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Monte Carlo Studie vektorfeld-induzierter Dunkler Materie in einer Spiralgalaxie

Stefan von Weber1 Hochschule Furtwangen University

Alexander von Eye Michigan State University

Dieser Artikel ist die deutsche Fassung des Originalartikels

Monte Carlo study of vector field-induced dark matter in a spiral galaxy erschienen 2011 in

InterStat, August 2011, http://interstat.statjournals.net/ (2011) http://interstat.statjournals.net/YEAR/2011/articles/1108002.pdf

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Address correspondence concerning this article to Stefan von Weber, Department of Mechanical and Environmental Engineering, Hochschule Furtwangen University, 78120 Furtwangen, GERMANY; [email protected]

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Abstract

Key Words: Monte Carlo, vector field, membrane, dark matter, interaction In this article we broaden the membrane model by an additional property of the membrane – the resistance in a homogenous vector field. A membrane that is stretched exactly perpendicular to the vector field, has no resistance. However, if the membrane is deformed under the influence of baryonic matter, the flow of the vector field is deflected by the fine structures of the membrane and a lateral sloped force acts, increasing the resistance of the membrane. Computations show that the interaction of the homogenous vector field with the membrane is an appropriate candidate for the explanation of dark matter. Inside the radius of a spiral galaxy, the increase of the elastic energy of the grid leads to an amount of dark matter comparable to the baryonic mass of the galaxy. However, if one considers the space surrounding the galaxy then this ratio increases to a value of 6 to 1. The rotation curve becomes flatter under the influence of the dark matter interaction, and the average speed is increased. An estimation of the action of this dark matter type inside the solar system shows that the portion of dark matter of the sun mass is negligibly small. This applies accordingly to the change of gravitational acceleration.

Zusammenfassung

Key Words: Monte Carlo, vector field, membrane, dark matter, interaction

In diesem Artikel erweitern wir das Membranmodell durch eine zusätzliche Eigenschaft der Membrane – den Widerstand in einem homogenen Vektorfeld. Eine Membrane, die genau senkrecht zu einem Vektorfeld aufgespannt ist, hat keinen Widerstand. Ist die Membrane jedoch unter dem Einfluss baryonischer Materie deformiert, dann wird der Fluss des Vektorfelds an den Feinstrukturen der Membrane abgelenkt, und es wirkt eine seitliche Kraft, die den Widerstand der Membrane erhöht.

3 Berechnungen zeigen, dass die Wechselwirkung des homogenen Vektorfeldes mit der Membrane ein geeigneter Kandidat für die Erklärung der Dunklen Materie ist. Innerhalb des Radius einer Spiralgalaxie führt das Anwachsen der elastischen Energie des Gitters zu einem Betrag an Dunkler Materie, der dem der baryonischen Materie vergleichbar ist. Betrachtet man jedoch auch die Umgebung der Galaxie, dann wächst dieses Verhältnis auf einen Wert von 6 zu 1 an. Die Rotationskurve wird unter dem Einfluss der Dunklen-Materie-Wechselwirkung flacher und die mittlere Geschwindigkeit erhöht sich. Eine Schätzung der Wirkung dieses Typs an Dunkler Materie zeigt, dass der Anteil an Dunkler Materie an der Sonnenmasse vernachlässigbar

klein

ist.

Gravitationsbeschleunigung.

Dies

betrifft

demzufolge

auch

die

Änderung

der

4 Einführung

Eine der interessantesten Fragen der Kosmologie betrifft die Natur der Dunklen Materie, die das Universum durchdringt [8, 25]. Dunkle Materie bezeichnet das Phänomen, dass die äußeren Sterne von Galaxien mit einer Geschwindigkeit rotieren, die zu hoch ist, als dass sie aus den Gravitationskräften der sichtbaren Materie erklärt werden könnte. Man postuliert, dass ungefähr 23,4% der Gesamtmasse des Universums aus Dunkler Materie besteht, aber nur 4,4% aus baryonischer Materie. Der Rest ist Dunkle Energie [40]. Das bedeutet ein Verhältnis von Dunkler Materie zu normaler Materie von ungefähr 5 zu 1. Die Dichte der Dunklen Materie wird auf ungefähr =510−28 [Kg/m3] geschätzt. Im frühen 20-ten Jahrhundert schlossen Kapteyn [46] und Jeans [43], dass nichtleuchtende Materie existieren muss. Zwicky [69, 70] entdeckte, dass die Galaxien im Coma Cluster sich zu schnell bewegen. Derselbe Effekt wurde 1936 von Smith im Virgo Cluster gefunden. Im Jahre 1939 fanden Rubin und Ford [59] die flache Rotationskurve der Galaxie M31. Die Geschwindigkeitskurve der äußeren Sterne pegelt sich bei ungefähr 200 km/s ein. Beginnend in den 1930-ern vermaß Oort [56] die Geschwindigkeit der Sterne senkrecht zur galaktischen Scheibe. Er fand ein Verhältnis von sichtbarer Materie zu Dunkler Materie von ungefähr 4 (dark matter coefficient). Man sollte im Gedächtnis behalten, dass der Begriff Dunkle Materie für das Unvermögen steht, dieses Phänomen im Kontext bekannter Gravitationstheorien zu erklären. Eine andere Möglichkeit, die Wirkung der Dunklen Materie zu entdecken, ist die Lichtbeugung durch Gravitation (gravitational lensing) [20]. Die Lichtbeugung durch Gravitation kann auch mit dem Membranmodell [30] erklärt werden, aber das ist nicht das Thema dieses Artikels. Die Astrophysik unterteilt die Dunkle Materie in Kalte und Heiße Dunkle Materie (Cold and Hot Dark Matter). Kalte Dunkle Materie (CDM) denkt man sich zusammengesetzt aus MACHOs (Massive Compact Halo Objects), d.h. aus kleinen Sternen, Staub oder Schwarzen Löchern, oder aus WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles) [32, 39, 65]. Andere Autoren argumentieren für leichte Teilchen (1-100 MeV) [14, 44, 64]. Kandidaten für die Heiße Dunkle Materie (HDM) sind schwere Neutrinos, SUSY (Super Symmetry) Teilchen wie Neutralinos oder Axions. Die Vorstellung (Paradigma) von der Existenz der Dunklen Materie ist die am meisten akzeptierte Erklärung für die anormalen Effekte in beobachteten Rotationskurven. Es wurden jedoch auch andere Theorien entwickelt. Eine Gruppe von Theorien nimmt an, dass die beobachteten Unstimmigkeiten auf einem unvollständigen Verständnis der Gravitation

5 beruhen, d.h. man müsste die Gesetze der Gravitation modifizieren [51, 52, 61]. Im Jahre 1983 schlug Milgrom vor, Newtons Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung, d.h. f=m∙a, so abzuändern, dass in allen Fällen einer sehr kleinen Beschleunigung a die resultierende Kraft f aus dem Produkt m∙a größer wird, als in Newtons Gesetz [51]. Im Jahre 1979 schlug Moffat [54, 55] einen Metriktensor mit antisymmetrischem Anteil vor. Der antisymmetrische Anteil kann eine neue Kraft darstellen zusätzlich zur Gravitationskraft. Im Jahr 1995 fand Moffat, dass das Feld, das durch den antisymmetrischen Anteil des Tensors definiert wird, nicht masselos sein muss. Im Jahre 2005 ersetzte er den antisymmetrischen Anteil des Tensors durch ein Vektorfeld. Der hauptsächliche Effekt in dieser Theorie ist, dass die bezüglich der Gravitation aktive Masse eines Testteilchens sich mit dem Abstand ändert. Auf diese Weise kann die Skalar-Tensor-Vektor Theorie der Gravitation (STVG) die flachen Rotationskurven der Galaxien erklären [16, 55]. Im Jahre 2004 modifizierte Bekenstein Milgroms Theorie derart, dass die Erhaltung des Impulses gesichert ist. Er fügte ein zeitähnliches Vektorfeld und zwei Skalare zu Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie hinzu. Mit diesen zwei Termen kann die Gravitationskraft in Abhängigkeit von der Entfernung zwischen zwei Massen auf andere Weise modelliert werden, als der von Newton gegebenen, aber ohne einige der Schwierigkeiten, die sich aus Milgroms MOND-Theorie ergeben [10]. Bekensteins Theorie ist im vorliegenden Kontext interessant, da die Idee eines zeitähnlichen Vektorfeldes ebenfalls in der vorliegenden Untersuchung benutzt wird. Eine andere Gruppe von Theorien betrachtet den Raum selbst und seine Eigenschaften [17, 18, 48]. Anastopoulos [3] z.B. betrachtet gravitierende ideale Flüssigkeiten und ihr Verhalten. Seine

Gleichungen

beinhalten

die

Effekte

der

Rückwirkung

(backreaction)

von

Inhomogenitäten. Arbey and Mahmoudi [4] postulierten, dass man die Dunkle Materie und die Dunkle Energie als zwei Effekte einer Komponente, des Dunklen Fluids (dark fluid) auffassen kann. Wegen der zwei Effekte benutzen die Autoren ein komplexes Skalarfeld um die Eigenschaften des Dunklen Fluids zu beschreiben. Es gibt auch Wissenschaftler, die sich nicht sicher sind, dass die Dunkle Materie überhaupt existiert. Fehlende Dunkle Materie, besonders in elliptischen Galaxien, wird in der Literatur oft diskutiert [22]. In [30] zeigten wir, dass die resultierende Krümmung einer Membrane von der Verteilung der Materie abhängt, wenn ein homogenes Vektorfeld senkrecht auf die gespannte Membrane einwirkt und das Vektorfeld nur auf die Materie innerhalb der Membrane wirkt, aber nicht auf die Membrane selbst. Im einfachsten Fall (dem der sphärischen Symmetrie) wirkt das Vektorfeld auf eine einzelne Zentralmasse und verursacht einen Gravitationstrichter mit

6 sphärischer Symmetrie. Bemerkenswert ist, dass eine 3D-Membrane, die sich in einem 4DHyperraum (bulk space) krümmt, genau die Krümmung liefert, die Newtons universelles Gravitationsgesetz erfüllt. Die Krümmung kann durch die Formel w(r) = 1/r beschrieben werden, wobei r der x-y-z-Abstand von der Zentralmasse ist und w die Auslenkung der Membrane in der vierten Dimension. In diesem Artikel erweitern wir das Membranmodell durch eine zusätzliche Eigenschaft der Membrane - den Widerstand. Widerstand heißt, dass eine geneigte Membrane der Wirkung einer Kraft unterworfen ist ähnlich der Widerstandskraft eines Testkörpers in einem Windkanal (the drag). Eine Membrane, die exakt senkrecht zum Vektorfeld gespannt ist, hat keinen Widerstand. Um dieses Verhalten zu erklären, nehmen wir an, dass die Membrane eine wabenförmige Struktur habe (Abb. 1). Von der individuellen Zelle, d.h. einer Wabe, wird angenommen, dass sie oben und unten offen sei. Zusätzlich wird angenommen, dass das Vektorfeld Eigenschaft einer strömenden Flüssigkeit, eines strömenden Gases oder einer Strahlung hat, d.h. Geschwindigkeit, Masse und Impuls. Wenn der Fluss des Vektorfelds an den Feinstrukturen der Membrane abgelenkt wird, wirkt eine seitliche geneigte Kraft. Die Kräftezerlegung dieser Kraft liefert zwei Komponenten: (1) fR in Richtung des Vektorfelds, und (2) fM senkrecht zum Vektorfeld (d.h. in der Ebene der ungekrümmten Membrane liegend). Vektor Feld Membrane

Seitliche Kraft

a)

b)

Abb. 1: Senkrechte (a) und geneigte (b) Membrane

Jetzt kann man unterschiedliche Arten der Wechselwirkung zwischen Vektorfeld und Membrane annehmen. Jede Art hat Vorteile und birgt Fragen. Zu den Vorteilen zählen z.B. eine leichte Erklärbarkeit, die Konvergenz der Integration, oder die Übereinstimmung der Ergebnisse mit den astronomischen Beobachtungen von Galaxien ebenso wie mit den Daten unseres Sonnensystems. Fragen und Probleme treten auf, wenn obige Vorteile nicht zutreffen.

7 In diesem Artikel untersuchen wir die folgenden zwei Typen an Wechselwirkung: 1. dww’w(x,y,z)w’(x,y,z) 2. dw’w’w’2(x,y,z) Der erste Wechselwirkungstyp, ww’, ist die multiplikative Wechselwirkung der Raumtiefe w mit der Neigung w’. Durch die seitliche Kraft, die oben beschrieben wurde, wird die Membrane komprimiert und ändert ihre Eigenschaften, z.B. ihren Widerstand. Diese Kompression ist proportional zu w. Aber auch die Neigung w’ der Membrane kann Quelle des Anwachsens des Widerstands sein. Auf diese Weise haben wir beide Effekte in der Wechselwirkung vom Typ 1 vereint. Der zweite Wechselwirkungstyp, w’2, basiert auf der Zerlegung der seitlichen Kraft, die oben beschrieben wurde. Ihre Komponente in Richtung des Vektorfeldes verhält sich wie w’2. Der Dunkle-Materie-Koeffizient dww’ [N/m4] liefert die Kraft, die vom Vektorfeld bei der Wechselwirkung mit einem Kubikmeter Raum der Membrane mit Raumtiefe w und Neigung w’ ausgeübt wird. Der Dunkle-Materie-Koeffizient dw’w’ [N/m3] liefert die Kraft, die vom Vektorfeld bei der Wechselwirkung mit einem Kubikmeter Raum der Membrane mit der quadrierten Neigung w’ ausgeübt wird. Andere Typen an Wechselwirkung wurden nicht untersucht wegen der Nicht-Konvergenz der Integrale.

Dieser Artikel ist wie folgt aufgebaut: Im Abschnitt 1 werden einige Grundlagen gegeben, die die Dunkle Materie, die Membrane, das Vektorfeld und Spiralgalaxien betreffen. Methoden und Instrumente werden in Abschnitt 2 diskutiert. Numerische Resultate sind in Abschnitt 3 zusammengefasst. Abschnitt 4 enthält eine Diskussion und einige Schlussfolgerungen.

1.

Grundlagen und stochastisches Modell

1.1.

Eigenschaften der Dunklen Materie

Dunkle Materie interagiert nicht mit gewöhnlicher Materie über elektromagnetische Kräfte [47]. Eine andere Eigenschaft der Dunklen Materie ist, dass sie sich wie ein perfektes Fluid verhält ohne inneren Widerstand oder Viskosität [64], d.h., dass die Teilchen der Dunklen Materie nicht untereinander interagieren.

8 Es gibt jedoch eine gravitationelle Querverbindung zwischen sichtbarer Materie und Dunkler Materie. Die sonnennahen Werte der Dichte der Dunklen Materie, ihre Geschwindigkeitsverteilung und ihr Abbruchradius (truncation radius) werden zu >350 km s−1 und

0.3 GeV cm−3,

150 kpc geschätzt [21].

Dunkle Materie spielt eine wichtige Rolle in Modellen der Strukturenbildung und der Entwicklung von Galaxien. Man findet messbare Einflüsse auf die Anisotropien, die in der kosmischen Hintergrundstrahlung beobachtet wurden [11, 40, 68]. Die Geschwindigkeitsverteilung der Dunklen Materie ist nicht dieselbe wie die der baryonischen Materie [41]. Simulierte Halos der Dunklen Materie haben steilere Dichteprofile, als die, die aus Beobachtungen berechnet werden. Das ist ein Problem in kosmologischen Modellen [11]. Dunkle Materie dehnt sich jenseits des sichtbaren Radius der Galaxie aus bis zum 10-fachen Radius [6, 33].

1.2.

Das Vektorfeld

Das Vektorfeld, das auf die Membrane einwirkt, ist ein zentrales Konzept unseres Modells. Dieses Konzept wird in unterschiedlichen Formen in einer Reihe von Veröffentlichungen benutzt, z.B. in [4, 30, 34, 35, 37, 38, 54, 55]. Es wäre verfrüht, eine physikalische Interpretation dieses Begriffs vorzuschlagen. Man könnte sich ein strömendes Gas oder eine strömende Flüssigkeit vorstellen, oder eine Art von Strahlung, oder eine beliebige andere Quelle von Kraft und Wirkung. Wir wissen jedoch zu wenig über die physikalische Natur des Vektorfeldes, das auf die Membrane wirkt, und vermeiden deshalb eine vorzeitige Festlegung. Stattdessen stellen wir eine ausgewählte Liste von Eigenschaften vor.

Das Vektorfeld 1. ist homogen, d.h., es hat dieselbe Richtung und Stärke an jedem Punkt der Oberseite der Membrane 2. ist senkrecht zur ungekrümmten Membrane (in unserem Koordinatensystem in negativer w-Richtung wirkend) 3. hat keine (oder nahezu keine) Wechselwirkung mit der ungestörten Membrane 4. hat eine starke Wechselwirkung mit jeder Art von Materie (Teilchen, Strahlung) in der Membrane. Die vom Vektorfeld erzeugte Kraft ist proportional zur Masse der Materie und in Richtung des Vektorfeldes gerichtet

9 5. hat eine schwache Wechselwirkung mit einer gestörten Membrane. Diese Wechselwirkung kann von der Dichte der Membrane abhängen oder ihrer Neigung, d.h. vom Winkel zwischen Vektorfeld und Membrane.

1.3.

Das Membranmodell (membrane paradigm)

Das Membranmodell des Raumes geht zurück auf Thorne, Douglas und Price [66]. Die Annahmen des Membranmodels, wie es in dieser Studie benutzt wird, sind: 1. Die Membran ist ein 3D-Objekt mit idealer Elastizität 2. Die Membran ist in alle 3 Raumrichtungen gespannt mit derselben Spannung Fo 3. Die ungestörte Membrane ist im betrachteten Bereich nicht gekrümmt 4. Das homogene Vektorfeld erzeugt eine Kraft F = m AVF wenn es mit einer Masse m innerhalb der Membrane interagiert (AVF ist die Vektorfeld-Beschleunigung) 5. Das homogene Vektorfeld wirkt aus der vierten Dimension. Seine Richtung ist immer senkrecht zur ungestörten Membrane 6. Die Kraft, die vom Vektorfeld erzeugt wird, ist proportional zur Masse der Materie. Ihre Richtung ist die des Vektorfeldes 7. Alle Materie ist frei beweglich innerhalb der Membrane 8. Es existiert eine Wechselwirkung zwischen dem Vektorfeld und der deformierten Membrane. Diese Wechselwirkung heißt Dunkle-Materie-Effekt. Diese Annahme ist wesentlich für diese Studie und wurde in [30] noch nicht benutzt.

In [30] haben wir gezeigt, dass das Modell eines homogenen Vektorfeldes, das senkrecht auf eine gespannte Membrane einwirkt, auf bekannte Lösungen führt. In einem einfachen Fall wirkt das Vektorfeld auf eine einzelne Zentralmasse im Ursprung eines Kartesischen Koordinatensystems x-y-z und verursacht einen Gravitationstrichter mit sphärischer Symmetrie. Die Krümmung, die mit diesem Modell gefunden wird, erfüllt Newtons Gravitationsgesetz, d.h. die Krümmung folgt der Formel w(r) = 1/r, wobei r der Abstand von der w-Achse ist mit r  x 2  y 2  z 2 , und w(r) die Auslenkung der Membrane in der vierten Dimension. Denselben Ausdruck erhält man bei einer analytischen Herleitung der gewöhnlichen Differenzialgleichung der Krümmung in diesem symmetrischen Fall [30]. Gl. (1) zeigt die DGL.

10 w(r )  

2w(r ) . r

(1)

Jede Funktion w(r)=C1+C2/r ist eine Lösung der DGL Gl. (1). Differenziation von w(r)=C1+C2/r ergibt w‘(r)=C2/r², die Neigung der Membrane im Abstand r. Die Kräftezerlegung der Kraft, die auf eine kleine Masse m innerhalb der geneigten Membrane im Abstand r von der w-Achse wirkt, liefert die Hangabtriebskraft FDH als FDH = m AVF sin().

(2)

Hier ist AVF die Vektorfeld-Beschleunigung und  ist der Neigungswinkel der Membrane. Betrachten wir nur kleine Winkel, dann gilt sin() tan() = w‘. Wir ersetzen sin() durch C/r² und erhalten FDH = m AVF w’(r).

(3)

Das ist Newtons Gravitationsgesetz für den Fall zweier Massen, d.h., einer großen zentralen Masse, die den Gravitationstrichter verursacht, und einer kleinen Masse m. FDH ist hier die Anziehungskraft. Wir wenden jetzt Gl. (3) auf das Sonnensystem an. RS ist der Sonnenradius, MS die Sonnenmasse, WRS die Raumtiefe w der deformierten Membrane am Sonnenrand, und W’RS die Neigung der Membrane am Sonnenrand. Dividieren wir Gl. (3) durch die Masse m, dann erhalten wir die Gravitationsbeschleunigung gRS am Sonnenrand.

g RS  AVF WRS .

(4)

Gemäß Newtons Gravitationsgesetz ist g RS   M S / RS2 .

(5)

Wäre der numerische Wert von W’RS bekannt, dann könnte man den Wert der VektorfeldBeschleunigung AVF berechnen. Mit der Annahme, dass die Raumtiefe w gegen Null geht für r→∞, kann man die Funktion w(r) des Gravitationstrichters, der die Sonne umgibt, durch Gl. (6) und ihre erste Ableitung durch Gl. (7) ausdrücken. w(r )   w(r ) 

WRS RS . r

WRS RS . r²

(6) (7)

Wir erhalten mit r=RS WRS 

WRS . RS

(8)

Nun müssen wir einen Wert für WRS finden. Mit diesem Ziel knüpfen wir eine Verbindung zu Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie [26]. Wir finden eine Schätzung der Raumtiefe WRS am Sonnenrand, wenn wir Feynmans Exzessradius, rEx=a/3=491[m], formal gleichsetzen der

11 geometrischen Pfadverlängerung dSR vom Sonnenrand zu ihrem Zentrum [31]. Dieser Exzessradius wurde von Feynman für eine Kugel konstanter Dichte berechnet, aber man kann (numerisch) zeigen, dass die geometrischen Pfadverlängerungen innerhalb und außerhalb einer Kugel mit konstanter Dichte gleich sind. Die Raumtiefe w(r) und folglich auch die geometrische Pfadverlängerung dS außerhalb einer Kugel hängen nur von der Gesamtmasse der Kugel ab, aber nicht von der inneren Massenverteilung. w RS

r

W RS Vektor Feld

Membrane w(r)

Sonne

Abb. 2: Raumtiefe am Sonnenrand

Wir berechnen die äußere geometrische Pfadverlängerung, dS, indem wir das Integral (11) lösen. Die Streckung dr eines Stückes dr der Membrane ist dr  dr 1  w2 (r )  dr  dr w2 (r ) / 2 .

(9)

Mit Gl. (7) erhalten wir dr 

WRS2 RS2 dr , 2r4

(10)

und dS  



RS

2 2  W WRS2 1 2 RS RS w (r ) dr   dr  . RS 2 2r4 6 RS

(11)

Mit Feynmans [31] Wert rEX = dS = 491 [m] und RS=6,958108 [m] erhalten wir den Wert WRS= 1,432106 [m] oder 1432 [km] für die Raumtiefe am Sonnenrand in unserem Membranmodell. Mit Gl. (4) ist die Vektorfeld-Beschleunigung dann AVF 

g RS g RS RS  . WRS WRS

(12)

Mit der Beschleunigung gRS = 280,1 [m/s2] auf Grund der Gravitation am Sonnenrand und mit den oben genannten Werten von RS und WRS erhalten wir den Betrag von AVF = 1,361105 [m/s2] für die Vektorfeld-Beschleunigung. Dieser Wert ist universell gültig.

12 Die Membrane hält die Sonne. Die Wirkung des Vektorfeldes wird durch die Spannung Fo der Membrane kompensiert (siehe Abb. 1). Daraus folgt, dass die Kraft F = MS AVF durch die vertikal (in w-Richtung) gerichteten Komponenten der Spannung Fo, die an der Oberfläche 4πRS2 der Sonne ziehen, kompensiert werden muss. Die vertikale Komponente von Fo ist Fow= Fo sin(α). Die Neigung der Membrane ist w’=tan(α). Für kleine Winkel α erhalten wir am Sonnenrand die Gleichung M S AVF  4 RS2 Fo WRS ,

(13)

und, zusammen mit Gl. (8), die Spannung Fo der Membrane Fo 

M S AVF . 4 RS WRS

(14)

Der numerische Wert der Spannung ist Fo = 2,1641019 [N/m2]. Obgleich die Membrane in der Umgebung eines Sterns gestört ist, ist sie jedoch immer noch nahezu flach, wenn man die winzige Neigung am Sonnenrand betrachtet. Auf diese Weise können wir den obigen Wert der Spannung Fo als eine gute Schätzung der Spannung der ungestörten Membrane in unserem Modell betrachten.

1.4.

Das stochastische Modell der Galaxie

Der Begriff stochastisches Modell bedeutet in diesem Artikel, dass die Positionen der Massenpunkte mit Methoden gefunden werden, die in Monte-Carlo Sudien benutzt werden [28]. Insbesondere die flockige Struktur der galaktischen Scheibe erfordert den Gebrauch von Zufallszahlen mit unterschiedlichen Verteilungen. Die Scheibe unseres Milchstraßensystems besteht aus Sternen, Gas und Staub und hat einen Durchmesser von ungefähr 100.000 Lichtjahren (ly) oder 30 kpc. (Ein parsec (pc) hat 30,8561015 [m] oder 3,261 Lichtjahre.) Die Scheibe hat eine Dicke von 3000 bis 6000 Lichtjahren [36, 57, 62]. Die dicke Scheibe erstreckt sich nahe der galaktischen Ebene und hat eine maximale Ausdehnung von 2500 Lichtjahren. Man nimmt an, dass die Galaxis die Zahl von 100 Milliarden bis 300 Milliarden Sternen enthält. Die exakte Zahl hängt vom unbekannten Anteil niedrigmassiger Sterne ab, die nicht sichtbar sind. Die Scheibe hat keinen scharfen Rand, sondern zeigt vielmehr eine Abnahme der Sterndichte pro Raumeinheit. Diese Abnahme ist sehr stark für einen Radius größer 40.000 Lichtjahre. Die Gasscheibe ist viel dicker als die Sternscheibe (ungefähr 12.000 Lichtjahre).

13 Die zentrale Ausbauchung (bulge, kernel) hat eine Dicke von 16.000 Lichtjahren (5 kpc). Man nimmt an, dass sich dort ein supermassives Schwarzes Loch befindet mit einer Masse von ungefähr 4300 Millionen Sonnenmassen. Der Rest der zentralen Ausbauchung (bulge) ist balkenförmig mit einer Balkenlänge von ungefähr 27.000 Lichtjahren und innerhalb der galaktischen Ebene gelegen. Beobachtungen von Spiralgalaxien und ihrer Rotationskurven zeigen ein übereinstimmendes Dichteprofil, das durch die Summe aus einer Sternscheibe und einem kugelförmigen Halo aus Dunkler Materie beschrieben werden kann, mit einem flachen Kern des Radius r0 und Dichte ρ0 = 4,5 × 10−2(r0/kpc)−2/3 MSpc−3, wobei MS die Sonnenmasse bezeichnet (2 × 1030 kg). Die interstellare Masse wird auf 600 Milliarden bis zu einigen Tausend Milliarden Sonnenmassen geschätzt [42, 53, 60]. Der kugelförmige galaktische Halo erstreckt sich jenseits der Scheibe bis zu einem Radius von ungefähr 180.000 Lichtjahren, aber wir finden 90% der Sterne innerhalb eines Radius von 100,000 Lichtjahren. Irreguläre Zwerggalaxien (z.B. die Magellanschen Wolken) und Kugelsternhaufen sind die am besten sichtbaren Objekte des Halos. Der Halo enthält nahezu keinen Staub, aber große Mengen an Dunkler Materie. Die Scheibe enthält Gas und Staub, der Halo nicht. Unsere eigene Galaxie, das Milchstraßensystem, wird als zweiarmige Spiralgalaxie betrachtet [45], ähnlich der Galaxie NGC 1365. Einige weitere Arme sind von minderer Ausdehnung. Der Raum zwischen den Armen ist nicht leer, sondern hat eine geringere Leuchtstärke. Die Masse des inneren Teils wird auf 3,5× 1041 kg geschätzt. Die Gesamtmasse wird auf einen Wert zwischen 1,5× 1042 und 3× 1042 kg geschätzt [7, 12, 34]. Diese Schätzung enthält die Dunkle Materie. Die Masse innerhalb eines Radius von 80 kpc ist 9×1011 MS mit einem Fehler von 3×1011 MS. Die zwei Spiralarme können durch logarithmische Spiralen beschrieben werden. Der Anstellwinkel (pitch) beträgt ungefähr 12 Grad. Der äußere Ring (oder Monoceros Ring) enthält Sterne und Staub. Man nimmt an, dass diese Materie anderen Galaxien entrissen wurde [58]. Der Ring hat eine Masse zwischen 300 und 900 Milliarden Sonnenmassen und hat eine Länge von 200.000 Lichtjahren. Die orbitale Geschwindigkeit der meisten Sterne hängt nicht von ihrer Entfernung vom Zentrum der Galaxie ab. Innerhalb eines weiten Radiusbereichs liegt die Geschwindigkeit der Sterne zwischen 210 und 240 [km/s]. Die orbitale Geschwindigkeit der Sonne um das Zentrum unserer Galaxie beträgt ungefähr 220 km/s.

14 Das Model einer Spiralgalaxie, das wir in dieser Untersuchung benutzt haben, wurde von den Modellen aus [2, 62] inspiriert. Das Modell enthält drei unterschiedlich geformte Massen: 1. den kugelförmigen Kern (oder zentrale Ausbauchung, bulge) im Zentrum der Galaxie, 2. den mehr zylindrisch geformten Balken, dessen lange Achse innerhalb der Scheibenebene liegt, und der sein Massenzentrum im Zentrum der Galaxie hat, und 3. eine flache Scheibe. Unser Modell beschreibt nur die baryonische Materie, deren Gesamtmasse mit MG=1011 MS [7, 34] angenommen wird. Die baryonische Gesamtmasse MG der Galaxie ist die Summe aus den Massen des Kerns, des Balkens und der Scheibe. d.h. MG=MK+MB+MD. Wir legten die Massenverhältnisse mit MK=0,12 MG, MB=0,12 MG, und entsprechend dann MD=0,76 MG fest. Der Wert der Masse des Galaxiekerns, MK=0.12 MG, wurde aus der Balkenmasse, deren Wert zwischen 1010 MS und 1,7× 1010 MS liegend angenommen wird, abgeleitet [2, 63]. Duvals Verhältnis der Masse des Balkens zur Masse der zentralen Scheibe (Kern oder zentraler Teil der zentralen Ausbauchung) variiert bei den Spiralgalaxien von 0,41 bis 0,94 mit einem Mittelwert von 0,7 [23]. Indem wir Duvals Verhältnis nutzen, können wir eine Schätzung der Masse des Kerns mit MK=1,2× 1010 MS / 0,94 ~ 1,2× 1010 MS angeben. Die Dichtefunktion des Kerns (bulge) wird durch eine Exponentialfunktion mit sphärischer Symmetrie modelliert. Die Formel mit ihren Parametern wird in Gl. (15) angegeben. ρk (r) = ρk0 e -α r.

(15)

Radius r ist hier die Entfernung vom Zentrum. Die spitze Gestalt der Funktion ist hier sinnvoll und beabsichtigt wegen des angenommenen Schwarzen Lochs in der zentralen Ausbauchung. Die zwei Parameter der Dichteverteilung sind ρk0 und α. Wir entschieden uns, den Wert α=5 [1/kpc] zu benutzen, um ein steiles Anwachsen der Rotationskurve nahe dem Zentrum zu erzeugen. Das Integral der Dichtefunktion ρk(r) ist in Kugelkoordinaten

MK  

 r 0

 / 2



  / 2

2



0

k 0 e r r 2 cos  dr d d  8 k 0 /  3  1,2  1010 M S ,

(16)

das für den Parameter ρk0 einen Wert von ρk0 = 5,97× 10 10 [MS/kpc3] liefert. Innerhalb einer Kugel mit dem Radius R = 2,5 [kpc] findetn wir die Masse

15 M 

R



 / 2



2

r 0   / 2  0

 k 0 e  r r 2 cos  dr d d ,

(17)

oder  2  R 2 2R 2   M  4  k 0  3  e  R   2  3       

(18)

mit M=1,199 ×10 10 [MS]. Die Dichteverteilung des Balkens sollte keine spitze Form aufweisen. Deshalb wird er durch ein gestrecktes Ellipsoid mit einer dreidimensionalen Gaussverteilung modelliert [27]. Die vier Parameter der Verteilung sind ρb0, σbx, σby, und σbz. Die multivariate Gaussverteilung für k Variable ist im zentrierten Fall f(r) = ρb0/((2π)k/2 │∑│1/2) exp( -(1/2) (r’ ∑-1 r) ) mit Radiusvektor r’=(x, y, z) und Kovarianzmatrix ∑. Die Kovarianzmatrix in unserem Modell ist eine Diagonalmatrix mit den Elementen σbx2, σby2, σbz2. Die Standardabweichung σbx beschreibt die Abnahme der Dichte entlang der x-Halbachse des Balkenmodells (die lange Achse des Balkens liegt in der Scheibenebene). σby beschreibt die Abnahme der Dichte entlang der y-Halbachse (senkrecht zu x und ebenfalls in der Scheibenebene gelegen), und σbz beschreibt die Abnahme der Dichte entlang der z-Halbachse (senkrecht zur x- und zur yAchse und damit senkrecht zur Scheibenebene). Die Verhältnisse zwischen den Standardabweichungen σbx, σby, und σbz sind 1,7 : 0,64 : 0,44 [2]. Die Länge der langen Achse des Balkens ist 3,13×1.7 = 5,3 kpc [2]. Wir setzen diesen Wert gleich 4σbx, d.h., σbx=1,325 kpc. Aus der Festlegung dieses Wertes folgt σby=0.499 kpc und σbz=0,343 kpc. Das Integral über das 2σ-Ellipsoid (das Ellipsoid mit den Längen 2σbx, 2σby, und 2σbz der Halbachsen) der dreidimensionalen Gaußverteilung ist Ф2σ=0,7385. Ausgehend von diesem Wert berechnen wir

den

Wert

ρb0

der

zentralen

Dichte

als

ρb0=(MB/0,7385)=(1,4× 1010 MS

/0,7385)=1,896× 1010 [MS/kpc3]. Die

Dichteverteilung

der

Scheibe

wird

ebenfalls

durch

eine

dreidimensionale

Gaußverteilung mit den Parametern ρd0, σdxy, und σdz modelliert. Die Standardabweichung σdxy beschreibt die Abnahme der Dichte entlang eines beliebig gewählten Radius in der Scheibenebene, σdz beschreibt die Abnahme der Dichte auf der z-Halbachse (senkrecht zur xund y-Achse und somit senkrecht zur Scheibenebene). Die Scheibe des Milchstraßensystems hat einen Durchmesser von ungefähr 30 kpc [36]. Wir setzen diesen Wert gleich 6σdxy, d.h., σdxy=5 kpc. Die Scheibe ist ungefähr 1 kpc dick [36], so dass wir 6σdz=1 kpc setzen, oder σdz=0,17 kpc. Da wir jedoch die flockige Struktur der Scheibe durch Cluster modellieren, würden die Cluster die Scheibe etwas aufblähen. Deshalb benutzen wir in diesem Modell der Scheibe σdz=0,01 kpc kombiniert mit einer Clusterausdehnung in z-Richtung von 0,04 kpc.

16 Das Integral über das 3σ-Ellipsoid (das Ellipsoid mit den Längen 3σdxy, 3σdxy, und 3σdz der Halbachsen) der dreidimensionalen Gaußverteilung ist Ф3σ=0,9707. Aus diesem Wert erhalten wir

den

Wert

ρd0

der

zentralen

Dichte

als

ρd0=MD/0,9707

=6,6× 1010 MS

/0,9707=6,8× 1010 [MS/kpc3]. Die Arme der Galaxie werden durch logarithmische Spiralen beschrieben, d.h. r ( )  a0 e k  . Der Anstellwinkel (pitch) beträgt ungefähr 12 Grad, d.h. k=1/tan(12°)=4,705. Die Dichte der Spiralarme wurde 3 mal so hoch angesetzt wie die Dichte der Scheibe außerhalb der Arme. Die Arme haben eine tangentiale Ausdehnung von 22,5°. In unserem Modell wurde die Zahl von 1.000.000 Punkten zufällig verteilt, d.h. ein Punkt steht für 100.000 Sonnenmassen.

Abb. 3: X-Y-Projektion des Modells

17

Abb. 4: X-Z-Projektion des Modells

Abb. 5: Schiefe Projektion des Modells

2.

Methoden und Instrumente

In diesem Abschnitt erläutern wir Schritt für Schritt die Berechnung der Krümmung der Membrane und der Rotationskurve mit und ohne Einfluss der Dunklen Materie. Die Schritte sind: (1) Aufbau des Gitters; (2) Bestimmung der Randbedingungen und der äußeren Kräfte; (3) die Berechnung der Krümmung der Membrane unter dem Einfluss der unterschiedlichen Lasten; (4) die Berechnung der Rotationskurven.

18

2.1.

Aufbau des Gitters und Randbedingungen

Ein Ausschnitt aus einer 3D-Membrane, der in einem 4D-Hyperraum (bulk space) aufgespannt ist, kann man sich als eine gespannte Kugel aus Gummi vorstellen. Die Oberfläche der Kugel ist fixiert. Auf diese Weise benötigen wir im 3D-Fall ein räumlich strukturiertes Gitter mit den vier Koordinaten x, y, z, und w. Die Konstruktion des Gitters erfolgt identisch zu der in [30]. In dieser Studie stellen die Randbedingungen ein Problem dar [15]. Knoten, die weit weg vom galaktischen Zentrum sind, werden so betrachtet, als seien sie in der ungestörten Membrane angesiedelt, d.h. alle w-Koordinaten sind w = 0. Das Problem entsteht dann, wenn man sich dem Zentrum nähert. Aus Gründen des Speicherplatzbedarfs und der Rechenzeit verbietet sich ein feines Gitter über eine Kugel mit einem Durchmesser von 200 kpc. Aber dieser Durchmesser ist erforderlich, um auch die Krümmung der Membrane außerhalb der Grenzen der Galaxie mit ihrem Durchmesser von ungefähr 35 kpc zu berechnen. Deshalb beschlossen wir, drei Gitter mit unterschiedlichen Maschenweiten zu benutzen: (1) ein grobes Gitter mit Maschenweite dx = 3,6 kpc; (2) ein mittelfeines Gitter mit Maschenweite dx = 1,2 kpc; (3) und ein feines Gitter mit Maschenweite dx = 0,4 kpc. Je feiner die Maschenweite, desto kleiner ist der Durchmesser der Kugel, die von dem Gitter aufgespannt wird. Die wKoordinaten der Randpunkte der größten Kugel (grobes Gitter) wurden w=0 gesetzt. Die Randpunkte der Kugel mit dem mittelfeinen Gitter haben w-Koordinaten, die durch das grobe Gitter vorgegeben werden, und die Randpunkte der Kugel mit dem feinen Gitter haben wKoordinaten, die durch das mittelfeine Gitter vorgegeben werden. Auf diese Weise ist ein wesentlicher Punkt des Computerprogramms die w-Koordinaten der Randpunkte des nächstfeineren Gitters aus den w-Daten des gröberen Gitters zu übernehmen. Da keine Steifigkeit der Membrane angenommen wird, werden keine weiteren Randbedingungen benötigt. In dieser Studie ist die Größe des Gitters, das zur Modellierung des betrachteten Ausschnitts der Membrane benutzt wird, durch die Anzahl N an Knoten auf dem Durchmesser gegeben, der auf der x-Achse liegt. Die x- und die y-Achse liegen in der Ebene der galaktischen Scheibe. Die z-Achse ist senkrecht dazu angeordnet. Wir benutzten N=72 Knoten für das grobe und das mittelfeine Gitter, und N=140 für das feine Gitter.

19 2.2.

Erzeugung des Modells der Galaxie

Wir zielten auf eine flockige Struktur des Modells, d.h., dass die Massenpunkte in kleinen Clustern angeordnet sind. Zuerst erzeugt der Algorithmus zufällig angeordnete Kondensationskerne, getrennt für die zentrale Ausbauchung (bulge), den Balken und die Scheibe. Das Verhältnis von Kondensationskernen zu Massenpunkten war zu 0,2 gewählt worden. Der Radius der Cluster war 0,1 kpc. In der zentralen Ausbauchung (bulge) und dem Balken haben die Cluster dieselbe Ausdehnung in alle drei Richtungen x, y, und z. Im Gegensatz dazu haben die Cluster der Scheibe in z-Richtung nur 1/5 der Ausdehnung in den anderen Richtungen, x bzw. y. Die Dichte der Massenpunkte nimmt vom Zentrum exponentiell nach auswärts ab [13]. Der Algorithmus generiert ein zufälliges Tupel an Koordinaten in einem Würfel der Kantenlänge 5 kpc. Ein Punkt wird nur als Kondensationskern der zentralen Ausbauchung (bulge) ausgewählt, wenn er innerhalb des Radius R=2,5 kpc liegt, und wenn eine [0 , 1]-Zufallszahl den Wert der Dichtefunktion e-αr nicht übersteigt [19, 29]. Nach der Berechnung aller Kondensationskerne der zentralen Ausbauchung (bulge) werden die Cluster generiert. Einer der Kondensationskerne wird zufällig aus der Liste ausgewählt. Dann wird eine zufällige Position berechnet in einem Würfel mit der Kantenlänge eines Clusterdurchmessers mit dem Kondensationskern im Zentrum. Wenn die zufällige Position innerhalb des Radius eines Clusters liegt, wird die Position als Massenpunkt der zentralen Ausbauchung (bulge) abgespeichert. Der Algorithmus wird wiederholt bis die Anzahl der Massenpunkte der zentralen Ausbauchung (bulge) gefunden ist. Der Algorithmaus erlaubt, dass sich Cluster überschneiden dürfen. Auf ähnliche Weise werden Balken und Scheibe der Galaxie konstruiert. In beiden Fällen nimmt die Dichte in Form einer dreidimensionalen Normalverteilung ab. Im Falle des Balkens wählt der Algorithmus Punkte innerhalb des Radius r  ( x /  bx ) 2  ( y /  by ) 2  ( z /  bz ) 2  2 (im Falle der Scheibe innerhalb des Radius r  ( x /  dx ) 2  ( y /  dy ) 2  ( z /  dz ) 2  3 ) aus, und in beiden Fällen nur, wenn eine [0 , 1]-Zufallszahl den Wert der Dichtefunktion e-r∙r/2 nicht übersteigt. Ein besonderes Problem stellt die unterschiedliche Dichte der Spiralarme und die der Scheibe außerhalb der Arme dar. Ein Arm (unserer Galaxie) wird durch eine logarithmische Spirale mit einem Anstellwinkel von 12° beschrieben, d.h. der Radius r zu einem gegebenem Winkel φ ist r ( )  ro e k  mit k=1/tan(12°) = 4,705. Ist der Radius gegeben, dann erhalten

20 wir den Winkel φ durch die Beziehung   ln(r / ro ) (1 / k ) mit ro als halbe Balkenlänge ( ro  2  bx ). Unser Model hat zwei Arme. Das Verhältnis der Dichte in den Armen zur Dichte im Rest der Scheibe war in unserer Simulation densratio=3. Eine andere Eigenschaft unseres Modells ist der glatte Übergang der Dichte in der zentralen Ausbauchung (bulge) zu der in den Armen der Galaxie.

2.3.

Berechnung der Krümmung

Die Knotengleichungen erfordern, dass im Gleichgewichtszustand die Summe aller Kräfte an einem Knoten null ist. Jeder Fall von Ungleichgewicht zwingt den Knoten dazu, eine andere Position einzunehmen [9, 30]. Für die praktische Berechnung zerlegt man die elastischen Kräfte der Fäden (strings) zwischen den Knoten in ihre x-, y-, z-, und wKomponenten, und bestimmt, ob die Summe der Komponenten null sind für jeden Knoten. Wegen der Flachheit der Krümmung werden Verschiebungen der Knoten in x-, y-, oder zRichtung nicht betrachtet. Im Falle von Ungleichgewicht zerlegt man die resultierende Kraft in w-Richtung. Diese Zerlegung ist eine direkte Festlegung der Richtung, in die man den Knoten bewegen muss, um den Gleichgewichtszustand zu finden. Die Berechnung der Krümmung startet mit einem flachen Gitter. Jeder Faden (string) hat dieselbe Spannung Fo mit der Dimension einer Kraft. Alle Knoten, die im Galaxiekörper lokalisiert sind, erfahren zusätzlich zu den Kräften, die ihre Nachbarknoten auf sie ausüben, eine Kraft MSC∙AVF, in negativer w-Richtung. Die Masse MSC ist die Masse der Sterne innerhalb der Raumzelle, die diesen Knoten umschließt. AVF ist die VektorfeldBeschleunigung. Eine Raumzelle hat in unserem Gitter (das durch die Dichteste Kugelpackung gegeben ist) das Volumen V  (4 / 3)(dx / 2)3 ((3 2 ) /  ) oder V  dx3 / 2 ,

wobei dx die Gitterkonstante ist. Das Programm findet automatisch die Gestalt der Raumzelle und ihr Volumen durch die einfache Regel, dass jeder zufällig gesetzte Massenpunkt dem ihm zunächst liegenden Knoten zugeordnet wird. Im Falle der Dunklen Materie erscheint ein dritter Term in der Knotengleichung: die Wechselwirkung der gestörten Membran mit dem homogenen Vektorfeld. In diesem Abschnitt betrachten wir die Wechselwirkung dww’w(x, y, z)w’(x, y, z). Hier liefert der Dunkle-Materie-Koeffizient dww’ [N/m4] die Kraft, die durch das Vektorfeld

21 ausgeübt wird, das mit einem Kubikmeter Membrane mit Raumtiefe w und Neigung w’ interagiert. Die Berechnung der richtigen Krümmung erfordert die Lösung aller Knotengleichungen unter Einhaltung der Randbedingungen. Für mehr Einzelheiten siehe [30]. Die Gleichung für den Knoten mit der Nummer n im Gitter ist

  F0   w j  wn   Ln AVF  d ww' wn wn   0 .  j 

(19)

Hier ist Fo die Spannung eines Fadens (strings), wn oder wj sind die w-Koordinaten von zwei benachbarten Knoten, Ln ist die Masse der Sterne in der Raumzelle, AVF die VektorfeldBeschleunigung, dww’ der Koeffizient der speziellen Wechselwirkung, und wnw’n die Art der Wechselwirkung der Membrane mit dem Vektorfeld. Die Summation geht über alle 12 direkten Nachbarn des Knotens. Das Stop-Kriterium, das in diesem Programm benutzt wird, basiert auf der Änderung der elastischen Energie, die im gekrümmten Gitter gespeichert ist, zwischen zwei Iterationsschritten. Wenn die Änderung dE der Energie kleiner als ein gegebenes ε wird, dann wird die Iteration angehalten. Ein Iterationsschritt des Proramms umfasst die zweimalige Behandlung aller beweglichen Knoten, zuerst radial auswärts und dann radial einwärts. Der Algorithmus benutzt deshalb zwei Listen mit den Knotennummern in den geforderten Reihenfolgen.

2.4.

Berechnung der Rotationskurve

Die Rotationskurve zeigt die Geschwindigkeit der Sterne in der galaktischen Scheibe aufgetragen über dem Abstand r vom galaktischen Zentrum [7]. Wenn wir annehmen, dass die Umlaufbahnen der einzelnen Sterne Kreisbahnen sind, dann können wir die Geschwindigkeit v aus dem Gleichgewicht der Kräfte berechnen: Die Zentrifugalkraft mv2 / r muss gleich der   Zentripedalkraft m  AVF  (w  er ) sein. Hier ist m∙AVF die Kraft, die durch das Vektorfeld   verursacht wird, und  w  r die negative Richtungsableitung der Funktion w(x, y, z) in r Richtung. Der Gradientenvektor w der Funktion w(x, y, z) kann mittels der gewichteten multiplen Regressionsanalyse bestimmt werden [30]. Da die galaktische Scheibe nicht in allen Richtungen homogen ist, erhalten wir unterschiedliche Geschwindigkeiten für einen Abstand r, d.h., dass die Geschwindigkeit um einen Mittelwert streut. Für jeden Knoten in der galaktischen Ebene (das sind alle Knoten mit der Koordinate z=0) wird der Gradientenvektor

22

   w berechnet, dann das Skalarprodukt  w  er , und aus diesem die Geschwindigkeit v   gemäß der Formel v  (w  er ) AVF r .

3.

Ergebnisse

Es wurden 3 Programme in Visual C++ geschrieben. Das erste Programm berechnet die Zufallsdaten der galaktischen Scheibe, d.h. die Koordinaten der 1.000.000 Massenpunkte. Mit dieser Massenverteilung wird sowohl die Krümmung w(x, y, z) berechnet als auch die Rotationskurve v(r). Dann wird in einem zweiten Schritt die Wechselwirkung des Vektorfelds mit der gestörten Membrane hinzugefügt. Wir erhalten die angepasste Krümmung wDM(x, y, z) mit einer neuen Rotationskurve vDM(r). Der Index DM bedeutet hier „mit Dunkler Materie“. Das erste Programm benutzt das grobe Gitter. Das zweite und dritte Programm benutzen die gespeicherten Koordinaten der Massenpunkte vom ersten Programm, und führen dieselben Berechnungen aus, wie im Programm 1, benutzen aber das mittelfeine Gitter (Programm 2) bzw. das feine Gitter (Programm 3). Zusätzlich werden die berechneten Krümmungsdaten von einem Programm zum nächsten übertragen, um die richtigen Randbedingungen zu finden.

3.1.

Ergebnisse für den Wechselwirkungstyp ww’

Die Wechselwirkung ww’ wurde wegen zwei ihrer Eigenschaften benutzt: (1) Die schwache Nicht-Konvergenz, und (2) der kleine Einfluss dieser Wechselwirkung in unserem Sonnensystem. Betrachten wir einen einzelnen Stern, dann ist das Integral der Differentialgleichung der Krümmung nicht konvergent, wenn man die obere Grenze R der Integration als unendlich annimmt. Aber die Ordnung, mit der w(r) anwächst, ist nur die der Funktion ln(r), und die obere Integrationsgrenze ist nicht unendlich, auch nicht in astronomischen Maßstäben. Wir erhalten auf diese Weise für den Dunkle-MaterieKoeffizienten dww’= 4,7× 10-7 [N/m4] konvergente Lösungen, d.h. die Iteration geht gegen eine feste Krümmung w(x, y, z). Abb. 6 zeigt die Rotationskurven, die mit dem groben Gitter mit der Gitterkonstanten dx = 3,6 [kpc] gefunden wurden. Der Radius der Galaxie beträgt ungefähr 17 kpc. Die linke Seite der Abbildung zeigt den Kurvenverlauf ohne Berücksichtigung des Dunkle-Materie-Terms, die rechte Seite zeigt den Kurvenverlauf mit Berücksichtigung des Dunkle-Materie-Terms. Ohne den Dunkle-Materie-Term sinkt die Kurve für einen Radius r > 12 kpc. Im Falle der Dunklen Materie bleibt die Kurve nahezu waagrecht, auch für r > 12 kpc. Wegen der großen Maschen des Gitters weicht die Kurve

23 nahe dem Zentrum von den Erwartungen ab. Der Anstieg des Geschwindigkeitsverlaufs sollte steiler sein. Wegen der groben Maschen des Gitters streuen die Geschwindigkeitswerte hier fast nur aufgrund der unterschiedlichen Dichten innerhalb und außerhalb der Arme der Modellgalaxie. Mit der Dunklen Materie hat der Absolutbetrag der Geschwindigkeitskurve sein Maximum bei einem Radius von ungefähr 12 kpc und einen Wert von ungefähr 135 km/s. Diese Zahl ist zu klein, aber ein Teil der fehlenden Geschwindigkeit ist eine Folge der Grobheit des Gitters. Diese Tatsache folgt aus den Ergebnissen der feineren Gitter (siehe unten). Schmidt [62] zeigt dagegen eine Rotationskurve mit einem Maximum von 250 km/s in einer Entfernung von r~0,1 kpc vom Zentrum, gefolgt von einem Minimum mit v~190 km/s bei r~3 kpc. Es folgt ein weiteres Maximum von v~220 km/s bei r~7 kpc, dann wieder ein Minimum von v~190 km/s bei r~10 kpc, und von diesem Radius an einen nahezu flachen Kurvenverlauf mit v~220 km/s bis zur Grenze der Galaxie bei r~17 kpc.

Abb. 6: Rotationskurven für das Gitter mit N = 72, dx = 3,6 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4], links ohne dunkle Materie, rechts mit dunkler Materie

Abb. 7 zeigt die Deformation der x-y-Ebene (Koordinate z=0) der 3D-Membrane in negativer w-Richtung. Die Deformation in w-Richtung wurde in dieser Abbildung um den Faktor 1015 vergrößert dargestellt. In Wirklichkeit ist die Deformation der Membrane nicht größer als ein Atomdurchmesser in der Mitte des Erie-Sees. Die linke Seite der Abbildung zeigt die Krümmung ohne den Dunkle-Materie-Term in Gl. (19), die rechte Seite mit einem solchen Term. Man kann deutlich die größere Steilheit des Abstiegs und die größere Tiefe des Gravitationstrichters erkennen.

24

Abb. 7: Gravitationstrichter w(x, y, 0) ohne und mit Dunkler Materie (Gitter mit N=72, dx=3,6 [kpc], dww’= 4,7× 10-7 [N/m4]) Abb. 8 zeigt die zwei Rotationskurven für das Gitter mit N=72, dx=1,2 [kpc], und dww’= 4,7× 10-7 [N/m4]. Die Kurve mit Dunkler Materie zeigt schon einen steileren Anstieg und ein Maximum mit v~160 km/s bei r~11 kpc. Außerhalb der Galaxie (r>17 kpc) ist die Rotationsgeschwindigkeit konstant auf einem Niveau von 130 km/s. Ohne Dunkle Materie ist die Kurve deutlich niedriger und sie fällt für r>10 kpc ab.

Abb. 8: Rotationskurven für das Gitter mit N = 72, dx = 1,2 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4] ohne und mit Dunkler Materie Abb. 9 zeigt die Deformation der x-y-Ebene der 3D-Membrane für dieses Gitter. Die Darstellung der w-Deformation wurde um den Faktor 1015 auch in dieser Abbildung vergrößert. Man kann hier den Effekt der Randbedingungen studieren. Die Absenkung der w-

25 Koordinaten am Rand ist ohne und mit Dunkler Materie leicht zu sehen. Die x- und die yAchse sind für w=0 dargestellt.

Abb. 9: Gravitationalstrichter ohne und mit Dunkler Materie (Gitter mit N = 72, dx = 1,2 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])

Abb. 10 zeigt schon mehr Details. Die Gitterkonstante ist hier dx=0,4 mit N=140 Maschen im Duchmesser des Gitters. Die Rotationskurve ohne Dunkle Materie zeigt ein Maximum von v~150 km/s bei r~1.5 kpc. Die beiden Minima werden von den Armen der Galaxie verursacht. Die Kurve fällt nach ihrem letzten Maximum von v~140 km/s ab bis zu einem Wert von v~90 km/s hinter dem Rand der Galaxie bei r=20 kpc. Die Kurve mit Dunkler Materie zeigt ein erstes Maximum mit v~160 km/s bei r~1.5 kpc, ein letztes Maximum mit v~170 km/s bei r~10 kpc, und fällt dann moderat ab bis auf eine Geschwindigkeit von v~125 km/s bei r=20 kpc. Der Effekt des Dunkle-Materie-Terms ist offensichtlich.

Abb. 10: Rotationskurven für das Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4]

26

Abb. 11: Gravitationstrichter ohne und mit Dunkler Materie (Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])

In den Abb. 11 und 12 kann man den Effekt der Inhomogenitäten in der Dichte des GalaxieModells erkennen. Das Gitter ist fein genug um den Effekt der Arme der Galaxie zu modellieren. Die Wirkung der flockigen Struktur des Scheibenmodells bleibt jedoch verborgen. Um diese Wirkung zu zeigen müsste das Gitter noch viel feiner sein.

Abb. 12: Die Galaxie und der Gravitationstrichter mit Dunkler Materie (Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])

27 Abb. 12 illustriert die Beziehung zwischen dem Durchmesser der galaktischen Scheibe und der Ausdehnung des feinen Gitters. Man muss sich das Gitter als (3-dimensionale) Kugel vorstellen mit der galaktischen Scheibe darin auf der x-y-Ebene. Aber es wäre bei einer solchen Darstellung nicht möglich, die Deformation des Gitters in der vierten Dimension darzustellen. Die tiefsten Punkte der drei Gitter sind in Tabelle 1 aufgeführt, d.h. die w-Koordinate im galaktischen Zentrum. Man sollte jedoch im Gedächtnis behalten, dass jeder Stern einen zusätzlichen eigenen Trichter hat mit einer Tiefe von derselben Größenordnung. Schwarze Löcher, weiße Zwerge oder Neutronensterne haben Trichter, die noch weit tiefer sind.

Gitterkonstante

dx = 4,2 kpc

dx = 1,2 kpc

dx = 0,4 kpc

Ohne DM

-2,39× 105 [m] -3,95× 105 [m] -6,10× 105 [m]

Mit DM

-4,90× 105 [m] -6,86× 105 [m] -9,12× 105 [m] Tabelle 1: Tiefste Punkte des Gitters

Die im Gitter gespeicherte elastische Energie ist ein gutes Maß für den Effekt des DunkleMaterie-Terms in Gl. (19). Die elastische Energie wird wie folgt berechnet: Der horizontale Abstand dx zweier Knoten bleibt unverändert. Der vertikale Abstand ist dw. Da dw sehr viel kleiner ist als die Gitterkonstante dx, finden wir für die Längenänderung ds eines einzelnen Fadens (strings) zu

 dw2  ds  dx 2  dw2  dx  dx 1   2   dx   dx 

dw2 . 2dx

(20)

Da sich die Fadenspannung Fo nicht merklich ändert, erhalten wir für einen Faden, der zwei Knoten verbindet, die zusätzliche Energie dE= Fo ds. Wir erhalten die totale zusätzliche Energie des Gitters, EG, durch eine Summation über alle Fäden (strings) des Gitters. Die erhaltenen Summen sind in Tabelle 2 aufgelistet.

28 Gitterkonstante dx = 4,2 kpc

dx = 1,2 kpc

dx = 0,4 kpc

Ohne DM

3,47× 1051 [Nm]

3,51× 1051 [Nm]

3,07× 1051 [Nm]

Mit DM

2,21× 1052 [Nm]

9,97× 1051 [Nm]

7,00× 1051 [Nm]

Tabelle 2: Totale zusätzliche elastische Energie des Gitters

3.2.

Ergebnisse zum Wechselwirkungstyp w’w’

Wir analysierten auch den Wechselwirkungstyp w’w’, da seine physikalische Interpretation leichter ist, als die des Typs ww’. Obgleich die Berechnung ähnliche Resultate liefert, wie die aus Abschnitt 3.1, sind wir der Meinung, dass diese Wechselwirkung nicht die Ursache für einen nennenswerten Beitrag zum Dunklen-Materie-Effekt sein kann. Ursache ist der erforderliche Wert des Koeffizienten mit dw’w’≈1014 [N/m3]. Dieser Wert ist zu hoch für einen noch akzeptablen Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse.

4.

Diskussion und Schlussfolgerungen

4.1.

Wechselwirkungstyp ww’ und die Rotationskurve

Die Rotationskurven der Galaxien sind das wichtigste Indiz für die Existenz der Dunklen Materie [5]. Deshalb müssen wir diese Kurven mit besonderer Sorgfalt untersuchen. Zuerst sehen wir, dass die Rotationskurve ohne Dunkle Materie (Abb. 10, linke Seite) nahezu flach ist im Bereich 0 bis 18 kpc. Damit wird verständlich, dass einige Autoren die Existenz der Dunklen Materie nicht nur in Elliptischen Galaxien verneinen, sondern auch in Spiralgalaxien (z.B. siehe [1]). Im Fall mit Dunkler Materie (Abb. 10, rechte Seite) hat sich die Flachheit der Kurve noch verbessert und die mittlere Geschwindigkeit erhöht. Der Effekt der Dunklen Materie ist gut sichtbar.

4.2.

Wechselwirkungstyp ww’ in unserem Sonnensystem

Eine wichtige Frage betrifft den Einfluss der Dunklen Materie in unserem Sonnensystem [24]. Wie groß ist der Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse? Wir verweisen auf Abb. 2. Die Raumtiefe außerhalb der Sonne ist w (r )  

WRS RS r

(Gl. (6)), und die Neigung

29 ist w(r ) 

WRS RS r²

(Gl. (7)). Der Verlauf w(r) innerhalb der Sonne ist weitgehend unbe-

kannt, aber wir können eine stetig abfallende Funktion mit einem Minimum im Zentrum der Sonne annehmen, z.B. eine Parabel w(r) = Ar2 - WRS - W00 mit A = WRS /(2RS2) und W00 = ARS2=(1/2)WRS und w’(r) = 2Ar. Hier ist RS der Radius der Sonne, WRS ist die Raumtiefe am Sonnenrand relativ zur Umgebung, und WRS+W00 ist die Raumtiefe im Zentrum der Sonne. Man sieht, dass die totale Raumtiefe im Zentrum der Sonne (3/2) WRS beträgt. Zu dieser Raumtiefe müssen wir noch die mittlere Raumtiefe w der Membrane in jenem Teil der Galaxie addieren, in dem sich unsere Sonne befindet. Wegen der randnahen Position der Sonne in der Milchstraße schätzen wir den Betrag von w auf w =2.5105 [m]. Nun versuchen wir das Massenäquivalent an Dunkler Materie innerhalb der Sonne zu schätzen. Um das Massenäquivalent zu erhalten, müssen wir die Kraft FSI der Wechselwirkung des Vektorfelds mit der geneigten und vertieften Membrane innerhalb der Sonne berechnen. Diese Kraft dividieren wir duch die negative Vektorfeld-Beschleunigung, -AVF, und erhalten so dass Massenäquivalent an Dunkler Materie. Es gilt

RS

2

FSI   d ww' 4 r w(r ) w' (r ) dr  d ww' 4 0



RS

0

3   r 2  Ar 2  WRS  w  (2 A r ) dr , 2  

(21)

oder RS W  W 3 FSI  d ww' 4  r 2  RS2 r 2  WRS  w   2 RS2 0 2  2 RS   2 RS

 r  dr , 

(22)

oder  7  FSI   4 d ww' WRS2 RS2    d ww'  w WRS RS2 ,  24 

(23)

und mit AVF = 1,361105 [m/s2], RS = 6,958108[m], WRS = 1,432106[m], w = 2,5105 [m], und dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4] erhalten wir ein Massenäquivalent von

DMSI= -FSI/AVF =

1,271019 [kg]. Das ist nur ein winziger Teil der Sonnenmasse, die mit 21030 [kg] angenommen wird. Nun bestimmen wir das Massenäquivalent der Dunklen Materie außerhalb der Sonne. Das Integral ist nicht konvergent, so dass wir eine Obergrenze Rmax der Integration annehmen müssen. Wir nehmen hier an, dass der Gravitationstrichter eines Sterns in der Mitte des Abstands zum nächsten Stern endet, d.h. wir wählen einen Wert für Rmax von ungefähr 5 Lichtjahren (Rmax = 4,71016 [m]). Die Kraft, die vom Vektorfeld außerhalb der Sonne verursacht wird, ist dann durch Gl. (24) gegeben.

30 FSO  d ww' 4 

R max

RS

r 2 ww' dr  d ww' 4 

R max

RS

 W R W R  r 2   RS S  w   RS2 S  dr , r   r 

(24)

oder FSO  4 d ww' (WRS2 RS2 ( ln( Rmax )  ln( RS ) )  w WRS RS ( Rmax  RS ) ) .

Mit FSO   1,17  1037 N  ,

(25)

dividiert durch die negative Vektorfeld-Beschleunigung von

-AVF = -1,361105 [m/s2], erhalten wir das Massenäquivalent der Dunklen Materie außerhalb der Sonne als DMSO=861030 [Kg], oder ungefähr 40 mal die Masse der Sonne. Aber wir bemerken an dieser Stelle, dass allein schon der zweite Term mit dem Faktor (Rmax-RS) in Gl. (25) nahezu den gesamten Wert liefert. Die Schätzung des Wertes für DMSO ist zu hoch. Die Ursache für diesen zu hohen Schätzwert ist, dass sich die Gravitationstrichter benachbarter Sterne gegenseitig beeinflussen. Die Neigung des Trichters nimmt in der Nachbarschaft anderer Sterne schneller ab, als im Falle eines isolierten Sterns. Unser Integrationsradius Rmax hat eine Größe erreicht, für die wir eine kombinierte Berechnung der Dunklen Materie aller Sterne aus der Nachbarschaft durchführen müssten. Diese Berechnung müsste mit einer ähnlichen Methode ausgeführt werden, wie sie in Abschnitt 3 beschrieben wurde. Die Wirkung des ww’-Typs der Dunklen Materie in unserem Sonnensystem ist sehr schwer zu entdecken. Dafür gibt es zwei Gründe: (1) ist der Betrag sehr klein, und (2) verbirgt sich diese Art der Wechselwirkung auf perfekte Weise, wenn man den Einfluss des w -Terms vernachlässigt. Um diesen Fakt zu illustrieren, konstruieren wir die Formel für die Gravitationskraft, die durch diesen Wechselwirkungstyp hervorgerufen wird. Die durch die Gravitation verursachte Beschleunigung dA, die durch eine Kugelschale der Dicke dr an Dunkler Materie mit der Sonne im Zentrum verursacht wird, ist dA  d ww' 4 r 2

ww'    4 r 2  WRS RS W R     w   RS2 S   2  dr .   2 dr  d ww'  AVF  r   AVF  r  r  r 

(26)

Die Integration liefert d ww' 2 WRS2 RS2    d ww' 4 w WRS RS    A(r )    2  . AVF AVF r  r

(27)

Die Abhängigkeit der Beschleunigung A(r) vom Radius r im ersten Term der rechten Seite von Gl. (27) ist dieselbe, wie in Newtons Gravitationsgesetz, d.h. wir können nicht zwischen dem Einfluss der Dunklen Materie und dem der normalen baryonischen Materie, die in der Sonne konzentriert ist, unterscheiden. Zusätzlich ist der Betrag von A(r) sehr klein im Verhältnis zur normalen Gravitationsbeschleunigung der Sonne im Abstand r. An der

31 Erdposition ist die Gravitationsbeschleunigung der Sonne ASE ungefähr ASE=610-3 [m/s2]. Die Beschleunigung ADME1, die durch den ersten Dunkle-Materie-Term an der Erdposition gegeben wird, ist ADME1=0,8710-9 [m/s2], d.h., das ist nur ein Anteil von 10-7 von ASE. Die Beschleunigung ADME2, die durch den zweiten Dunkle-Materie-Term an der Erdposition gegeben wird, ist ADME2=4,810-12 [m/s2], d.h., das ist nur ein Anteil von 10-9 von ASE. Der zweite Term, ADME2, ist in der Tat eine Störung von Newtons Gravitationsgesetz, aber der Effekt ist sehr klein. Z.B. hat der Störterm APA = -6γMS a/r3 mit dem Schwarzschildradius a=1483 [m] der Sonne, der für die Drehung des Perihels der Planetenbahnen verantwortlich ist, einen Wert von APA=3,510-10 [m/s2], ein Wert, der 73 mal größer ist, als der von Term ADME2.

4.3.

Wechselwirkungstyp w’w’ in unserem Sonnensystem

Obgleich wir von der Wechselwirkung w’w’ nicht annehmen, dass sie einen bemerkenswerten Beitrag zum Dunkle-Materie-Effekt leistet, verbleibt doch ein Rest Hoffnung, dass gerade diese Wechselwirkung eine Rolle spielen könnte bei der Erklärung des Störterms APA = -6γMS a/r3. In der Vergangenheit gab es viele Versuche [26, 37, 67], die Periheldrehung der Planetenbahnen zu erklären, aber die einfachste Erklärung würde die Wirkung genau dieser Wechselwirkung, w’w’, des Vektorfeldes mit der Membrane sein. Das impliziert aber, dass der Dunkle-Materie Koeffizient dw’w’ einen ganz bestimmten Wert haben müsste. Dieser Wert kann nicht mit den Methoden berechnet werden, die in unserer Untersuchung zur Anwendung kamen. Deshalb haben wir dieses Thema hier nicht weiter vertieft.

4.4.

Schlussfolgerungen

Der Wechselwirkungstyp ww’ des homogenen Vektorfeldes mit der Membrane ist ein geeigneter Kandidat zur Erklärung der Dunklen Materie. Innerhalb des Radius einer Spiralgalaxie führt das Anwachsen der elastischen Energie des Gitters zu einem Betrag an Dunkler Materie, der vergleichbar dem der baryonischen Masse der Galaxie ist [49, 50]. Betrachtet man jedoch den Raum, der die Galaxie umgibt, dann wächst dieses Verhältnis in unserer Berechnung auf 6 zu 1 an.

32 Die Rotationskurve wird flacher unter dem Einfluss der Dunkle-Materie-Wechselwirkung, und die mittlere Geschwindigkeit erhöht sich. Totale Flachheit wurde für das grobe Gitter erreicht, aber nicht für die Berechnungen mit einem feineren Gitter. Eine Abschätzung der Wirkung dieses Dunkle-Materie-Typs innerhalb des Sonnensystems zeigt, dass der Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse vernachlässigbar klein ist. Dementsprechend klein ist auch die Änderung der Gravitationsbeschleunigung. Die Änderung ist ungefähr 70 mal kleiner als die kleine Beschleunigung, die für die Periheldrehung der Planetenbahnen im Sonnensystem verantwortlich ist. Es bleiben jedoch ungelöste Fragen. Wie groß ist der Anteil an Dunkler Materie, der durch die Gravitationstrichter der einzelnen Sterne in der Zentralen Ausbauchung, im Balken und in der Scheibe beigesteuert wird? Der geschätzte Faktor 40 ist zu hoch. Das heißt, man müsste Untersuchungen anstellen mit nur wenigen benachbarten Sternen in einem sehr feinen Gitter. Eine andere Frage betrifft die Lichtbeugung durch Gravitation (gravitational lensing). Hier könnte man verschiedene Trajektorien von Lichtpfaden durch den äußeren Teil des Gravitationstrichters einer Galaxie berechnen. Eine letzte Frage könnte sein, ob eine Lösung existiert, die die Berechnung des tatsächlichen Dunkle-Materie-Koeffizienten zum Wechselwirkungstyp w’w’ von Vektorfeld und Membrane gestattet.

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