Cap´ıtulo 2

Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

uando hablamos de pol´ıgonos y poliedros (cubos, prismas, etc.) es bien conocido por todos el C significado de los t´erminos v´ertice o cara. Sin embargo, estos conceptos resultan menos intuitivos si nos estamos refiriendo a un conjunto convexo (cerrado) gen´erico. El estudio de la frontera de un conjunto convexo resulta de gran importancia, pues determinados puntos (o estructuras) de la frontera “capturan” una gran cantidad de informaci´on sobre el propio conjunto (tanto en dimensi´ on finita como infinita). Los poliedros (politopos convexos tridimensionales), especialmente los regulares, han fascinado a la humanidad desde la antig¨ uedad. La construcci´on de los cinco s´olidos regulares en R3 (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en el “Libro XIII”, fue uno de los puntos m´as relevantes del famoso “Los Elementos” de Euclides (∼325-265 A.C.). Estos poliedros reciben el nombre de s´ olidos plat´ onicos, debido a que Plat´on (∼427-347 A.C.) hace menci´on expresa de ellos en el “Timeo”, uno de sus di´alogos. En ´el expon´ıa sus ideas sobre estos s´olidos, siendo tambi´en conocidos como los “cuerpos c´osmicos” ya que representaban la composici´on y armon´ıa de las cosas: – la Tierra estaba formada por ´atomos agrupados en forma de cubos, pues ´este es el poliedro m´as “s´olido de los cinco”; – el fuego, de tetraedros, ya que ´este es el elemento m´as “peque˜ no, ligero, m´ovil y agudo”; – el aire, de octaedros, por ser el de “tama˜ no, peso y fluidez, en cierto modo intermedios”; – y el agua, de icosaedros: ´este es el m´as “m´ovil y fluido de los elementos; debe tener como forma propia o semilla, el icosaedro, el s´olido m´as cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar”;

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Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

– finalmente, el universo (o ´eter) estaba figurado en el dodecaedro: “la forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos; Dios lo utiliz´o para todo cuando dibuj´o el orden final”.

Figura 2.1: Representaci´ on de 5 los elementos en los cuerpos c´ osmicos, seg´ un Plat´ on.

La primera demostraci´on conocida del hecho de que s´ olo existen 5 poliedros regulares en R3 se remonta a los pitag´oricos (Pit´agoras, ∼580-500 A.C.), y podr´ıa resumirse como sigue: Obs´ervese en primer lugar que cada v´ertice debe ser com´ un, al menos, a tres caras para que se forme un s´ olido. Adem´as, la suma de los ´angulos interiores de las caras que se encuentran en cada v´ertice debe ser menor que 360◦ (la figura se cierra, no es plana). As´ı pues, las distintas posibilidades son: Los ´angulos del tri´angulo equil´atero miden 60◦ . Por tanto, en un v´ertice pueden concurrir 3, 4 ´o 5 de ellos. As´ı se obtienen el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Los ´angulos del cuadrado miden 90◦ . En consecuencia, s´olo pueden concurrir 3 en cada v´ertice. Esto nos proporciona el cubo. Los ´angulos del pent´agono regular valen 108◦ . Poniendo 3 de ellos en cada v´ertice se obtiene un dodecaedro. Con los siguientes pol´ıgonos no es posible formar poliedros regulares: los ´angulos interiores de una hex´agono miden 120o y no es posible poner tres juntos sin llegar al l´ımite de 360o ; los ´angulos interiores de los siguientes son mayores. Muchos piensan que los pitag´oricos fueron los primeros en observar este hecho, aunque su historia es mucho m´as antigua: los arque´ologos han hallado im´agenes de los s´olidos en piedra considerablemente m´as remotas.

Figura 2.2: Tierra, fuego, universo, agua y aire. Figuras recogidas en un yacimiento neol´ıtico de Escocia (7000-3000 A.C.).

2.1 La estructura facial de un conjunto convexo.

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Ya en el siglo XVI, en su tratado “Mysterium Cosmographicum”, Kepler (1571-1630) defend´ıa la idea de que las ´orbitas (circulares) de los planetas estaban en proporci´on con los radios de las esferas inscritas en s´olidos plat´onicos dispuestos uno dentro de otro. S´olo tras conocer los resultados de las observaciones de Tycho Brahe, Kepler concluy´o que tal modelo era err´ oneo y que los planetas se mov´ıan describiendo trayectorias el´ıpticas. En los propios comentarios y grabados de la obra de Kepler antes citada se puede observar c´omo a´ un sobreviv´ıa en esta ´epoca tan tard´ıa la asociaci´on entre elementos y poliedros establecida por Plat´on. La investigaci´on de los politopos convexos en dimensi´ on tres ha sido una de las principales fuentes de la Teor´ıa de Figura 2.3: Representaci´ on del universo de Grafos Planos, y gracias al buen desarrollo de esta teor´ıa, los poliedros son, relativamente, bien conocidos. Sin embargo, los Kepler. politopos en dimensi´on cuatro y superior suponen un desaf´ıo considerablemente mayor para los matem´aticos, lo que ha supuesto el desarrollo de una teor´ıa sorprendentemente profunda y compleja, fundamentalmente de naturaleza algebraica, en un intento por entender su estructura. Adem´as del gran inter´es que tienen por s´ı mismos, los politopos juegan un papel esencial en muy diversos campos, como en la ya mencionada Teor´ıa de Grafos, en Cristalograf´ıa, para medir conjuntos convexos, en Programaci´on Lineal, en Teor´ıa de Juegos o en Geometr´ıa Combinatoria, entre otros.

2.1.

La estructura facial de un conjunto convexo. Sumario. Caras i-dimensionales. Caras expuestas. Cono soporte y cono normal de K en un punto x. Vector normal exterior. Puntos r-singulares y puntos regulares

in duda alguna, todos estamos familiarizados con el t´ermino cara cuando ´este se aplica a los S poliedros convexos, tales como cubos, prismas triangulares, pir´amides cuadrangulares, etc. En la presente lecci´on vamos a introducir el concepto de cara para conjuntos convexos (cerrados) arbitrarios, lo que nos permitir´a describir la estructura de la frontera relativa de un conjunto convexo. Definici´ on 2.1. Una cara de un conjunto convexo cerrado K de Rn es un subconjunto convexo F de K de forma que, siempre que λx + (1 − λ)y ∈ F, donde x, y ∈ K y 0 < λ < 1, entonces ambos puntos x, y ∈ F .

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Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

O, dicho de otro modo, una cara de K es un subconjunto convexo F ⊂ K tal que cada segmento [x, y] ⊂ K

con

F ∩ relint[x, y] 6= ∅

est´a contenido en F . Se considera que tanto el conjunto vac´ıo ∅ como el propio conjunto K son caras de K, denominadas caras impropias de K; todas las dem´as caras se dicen propias. Adem´as, para hacer referencia a la dimensi´on de las caras se hablar´a de i-caras del conjunto. En lo sucesivo, representaremos por F (K) el conjunto de todas las caras del conjunto K, y por Fi (K) el conjunto de todas las caras i-dimensionales de K. Algunas propiedades elementales, que se deducen directamente de la definici´on son las siguientes: – Las 0-caras son los puntos extremos del conjunto. – Las caras de un conjunto convexo cerrado K son cerradas. – Si F 6= K es una cara de K, entonces F ∩ relint K = ∅. – En particular, F ⊂ relbd K y dim F < n. Proposici´ on 2.2. Si K es un conjunto convexo cerrado de Rn : i) La intersecci´ on de cualquier colecci´ on no vac´ıa de caras de K es una cara de K. ii) Si F es una cara de K y G es una cara de F , entonces G tambi´en es una cara de K. iii) Si F1 , F2 ∈ F (K) son dos caras distintas de K, entonces relint F1 ∩relint F2 = ∅. Esto permite  deducir adem´ as que el sistema relint F : F ∈ F (K) es una descomposici´ on disjunta de K. Si H es un hiperplano soporte al conjunto K, entonces H ∩ K es una cara de K. Esto nos permite establecer la siguiente definici´on: Definici´ on 2.3. La intersecci´ on de un conjunto convexo cerrado K de Rn con uno de sus hiperplanos soporte recibe el nombre de cara expuesta de K (o i-cara expuesta de K). De nuevo, los conjuntos ∅ y K se consideran caras expuestas y se denominan impropias. Al igual que ocurr´ıa para las caras de un conjunto convexo cerrado K (v´ease la Proposici´ on 2.2), se puede demostrar que: Proposici´ on 2.4. La intersecci´ on de cualquier colecci´ on no vac´ıa de caras expuestas de K es una cara expuesta de K. Sin embargo, la propiedad (ii) de la Proposici´on 2.2 no tiene contrapartida para las caras expuestas: una cara expuesta G de una cara expuesta F del conjunto K no tiene por qu´e ser, necesariamente, una cara expuesta de K.

2.1 La estructura facial de un conjunto convexo.

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Definici´ on 2.5. Sean K un cuerpo convexo y x un punto de K. Definimos el conjunto [  P (K, x) := λ(y − x) : y ∈ K, λ > 0 = λ(K − x). λ>0

Entonces S(K, x) = cl P (K, x) recibe el nombre de cono soporte de K en x. Claramente P (K, x) es un cono convexo, y adem´as, P (K, x) = aff K −x si, y s´olo si, x ∈ relint K. Evidentemente, el cono soporte S(K, x) puede representarse de la forma \ H − (K, u) − x, S(K, x) = x∈H(K,u)

donde la intersecci´on se toma sobre todas las direcciones u ∈ Sn−1 para las que x se encuentra en el hiperplano soporte H(K, u) (si x ∈ relint K, se adopta el convenio usual de que la intersecci´ on de una familia vac´ıa de subconjuntos de Rn es igual a Rn ). Definici´ on 2.6. Se define el cono normal de K en x como  N (K, x) := u ∈ Rn \{O} : x ∈ H(K, u) ∪ {O}. Si x ∈ K ∩ H(K, u), entonces se dice que u es un vector normal exterior a K en x. Por lo tanto, N (K, x) no es otra cosa que el conjunto de todos los vectores normales exteriores a K en x junto con el vector nulo. Claramente, N (K, x) es un cono convexo cerrado, y adem´as N (K, x) = S(K, x)∗ , esto es, N (K, x) y S(K, x) son conos convexos duales. Un hecho interesante es que el cono normal est´a estrechamente relacionado con la proyecci´ on m´etrica: el Lema 1.17 nos aseguraba que si x 6∈ K, entonces el hiperplano H que pasa por el punto m´as pr´oximo p(K, x) = pK (x), ortogonal al vector u(K, x), soporta K; de aqu´ı se deduce que N (K, x) = p−1 K (x) − x. El siguiente resultado describe el comportamiento de los conos soporte y normal respecto a la suma y la intersecci´on de conjuntos. Teorema 2.7. Sean K y L dos cuerpos convexos de Rn . i) Si x ∈ K e y ∈ L, entonces S(K + L, x + y) = S(K, x) + S(L, y), N (K + L, x + y) = N (K, x) ∩ N (L, y). ii) Si x ∈ K ∩ L y relint K ∩ relint L 6= ∅, entonces S(K ∩ L, x) = S(K, x) ∩ S(L, x), N (K ∩ L, x) = N (K, x) + N (L, x).

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Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

Los conos normales conducen, de forma natural, a una clasificaci´on de los puntos singulares de la frontera de un cuerpo convexo. Definici´ on 2.8. Sea K un cuerpo convexo con O ∈ int K y sea x un punto de la frontera de K. Decimos que x es un punto r-singular de K si dim N (K, x) ≥ n − r. Un punto (n − 2)-singular se denomina, simplemente, punto singular. En particular, un punto 0-singular verifica que dim N (K, x) = n, y es lo que se conoce com´ unmente por un v´ertice de K. Si el hiperplano soporte a K en x es u ´nico, es decir, si x es no singular, entonces x se llama regular. En consecuencia, el cuerpo convexo K se dice regular si todos sus puntos frontera son regulares.

2.2.

Los politopos. Sumario. Los k-politopos. Los s´olidos plat´onicos. Paralelotopos, k-s´ımplices y k-crosspolitopos. V´ertices, aristas y caras de un politopo. Politopos simpliciales y simples. Zonotopos. Teorema Principal de los Politopos. La f´ormula de EulerPoincar´e. Aproximaci´on por politopos.

e define un politopo como la envoltura convexa de un conjunto finito (posiblemente vac´ıo) de S puntos en R . Es por tanto la generalizaci´on natural de un pol´ıgono en el plano y un poliedro en n

dimensi´on tres. De forma m´as general, se da el nombre de k-politopo a un politopo de dimensi´on k. Adem´as de los famosos s´olidos plat´onicos, conocemos ya algunos ejemplos sencillos de politopos: i) Los paralelotopos: politopos generados mediante la suma de un n´ umero finito de vectores n linealmente independientes de R . Entre ellos, los m´as sencillos son los cubos: un cubo n-dimensional no es m´as que el producto cartesiano [−1, 1]n . ii) Los k-s´ımplices: politopos generados por la envoltura convexa de k + 1 puntos af´ınmente independientes. iii) Los crosspolitopos: en general, un crosspolitopo k-dimensional es la envoltura convexa de k segmentos linealmente independientes en Rn cuyos puntos medios coinciden. Tal crosspolitopo se dice regular si todos los segmentos tienen la misma longitud y son adem´as mutuamente ortogonales. Si P es un politopo, se denominan – v´ertices, los puntos extremos de P , – aristas o lados, las 1-caras de P , y simplemente

2.2 Los politopos.

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– caras, las caras (n − 1)-dimensionales de P . Existen adem´as dos clases muy importantes de politopos: los llamados simpliciales y los simples. Definici´ on 2.9. Un politopo de Rn se dice simplicial si todas sus caras (propias) son s´ımplices, es decir, si toda cara (n − 1)-dimensional tiene n v´ertices. Un politopo de Rn se dice simple si todo v´ertice est´ a contenido en n caras (n − 1)-dimensionales. Estos dos conceptos est´an ligados por la polaridad: si dos politopos P y Q son duales, entonces uno de ellos es simple si, y s´olo si, el otro es simplicial, y viceversa.

2.2.1.

La estructura facial de un politopo.

Los v´ertices de un politopo P = conv{x1 , . . . , xk } son los puntos extremos de P , y coincidiesen a su vez con los puntos x1 , . . . , xk si, y s´olo si, para cada i = 1, . . . , k, [ xi 6∈ conv xj . j6=i

Los politopos son los cuerpos convexos que tienen una cantidad finita de puntos extremos. Otras propiedades de los politopos son las siguientes: – Si H es un hiperplano soporte de un politopo P = conv{x1 , . . . , xk }, entonces
H ∩ P = conv H ∩ {x1 , . . . , xk } , y por tanto la intersecci´on H ∩ P es un politopo. – Es innecesaria la distinci´on entre caras y caras expuestas: en efecto; se demuestra que toda cara propia de un politopo P es la intersecci´on de P con alg´ un hiperplano soporte H a P . En particular, cada punto extremo de un politopo es un punto expuesto. Adem´as si F es una cara propia de P , como existe un hiperplano H con
F = H ∩ P = conv H ∩ {x1 , . . . , xk } , se puede concluir que toda cara es la envoltura convexa de un subconjunto de los v´ertices. – Si P y Q son dos politopos en Rn y α ∈ R, entonces P + Q y αP son tambi´en politopos. En particular: Definici´ on 2.10. La suma vectorial de un n´ umero finito de segmentos en Rn es un politopo que recibe el nombre de zonotopo. Un politopo se ha definido como la envoltura convexa de un n´ umero finito de puntos. De manera alternativa, se puede ver como la intersecci´on de un n´ umero finito de semiespacios:

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Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

Teorema 2.11. Todo politopo es la intersecci´ on de una cantidad finita de semiespacios cerrados. Teorema 2.12. Toda intersecci´ on acotada de una cantidad finita de semiespacios cerrados es un politopo. La caracterizaci´on de los politopos establecida por los Teoremas 2.11 y 2.12 suele recibir el nombre de Teorema Principal de los Politopos. Lema 2.13. El cuerpo polar de un politopo es de nuevo un politopo. Por ejemplo, si consideramos los cinco s´olidos plat´onicos, se tiene que el cubo y el octaedro son politopos duales, que el dodecaedro y el icosaedro son tambi´en polares y que el tetraedro es dual de s´ı mismo. La siguiente elegante construcci´on, puramente geom´etrica, del dodecaedro a partir del icosaedro (y viceversa) permite intuir esa dualidad existente entre ambas figuras: Imaginemos dos pent´agonos regulares y horizontales, situados uno sobre el otro, y rotemos el superior, dentro de su plano, un ´angulo de 36◦ . Conectemos entonces los v´ertices mediante 10 tri´angulos is´osceles, lo que nos da un poliedro que, usualmente, recibe el nombre de antiprisma. Claramente, para una distancia adecuada entre los pent´agonos, dichos tri´angulos ser´an equil´ateros. Finalmente, sustituyamos los dos pent´agonos por sendos “capuchones” formados por 5 tri´angulos equil´ateros. Hemos construido un icosaedro. Si ahora conectamos los puntos medios de las caras triangulares adyacentes, obtenemos los 12 pent´agonos regulares que forman las caras del dodecaedro. Ya sabemos que toda cara de un politopo P es la envoltura convexa de un subconjunto de sus v´ertices. Sea V el conjunto de los v´ertices de P . La pregunta surge entonces de forma natural: ¿Qu´e subconjuntos W del conjunto de los v´ertices V van a determinar una cara de P ? El siguiente resultado proporciona la respuesta a la cuesti´on anterior: Proposici´ on 2.14. Sea W un subconjunto del conjunto de los v´ertices V de un politopo P . Entonces conv W es una cara de P si, y s´ olo si, (aff W ) ∩ conv(V \W ) = ∅. De forma general, se establece el siguiente teorema sobre la estructura facial de los politopos: Teorema 2.15 (La estructura facial). Si F (P ) es el conjunto de todas las caras de un politopo P , entonces: i) Para cualesquiera dos caras F y G de F (P ), la intersecci´ on F ∩ G es una nueva cara de P que incluye todas las caras que est´ an contenidas tanto en F como en G. ii) Para cualesquiera dos caras F y G de F (P ), existe una cara de P , denominada la cara com´ un de F y G, que contiene a ambas, y que est´ a incluida a su vez en cualquier otra cara que contenga, tanto a F como a G.

2.2 Los politopos.

2.2.2.

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La f´ ormula de Euler.

En 1752, Euler descubri´o que, para los politopos 3-dimensionales, se verificaba la hoy conocida f´ormula f − e + v = 2, donde f representa el n´ umero de caras, e el n´ umero de aristas y v el n´ umero de v´ertices del politopo. El caso general fue demostrado por Poincar´e en 1899, por lo que dicha relaci´on se conoce a menudo con el nombre de f´ ormula de Euler-Poincar´e. Vamos a representar por fr (P ) el n´ umero de r-caras que presenta un n-politopo P de Rn para r = −1, 0, 1, . . . , n, donde f−1 (P ) = fn (P ) = 1. De forma general, si r < −1 ´o r > n se considera que fr (P ) = 0. Teorema 2.16 (La f´ ormula de Euler-Poincar´ e, 1752–1899). Sea P un m-politopo no vac´ıo n en R . Entonces m−1 X (−1)r fr (P ) = 1 − (−1)m . r=0

2.2.3.

Aproximaci´ on de cuerpos convexos por politopos.

Dado que disponemos de una m´etrica en la familia K n de los cuerpos convexos de Rn , la m´etrica de Hausdorff, podemos estudiar la aproximaci´ on de cuerpos convexos arbitrarios por otros particulares. La aproximaci´on de cuerpos convexos generales por politopos es una herramienta extremadamente u ´til en numerosas investigaciones. Vamos a se˜ nalar aqu´ı u ´nicamente los hechos m´as b´asicos referentes a la aproximaci´on por politopos. Teorema 2.17. Sean K un cuerpo convexo de Rn y ε > 0. Entonces, existe un politopo P ∈ K verificando que P ⊂ K ⊂ P + εBn ,

n

y por tanto, con δ(P, K) ≤ ε. Teorema 2.18 (Teorema de aproximaci´ on). Sea K un cuerpo convexo de Rn que contiene el origen en su interior. Entonces, para cada λ > 1, existe un politopo P ∈ K n verificando que P ⊂ K ⊂ λP.

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