PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 5  1.­ Dos masas puntuales m1 y m2 están separadas por una barra sin masa de longitud  L:  a)  Deducir  una  expresión  para  el  momento  de  inercia  del  sistema  respecto  a  un  eje  perpendicular a la barra que pasa a través de ésta por un punto situado a la distancia  x1 de la masa m1.  b)  Calcular  dI/dx  y  demostrar  que  es  mínimo  cuando  el  eje  pasa  por  el  centro  de  masas del sistema. 

 

a)

2 b) 2

2

Condición de mínimo: 0

2

2

0

que es la coordenada del centro de masas si se toma el origen en m1. Esto es, x1 = 0 y x2 = L, con lo cual resulta:

Es decir, si el eje de giro pasa por el centro de masas entonces el momento de inercia es mínimo.  

 

2. Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo de masa M y radio R con respecto a:  a) Un eje perpendicular que pase por su centro.  b) Un eje perpendicular que pase por el borde.  c) Un eje que coincida con un diámetro    a) Por simetría, como elemento de volumen usaremos, un anillo de radio r, de grosor dr. Así, si llamamos h a la altura del disco, el volumen del anillo diferencial es: 2

2

Z

dr

R

r h

Y

X

Aplicamos la definición de momento de inercia por el eje Z, sabiendo que 2 Y como

: 1 2

2

es el volumen de todo el disco

, tenemos: 1 2

b) Aplicando el teorema de Steiner: Como el eje de giro pasa ahora por el borde: 1 2 c) Por su simetría

3 2

y como suponemos el disco delgado 2

2

, luego: 1 4

Naturalmente, esta ecuación es válida para cualquier eje de giro que coincida con un diámetro.

3. Hallar el momento de inercia y el radio de giro de una esfera maciza homogénea de  masa M y radio R respecto a uno de sus diámetros.    Como volumen diferencial tomaremos una rebanada circular de grosor dx y radio y.

Según hemos visto en el problema anterior, el momento de inercia de un disco respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro (aquí el eje X ) es

.

Ahora: 1 2

1 2

1 2

Ésta ultima igualdad la obtenemos debido a que:

Así pues, integrando sobre todo el eje X obtenemos que:

2 2

2 2

|

2 2 2

5 1

3 1 5

2 3

2

2 8 15

2 2 5

4 3

2

2 8 15

2 5

3 24 60

4. Dos bloques están conectados por una cuerda que pasa por una polea de radio R y  momento  de  inercia  I.  El  bloque  de  masa  m1  desliza  sobre  una  superficie  horizontal  sin  rozamiento;  el  bloque  de  masa  m2  está  suspendido  de  la  cuerda.  Determinar  la  aceleración  a  de  los  bloques  y  las  tensiones  T1  y  T2  suponiendo  que  la  cuerda  no  desliza sobre la polea. 

  Le aplicamos la 2º ley de Newton a cada uno de los cuerpos por separado: Bloque de masa m1: Puesto que no hay rozamiento,

que no contribuye al

movimiento. Pero T1 contribuye al movimiento por lo que : 1

Bloque de masa m2: Según la 2ª ley de Newton. 2 Hemos supuesto que

de modo que la aceleración a será

descendente pero positiva (su signo coincide con el del peso). De [1] + [2] obtenemos:

Polea: La polea no se desplaza pero rota. Por lo que le aplicamos la 2ª ley de Newton para la rotación.

Donde se ha utilizado:

Despejamos y finalmente nos queda que:

De este modo sustituyendo la aceleración en [1] y [2] obtenemos:

5.­  Una  escalera  de  longitud  L  y  masa  M se  sitúa en posición  casi  vertical  contra una  pared. Una persona de pie sobre un peldaño tiene su centro de masas a la altura de la  parte  más  alta  de la escalera. Al inclinarse  ligeramente,  la escalera  comienza a  girar  alrededor de su base alejándose la parte superior de la pared. Determinar la relación  entre  la  velocidad  de  la  persona  agarrada  a  la  escalera  cuando  llega  al  suelo  y  la  velocidad  que  tendría  si  saltara  inmediatamente,  en  función  de  la  relación  M/m  siendo m la masa de la persona. 

2

Si saltara inmediatamente tendría una velocidad dada por la caída libre:

Si no saltara y suponemos que cae junto con la escalera, la energía potencial inicial del sistema se convertiría en energía cinética de rotación de la escalera y energía de traslación de la persona. 1 2

2

1 2

1

(el CM de la escalera se ha supuesto en el centro de la misma a L/2 del suelo). Donde I es el momento de inercia de la escalera con respecto de un eje perpendicular que pasa por un extremo (la base de la escalera). 1 3 Ahora:

por lo que, sustituyendo en [1]:

2

2

2

2

3

3

Y como:

2

3

2

1

3

Por tanto, el golpe será mayor si no salta puesto que esta velocidad es mayor que la de caída libre (además puede que la escalera le cayera encima...).  

 

6.­ Un cilindro uniforme de masa M y radio R descansa sobre un bloque de masa m, el  cual  a  su  vez  se  encuentra  en  reposo  sobre  una  mesa  horizontal  sin  rozamiento.  Si  aplicamos  al  bloque  una  fuerza  horizontal  F,  éste  acelera  y  el  cilindro  rueda  sin  deslizamiento:  a) Determinar la aceleración del bloque.  b)  Determinar  la  aceleración  angular  del  cilindro.  ¿Es  horaria  o  antihoraria  la  rotación del cilindro?  c) ¿Cuál es la aceleración lineal del cilindro respecto a la mesa? Tomar como sentido  el mismo que indica la dirección de F.  d) ¿Cuál es la aceleración del cilindro respecto al bloque? 

a) En el bloque actúan dos fuerzas: F (hacia la derecha) y f (hacia la izquierda) que es la fuerza de rozamiento con el cilindro por lo que según la 2ª ley de Newton tenemos: 1 En el cilindro sólo actúa la fuerza de rozamiento pero hacia la derecha 2 La fuerza de rozamiento f hará que el cilindro gire en sentido contrario a las agujas del reloj luego aplicamos la 2ª ley de Newton de la rotación al cilindro donde el par rotador sólo lo ejerce la fuerza de rozamiento f: 3 Siendo:

Ya que el cilindro rueda encima del bloque,

es la aceleración relativa del cilindro

respecto al bloque, donde aB es la aceleración del bloque respecto de la mesa y aC es la aceleración del cilindro respecto de la mesa.

El momento de inercia del cilindro es: 1 2

4

Sustituyendo la 4 y la 2 en la [3] obtenemos la siguiente ecuación: 1 2

3

5

Ahora sustituyendo la ecuación 5 y la 2 en la [1], resulta: 3

3

3

3

3

3

b) La aceleración angular del cilindro es: 3

2

3

3

3

que es antihoraria ya que el par que ejerce la fuerza de rozamiento sobre el cilindro es antihotrario. c) La aceleración del cilindro respecto de la mesa (aceleración absoluta) es según la ec. [5]: 3

3

d) La aceleración respecto al bloque es: 2 3 hacia la izquierda, ya que el cilindro acabaría cayendo por la izquierda. Lo importante en este problema es entender que el cilindro rueda antihorario sobre del bloque y sobre él se desplaza hacia la izquierda. Sin embargo, el centro de masas del cilindro se desplaza hacia la derecha respecto de la mesa.  

 

7.­  Una  bolita  inicialmente  en  reposo  en  el  punto  más  alto  de  una  gran  esfera  fija,  comienza  a  rodar  sin  deslizamiento  por  la  superficie  de  la  esfera.  Determinar  el  ángulo desde el polo de la esfera hasta el punto donde la bolita pierde el contacto con  aquella. El radio de la bolita es de 1 cm y el de la esfera 80 cm.   

  Sea θ el ángulo en el cual la bolita pierde el contacto. La altura que hay desde el punto más alto de la esfera hasta el punto donde se pierde el contacto la llamaremos h y cumple:

mg cos

Por otro lado la bolita perderá el contacto cuando la 2

m

θ

v R

fuerza centrífuga que adquiere al moverse por la esfera grande compense la componente del peso dirigida hacia el centro de la esfera. Es decir: cos

cos

Ahora aplicamos la conservación de la energía. La energía potencial de la bolita en el punto más alto respecto del punto de pérdida de contacto (que es el origen de energías potenciales) es: cos En el punto de pérdida de contacto, esta energía potencial se transformará en energía cinética de traslación

y en energía cinética de rotación 1 2

.

1 2

donde r es el radio de la bolita y el momento de inercia de la bolita (esfera) es:

2 5 Por la conservación de energía: 1 2

1 2 2 5

Simplificando entre la m y eliminando denominadores: 10

1

cos

5

cos

2

cos

10

17 cos

cos

10 17

54° Se observa que θ no depende ni del radio r de la bolita, ni de su masa m, ni del radio R de la esfera grande. Si comparamos este valor

54° con el valor obtenido

90

41,81

en el problema 14 del tema 3, vemos que en dicho problema θ era menor ¿por qué?.  

 

48,19°

8.­  Un  cilindro  de  25  kg  de  masa  se  suelta  por  un  plano  inclinado.  El  diámetro  del  cilindro  es  de  0.6  m.  Si  el  cilindro  rueda  sin  deslizar,  calcular  la  velocidad  del  eje  C  después de recorrer 1.6 m sobre el plano inclinado. Además, determinar la fuerza de  rozamiento que actúa sobre el cilindro. 

Para determinar la velocidad en la parte final del plano utilizamos el teorema de conservación de energía. La energía potencial que posee el cilindro en la parte alta, se transformará en energía cinética de rotación y de translación. La fuerza de rozamiento no produce trabajo ya que actúa con velocidad nula durante todo el desplazamiento debido a la condición de no deslizamiento. El cilindro tiene siempre un punto en contacto con velocidad nula respecto al plano. 25 9.8 sin 30 1.6 1 2

1 2

1 25 2

1 1 0.6 25 2 2 2

2 0.6

y la velocidad angular

En la formula anterior hemos sustituido el momento de inercia . Igualando las energías: 25 9.8 sin 30 1.6

25

25

3.23

Despejamos la velocidad y obtenemos que:

. .

/

Como hemos dicho, en un sistema rotante en condición de rodadura (sin deslizar), la fuerza de rozamiento no produce trabajo (calor) pero se transforma en energía cinética de rotación. La fuerza de rozamiento se emplea únicamente en hacer que el cilindro gire, luego:

1.6

1 2

1 2

1 25 2

0.3 1.6

3.23 0.3

40.8

Para calcular dicha fuerza de rozamiento no se ha necesitado conocer el coef. de rozamiento. Éste sería útil para conocer cuál sería la fuerza de rozamiento máxima posible.

9.­ Un cilindro homogéneo de masa   y radio   rueda sin deslizamiento por un plano  inclinado    hacia  abajo.  Determinar  la  fuerza  de  rozamiento  y  la  aceleración  del  centro de masas. Si el coeficiente de rozamiento estático es  , determinar el ángulo  máximo de inclinación del plano de modo que el cilindro descienda sin deslizar. 

Este problema podría resolverse como el anterior, utilizando el principio de conservación de la energía para obtener la velocidad del cilindro después de haber recorrido una cierta distancia sobre el plano y entonces, mediante cinemática, obtener la aceleración. Sin embargo, podemos hallar directamente la aceleración aplicando la 2ª ley de Newton de traslación y rotación: La de 2ª ley de Newton de la traslación nos dice que la resultante de las fuerzas aplicadas al cilindro en dirección del plano es igual a la masa del cilindro por su aceleración (de su centro de masas). Las fuerzas aplicadas son la componente del peso (dirigida hacia abajo) menos la fuerza de rozamiento (dirigida hacia arriba): sin La 2ª ley de Newton de la rotación nos dice que la resultante de los momentos de fuerza (pares de fuerza) aplicados al cilindro es igual al momento de inercia de cilindro por su aceleración angular.). La fuerza de rozamiento es la única fuerza que ejerce par, por tanto:

donde Despejando f de la ecuación de rotación, tenemos:

Al sustituir esta expresión en la ecuación de rotación: 1

sin

1 1 1 2

1 1 2

sin

2 sin 3

sin ;

1 2

Para que el cilindro ruede sin deslizar, donde

debe ser menor o igual que

cos

(es decir,

cos ) cos sin 3

Es decir, para un ángulo

cos

tan

3

cuya tangente sea mayor (o igual) que 3

el cilindro descenderá

deslizando. Es muy interesante sustituir los valores del problema anterior en la expresión hallada de la fuerza de rozamiento: sin 3

25 9.8 sin 30 3

40.8

que evidentemente coincide con el valor de f hallado por conservación de energías en el problema anterior.    

 

10.­ Un cilindro homogéneo tiene una masa   y un radio  . Se ve acelerado por una  fuerza   que se aplica mediante una cuerda arroyada a lo largo de un tambor ligero de  radio   unido al cilindro. El coeficiente de rozamiento estático es suficiente para que  el cilindro ruede sin deslizar:  a) Hallar la fuerza de rozamiento.  b) Hallar la aceleración   del centro del cilindro.  c)¿Es  posible  escoger    de  modo  que    sea  mayor  que  / ?  ¿Cómo?  ¿No  contradice  esto la 2ª ley de Newton?  d)  ¿Cuál  es  el  sentido  de  la  fuerza  de  rozamiento  en  la  circunferencia  descrita  en  la  parte (c)? 

 

Aplicamos las leyes de Newton tanto para la traslación como para la rotación. Presuponemos

dirigido hacia la izquierda. Después veremos si esa suposición es razonable.

T ; f

a) Despajamos las incógnitas a y f del sistema de ecuaciones: 1 2 2

2

1 2 2

2 3

2

3 2

2

2

1 3

Cuando el valor absoluto de f sea mayor que cero entonces la fuerza de rozamiento tira hacia la izquierda, como habíamos supuesto.

b) Despejamos la otra incógnita: 2

1

3 3

3

3

2

2

2 3

1

El valor absoluto de la aceleración a siempre será positivo y estará dirigida hacia la derecha. c) Para que: 2 1 3

1

3 2

1 3 2

3 2

2 2

3 2

2

Es decir: 2 Esto es, si el tambor pequeño del cilindro (radio r) es más grande de la mitad del radio externo R entonces, la aceleración del cilindro es más grande que la que proporcionaría una única fuerza T que tira de la masa m del cilindro. Esto no contradice la 2ª ley de Newton (

) porque la

fuerza de rozamiento en este caso va a ayudar al movimiento, como se ve en c). d) Según la ecuación de f hallada en a): 2

1 3

, entonces: 1

Pero si en esta ecuación hacemos Por tanto, la fuerza de rozamiento

0

sería negativa (estaría dirigida hacia la derecha) y ayudaría al

movimiento. Esto ocurre en una rueda motriz que para que pueda acelerar necesita de un rozamiento apuntado a la derecha y capaz de proporcionar un par acelerador. Si que si

entonces

0 (no contribuye al movimiento aunque realmente exista). Esto quiere decir

, el sistema de la figura se movería igual sobre hielo que sobre asfalto. Hemos visto que el tamaño del tambor puede hacer que la fuerza de rozamiento apunte a la

izquierda, a la derecha o sea nula. Esto siempre será cierto mientras exista un coef. de rozamiento estático suficientemente grande como para evitar deslizamientos y supuesto que el cuerpo es indeformable. 

 

11.­ Un disco de radio   rueda sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sabiendo  que  la  aceleración  del  centro  de  masas  es  ,  y  la  aceleración  angular  de  rotación  alrededor  del centro de masa es  , determinar la aceleración del punto B.  Aplicar el  balance energético para calcular la velocidad del bloque una vez que haya descendido    partiendo  del  reposo.  ¿Hay  que  incluir  la  fuerza  de  rozamiento  en  el  balance  energético de este movimiento de rodar sin deslizar?. Los valores de las masas están  en el esquema. 

 

Movimiento del disco: T 

Traslación: α 

Rotación:

Fr 

1 2 Condición de no deslizamiento:

Sustituimos en las ecuaciones de Newton de la rotación el valor de la masa M = 8 kg: 8 1 8 2

4

Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas T y Fr en función de aC: 8 4 Y obtenemos

6

y

2

Movimiento del bloque: se mueve el doble de rápido que el punto C. Esto se puede visualizar bien

El punto

suponiendo un punto de la rueda fijo A arbitrario. Cuando la rueda gira sobre ese punto, claramente el punto B sobre el diámetro AB se mueve el doble en el mismo tiempo que el punto C sobre el radio AC. Por tanto: 2 La aceleración del bloque es como la del punto

ya que el bloque va

T

unido a la periferia de la rueda. Aplicamos al bloque la 2ª ley de Newton de la traslación:

aB

mg

Sustituimos el valor de la masa m = 1.5 kg: 1.5 9.8 que con las ecuaciones anteriores 1.63

/ ;

2

1.5 2 6

;

3.27

2

y

/ ;

hallamos:

9.8 ;

3.27

Balance energético: 

El bloque de 1.5



Aumenta la energía cinética del bloque



Aumenta la energía cinética del disco (traslación + rotación)

disminuye su energía potencial por 1.5 9.8 2 al descender 2 1.5

La velocidad del bloque es la misma que la velocidad del punto

del disco

Si el disco rueda sin deslizar Escribimos la conservación de energía: 1.5 9.8 2

1 1.5 2 2

1 8 2

Se obtiene: 1.81 3.61

/ /

8

2

8 2

.

En lugar de por energías, esta velocidad también se podría haber calculado por cinemática. Después de recorre 2 m, aplicamos al bloque las ecuaciones del MRUA con el valor hallado de 3.27

/ : 2

1 2

Al resolver el sistema resulta igualmente: 3.61

/

La fuerza de rozamiento del disco no realiza trabajo (no se pierde calor) porque está aplicada en el punto

que está en reposo. El efecto de

es crear energía cinética de rotación ya

que, como puede comprobarse dando valores: 2

 

 

1 2

1 1 8 2 2

2

12.­  Una  partícula  de  masa    se  mueve  con  una  velocidad  constante    en  una  circunferencia  de  radio    sobre  la  superficie  de  una  mesa  sin  rozamiento.  La  partícula está atada a una cuerda que pasa a través de un agujero de la mesa. Tirando  de  la  cuerda  lentamente hacia  abajo,  la partícula  se mueve en una  circunferencia  de  menor radio  :  a) Determinar la velocidad final en función de 

, 

 y  . 

b)  Determinar  la  tensión  de  la  cuerda  cuando  la  partícula  se  mueve  en  una    circunferencia de radio   en función de  ,   y el momento angular  c)  Calcular  el  trabajo  realizado  sobre  la  partícula  por  la  tensión    integrando  desde  a  . Expresar la respuesta en función de   y   

 

 

a) Como la tensión

de la cuerda está dirigida hacia el agujero y no ejerce momento (no

tiene brazo para hacer par) y, por tanto, el momento angular se conserva ya que no hay pares aplicados:

b) La tensión

igualará la fuerza centrífuga. Ahora, utilizando

,

tenemos:

c) Podemos tomar la tensión como dirigida al centro (signo negativo) y esto influirá en el signo del trabajo obtenido:

1 2

1 2

1

Como

es positivo

para acercar la partícula al centro hay que realizar un trabajo

que se conviertirá en energía cinética. Como el momento angular se conserva:

2

2

2

Esto es, hemos comprobado que el trabajo realizado por la tensión es igual al cambio en energía cinética.  

 

13.­ La figura muestra una barra uniforme de longitud  .  y masa  .   que  puede  pivotar  en  su  parte  superior.  La  barra,  inicialmente  en  reposo  recibe  el  choque  de  una  particula  de  masa  .   en  un  punto  .   por  debajo  del  pivote. Suponer que el choque es totalmente inelástico. ¿Cuál debe ser la magnitud de  la  velocidad    de  la  partícula  para  que  el  ángulo  máximo  entre  la  barra  y  la  vertical  sea de  ° ?

 

La colisión es inelástica lo cual quiere decir que se pierde energía cinética durante el choque. Sin embargo, no hay fuerzas externas que creen momento y, por tanto, el momento angular se conserva. 1 3

;

Momento de inercia  del extremo de la  barra   

Se obtiene al igualr los momentos angulares: 1

1 3 Despues del choque la energía sí se conserva

la energía de rotación se convertira en

energía potencial. 1 2 donde

es la energía potencial ganada por la barra y por la masa adherida al subir en

conjunto. Puesto que el conjunto

se mueve 60° , habrá ganado una energía potencial:

L L  cos 60 2 2   d  d cos 60  

∆

1

1 2

1

1 1 2 3 Con

cos 60 1

2 2 cos 60

2

de la ecuación 1 : 1 1 2 3

1

1 3 2

1

cos 60

2

donde se han utilizado los datos del enunciado.  

cos 60

 

1 3

cos 60

;

2

7.74

/

14.­ La figura muestra un tubo cilíndrico hueco de masa  , longitud   y momento  de inercia  / . Dentro del cilindro se encuentran dos masas   separadas una  distancia   y atadas a un vástago central por una delgada cuerda. El sistema puede  girar alrededor de un eje vertical a través del cilindro. Cuando el sistema gira con  la velocidad angular  , las cuerdas mantienen las masas se rompen súbitamente.  Obtener  las  expresiones  correspondientes  a  la  velocidad  angular  final  y  a  las  energías inicial y final del sistema. Suponer que las paredes interiores del cilindro  carecen de rozamiento.

 

Ya que no hay fuerzar externas que ejerzan par, el momento angular se debe conservar:

2

10

2

10 10

2

2

10

2

2

10

2

10

2 5

5 5 5 La energía cinética (de rotación) inicial será: 1 2

5 20

La energía cinética (de rotación) final será: 1 2

5 20

5 5

5 20

5