Magnitudes escalares y vectoriales Tipos de vectores Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto p a un eje j

M Magnitudes it d escalares l

Magnitud perfectamente definida por su valor numérico

Abstractas. No tienen refracción rendimiento refracción, Concretas. Tienen temperatura (K)

unidades:

índice

unidades:masa

de (kg),

M Magnitudes it d vectoriales t i l

Magnitud perfectamente definida cuando se conoce, además de su valor numérico, la dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad (m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N·m), ...

Ti Tipos d de vectores t

Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido. Punto de aplicación es cualquiera en el espacio. espacio

Dos vectores libres son iguales si son superponibles mediante una traslación en el espacio

Ti Tipos d de vectores t

Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentido y recta soporte. El punto de aplicación es cualquiera sobre la recta soporte.

Dos vectores deslizantes son iguales si son superponibles mediante un deslizamiento a lo largo de la recta soporte

Ti Tipos de d vectores t

Localizados: Se conoce módulo,, dirección,, sentido y punto de aplicación.

Dos vectores localizados sólo p pueden ser iguales g a sí mismos

Representación vectorial 2D Y

G v G v cos β

β

α

G v cos α

X

R Representación t ió vectorial t i l 3D Z

G v

G v cos γ γ

G v cos α X

β

G v cos β

Y

Componentes de un vector P Proyección ió d dell vector t sobre b un eje j

G v α

G v cos α

V t Vectores unitarios it i

Un vector unitario es un vector sin unidades de módulo unidad;; se utilizan p para especificar p la dirección y sentido

El vector unitario que especifica la dirección y sentido de un vector se calcula mediante el cociente entre dicho vector y su módulo

V t Vectores unitarios it i Los vectores unitarios, unitarios sobre los ejes cartesianos se expresan por

G G G i , j, k

Operaciones con vectores libres

S Suma gráfica áfi d de vectores t g del p paralelogramo g ((2 vectores)) Regla

G B G A

G G G A+ B =C

G C

El vector suma es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores

S Suma gráfica áfi d de vectores t

G G G A+ B =C G A

G B

En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo

La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo es el extremo del segundo

S Suma gráfica áfi d de vectores t

Cuando se tienen muchos vectores se repite el proceso hasta q que se incluyen y todos los vectores

G D G C

G G G G A+ B+C + D G A

G B

S Suma de d vectores. t Componentes C t La proyección del vector suma sobre un eje, es la suma de las proyecciones de los vectores sobre dicho eje

Cx = Ax + Bx

G B

By

G A Ay

G C

C y = Ay + By Ax

Bx

P i d d d Propiedades de lla suma. C Conmutativa t ti

G G G G A+ B = B + A Re epresen ntación g gráfica

G A G B

G B

G A

P i d d d Propiedades de lla suma. A Asociativa i ti

G G G G G G A + ( B + C ) = ( A + B) + C

G G G A + ( B + C )G G B+C

G A

G C

G B

G G G ( A + B) + CG G A+ B

Representación gráfica

G A

G C G B

Multiplicación de un vector por un escalar

El resultado es un vector cuyo módulo es el producto del escalar p por el módulo del vector

Si el escalar es positivo, la dirección y sentido son los mismos que los del vector original

Si el escalar es negativo, negativo la dirección del resultado es la misma que la del vector original, pero su sentido es opuesto

G n v

M lti li Multiplicación ió d de un vector t por un escalar l

G nv A

G nv

O

n0 n>0

Producto escalar de dos vectores

G v1

Es un escalar

El valor del producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman los vectores

G G G G v1 ·v2 = v1 v2 cos α

α

G v2

Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa 1. Conmutativa

G G G G v1 ⋅ v2 = v2 ⋅ v1 G G G G v1 ⋅ v2 = v2 ⋅ v1 2. Asociativa respecto al producto por un escalar

G G G G G G n ( v1 ⋅ v2 ) = ( nv1 ) ⋅ v2 = ( nv2 ) ⋅ v1 G G G G G G n(v1 ⋅ v2 ) = (nv1 ) ⋅ v2 = (nv2 ) ⋅ v1

Propiedades del producto escalar 3. Distributiva respecto a la suma de vectores

G G G G G G G v1 ⋅ ( v2 + v3 ) = v1 ⋅ v2 + v1 ⋅ v3 4. No asociativa respecto a productos escalares sucesivos

G G G G G G v1 ⋅ ( v2 ⋅ v3 ) ≠ ( v1 ⋅ v2 ) ⋅ v3

P i d d d Propiedades dell producto d t escalar l

G G i ⋅i =1 G G i ⋅ j =0

G G j ⋅ j =1 G G i ⋅k = 0

G G k ⋅k =1 G G j ⋅k = 0

G G G G G G G G v1 ⋅ v2 = v1x i + v1 y j + v1z k ⋅ v2 x i + v2 y j + v2 z k =

(

)(

= v1x v2 y + v1 y v2 y + v1z v2 z

)

P d t vectorial Producto t i ld de d dos vectores t

G G v1 ∧ v 2

G v2

G v1

Es un vector: Módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que determinan; la dirección, perpendicular a ambos vectores y el sentido se determina por la regla de la mano derecha

Producto vectorial. Módulo El módulo representa el área del paralelogramo que determinan

G v1

d2

d1

G v2 G G G G G G Area = v1 ∧ v2 = v1 v2 sen ϕ = v1 d1 = v2 d 2

Propiedades del producto vectorial 1. No conmutativa

G G G G v1 ∧ v2 = − ( v2 ∧ v1 ) 2. Asociativa respecto p al p producto p por un escalar

G G G G G G n ( v1 ∧ v2 ) = ( nv1 ) ∧ v2 = ( nv2 ) ∧ v1

P i d d d Propiedades dell producto d t vectorial t i l 3 Distributiva respecto a la suma de vectores 3.

G G G G G G G v1 ∧ ( v2 + v3 ) = v1 ∧ v2 + v1 ∧ v3 4 No 4. N asociativa i ti respecto t a productos d t vectoriales t i l sucesivos i

G G G G G G v1 ∧ ( v2 ∧ v3 ) ≠ ( v1 ∧ v2 ) ∧ v3

P i d d d Propiedades dell producto d t vectorial t i l

G G G i ∧i = 0 G G G i ∧ j =k G G G j ∧ i = −k

G G G j∧ j =0 G G G j ∧k =i G G G k ∧ j = −i

G G G k ∧k =0 G G G k ∧i = j G G G i ∧k =−j

Propiedades del producto vectorial G G G G G G G G v1 ∧ v2 = v1x i + v1 y j + v1z k ∧ v2 x i + v2 y j + v2 z k =

(

) (

)

G G G = i (v1 y v2 z − v2 y v1z ) − j (v1x v2 z − v2 x v1z ) + k (v1x v2 y − v2 x v1 y ) =

G i = v1x v2 x

G j v1 y v2 y

G k v1z v2 z

P d t mixto: Producto i t Volumen V l d dell paralelepípedo l l í d

G v1 G v3 G v2

G G G v1 ·((v2 ∧ v3 ) G G v2 ∧ v3 G v1 cos ϕ = h

G v1 G v3 G v2

G G v2 ∧ v3

P d t mixto Producto i t G G G G G G G G G G G G v1 ⋅ ( v2 ∧ v3 ) = v1x i + v1 y j + v1z k ⋅ ⎡ v2 x i + v2 y j + v2 z k ∧ v3 x i + v3 y j + v3 z k ⎤ ⎣ ⎦

(

) (

) (

G i

G G G G G G v2 ∧ v3 v1 cos ϕ = v1x i + v y1 j + v1z k v2 x v3 x

(

)

G j v2 y v3 y

G k

)

v1x

v1 y

v1z

v2 z = v2 x v3 z v3 x

v2 y v3 y

v2 z v3 z

D bl producto Doble d t vectorial t i l

G G G G G G G G G G G G v1 ∧ ( v2 ∧ v3 ) = v1x i + v1 y j + v1z k ∧ ⎡ v2 x i + v2 y j + v2 z k ∧ v3 x i + v3 y j + v3 z k ⎤ ⎣ ⎦

(

) (

) (

G G G G G G G G G v1 ∧ ( v2 ∧ v3 ) = v2 ⋅ ( v1 ⋅ v3 ) − v3 ⋅ ( v1 ⋅ v2 )

)

Momento de un vector deslizante respecto a un punto

G Momento del vector deslizante v respecto a O

O

A

G v

JJJG G G M O = OA ∧ v

Momento de un vector deslizante respecto a un punto V t llocalizado Vector li d en O O

G v A

JJJG G G M O = OA ∧ v

PerpendicularJJJ alG plano G que determinan los vectores OA y v Módulo: el área que determinan los vectores Sentido, el de avance de un tornillo que gira del primero al segundo

M Momento t de d un vector t deslizante d li t respecto t a un punto t 1. El momento de un vector respecto a un punto es único es independiente de la posición del vector a lo largo de la recta t soporte t

2. El momento de un vector respecto a un punto de la recta soporte p es nulo

3. C 3 Conociendo i d ell momento t respecto t a un punto t se puede d conocer respecto a otro (ec. Cambio de momentos

M Momento t de d un vector t deslizante d li t respecto t a un punto t

O

G v A B

C

1. Independiente de la posición 1 del vector deslizante sobre la recta soporte JJJG G JJJG G JJJG G G M O = OA ∧ v = OB ∧ v = OC ∧ v JJJG G JJJG JJJG G JJJG G JJJG G OB ∧ v = OA + AB ∧ v = OA ∧ v + AB ∧ v

(

)

JJJG G JJJG JJJG G JJJG G JJJG G OC ∧ v = OA + AC ∧ v = OA ∧ v + AC ∧ v

(

)

M Momento t de d un vector t deslizante d li t respecto t a un punto t

O

G v A B

C

2. El momento respecto a un punto de la recta soporte es nulo

JJJG G G G M B = BA ∧ v = 0

El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo

Momento de un vector deslizante respecto a un punto

3 Ecuación del cambio de momento 3.

G v

O

A

JJJG G G M O = OA ∧ v

B C

G G JJJG G JJJGG JJJG G JJJGG G JJJG G M C (v ) = OA ∧ v = OC + CA ∧ v = OC ∧ v + CA ∧ v G G G G JJJG G M C (v ) = M O (v ) + CA ∧ v

(

)

M Momento t de d una fuerza f respecto t a un punto t

El momento de una fuerza respecto a un punto es el producto vectorial del vector que une el centro de momentos y el origen de la fuerza y el vector fuerza aplicada. aplicada

Es perpendicular al plano formado por los dos vectores

M Momento t de d un vector t deslizante d li t respecto t a un eje j

G MO

Proyección sobre un eje del momento de un vector respecto a un punto

G v

O A

proy

G G M O (v ) recta

G G G = M O cos ϕ = M O ·urecta

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes li t

Constituidos p por n vectores deslizantes

G v1

G vn

G v2

G v3

Sistemas de vectores deslizantes

Resultante general: Suma vectorial de los n vectores que constituyen el sistema

G G G G G R = v1 + v 2 + v3 + ....... + vn

G v1

G v2

G v3

G vn G R

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes li t

Momento M t resultante lt t respecto t a un punto t P: P es la suma vectorial de los n momentos, respecto al punto P, de los n vectores que constituyen el sistema

G G G G G G G CP = M P (v1 ) + M P ( v 2 ) + ....... + M P (vn )

G G G G G G G CO = M O (v1 ) + M O ( v 2 ) + ....... + M O (vn )

1. No es independiente del centro de momentos. El momento respecto a O es distinto que respecto a P 2. Ecuación del cambio de momentos

JJJJJG G JJJJJG G JJJJJG G JJJJJG G G CO ' = O ' A1 ∧ v1 + O ' A2 ∧ v2 + O ' A3 ∧ v3 + ...O ' An ∧ vn

JJJJG JJJG G JJJJG JJJJG G G CO ' = O ' O + OA1 ∧ v1 + O ' O + OA2 ∧ v2 + JJJJG JJJJG G JJJJG JJJJG G + O ' O + OA3 ∧ v3 + ... O ' O + OAn ∧ vn =

(

(

)

)

(

(

)

)

Para que el momento sea independiente del punto respecto del que se calcula el momento

G G G G CO ' = CO = CO '' = ....CM

G G JJJJGG G CO ' = CO + O ' O ∧ R JJJJG G K O 'O ∧ R = 0

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes. li t P Pares

Un sistema de vectores deslizantes, cuya resultante es nula y el momento resultante es independiente del punto respecto al que se calcula el momento equivale a un par

Un p par está formado p por dos vectores de igual g módulo,, direcciones paralelas y sentidos opuestos

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes. li t P Pares

G v

A

G −v

B

JJJG G G JJJG G JJJG G C A = AA ∧ (−v ) + AB ∧ v = AB ∧ v

JJJG G G JJJG G JJJG G CB = BA ∧ (−v ) + BB ∧ v = AB ∧ v

JJJG G G JJJG G JJJJJG G JJJG G JJJG G CM = MA ∧ (−v ) + MB ∧ v = − MA ∧ v + MB ∧ v = AB ∧ v E perpendicular Es di l all plano l que determinan d t i los l vectores t

G v

G −v

A B

G G C A = AB v senϕ El momento del par es un vector perpendicular a ambos vectores y su módulo ód l es igual i l al área del paralelogramo que determinan

Invariantes de un sistema de vectores deslizantes Magnitudes g que no cambian al cambiar el centro de q momentos 1.Resultante 1 Resultante general: tanto el vector, vector como el módulo, módulo como la norma son independientes del centro de momentos

G G G G G G G G R = v1 + v 2 + v3 + ....... + vn = Rx i + Ry j + Rz k G R = Rx2 + Ry2 + Rz2 G2 R = Rx2 + Ry2 + Rz2

I Invariantes i t de d un sistema i t de d vectores t d li deslizantes t 2.Producto 2 Producto escalar de la resultante general y el momento resultante respecto a un punto cualquiera

G G G G G G G G R·CO = R·C A = R·CB = ........ = R·CP = Cte 3.Cociente entre el segundo invariante y el primero. También por coincidir con el valor se denomina momento mínimo p mínimo que tiene que tener el momento resultante

G G G G G G G G R·CO R·C A R·CB R·CP G = G = G = ....... = G = Cte R R R R

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes. li t 3º iinvariante i t

G G G G G G G G R·CO R·C A R·CB R·CP G = G = G = ....... = G = Cte R R R R G G G G G G G G CO ·uR cos ϕ1 = C A ·uR cos ϕ 2 = CB ·uR cos ϕ3 = ....... CP ·uR cos ϕ n = Cte

G G G G CO cos ϕ1 = C A cos ϕ2 = CB cos ϕ3 = ....... CP cos ϕn = Cte Proyección del momento, respecto a O, sobre la dirección de la resultante

Proyección del momento, respecto a A, sobre la dirección de la resultante

Proyección del momento, respecto a B, sobre la dirección de la resultante

Proyección del momento, respecto a M, sobre la dirección de la resultante lt t

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes. li t 3º iinvariante i t Cuanto mayor es el módulo del momento menor es el coseno del ángulo (y mayor es el ángulo) y viceversa

Cuando el ángulo es cero, el coseno toma el máximo valor, y el momento toma el mínimo G G G G G G CO cos ϕ1 = C A cos ϕ2 = CB cos ϕ3 = ...... = CP cos ϕn = Cmin cos 0 = Cmin = Cte

Ej central Eje t ld de un sistema i t d de vectores t d deslizantes li t

Lugar geométrico de los puntos del espacio, respecto de los cuales el momento es mínimo (por tanto, paralelo a la resultante general)

G Ca

b

G Cf

a

G Cc

f

G R

c e

G Cb

G Ce

G Cd d

Ej central Eje t ld de un sistema i t d de vectores t d deslizantes li t G G CE = Cmin

x − xE y − y E z − z E = = Rx Ry Rz

G R O

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes li t concurrentes t Sistema de vectores deslizantes cuyas y líneas de acción p pasa por un punto denominado punto de concurrencia

G v1 A1

A

G v2

A2

Si t Sistemas d de vectores t d deslizantes li t concurrentes t

El momento resultante respecto p al p punto de concurrencia es nulo, por tanto el punto de concurrencia p pertenece al eje j central G v1 A1

A

G v2

A2

G JJJG GG JJJJG G G K K AA11∧∧vv1 1++AA AA ∧ v2 =0 0 C AA == AA 2 2∧ v2 =

T Teorema de d Varignon V i

El momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrente, respecto a un punto cualquiera del espacio, es igual al momento respecto a dicho punto d l momento del t resultante lt t cuando d ésta é t está tá aplicada li d en ell punto de concurrencia

G R

G v1 A1

A

G v2

A2

JJJG G G CO = OA ∧ R

D i d d Derivada de una ffunción ió vectorial t i l

G G G G r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k

G G G G r (t + ∆t ) = x(t + ∆t )i + y (t + ∆t ) j + z (t + ∆t ) k G G G G ∆ r (t ) = [ x (t + ∆ t ) − x (t ) ] i + [ y (t + ∆ t ) − y (t ) ] j + [ z (t + ∆ t ) − z (t ) ] k = G G G = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk

t

G r (t )

G ∆r (t ) G r (t + ∆t )

t+∆t

D i d d Derivada de una ffunción ió vectorial t i l

G ∆r (t )

G G G G ∆r (t ) = ∆xi + ∆yj + ∆zk

t

En el límite

G G G G G ∆r dr ∆xi + ∆yj + ∆ zk = = lim = lim ∆t → 0 ∆ t dt ∆t → 0 ∆t ∆ ∆z G ∆x G ∆y G = lim i + lim j + lim k ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆ t

G dr dx G dy G dz G = i+ j+ k dt dt dt dt

G r (t )

t t t+∆t

G r (t + ∆t )

Tiene la dirección de la tangente