenge. Bestimmen Sie die Kollineationsgruppe dieses linearen Raumes. Aufgabe 15 Minimalmodell Es ist F2 der Körper mit zwei Elementen. (a) Bestimmen Sie von P(F23 ) die Punkte und Geraden (vgl. Aufgabe 13). (b) Untersuchen Sie P(F23 ) und den in Aufgabe 8 untersuchten projektiven Abschluss der kleinsten affinen Ebene auf Isomorphie. (c) Machen Sie sich klar, dass dies die kleinste projektive Ebene ist, d.h. es gibt keine projektive Ebene mit weniger Punkten oder Geraden, und alle projektiven Ebenen mit dieser minimalen Anzahl von Punkten und Geraden sind untereinander isomorph.

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Viertes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 16 Es sei A ein kommutativer Körper, welcher eine von 2 verschiedene Charakteristik besitzt. Die Abbildung : A → A : x 7→ x sei ein involutorischer Automorphismus. (Ein Körperautomorphismus ist eine bijektive Abbildung des Körpers auf sich, die sich mit den Körperoperationen verträgt, also eine Abbildung x 7→ x, welche für alle x, y ∈ A die Gleichungen x · y = x · y und x + y = x + y erfüllt. Eine Abbildung σ heißt involutorisch, wenn σ ◦ σ = id 6= σ gilt.) (a) Weisen Sie nach, dass die Menge L := Fix( ) := {a ∈ A ; a = a} mit den von A induzierten Operationen ein Teilkörper von A ist. (b) Es sei Γ := {a ∈ A ; a = −a}. Zeigen Sie, dass für i ∈ Γ \ {0} stets i−1 ∈ Γ und Γ = Li gilt. (c) Überprüfen Sie, dass für x ∈ A die Beziehungen x + x ∈ L und x − x ∈ Γ erfülllt sind. (d) Zeigen Sie, dass A ein Vektorraum der Dimension 2 über dem Körper L ist. (e) Folgern Sie, dass mit L := {b + La ; a, b ∈ A, a 6= 0} die Inzidenzstruktur A = (A, L , ∈) eine affine Ebene ist. Aufgabe 17 Zusammenhang von Bündelmodell und Koordinatenebene Es sei K ein (Schief-) Körper, V ein dreidimensionaler K-(Links-) Vektorraum und a, b, c eine Basis von V . Weiter sei L := Spann{a, b} und H := L + c. Im Folgenden sind die Bezeichnungen aus Aufgabe 13 verwendet. (a) Verifizieren Sie, dass mit der Punktmenge A := {p ∩ H ; p ∈ G1 (V ) \ G1 (L)} und der Geradenmenge G := {G ∩ H ; G ∈ G2 (V ) \ {L}} die Inzidenzstruktur A = (A, G , ⊆) eine affine Ebene ist. (b) Zeigen Sie, dass die affine Ableitung P(V )L der projektiven Ebene P(V ) an der Geraden L isomorph zu A ist. (c) Zeigen Sie, dass die affine Ableitung P(V )L isomorph zur affinen Ebene A (K 2 ) ist. Aufgabe 18 Finden Sie Kollineationen in einer projektiven Ebene – zum Beispiel die projektive Abschließung von A (F22 ) oder A (R2 ) –, die zwar Fixpunkte und Fixgeraden, aber weder Achse noch Zentrum besitzen.

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Fünftes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 19 Stellen Sie sicher, dass sie die Aufgabe 16 vollständig bearbeitet haben.

⋆ Aufgabe 20 Es sei A die in Aufgabe 16 definierte affine Ebene. (a) Weisen Sie nach, dass die Abbildung σ : A → A : a 7→ −a eine Punktpiegelung an 0 ∈ A, also eine involutorische Streckung mit Zentrum 0, ist. (b) Geben Sie eine Spiegelung an einem Punkt p ∈ A an. Aufgabe 21 Es sei A = (A, L , I) eine affine Ebene. Sei K die Kollineationsgruppe, D die Gruppe der Dilatationen und T die Translationsgruppe von A. Für G ∈ L sei TG := {τ ∈ T ; τ˜ (G) = G} und für p ∈ A sei D p := {δ ∈ D ; δ (p) = p} der Stabilisator von G in T beziehungsweise von p in D. Zeigen Sie: (a) Für alle G ∈ L und alle p ∈ A sind TG und D p Untergruppen von K. (b) Für τ ∈ T gilt: Dτ (p) = τ D p τ −1 . (c) Für κ ∈ K gilt: Tκ˜ (G) = κ TG κ −1 . (d) TG ist ein Normalteiler in D. Aufgabe 22 Es sei A (K 2 ) die affine Ebene über einem Schiefkörper K 6= F2 . Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine nicht-identische Kollineation des angegebenen Typs in Koordinaten an. (a) Translation

(b) Zentrische Streckung

(c) Achsenstreckung

(d) Scherung

Zusatz: Wie ist die Situation für K = F2 ? Aufgabe 23 Kollineationen von Schiebeebenen Sei S f = (K 2 , G , ∈) eine Schiebeebene (vgl. Vorlesung 1.6). (a) Weisen Sie nach, dass die Abbildung

σu,v : (x, y) 7→ (x + u, y + v) für jedes Element (u, v) ∈ K 2 eine Kollineation von A ist. (b) Bestimmen Sie die in der Gruppe Σ := {σu,v ; (u, v) ∈ K 2 } enthaltenen Translationen. (c) Sei T die Translationsgruppe von S f . Zeigen Sie, dass die Gruppe T∩Σ isomorph zu (K, +) ist.

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Sechstes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie Aufgabe 24 Parallelogramme Es sei K ein Körper, V ein zweidimensionaler Vektorraum über K und A (V ) die affine Ebene zu V (vgl. Vorlesung 1.4). (a) Zeigen Sie, dass a, b, c ∈ V genau dann nicht kollinear sind, wenn (b − a) und (c − a) linear unabhängig sind. (b) Zeigen Sie, dass für a, b, c, d ∈ V mit a 6= b und c 6= d gilt: a ∨ b || c ∨ d ⇐⇒ b − a ∈ K(d − c) (c) Es sei (a, b, c, d) ein nicht ausgeartetes Viereck. Weisen Sie nach: (a, b, c, d) ist Parallelogramm ⇐⇒ d − a = c − b

⋆ Aufgabe 25 Gegeben ist die Situation aus Aufgabe 16: Es ist A ein kommutativer Körper mit von 2 verschiedener Charakteristik, weiter ist : A → A : x 7→ x ein involutorischer Körperautomorphismus, L = Fix( ) und i ∈ A \ {0} ein Element mit i = −i. Damit erhält man die affine Ebene A (A) zu dem zweidimensionalen L-Vektorraum A. Die Abbildung q : A × A → L ist gegeben durch q(a, b) := (a − b)(a − b). Zeigen Sie: (a) Die Relation ≡ := gruenz.




(a, b), (a′ , b′ ) ; q(a, b) = q(a′ , b′ ) ⊆ (A × A)2 ist eine Streckenkon-

(b) Für a, b, c ∈ A mit a 6= b sind die Geraden a∨b und (a−c)∨(b−c) parallel und die Strecken (a, b) und (a − c, b − c) kongruent. (c) Für jedes nicht-ausgeartete Dreieck ∆ = (a, b, c) ist das Dreieck ∆′ = (0, b − a, c − a) nichtausgeartet; ∆ und ∆′ sind parallel und kongruent und das Paar (b − a, c − a) von Vektoren ist eine Basis des L-Vektorraums A. (d) Die Streckenkongruenz erfüllt das Axiom (PD). Aufgabe 26 Eindeutigkeit der Elationen einer projektiven Ebene Sei P = (P, L , I) eine projektive Ebene und L ∈ L eine Gerade. Es seien ϕ und ψ Kollineationen von P mit Achse L, deren jeweiliges Zentrum mit L inzidiert. Zeigen Sie, dass die Abbildungen ϕ und ψ genau dann übereinstimmen, wenn es einen Punkt p ∈ P gibt, der nicht mit L inzidiert und ϕ (p) = ψ (p) erfüllt.

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Siebtes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 27 Stellen Sie sicher, dass Sie die Aufgabe 25 vollständig bearbeitet haben.

⋆ Aufgabe 28 Gegeben ist die Situation aus Aufgabe 25. ex,y := {m ∈ A ; (x, m) ≡ (m, y)}. Für verschiedene Punkte x, y ∈ A sei M

Es seien beliebige a, b ∈ A mit a 6= b gegeben. Zeigen Sie: (a) Für u ∈ A gilt:

ea,b = M eu+a,u+b u+M (b) Mit x :=

a−b 2

gilt: ea,b = a + b + M ex,−x M 2

ec,−c = Lic. (c) Für c ∈ A \ {0} ist M (d) Die Streckenkongruenz erfüllt das Axiom (ML). (e) Der Mittelpunkt der Strecke (a, b) ist mab =

a+b 2 .

Die affine Ebene A (A) mit der Streckenkongruenz ≡ ist also eine präeuklidische Ebene. Aufgabe 29 Anti-Fano-Ebene Es sei K ein Körper, V ein zweidimensionaler Vektorraum über K und A (V ) die affine Ebene zu V (vgl. Vorlesung 1.4). Verifizieren Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Es gibt ein nicht ausgeartetes Parallelogramm (a, b, c, d) mit parallelen Diagonalen, also mit a ∨ c || b ∨ d. Hinweis: Also ist auch (a, c, b, d) ein Parallelogramm. (ii) Die Charakteristik von K ist 2. (iii) Jedes nicht ausgeartete Parallelogramm hat parallele Diagonalen. Hinweis: Aufgabe 24 kann helfen. Eine Ebene, in der jedes Parallelogramm parallele Diagonalen hat, heißt Anti-Fano-Ebene.

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Achtes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 30 Stellen Sie sicher, dass Sie die Aufgabe 28 vollständig bearbeitet haben.

⋆ Aufgabe 31 Es sei A (A) die in Aufgabe 25 und 28 untersuchte präeuklidische Ebene mit der Streckenkongruenz ≡. Sei ⊥ die zugehörige Orthogonalitätsrelation. Nutzen Sie die darüber gewonnenen Erkenntnisse aus der Vorlesung und Aufgabe 28, um nachzuweisen, dass für Geraden b + La, d + Lc ∈ L (mit a, b, c, d ∈ A, wobei a 6= 0 6= c) gilt: (b + La) ⊥ (d + Lc) ⇐⇒ c ∈ Lia Aufgabe 32 Parallelogramme Es sei eine präeuklidische Ebene gegeben. Zeigen Sie: Die Mittelpunkte der Seiten eines nichtausgearteten Vierecks bilden ein Parallelogramm. Aufgabe 33 Konzentrische Kreise Gegeben sei eine präeuklidische Ebene. Weisen Sie nach, dass zwei verschiedene konzentrische Kreise disjunkt sind und keine gemeinsame Tangente haben. Aufgabe 34 Rationale präeuklidische Ebene Es sei i ∈ C mit i2 = −1 und Q(i) := Q + Qi ⊆ C. (a) Zeigen Sie, dass für 0 6= x ∈ Q(i) das Inverse x−1 ∈ C auch in Q(i) liegt. (b) Weisen Sie damit nach, dass Q(i) ein Teilkörper von C ist, sowie dass die Abbildung : Q(i) → Q(i) : r + si 7→ r − si ein involutorischer Automorphismus von Q(i) ist.
Entsprechend Aufgabe 25 ist also A Q(i) eine präeuklidische Ebene.
(c) Machen Sie sich klar, dass die affinen Ebenen A Q(i) , die mit der in Aufgabe 25 definierten Streckenkongruenz ≡ versehen ist, und A (Q2 ) mit der üblichen Streckenkongruenz (zwei Strecken sind kongruent, wenn sie gleich lang sind) in naheliegender Weise identifiziert werden können.

(Bitte wenden)

Aufgabe 35 Eine endliche präeuklidische Ebene Sei F3 := {0, 1, −1} der Körper mit drei Elementen. Sei weiter A ein zweidimensionaler Vektorraum über F3 mit einer Basis, deren Elemente als 1 und i bezeichnet sind. Für a ∈ F3 identifizieren wir den Vektor a · 1 mit a; auf diese Weise wird F3 eine Teilmenge von A, und A besteht aus den Linearkombinationen a + b · i mit a, b ∈ F3 . Zeigen Sie: (a) A ist mit der Vektorraumaddition und der bilinearen Multiplikation, die 1 als Einselement hat und i2 = −1 erfüllt, ein kommutativer Körper. (Hinweis: Sie können weitgehend analog zu Aufgabe 34 vorgehen.) (b) Die Abbildung : A → A : a + bi 7→ a − bi (für a, b ∈ F3 ) ist ein involutorischer Körperautomorphismus mit Fix( ) = F3 . Nach Aufgabe 28 ist also A (A) mit der dort definierten Streckenkongruenz eine präeuklidische Ebene. Bestimmen Sie die Mittellinien und Mittelpunkte der folgenden Strecken: (c) (1, −1)

(d) (i, 1)

(e) (−i, 1 + i)

Bestimmen Sie die folgenden Kreise: (f) ⊙(0; 1)

(g) ⊙(0; 1 + i)

Stellen Sie die Situationen graphisch dar.

(h) ⊙(1; 0)

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Neuntes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 36 Stellen Sie sicher, dass Sie Aufgabe 28 vollständig bearbeitet haben.

⋆ Aufgabe 37 Geradenspiegelung In der Situation von Aufgabe 28 sei a ∈ A \ {0} und G := La eine Gerade durch 0. Beschreiben Sie die Spiegelung σ an der Geraden G mit Hilfe der algebraischen Strukturen auf A. Hinweis: Zum Beispiel bietet sich eine der folgenden beiden Vorgehensweisen an: (i) Jeder Punkt p ∈ A ist für geeignetes x ∈ A von der Form p = xa. In dieser Darstellung ist der Bildpunkt von p leicht zu bestimmen. Hilfreich sind dabei auch die Erkenntnisse über Orthogonalität (zum Beispiel aus Aufgabe 31). (ii) Für jeden Punkt p 6∈ G gilt G = M p,σ (p) . Wertet man dies für zwei Punkte von G aus, erhält man Gleichungen, aus denen man σ (p) gewinnen kann. Aufgabe 38 Gegeben ist eine präeuklidische Ebene. Ein nicht-ausgeartetes Viereck wird bezeichnet als Raute, wenn alle vier Seiten kongruent sind, Rechteck, wenn je zwei benachbarte Seiten orthogonal sind, Quadrat, wenn je zwei benachbarte Seiten orthogonal und kongruent sind. Sei V ein beliebiges Viereck. Weisen Sie die folgenden Aussagen nach: (a) V ist genau dann eine Raute, wenn die Diagonalen von V orthogonal sind und einander halbieren. (b) V ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen von V kongruent sind und einander halbieren. Hinweis: Die Parallele zu einer Diagonalen durch eine dritte Ecke kann helfen. (c) V ist genau dann ein Quadrat, wenn die Diagonalen kongruent und orthogonal sind sowie einander halbieren. Zeigen Sie: (d) Je zwei Durchmesser eines Kreises sind kongruent. (Durchmesser sind Strecken mit Endpunkten auf dem Kreis, die mit dem Mittelpunkt des Kreises inzidieren.)

(Bitte wenden)

Aufgabe 39 2–1-Teilungspunkt Eine Strecke (a, b) einer präeuklidischen Ebene heißt nicht-ausgeartet, wenn a und b verschieden sind. Ein von a verschiedener Punkt d heißt dann 2–1-Teilungspunkt der Strecke (a, b), wenn b 6= mad und d der Mittelpunkt der Strecke (mad , b) ist. (a) Begründen Sie, warum der 2–1-Teilungspunkt d der Strecke (a, b) auf der Geraden a ∨ b liegt. (b) Weisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen nach: (i) Es gibt eine nicht-ausgeartete Strecke mit 2–1-Teilungspunkt. (ii) Jede nicht-ausgeartete Strecke besitzt einen 2–1-Teilungspunkt. Man sagt, eine solche präeuklidische Ebene hat nicht Charakteristik 3. Aufgabe 40 Schwerpunkt eines Dreiecks Es sei ∆ = (a, b, c) ein nicht-ausgeartetes Dreieck in einer präeuklidischen Ebene, die nicht Charakteristik 3 hat; es gibt also auf jeder Strecke einen 2–1-Teilungspunkt. Zeigen Sie, dass die Schwerlinien a ∨ mbc , b ∨ mca und c ∨ mab des Dreiecks ∆ alle mit dem 2–1-Teilungspunkt s der Strecke (a, mbc ) inzidieren und dass dieser auch 2–1-Teilungspunkt der Strecken (b, mca ) und (c, mab ) ist. Hinweis: Untersucht man das Viereck (msa , mab , mbc , msc ), so kann man beweisen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt und dass s der Schnittpunkt der Diagonalen ist.

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Zehntes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 41 Zeigen Sie, dass in einer wie in Aufgabe 28 gegebenen präeuklidischen Ebene A (A) die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Für alle a ∈ A gibt es ein λ ∈ L so, dass aa = λ 2 . (ii) Jeder Kreis um 0 trifft jede Ursprungsgerade. (iii) Jeder Kreis wird von allen seinen Zentrumsgeraden getroffen. (iv) Zu je zwei Geraden H1 und H2 gibt es eine Gerade W so, dass für die zugehörige Geradenspiegelung σW gilt: σW ([H1 ]) = [H2 ]. Die Ebene heißt in diesem Fall pythagoräisch. Zeigen Sie außerdem in der Situation (iv): Falls H1 und H2 sich in einem Punkt p schneiden, so geht auch W durch p. Die Gerade W heißt dann Winkelhalbierende von H1 und H2 . Aufgabe 42 Winkelhalbierende In einer präeuklidischen Ebene sei W eine Winkelhalbierende der konfluenten Geraden G1 und G2 , d.h. für die Geradenspiegelung σW an W gilt σW ([G1 ]) = [G2 ]. Sei z der Schnittpunkt von G1 und G2 . Zeigen Sie, dass es genau eine weitere Winkelhalbierende W ′ von G1 und G2 gibt, nämlich W ′ = ⊥(W ; z). Hinweis: Man kann Satz 6.24 (ii) der Vorlesung anwenden. Aufgabe 43 Zwei Kreise Zeigen Sie, dass in präeuklidischen Ebenen folgende Aussagen gelten. (a) Zwei Kreise mit verschiedenen Zentren haben höchstens zwei Schnittpunkte. (b) Für je zwei verschiedene Kreise sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Es gibt genau einen Schnittpunkt. (ii) Es gibt einen Schnittpunkt auf der Verbindungsgerade der Zentren. (iii) Es gibt einen Schnittpunkt mit gemeinsamer Tangente.

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Elftes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie Für die folgenden Aufgaben sei jeweils eine präeuklidische Ebene zu Grunde gelegt. Aufgabe 44 Spiegelungen an parallelen Geraden Es seien G und H zwei verschiedene parallele Geraden. (a) Weisen Sie nach, dass die Abbildung τ := σG ◦ σH eine Translation ist. (b) Bestimmen Sie die Fixgeraden von τ . (c) Finden Sie eine Translation ϑ mit ϑ ◦ ϑ = τ . (d) Dreispiegelungssatz für parallele Geraden: Sei K eine weitere Parallele zu G und H, und L = ϑ˜ (K). Zeigen Sie, dass σG ◦ σH ◦ σK = σL . Aufgabe 45 Weisen Sie nach, dass für einen Punkt z die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Jeder Kreis um z wird von allen seinen Zentrumsgeraden getroffen. (ii) Zu je zwei Geraden G1 und G2 durch z gibt es eine Drehung δ ∈ ∆z um z mit δ ([G1 ]) = [G2 ]. Aufgabe 46 (a) Es seien G und H Geraden durch einen Punkt z und δ ∈ ∆z eine Drehung mit δ ([G]) = [H]. Zeigen Sie, dass σH ◦ σG = δ 2 . (b) Sei ρ ∈ ∆z eine Drehung mit ρ 2 = id. Weisen Sie nach, dass ρ = id oder ρ = ιz (die Punktspiegelung an z). (c) Für Geraden G1 , G2 , G3 durch den Punkt z sei die Gerade H die vierte Gerade entsprechend dem Dreispiegelungssatz so, dass σG3 ◦ σG2 ◦ σG1 = σH gilt. Beweisen Sie: Existiert eine Drehung δ ∈ ∆z mit δ ([G2 ]) = [G3 ], so ist δ ([G1 ]) = [H]. (d) In einer pythagoräischen Ebene (in der die Aussage (i) aus Aufgabe 45 gilt) seien die Geraden G, G′ , H und H ′ durch den gemeinsamen Punkt z gegeben. Weisen Sie die Gleichwertigkeit der folgenden Aussagen nach: (i) Es existiert eine Drehung δ ∈ ∆z mit δ ([G]) = [G′ ] und δ ([H]) = [H ′ ]. (ii) σG′ ◦ σG = σH ′ ◦ σH .

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Zwölftes Übungsblatt zur Veranstaltung

Synthetische Geometrie

⋆ Aufgabe 47 Es sei A (A) eine präeuklidische Ebene wie in Aufgabe 28. Für a ∈ A \ {0} sei die Abbildung ϕa : A → A : x 7→ ax definiert. Die Untergruppe Φ der Kollineationsgruppe sei wie in Satz 7.7 der Vorlesung gegeben durch Φ = hδ − id ; δ ∈ ∆0 \ {id}i. (a) Verifizieren Sie: Φ = {ϕa ; a ∈ A \ {0}}. Hinweis: Zeigen Sie hierzu zunächst, dass jedes Element von Φ die behauptete Form hat. Mit der Transitivität von Φ auf A \ {0} folgt, dass jedes ϕa mit a ∈ A \ {0} eine Element von Φ ist. (b) Zeigen Sie: ∆0 = {ϕc ; c ∈ A, cc = 1}. Hinweis: Es kann helfen ⊙(0; 1) = {c ∈ A ; cc = 1} nachzuweisen. (c) Es sei Z die Gruppe der Streckungen mit Zentrum 0. Zeigen Sie Z = {ϕλ ; λ ∈ L \ {0}}. Hinweis: Überprüfen Sie, dass für λ ∈ L \ {0} die Abbildung ϕλ eine Streckung mit Zentrum 0 ist; sodann, dass ζ ∈ Z mit ϕζ (1) übereinstimmen muss. (d) Wir wollen sehen, in wieweit sich die Gruppe ∆0 ◦ Z der Drehstreckungen mit Fixpunkt 0 im strengen Sinn von der Gruppe Φ unterscheidet. Nach (b) und (c) ist klar, dass ∆0 ◦ Z ⊆ Φ. Es sei A′ := {a ∈ A \ {0} ; ϕa ∈ ∆0 ◦ Z}. (d1) Zeigen Sie A′ = {c · λ ; c ∈ A, cc = 1, λ ∈ L \ {0}}; insbesondere ist A′ eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe A× = A \ {0}. (d2) Verifizieren Sie, dass N = {aa ; a ∈ A× } eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe L× von L und Q = {λ 2 ; λ ∈ L \ {0}} eine Untergruppe von N ist. (d3) Die Abbildung A× → N/Q : a 7→ aaQ ist ein surjektiver Homomorphismus, dessen Kern genau A′ ist. Nach dem Homomorphiesatz ist also A× /A′ ∼ = N/Q. (e) Folgern Sie mit diesen Ergebnissen, dass die Ebene genau dann pythagoräisch ist, wenn Φ = ∆0 ◦ Z. Aufgabe 48 Drehungen und Translationen Dem Folgenden sei eine präeuklidische Ebene zu Grunde gelegt. (a) Sei τ eine Translation und δ ∈ ∆z \ {id} eine nicht-identische Drehung um den Punkt z. Zeigen Sie, dass τ ◦ δ wieder eine Drehung (im Allgemeinen um einen von z verschiedenen Punkt) ist. Hinweis: Man kann sowohl τ als auch δ als Produkt von Geradenspiegelungen mit geschickt gewählten Geraden schreiben. (b) Es seien δ ∈ ∆z \ {id} und δ ′ ∈ ∆z′ \ {id} nicht-identische Drehungen um die Punkte z beziehungsweise z′ . Zeigen Sie, dass δ ◦ δ ′ wieder eine Drehung oder eine Translation ist. (c) Weisen Sie nun nach, dass die Menge aller Drehungen (um beliebige Punkte) und Translationen eine Untergruppe der Bewegungsgruppe ist. (Es handelt sich sogar um einen Normalteiler.) Zusatz: Wie kann man die Drehzentren der Produkte konstruieren?