Distribuciones de Probabilidad Variables Aleatorias Ahora se introducirá el concepto de variable aleatoria y luego se introducirán las distribuciones de probabilidad discretas más comunes en la práctica y algunos de sus usos. Los eventos se pueden representar por medio de funciones que toman valores en los números reales. Para ilustrar esta idea considere el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un ingeniero de producción está interesado en determinar la probabilidad de que un cierto artículo de una línea de producción este defectuoso. Para tratar de determinar esta probabilidad, toma al azar tres artículos. Determine el espacio muestral. Solución: El experimento consiste en tomar al azar tres artículos. Suponga que D denota una elección de un artículo defectuoso y N un artículo no defectuosos; así, {

}

El ingeniero está interesado en el número de defectuosos en los tres seleccionados, represente este número por medio de la letra X. Observe que cada punto muestral representa el evento de escoger defectuosos; por ejemplo, el punto , quiere decir que no se tomó ningún defectuoso, por lo tanto ; el punto quiere decir que los tres artículos están defectuosos, por lo tanto ; de esta manera los posibles valores de X serán 0, 1, 2, 3. Una Variable Aleatoria es una función definida en un espacio muestral S que asigna a cada resultado del experimento un valor real. Usualmente las denotamos con letras mayúsculas (X ; Y ; Z ; T; etc.). Así,

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Utilizando esta notación de funciones, se tiene que X se puede pensar de la siguiente forma,

Al conjunto de todos los posibles resultados de una variable aleatoria se le llamará Rango de la variable y es usualmente denotado Si una variable aleatoria solamente puede tomar un número finito o contable de valores, se dice que la variable aleatoria es discreta. Si una variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un intervalo real, se dice que la variable aleatoria es continua. Ejemplos: Algunos ejemplos de variables aleatorias pueden ser: 1. X= # de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. 2. X= # de bacterias por unidad de área. 3. X= tiempo que tardan en atender en una ventanilla de un hospital. 4. X= ganancias en pesos de unas acciones. 5. X=calificaciones en un examen de admisión 6. X=Número de llamadas hasta que un cliente adquiere un producto

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Ejemplo: Tres monedas no cargadas son lanzadas al tiempo. Hallar el espacio muestral S y analice la variable aleatoria X: el # de caras observadas. Solución: El espacio muestral está dado por: {

}

La variable aleatoria de interés es X: # caras en cada lanzamiento. En este caso los }. Si se valores que se pueden observar en cuanto al número de caras son { denota por el conjunto de todos los posibles valores que toma la v.a X, de tiene { }.

Solución: Podemos escribir

Donde,

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, etc.

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Ejemplo: Se lanzan un par de dados no cargados. Hallar el espacio muestral y analizar las variables aleatorias X: suma de los 2 resultados y Y: diferencia entre los dos resultados. Solución: El espacio muestral para este experimento es: {

}

Para la variable aleatoria X, que corresponde a la suma de los dos resultados, la asignación para los diferentes pares de resultados se muestra así:

En este caso X toma los valores de { variable aleatoria X, está dado por {

}. De esta manera, el rango de la }

Para la variable aleatoria Y: diferencia entre los dos resultados, se tiene que:

Así: {

Diferentes variables implican espacios de valores diferentes

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}

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Otros ejemplos:  Un grupo de n sujetos es sometido a cierto tratamiento y después de un tiempo se registra cuantos logran mejorar con dicho tratamiento. Sea X la variable aleatoria que cuenta cuantos sujetos mejoran con el tratamiento. { }. Entonces el rango de X será

 En una gran población se encuestan de manera aleatoria sujetos hasta encontrar el primero que responde afirmativamente a una pregunta de interés. Si X es la variable aleatoria que cuenta el número de sujetos encuestados hasta encontrar el primero que responde afirmativamente, { }. entonces el rango de X está dado por

 De la producción diaria de jabones se escoge uno al azar y se mide su PH. Sea X: el PH del jabón. El rango de la variable aleatoria X es cualquier valor [ ]. entre 0 y 14.  El desgaste de una llanta en un periodo de un año es una variable aleatoria. Si X es la variable aleatoria que representa el desgaste en décimas de milímetros, , donde a representa la profundidad mínima de la llanta estando nueva.

Estos ejemplos representan variables las cuales son observadas en dos tipos de escalas las cuales implican Conteos o Mediciones. A las primeras se les conoce como Variables Aleatorias Discretas, a las segundas como Variables Aleatorias Continuas. La diferencia principal entre ellas, es que para las primeras, el rango es un conjunto contable (discreto o numerable); en las segundas, el rango es un intervalo o la unión de intervalos reales. Es posible asignar una probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor fijo. Para ilustrar esta posibilidad considere el ejemplo anterior del ingeniero de producción.

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Ejemplo: Un ingeniero de producción está interesado en determinar la probabilidad de que un cierto artículo de una línea de producción este defectuoso. Para tratar de determinar esta probabilidad, toma al azar tres artículos. Bajo estas condiciones, halle la distribución de probabilidades de la variable X = # de defectuosos entre los tres tomados. Solución: La variable aleatoria puede tomar valores X = 0, 1, 2, 3 (es discreta). Observe que cada punto muestral tiene la misma posibilidad de ocurrir, por lo tanto tiene sentido asignar una probabilidad de a cada uno de ellos.

Esta distribución de probabilidades se puede expresar por medio de la siguiente tabla: X

0

1

2

3

Observe que la suma de probabilidades asignadas a la variable X es igual a uno y además todas ellas son positivas.

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Función de probabilidad de una v.a. Discreta La función de distribución de probabilidad (que se abreviará de ahora en adelante como f.d.p) se define como: , la cual satisface: , para todos los valores

de la v.a X ∑

Observe que la distribución de probabilidad de la v.a del ejemplo anterior satisface estas condiciones.

Función de distribución acumulada (f.d.a o en inglés c.d.f) para variables aleatorias discretas Esta función es útil para determinar funciones de distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas así como para determinar el valor probabilístico que se tiene cuando una variable aleatoria alcanza un valor fijo. Definición. La función de distribución acumulada, la cual se denota por , de una variable aleatoria discreta X, cuya función de distribución de probabilidad es , se define como, ∑

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Esta expresión quiere decir que para hallar la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual a x se deben sumar todas las probabilidades asignadas a todos los valores de la variable menores o iguales a x. Ejemplo: Una póliza de seguro de viajes paga 1000 dólares al cliente en caso de robo o daño. Calcule la f.d.a de la variable aleatoria: pago por reclamación o daño, asumiendo que la probabilidad de robo o daño es . Solución: Sea X: Pago por reclamación por robo o daño. Los valores posibles de esta v.a.

La f.d.p de esta v.a. es: X

0

1000

Usando esta f.d.p se puede hallar la f.d.a: { Gráficamente:

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Note que la f.d.a de una v.a discreta es una función escalonada y el tamaño de los saltos de esta fu ió so iguales a la pro a ilidad de la v.a e ese pu to. Propiedades: 1. 2. 3. Si Ejemplo: Se lanza un dado no cargado. Sea X: resultado del lanzamiento del dado, halle la f.d.a. Solución:

Si Si Si Si Si Si Si La distribución acumulada para X, puede escribirse como:

{ Módulo: Fu da e tos de I fere cia Estadística

[ Doce te: Gustavo Vale cia Z

Tarea 014 Suponga que una v.a X tiene una f.d.p dada por, X

0

1

2

3

Halle la función de distribución acumulada de la variable X y grafíquela

Variables Aleatorias Continuas Una variable aleatoria se dice continua si el rango de dicha variable es un intervalo o es la unión de varios intervalos reales, acotados o no acotados. Por ejemplo: medición de la corriente de un alambre, longitud de partes desgastados en una pieza, tiempo de duración de una bombilla, tiempos de espera, estatura, masa. Definición: Sea X una variable aleatoria continua. La distribución acumulada para la variable aleatoria X, se define igual al caso discreto.

Esta función resulta ser continua en

Si existe una función

para todo x donde dicha derivada exista, entonces Función de Densidad de Probabilidad o f.d.p (en inglés p.d.f).

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tal que es llamada

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Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que:

∫

Propiedades de f 1.

;

2. ∫

∫

3. 4.

La función de densidad es la derivada de la función de

distribución. Si A = [a, b] con

, entonces

Por la propiedad 3, se tiene que:

∫ ∫

Es decir, la probabilidad en un punto es cero. De este resultado se tiene que:

Como bajo

, entonces, el cálculo de probabilidad se reduce a calcular el área en el rango de interés.

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Cálculo de probabilidad para v.a. continuas.

Propiedades de 1. 2.

y

3. 4. Si

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Ejemplo: Sea X una v.a. cuya función de densidad viene dada por función de distribución:

, calcule su

{ Calculamos la función de distribución, obteniendo

∫

∫

Por tanto, la función de distribución será:

∫

∫

{ Ejemplo: Sea X la duración en horas de cierto tipo de bombilla eléctrica. La f.d.p para X está dada por: { Calcule: a. b.

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Solución: Primero hallemos el valor de a. Como:

∫

Entonces

∫

∫ |

∫ ∫

a.

∫

b.

[

∫

]

∫

Tarea 015 Consulte la función: Valor esperado de una variable aleatoria. Identifique las propiedades del valor esperado.

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Valor Esperado de una Variable Aleatoria Una variable aleatoria se dice continua si el rango de dicha variable es un intervalo o es la unión de varios intervalos reales, acotados o no acotados. Sea X una variable aleatoria (Discreta o Continua), con distribución de probabilidad . El valor esperado de X, el cual denotaremos [ ], se define como:

[ ]

∑ {

∫

[ ] es usualmente denotado como

o µ.

Ejemplo: Se lanza una moneda no cargada dos veces. Sea X: el número de caras obtenidas. Entonces son los valores posibles de esta variable aleatoria. La distribución de probabilidades para X será:

X

0

1

2

Para este ejemplo, la variable aleatoria de interés es X: número de caras obtenidas. Si la moneda se lanza dos veces, entonces: [ ]

∑

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Si la moneda se lanza tres veces, entonces: [ ]

∑

)

(

(

)

(

)

(

)

Propiedades del Valor Esperado Sea a, b números reales y sea X una variable aleatoria (Discreta o Continua). 1. [ ] 2. [ 3. Si

] [ ] es una función de variable aleatoria X entonces:

[

Nota: Sea simplemente

]

∑ {

∫

. La Varianza de X, la cual se denota , se define como: [ ]

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[

]

[

]

[ ] o

[ ]

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o

Propiedades de la Varianza Sea a, b números reales y sea X una variable aleatoria (Discreta o Continua). 1. 2. 3.

[ ] [ ] [

[

]

]

[ ]

[ ]

[ ] se le llama Desviación Estándar de X y se denotará

A la raíz cuadrada de o oσo .

Ejemplo: La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en particular es una variable aleatoria X con p.d.p dada por:

{ a. b. c. d.

[

Halle la f.d.a para X [ ] Calcule [ ] y Si [ ] Halle la

]

[

]

puede verse como el remanente si no se recibe nuevo suministro

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Solución: a. {

[

]

∫

[

b. [ ]

]

]

∫

[

] [

c.

[ ] [

[ ]

)

]

[

[

∫(

∫ ]

] [ ]

o se puede u rir la de a da

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Ejemplo: Una máquina de llenado de latas es revisada cada hora. Cada lata es sometida a un proceso para determinar el volumen de llenado y verificar si cumple o no los requisitos exigidos. Este proceso se continúa hasta encontrar la primera lata que no cumple con, los requisitos. Sea X: # latas revisadas hasta encontrar la primera que no cumple. Suponga que la proporción de latas que no cumplen las especiaciones es p. Halle [ ].

Solución:

Defina los eventos: N: La lata no cumple los requisitos S: La lata si cumple los requisitos El espacio muestral para este experimento está dado por: {

[ ]

} con

∑

{

}

∑

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Ejemplo: La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) que se vende una casa de materiales para construcción en una semana específica es una v.a continua X con f.d.p igual a:

{ a. Halle la La f.d.a de las ventas para cualquier x ∫

∫

∫

∫

| b. Halle [ ]. [ ]

∫ ∫

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∫ |

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c. Halle

[ ]

[

]

∫

∫ ∫

[ ]

( )

Ejemplo: La variable aleatoria X habla del nivel de seguridad de máquinas centrales de una compañía financiera. La v.a. X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60. Luego de revisar el nivel de seguridad de las máquinas centrales de la compañia, se calcularon las siguientes probabilidades 0.4, 0.2 ,0.1 y 0.3. Represente en una tabla la función de probabilidad, y la función de distribución de probabilidad, , y determine las siguientes probabilidades: a. b. c. d. e. f. Finalmente encuentre la [ ] y

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[ ].

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Solución: Fundición de probabilidad (f.d.p). X 30 40 50 60

0.4 0.2 0.1 0.3

Fundición de probabilidad (f.d.a). X 30 40 50 60

a.

=0

b.

=

c.

=

0.4 0.6 0.7 1

d.

e. f.

=

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Calculando [ ]

∑

[ ] ∑

X 30 40 50 60

0.4 0.2 0.1 0.3

12 8 5 18

para el caso discreto la esperanzamatematica es

Realice la tabla para poder calcular la varianza y calcule y

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[ ].

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