Capítulo 2 Permutaciones de un conjunto 2.1 Introducción Comencemos con un juego de cartas Tomemos 9 cartas de un mismo palo numeradas del 1 al 9. Empezamos con ellas ordenadas como se ve en la figura 2.1.

Figura 2.1: Cartas ordenadas Ahora las separamos colocándolas alternativamente en dos montones boca abajo. Después montamos uno sobre otro y “cortamos” todas las veces que queramos y por donde queramos (“cortar” es pasar unas cuantas cartas de arriba a abajo sin desordenarlas ni mezclarlas). Después de hacer esto un par de veces las cartas quedan bastante desordenadas, como puede verse en la figura 2.2. 43

Figura 2.2: Cartas desordenadas Pero, para quedarnos más seguros del desorden, vamos a separarlas una tercera vez y, por supuesto, “cortar” cuantas veces queramos. Ahora miramos la carta de arriba

Figura 2.3: Cartas de arriba y pasamos de arriba a abajo tantas cartas como indique el número (en el ejemplo de la figura 2.3, es el 4). Entonces, enseñamos las cartas y ¡todo está ordenado como al principio! ¿Qué es lo que ocurre? ¿Dónde está la magia? Lo que hemos visto es un juego de “magia” que no tiene ningún “truco”. Es álgebra y nada más que álgebra lo que hay detrás de este juego. En las siguientes secciones vamos a profundizar en el modelo algebraico que nos va a permitir descubrir por qué se ordenan las cartas: El grupo de las permutaciones. Y después volveremos al juego de cartas. 44

Permutaciones de un conjunto En cada paso del juego anterior “separamos” o “cortamos” las cartas, es decir,las cambiamos de orden. A esto se llama una permutación. De hecho el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua dice que permutar significa variar la disposición u orden en que estaban dos o más cosas (tercera acepción). Por ejemplo, en la figura 2.2 se observa que la primera carta se ha quedado en su lugar, pero la segunda ahora está la octava, la tercera está la sexta, etcétera. Esto lo podemos expresar de esta forma: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

→ → → → → → → → →

1 8 6 4 2 9 7 5 3.

O bien matricialmente: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 6 4 2 9 7 5 3



donde la primera fila indica la posición inicial y la segunda la nueva posición tras la permutación. Pero vamos a definir permutación para conjuntos en general y después nos centraremos en conjuntos finitos como el de las nueve cartas.

Permutación de un conjunto Sea X un conjunto, se llama permutación de X a cualquier aplicación biyectiva σ : X → X.

Nota 2.1.1. El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denomina grupo simétrico de X y se denota por Sim(X). Veremos enseguida la razón de llamar “grupo” a este conjunto. 45

2.2 Propiedades. El grupo de las permutaciones Las siguientes propiedades son consecuencia directa de lo que hemos visto en el tema anterior sobre aplicaciones. Proposición 2.2.1. Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades: 1. La composición de dos permutaciones cualesquiera de X es también una permutación de X. Es decir, ∀σ, τ ∈ Sim(X), τ ◦ σ ∈ Sim(X). 2. La aplicación identidad en X es una permutación de X. Es decir, 1X ∈ Sim(X). 3. La inversa de cualquier permutación de X es también una permutación de X. Es decir ∀σ ∈ Sim(X), σ −1 ∈ Sim(X). 4. La composición de permutaciones verifica la propiedad asociativa. Es decir, ∀σ, τ, ρ ∈ Sim(X), ρ ◦ (τ ◦ σ) = (ρ ◦ τ ) ◦ σ. P RUEBA : Ya hemos visto en el tema anterior que la composición de dos aplicaciones biyectivas es también biyectiva, como ambas van de X en X, la composición de dos permutaciones es una permutación (1). Sabemos también que 1X es una aplicación biyectiva de X en X, luego 1X ∈ Sim(X) (2). Cada aplicación biyectiva tiene una aplicación inversa que es también biyectiva, si σ es una aplicación biyectiva de X en X entonces σ −1 : X → X es una permutación (3). Por último, en la nota 1.3.10 (página 40) se afirma que la composición de aplicaciones verifica la propiedad asociativa, en particular la composición de permutaciones también la verifica (4).  Veamos ahora con un ejemplo que la composición de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa. Ejemplo 2.2.2. Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X     1 2 3 1 2 3 . yτ: σ: 2 3 1 2 1 3 Es decir, σ es la permutación que intercambia los números 1 y 2, dejando 3 invariante, y τ es la que lleva 1 en 2, 2 en 3 y 3 en 1. 46

Entonces las composiciones de σ y τ son     1 2 3 1 2 3 τ ◦ σ: yσ◦τ: . 3 2 1 1 3 2 Que son permutaciones distintas y, por tanto, la composición de permutaciones no es conmutativa en general1 . Es hora de justificar por qué llamamos “grupo” al conjunto Sim(X) de las permutaciones de un conjunto X. Para ello es necesario conocer la noción de grupo, cuya definición es la siguiente:

Grupo Un grupo es un par (G, ⋆), donde G es un conjunto y ⋆ es una operación interna y binaria sobre G verificando las siguentes propiedades: 1. La operación es asociativa. 2. La operación tiene elemento neutro. Es decir, ∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G, x ⋆ e = e ⋆ x = x. 3. Cada elemento de G posee un simétrico. Es decir, ∀x ∈ G ∃x′ ∈ G tal que x ⋆ x′ = x′ ⋆ x = e. Si además la operación es conmutativa entonces se dice que el grupo es abeliano o conmutativo.

Nota 2.2.3. Una operación ⋆ es interna y binaria sobre un conjunto G si a cada par ordenado (a, b) de elementos de G le asocia un único elemento a ⋆ b de G. Es decir, ⋆ es una aplicación de G × G en G. Ejemplo 2.2.4. Algunos grupos bien conocidos 1. Z, Q, R y C son grupos abelianos con la suma. 1

“En general” quiere decir que no negamos la posibilidad de que existan pares de permutaciones cuya composición sí conmute. Animamos al lector a buscar algún ejemplo de este hecho.

47

2. Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos abelianos con la multiplicación. 3. El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k y determinante no nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n ≥ 2) con la multiplicación de matrices. En el caso de las permutaciones de un conjunto X, la proposición 2.2.1 demuestra que la composición es una operación interna y binaria sobre Sim(X), que verifica la propiedad asociativa, que 1X es el elemento neutro, y que cada permutación σ ∈ Sim(X) tiene un elemento simétrico que es su inversa σ −1 . Además, si X tiene al menos tres elementos, la composición no es conmutativa (ejemplo 2.2.2). Por tanto: El grupo simétrico El conjunto Sim(X) de las permutaciones de un conjunto X, junto con la composición de permutaciones, es un grupo. Además, si X tiene al menos tres elementos el grupo no es conmutativo.

2.3 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones Sean X un conjunto y σ una permutación de Sim(X). Llamamos soporte de σ al conjunto sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}. Ciclos y trasposiciones Se dice que una permutación σ de un conjunto X es un ciclo de longitud r o r-ciclo si es la identidad o si su soporte es un conjunto finito de r > 0 elementos sop(σ) = {i1 , i2 , . . . , ir } donde σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , . . ., σ(ir−1 ) = ir y σ(ir ) = i1 . Decimos que σ ∈ Sim(X) es una trasposición si es un ciclo de longitud 2.

48

Figura 2.4: Ciclo Nota 2.3.1. Sea σ ∈ Sim(X) un ciclo tal que sop(σ) = {i1 , i2 , . . . , ir } donde σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , . . ., σ(ir ) = i1 . Entonces escribiremos σ de la siguiente forma σ = (i1 i2 . . . ir ) sabiendo que si x ∈ X no aparece en la lista entonces σ(x) = x. Obsérvese que con esta notación tenemos diferentes representaciones de un mismo ciclo: σ = (i1 i2 . . . ir ) = (i2 i3 . . . ir i1 ) = · · · = (ir i1 . . . ir−1 ). Siguiendo esta notación podemos escribir el ciclo identidad como 1X = (), pues sop(1X ) = ∅ yo todos los elementos que no aparecen entre los paréntesis (o sea, todos los elementos de X) quedan invariantes.. Ejemplo 2.3.2. Veamos algunos ejemplos: 1. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por   1 2 3 4 5 σ: 2 5 3 4 1 es el 3-ciclo (1 2 5). 2. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por   1 2 3 4 5 6 7 8 σ: 6 1 5 8 7 2 3 4 49

no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) es composición de ciclos, veremos más adelante que este es un hecho general para permutaciones de conjuntos finitos.

Permutaciones disjuntas Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X) se dicen disjuntas si sus soportes son disjuntos.

Nota 2.3.3. En adelante omitiremos el símbolo “◦” para la composición de permutaciones, escribiremos τ σ en lugar de τ ◦ σ.

Permutaciones disjuntas y conmutatividad Si σ, τ ∈ Sim(X) son permutaciones disjuntas entonces τ σ = στ.

P RUEBA : Dado x ∈ X tenemos que demostrar que τ σ(x) = στ (x). Si x∈ / sop(σ) ∪ sop(τ ) entonces τ σ(x) = x = στ (x). Si x ∈ sop(τ ) entonces x ∈ / sop(σ), luego τ σ(x) = τ (x). Por otra parte, como τ (x) 6= x y τ es biyectiva, tenemos τ (τ (x)) 6= τ (x). Es decir, τ (x) ∈ sop(τ ). Por tanto, τ (x) 6∈ sop(σ), lo que implica στ (x) = τ (x). Luego τ σ(x) = τ (x) = στ (x). Análogamente, si x ∈ sop(σ) se demuestra que στ (x) = σ(x) = τ σ(x).  El recíproco no es cierto, es decir, si dos permutaciones conmutan no tienen por qué ser disjuntas. Veámoslo con un ejemplo. 50

Ejemplo 2.3.4. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X)     1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 . yτ: σ: 5 2 1 4 3 3 4 5 2 1 Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ ) = {1, 3, 5}. Sin embargo, no es difícil comprobar que   1 2 3 4 5 . τ σ = στ : 1 4 3 2 5 Nota 2.3.5. Como podemos multiplicar permutaciones vía composición, es natural definir potencias de permutaciones. Sean σ ∈ Sim(X) una permutación e i un entero no negativo. La i-ésima potencia de σ, σ i , se define mediante la siguiente regla recursiva: σ 0 = 1X , σ i = σ i−1 σ. Esta definición la podemos extender a potencias negativas poniendo σ −i = (σ −1 )i . Aprovecharemos que estamos hablando de potencias de permutaciones para definir, en general, el concepto de orden de un elemento de un grupo.

Orden de un elemento Sea (G, ⋆) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existen dos enteros distintos r y s tales que xr = xs . En caso contrario, es decir, si todas las potencias de x son distintas, se dirá que x tiene orden infinito.

Nota 2.3.6. Si x ∈ G tiene orden finito existen dos enteros r y s tales que xr = xs , luego xr−s = e. Orden finito de un elemento Sea (G, ⋆) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G de orden finito tiene orden m, y lo escribiremos o(x) = m si m es el menor entero positivo tal que xm = e.

51

El orden de un elemento satisface las siguientes propiedades cuya demostración dejaremos como ejercicio: Proposición 2.3.7. Sean G un grupo y x ∈ G. Se tienen las siguientes propiedades: 1. o(x) = 1 ⇐⇒ x = e. 2. Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x′ también y o(x) = o(x′ ). 3. Si x ∈ G tiene orden infinito, x′ tiene orden infinito. 4. Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito. 5. Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n. En el caso de permutaciones, es fácil comprobar que el orden de un ciclo coincide con su longitud.

Orden de un ciclo El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.

Uno de los resultados más importantes sobre permutaciones es el siguiente, que será muy importante para el estudio de permutaciones de conjuntos finitos.

Expresión en ciclos disjuntos Toda permutación con soporte finito puede expresarse como producto de ciclos disjuntos, además esta descomposición es única salvo el orden de los ciclos.

P RUEBA : Definimos la órbita de un elemento x ∈ X como x = {σ n (x); n ≥ 0}. Si x ∈ / sop(σ), entonces x = {x}. Si x ∈ sop(σ), entonces x ⊂ sop(σ) es un conjunto finito. Es decir, existe un (primer) m > 0 tal que σ m (x) = x y a partir de ahí los elementos σ n (x) se van repitiendo. 52

Ahora podemos definir la siguiente relación en X: x relacionado con y si y ∈ x. Se demuestra fácilmente que esta es una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia son claramente las órbitas de los elementos de X. Observamos ahora que cada clase de equivalencia, cada órbita x, corresponde a un ciclo que es, bien () si x = {x}, bien (x σ(x) · · · σ m−1 (x)) si m > 1 es el menor tal que σ m (x) = x. Estos ciclos son disjuntos, pues son clases de equivalencia. Además, si σ 6= (), debe ser la composición de estos ciclos disjuntos no triviales. El número de ciclos de orden > 1 es finito, porque el soporte de σ es finito. Por otra parte, si descomponemos σ como producto de ciclos disjuntos, cada ciclo es una órbita, luego es una clase de equivalencia para la relación anterior. Y deben estar todas las órbitas, o el producto de los ciclos no sería igual a σ. Luego esta descomposición debe coincidir con la descomposición anterior, que es por tanto única.  Ejemplo 2.3.8. En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutación   1 2 3 4 5 6 7 σ: . 3 6 5 1 4 2 7 Calculando las órbitas de los elementos de X se obtiene: 1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 2 = {2, 6} = 6 7 = {7}

(1354),

(26), ().

La expresión de σ como producto de ciclos disjuntos es σ = (1354)(26). Corolario 2.3.9. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutación de Sim(X) con soporte finito puede expresarse como producto de trasposiciones. P RUEBA : La permutación identidad se puede escribir como () = τ τ , siendo τ una trasposición. Si la permutación no es la identidad, dado que toda permutación con soporte finito puede expresarse como producto de ciclos disjuntos, es suficiente demostrar que los ciclos de longitud ≥ 2 pueden expresarse como producto de trasposiciones. Es fácil comprobar que se satisface la siguiente igualdad: (i1 i2 . . . ir−1 ir ) = (i1 ir )(i1 ir−1 ) · · · (i1 i3 )(i1 i2 ).  53

Ejemplo 2.3.10. En el ejemplo anterior, donde σ = (1354)(26), se tiene que (1354) = (14)(15)(13). Luego σ = (14)(15)(13)(26). Aprovechamos este ejemplo para comprobar además que la descomposición en producto de trasposiciones no es única, pues también se verifica σ = (14)(23)(15)(23)(13)(26). Corolario 2.3.11. Toda permutación con soporte finito tiene orden finito. P RUEBA : Sea σ ∈ Sim(X) una permutación con coporte finito. Si σ = () su orden es 1. Si σ 6= () se descompone como producto de r ≥ 1 ciclos disjuntos σ = σr · · · σ1 . Cada ciclo σi tiene orden finito ni . Además, como el producto de ciclos disjuntos es conmutativo σ p = (σr · · · σ1 )p = σrp · · · σ1p . Q Sea n = ri=1 ni , entonces σ n = σrn · · · σ1n = ().

Luego el orden de σ es finito.



Nota 2.3.12. ¡Ojo! En la demostración anterior no hemos probado que el orden de σ sea n. De hecho es un buen ejercicio para el próximo tema (El anillo de los números enteros) demostrar que el orden de σ es el mínimo común múltiplo de los ni .

El grupo Sn En este apartado vamos a estudiar las permutaciones sobre conjuntos finitos. Sea entonces el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto de las permutaciones de n elementos por Sn .

Orden de un grupo Sea (G, ⋆) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G|, como el cardinal del conjunto G.

54

Orden de Sn El orden del grupo Sn es |Sn | = n!. P RUEBA : Sea σ una permutación cualquiera de Sn , podemos ecribir   1 2 ··· n σ: . i1 i2 · · · in Hay n posibles elecciones para i1 , pero sólo n − 1 posibilidades para i2 , pues i1 no puede ser elegido de nuevo. Fijados i1 e i2 hay n − 2 posibles elecciones para i3 ... y así sucesivamente hasta llegar a in , cuya elección ya está fijada por la de los elementos anteriores.. Luego contando todas las posibilidades el número de permutaciones distintas de Sn es n(n − 1) · · · 1 = n!.  Ejemplo 2.3.13. Siguiendo el procedimiento anterior podemos dar la lista de todas las permutaciones de S3 :     1 2 3 1 2 3 , , 1 3 2 1 2 3     1 2 3 1 2 3 , , 2 3 1 2 1 3     1 2 3 1 2 3 . , 3 1 2 3 2 1 Expresadas como productos de ciclos las permutaciones de S3 son S3 = {(), (23), (12), (123), (13), (132)}. Dado que X = {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito, todas las permutaciones de Sn tienen soporte finito y los resultados enunciados anteriormente se aplican a Sn , es decir, Descomposición en ciclos disjuntos y trasposiciones Toda permutación de Sn se descompone de manera única, salvo orden, como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Además toda permutación de Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no de manera única.

55

Explicación del juego inicial Llegados a este punto podemos explicar cuál es la “magia” del juego de cartas. Teníamos cartas del mismo palo numeradas del 1 al 9 y las vamos “desordenando” hasta llegar a la posición inicial. Se trata por tanto de una combinación de permutaciones de S9 que, “mágicamente”, llegan a la identidad. La separación de cartas es la siguiente permutación2 :   1 2 3 4 5 6 7 8 9 . σ: 8 6 4 2 9 7 5 3 1 Que es σ = (183426759) un ciclo de longitud 9. Si no cortáramos, separar dos veces es σ 2 = (132798465). Y separar tres veces σ 3 = (147)(258)(369). Cortar una carta es la permutación   1 2 3 4 5 6 7 8 9 . κ: 9 1 2 3 4 5 6 7 8 Que en forma de ciclo es κ = (198765432). Cortar dos cartas es igual a cortar una carta y luego otra, es decir, κ2 = (186429753). Y cortar varias cartas es: κ3 = (174)(285)(396), κ4 = (162738495), κ5 = (159483726), κ6 = (147)(258)(369), κ7 = (135792468), κ8 = (123456789) y κ9 = (). Primer “hechizo mágico”: Separar tres veces seguidas es igual a cortar seis cartas3 . σ 3 = κ6 . Sabemos que en el caso de las permutaciones el orden de los factores sí altera el producto. Cortar y separar no es lo mismo que separar y cortar: σκ = (285)(369), 2

En realidad hay dos posibles separaciones, pues nosotros decidimos qué montón ponemos encima del otro, habría que estudiar varios casos que serían análogos a éste y que concluyen de igual forma. 3 Es aquí donde sí tiene influencia relativa el hecho de poder decidir qué montón ponemos encima del otro. En cualquier caso, hagamos la elección que hagamos, separar tres veces es igual a cortar varias cartas.

56

κσ = (174)(258). Si embargo, cortar cuatro cartas y separar es σκ4 = (183426759)(162738495) = (174)(258) = κσ. Segundo “hechizo mágico”: Cortar cuatro cartas y separar es lo mismo que separar y después cortar una carta4 . κσ = σκ4 . Por lo tanto, si bien es cierto que la composición no es conmutativa, sí tenemos ciertas reglas que nos permiten cambiar de posición “separar” y “cortar”. En efecto: κ2 σ = κ(κσ) = κσκ4 = (κσ)κ4 = σκ4 κ4 = σκ8 . κ3 σ = κ(κ2 σ) = κσκ8 = (κσ)κ8 = σκ4 κ8 = σκ3 . κ4 σ = κ(κ3 σ) = κσκ3 = (κσ)κ3 = σκ4 κ3 = σκ7 . κ5 σ = · · · = σκ2 . κ6 σ = · · · = σκ6 . κ7 σ = · · · = σκ. κ8 σ = · · · = σκ5 . Ya tenemos las herramientas y “hechizos” necesarios para la explicación del juego. Inicialmente tenemos las 9 cartas ordenadas y lo que hacemos en el juego es separar las cartas, cortar varias veces, separar otra vez las cartas, cortar varias veces y separar por tercera vez las cartas y cortar varias veces. Esto es: ′

′

′

′

′

′

(κr σ)(κq σ)(κp σ) = (σκr )(σκq )(σκp ) = σ(κr σ)(κq σ)κp = ′′

′′

′

′′

= σ(σκr )(σκq )κp = σ 2 (κr σ)κq = κ6 κr

′′ +p′

′′′ +q ′′ +p′

′′′

= σ 2 (σκr )κq

= κ6+r

′′′ +q ′′ +p′

′′ +p′

= σ 3 κr

′′′ +q ′′ +p′

=

.

Por tanto, después de realizar el juego lo que nos queda es un simple corte. Al mirar la primera carta sabemos cuántas cartas tenemos que cortar para dejar nuestras nueve cartas ordenadas como al principio. 4

Al igual que anteriormente, si al separar elegimos poner otro montón encima, siempre obtendremos una relación parecida en la que cortar varuas cartas y separar equivale a separar y después cortar una carta

57

Permutaciones pares e impares Si σ es una permutación de Sn entonces σ sustituye el orden natural de los enteros 1, 2, . . . , n por el nuevo orden σ(1), σ(2), . . . , σ(n). Así que la acción de σ puede causar inversiones del orden natural. Inversiones en una permutación Se dice que σ ∈ Sn tiene una inversión si para algún par de elementos i < j se tiene que σ(i) > σ(j). Para contar el número de inversiones introducidas por σ necesitamos introducir un recurso formal. Consideremos un polinomio f en las indeterminadas x1 , x2 , . . . , xn (ahora mismo nosostros necesitamos sólo conocer “informalmente” qué es un polinomio, más adelante estudiaremos estos objetos). La permutación σ actúa sobre los subíndices de las indeterminadas en f . Es decir, σ(f (x1 , x2 , . . . , xn )) = f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). Por ejemplo, si f = x1 − x2 − 2x3 y σ = (12), entonces σ(f ) = x2 − x1 − 2x3 . Consideremos ahora el polinomio especial f (x1 , . . . , xn ) =

n Y

(xi − xj ).

i,j=1

i σ(j) entonces −(xσ(i) − xσ(j) ) es un factor de f . En consecuencia, σ(f ) = +f si el número de inversiones de σ es par y σ(f ) = −f si es impar. Signo de una permutación Llamamos signo de la permutación σ al valor signo(σ) =

σ(f ) . f

La función signo(σ) toma valores 1 o −1 según si el número de inversiones de σ es par o impar. Diremos que σ es una permutación par si signo(σ) = 1 y una permutación impar si signo(σ) = −1.

58

Ejemplo 2.3.14. Las permutaciones pares de S3 son (), (123) y (132), mientras que las impares son (12), (13) y (23). Para decidir si una permutación (no demasiado grande) es par o impar es útil hacer un diagrama de cruces. Veamos esto con un ejemplo: Ejemplo 2.3.15. ¿Es la permutación   1 2 3 4 5 6 7 σ: 3 7 2 5 4 1 6 par o impar? Simplemente unimos los números iguales de las filas de arriba y de abajo de σ y contamos las inversiones o cruces (figura 2.5), teniendo cuidado de evitar intersecciones múltiples o innecesarias. Un cruce indica una inversión del orden natural.

Figura 2.5: Inversiones de σ Hay 11 cruzamientos, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutación impar. El próximo resultado es es una propiedad significativa de las trasposiciones. Proposición 2.3.16. Las trasposiciones son siempre impares. P RUEBA : Consideremos el diagrama de cruces (figura 2.6) para la trasposición τ = (ij) donde i < j. Contando obtenemos 2(j − i − 1) + 1 cruces, que siempre es impar. Luego τ = (ij) es una permutación impar.  Las siguientes son propiedades básicas de la función signo. Proposición 2.3.17. Sean σ, τ ∈ Sn . Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. signo(στ ) = signo(σ) signo(τ ). 2. signo(σ −1 ) = signo(σ). 59

Figura 2.6: Diagrama de cruces de τ = (ij) P RUEBA : Q 1. Sea ni,j=1 (xi − xj ). Como σ(f ) = signo(σ)f , tenemos i