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Otras distribuciones multivariantes Clase esf´ erica de distribuciones en Rp Definici´ on. Dado un vector aleatorio X = (X1 , . . . , Xp )t , se dice que se distribuye en la clase esf´erica de distribuciones en Rp si, para cualquier matriz ortogonal H, los vectores X y HX tienen la misma distribuci´ on. Comentario. La definici´ on anterior nos dice que X pertenece a la clase esf´erica si su distribuci´ on es invariante frente a transformaciones ortogonales. Se puede demostrar1 que el hecho de que una funci´ on vectorial sea invariante frente a transformaciones ortogonales se traduce en que dicha funci´ on depende de x s´ olo a trav´es de xt x. Por lo tanto, y centr´ andonos en el caso continuo, si un vector aleatorio pertenece a la clase esf´erica, su densidad depende de x s´ olo a trav´es de xt x. Por lo tanto ser´ a de la forma fx (x) = Kp g(xt x) donde Kp > 0 es una constante y g una funci´ on escalar (que ser´ a suficientemente regular para garantizar que fX sea una densidad). Algunos ejemplos de distribuciones esf´ericas son las siguientes: Distribuci´ on uniforme en la hiperesfera de radio r:   Γ p+2 2 fx (x) = p/2 p I[xt x≤r2 ] π r En este caso, g es la funci´ on indicadora en el c´ırculo xt x ≤ r2 y Kp =

Γ



p+2 2

p

π 2 rp

 ·

Normal p-dimensional esf´erica N[0; Ip ]:  t  xx fx (x) = − , x ∈ Rp . p exp 2 (2π) 2 1

En este caso la funci´ on g es la exponencial y Kp =

1 p

·

(2π) 2

T-Student esf´erica con n grados de libertad Γ

fX (x) = p 2

, x ∈ Rp .   n+p t 2 xx 1+ n n+p



n

(nπ) Γ Ahora g(x) = (1 + x/n)(n+p)/2 y Kp =

n+p
2

2

Γ

p 2

2

(nπ) Γ

n 2


·

1 El resultado aqui comentado es un caso particular extra´ıdo de la teor´ıa de invarianza de grupos de transformaciones cuando estos act´ uan sobre un espacio concreto. En este caso, el grupo de transformaciones es el grupo ortogonal y el espacio es Rp .

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Nota: Si n = 1 se tiene la distribuci´on de Cauchy p-dimensional, mientras que si p = 1 se tiene la distribuci´ on t de Student con n grados de libertad. Ejercicio: Comprobar que si X es un vector aleatorio de la clase esf´erica, entonces su funci´on caracter´ıstica es de la forma φX (u) = ψ(ut u) para alguna funci´on ψ. Como consecuencia, las distribuciones marginales tambi´en pertenecen a la clase esf´erica. Indicaci´ on: El resultado se obtiene siguiendo un razonamiento an´alogo al del comentario anterior sobre la funci´on de densidad. Basta con ello comprobar, a partir de la definici´on de funcion caracter´ıstica, que φ(u) = φ(Hu) para cualquier matriz H ortogonal. Veamos a continuaci´ on algunos ejemplos de estas distribuciones. 1. Distribuci´ on uniforme en el c´ırculo de radio r. Sea S 1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ r2 } el c´ırculo centrado en el origen y de radio r > 0. Dado un vector aleatorio X = (X1 , X2 )t se dice que sigue la distribuci´on uniforme en S 1 si su densidad es f (x1 , x2 ) = K IS 1 , on indicadora en S 1 . donde K > 0 y IS 1 indica la funci´ Nota: Observemos que la densidad anterior depende de x = (x1 , x2 )t a trav´es del producto escalar xt x. Ejercicio: Verificar que K =

1 . Indicaci´ on: Emplear el cambio a coordenadas polares: π r2 x1 = ρ cos(θ) , x2 = ρ sen(θ)

ρ > 0, 0 < θ ≤ 2π.

r2 Comprobar que E[X] = 0 y Cov[X] = I2 . Indicaci´ on: Emplear el cambio a coordenadas 4 polares. Calcular las distribuciones marginales as´ı como las condicionadas. Por simetr´ıa basta calcular la distribuci´ on de X1 y la de X1 |X2 = x2 . Soluci´ on: p 2 r2 − x21 fX1 (x1 ) = , π r2 1 , fX1 |X2 =x2 (x1 ) = p 2 2 r − x22

−r ≤ x1 ≤ r

x21 ≤ r2 − x22 ;

(−r ≤ x2 ≤ r) .

Nota: Comprobar que las distribuciones condicionadas son uniformes en un determinado intervalo. Asimismo, tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma eucl´ıdea al cuadrado del argumento, o sea pertenecen a la clase esf´erica. An´alisis Multivariante. 3o Grado en Estad´ıstica

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2. Distribuci´ on uniforme en la esfera de radio r. Sea S 2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 ≤ r2 } el interior y el borde de la esfera centrada en el origen y de radio r > 0. Dado un vector aleatorio X = (X1 , X2 , X3 )t se dice que sigue la distribuci´ on uniforme en S 2 si su densidad es f (x1 , x2 , x3 ) = K IS 2 , donde K > 0 y IS 2 indica la funci´ on indicadora en S 2 . Nota: Observemos que la densidad anterior depende de x = (x1 , x2 , x3 )t a trav´es del producto escalar xt x. Ejercicio: Verificar que K =

3 · Indicaci´ on: Emplear el cambio a coordenadas polares: 4π r3

x1 = ρ cos(θ) x2 = ρ sen(θ) cos(φ) , x3 = ρ sen(θ) sen(φ)

ρ > 0, 0 < θ ≤ π, 0 < φ ≤ 2π

r2 Comprobar que E[X] = 0 y Cov[X] = I3 . Indicaci´ on: Emplear el cambio a coordenadas 5 polares. Calcular la distribuciones marginales unidimensionales y bidimensionales. Dada la simetr´ıa, basta con calcular la distribuci´on de X1 y la de (X1 , X2 )t . Soluci´ on: fX1 (x1 ) =

3(r2 − x21 ) , 4 r3

−r ≤ x1 ≤ r

p 3 r2 − x21 − x22 , fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 2π r3

x21 + x22 ≤ r2

Calcular las distribuciones (X2 , X3 )t |X1 = x1 y X3 |X1 = x1 , X2 = x2 . Deducir que son distribuciones uniformes en un c´ırculo y en un intervalo, respectivamente y, en consecuencia, calcular los dos primeros momentos. Soluci´ on: fX2 ,X3 |X1 =x1 (x2 , x3 ) =

1 , π(r2 − x21 )

x22 + x23 ≤ r2 − x21 ;

1 fX3 |X1 =x1 ,X2 =x2 (x3 ) = p , 2 r2 − x21 − x22

(−r ≤ x1 ≤ r)

x23 ≤ r2 − x21 − x22 ;


x21 + x22 ≤ r2 .

Nota: Obs´ervese que tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma eucl´ıdea al cuadrado del argumento, o sea, pertenecen a la clase esf´erica. An´alisis Multivariante. 3o Grado en Estad´ıstica

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3. Distribuci´ on uniforme en la hiperesfera de radio r. (Este apartado es optativo, pero es interesante que al menos se intente). Los anteriores resultados se pueden generalizar a mayores dimensiones. As´ı tenemos la distribuci´on uniforme en la hiperesfera de radio r. Sea S p−1 = {x ∈ Rp : xt x ≤ r2 } el interior y el borde de la hiperesfera centrada en el origen y de radio r > 0. Dado un vector aleatorio X = (X1 , . . . , Xp )t se dice que sigue la distribuci´ on p−1 uniforme en S si su densidad es f (x) = K IS p−1 , donde K > 0 y IS p−1 indica la funci´on indicadora en S p−1 . NOTA: Observemos que la densidad anterior depende de x a trav´es del producto escalar xt x. Ejercicio: Γ Verificar que K =



p+2 2



π p/2 rp

· Indicaci´ on: Emplear el cambio a coordenadas polares:

x1 = ρ cos(θ1 ) x2 = ρ sen(θ1 ) cos(θ2 ) .. . xp−1 = ρsen(θ1 )sen(θ2 ) · · · sen(θp−2 ) cos(θp−1 ) xp = ρsen(θ1 )sen(θ2 ) · · · sen(θp−2 )sen(θp−1 ) para ρ > 0, 0 < θj ≤ π (j = 1, . . . , p − 2) y 0 < θp−1 ≤ 2π, y cuyo jacobiano viene dado p−2 Y por |J| = ρp−1 (sen(θj ))p−j−1 (No hay que calcularlo.) j=1

r2 Ip . Indicaci´ on: usar el cambio a coordenadas p+2 polares (prestando atenci´ on en cada caso a las variables que est´an involucradas en las integrales que se deban hacer). Adem´as, es aconsejable recordar que Z π Z π/2 k • sen (θ) dθ = cosk (θ) dθ. π/2 0
√   Z π/2 Z π/2 π 1 k+1 1 1 Γ k+1 k k 2
. , = • sen (θ) dθ = cos (θ) dθ = Beta k+2 2 2 2 2 Γ 2 0 0
Z π k+1 √ Γ 2 π
. • senk (θ) dθ = k+2 Γ 2 0 Z π • senk (θ) cos(θ) dθ = 0. 0
√ Z π π 1 Γ k+3 k 2 2
. • sen (θ) cos (θ) dθ = k+4 k+1 Γ 2 0

Comprobar que E[X] = 0 y Cov[X] =

(No hay que calcular estas integrales.) An´alisis Multivariante. 3o Grado en Estad´ıstica

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Calcular la distribuciones marginales unidimensionales y bidimensionales. Dada la simetr´ıa basta con calcular, por ejemplo, las de X1 y (X1 , X2 )t . Soluci´ on: Γ fX1 (x1 ) = √

p+2 2

π rp Γ

Γ fX1 ,X2 (x1 , x2 ) =





p+2 2

π rp Γ





p+1 2

 (r2 − x21 )

p−1 2

,

−r ≤ x1 ≤ r

p−2 2

,

x21 + x22 ≤ r2

 p
(r 2

2

− x21 − x22 )

 t Si consideramos X partido en la forma X = Xt(1) |Xt(2) , donde X(1) es de dimensi´on q y X(1) lo es p − q, calcular la distribuci´on de X(1) . Soluci´ on: Γ fX(1) (x(1) ) =

π

q 2



rp Γ

p+2 2





p−q+2 2

  p−q 2  r2 − xt(1) x(1) ,

xt(2) x(2) ≤ r2

Indicaci´ on: Para el c´ alculo observa la regla de generaci´on de las anteriores distribuciones. Calcular la distribuci´ on condicionada X(2) |X(1) = x(1) . Deducir que es una distribuci´ on uniforme en S p−q−1 , o sea, la esfera de dimensi´on p − q. En consecuencia, calcular los dos primeros momentos. Soluci´ on: Γ fX2 |X1 =x1 (x2 ) =

π

p−q 2



p−q+2 2



(r2 − xt1 x1 )

p−q 2

, xt2 x2 ≤ r2 − xt1 x1 ;


xt1 x1 ≤ r2 .

Nota: Obs´ervese que tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma eucl´ıdea al cuadrado del argumento, o sea, pertenecen a la clase esf´erica.

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