INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 5. 5.1. Una característica de un experimento aleatorio es que: A) conocemos todos los posibles resultados antes de realizarse; B) sabemos con certeza el resultado que se va a obtener antes de realizarse; C) se puede repetir aunque varíen las condiciones 5.2. La probabilidad de un suceso imposible: A) es cero; B) es próximo a cero; C) puede ser igual a1 5.3. Sean los sucesos A={1,2,3,4,5} y B={1,3,5,7,9}. Entonces la unión de A y B es igual a: A) {1,2,3,4,5}; B) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; C) {1,2,3,4,5,7,9} 5.4. Sean A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8} y C={3,4,5,6}. La operación (A∩B)∪C es: A){4}; B){3,4,6}; C){2,3,4,5,6} 5.5. La propiedad 0≤ P(A) ≤ 1 es válida: A) sólo para la definición clásica de la probabilidad ; B) sólo para la definición estadística de la probabilidad; C) para las definiciones clásica y estadística de la probabilidad 5.6. El espacio muestral E = {cara cara; cara cruz; cruz cara; cruz cruz} corresponde al experimento de lanzar al aire una moneda: A) dos veces; B) cuatro veces; C) ocho veces 5.7. Respecto al espacio muestral del ejercicio 5.6, el número de casos posibles es: A) 2; B) 4; 8

C)

5.8. En un espacio muestral hay dos sucesos A y B. Sabemos que P( A ) = 0,4 , P( B ) = 0,75 y que P( A ∪ B) = 0,55 . ¿Cuál es la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B?: A) 0,10; B) 0,60; C) 0,15. 5.9. En una clase, la mitad son chicos y la otra mitad son chicas. La mitad de los chicos y la mitad de las chicas han elegido inglés como optativa. Si elegimos una persona al azar de esta clase ¿cuál es la probabilidad de que sea chica y estudie inglés?: A) 0,25; B) 0,50; C) 0,75 5.10. Con los datos del ejercicio 5.9, ¿podemos decir que los sucesos “ser chica” y “estudiar inglés” son independientes: A) no; B) sí; C) no se puede saber con los datos disponibles 5.11. La zona sombreada del diagrama de Venn de la Situación 1 representa: A) A ∪ B ; Situación 1. Lanzamos al aire una vez un dado, definiendo dos sucesos: A = “obtener un número B) A∩B; C) A ∪ B . menor que tres” y B = “obtener un número impar”. En el diagrama de Venn se representa una operación entre ambos sucesos

5.12. El espacio muestral descrito en la situación 1 está formado por: A) E= { B) E= {

C) E= {

,

,

,

,

,

,

,

,

}

,

};

,

};

5.13. Con los datos de la situación 1 se define un nuevo suceso C = “obtener un número par”. ¿Cuál es P(A ∪ C) ? : A) 1/6; B) 3/6; C) 4/6.

1

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5.14. Atendiendo a la Tabla 1, si seleccionamos al azar a un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que acepte el tratamiento y que padezca depresión?: A) 0,36; B) 0,90; C) 0,45

Tabla 1: En una investigación se estudió la aceptación o no del tratamiento psicológico por parte de pacientes que presentaban dos tipos de trastornos psicológicos. En la tabla de doble entrada se muestra la distribución conjunta de frecuencias absolutas de ambas variables. Trastorno psicológico

5.15. Con los datos de la Tabla 1, si se elige al azar un paciente y observamos que padece un trastorno de personalidad, ¿cuál es la probabilidad de que no acepte el tratamiento?: A) 0,16; B) 0,27; C)0,80

Aceptación del tratamiento Sí No

5.16. Con los datos de la tabla 2, la probabilidad de seleccionar al azar un alumno con “mucha dedicación” y con éxito en el examen es de: A) 0,333; B) 0,167; C) 0,125

5.19. Atendiendo a los datos de la Tabla 3, hemos seleccionado un estudiante y resulta que desea realizar el itinerario de clínica. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? A) 0,28; B) 0,83; C) 0,33

Trastorno de Personalidad

36 4

44 16

Tabla 2.: Éxito en un examen en función del tiempo dedicado al estudio Tiempo dedicado

5.17. Atendiendo a la tabla 2, si se ha elegido al azar un alumno y resulta que no ha tenido éxito en el examen, ¿cuál es la probabilidad de que su tiempo de dedicación haya sido “poco”?: A) 0,12; B) 0,375; C) 0,60

5.18. Con los datos de la tabla 3, si elegimos al azar a un estudiante, la probabilidad de que sea hombre y quiera realizar el itinerario de educación está comprendida entre: A) 0,15 y 0,20; B) 0,05 y 0,10; C) 0,25 y 0,30

Depresión

Éxito

SÍ No

poco

suficiente

mucho

100 600

300 280

200 120

Tabla 3: Elección del itinerario en el grado de Psicología en función del sexo de los estudiantes de segundo de grado que asisten a un centro asociado de la UNED. Itinerario

Sexo

2

Hombre Mujer

Clínica

Educación

Trabajo

5 25

15 15

25 5

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5.20. Con los datos de la Tabla 4, si elegimos al azar una Tabla 4. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 parejas, que se pareja casada en Madrid en el año 2000 ¿cuál es la casaron en Madrid en el año 2000. probabilidad de que no tenga hijos y esté divorciada?: Se ha tomado nota del número de A) 0,10; B) 0,20; C) 0,33 hijos y de si las parejas se han divorciado o no. 5.21. Con los datos de la Tabla 4, podemos decir que la Divorciados probabilidad de divorcio es: A) constante al variar el número de hijos; B) mínima para las parejas con 1 No Sí hijo; C) máxima para las parejas sin hijos 0 20 10 5.22. Con los datos de la Tabla 4, si elegimos al azar una pareja casada en Madrid en el año 2000, y resulta que tiene 1 hijo, ¿cuál es la probabilidad de que no se haya divorciado? A) 0,4; B) 0,5; C) 0,8

Número de hijos

1 2ó más

40

10

10

10

5.23. Con los datos de la Tabla 4, elegimos al azar, sucesivamente y sin reposición, dos parejas casadas en Madrid en el año 2000 ¿cuál es la probabilidad de que las dos estén divorciadas?: A) 0,3 ; B) 0,09 ; C) 0,6

5.25. Según los resultados de la tabla 5, ¿cuál es la probabilidad de tener la nacionalidad rumana y percibir un grado de discriminación laboral moderado? : A) 0,175; B) 0,35; C) 0,425. 5.26. Suponiendo que se selecciona un inmigrante al azar de la Tabla 5 y ha resultado ser subsahariano, ¿cuál es la probabilidad de que perciba una baja discriminación laboral?: A) 0,050; B) 0,143; C) 0,200.

Tabla 5. Resultados obtenidos en un estudio sobre la discriminación laboral percibida de tres grupos distintos de inmigrantes. Discriminación laboral percibida Baja Moderada Alta

Inmigrantes

5.24. Según los resultados de la tabla 5, si seleccionamos al azar a una persona inmigrante, ¿cuál es la probabilidad de que haya percibido una discriminación laboral alta? A) 0,25; B) 0,325; C) 0,65.

Rumanos

30

35

15

80

Marroquíes

10

20

20

50

Subsaharianos

10

30

30

70

50

85

65

200

5.27. Se realiza un estudio sobre el hábito de fumar en adultos de mediana edad con 200 hombres y 300 mujeres. Un 30% de los hombres reconocen que sí fuman habitualmente, mientras que 225 mujeres se declaran no fumadoras. Si seleccionamos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y no fume?: A) 0,70; B) 0,28; C) 0,73. 5.28. Con los datos del ejercicio anterior, si elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que fume?: A) 0,32; B) 0,73; C) 0,27. 3

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

5.29. Teniendo en cuenta la Situación 2, elegimos un alumno al azar ¿cuál es la probabilidad de que no curse el Grado en Situación 2: El 20% de los alumnos de una Psicología?: A) 0,2 ; B) 0,8 ; C) 0,16 determinada universidad cursan el Grado en Psicología (P). El 70% de ellos elige el 5.30. Teniendo en cuenta la Situación 2, itinerario de Psicología Clínica (C), el 20% elegimos un alumno al azar ¿cuál es la el de Psicología Educativa (E) y el 10% el probabilidad de que curse el Grado en de Psicología del Trabajo (T). Psicología y haya elegido el itinerario de Psicología Clínica?: A) 0,14 ; B) 0,30 ; C) 0,70

5.31. Con los datos de la Gráfica 1, la probabilidad de que un hijo elegido al azar, entre todos los hijos del estudio, tenga un equilibrio emocional bajo es: A) 0,175; B) 0,40; C) 0,80

Gráfica 1. Distribución del equilibrio emocional de los hijos de las parejas divorciadas y no divorciadas de una ciudad española. Los números 1, 2 y 3 del eje de abscisas indican equilibrio emocional bajo, medio y alto, respectivamente.

5.32. Con los datos de la Gráfica 1, la probabilidad de que un hijo elegido al azar tenga un equilibrio emocional alto: A) es mayor en el grupo de parejas divorciadas que en el grupo de parejas no divorciadas; B) es menor en el grupo de parejas divorciadas que en el grupo de parejas no divorciadas; C) es la misma en ambos grupos de parejas 5.33. Hay una bola verde (V) y una bola azul (A) en una bolsa. Si extraemos dos bolas una a una y con reposición, los pares posibles son: A) VA, AV; B) VV, AA; C) VV, VA, AV, AA

4

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

5.34. Si colocamos una rata en un laberinto, como el recogido en la Figura 1, ¿cuál es la probabilidad de que escoja la salida C?: A) 0,10; B) 0,20; C) 0,25 5.35. Si colocamos una rata en dos ocasiones en un laberinto, como el recogido en la Figura 1, y suponemos que no hay aprendizaje (los ensayos son independientes) ¿cuál es la probabilidad de que escoja la misma salida en las dos ocasiones?: A) 0,06; B) 0,25; C) 0,50

5.36.

Teniendo en cuenta los datos representados en la Gráfica 2, si elegimos un alumno al azar ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado la PEC?: A) 0,4; B) 0,3; C) 0,6

5.37. Si elegimos un alumno al azar, teniendo en cuenta los datos representados en la Gráfica 2, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la asignatura A y haya entregado la PEC?: A) 0,1; B) 0,2; C) 0,5 5.38. Elegido un alumno al azar, teniendo en cuenta los datos presentados en la Gráfica 2, ha resultado que ha entregado la PEC ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la asignatura B?: A) 0,2; B) 0,4; C) 0,5

Figura 1. Rata situada en un laberinto con cuatro salidas (A, B, C y D) equiprobables

100 80

40 70

60

No

40 20

Si

60 30

0

Asignatura A

Asignatura B

Gráfica 2: Representación gráfica del porcentaje de alumnos en dos asignaturas (A y B) según hayan realizado o no una PEC (Prueba de evaluación continua). En la asignatura A hay matriculados 100 alumnos y, en la asignatura B, 200 alumnos.

5

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SOLUCIONES 5.1. A 5.2. A 5.3. C A={1,2,3,4,5}

B={1,3,5,7,9}

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7, 9} 5.4. C 5.5. C

El axioma 0 ≤ P(A) ≤ 1 es válido tanto para las definiciones clásica y estadística.

5.6. A 5.7. B 5.8. A P(B) = 1 − P( B ) = 1 − 0,75 = 0,25 P( A ∩ B) = P( A ) + P(B) − P( A ∪ B) = 0,40 + 0,25 − 0,55 = 0,10 5.9. A P(chica) = 0,5 P(inglés/chica) = 0,5 P(chica ∩ inglés) = P(chica) P(inglés/chica) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 5.10. B P(inglés) = P(chica ∩ inglés) + P(chico ∩ inglés) = 0,25 + 0,25 = 0,50 Los sucesos “ser chica” y “estudiar inglés” son independientes dado que: P(inglés/chica) = P(inglés) P(chica ∩ inglés) = P(chica) P(inglés) 5.11. A 5.12. A 5.13. C P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) =

2 3 1 4 + − = 6 6 6 6

5.14. A Trastorno psicológico Aceptación del tratamiento

Depresión

Trastorno de Personalidad

36 4 40

44 16 60

Sí No

P( Depresión ∩ Sí ) =

80 20 100

36 = 0,36 100

5.15. B 6

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS

P ( No / TP ) =

P( No ∩ TP ) 0,16 = = 0,26666 ≈ 0,27 P(TP ) 0,60

5.16. C

5.17. C

5.18. A P(hom bre ∩ educación ) =

15 = 0,1667 90

5.19. B P(mujer / clínica) =

25 30

90 = 0,83 90

5.20. A 10 = 0,10 100 5.21. B El número de divorcios es constante y donde hay más parejas, con 1 hijo, el porcentaje de divorcios es menor. 5.22. C 40 = 0,8 50 5.23. B

5.24. B P(alta) =

65 = 0,325 200

5.25. A P(rumano ∩ mod erado ) =

35 = 0,175 200

5.26. B

7

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 10    10 P(baja ∩ subsahariano )  200  P(baja subsahariano ) = = = = 0,143 P(subsahariano )  70  1700    200  5.27. B Fumador

Sexo

Sí

No

Hombre

60

140

200

Mujer

75

225

300

135

365

500

P(H ∩ No) =

140 = 0,28 500

5.28. C P(Sí ) =

135 = 0,27 500

5.29. B P(NoP)=1-P(P)=1-0,20=0,80 5.30. A

P(P ∩ C) = P(P )· P(C / P ) = 0,20·0,70 = 0,14 5.31. B 320/800 = 0,40 5.32. B Grupo parejas divorciadas: 50/400 = 0,125 Grupo parejas no divorciadas: 210/400 = 0,525 0,525 > 0,125 5.33. C Dado que la selección es con reposición, el espacio muestral es: VV, VA, AV, AA Hay dos bolas en una bolsa, una verde (V) y una azul (A), y extraemos dos bolas una a una y con reposición. Es decir, se saca una bola, se vuelve a meter en la bolsa y se saca una segunda bola. Como en el momento de cada extracción están la bola verde y la bola azul en la bolsa, los pares posibles son: bola verde en ambas extracciones (VV), bola verde en la primera

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extracción y bola azul en la segunda (VA), bola azul en la primera extracción y bola verde en la segunda (AV) y bola azul en ambas extracciones (AA). 5.34. C 5.35. B 11 1 P(AA ) = · = 4 4 16 1 4 4· = = 0,25 16 16

11 1 P(BB) = · = 4 4 16

11 1 P(CC) = · = 4 4 16

5.36. A

A B

Si 60 60 120

No 40 140 180

P(Si ) =

100 200 300

5.37. B

P(A ∩ Si) =

60 = 0,2 300

5.38. C

 60    P(B ∩ Si)  300  60 P(B Si) = = = = 0,5 P(Si)  120  120    300 

9

120 = 0,4 300

11 1 P(DD) = · = 4 4 16