Quantenphysik in der Nanowelt

Hans Lüth

Quantenphysik in der Nanowelt Schrödingers Katze bei den Zwergen

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Professor Dr. Dr. h.c. Hans Lüth Forschungszentrum Jülich GmbH Institut für Bio- und Nanosyteme 52425 Jülich [email protected]

ISBN 978-3-540-71042-4

e-ISBN 978-3-540-71043-1

DOI 10.1007/978-3-540-71043-1 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Für Roswitha

Vorwort

Es gibt eine große Zahl hervorragender Lehrbücher über Quantenmechanik und Quantenphysik. Fast all diesen Büchern ist gemeinsam, dass die Quantenmechanik dort als eine der wichtigsten und erfolgreichsten Theorien zur Lösung von Problemen dargestellt wird. Dies ist ganz im Sinne der meisten Physiker, die bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts in einer „ersten Revolution“ die Quantenmechanik mit überwältigendem Erfolg nicht nur auf die Atomphysik sondern auf fast alle Wissenschaftszweige bis in die Chemie, Biologie oder die Astrophysik hinein anwendeten, ohne über grundsätzliche, offene Fragen innerhalb der Theorie selbst nachzudenken. Diese Situation hat sich seit den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts geändert. Seitdem gibt es in der Quantenoptik, in der Atom- und Ionenphysik sowie in der Nanoelektronik Experimente, die Entscheidungen über Grundannahmen der Quantenmechanik zulassen, die also die Quantentheorie an sich berühren und auf den Prüfstand stellen. Solche Fragestellungen, wie z. B. nach der Bedeutung des Begriffs der Verschränkung sind darüber hinaus grundlegend für sich rasant entwickelnde Gebiete wie Quantenteleportation, Quantenkryptographie oder Quanteninformation allgemein. Von dieser „zweiten Quantenrevolution“, wie Alain Aspect, einer der Pioniere des Gebiets, diese Weiterentwicklung des quantenphysikalischen Denkens nennt, erwartet man nicht nur ein tieferes Verständnis der Quantenphysik selbst, sondern auch eine ingenieurmäßige Anwendung der Grundprinzipien wie Teilchen-Welle-Dualismus oder Verschränkung u. ä. Man spricht in diesem Zusammenhang manchmal schon von Quantum-Engineering. Vor diesem Hintergrund habe ich das vorliegende Buch geschrieben. Die speziellen Quantenphänomene an sich stehen mehr im Vordergrund des Interesses als der mathematische Formalismus. Dabei bevorzuge ich eine mehr anschauliche und oft intuitive Beschreibung dieser Phänomene, und dies gestützt auf neueste experimentelle Befunde und Ergebnisse aus der Forschung an nanoelektronischen Systemen. Auch die Verbindungen zu anderen Gebieten wie der Elementarteilchenphysik, der Quantenelektronik, der Quanteninformation oder Anwendungen der Kernspinresonanz in der Medizin werden gestreift. Beim Formalismus beschränke ich mich im Wesentlichen auf die ersten Näherungsschritte, die für Experimentalphysiker oder Ingenieure bei der An-

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Vorwort

wendung der Theorie oder einer größenordnungsmäßigen Abschätzung experimenteller Ergebnisse von Interesse sind. Andererseits wird die Diracsche Bra-Ket-Formulierung quantenmechanischer Ausdrücke anschaulich in Analogie zu dreidimensionalen Vektoren eingeführt und verwendet. Ähnliches gilt für die Kommutator-Algebra, die im Grunde nur einfaches Addieren und Subtrahieren von Symbolen (Operatoren) verlangt. Demnach werden an mathematischer Kenntnis nur einfachste Funktionen und Differentialgleichungen sowie Grundkenntnisse der Matrizenalgebra vorausgesetzt. Ich entschuldige mich bei meinen mehr mathematisch interessierten Kollegen für manchmal fehlende mathematische Schärfe. Statt einer axiomatischen Einführung wesentlicher Begriffe und Gleichungen habe ich es vorgezogen, die „Erfindung“ wichtiger Grundgleichungen wie der Schrödinger-Gleichung oder der mathematischen Ansätze zur Quantisierung von Feldern durch physikalisch naheliegende Gedankengänge plausibel zu machen. Das Buch ist aus Manuskripten zu Vorlesungen entstanden, die ich vor Physik- und Elektrotechnikstudenten über Quantenphysik und Nanoelektronik gehalten habe. Dabei sind natürlich wesentliche Erweiterungen durch meine eigene wissenschaftliche Tätigkeit im Bereich der Quantenelektronik miteingeflossen. Hierbei hat vor allem die Betreuung von Doktoranden in diesem Arbeitsgebiet und die vielen Gespräche mit ihnen großen Einfluss auf die Art der Darstellung gehabt; ihnen muss ich danken für diese Diskussionen, die mir selbst eine tiefere Einsicht in dieses faszinierende Gebiet der Quantenphysik ermöglichten. Mein Dank gilt weiterhin meinen früheren Mitarbeitern Arno Förster, Michel Marso, Michael Indlekofer und Thomas Schäpers, die in vielen „heißen“ Auseinandersetzungen zur Klärung mancher Fragen beigetragen haben. Für Hilfe bei der Fertigstellung der Abbildungen danke ich Wolfgang Albrecht und für das Schreiben des Manuskriptes und manchen klugen Hinweis auf zu behebende Inkonsistenzen Beate Feldmann. Sie beide haben in der Endphase der Fertigstellung des Buches vor allem ermutigend auf mich eingewirkt. Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Frau Roswitha, die mich nicht nur in jeder Weise bei der Arbeit am Buch unterstützt hat, sondern auch den Untertitel „Schrödingers Katze bei den Zwergen“ erfunden hat. Dieser Titel bringt treffend zum Ausdruck, dass das Buch sich bemüht, die tieferen physikalischen und auch philosophischen Zusammenhänge (Paradigma: Schrödingers Katze) darzulegen, und dies vor allem im Zusammenhang mit der Nanowelt, den „Zwergen“. Sie konnte diesen Aspekt des Buches nach einigen Diskussionen anschaulich in Worte fassen, die mir fehlten. Jülich und Aachen, Juli 2008

Hans Lüth

Inhaltsverzeichnis

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Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Allgemeine und historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bedeutung für Wissenschaft und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Philosophische Implikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Einige grundlegende Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Photoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beugung von Materieteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Teilcheninterferenz am „Doppelspalt“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Doppelspaltexperimente mit Elektronen . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Teilcheninterferenz und „Welcher Weg“-Information . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Teilchen-Welle-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Die Wellenfunktion und ihre Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Wellenpaket und Teilchengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Unschärfe-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ein Ausflug in die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Observable, Operatoren und Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . 3.6 Einfache Lösungen der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 „Eingesperrte“ Elektronen: Gebundene Zustände . . . . . 3.6.2 Elektronen strömen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Elektronen laufen gegen eine Potentialstufe . . . . . . . . . . 3.6.4 Elektronen tunneln durch eine Barriere . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5 Resonantes Tunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Einzelektronen-Tunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Quantenmechanische Zustände im Hilbert-Raum . . . . . . . . . 4.1 Eigenlösungen und Messung von Observablen . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vertauschbarkeit von Operatoren: Kommutatoren . . . . . . . . . . 4.3 Darstellungen quantenmechanischer Zustände und Observabler

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4.3.1 Vektoren von Wahrscheinlichkeitsamplituden und Matrizen als Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Drehungen des Hilbertraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Quantenzustände in Dirac-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Quantenzustände mit kontinuierlichem Eigenwertspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik . . . . . . . . 4.4 Wir spielen mit Operatoren: Der Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Der klassische harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Trepp auf – Trepp ab: Stufenoperatoren und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Der anharmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

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Drehimpuls, Spin und Teilchenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Die klassische Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Der quantenmechanische Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Rotationssymmetrie und Drehimpuls; Eigenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Kreisende Elektronen im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . 5.4.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Der Hamilton-Operator mit Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Drehimpuls und magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Eichinvarianz und Aharanov-Bohm-Effekt . . . . . . . . . . . 5.5 Der Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Stern-Gerlach-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Der Spin und sein 2D-Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Spin-Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Teilchenarten: Fermionen und Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Zwei und mehr Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Spin und Teilchenarten: Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Zwei Welten: Fermi- und Bosestatistik . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Der Elementarteilchenzoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Drehimpulse in Nanostrukturen und bei Atomen . . . . . . . . . . . 5.7.1 Künstliche Quantenpunkt-Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Atome und Periodensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Quantenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Näherungslösungen für wichtige Modellsysteme . . . . . . . . . . . 6.1 Teilchen in einem schwach veränderlichen Potential: Die WKB-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Anwendung: Tunneln durch eine Schottky-Barriere . . . 6.2 Geschicktes Erraten einer Näherung: Die Variationsmethode . 6.2.1 Beispiel des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . .

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6.2.2 Der Grundzustand des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Moleküle und gekoppelte Quantenpunkte . . . . . . . . . . . . 6.3 Kleine stationäre Potentialstörungen: Zeitunabhängige Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Störung entarteter Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Anwendungsbeispiel: Der Stark-Effekt im Halbleiter-Quantentopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Übergänge zwischen Quantenzuständen: Zeitabhängige Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Periodische Störung: Fermis Goldene Regel . . . . . . . . . . 6.4.2 Elektron-Licht-Wechselwirkung: Optische Übergänge . . 6.4.3 Optische Absorption und Emission in einem Quantentopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Dipolauswahlregeln für Drehimpulszustände . . . . . . . . . 6.5 Übergänge in 2-Niveau-Systemen: Die Rotationswellen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 2-Niveau-Systeme in Resonanz mit elektromagnetischer Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Umklappen von Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Kernspin-Resonanz in Chemie, Biologie und Medizin . . 6.6 Streuung von Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Streuwellen und differentieller Streuquerschnitt . . . . . . . 6.6.2 Streuamplitude und Bornsche Näherung . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Coulomb-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Streuung an Kristallen, an Oberflächen und an Nanostrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 Inelastische Streuung an einem Molekül . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Superposition, Verschränkung und andere Absonderlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Superposition von Zuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Streuung zweier gleicher Teilchen aneinander: ein spezieller Superpositionszustand . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Die Bellschen Ungleichungen und ihre experimentelle Überprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 „Welcher-Weg-Information“ und Verschränkung: ein Gedankenexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Reine und gemischte Zustände: Die Dichtematrix . . . . . . . . . . . 7.3.1 Quantenmechanische und klassische Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Quantenumwelt, Messprozess und Verschränkung . . . . . . . . . . . 7.4.1 Subsystem und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.4.2 Offene Quantensysteme, Dekohärenz und Messprozess . 7.4.3 Schrödingers Katze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Superpositionszustände für Quantenbits und Quantenrechnen 7.5.1 Gekoppelte Quantenpunkte als Quantenbits . . . . . . . . . 7.5.2 Experimentelle Realisierung eines Quantenbits mit Quantenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Felder und Quanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Ingredienzien einer Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . 8.2.1 Was sind Photonen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 2-Niveau-Atom im Lichtfeld: Spontane Emission . . . . . . 8.2.3 Lichtwellen beugen Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Noch einmal: „Welcher Weg“-Information und Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Der Casimir-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Das quantisierte Schrödinger-Feld massiver Teilchen . . . . . . . . 8.3.1 Das quantisierte fermionische Schrödinger-Feld . . . . . . . 8.3.2 Feldoperatoren und zurück zur EinteilchenSchrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Elektronen in Kristallen: Zurück zur Einteilchennäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Das Bändermodell: Metalle und Halbleiter . . . . . . . . . . . 8.4 Quantisierte Gitterwellen: Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Phonon-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Absorption und Emission von Phononen . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Feldquanten vermitteln Kräfte zwischen Teilchen . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Grenzflächen und Heterostrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

B

Präparation von Halbleiter-Nanostrukturen . . . . . . . . . . . . . . 457

Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477