4 TEOREMAS SOBRE LAS TRANSFORMACIONES DE CIRCUITOS 4 TEOREMAS SOBRE LAS TRANSFORMACIONES DE CIRCUITOS.......................................................................................127 4.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................129 4.2 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN EN SERIE DE ELEMENTOS.................................................................................129 4.3 TEOREMA DE LA SUSTITUCIÓN DE UNA CORRIENTE POR UNA FUENTE DE CORRIENTE. ........................................131 4.4 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN DE ELEMENTOS EN PARALELO. ............................................................................133 4.5 TEOREMA SOBRE LA SUSTITUCIÓN DE UN VOLTAJE POR UNA FUENTE DE VOLTAJE..............................................134 4.6 TEOREMA SOBRE EL SECCIONAMIENTO DE CIRCUITOS. ..................................................................................136 4.7 TEOREMAS GENERALIZADOS DE THEVENIN Y NORTON........................................................................................138 4.8 TEOREMAS SOBRE SIMETRÍA. ......................................141 4.9 TEOREMA DE LA DUALIDAD.........................................144 4.10 TEOREMA SOBRE EL PASO DE ELEMENTOS A TRAVÉS DE UN NODO Y EL REPARTO DE ELEMENTOS EN UNA MALLA.................................................................................147 4.11 EJEMPLOS...........................................................................152 4.11.1 EJEMPLO 1 ...................................................................152 4.11.2 EJEMPLO 2. ..................................................................154 4.12 RESUMEN. ..........................................................................158 4.13 MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Y MÉTODO DE LOS VOLTAJES DE NODO. ..................................................159 4.13.1 INTRODUCCIÓN .........................................................159 4.13.2 CONCEPTO ELEMENTAL DE CORRIENTES DE MALLA .......................................................................................160 4.13.3 ECUACIÓN RESTRINGIDA:.......................................161 4.13.4 MODELO GENERAL DE LA ECUACIÓN PARA CORRIENTES DE MALLA. ......................................................162 4.13.5 ESCOGENCIA DE LAS MALLAS: .............................163

127

4.13.6 CONCEPTO ELEMENTAL DE LOS VOLTAJES DE NODO.............................................................................................164 4.13.7MODELO GENERAL DE LAS ECUACIONES DE NODO. .....................................................................................................166 4.14 EJEMPLOS...........................................................................167 4.14.1 EJEMPLO DEL MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLA. ......................................................................................167 4.14.2 EJEMPLO DEL MÉTODO DE VOLTAJES DE NODO170

128

4.1 INTRODUCCIÓN. En el capítulo anterior nos dedicamos a estudiar que datos se requerían para resolver un circuito, entendiendo por “resolverlo” encontrar las “incógnitas” en función de los “datos”. Pero resulta que muchos circuitos pueden transformarse en otros más sencillos, utilizando algunas técnicas muy generales. Estas técnicas son las que estudiaremos ahora. Las presentamos como teoremas sólo por fines didácticos y, como se verá en el desarrollo correspondiente, las demostraciones consisten simplemente en constatar que las transformaciones del enunciado no alteran las ecuaciones de Kirchhoff, ni la información adicional de las funciones de los elementos conocidos. Insistimos en que los métodos de estudio de estos temas deben centrarse en la comprensión del sentido del enunciado y en su aplicación a circuitos bien simples. En ninguna forma debe pretenderse que estos teoremas se “aprendan” en forma diferente de la práctica, es decir, como herramientas de trabajo. Su estudio riguroso puede quedar para personas que deseen profundizar la teoría pura de lo circuitos.

4.2 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN EN SERIE DE ELEMENTOS. Dos elementos en serie pueden combinarse en uno solo, cuya corriente sea la que posea más información (esté más definida) y cuyo voltaje corresponda, en información, al voltaje menos definido.

Figura 4.2.1.Teorema sobre la combinación de elementos en serie.

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Figura 4.2.2.Teorema sobre la combinación de elementos en serie.

DEMOSTRACIÓN Para que no cambien las ecuaciones de Kirchhoff, las corrientes deben ser iguales, y los voltajes se deben sumar para dar el voltaje total que llevará el elemento final. Por lo tanto, toda la información que se tenga sobre una de la corriente pasa a la otra; en cambio, al sumarse los voltajes, lo que se ignore de uno de ellos, pasa al voltaje resultante.

130

Aunque lo anterior parece incomprensible, obsérvese que algunos de los casos posibles mostrados en la figura 4.2.2, son completamente comprensibles y aclaran todo lo dicho. Como siempre, se utilizan mayúsculas para los datos, y minúsculas para las incógnitas. Por ejemplo, en el caso 1, tenemos una corriente conocida y lo demás desconocido; el elemento resultante tendrá la corriente conocida y el voltaje incógnito. En el caso 2, se conoce una corriente y un voltaje; elemento resultante tendrá la corriente conocida, pero el voltaje seguirá desconocido. El caso 7, ya es conocido, pues se trató en el capítulo anterior.

4.3 TEOREMA DE LA SUSTITUCIÓN DE UNA CORRIENTE POR UNA FUENTE DE CORRIENTE. Un circuito no se altera (tiene una solución igual), si se sustituye un conductor que lleva una corriente por una fuente de corriente de igual valor, pero cuyo voltaje es cero (0). DEMOSTRACIÓN Basta recalcar que el procedimiento no altera las ecuaciones de Kirchhoff de los nodos del conductor (la corriente no cambia), ni las ecuaciones de malla de las cuales hace parte el voltaje del conductor (que es nulo).

131

Figura 4.3.1.Teorema sobre la sustitución de una corriente por una fuente de corriente.

En la figura 4.3.1.a, se ilustra el caso general; en la b, y la c, se ilustra una combinación de esta técnica con la empleada en el teorema anterior. En ambos casos b y c, se reemplazan dos elementos por una fuente de corriente.

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4.4 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN DE ELEMENTOS EN PARALELO.

Figura 4.4.1.Teorema sobre la combinación de elementos en paralelo.

Figura 4.4.2.Teorema sobre la combinación de elementos en paralelo.

Dos elementos en paralelo pueden combinarse, sin alterar el circuito, en un sólo elemento cuyo voltaje corresponde al que posee más información (voltaje más definido) y cuya corriente corresponda a la corriente de los elementos que esté menos definida.

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DEMOSTRACIÓN Como los voltajes son iguales en la conexión en paralelo la información que se tenga sobre uno de ellos pasa inmediatamente al otro. En cambio, como las corrientes se suman, lo que se ignore de una de ellas pasa a la corriente total. Se trata del mismo problema ya visto en relación al circuito en serie. En la figura 4.4.1 ilustramos el caso general, mientras en la figura 4.4.2 representamos los casos particulares de mayor concurrencia.

4.5 TEOREMA SOBRE LA SUSTITUCIÓN DE UN VOLTAJE POR UNA FUENTE DE VOLTAJE. Se puede colocar una fuente de voltaje entre dos nodos de un circuito sin alterarlo, si la fuente tiene un voltaje igual al que existía entre los dos nodos y una corriente de valor cero (0). DEMOSTRACIÓN Como en el teorema correspondiente de la fuente de corriente, basta con probar que no se alteran las ecuaciones de Kirchhoff. En los nodos no hay cambio en la ecuación de corrientes, por la condición que establece la corriente como nula en la fuente añadida. Y aunque se crea una nueva malla en el circuito, la ecuación correspondiente no es independiente de las del circuito inicial, pues el voltaje de la fuente es un valor ya establecido en el circuito. Lo único que sucede es que se “divide” una ecuación de malla en dos (Figura 4.5.1). En el caso ilustrado en la figura 4.5.2 la ecuación: V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 = 0

134

Figura 4.5.1.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.

Figura 4.5.2.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.

Se divide en las ecuaciones: V1 + V2 + V3 + V4 = Vab

− V5 − V6 = Vab Estas últimas son equivalentes completamente a la primera. Muy interesante resultan los casos particulares mostrados en la figura 4.5.3, pues son importantísimos para la simplificación de circuitos.

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Figura 4.5.3.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.

4.6 TEOREMA SOBRE EL SECCIONAMIENTO DE CIRCUITOS. En toda unión de circuitos formada por dos conductores, se puede seccionar uno de ellos, colocando una fuente de voltaje igual al voltaje que existía entre los conductores, y cuya corriente sea la que circulaba por los mismos conductores, entre los extremos del conductor seccionado.

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Figura 4.6.1.Teorema sobre el seccionamiento de circuitos.

DEMOSTRACIÓN Se basa en el teorema anterior y en la comprobación que el cambio en el circuito no altera las ecuaciones de Kirchhoff. El proceso se ilustra, paso a paso, en la figura 4.6.1. Aplicando sucesivamente este teorema, se puede seccionar cualquier circuito en dos separados, tal como se ilustra en la secuencia de la figura 4.6.2. El último conductor (Figura 4.6.2.d), se secciona por no llevar ninguna corriente.

137

Figura 4.6.2.Teorema sobre el seccionamiento de circuitos.

4.7 TEOREMAS GENERALIZADOS DE THEVENIN Y NORTON.

Figura 4.7.1.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.

Estos teoremas llevan el nombre de quienes los propusieron por primera vez. Aquí los presentamos en una forma más general que la usual, basándonos en el teorema anterior. Partamos de un circuito que se puede dividir en dos circuitos unidos por dos conductores (Figura 4.7.1.a). Como se vio en el teorema anterior, este circuito se puede seccionar en dos (Figura 4.7.1.b). Ahora, para solucionar estos circuitos resultantes deben solucionarse las ecuaciones de ambos

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simultáneamente. Pero entre las muchas posibilidades que existen, nos interesa la que corresponde a una solución del tipo: Vab = función de las fuentes del circuito A + función de la corriente i. Es decir, a la posibilidad que, mediante las leyes de los circuitos logremos expresar el voltaje Vab, en esa forma. Esta solución se puede interpretar como: Vab = Vab(cuando se hace i = 0) + Vab(cuando se hacen las fuentes del circuito A iguales a cero, pero circula la corriente i). El primer término corresponde al voltaje que aparece entre los terminales del circuito en circuito abierto (i = 0); y el segundo, el voltaje entre estos terminales cuando circula la corriente i y todas las fuentes del circuito quedan anuladas. La fuente Vab se puede, entonces, representar por una fuente de voltaje en serie con el circuito A con todas sus fuentes anuladas (Figura 4.7.2). Este resultado es la base del teorema de Thevenín, que anunciaremos así: siempre que en un circuito de dos terminales el voltaje pueda representarse por una función de las fuentes internas del circuito mas una función de la corriente por los terminales, tal circuito se puede representar por una fuente de voltaje, igual al voltaje entre los terminales en circuito abierto, en serie con el circuito con sus fuentes anuladas.

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Figura 4.7.2.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.

El teorema de Norton es exactamente el mismo, pero refiriéndose a la corriente del circuito. Si se encuentra que la corriente I en los circuitos seccionados anteriores, se puede expresar como: i = función de las fuentes del circuito A + función de Vab = i (producida por las fuentes con Vab = 0) + i (producida por Vab con las fuentes del circuito anuladas) Entonces, la fuente que se usó para seccionar al circuito, se puede representar por una fuente de corriente cuyo valor es la corriente que circula por los terminales cuando estos están en corto, en paralelo con el circuito con sus fuentes anuladas (ver figura 4.7.3).

140

Estos teoremas son fundamentales en los circuitos lineales, pero no se aplican exclusivamente a estos, como generalmente se acepta. Inclusive se aplican también a porciones lineales de circuitos no lineales.

Figura 4.7.3.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.

4.8 TEOREMAS SOBRE SIMETRÍA. Estos teoremas resultan muy útiles para simplificar circuitos que presentan alguna simetría. Sólo veremos dos, que consideraremos básicos. Si un circuito presenta simetría respecto a un plano que lo corta, se puede dividir en dos circuitos completamente independientes (y que deben resultar idénticos por la simetría), seccionando los conductores y elementos cortados por el plano.

141

Figura 4.8.1.Teoremas sobre simetría.

DEMOSTRACIÓN Sea (Figura 4.8.1) un circuito con un plano de simetría S (vista de perfil en la figura). Este plano puede cortar conductores, elementos y nodos del circuito. Cuando corte elementos y nodos del circuito se procede a “partir” los elementos y nodos cortados, tal como se ilustra en la figura 4.8.1. Al final el plano sólo cortará conductores. Al considerar la corriente por dichos conductores cortados por el planos de simetría, encontramos que la simetría establece que todo lo que exista a un lado del plano debe existir y ser idéntico al otro lado del plano, por lo cual la corriente que entra al circuito de la derecha (Figura 4.8.1), i, debe se idéntica a su correspondiente i´, que entra al circuito de la izquierda : i = i , ( Por simetría )

142

Pero como son corrientes por el mismo conductor: i = −i′ (Corrientes en sentidos opuestos ) ∴ i = −i′ = −i ↔ i + i = 2i = 0 ∴i = 0 Se deduce que todas las corrientes por los conductores cortados por el plano de simetría deben ser cero (0) y pueden reemplazarse, dichos conductores, por circuitos abiertos. El proceso se ilustra en la figura 4.8.2. Evidentemente los dos circuitos resultantes tienen que ser completamente idénticos. El otro teorema es el recíproco del anterior. En circuitos con un plano de simetría, los puntos correspondientes se pueden unir sin cambiar el circuito. Para la demostración considérese un circuito igual al propuesto, pero con los dos puntos referidos unidos por un conductor. Al aplicar a este conductor el argumento del teorema anterior, vemos que por este conductor no circula corriente y se puede reemplazar por un circuito abierto, sin modificar la solución del circuito. Se concluye que el circuito con los nodos unidos ó separados es el mismo en cuanto a su solución.

Figura 4.8.2.Teoremas sobre simetría.

143

4.9 TEOREMA DE LA DUALIDAD. A todo el circuito puede hacérsele corresponder otro con las siguientes correspondencias: 1. A todo nodo del primero y su correspondiente ecuación de nodo corresponde una malla del otro circuito y su correspondiente ecuación de malla. 2. A todo malla del primer circuito y a su correspondiente ecuación de malla, le corresponde un nodo del segundo circuito y su correspondiente ecuación de nodo. 3. A toda variable de voltaje del primero corresponde una variable corriente en el segundo. 4. A toda variable corriente del primero corresponde una variable voltaje en el segundo circuito. 5. A todo elemento del primero de ecuación f(v,i), corresponde un elemento del segundo circuito de ecuación f(i,v). DEMOSTRACIÓN Se basa en la consideración que dado un circuito cualesquiera se puede siempre construir su “circuito dual”, como se llama al que cumple las condiciones del enunciado. En efecto, aunque un circuito puede ser tridimensional, siempre es posible tomar uno de sus nodos y “aplanar” todos los conductores que inciden en él, hasta confinarlos en un plano (Figura 4.9.1.a). Una vez confinados los conductores en un plano, se traza una malla de nuevos elementos, uno nuevo por cada elemento que incide en el nodo, encerrando el nodo tratado. Establecemos, por convención, la correspondencia en dirección contraria a la de las agujas del reloj, que es la usada en trigonometría para los ángulos positivos. En la figura 4.9.1.b, mostramos, con una flecha que los une, la correspondencia entre los elementos. Ahora por cada corriente de los conductores del nodo asignaremos un voltaje en el elemento correspondiente, utilizando la misma convención para asignar las polaridades (Figura 4.9.2). Es decir, giramos la flecha de la corriente en sentido contrario de las agujas del reloj; con la dirección de la flecha girada asignaremos el + de voltaje a la punta y el - a la cola de la

144

flecha. Así encontraremos la polaridad de v´1 y de v´2 (Figura 4.9.2)

Figura 4.9.1.Teorema de la dualidad.

De la misma forma asignaremos la variable corriente al nuevo elemento; tomando el voltaje del elemento antiguo representándolo con una flecha dirigida al + y haciéndola girar en la dirección escogida (Figura 4.9.4). Por último si el elemento antiguo estaba caracterizado por una ecuación: f(v1,i1) = 0 El elemento nuevo queda caracterizado por una ecuación: f(i´1,v´1)= 0

Figura 4.9.2.Teorema de la dualidad.

145

Figura 4.9.3.Teorema de la dualidad.

Es decir, por la misma ecuación pero cambiando i1, por v´1 y v1 por i´1.

Figura 4.9.4.Teorema de la dualidad.

De esta forma la ecuación de corrientes del nodo encerrado será idéntica a la ecuación de voltajes de la malla resultante: Ecuación del nodo: Ecuación de la malla:

- i2

+

- v´2

+

i3 v´3

+ +

i1 = v´1 =

0 0

Una vez terminado el proceso con un nodo, se suprime éste con todos sus elementos y se repite el procedimiento con otro de los nodos (Figura 4, 9, 4). Se toman como base para

146

construir la nueva malla los elementos nuevos que ya fueron construidos. Al agotar los nodos del primer circuito, tendremos un nuevo circuito que cumple enteramente las condiciones del enunciado. Este y el que le dio origen se llaman “duales”; tienen las mismas ecuaciones, pero con sus variables intercambiadas y, por ende, las mismas soluciones. Entonces, sí sabemos resolver un circuito, sabemos resolver su dual. Por esta razón es que incluimos este teorema en este grupo dedicado a técnicas de simplificación de circuitos.

4.10 TEOREMA SOBRE EL PASO DE ELEMENTOS A TRAVÉS DE UN NODO Y EL REPARTO DE ELEMENTOS EN UNA MALLA. ENUNCIADO Un elemento se puede pasar a través de un nodo sin modificar la solución de un circuito, convirtiéndose en un elemento similar en todos los conductores que inciden en el nodo, excepto en el conductor donde se encontraba inicialmente, cuyo voltaje sea igual al del elemento inicial y cuya corriente, sea la corriente inicial de la rama donde el nuevo elemento queda. En el sitio de la rama donde estaba el elemento que se “paso” a través del nodo queda un conductor sin voltaje (un cortocircuito). Si la corriente en el elemento que se pasa a través del nodo es conocida, una de las corrientes desconocidas de las otras ramas donde quedó el nuevo elemento debe transformarse en: i x De una rama = I − i x de las otras ramas donde quedó el nuevo elemento

Así se garantiza que siga cumpliéndose la ecuación de nodo. (Figura 4. 10.1 literal d).

147

Figura 4.10.1.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto de elementos en una malla.

DEMOSTRACIÓN El enunciado establece las reglas para que al pasar el elemento a través del nodo no se cambien las ecuaciones de malla que involucran a los elementos incidentes en el nodo. En efecto, al plantear una ecuación de malla no importa donde está el voltaje del elemento, si antes ó después de un nodo; lo que interesa es el valor de ese voltaje y su polaridad. Así se ilustra en la figura 4.10.1.c; donde se muestra como la ecuación de malla queda igual antes y después de pasar el elemento de voltaje V2 a través del nodo 2. En cuanto a la ecuación del nodo, se establece explícitamente que la transformación la debe respetar. Ilustremos ahora algunos casos particulares de esta transformación, llevándola hasta el extremo de hacer

148

desaparecer completamente el conductor donde quedaba el elemento (Figura 4.10.2).

Figura 4.10.2.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto de elementos en una malla.

ENUNCIADO Un elemento puede “repartirse” en varios elementos similares (similares en cuanto a la función que los define) que quedan en paralelo con todos los elementos de una de las mallas que contengan el elemento inicial, sin modificar la solución del circuito, si la corriente se mantiene igual en todos los elementos a la corriente del elemento inicial, y si los voltajes se hacen iguales a los voltajes de los elementos de la malla. DEMOSTRACIÓN Al mantener la corriente igual, no se altera la ecuación de los nodos en los que se conectan los nuevos elementos, pues la misma corriente que se inyecta se saca por el otro elemento

149

añadido. Al hacer el “reparto” del elemento desaparece una ecuación de malla del circuito; para mantenerla, basta tomar el voltaje del último elemento como el voltaje del elemento inicial menos el voltaje de los elementos añadidos. Al hacer lo anterior, se preservan las ecuaciones de Kirchhoff, y el circuito tendrá la misma solución siempre que se preserve la función del elemento “repartido”. Sea una malla como la mostrada en la figura 4.10.3. “Repartamos” el elemento sombreado (Figura 4.10.3 literal b). La ecuación de malla nos da: V = V1 + V 2 + V3 + V 4 Si imaginamos el elemento a “repartir” dividido en cuatro, cada uno con uno de los voltajes de la malla, vemos que entre las parejas de nodos ( a, a , ), ( b, b , ) y ( c, c , ) no hay diferencia de tensión y podemos y podemos unir estos terminales sin alterar la solución del circuito. Cuando se unen estos pares de nodos se complete la “repartición” del elemento (Figura 4.10.4)

Figura 4.10.3.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto de elementos en una malla.

150

Figura 4.10.4.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto de elementos en una malla.

Figura 4.10.5.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto de elementos en una malla.

En la figura 4.10.5 ilustramos algunos casos particulares importantes.

151

4.11 EJEMPLOS. 4.11.1 EJEMPLO 1 Plantear una ecuación diferencial para encontrar ix en el circuito de la figura 4.11.1.1, usando los teoremas sobre transformación de circuitos.

Figura 4.11.1.1.Ejemplos

Supóngase que:

ix (0) = Io

SOLUCIÓN Usando los teoremas 4.2 y 4.4 para simplificar los bloques A y B respectivamente, nos queda el circuito de la figura 4.11.1.2.

Figura 4.11.1.2.Ejemplos

152

El bloque C se puede simplificar usando el teorema 4.2 y el bloque D, empleando las equivalencias de la sección 2.7, como muestra la figura 4.11.1.3.

Figura 4.11.1.3.Ejemplos

El bloque E, puede simplificarse usando el teorema 4.4, como muestra la figura 4.11.1.4.

Figura 4.11.1.4.Ejemplos

Como hay dos fuentes de voltaje en serie, usamos el teorema 4.2 (ver figura 4.11.1.5)

Figura 4.11.1.5.Ejemplos

153

Z eq = (2 + LD ) Z eq i x = V (2 + LD)i x = 30 di x + 2i x = 30 dt di x 2 30 + ix = dt L L

L

Esta última es la ecuación diferencial pedida. 4.11.2 EJEMPLO 2. El mismo problema 4.11.1, usando otros teoremas (Figura 4.11.2.1)

Figura 4.11.2.1.Ejemplos

Usando el teorema 4.10 (paso de elementos a través de un nodo), ver figura 4.11.2.2.

154

Figura 4.11.2.2.Ejemplos

Usando el teorema 4.4 (combinación de elementos en paralelo), ver figura 4.11.2.3.

Figura 4.11.2.3.Ejemplos

Usando el teorema 4.2, se simplifican las dos ramas serie de c-a, como muestra la figura 4.11.2.4.

155

Figura 4.11.2.4.Ejemplos

Empleando nuevamente el teorema 4.10, obtenemos el circuito de la figura 4.11.2.5.

Figura 4.11.2.5.Ejemplos

El bloque A se simplifica usando el teorema 4.4; el bloque B se simplifica usando el teorema 4.2, quedando el circuito como se muestra en la figura 4.11.2.6.

156

Figura 4.11.2.6.Ejemplos

Usando las equivalencias de la sección2.7, para pasar la fuente de voltaje a una fuente de corriente, obtenemos el circuito de la figura 4.11.2.7.

Figura 4.11.2.7.Ejemplos

Dos fuentes de corriente en paralelo equivalen a una sola, en virtud del teorema 4.4, como se muestra en la figura 4.11.2.8.

157

Figura 4.11.2.8.Ejemplos

Usando otra vez las equivalencias vistas en la sección 2.7, obtenemos el circuito de la figura 4.11.2.9.

Figura 4.11.2.9.Ejemplo

Usando la ley de voltajes en la malla, nos queda la siguiente ecuación diferencial: di L x + i x R = 30 dt di x 2 30 + ix = dt L L

4.12 RESUMEN. La primera parte de este capítulo se dedicó a estudiar las transformaciones de los circuitos que no modifican la solución de los mismos. Se cuidaba, entonces, de cambiar los circuitos

158

sin alterar las ecuaciones de Kirchhoff y las ecuaciones de los elementos transformados. El objetivo en último término es simplificar los circuitos, o transformarlos en otros más fáciles de estudiar. La importancia de estas transformaciones se irá poniendo de manifiesto a medida que profundicemos en la solución de circuitos; pero podemos adelantar que su utilidad principal se presenta en el análisis de los circuitos de dos pares de terminales, de los circuitos con inductancias mutuas y transformadores, y de los circuitos polifásicos. En el capítulo precedente habíamos hablado de las corrientes de malla y de los voltajes de nodo, y vimos como las ecuaciones planteadas con estas variables cumplían automáticamente las ecuaciones de nodo y las ecuaciones de malla respectivamente. Pero no habíamos intentado encarar la solución completa de un circuito. Eso es lo que haremos a continuación. Desarrollaremos los métodos conocidos como “corrientes de malla” y “voltajes de nodo” para plantear las ecuaciones completas de un circuito y poder hallar, resolviéndolas, todas las incógnitas de voltaje y corriente de ese circuito. No se trata, entonces, de simplificar el circuito sino de resolverlo tal cual. Evidentemente, una comprobación muy interesante de si un equivalente reemplaza o no a un circuito más completo es lograr soluciones idénticas con el circuito completo y con su equivalente, por eso estos los dos temas, la transformación de circuitos y su solución completa, se complementan y se incluyeron en el mismo capítulo.

4.13 MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Y MÉTODO DE LOS VOLTAJES DE NODO. 4.13.1 INTRODUCCIÓN Por el “método de corrientes de malla” y el “método de voltajes de nodo” se conocen dos poderosas herramientas para

159

el planteamiento de las ecuaciones que permiten resolver un circuito. En este apéndice daremos los fundamentos operativos de estos métodos.

4.13.2 CONCEPTO ELEMENTAL DE CORRIENTES DE MALLA En la figura 4.13.2.1.a se muestra un circuito cuyas corrientes por los elementos (corrientes de rama) se conocen. En la figura 4.13.2.1.b se muestra el mismo circuito, y se observa como las corrientes de rama se pueden representar por unas corrientes que circulan en “mallas”. La corriente por una rama será la suma, con el signo adecuado, de las corrientes de malla que circulan por esa rama. En la figura 4.13.2.1.c tendremos:

Figura 4.13.2.1.Concepto elemental de las corrientes de malla.

i = I1 + I 2 − I 3

Si el voltaje en un elemento se puede especificar como: v = Zi al reemplazar la corriente por el elemento en función de las correspondientes corrientes de malla (asumiendo el elemento de la figura 1.c), tendremos : v = Z ( I1 + I 2 − I 3 )

160

De este modo podemos convertir las ecuaciones de malla de Kirchhoff, en ecuaciones de corriente de malla. Veamos como funciona ese procedimiento en el circuito de la figura 4.13.2.2

.

Figura 4.13.2.2.Concepto elemental de las corrientes de malla.

Ecuaciones de voltaje de Kirchhoff: Malla 1: V1 − Vx = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 Z3 Malla 2:

Malla 3:

0 = I 2 ( Z2 + Z3 + Z4 ) − I1Z3 + I 3Z4

− Vx + V2 = I 3Z4 + I 2 Z4

(1)

(2)

(3)

4.13.3 ECUACIÓN RESTRINGIDA: Notemos que en la fuente de corriente podemos plantear: i = − I1 − I 3 (4) Ahora, si V1 ,V2 , I , Z1 , Z2 , Z3 y Z4 son conocidas, tendremos un sistema de cuatro ecuaciones ((1), (2), (3), (4)) y cuatro incógnitas ( Vx , I1 , I 2 , I 3 ). Este sistema puede resolverse y con él, el circuito. Sin embargo, nótese que Vx puede cancelarse restando las ecuaciones (1) y (3):

161

V1 − Vx + Vx − V2 = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 Z3 − I 3 Z4 − I 2 Z4

Resolviendo: V1 − V2 = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 (Z3 + Z4 ) − I 3Z4

(5)

Las ecuaciones (2), (4) y (5), permitirían encontrar las corrientes de malla.

4.13.4 MODELO GENERAL DE LA ECUACIÓN PARA CORRIENTES DE MALLA. Estas ecuaciones se pueden plantear así: Suma de voltajes no expresables en función de las corrientes, o sea de fuentes y voltajes incógnitos como los que se le asignan a las fuentes de corriente, tomando positivos los que “tienden” a hacer circular la corriente de malla y negativos los que se oponen a ella, sumados en toda la malla = a la corriente de malla de la ecuación multiplicada por la suma de las impedancias que recorre + la suma de los productos de las corrientes de malla que recorren las impedancias en el mismo sentido de la corriente de la malla multiplicadas por la suma de todas las impedancias recorridas en conjunto - la suma de los productos de las otras corrientes de malla que recorren las impedancias comunes en sentido contrario a la corriente de malla por la suma de esas impedancias. Además de estas ecuaciones, se plantean la llamadas “ecuaciones restringidas” en aquellos elementos donde se conoce la corriente: Corriente conocida = la suma de las corrientes de malla que pasan por el elemento de la corriente conocida en su mismo sentido - la suma de las corrientes de malla que pasan por ese elemento en sentido opuesto a la corriente conocida.

162

4.13.5 ESCOGENCIA DE LAS MALLAS: En los circuitos “planares” la escogencia es obvia, se toman los “huecos” formados por el circuito en el plano; en cambio, en los no planares se debe proceder a formar un “árbol”. Un árbol es el conjunto de todos los nodos del circuito (puntos de unión de los elementos), unidos por las ramas suficientes para unirlos a todos sin que se forme ni un circuito cerrado (una malla). En la figura 3 se muestra un árbol para el circuito que hemos estudiado.

Figura 4.13.5.1.Árbol del circuito.

Cualquier otro elemento que se añade debe formar una malla. Precisamente, las corrientes de malla se definen añadiendo las ramas que faltan y haciendo que por cada una de ellas circule una de las corrientes de malla. El proceso se ilustra en la figura 4.13.5.1.

Figura 4.13.5.1.Árbol y mallas del circuito.

Como criterio práctico se deben escoger las mallas tan “pequeñas” como sea posible. Por último, si se desea sólo tener ecuaciones que contengan las corrientes de malla, y no

163

tener en cuenta los voltajes desconocidos, como los asignados a las fuentes de corriente, anule esos voltajes desconocidos sumando ó restando las ecuaciones de malla donde aparezcan.

4.13.6 CONCEPTO ELEMENTAL DE LOS VOLTAJES DE NODO. En la figura 4.13.6.1.a, se muestra un circuito cuyos voltajes de rama (voltajes en los elementos) se conocen. Y en la figura 4.13.6.1.b, se muestra el mismo circuito, pero ahora a cada nodo (punto donde se unen los elementos) se le ha asignado un valor de voltaje con respecto a uno de los nodos, que se escogió como referencia y al cual se le dio el valor de cero (0) voltios como voltaje de nodo. Evidentemente, podemos encontrar el voltaje en cada rama simplemente restando apropiadamente los voltajes de los nodos extremos de esa rama. Por ejemplo, para la rama Z2:

Figura 4.13.6.1 Concepto elemental de los voltajes de nodo.

v 2 = V3 − V5 = 5v − 0v = 5v

y para el voltaje en la fuente de corriente : v6 = V1 − V5 = 3v − 0v = 3v

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y en Z1 :

v1 = V1 − V2 = 3v − (−5v) = 8v

La corriente por una rama tal que permite la ecuación: v rama = Zi rama se pueda expresar en función de los voltajes de nodo de los nodos extremos de la rama así : v V − Vnodo 2 irama = rama = nodo1 (6) Z Z Empleando las relaciones del tipo de la ecuación (6), podemos reescribir las ecuaciones de nodo de Kirchhoff de modo que queden en función de los voltajes de nodo. Veamos el ejemplo de la figura 4.13.6.2.

Figura 4.13.6.2.Concepto elemental de los voltajes de nodo, modelo general de ecuación de nodo.

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I + ix = i j − ik + ii ∴ I + ix =

(V − V ) − (V i

j

− Vi ) (Vi − Vl ) + Z ik Z il

k

Z ij

Para facilitar la escritura de estas ecuaciones es más conveniente emplear “admitancias”, el inverso de las impedancias: 1 Yij = Z ij

∴ I + ix = Vi (Yij + Yik + Yil ) − V jYij − Vk Y jk − VlYil

4.13.7MODELO GENERAL DE LAS ECUACIONES DE NODO. La suma de las corrientes conocidas y desconocidas no expresables en función de los voltajes de nodo, tomando positivas las que entran al nodo y negativas las que salen del nodo = al voltaje del nodo de la ecuación multiplicado por la suma de las admitancias que inciden en el nodo - la suma de los otros voltajes que comparten admitancias con el voltaje del nodo de la ecuación multiplicados por la suma de las admitancias compartidas por los dos nodos. También se deben plantear las “ecuaciones restringidas”, que se plantean en las ramas de voltaje conocido, simplemente recordando que el voltaje de una rama es la resta de los respectivos voltajes de nodo, tomando positivo el voltaje del nodo del terminal positivo y negativo el voltaje del nodo correspondiente al terminal negativo. Como en la fuente de voltaje de la figura 4.13.6.2: 3volt = Vi − Vm Para lograr unas ecuaciones donde las solas incógnitas sean los voltajes de nodo, se deben suprimir las variables que

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corresponden a las corrientes desconocidas, (corrientes desconocidas que no se pueden expresar en función de los voltajes de nodo, como las que asignamos a las fuentes de voltaje), sumando o restando las ecuaciones que contengan esas corrientes incógnitas.

4.14 EJEMPLOS 4.14.1 EJEMPLO DEL MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLA.

Figura 4.14.1.1.Ejemplo del método de corrientes de malla.

Como el circuito es planar, las mallas se pueden escoger como los “espacios” libres en el circuito. Las corrientes de malla se pueden tomar de modo que circulen en el mismo sentido, pero colocaremos una con sentido contrario para más generalidad. En las fuentes de corriente es común que se considere desconocido el voltaje (aunque puede darse perfectamente el caso de conocerse tanto la corriente como el voltaje); para mostrar esa posibilidad colocamos el voltaje Vx , en la fuente de corriente. Así, las ecuaciones de malla son:

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Malla (1) → 10 = 2 + 0.1

d 1 + dt 0.01

i1 −

1 0.01

1 1 i2 − 0.01 0.01 Malla (3) → 0 − V x = (1 + 2 + 3) i3 + 2 i1 + 3 i 2

Malla (2) → 0 − V x = 4 + 3 +

i 2 + 2 i3 i1 + 3 i3

Ecuación de restricción: 2 = −i2 − i3 Ahora introducimos el concepto de impedancia generalizada: d 1 1 2 + 0 .1 + i1 = 2 + 0.1D + i1 = Z 11i1 dt 0.01 0.01D Todo el operador que actúa sobre i1, lo llamaremos Z11. De la misma forma: 1 i2 = Z 12 i 2 2 i3 = Z 13 i3 0.01 4+3+

1 i2 = Z 22 i2 0.01 3i3 = Z 23i3

1 i1 = Z 21 i1 0.01 (1 + 2 + 3)i3 = Z 33i3

2i1 = Z 31i1

3i 2 = Z 32 i2

Las ecuaciones quedan: 10 = Z11i1 − Z12i2 + Z13i3 − V x = Z 22 i2 − Z 21 i1 + Z 23 i3

(1) (2)

− V x = Z 33 i3 + Z 31 i1 + Z 32 i 2 − 2 = i2 + i3

(3) (4)

Restando (2) - (3), podemos cancelar Vx de las ecuaciones, de modo que quedan: 10 = Z 11 i1 − Z 12 i2 + Z 13 i3 (1)´ 0 = (Z 22 − Z 32 )i 2 − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 23 − Z 33 ) i3 (2)´ − 2 = i2 + i3 (3)´

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Como de (3)´ podemos despejar i3 − 2 − i2 = i3 , la reemplazamos en (1)´ y (2)´: 10 = Z 11 i1 − Z 12 i2 + Z 13 (−2 − i 2 ) (1)´´ 0 = (Z 22 − Z 32 ) i 2 − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 23 − Z 33 )[− 2 − i2 ] (2)´´ Entonces: 10 + 2 Z 13 = Z 11 i1 − (Z 12 + Z 13 )i 2 2(Z 23 − Z 33 ) = − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )i2 De (1)´´

i2 =

(1)´´ (2)´´

Z 11 i1 − 10 − 2Z 13 − ( Z 12 + Z 13 )

Reemplazamos en (2)´´:

2(Z 23 − Z 33 ) = − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 ) 2(Z 23 − Z 33 ) = (− Z 21 − Z 31 ) +

Z 11 i1 − 10 − 2Z 13 ( Z 12 + Z 13 )

(Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )Z11 Z 12 + Z 13

i1 −

( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )(10 + 2 Z 13 ) ( Z 12 + Z 13 ∴ i1 =

2( Z 23 − Z 33 )( Z 12 + Z 13 ) + ( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )(10 + Z 13 ) ( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 ) Z 11 − ( Z 21 + Z 32 )( Z 12 + Z 13 )

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4.14.2 EJEMPLO DEL MÉTODO DE VOLTAJES DE NODO

Figura 4.15.2.1.Ejemplo del método de voltajes de nodo.

Nodo (1) → ix = V1

Nodo (2) → −2 = V2

Nodo (3) → 2 = V3

Nodo (4) → 0 = V4

1 1 − V2 3 3

1 1 1 + − V1 d 3 3 1 dt 1 1 − V4 d d 2 2 dt dt 1 1 1 + − V3 d d 2 2 2 dt dt

Ecuación de restricción: V1 = 10 voltios Como ix sólo aparece en la primera ecuación, basta con no considerar esta ecuación para cancelar esa incógnita. En efecto, si en un sistema de ecuaciones simultáneas una de ellas contiene una incógnita que no tienen las demás esa ecuación es independiente de las demás ecuaciones y estas se pueden resolver por separado. Al final, después de resolver el

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sistema formado por el resto de las ecuaciones, puede utilizarse esta ecuación para hallar la incógnita que restaba. Las ecuaciones serán: − 2 = V2Y22 − V1Y21 (1)´ 2 = V3Y33 − V4Y34 (2)´ 0 = V4Y44 − V3Y43 (3)´ 10 = V1 (4)´ La solución será:

V1 = 10 voltios V2 =

V3 =

10Y21 − 2 Y22

Y44 V4 Y43

Y34 V4 = − 2 + Y33V3 = − 2 + Y33 (

Y44 V4 ) Y43

∴ V4 =

2Y43 Y44Y33 − Y34Y43

∴ V3 =

Y44 Y 2Y43 Y 2 V4 = 44 = 44 Y43 Y43 (Y44Y33 − Y34Y43 ) 1 (Y44Y33 − Y34Y43 )

Reemplazado los valores de las admitancias:

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− 2 + 10 V2 =

1 3

1 1 + 3 D 10 −2+ 4 3 = V2 = D+3 D+3 3D D 4D ∴ V2 = D+3

Esta solución se interpreta así: 4D ∴ V2 = D+3 ( D + 3) V2 = D 4 dV2 d4 + 3V 2 = =0 dt dt

La solución de esa ecuación diferencial es la respuesta. EJERCICIOS PROPUESTOS: ver apéndice B.

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