INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 8 8.1. Un investigador desea conocer la opinión de los madrileños sobre la sanidad pública. Para ello, acude a las 8 de la mañana al hospital público de la capital más cercano a su domicilio y durante dos horas recoge la opinión de los pacientes que llegan al hospital. El muestreo aplicado: A) es ideal para realizar inferencias a la población de madrileños; B) es el llamado “muestreo aleatorio simple”; C) es el llamado “muestreo incidental” 8.2. Para seleccionar una muestra de profesores universitarios para una encuesta, se siguió el procedimiento siguiente. Se seleccionó al azar algunas universidades, luego algunas facultades dentro de cada universidad, después algunas asignaturas dentro de cada facultad. Sabiendo que la muestra está formada por todos los profesores de las asignaturas seleccionadas, el muestreo utilizado es: A) el muestreo sistemático; B) el muestreo por conglomerados; C) el muestreo estratificado 8.3. En el muestreo estratificado, se eligen los elementos en: A) un estrato de la población; B) algunos estratos de la población; C) cada estrato de la población 8.4. En un centro escolar, hay 500 alumnos matriculados en la asignatura A y 500 en la asignatura B. En ambas asignaturas hay 400 mujeres. Si queremos una muestra de 100 alumnos para realizar una encuesta con una proporción de mujeres y hombres en cada asignatura idéntica a la del centro escolar, ¿cuántos alumnos varones de cada asignatura deberá tener la muestra?: A) 5; B) 10; C) 40 8.5. Si una variable X se distribuye como una normal en la población, la distribución muestral de la media de esa variable sigue una distribución: A) normal; B) F de Snedecor; C) Chi-cuadrado 8.6. Según el Teorema Central del límite, si la distribución de la variable X no es normal en la población con media y desviación típica , a medida que n crece, la distribución muestral de la media tiende a la normal con: A) media igual a la media poblacional ; B) desviación típica igual a

n

; C) Ambas opciones son correctas

8.7. Si extraemos una muestra aleatoria de 25 elementos de una población normal en la que la varianza es 9, la desviación típica de la distribución muestral de la media vale: A) 0,6; B) 0,7; C) 0,8 8.8. La media de la distribución muestral de la media: A) no puede ser igual a la media de una muestra; B) es la media de las medias de todas las posibles muestras de una población; C) es distinta de la media de la población 8.9. El error típico de la media: A) es igual a la desviación típica de la población; B) es un indicador de la precisión de la estimación de la media; C) no es función del tamaño de la muestra 8.10. Respecto al error típico de la media: A) Cuanto menor es el tamaño de la muestra menor es el error típico; B) Cuanto mayor es el tamaño de la muestra menor es el error típico; C) Cuanto mayor es menor es el error típico 1

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.11. Sabemos que el error típico de la media X vale 1,5 y el tamaño de la muestra n es 100, la desviación típica de la población vale: A) 1,5; B) 15; C) 150 8.12. Para un nivel de confianza de 0,95, z1-

/2 vale:

A) 1,64; B) 1,96; C) 2,58

8.13. Para medir la inteligencia emocional hemos extraído una muestra aleatoria de 100 adolescentes. Sabiendo que la desviación típica de la variable en la población vale 6, el error de estimación máximo de la media para un nivel de confianza del 95% vale: A) 1; B) 1,2; C) 1,4 8.14. En la estimación por intervalo de la media: A) El error de estimación máximo es función del nivel de confianza 1- ; B) Hay una probabilidad 1- de obtener un intervalo de confianza que incluya al parámetro ; C) Ambas opciones son correctas 8.15. Si preguntamos a una muestra aleatoria de universitarios madrileños su opinión sobre el uso de la bicicleta como medio de locomoción en la ciudad universitaria, podremos mediante un intervalo de confianza sobre la media generalizar el resultado obtenido en la muestra a toda la población de universitarios madrileños: A) con una probabilidad necesariamente baja; B) con una probabilidad 1 - ; C) con una probabilidad igual a 1 8.16. En la estimación por intervalo de la media, el nivel de confianza 1- = 0,99 indica que: A) El 99% de todos los posibles intervalos de confianza incluirá a la media de la población ; B) El 99,5% de todos los posibles intervalos de confianza incluirá a la media de la población ; C) El 0,5% de todos los posibles intervalos de confianza no incluirá a la media de la población 8.17. La inteligencia práctica, medida en una escala de 0 a 40, se distribuye normalmente en la población de adolescentes con una desviación típica igual a 6. Suponiendo que se desea un error de estimación no superior a 2, con un nivel de confianza de 0,95. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para estimar la media? A) 35; B) 58; C) 69 8.18. Con los datos del ejercicio 8.17 y sabiendo que en una muestra aleatoria de 35 adolescentes hemos obtenido una inteligencia práctica media de 28, ¿entre qué valores se estima se encuentra la inteligencia práctica media de toda la población de adolescentes?: A) 27 y 29; B) 26 y 30; C) 24 y 32 8.19. En una investigación, la variable X se distribuye normalmente en la población con varianza igual a 16. Con un error de estimación máximo de 1,25 para un nivel de confianza de 0,95, el tamaño muestral requerido es 40. Si el error de estimación máximo fuera 2,5 para el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral requerido sería: A) mayor; B) igual; C) menor 8.20. Sabiendo que el error típico de la media ( X ) es igual a 0,582, ¿para qué nivel de confianza el error de estimación máximo es igual a 1,5?: A) 0,95; B) 0,99; C) 0,995

2

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8.21. Se aplicó un test de fluidez verbal a una muestra de 121 personas extraídas al azar de una población. Sabemos que en la población el test presenta una varianza de 100 y que en la muestra hemos obtenido una media de 105. Con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional del test estará comprendida entre los valores: A) 87,19 y 122,81; B) 100,95 y 109,05; C) 103,22 y 106,78 8.22. Los límites del intervalo de confianza para la autoestima media de adolescentes con deficiencias físicas son 3,02 y 4,98 en una muestra de tamaño n = 36, siendo el nivel de confianza igual a 0,95 y igual a 3. ¿Cuánto vale la media de la muestra?: A) 4; B) 6; C) 8 8.23. En un estudio donde la media de la muestra es 35, los límites inferior y superior del intervalo de confianza para un nivel de confianza de 0,95, son 30 y 40 respectivamente. ¿Cuánto vale la desviación típica de la distribución muestral de la media ( X )?: A) entre 1,80 y 2,20; B) entre 2,30 y 2,70; C) entre 2,80 y 3,20 8.24. Cuanto mayor es el error de estimación máximo, A) mayor es la precisión de la estimación, B) menor es la precisión de la estimación; C) menor es la amplitud del intervalo de confianza 8.25. En un estudio sobre el optimismo de los adolescentes, la amplitud del intervalo de confianza vale 2,8 para un nivel de confianza de 0,95 y hemos obtenido en una muestra de adolescentes una media en optimismo igual a 16. A un nivel de confianza de 0,95, ¿cuáles son los límites entre los cuáles se estima está el optimismo medio de la población de adolescentes?: A) 10,4 y 21,6; B) 13,2 y 18,8; C) 14,6 y 17,4 8.26. La distribución t de Student: A) es un modelo de probabilidad que se utiliza en la estimación por intervalo de la media; B) se va aproximando a la distribución normal tipificada a medida que crece el número de grados de libertad; C) Las opciones A y B son correctas 8.27. La variable depresión se distribuye normalmente en la población de ancianos. Se midió dicha variable en una muestra aleatoria de 16 ancianos obteniendo una media de 80 y una cuasivarianza de 100, el error típico de la media vale: A) 0,625; B) 2,5; C) 6,25 8.28. Con los datos del Ejercicio 8.27, el error de estimación máximo para un nivel de confianza de 0,99 vale: A) 5,33; B); B) 7,30; C) 7,37 8.29. Con los datos de los ejercicio 8.27 y 8.28, ¿entre qué límites se estima está la depresión media de la población de ancianos? A) 74,67 y 85,33; B); B) 72,70 y 87,30; C) 72,63 y 87,37 8.30. Hemos medido, en una muestra aleatoria de 324 españoles, la variable autosatisfacción en una escala de intervalo (de 0 a 10), obteniendo una media igual a 8 y una cuasidesviación típca de 9. Para un nivel de confianza del 95%, el error de estimación máximo de la media vale: A) 0,86; B) 0,98; C) 1,4 8.31. Con los datos del Ejercicio 8.30, ¿entre qué valores se estima se encuentra la autosatisfacción media de toda la población de españoles?: A) 7,14 y 8,86; B) 7,02 y 8,98; C) 6,6 y 9,4

3

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.32. Según el Teorema Central del límite, a medida que n crece, la distribución muestral de la proporción tiende a la normal con: A) media igual a la proporción poblacional ; B) varianza (1 ) ; C) Ambas opciones son correctas n 8.33. El error típico de la proporción es la desviación típica de la: A) muestra; B) población; C) distribución muestral de la proporción 8.34. Respecto al error típico de la proporción: A) Cuanto menor es el tamaño de la muestra menor es el error típico; B) Cuanto mayor es el tamaño de la muestra menor es el error típico; C) Cuanto mayor es la varianza poblacional ( 2) menor es el error típico 8.35. En una muestra aleatoria de 100 universitarios, 75 están a favor del movimiento 15-M. Dada la proporción de universitarios a favor del movimiento 15-M de la muestra y para un nivel de confianza del 99%, el error de estimación máximo de la proporción de universitarios a favor de este movimiento vale: A) 0,04; B) 0,11; C) 0,25 8.36. Con los datos del ejercicio 8.35, ¿entre qué valores se estima se encuentra la proporción de la población universitaria a favor del movimiento 15-M?: A) 0,50 y 1; B) 0,64 y 0,86; C) 0,71 y 0,79 8.37. Se ha aplicado una nueva terapia de afrontamiento de fobias a una muestra de 100 pacientes obteniendo un resultado positivo en 70 de ellos. Dada la proporción de pacientes curados de la muestra, ¿cuál es el error de estimación máximo de la proporción de pacientes curados sabiendo que el nivel de confianza es 0,95? A) 0,09; B) 0,19; C) 0,30 8.38. Los límites del intervalo de confianza para la proporción de estudiantes de un centro escolar que están a favor de la reforma educativa son 0,45 y 0,55. ¿Con qué error de estimación máximo se han calculado estos límites?: A) 0,025; B) 0,05; C) no se puede calcular 8.39. La amplitud de un intervalo de confianza para la proporción es 0,2 con un nivel de confianza de 0,95. El error de estimación máximo es: A) 0,1; B) 0,2; C) 0,4 8.40. Los límites del intervalo de confianza para la proporción de españoles que están “a favor” de la inmigración ilegal son 0,40 y 0,50. La proporción de la muestra es igual a: A) 0,30; B) 0,45; C) no se puede calcular

4

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

SOLUCIONES 8.1. C El investigador seleccionó los pacientes a los que tenía fácil acceso, por lo que se trata de un ejemplo de muestreo incidental. Por esta razón, este tipo de muestreo no es ideal para realizar inferencias a la población de madrileños. 8.2. B Se trata de un ejemplo típico de muestreo por conglomerados. 8.3. C En el muestreo estratificado, están representados todos los estratos de la población en la muestra. 8.4. B Centro escolar: 1000 alumnos Asignatura A: 400 mujeres y 100 varones Asignatura B: 400 mujeres y 100 varones Proporción de varones del centro: (100 + 100) / 1000 = 0,20 Muestra: 100 alumnos Número total de varones: 100 x 0,20 = 20 Número de varones en cada asignatura: 20 / 2 = 10 8.5. A Si la distribución de una variable X es normal en la población con media y desviación típica , entonces la distribución muestral de la media de esa variable es normal con media X y desviación típica

X

n

8.6 C Según el Teorema Central del límite, si la distribución de la variable X no es normal en la población con media y desviación típica , a medida que n crece, la distribución muestral de la media tiende a la normal con media

X

y desviación típica

5

X

n

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.7. A La variable se distribuye normalmente y se pide la desviación típica de la distribución muestral de la media (llamada también error típico de la media) sabiendo que: n = 25 (tamaño de la muestra) 2

= 9 (varianza de la población)

Error típico de la media: 3 X

n

X

25

n

0,6

es el error típico de media calculado con la desviación típica de la población ( )

8.8. B La media de la distribución muestral de la media es la media de las medias de todas las muestras posibles, puede ser igual a la media de una muestra y es igual a la media de la población Ver estas características en el Ejemplo 8.1 del Libro y en la Audioclase 8 (Diapositivas 8 y 9)

8.9. B El error típico de la media (desviación típica de la distribución muestral de la media) es una medida de cuánto se alejan las medias de todas las muestras posibles, de la media de la población . Por lo tanto, es un indicador de la precisión de la estimación de la media. El error típico de la media no es igual a la desviación típica de la población ( ) y es función del tamaño de la muestra (n). Se ven estos dos últimos aspectos analizando la fórmula: X

n

8.10. B La relación es la indicada en la opción B, las otras relaciones no son correctas, como se ve analizando la fórmula:

X

n

6

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.11. B Se pide la desviación típica de la población

sabiendo que:

n = 100 (tamaño de la muestra) X

1,5 (error típico de la media)

Se despeja X

de la fórmula del error típico de la media: n

n

100 1,5

10 1,5

X

15

8.12. B Se pide z1-

/2

Hallamos 1 -

n.c. = 1 -

para un nivel de confianza (n.c.) de 0,95 /2

= 0,95

= 1 – 0,95 = 0,05 /2 = 0,05 / 2 = 0,025 1-

/2 = 1 – 0,025 = 0,975

Gráficamente,

Hallamos z1-

/2 =

z0,975

El subíndice 0,975 de la puntuación típica z0,975 indica que se trata de una puntuación típica z que deja por debajo de sí el 97,5% de las observaciones. En proporción, 0,975. En la tabla IV de la distribución normal tipificada, vemos que esta z vale 1,96. Por lo tanto, z0,975 = 1,96. Observad en la gráfica anterior, que 1,96 es el valor que deja debajo de sí el 95 + 2,5 = 97,5% de las observaciones. En proporción, 0,975.

7

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.13. B Se pide el error de estimación máximo de la media sabiendo que: n = 100 (tamaño de la muestra) = 6 (desviación típica de la población) n.c. = 0,95, por lo que z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Error de estimación máximo de la media: Emáx

z1

Emáx

/2

z1

1,96

n

6

1,176 1,20

100

es el error de estimación máximo de la media calculado con la n desviación típica de la población ( ) /2

8.14. C El error de estimación máximo es función del nivel de confianza 1- α, además de la desviación típica y del tamaño de la muestra. Se ve analizando la fórmula: Emáx

z1

/2

z1

X

/2

n

En una estimación por intervalo con probabilidad 1- α = 0,95, el error de estimación máximo se expresa:

Emáx

z 0,975

1,96

n

n

Por otra parte, los límites inferior (Li) y superior (Ls) del intervalo de confianza se obtienen restando y sumando el error de estimación máximo. En el caso de un nivel de confianza del 95%:

Li

X 1,96

Ls

n

X 1,96

n

Por lo tanto, hay una probabilidad 1 - α = 0,95 de que el intervalo, cuyos límites son

Li

X 1,96

y

n

Ls

X 1,96

n

, incluya a la media de la población

. Expresado

formalmente:

P(X 1,96

n

µ

X + 1,96

n

) 0,95

Lo vemos en las gráficas, donde están representados la distribución muestral de la media y dos posibles intervalos: 8

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

En la representación gráfica de la izquierda, el intervalo de confianza incluye a la media de la población pero puede ocurrir que no la incluya, como se ve en la representación gráfica de la derecha donde está fuera del intervalo. Pues bien, un nivel de confianza 1- α = 0,95, indica que el 95 % de todos los posibles intervalos de confianza incluirá a la media de la población y el 5% no la incluirá. 8.15. B Las inferencias mediante intervalos de confianza se realizan con una probabilidad 1 - , llamada nivel de confianza (ver la explicación en el Ejercicio 8.14) 8.16. A Un nivel de confianza 1- α = 0,99, indica que el 99 % de todos los posibles intervalos de confianza incluirá a la media de la población y el 1% no la incluirá. Esta cuestión ha sido tratada en el Ejercicio 8.14, respecto a la probabilidad 1- = 0,95 (ver la explicación allí) 8.17. A La variable se distribuye normalmente y se pide el tamaño que debe tener la muestra en la estimación de la media para: Emáx = 2 (error de estimación máximo de la media) n.c. = 0,95 por lo que z1-

/2 =

z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada)

= 6 (desviación típica de la población) Se aplica directamente la fórmula:

n

z 12- /2 2 E max

2

1,96 2 6 2 22

34,57

35

9

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.18. B Se piden los límites del intervalo de confianza para la media sabiendo que: Emáx = 2 (dado en el enunciado del Ejercicio 8.17) X 28 (media de la muestra) Límites del intervalo de confianza para la media: X Emáx 28 2

26

X Emáx 28 2

30

8.19. C Manteniendo constantes los demás factores, si aumentamos el error de estimación máximo, el tamaño muestral (n) requerido será menor. Se ve aplicando, en ambos casos, la fórmula de la obtención de n en la estimación de la media de una distribución normal con varianza conocida:

n

z 21

2

/2 2 Emáx

Sabemos que: 2

= 16 (varianza de la población)

n.c. = 0,95

z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada)

Con Emáx = 1,25 n

1,96 2.16 1,25 2

39,33

40

Con Emáx = 2,5 n

1,96 2.16 2,5 2

9,83

10

8.20. B Se pide el nivel de confianza (n.c.) sabiendo que: X

n

0,582 (error típico de la media)

Emáx = 1,5 (error de estimación máximo de la media) Desarrollamos: Emáx 1,5

z1

1,5 0,582

z1

/2

X

1,5

/ 2 0,582

z1

/2

z1

/2

2,58

10

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

Vemos en la tabla IV de la distribución normal tipificada que el valor 2,58 deja por debajo de sí, el 99,51 %, en proporción 0,9951 (≈ 0,995), por lo que z1- /2 = z0,995 = 2,58. Por lo tanto, 1- /2 = 0,995. Para obtener 1- , hay que realizar una serie de operaciones: 1

/ 2 0,995 / 2 1 0,995 0,005 0,005 x 2 0,01 n.c. 1 1 0,01 0,99

8.21. C Se trata de hallar los límites del intervalo de confianza para la media sabiendo que: n = 121 (tamaño de la muestra) 2

= 100 (varianza de la población)

X 105 (media de la muestra)

n.c. = 0,95, por lo que z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Límites del intervalo de confianza para la media: Li

Ls

X z1-

X

/2

z1-

105 - 1,96

n

/2

n

10

105 1,96

121

10 121

103,22

106,78

8.22. A Se pide la media de la muestra ( X ) sabiendo que: Li = 3,02 y Ls = 4,98 (límites del intervalo de confianza) n = 36 (tamaño de la muestra) = 3 (desviación típica de la población) n.c. = 0,95, por lo que z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Desarrollamos:

Li

X z1-

Ls

X z1-

/2

/2

n n

3,02 4,98

11

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

Donde:

Emá x

z1-

/2

1,96

n

3 36

0,98

Podemos resolver el ejercicio de diferentes maneras: Procedimiento 1 Li

X 0,98

X Li

0,98

3,02 0,98

4

Procedimiento 2

Ls

X 0,98

X Ls 0,98

4,98 0,98

4

Procedimiento 3 X - 0,98 = 3,02 X 0,98 = 4,98

Sumamos ambas ecuaciones para eliminar Emáx (0,98) y obtenemos:

2X 3,02 4,98 Por lo tanto,

3,02 4,98 2

X

4

8.23. B Se pide la desviación típica de la distribución muestral de la media ( X

X

) sabiendo que:

35 (media de la muestra)

Li = 30 y Ls = 40 (límites del intervalo de confianza) n.c. = 0,95, por lo que z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Despejamos

30 5 X

X

35 1,96 1,96 5 1,96

del límite inferior: L i

X z1-

X

X

2,55

12

/2

X

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

También podemos despejar

40 5

35 1,96 1,96

X

X

del límite superior: L s

X

z1-

/2

X

X

X

5 1,96

2,55

8.24. B Cuanto mayor es el error de estimación máximo, más amplio es el intervalo de confianza por lo que menos precisa es la estimación dado que el rango de valores que recoge el intervalo de confianza es más amplio. 8.25. C Se piden los límites del intervalo de confianza para la media, sabiendo que: X 16 (media de la muestra)

La amplitud del intervalo de confianza vale 2,8, por lo que el error de estimación máximo (Emáx) es igual 2,8 / 2 = 1,4 La amplitud del intervalo de confianza es igual a 2 veces la magnitud del error de estimación máximo (ver las representaciones gráficas del Ejercicio 8.14) Límites del intervalo de confianza para la media:

Li LS

X Emáx

16 1,4 14,6

X Emáx

16 1,4 17,4

8.26. C Si la distribución de una variable X es normal en la población con media y desviación típica , entonces la distribución muestral de la media de esa variable es normal con media X y desviación típica

. Por ello, utilizamos la distribución normal como modelo de n probabilidad para realizar inferencias mediante intervalos de confianza sobre la media. X

No obstante, cuando se utiliza la cuasivarianza Sn2 1 obtenida en una muestra (porque se desconoce la varianza de la población 2) y el tamaño de la muestra es pequeño, el científico Gosset demostró que el modelo de probabilidad adecuado es la distribución t de Student. Por ello, en estos casos, utilizamos la distribución t de Student como modelo de probabilidad para realizar inferencias mediante intervalos de confianza sobre la media. Por otra parte, a medida que el número de grados de libertad (g.l.) crece, la distribución t de Student se va aproximando a la distribución normal tipificada. Por esta razón, cuando se 13

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

desconoce la varianza de la población 2 y el tamaño de la muestra es grande, se puede utilizar la distribución normal tipificada dado que nos dará un resultado muy similar a la distribución t de Student. La aproximación de la distribución t de Student a la distribución normal tipificada es ya buena con 30 g.l. y es muy buena para g.l. > 100. Por lo tanto, dado que el número de g.l. de la tabla VI de la distribución t de Student llega hasta 100, para un número de g.l. mayor que 100 utilizaremos las tablas III y IV de la distribución normal tipificada. 8.27. B La variable se distribuye normalmente y se pide el error típico de la media sabiendo que: n = 16 (tamaño de la muestra)

Sn2 1 100 (cuasivarianza de la muestra), por lo que Sn de la muestra)

1

10 (cuasidesviación típica

Error típico de la media:

SX

SX

Sn

10

1

n

16

2,5

Sn 1 es el error típico de media calculado con la cuasidesviación típica de la muestra (Sn-1) n

8.28. C La variable se distribuye normalmente y se pide el error de estimación máximo sabiendo que: n = 16 (tamaño de la muestra) (dado en el enunciado del Ejercicio 8.27) SX

Sn

1

n

10 16

2,5 (hallado en el Ejercicio 8.27)

n.c. = 0,99 (nivel de confianza) Dado que se desconoce la desviación típica de la población y n es pequeño (n = 16), acudimos a la tabla VI de la distribución t de Student con n -1 = 16 – 1 = 15 grados de libertad

Para un n.c. = 0,99, sabemos que 1- /2 = 0,995 Observamos en la tabla VI, para 15 grados de libertad, que el valor 2,947 deja por debajo de sí el 99,5% de las observaciones, en proporción, 0,995. Por lo tanto, tn-1,1- /2 = t15;0,995 = 2,947. 14

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

Error de estimación máximo de la media:

Emáx

tn

E máx

Sn 1,1

/2

1

n Sn

tn

2,947(2,5)

7,37

1

es el error de estimación máximo de la media calculado con la n cuasidesviación típica Sn-1 cuando g.l. ≤ 100 1,1

/2

8.29. C Se piden los límites del intervalo de confianza para la media sabiendo que:

Emáx X

Sn

tn

1,1

/2

1

2,947(2,5)

n

7,37 (hallado en el Ejercicio 8.28)

80 (media de la muestra) (dada en el enunciado del Ejercicio 8.27)

Límites del intervalo de confianza para la media: Li Ls

X

Sn

tn

1,1

/2

X tn

1,1

/2

1

n Sn

1

n

X

E máx

X E máx

80

7,37

80 7,37

72,63 87,37

8.30. B Se pide el error de estimación máximo sabiendo que: n = 324 (tamaño de la muestra) Sn-1 = 9 (cuasidesvación típica de la muestra) n.c. = 0,95 (nivel de confianza) Dado que se desconoce la desviación típica de la población y n es grande (n = 324), aplicamos la aproximación de la distribución t de Student a la distribución normal

Para un n.c. = 0,95, z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Error de estimación máximo de la media: E máx

z1

sn /2

1

n

1,96

9 324

0,98

Sn

1 es el error de estimación máximo de la media calculado con la n cuasidesviación típica Sn-1 cuando g.l. > 100

E máx

z1

/2

15

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.31. B Se piden los límites del intervalo de confianza para la media sabiendo que: X

8 (dada en el enunciado del Ejercicio 8.30)

Emáx = 0,98 (hallado en el Ejercicio 8.30) Límites del intervalo de confianza para la media: X Emáx 8 0,98

7,02

X Emáx 8 0,98

8,98

8.32. C Según el Teorema Central del límite, a medida que n crece, la distribución muestral de la (1 ) proporción tiende a la normal con media y varianza n 8.33. C La desviación típica de la distribución muestral de la proporción ( P) se denomina también error típico de la proporción. 8.34. B La relación es la indicada en la opción B, las otras relaciones no son correctas, como se ve analizando la fórmula:

(1 ) n

P

Donde (1- ) es la varianza de una variable que toma valores 0 y 1 8.35. B Se pide el error de estimación máximo de la proporción sabiendo que: P = 75 / 100 = 0,75 (proporción de universitarios a favor del movimiento 15-M en la muestra) n.c. = 0,99 por lo que z1-α/2 = z0,995 = 2,58 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Error de estimación máximo de la proporción: Emáx

z1

/2

P(1 P) n

2,58

0,75·(0,25) 100

16

0,1117

0,11

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.36. B Se piden los límites del intervalo de confianza para la proporción sabiendo que: Emáx = 0,11 (hallado en el Ejercicio 8.35) Límites del intervalo de confianza para la proporción: P – Emáx = 0,75 – 0,11 = 0,64 P + Emáx = 0,75 + 0,11 = 0,86 8.37. A Se pide el error de estimación máximo de la proporción sabiendo que: P = 70 / 100 = 0,70 (proporción de curados en la muestra) n.c. = 0,95 por lo que z1-α/2 = z0,975 = 1,96 (Tabla IV de la distribución normal tipificada) Error de estimación máximo de la proporción:

Emáx

z1

/2

P(1 P) n

1,96

0,70(1 - 0,70) 100

0,09

8.38. B Se pide el error de estimación máximo de la proporción sabiendo que los límites del intervalo de confianza son Li = 0,45 y Ls = 0,55 Ls – Li = 0,55 – 0,45 = 0,10

.

Por lo tanto, Emáx = 0,10//2= 0,05 8.39. A Se pide el error de estimación máximo de la proporción sabiendo que la amplitud del intervalo de confianza es 0,2 Por lo tanto, Emáx = 0,2//2= 0,1

17

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

8.40. B Se pide la proporción de la muestra sabiendo que los límites del intervalo de confianza son Li = 0,40 y Ls = 0,50 Desarrollamos: Li = P – Emáx = 0,40 Ls = P + Emáx = 0,50 Sumamos ambas ecuaciones para eliminar Emáx y obtenemos: 2P = 0,40 + 0,50 Por lo tanto, P

0,90 2

0,45

18