Stochastik f u • r ET SS 2017 [email protected]

MATLAB-Praktikum 2: Wahrscheinlichkeiten, Simulation 1. Die diskrete Zufallsgröß e X habe folgende Verteilung xi 1 2 3 4 5 6 7 8 pi 0.03 0.02 0.05 0.01 0.18 0.21 0.25 0.15 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X EX, Varianz V arX : b) Berechnen Sie für Y = 3 X

5); P (2

9 0.03

10 .07

X < 7); P (X > 4) sowie Erwartungswert

4 die analogen Größ en wie unter a)

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c) Berechnen Sie für Z = X =2 die analogen Größ en wie unter a) Anleitung De…nieren Sie jeweils die Vektoren X der Realisierungen und p der Wahrscheinlichkeiten als Spaltenvektoren. a) Summation von ausgewählten Komponenten von p sum(p) summiert alle Komponenten des Vektors p p(X 0:99 ausprobieren, wann die Summe erstmalig > 0:99 ist (analog Aufgabe 4) Ergebnis 15 Chips 6. Eine Fluggesellschaft hat aus bisherigen Daten ermittelt, dass etwa 4% der reservierten Flüge nicht angetreten werden. Daher plant sie zukünftig eine Überbuchung von Maschinen mit 250 Sitzplätzen um 10 Reservierungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann noch jeder Fluggast, der die Reservierung in Anspruch nehmen möchte, mit der gebuchten Maschine befördert? Mit wie vielen Plätzen darf überbucht werden, wenn man das Risiko, dass nicht alle diese Fluggäste befördert werden können, auf 5% begrenzen möchte? Lösen Sie die Aufgabe

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a) unter Verwendung der Binomialverteilung b) durch Näherung mit der Normalverteilung. Anleitung a) X : Anzahl in Anspruch genommener Reservierungen bei 260 Buchungen, X~Bin(n = 260; p = 0:96); P (X 250) = binocdf (250; 260; 0:96) = 0:5944 d.h. in etwa 40% der Flüge werden nicht alle Fluggäste befördert!!! maximale Anzahl möglicher Überbuchungen, damit P (X 250) > 0:95 n = 256 : Wkt.= 0:945 n = 255 :Wkt. = 0:9764 bei Überbuchung mit 5 Plätzen ist Sicherheit > 0:95; dass alle Fluggäste mit Reservierung befördert werden können b) nach Grenzwertsatz von Moivre-Laplace gilt für X~Bin(n; p) näherungsweise X~N V mit den Parametern = n p; 2 = n p (1 p) normcdf(x,mu,sigma) P (X x) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X~N (mu; sigma2 ) 2 n = n p (1 p) = 260 0:96 0:04 = 9:984 ! sigma = p = 260 : mu = n p = 260 0:96 = 249:6; 9:984 = 3:1597 P (X 250) normcdf (250; 249:6; 3:1597) = 0:5504 Ergebnis 0:5504 6= 0:5944 Näherung ist also ziemlich schlecht (Binimialverteilung bei p = 0:96 sehr schief im Unterschied zur NV) Achtung: Streuungsparameter der NV bei MATLAB ist Standardabweichung !!! 7. An einem Server gehen Anfragen von 3 Zwischenstellen ein, die unabhängig voneinander als poissonverteilt mit den Parametern 1 = 3; 2 = 3:5; 3 = 5 pro Minute verteilt sind. Berechnen Sie die Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen. Anleitung x

poisspdf(x,lambda)

P (X = x) =

e x! Px

Punktwahrscheinlichkeit bei Poissonverteilung, lambda = k

e Kumulative Wahrscheinlichkeit für X~P ois( ) k! Anzahl Anfragen an Zwischenstellen:Xi ~P ois( i ); i = 1; 2; 3 Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute am Server S (Summe von unabhängigen Poissonverteilungen) S = X1 + X2 + X3 es ist S~P ois( 1 + 2 + 3 ); also = 1 + 2 + 3 = 11:5 P (S > 15) = 1 P (S 15) = 1 poisscdf (15; 11:5) Ergebnis Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen: p = 0:1217 poisscdf(x,lambda)

P (X

x) =

k=0

8. Eine bestimmte Krankheit kann durch einen Bluttest eindeutig nachgewiesen werden. Sie trete mit Wahrscheinlichkeit p auf. Der Test erfolgt bei n Personen üblicherweise separat, so dass n Tests erforderlich sind. Alternativ kann man die n Blutproben mischen und das Gemisch testen (von jeder Probe nur ein Teil in Mischung geben): falls Test dieses Gemischs negativ ist, sind alle n Personen negativ diagnostiziert, bei positivem Ergebnis des Gemischs muss man jede Probe noch einmal separat testen, man braucht dann also zusätzlich n 1 Tests, falls die ersten n 1 negativ sind (der n-te muss dann positiv sein), und man braucht also zusätzlich n Tests in jedem der übrigen Fälle. (Dieses Verfahren wurde bei Armeeangehörigen im 2.Weltkrieg für den Test auf Syphilis angewandt.) a) Berechnen Sie für eine Erkrankungswahrscheinlichkeit p = 0:1 und n = 3 die erwartete Anzahl von Tests.

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=E

b) Wie großist die Anzahl n der zu mischenden Proben für eine Optimierung der Kosten pro Person bei p = 0:1 zu wählen? c) Wie ändert sich n bei p = 0:05 bzw. p = 0:2? Anleitung a) Verteilung der benötigten Anzahl A von Tests bei n Personen A = 1 mit Wahrscheinlichkeit p1 = 0:9n (alle gesund) A = 1 + (n 1) = n Tests mit Wahrscheinlichkeit p2 = 0:9n 1 0:1 (genau ein Kranker im letzten Einzeltest, der zwangsläu…g positiv sein muss, also Test muss nicht mehr durchgeführt werden) A = 1 + n = n + 1 Tests mit Wahrscheinlichkeit p3 = 1 0:9n 0:9n 1 0:1 für n = 3 P (A = 1) = 0:729 P (A = 3) = 0:081 P (A = 4) = 0:19 Erwartungswert der Anzahl der Tests: EA = 1:732 Verhältnis zu n : 1:732=3 = 0:577 33 b) für verschiedene Werte von n Erwartungswert berechnen, durch Anzahl n Testpersonen dividieren und min suchen n=4: P (A = 1) = 0:6551 P (A = 4) = 0:0531 P (A = 5) = 0:2818 EA = 1 0:94 + 4 0:93 0:1 + 5 (1 0:94 0:93 0:1) = 2:302 7 Verhältnis 2:302 7=4 = 0:575 68 n = 5 : EA = 1 0:95 + 5 0:94 0:1 + 6 (1 0:95 0:94 0:1) = 2:981 9 Verhältnis 2:981 9=5 = 0:59638 optimal ist also n = 4 c) analog b) Ergebnis p = 0:05 : n = 2 bis7 pro Gruppe ergibt Erwartungswerte 1:1475 1 3828 1:6991 2:0904 2:5508 3:0749 Verhältnisse 0:5737 0:4609 0:4248 0:4181 0:4251 0:4393, somit n = 5 p = 0:2 : n = 2 bis7 pro Gruppe ergibt Erwartungswerte 1:5600 2:3360 3:2592 4:2797 5:3616 6:4796 Verhältnisse 0:7800 0:7787 0:8148 0:8559 0:8936 0:9257, somit n = 3 9. Die Wartezeit an einer Kasse in einem Supermarkt (in min) sei normalverteilt mit N (7, 1,92 ). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Wartezeit unter 5 min ? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie über 10 min? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie zwischen 5 und 10 ? Anleitung normcdf(b,mu,sigma) - normcdf(a,mu,sigma) P (a < X b) normcdf(b,mu,sigma) P (X b) 1 normcdf(a,mu,sigma) P (X > a) Achtung: Streuungsparameter im Kommando von MATLAB ist die Standardabweichung! Ergebnis a) 0.1463, b) 0.0572, c) 0.7965 10. Zwei Ohmsche Widerstände R1 und R2 werden hintereinander geschaltet. Sie seien unabhängig und normalverteilt mit 1 = 500; 1 = 10 bzw. 2 = 200; 2 = 4 (alles in ):In welchen Grenzen (700 "; 700 + ") liegt mit Sicherheit 0.99 der Gesamtwiderstand R1 + R2 ? Anleitung Verteilung von R1 + R2 nach Additionssatz: R1 + R2 ~N (700; 116) (Achtung: es addieren sich die Varianzen i2 !!!) 5

0:99 = P (700 1:99 2

" ) " < X < 700 + ") = ( p116

" ( p116 )

(

p" 116

p" ) 116 p

= ! = norminv (0:995; 0; 1) ! " = Ergebnis " = 27:7425; Intervall (672:2575; 727:7425)

" = 2 ( p116 )

1

116 norminv (0:995; 0; 1)

11. Die Zeit (in h) zwischen dem Eintre¤en zweier Telefonanrufe an einem Anschluss sei exponential verteilt mit dem Parameter = 0:5h 1 . a) Wieviel Zeit vergeht im Mittel zwischen dem Eintre¤en von 2 Anrufen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tri¤t länger als eine Stunde kein Anruf ein? Anleitung expcdf(x,mu)

P (X

x) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X

x bei X~ exp(1=mu) wobei mu = EX

a) X Dauer zwischen zwei Anrufen, X~ exp( = 0:5) 1 Erwartungswert ist EX = 1 = 0:5 =2 b) Achtung: Parameter der Exponentialverteilung in MATLAB ist der Erwartungswert EX (im Unterschied zu den meisten Lehrbüchern und dem Vorlesungsskript, dort ist = 1=EX), also für MATLAB hier lambda = 2 verwenden P (X > 1) = 1 P (X 1) = 1 expcdf (1; 2) Ergebnis P (X > 1) = 0:6065 12. Die zufällige Lebensdauer X (in h) eines Gerätetyps mit Verschleiß erscheinung kann durch eine WeibullVerteilung mit der Dichte 8 0 x 0 < x 5 beschrieben werden. Es sei bekannt, dass nach 400 h Betriebsf (x) = 4 : 5 x e a x>0 a a dauer 95% der Geräte ausgefallen sind. a) Bestimmen Sie den Parameter a und geben Sie die Verteilungsfunktion an. b) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät länger als 300 Stunden arbeitet? c) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät insgesamt länger als 300 Stunden arbeitet, wenn seine Lebensdauer bereits 200 Stunden überschritten hat? Anleitung wblcdf(x,a,b)

P (X

x) Kumulative Wahrscheinlichkeit für X

a) allgemeine 8Form der Dichte der zweiparametrigen Weibull-Verteilung 0 x 0 < x b f (x) = ; somit ist b = 5 b 1 : b x e a x>0 a a x b x 5 Verteilungsfunktion F (x) = 1 e a = 1 e a ; x > 0 Berechnung von a aus Bedingung P (X < 400) = F (400) = 0:95 x 5 mit gefundener Verteilungsfunktion F (x) = 1 e a ! 400 5 a 1 e = 0:95 Umstellen nach!a5 400 a 0:05 = e 5 400 400 !a= = 321:19 ln 0:05 = 1=5 a ( ln 0:05) 6

x bei X~weibull(a; b) mit unten stehend

a = 321:19 somit F (x) = 1

e

x 321:19

5

b) P (X > 300) = 1

wblcdf (300; 321:19; 5) 1 wblcdf (300; 321:19; 5) c) MATLAB: P (X > 300=X > 200) = 1 wblcdf (200; 321:19; 5) somit Lebensdauerverteilung mit gehäuften Frühausfällen. Nach Betriebszeit von 200 h ist die Wahrscheinlichkeit, die nächsten 300 h zu überleben. größ er als zu Beginn der Betriebszeit 300 h zu überleben.

13. Testen Sie die in MATLAB implementierte Funktion rand zur Erzeugung von gleichverteilten (Pseudo)Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Die dabei entstehende Folge wird durch die Wahl des Startwerts beein‡usst, der bei wiederholtem Aufruf von rand intern verändert wird. Der aktuelle Startwert kann durch s=rand(’seed’) ausgelesen werden. Soll die Folge reproduziert werden, setzt man den Startwert zurück durch rand(’seed’,s). a) Erzeugen Sie einen Vektor x von 10 auf (0,1) gleichverteilten Zufallszahlen. b) Erzeugen Sie einen zweiten solchen Vektor y: c) Erzeugen Sie zwei solche Vektoren z1 und z2, die die gleichen Werte enthalten, indem Sie den aktuellen Startwert auslesen und beim 2. Aufruf wieder auf diesen Wert setzen. Anleitung A=rand(n) A=rand(m,n) s=rand(’seed’) rand(’seed’,s)

nxn Matrix A von gleichverteilten (Pseudo-)Zufallszahlen zwischen 0 und 1 mxn Matrix A von gleichverteilten (Pseudo-)Zufallszahlen zwischen 0 und 1 Auslesen des Startwerts des Zufallsgenerators setzt Startwerts des Zufallsgenerators auf s für Reproduzierbarkeit der vorausgehenden Zah

a) x = rand(10,1);

% array mit 10 Zeilen, 1 Spalte

c) s=rand(’seed’); x1=rand(10,1); rand(’seed’,s); x2=rand(10,1); 14. Erzeugen Sie 3 Vektoren von auf f0; 1g gleichverteilten Zufallszahlen der Längen n = 100=1000=10000 und stellen Sie diese in einem Histogramm dar. Anleitung z = rand(n,1); x = z=2)/n genaues Ergebnis: Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit mit Binomialverteilung P (X 2) = 1 binocdf (1,4,0.3) 19. Simulieren Sie das Würfeln mit 3 Würfeln.

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a) Bestimmen Sie die Verteilung der Summe der drei Augenzahlen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der von den 3 Würfeln gezeigten Augenzahlen größ er als 4? Anleitung a) bei n Wiederholungen w =randi(6,n,3); % pro Zeile 3 Würfelergebnisse s=sum(w’); % jeweilige Summe (Zeilensumme) der 3 Würfelergebnisse ss=[3:18]; % mögliche Werte für die Summe [ps,vs]=hist(s,ss) bar(ss,ps) Vergleich mit theoretischer Verteilung der Summe pk = h(k)=63 k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 h(k) 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 Berechnung der theoretischen Verteilung in MATLAB als Faltung der Gleichverteilung auf f1; :::; 6g u = 1=6 ones(6; 1) %Wahrscheinlichkeitsverteilung des Würfelergebnisses eines Würfels u2=conv(u,u) u3=conv(u2,u) b) mit simulierten Würfelergebnissen: prob_summe=sum((s>4))/n zum Vergleich exakte Wahrscheinlichkeit P (X > 4) = 1 P (X 4) = 1 P (X = 3)

P (X = 4) = 1

1=63

3=63 = 0:9815

20. Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit folgender Schaltung,wenn die einzelnen Komponenten unabhängig voneinander ausfallen mit den Wahrscheinlichkeiten E1 E2 E3 E4 E 5 E 6 0.1 0.1 0.3 0.1 0.3 0.1

a) Lösen Sie die Aufgabe durch Simulation. b) Wiederholen Sie die Simulationen mit gleicher Anzahl von Zufallszahlen zum Abschätzen der Stabilität des Ergebnisses. Anleitung Zustände mit gegebenen Ausfallwahrscheinlichkeiten analogAufgabe 7 Verknüpfung gemäßSchaltung durch Multiplikation bzw. max/min a) M=100000; abs_h=0; for i=1:M e1 = rand e2 = rand e3 = rand e4 = rand e5 = rand e6 = rand