Relationen und Funktionen

Relationen und Funktionen Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/12

11. Oktober 2011

QSI - Theorie - WS2011/12

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Relationen

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Was ist eine Relation?

Eine Relation steht f¨ ur eine Beziehung zwischen Objekten - im formalen Kontext Elementen einer Menge. Zwei Elemente aus den betroffenen Mengen k¨onnen entweder die Beziehung zueinander besitzen (die Relation erf¨ ullen) oder nicht. Beispiele: enth¨alt den Buchstaben Eine Relation zwischen Worten und Buchstaben. ist verwandt mit Eine Relation zwischen Personen und Personen. hat die Farbe Eine Relation zwischen Gegenst¨anden und Farben.

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Wozu braucht man Relationen?

Es wird die Beziehung von Objekten formalisiert; darauf basiert zum Beispiel das g¨angigste Modell f¨ ur Datenbanken. Besonders h¨aufig ist auch die “Kantenrelation”, die die Verbindungen zwischen Knotenpunkten in einem Graphen enth¨alt.

A

B

C

Knotenmenge: {A, B, C }, Kantenrelation: {(A, B) , (B, C ) , (B, B)}

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Tupel

Definition (Das Tupel) Sei n ∈ N eine nat¨ urliche Zahl. F¨ ur n Objekte a1 , . . . , an bezeichnet (a1 , . . . , an ) ein geordnetes Tupel mit den Komponenten a1 , a2 , . . . , an . Ein Tupel ist nicht dasselbe wie eine Menge - {a1 , a2 , . . . , an }: Reihenfolge Die Reihenfolge ist wichtig: {a1 , a2 } = {a2 , a1 }, aber (a1 , a2 ) 6= (a2 , a1 ). Wiederholungen Ein Objekt kann beliebig oft vorkommen, und das Tupel ¨andert sich dadurch: (a1 , a2 ) 6= (a1 , a2 , a1 ).

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Das Tupel (2)

F¨ ur ein Tupel (a1 , . . . , an ) heißt n die L¨ ange (nicht Kardinalit¨at oder M¨achtigkeit) des Tupels. Ein Tupel der L¨ange n heißt auch “n-Tupel”. 2-Tupel und 3-Tupel nennt man auch “Paare” und “Tripel”. Zwei Tupel (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn ) sind gleich, genau dann wenn sie die gleiche L¨ange haben, und an jeder Position u ur 1 ≤ i ≤ n gilt: ai = bi ). ¨bereinstimmen (f¨

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Das kartesische Produkt

Definition (Das kartesische Produkt) Seien A und B Mengen. Das kartesische Produkt von A, B ist die Menge A × B := {(a, b) |a ∈ A, b ∈ B}. Beispiel: Sei M = {1, 2, 3} und N = {a, b}, dann ist M × N = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Es wird jedes Element mit jedem Element kombiniert.

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Relation

Definition (Paar-Relation) Seien A, B Mengen. Eine Relation u ¨ber A, B ist eine Teilmenge R ⊆ A × B; die Elemente der Relation sind daher Tupel. Eine Relation kann auch zwischen mehr als zwei Mengen definiert sein. Beispiel: a2 + b 2 = c 2 Ganzzahlige Seitenl¨angen von rechtwinkligen Dreiecken: R ⊆ N × N × N. Die Relation ist R = {(3, 4, 5) , (4, 3, 5) , (5, 12, 13) , . . .}. F¨ ur eine Relation u ¨ber n Mengen heißt n die Stelligkeit von R.

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Was ist eine Funktion?

Funktionen kennt man in der Mathematik und in Programmen als Regeln, die f¨ ur jede Eingabe eine bestimmte Ausgabe festlegen. Formal sagt man, dass sie die Eingabe auf die Ausgabe abbilden. Beispiele: f (x) = x 2 ist eine Funktion, die Zahlen auf andere Zahlen abbildet. g (wort) = “Anfangsbuchstabe von wort00 bildet Worte auf Buchstaben ab. h (M) = “Kardinalit¨at der Menge M” bildet Mengen auf Zahlen ab.

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Funktionen als Relation

Man kann die Funktion als Relation mit speziellen Eigenschaften betrachten: Definition (Funktion) Seien X und Y Mengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Relation f ⊆ X × Y mit der Eigenschaft, dass f¨ ur jedes Element a ∈ X genau ein Element b ∈ Y existiert mit (a, b) ∈ f . Beispiel: Folgenden Relationen sind Funktionen: {(m, n) ∈ N × N|n = m3 − 1}. {(x, y ) ∈ R≥0 × R≥0 |x 2 + y 2 = 1}. Bzw.: y =

√ 1 − x 2.

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Sind alle Relationen auch Funktionen?

Nein: Eine n-stellige Relation mit n 6= 2 ist keine Funktion. Die Relation {(a, b) ∈ N × N|b = ±a} ist keine Funktion, da zum Beispiel (1, −1) und (1, 1) darin enthalten sind. (Keine eindeutige Ausgabe.)  Die Relation (x, y ) ∈ R × R|y = x1 ist keine Funktion, da sie kein Tupel (0, y ) enth¨alt. (Nicht vollst¨andig definiert.)

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Notation von Funktionen Definition Seien X und Y Mengen. Wir schreiben f : X → Y um auszudr¨ ucken, dass f eine Funktion von X nach Y ist. F¨ ur eine Funktion f : X → Y und ein Element a ∈ X schreiben wir auch f (a) = b, wenn (a, b) ∈ f das f¨ ur a eindeutige Tupel in f ist. Ist f : X → Y eine Funktion, so heißt die zugeh¨orige Relation {(a, f (a))|a ∈ X } ⊆ X × Y auch der Graph der Funktion f . Ist f : X → Y eine Funktion, so ist X der Definitionsbereich von f und Y der Bildbereich von f .

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Vergleich von Funktionen Definition Seien X und Y Mengen, und seien f , g : X → Y Funktionen. Die Funktionen f und g sind gleich, wenn f¨ ur alle x ∈ X gilt: f (x) = g (x). Seien X , Y ⊆ R. Die Funktion f ist kleiner oder gleich g , in Zeichen f ≤ g , wenn f¨ ur alle x ∈ X gilt: f (x) ≤ g (x). Die Funktion f ist kleiner als g , in Zeichen f < g , wenn f¨ ur alle x ∈ X gilt: f (x) < g (x). f ≥ g “und f > g “sind analog definiert. ” ” Beispiel: F¨ ur die Funktionen f (x) = e x , g (x) = x 2 und h(x) = 1 gilt f > g , g < f , h ≤ f und f ≥ h.

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Eigenschaften von Funktionen

Definition (Eigenschaften von Funktionen) Sei f : X → Y eine Funktion. f heißt injektiv, falls es f¨ ur jedes y ∈ Y h¨ochstens ein x ∈ X gibt mit f (x) = y . f heißt surjektiv, falls es f¨ ur jedes y ∈ Y mindestens ein x ∈ X gibt mit f (x) = y . f heißt bijektiv, falls es f¨ ur jedes y ∈ Y genau ein x ∈ X gibt mit f (x) = y .

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Beispiele

Beispiel: Die Funktion f : R → R, f (x) = e x , ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Funktion g : R → R, g (x) = x 3 − 2x, ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Funktion h : R → R, h (x) = x − 2, ist injektiv und surjektiv, und daher auch bijektiv. Die Funktion i : R → R, i(x) = x 2 , ist nicht injektiv und nicht surjektiv.

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Eigenschaften von Funktionen im Bild

injektiv nicht surjektiv

surjektiv nicht injektiv

bijektiv

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