Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría Analítica 2018

Trabajo Práctico N° 5: ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique al menos uno de los axiomas que no se cumple: a) con las operaciones usuales en , suma y producto por un escalar real. b) , con la suma definida por y el producto de un escalar por un vector está definido por . c)

con las operaciones usuales entre matrices, suma y producto por un escalar real.

Ejercicio 2: Sabiendo que es un espacio vectorial real y cada uno de los elementos mostrados son vectores de ese espacio vectorial o números reales, complete la demostración de la siguiente propiedad utilizando axiomas o propiedades de espacios vectoriales. Propiedad: Si

es un espacio vectorial real, entonces para todo

Demostración: Sea

,

.

. Justificación

Ejercicio 3: Sabiendo que es un espacio vectorial real, y cada uno de los elementos mostrados son vectores de ese espacio vectorial o escalares reales, demuestre que: 



a) 0 a  0 



b) (1) a  (a) 



c) (k ) a  (ka) 1

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Ejercicio 4: Siendo espacio vectorial con la suma y producto por un escalar usual y el subconjunto de : a) Represente a en un sistema de coordenadas. b) Verifique con ejemplos, en forma geométrica, que los vectores de cumplen la condición necesaria y suficiente para subespacios. c) Demuestre, utilizando la condición necesaria y suficiente para subespacios, que es un subespacio de . Ejercicio 5: Dado el subconjunto de . a) Represente a en un sistema de coordenadas. b) Verifique geométricamente que S no es subespacio de . c) Muestre que no verifica la condición necesaria y suficiente para subespacios. Ejercicio 6: Sea el espacio vectorial real indicado en cada caso con las operaciones usuales y sea un subconjunto del mismo. Justifique, utilizando la condición necesaria y suficiente, si es un subespacio vectorial de . a) y b) y c) y d) y e) y f) y Ejercicio 7: Pruebe que el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo , es un subespacio vectorial de .

,

Ejercicio 8: Considere el conjunto , siendo , vectores del espacio vectorial . Responda justificando: a) ¿Es posible expresar al vector como combinación lineal de los vectores del conjunto ? b) ¿Qué forma tendrá un vector , si se sabe que es combinación lineal de los vectores del conjunto ? c) ¿Es posible halla un vector que no sea combinación lineal de los vectores del conjunto ? En caso afirmativo escribe un ejemplo. d) ¿Es un conjunto de vectores linealmente independiente?

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Ejercicio 9: En el espacio vectorial

, escriba, si es posible, al vector

combinación lineal de los vectores del conjunto Ejercicio 10: Considere el subconjunto

del espacio vectorial

como .

.

a) Halle el conjunto de los vectores que son combinación lineal de los elementos de . b) Proponga un ejemplo de un vector que pertenezca a y otro de un vector que no pertenezca. c) Represente a en un sistema de ejes cartesianos. d) Considere un elemento cualquiera de y grafíquelo expresado como combinación lineal de los vectores de . e) Demuestre que el conjunto es un subespacio de . Ejercicio 11: Determine el espacio generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores. En los ítems a) y b) interprete geométricamente. a) En : i. ii. b) En

: i. ii. iii.

c) En

: i.

Ejercicio 12: Siendo un espacio vectorial con las operaciones usuales, para cada subespacio vectorial halle un conjunto generador. a) es el plano de ecuación en . b) es el conjunto de las matrices triangulares inferior de orden dos, . c) , . d) , . e) f) , . Ejercicio 13: a) Dada la recta en de ecuación , indique dos conjuntos distintos que la generen y que tengan distinta cantidad de elementos. 3

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b) Dada la recta en de ecuación , indique dos conjuntos distintos que la generen pero que tengan la misma cantidad de elementos. Ejercicio 14: Determine si los conjuntos de vectores dados en cada espacio vectorial indicado son linealmente independientes o linealmente dependientes. En este último caso exprese uno de ellos como combinación lineal de los demás. a) en . b) en . c) en . d)

en

.

Ejercicio 15: Dado el conjunto en : a) Determine para qué valor o valores de el conjunto resulta linealmente independiente y para cuáles linealmente dependiente. b) ¿Qué interpretación geométrica puede hacer si el conjunto es linealmente independiente? ¿Y en el caso de ser linealmente dependiente? Ejercicio 16: Determine si los siguientes conjuntos son base de cada espacio vectorial. Justifique a) {(2, 1); (3, 0)} para , con las operaciones usuales. b) {(3, 1, -4); (2, 5, 6); (1, 4, 8)} para , con las operaciones usuales. Ejercicio 17: Por simple inspección determine si los siguientes conjuntos son base para el espacio vectorial enunciado en cada caso. Conjunto

Es/no es base de

para para para

el plano

de

.

para para Ejercicio 18: Determine una base y la dimensión del subespacio cada caso. a) , es la recta de ecuación . b) c) d)

, , ,

es el plano de ecuación es el plano de ecuación

del espacio vectorial

dado en

. . . 4

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e) f) g) h)

, , . , . , es el subconjunto de los polinomios de la forma donde .

Ejercicio 19: Siendo , proponga ejemplos teniendo en cuenta las condiciones pedidas en cada caso. a) Un subconjunto de vectores linealmente independiente pero no base de . b) Una base no canónica de . c) Un subconjunto de vectores que genere a pero no sea base de . d) Un subespacio de de dimensión 1. e) Un subespacio de de dimensión 2. f) Un subespacio de de dimensión 3. g) Un subconjunto de que no sea subespacio. Ejercicio 20: Dado el vector en : a) Represente gráficamente al vector en como combinación lineal de los vectores de la base canónica de . b) Exprese al vector como combinación lineal de los vectores de la base . Represente gráficamente en el mismo plano. c) Determine los vectores de coordenadas y . Ejercicio 21: Halle las coordenadas del vector a) , b) ,

en la base de .

de

Ejercicio 22: a) El vector de coordenadas de un vector 1, 0, 4 es =223. Encuentre el vector

b) Sea vector de coordenadas del vector de en la base

del espacio vectorial indicado. .

de en la base y sus coordenadas en la base canónica.

una base ordenada de

y sea

el

en la base . Encuentre el vector de coordenadas .

Ejercicio 23: Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Sean vectores de un espacio vectorial . Si es combinación lineal de y , entonces es combinación lineal de , y . 5

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b) Si es un conjunto linealmente dependiente en el espacio vectorial , entonces es combinación lineal de y . c) Si son dos vectores no colineales en , entonces generan un plano en . d) Un conjunto de vectores de es linealmente dependiente, sí y solo sí, al menos un vector de puede expresarse como combinación lineal de los demás vectores. e) Cada subespacio de un espacio vectorial admite un único conjunto que lo genere y sea linealmente independiente. f) El conjunto de es un conjunto linealmente dependiente. g) Dos vectores no paralelos y no nulos de generan un plano de h) Un conjunto formado solamente por un vector no nulo de , genera una recta de . i) Todos los conjuntos que generan a tienen la misma cantidad de elementos. j) Si un conjunto de vectores de , es linealmente independiente, entonces ningún vector de puede expresarse como combinación lineal de los demás vectores de S. k) Si el conjunto genera al espacio vectorial , entonces el conjunto no genera a .

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