METALE
Zestawienie właściwości gazu elektronowego dla niektórych metali: n cm-3 Li
kF cm-1 vF cm/s εF eV TF=εF/k
4.6×1022 1.1×108 1.3×108
4.7
5.5×104
Na
2.5
0.9
1.1
3.1
3.7
K
1.34
0.73
0.85
2.1
2.4
Rb
1.08
0.68
0.79
1.8
2.1
Cs
0 86 0.86
0 63 0.63
0 73 0.73
15 1.5
18 1.8
Cu
8.50
1.35
1.56
7.0
8.2
Ag
5.76
1.19
1.38
5.5
6.4
Au
5.90
1.2
1.39
5.5
6.4
1
Co z tego wszystkiego wynika? Ciepło właściwe i inne właściwości termiczne Ciś i i gazu elektronowego Ciśnienie l kt Ściśliwość Właściwości magnetyczne Właściwości elektryczne
Ciepło właściwe gazu elektronowego • Gdyby potraktować gaz elektronowy jak gaz doskonały, wówczas, korzystając z zasady ekwipartycji energii, otrzymalibyśmy wartość pojemności cieplnej gazu elektronowego jako: 3 Cel = Nk 2 – gdzie N jest liczbą elektronów swobodnych a k stałą Boltzmanna
• W rzeczywistości pojemność cieplna jest znacznie mniejsza - tylko niewielka część elektronów może zwiększyć swoja energię (pobierać ciepło).
2
Ciepło właściwe gazu elektronowego
Ciepło właściwe gazu elektronowego
kBT
Część elektronów, które mogą zwiększyć swoją energię w temperaturze T jest rzędu kBT/EF, Wielkość energii, energii o którą wzrośnie, rośnie wskutek sk tek tego ich średnia energia ~ kBT. Zatem, wzrost energii wewnętrznej gazu elektronowego wraz z temperaturą można oszacować za pomocą wyrażenia: (kT )2 kT U = N kT = N EF EF
3
Ciepło właściwe gazu elektronowego
kBT
(kT ) kT U = N kT = N EF EF
2
Pojemność cieplna:
C
V
⎛ ∂ U (T = ⎜ ⎝ ∂T
)⎞
k 2T ⎟ ∝ N B EF ⎠V
Ciepło właściwe gazu elektronowego: wyniki doświadczalne C V = K 1T + K 2 T 3 Część elektronowa Część fononowa
4
Ciśnienie gazu elektronowego Średnia energia gazu elektronowego w temperaturze 0 K: U0 =
3 NE F 5
EF =
h2 8m
⎛ 3 ⎞ ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎠ ⎝π
2/3
n ≡
N V
Gaz rozszerza się. Ciśnienie gazu (jak w termodynamice) wynosi p=-dU/dV przy stałych S i N. 2 ⎛ ∂U ⎞ P = −⎜ = nE ⎟ 5 ⎝ ∂ V ⎠ S ,N
F
Ciśnienie gazu elektronowego
PV
=
2 U 3
0
Wynik jak doskonałego
dla
gazu
Ciśnienie gazu elektronowego typowego metalu:
2 ρ E F ≈ 10 29 m - 3 × 5 ⋅ 10 5 = 5 ⋅ 10 10 Pa = 5 ⋅ 10 5 bar
P =
− 19
J =
5
Ściśliwość • Każdy gaz stawia opór gdy próbujemy zmniejszyć jego objętość. Podobnie jest z gazem elektronowym. Można obliczyć jego moduł ściśliwości. • Okazuje się, że około 20% wartości modułu ściśliwości metalu wynika właśnie ze ściśliwości gazu elektronowego. elektronowego
Właściwości magnetyczne gazu elektronów swobodnych
Bez pola magnetycznego najkorzystniej energetycznie jest, gdy połowa elektronów ma spiny w dół, a połowa – w górę. W polu magnetycznym spin ustawia się zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym. Energia z tym związana jest równa iloczynowi B i magnetonu Bohra.
6
Właściwości magnetyczne gazu elektronów swobodnych
µBB jest dość małe w porównaniu z EF. Dlatego tylko niewielka część elektronów może zmienić kierunek spinu (tylko elektrony w pobliżu energii Fermiego). Gaz elektronów swobodnych jest paramagnetyczny.
Właściwości elektryczne metali • Duże przewodnictwo elektryczne jest najbardziej charakterystyczną y y ą właściwościąą metali. Wynika y ono, rzecz jasna, z obecności prawie swobodnych elektronów w metalu. • Uwaga: w przewodzeniu prądu nie biorą udziału wszystkie elektrony prawie swobodne. • Podobnie, jak we wszystkich zjawiskach transportu, w przewodzeniu prądu biorą udział tylko elektrony o energiach w pobliżu poziomu Fermiego ( w pobliżu = EF±kT). • CDN
7
Właściwości optyczne metali • Współczynnik odbicia większości metali w zakresie widzialnym jest bliski 1 (powyżej 0,9). – Swobodne elektrony absorbują promieniowanie elektromagnetyczne o dowolnej częstości – Powracając do stanu podstawowego emitują promieniowanie o tej samej częstości
• Jest to odbicie • CDN
http://www.layertec.de/en/capabilities/coatings/metallic
Półprzewodniki samoistne i domieszkowane
PÓŁPRZEWODNIKI Ó
8
Struktura krystaliczna
Si
a=5.43 A
GaAs
a=5.63 A
Najczęściej: struktura diamentu i blendy cynkowej (ZnS)
Wiązania chemiczne
Wiązania kowalencyjne i kowalencyjno-jonowe •T=0K wszystkie elektrony związane •T>0K wzbudzenia termiczne powodują zerwanie niektórych wiązań
9
Wiązania chemiczne • Oznacza to, że w temperaturze powyżej 0 K pasmo pprzewodnictwa jjest zajęte ję pprzez pewną liczbę elektronów a w paśmie walencyjnym powstaje pewna liczba dziur.
Pasma energetyczne
Eg (Si) = 1.12 eV Eg (GaAs) = 1.42 eV
10
Pasma energetyczne
Si - różne kierunki
skośna i prosta przerwa energetyczna
Przerwa energetyczna
11
Energia (związki dyspersyjne) elektronów i dziur W półprzewodniku elektrony (dziury) są praktycznie tylko w okolicach dna (wierzchołka) odpowiedniego pasma. Gdy minimum (maksimum) pasma energetycznego jest w k=0: E e (k ) = EC +
h 2k 2 * 2me
E h ( k ) = EV −
Conduction Band
Ec
Valence Band
h 2k 2 * 2m h
Ev
EC - minimum pasma przewodnictwa, EV - wierzchołek pasma walencyjnego, me* - masa efektywna elektronu, mh* - masa efektywna dziury
Masa efektywna elektronów i dziur • Gdy powierzchnie izoenergetyczne nie są kuliste (np. w Si, Ge),wówczas związki dyspersyjne są bardziej skomplikowane a masa efektywna zależy od kierunku.
12
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca • Gdzie, w skali energii, można spodziewać się energii Fermiego w półprzewodniku? – Funkcja Fermiego – Diraca:
f (E F ,T ) = f (E ,T ) =
1
1+ e
1 2
(E −E F ) / kT
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca • W temperaturze 0 K prawdopodobieństwo obsadzenia stanu w paśmie przewodnictwa f = 0, a w paśmie walencyjnym f = 1. • Oznacza to, że f = ½ w połowie pomiędzy EV a Ec – w środku przerwy energetycznej. – Zatem, dla elektronów w paśmie przewodnictwa:
E − E F ≥ 0,5 eV >> 3kT – Dla dziur w paśmie walencyjnym:
E F − E ≥ 0,5 eV >> 3kT
http://en.wikipedia.org/ wiki/Band_gap
13
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca • Ponieważ energia elektronów (dziur) w odpowiednim paśmie znacznie różni się od energii Fermiego, w przypadku półprzewodników funkcję rozkładu można uprościć: – Elektrony w paśmie przewodnictwa:
e (E −EF )/ kT >> 1 f (E ,T ) =
1
1+ e
≈
(E −E F ) / kT
1
(E −E F ) / kT
e
f (E ,T ) ≈ e − (E −EF )/ kT
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca – Dziury w paśmie walencyjnym:
f (E ,T ) = 1 −
e (EF −E )/ kT >> 1 1
(E −E F ) / kT
1+ e −1
(E −E F ) / kT
1+ e f (E ,T ) = 1 + e (E −EF )/ kT
f (E ,T ) =
1
1+ e
− (E −E F ) / kT
e (E −EF )/ kT = 1 + e (E −EF )/ kT
≈
1
e
− (E −E F ) / kT
f (E ,T ) ≈ e (E −EF )/ kT
14
Bardzo czyste, nośniki ładunku pochodzą wyłącznie z generacji międzypasmowej.
PÓŁPRZEWODNIKI Ó SAMOISTNE
Nośniki ładunku w półprzewodniku samoistnym
T
Zrywanie wiązań w podwyższonej temperaturze powoduje pojawienie się swobodnego elektronu i dziury. W półprzewodniku samoistnym n=p.
15
Koncentracja nośników w paśmie przewodnictwa i walencyjnym Koncentracja swobodnych elektronów w paśmie przewodnictwa: ⎛ E −E ⎞ ⎛ 2πmn* kBT ⎞ ⎟⎟ n = NC exp⎜⎜ − C F ⎟⎟ gdzie Nc = 2⎜⎜ 2 ⎝ h ⎠ ⎝ kBT ⎠
3
2
Koncentracja swobodnych dziur w paśmie walencyjnym: 3
2 ⎛ EF − EV ⎞ ⎛ 2πmh* kBT ⎞ ⎟⎟ gdzie NV = 2⎜⎜ ⎟⎟ p = NV exp⎜⎜ − 2 ⎝ h ⎠ ⎝ kBT ⎠
Koncentracja nośników w paśmie przewodnictwa i walencyjnym ⎛ E −E ⎞ n = NC exp⎜⎜ − C F ⎝ kBT ⎠
⎛ E −E ⎞ p = NV exp⎜⎜ − F V ⎝ kBT ⎠
UWAGA: to sąą ogólne g wyrażenia y opisujące p ją koncentrację ję elektronów (dziur) w odpowiednim paśmie. Obowiązują one również w półprzewodnikach domieszkowanych, tyle że wtedy inny jest poziom Fermiego.
16
Półprzewodniki samoistne: różne wykresy
Koncentracja nośników w paśmie przewodnictwa i walencyjnym • Prawo działania mas ⎛ Eg ⎞ ⎟ np = ni2 = NCNV exp⎜⎜ − ⎟ ⎝ kBT ⎠
⎛ Eg ⎞ ⎟ ni = NC NV exp⎜⎜ − ⎟ ⎝ 2kBT ⎠
• UWAGA: w powyższej zależności nie występuje EF to znaczy, że jest ona również prawdziwa dla półprzewodników ół d ikó DOMIESZKOWANYCH Si (300 K) GaAs (300 K)
ni = 9.65 x 109 cm-3 ni = 2.25 x 106 cm-3
17
Koncentracja nośników w paśmie przewodnictwa i walencyjnym • Szerokość przerwy energetycznej też zależy od temperatury (ale słabo).
GaAs Si Ge
Koncentracja nośników w paśmie przewodnictwa i walencyjnym • Koncentracja swobodnych nośników w odpowiednim paśmie:
http://free-zg.t-com.hr/Julijan-Sribar/preview/vol1.html
18
Poziom Fermiego w półprzewodniku samoistnym: • Wiadomo, że n = p, ⎛ E − EF ⎞ ⎛ E − EV ⎞ ⎟ ⎟⎟ = NV exp⎜⎜ − F NC exp⎜⎜ − C k T kBT ⎟⎠ B ⎝ ⎝ ⎠
lnNC −
−
EC − EF E −E = lnNV − F V kBT kBT
EC − EF EF − EV + = lnNV − lnNC kBT kBT
EF =
2EF − EV − EC N = ln V kBT NC
EC + EV kBT ⎛ NV ⎞ ln⎜ ⎟ + 2 2 ⎜⎝ NC ⎟⎠
Poziom Fermiego w półprzewodniku samoistnym: EF =
EC + EV kBT ⎛ NV ⎞ + ln⎜ ⎟ 2 2 ⎜⎝ NC ⎠
• Podstawiając wyrażenia na Nc i Nv,otrzymujemy: ⎛ 2πmn* kBT ⎞ ⎟⎟ Nc = 2⎜⎜ 2 ⎝ h ⎠
EF =
3
2
⎛ 2πmh* kBT ⎞ ⎟⎟ NV = 2⎜⎜ 2 ⎝ h ⎠
3
2
EC + EV 3kBT ⎛ m * h ⎞ ⎟ + ln⎜ 2 4 ⎜⎝ m * n ⎟⎠
• Nawet w półprzewodniku samoistnym poziom Fermiego nie jest dokładnie w środku przerwy energetycznej.
19
Poziom Fermiego w półprzewodniku samoistnym: • Przykładowe wartości: • W samoistnym krzemie krzemie, w temperaturze pokojowej energia Fermiego jest o około 1% przerwy energetycznej poniżej środka przerwy energetycznej.
Półprzewodniki typu n i p.
PÓŁPRZEWODNIKI Ó DOMIESZKOWANE
20
n
p
Gdy pierwiastek grupy V (np. As) lub III (np. B) zastąpi Si, wówczas pojawia się albo nadmiarowy elektron, albo elektronu brakuje. Taki elektron (dziura) jest słabo związany z atomem.
Domieszki
21
Energia wiązania elektronu z atomem domieszki Układ elektron - domieszka traktuje się tak jak atom wodoru Bohra.
Energia wiązania elektronu z atomem domieszki Elektron związany z domieszką traktuje się tak jak atom wodoru Bohra, z tym że; zamiast m0, używa się mn*. Zamiast εo, używa się εεo (ε, Si = 11.8). EH = −
m * q4 n Ed = − 2 (4 π ε ε 0 h ) 2
m0 q 4
2 ( 4π ε 0h )2
= − 13.6 eV
m * ⎛ 1 ⎞2 E d = − 13.6 eV n ⎜ ⎟ ≈ − 0.05 eV m ⎝ε ⎠ 0
22
Energia wiązania elektronu z atomem domieszki w krzemie
Donory
Sb P As
Energia jonizacji [ eV] 0,039 0 045 0,045 0,054
Akceptory Energia jonizacji eV] B 0,045 Al Al. 0 067 0,067 Ga 0,072 In 0,16
Domieszki w Si
http://online.lesn.lehigh.edu/courses/mat435/lectures/semi1/smcn2.htm
23
"Promień" atomu domieszki Elektron związany z domieszką traktuje się tak jak atom wodoru Bohra, z tym że; zamiast m0, używa się mn*. Zamiast εo, używa się εεo (ε, Si = 11.8).
RH =
ε 0h 2 πm 0e 2
R d = RH
εm m*
http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_6.htm#2_6_4
Schemat pasmowy półprzewodnika typu n
http://cnx.org/content/m1002/latest/
24
Silnie domieszkowany półprzewodnik • Gdy domieszek jest dużo, są blisko siebie: funkcje falowe elektronów domieszek nakładają się. Poziomy domieszek zaczynają tworzyć pasmo.
Silnie domieszkowany półprzewodnik
Silne domieszkowanie powoduje zwężenie przerwy energetycznej
25
Wpływ temperatury
Wpływ temperatury
26
Oznaczenia n
n, p NA, ND nA, nD pA, pD p
Równanie neutralności półprzewodnika • Wypadkowy ładunek półprzewodnika (oraz jego dowolnego małego fragmentu) musi być równy zeru. W przeciwnym razie, płynąłby prąd. • W półprzewodniku samoistnym: n=p
27
Równanie neutralności półprzewodnika domieszkowanego
Ładunki ujemne w półprzewodniku:
n
elektrony w paśmie przewodnictwa (n) akceptory, które związały dodatkowy elektron z pasma walencyjnego (na = Na-pa)
p
Równanie neutralności półprzewodnika domieszkowanego
Ładunki dodatnie:
n
dziury w paśmie walencyjnym (p) donory, których elektron przeszedł do pasma przewodnictwa (pd=Nd – nd)
p
28
Równanie neutralności półprzewodnika domieszkowanego
W rezultacie otrzymujemy:
n + na = p + pd n + Na − pa = p + Nd − nd
n
p
Niskie, średnie i wysokie temperatury
POTENCJAŁ CHEMICZNY I KONCENTRACJA NOŚNIKÓW ŁADUNKU
29
Niska temperatura: T = 0 K • Potencjał chemiczny półprzewodnika n i p w 0 K znajduje się pomiędzy odpowiednio EC i ED lub EV i EA. • n=0, p=0 n
p
Niska temperatura: T>0 K
• Niskie temperatury: można zaniedbać generację międzypasmową (tylko jonizacja domieszek). Wzór po prawej dotyczy półprzewodnika typu n.
µ=
Ec + Ed kT Nd ln ; + 2 2 2Nc Ec − Ed
Nc Nd − 2kT n= e 2
30
Średnia temperatura Średnie temperatury: W 300 K zazwyczaj wszystkie donory są zjonizowane, nie ma natomiast jeszcze znaczącej generacji międzypasmowej, zatem w półprzewodniku typu n: ⎛ E − EF n = NC exp⎜⎜ − C k BT ⎝
n = ND
⎛ E − EF N D = NC exp⎜⎜ − C k BT ⎝
⎛ NC ⎝ ND
µ = EC − k BT ln⎜⎜
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
Wysoka temperatura
• Wysokie temperatury: generacja międzypasmowa (jak w półprzewodniku samoistnym)
µ=
Ec + Ev kT Nv + ln ; 2 2 Nc
n = ni
31
Potencjał chemiczny półprzewodnika domieszkowanego.
Półprzewodnik typu n http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/semiconductors/printall.php
Potencjał chemiczny półprzewodnika domieszkowanego. E Ec Ed µ Fi
µ Fn 1
3
2
Ev T
E Ec µ Fi Ed Ev
1
2
3
µ Fp T
Półprzewodnik typu n i p dla trzech różnych zawartości domieszek (1 – najmniej).
Energia Fermiego w funkcji temperatury dla różnych koncentracji donorów i akceptorów w Ge (linia przerywana – samoistny Ge).
http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/Semicond/Ge/bandstr.html
32
Poziom Fermiego Si w 300 K w funkcji koncentracji domieszek.
Koncentracja nośników ładunku w funkcji temperatury. • Koncentracja nośników ładunku w krzemie domieszkowanym akceptorowo dla NA=10 1014cm-3 i 1016cm-3
http://free-zg.t-com.hr/Julijan-Sribar/preview/vol1.html
33
Koncentracja nośników ładunku w funkcji temperatury. • Zazwyczaj tego typu zależności wykreśla się jako logarytm koncentracji w funkcji 1/T.
http://free-zg.t-com.hr/Julijan-Sribar/preview/vol1.html
Koncentracja nośników ładunku w półprzewodniku domieszkowanym • Koncentracja nośników ładunku w półprzewodniku domieszkowanym w 300 K w funkcji koncentracji domieszek.
Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering Volume 21Number 3 A Pérez-Tomás et al 2013 Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 21 035004
34
Pytanie • Jaka maksymalna zawartość domieszek w krzemie jest dopuszczalna, aby można go było uznać za półprzewodnik samoistny w temperaturze pokojowej? • Powinno być: ND
