Anhang A: Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen

In diesem Anhang werden einige Beziehungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung und über Verteilungen zusammengestellt, die den Umgang mit den Energie- und Impulsverteilungen nach Fermi-Dirac bzw. Maxwell-Boltzmann erleichtern können.

A.I

Wahrscheinlichkeiten

Läßt sich das Ergebnis eines Experiments durch Angabe einer einzigen Größe x charakterisieren und kann diese Größe nur diskrete Werte xl' x2 ' ... annehmen, so gehört zu jedem Wert xi eine Zahl Pi

=

p(x i )

(A.I.I)

die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß eine Messung gerade das Ergebnis xi liefert. Führt ein Experiment mit Sicherheit immer zum gleichen Ergebnis xE' so ist dessen Wahrscheinlichkeit gleich Eins p(x E) = I

(A.l.2)

führt dagegen ei n Experiment ni e zum Ergebni s xO' so ist p(x O)

=0

(A.I.3)

Schließen die Ergebnisse xi und xj sich gegenseitig aus, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von xi uX j (xi oder xj ) p(x i Uxj ) = p(x i ) + p(x j )

(A.1.4)

(und entsprechend für x· Ux. Uxk etc.) J J Da bei jedem Experiment mit Sicherheit irgendein Ergebnis - also entweder xl oder x2 oder ... - eintritt, gilt wegen (A.I.2) p(X I UX 2 U ... ) = L p.1 = L p(x.) =I . . 1 1

1

wenn nur alle xi verschieden sind.

(A.1.5)

A.2 Wahrscheinlichkeitsdichten

519

Sind schließlich zwei verschiedene Experimente unabhängig voneinander und führen sie zu den Ergebnissen xi bzw. xj , so ist die Beobachtung von xi im einen und von xj im anderen Experiment (xi n xj ) p (x. n x .) J

1

p(x.) • p(x.)

=

J

1

(A.1.6)

Als Erwartungswert oder Mittelwert der Größe x bezeichnen wir das mit den Wahrscheinlichkeiten Pi gewichtete Mittel

= Ii p.x. 1 1

(A.1. 7)

Entsprechend können wir auch den Erwartungswert einer Funktion h(x) der Variablen x definieren

= Ii p.h(x.) 1 1

: = -{) des Radius r = E um den Punkt r = 0 ausgestanzt wurden E

t2 @V9(t)dV

r

Im Gebiet r> E ist ab; 1// differenzierbar, so daß man durch Anwendung der partiellen Integration in 3 Dimensionen erhält

lDabei bedeutet das Symbol 0 des direkten Produktes in der Mitte, daß stets das dyadische Produkt gemeint ist.

Anhang B: Distributionen

534

°f 1 11m - ~ e:....o r ~ e: r

~~-+(1-3r~r)g(r)dV +

t -Z r=e: r f

-+--+g(r)~da

Für die Kugeloberfläche r = e: gilt -+-

+2 da-+- = -re: d

-+-

r = e:r

cos~d~

'+2 = -re: dn

Das Minuszeichen tritt auf, weil die äußere Normale des Volumens r> e: zum Kugelmittelpunkt, d.h. in Richtung zeigt. Nun kann der letzte Term so ausgerechnet werden

-t

.+r-+-+-Z g(r)~da =

f

r=e:

cos~d~

r

Da wir spä!er den Grenzfall e:-+O betrachten, kann mit Hilfe des Mittelwertsatzes g(e:t) als g(O) aus dem Integral herausgezogen werden und es gilt

f

~r -Z r=e: r

-+-

-+-

g(r)~da

= -g(O)

f

-+A

-+A

r~rdn

Mit Hilfe der Polarkoordinatendarstellung von tegral direkt

f

~

~

r~rdn

4TT =T

t

errechnen wir für das In-

!

Das sieht man auch direkt ein. Da das Integral einen symmetrischen Tensor darstellt, in dem die Winkelabhängigkeiten ausintegriert sind, kann es nur proportional zum Einheitstensor sein

f t~tdn = a!

Die Konstante berechnet man am einfachsten über die Spur der Tensoren auf bei den Seiten ~

~

Sp{r~r}

~2

=r =1

so daß als Integral

f dn = 4TT verbleibt und a durch

bestimmt wird.

Sp

J =3

B.3 Anwendu ngen

535

Damit erhalten wir

J

J :r41T !

~

r -)-)41T -Z g(r)Q9da = - J: ! g(O) = -

~Er

-)- -)03 (r)g(r)dV

~

Die letzte Identität gilt wegen der Eigenschaften der o-Funktion. Insgesamt folgt somit, daß das Funktional durch

(VQ9V ~ I g)

J

=

-

1

.+.+

-)-

~ (l-3r~r)g(r)dV

r

r~E

41T

- l i l g(O)

gegeben wird und die Distribution V~V 1/r durch :±

-)-

1

.

e (r - E )

.+.+

41T

3 -)-

3 v@V-=11m(3f@r-1)--3!o(r) r E....o r --

dargestellt werden kann. Das schreibt man auch in etwas großzügiger Form ohne den Limes 1 (3'+~'+ 1)"( ) _ 431T _! u.l'3(-)-r) v\&V r1 = - -)-~ V&-J = 3" r~r - = '" r-E

-)-rv.-)-

r

r

Die Behandlung des Integrals über den ersten Term geschieht, wie der oben angegebene Grenzwert E-+O zeigt, in r im Sinne der in drei Dimensionen kugelsymmetrischen Verallgemeinerung des Hauptweptes. Die Kugelsymmetrie des Hauptwertes rührt davon her, daß ein Kugelvolumen vom Radius E zur Behandlung der Singularität (Regularisierung) gewählt wurde. Das ist hier insofern wichtig, als andere Formen des Hauptwertes zu anderen Faktoren vor dem o-Funktionsterm führen können. Durch Bildung der Spur des Tensors V(9~ erhält man -)-

Sp VQ9V = /). -)-

und damit gilt /). ~ = SP{VQ9V ~} = 1 im e(r3-E) SP{3;Q9; -l}

E....o

r

- ~1T

o3(r)Sp l

Wegen und

-+-+ = +-+ r •r = 1

Sp{r~r}

folgt für die Anwendung des Laplace-Operators auf r- 1 A

r1 =

-41TO

3 -)-

(r)

Da -)-rv.-)-

v~v

1 r1 = 3" r

(3'+~'+ r~r

1) e ( r-E ) - l41Ti = 1 03(-)-) -= r

Anhang B: Distributionen

536

ein symmetrischer Tensor ist, verschwindet sein antisymmetrischer Anteil

ä(V@V ~)

= 0

Wegen

ä(V@V) = vxv

gil t al so

Vx V ~ = Vx (~) d.h. das Feld

Vl/r

= 0

ist wirbelfrei , auch im Sinne der Distributionstheorie.

Anhang C: Formelsammlung

Diese Formelsammlung folgt nicht dem Vorgehen im Buch, d.h. vom Coulombschen Gesetz ausgehend schließlich zu den Maxwellschen Gleichungen gelangend, sondern stellt die Maxwellschen Gleichungen an die Spitze, aus denen dann die verschiedenen Phänomene als Spezialisierungen hergeleitet werden. Die mathematischen Formeln des Kapitels 2 werden wir hier nicht noch einmal zusammenfassen. Maxwell-Gleichungen in differentieller Form In Abwesenheit von Materie lauten die Gleichungen für die elektrische Feldstärke Eund die magnetische Induktion B ~ ~ aB ~ ~ 1 IlxE=--, ll o E=-p at E:o ~

~

11

~ 0

B

~;t x Ij

= 0,

11

-T

1 aE

~

= 1l0J + 2" TI c

R: Ladungsdichte,

1;

Stromdichte

.

Die magnetische Feldkonstante wird durch die Definition der Einheit der Stromstärke (Ampere) festgelegt 110 = 47T

0

10

-7

VsA -1-1 m

die elektrische FeZdkonstante ist dann durch E:

O = ~ , c: Lichtgeschwindigkeit

,

1l0C

gegeben und hat derr Wert E: O

= 8,854

0

10

-12

As V-1-1 m

Die Ladungsdichte einer PUnktladung qo am Ort rO(t) ist ~

PO(t,r)

= qoo 3~~ (r-rO)

die Strandichte einer mit der Geschwindigkeit dung

Vo= dtO/dt

bewegten PUnktZa-

Anhang C: Formelsammlung

538

-+

-+

-+3-+-+

JO(t,r) = qovoo (r-r O)

Für eine große Zahl von Punktladungen an den Orten ri(t) kann man für viele Zwecke kontinuierliche Ladungs- und Stromdichten einführen, indem man über ein Volumen /l,V = ßa/l,S, in dem hinreichend viele Punktladungen sind, mittelt p(t,r) =

/I,~ 1

N

f

L

/l,V i =1

I

-+ -+ -+ 3-+ q.o(r-r.+r')d r' 1 1

Q( t,

-+ -+

= /l,V i=1 qi 9 (r-r i ,/I,V) -+

-+ 1 J(t,r) = 'V LI

f~

L

i =1

r)

/I, V

-+ 3 -+ -+ -+, q.v.o (r-r.+r )dV 1 1

1

1 ~ q.v.s(r-r. /l,V) = I(t,r)/I,s = I(t,r) = /l,V ~=1 1 1 l' ßa/l,S ßa Es gilt die Kontinuitätsgleichung für die Punktladung apO

at

-+-+

+ V· J O = 0

und für die gemittelten Ladungsdichten ap -+-+ -+v·J=O at -+ -+ In Materie betreffen die Maxwell-Gleichungen außer den Größen E und B -+ -+ noch die dielektrische Verschiebung D und die magnetische Feldstärke H. Sie -+-+ -+ -+ hängen mit E und B über die Polarisation P bzw. die Magnetisierung M zusammen. -+

1-+-+

H=-B-M. \JO

In einfachen Fällen sind

X: XM: ( = 1+x: \J = 1+XM:

P bzw. Mproportional

zu

Ebzw. B.

dielektrische Suszeptibilität magnetische Suszeptibilität Dielektrizitätskonstante Penneabil ität

Im Vakuum gilt speziell X =0, XM=O, d.h. (= 1, \J= 1, d.h.

Dann gilt

Maxwell-Gleichungen in Integralform

539

Der alLgemeine lineare Zusammenhang, der mit dem Prinzip der Kausalität verträglich und zeitlich translationsinvariant ist, hat die Gestalt -+

-+

-+

-+

-+ -+ -+ 8(t-t')~(t-t',r)E(t',r)dt'

D(t,r)

-+ -+

B(t,r)

-+

8(t-t')g(t-t',r)B(t',r)dt'

Dabei sind ~ und g im allgemeinen zeit- und ortsabhängige Tensoren. Diese Darstellungen berücksichtigen lineare Nac~irkungseffekte der Materialien. Unabhängig von der Einschränkung der Linearität gilt im allgemeinsten Fall ein funktionaler Zusammenhang -+

-+-+

D = D(E)

-+

H

-+-+

= H(B)

der charakteristisch für das Material ist. Er muß bekannt sein, damit die Maxwell-Gleichungen in Materie als vollständiger Gleichungssatz angesehen werden können. Sie lauten

-+

V·

-+

B

=0

Maxwell-Gleichungen in Integralform -+

-+

-+

-+

Neben den lokalen Feldgrößen E, D, Bund H sowie den durch die Materie verursachten Größen p und j ist es natürlich oft günstig, die integralen Größen, die sich durch Raum-, Oberflächen- bzw. Linienintegrale bilden lassen, zu betrachten: I) Elektrische Spannung UC zwischen den Endpunkten der Kurve C

uC =

JE. dt C

11) Dielektrischer Verschiebungsfluß ~a durch die Oberfläche a ~a

= J-+D· da-+ a

111) Magnetischer Induktionsfluß @~ durch die Oberfläche a

@~

=

I B. d; a

IV) Magnetische Spannung ~ zwischen den Endpunkten der Kurve C

U~

f H. dt C

540

Anhang C: Formelsammlung

V) Elektrische Ladung Q im Volumen V QV

=

JpdV

V

VI) Elektrischer Strom I durch die Oberfläche a I a = f-+J. da-+ . a

Die Interpretation der Maxwell-Gleichungen wird in ihrer Integralform direkt deutl ich -+ -+ U(a) 'I'(V) d d ~ma • da-+ = QV • da-+ = - dt ~ E • ds = - dt f (a) a (V)

Js

U(a) m

o

-+ -+ f-+ -+ d f-+ -+ 'I'a f H • ds = j • da + dt D• da = I a +~ dt a a (a)

~(V)

m

-+

-+

f B • da =0 (V)

I) Faradaysches Induktionsgesetz. Die elektrische Umlaufspannung U(a) über den Rand (a) der Fläche a ist gleich der negativen Änderung des magnetischen Induktionsflusses ~m durch diese Fläche. 11) Coulambsches Flußgesetz. Der dielektrische Verschiebungsfluß 'I'(V) durch

die Oberfläche (V) des Volumens V ist gleich der in diesem Volumen enthaltenen Gesamtladung QV. 111) Oerstedsches Flußgesetz (Nichtexistenz magnetischer Ladungen). Der magnetische Induktionsfluß ~~V) durch den Rand (V) eines Volumens V verschwindet. In Analogie zum Coulombschen Flußgesetz besagt das, daß keine magnetischen Ladungen existieren.

IV) Maxwellsches Verschiebungsstramgesetz. Die magnetische Umlaufspannung

u~a) über den Rand (a) der Fläche a ist gleich der Summe aus elektrischem

Strom Ia und Verschiebungsstrom Ig = d'l'a/dt durch diese Fläche. Der Verschiebungsstrom ist gleich der zeitlichen Änderung des dielektrischen Verschiebungsflusses. Kontinuitätsgleichung. Ladungserhaltung Die Kontinuitätsgleichung hat in ihrer Integralform die Ge·stalt - :t QV

= - ddt

J pdV f (V) V

-+

J •

da-+ = I (V)

Gleichungen für die Potentiale in Lorentz- und Coulomb-Eichung. Green-Funktion

541

Die negative zeitliche Änderung der Ladung im Volumen V ist gleich dem Strom durch seine Oberfläche (V). Sie ist der mathematische Ausdruck der Erhaltung der Ladung.

Skalares und Vektorpotential -+

-+

Aus der Nichtexistenz magnetischer Ladungen v· B = 0 folgt die Existenz eines -+ -+ Vektorpotentials A, aus dem sich die magnetische Induktion B als Rotation ergibt -+

-+-+

B=vxA

Die homogene Maxwell-Gleichung für die Rotation der elektrischen Feldstärke erlaubt dann die Darstellung -+

-+

E = - Vcp -

-+ (JA

TI

Die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen liefern zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung für das skalare Potential cp und das Vektorpotential

-+

A

a -+ 7" - 6cp - -- (V'A) at

DA + v(~ c

1 =~ ~O

a\ + v. A) cp

p ,

=

\101

(C.1)

Eichungen der Potentiale -+

Jede Lösung cp und A dieser Gleichungen kann durch Eichtransfor-mation, d.h. Addition der negativen Zeitableitung bzw. des Gradienten einer skalaren -+ -+ Funktion x(t,r) in eine andere Lösung cp', A' überführt werden -+

A'

=

-+

A+

-+ 'Ix

Die Feldstärken, die man aus cp' und A' berechnet, sind dieselben wie die aus -+ cp und A bestimmten. Zwei häufig verwendete Klassen von Eichungen sind die Lorentz-Eichung (L) bzw. Coulomb-Eichung (C), in denen die Potentiale die Lorentz- bzw. Coulomb-Bedingung erfüllen 1

acp(L)' -+

-+(L)

--2 - - + V • A c at

= 0 bzw.

-+

V•

-+(C)

A

=0

Gleichungen für die Potentiale in Lorentz- und Coulomb-Eichung. Green-Funktion In Lorentz-Eichung vereinfachen sich die Gleichungen (C.1) zu den inhomogenen d'Alembert-Gleichungen

542

Anhang C: Formelsammlung

D",

= -1 cO

(C.2)

P

In Coulomb-Eichung erhält man ~",(C)

= _~ Co

p,

DA(C) = ~ j _ ~~ v",(C) 0

CL

(C.3)

at

Die Gpeen-Funktion dieser Gleichungen ist definiert durch die skalare Gleichung -+-+ oG(t-t',r-r') = 4wo(ct-ct')o 3-+-+ (r-r')

und hat die Darstellung G(t-t',t-t') = o(ct-ct'-lt-t'l)

(C.4 )

It-t'l

In Abwesenheit von Materie lassen sich die Lösungen der inhomogenen d'Alembert-Gleichungen für vorgegebene Ladungs- und Stromverteilungen p und j mit Hilfe der retardierten Green-Funktion (C.4) angeben '" (t, t) -+

-+

=~ Jf ~oc

o(ct-ct'-lt-t'll p(t',t')dt' dV' 1-+ r-r-+, 1

o(ct-ct'-lt-t'l) j(t',t')dt' dV' (C.5) 1-+ r-r-+, 1 Mit Hilfe dieser Darstellungen lassen sich die wesentlichen elektromagnetischen Effekte berechnen. Wir unterscheiden die verschiedenen Fälle nach der· Art ihrer Zeitabhängigkeit: A(t,r)

=

Jf

4iT

Elektpostatik:

•

p

.'

=0 ,

-+

j

=0 ,

=0 , J =0 Quasistationä:i'e Vopgänge: Ö «j Sahnellvepändepliahe Vopgänge: keine Einschränkung

Magnetostat~k: p

-\-

,

-+

B

=0

ß= 0

, ,

-+

H= 0

-4-

H

,

=0

Kräfte auf Ladungen Die sich mit der Geschwindigkeit Vbewegende Ladung erfährt in einem -+ -+ elektrischen Feld E und einem magnetischen Induktionsfeld B die Kraft -+

F

-+-+-+ = q(E+vxB)

(C.6) -+

Der erste Term qE heißt Coulomb-Kraft, der zweite Lopentz-Kraft.

Elektrostatik

543

Energieerhaltungssatz. Poynting-Vektor Aus den Maxwell-Gleichungen folgt der Energieerhaltungssatz für elektromagnetische Felder und Ladungs- und Stromdichten in Form des Poyntingschen Satzes

a -+ -+ TI (wem+wA) + 'V. S = 0 Dabei ist

t

wem = we + Wm

,

we =

f

-+

t

~

E • D dt'

wm

f

-+

~

H • B dt'

to

die elektromagnetische Energiedichte, d.h. die Summe aus elektrischer und magnetischer Feldenergiedichte, -+

S

die

-+

-+

= Ex H

Ene~iestromdichte

t

wA

=

f

(auch Poyntingvektor genannt) und

j. Edt'

to

die mechanische Energiedichte, d.h. die an den Ladungsträgern des Stromes erbrachte (oder von ihnen gewonnene) Arbeit. Der Poyntingsche Satz hat die Form einer Kontinuitätsgleichung und besagt, daß die Abnahme der elektromagnetischen Feldenergiedichte wem und der mechanischen Energiedichte wA -+ die Quelle der Energiestromdichte S ist. Für einfache Proportionalitäten -+

D=

E:OE:E-+

-+H --

-+

-+

1I0-11l-1-+B

....

-+

-+

zwischen D und E bzw. Hund B haben die Energiedichten die einfache Gestalt

Elektrostatik Alle Ladungen haben feste zeitunabhängige Orte, d.h. -+

p(t,r) -+

B

=0

-+

=0

A

-+

-t-+

p(r) -+

J(t,r)

H=0

~

E

=0

=0

und daher ~

D

Es bleiben die Maxwell-Gleichungen

vxE=O

V.D=p

= 0 d.h.

Anhang C: Formelsammlung

544

+

Wegen der Wirbelfreiheit von E existiert ein (wegunabhängiges) elektrostatisches Potential ep (epO = ep(to)) +

r

+

+

E = - V'ep

ep

=

epO -

f

+

E. d;

rO

+

a

+

+

+

(Spezialfall von E = - V'ep - ät A für A = 0) Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten heißt Spannung U = ep2 - epl' +

+

Elektrostatik im Vakuum: D = €O~ +

+

+

+

1

Wegen E= - V'ep und V'. E=€O fiep

= - -

1

€O

p

gil t die Poisson-Gleichung

P

als Spezialfall von oep

= -1

P

€O Die Green-Funktion der Gleichung flG(r-r') G(r-r')

-4n8 3 (r-r') ist

= __ 1_

Ir-r' I für die Randbedingung

-+r· -+V'G(r-r+1 ) -T

o

für

Lösung für ep .... 0 für 1 .... 00: ep

dv ' =-I-fEl2..L 4n€o Ir-r' I

Das gleiche Resultat erhält man aus (C.4) für zeitunabhängie Ladungsdichte. Für Punktladungsdichte p(1) =q083 (1-10 ) einer Ladung qo am Ort 10 folgt ep -

1

qo

- 4n€0 Ir-rol

Die Feldstärke ist dann + + 1 qo E = - V'ep = - - ---=--.,.. 4n€0 Ir- r o l2 und die Kraft auf eine Ladung q am Ort r nach (C.6) für

B= 0

Das Coulombsehe Gesetz für die Kraft zwischen den beiden Ladungen mit dem Abstand (r-ro) haben wir so aus den Maxwell-Gleichungen erhalten.

Elektrostatik im Vakuum

545

PotentiaLe und eLektPisahe FeLder einfaaher Anordnungen

Ladungsdiahte~

-+ -T -+ 3 -+ PO(r) = - 0 • Va (z)

ED(r)

=

4;'D

er,

Ci =r-rO) -+ 1 CPo(r) = ~ ~ 7fE: 0 z

DipoL am Ort r O mit Oipolmoment

er.!

[!~ 3(";!l1-" 9(Z-') - ~",3(1)]

Dipolmoment zweier entgegengesetzt gleich großer Ladungen q im Abstand

5

(Vektor von negativer zu positiver Ladung}

er = q5

,

QuadrupoL am Ort r O mit Quadrupolmoment ~

-+-+3-+ -+-+3-+ PQ = ~. (VG)V)a (z) = V~Va (r)

PotentieLLe Energie eines DipoLs im elektrischen Feld

Epot(r)

= -

d· E(r)

Kraft auf einen DipoL im elektrischen Feld

-+-+ F(r)

=

-+-+-+-+ (d·v)E(r)

Drehmoment auf einen DipoL im elektrischen Feld

-+ -+ -+ -+-+ O(r) = d x E(r) MULtipoLentwiakLung des elektrostatischen Feldes einer Ladungsverteilung

~ ~

p (r)

-+

cp(r)

1

(Q er.i: ~r-Sp{~} ) 3 + ...

= -4- r+2+ 7fE:0

r

mit der GesamtLadung Q=fp(r')dV' dem Dipolmoment

er= f p(r')r'

dV'

und dem QuadrupoLmoment

~

=

i f p(r' )(r'0r' )dV'

r

Anhang C: Formelsammlung

546

und analogen Formeln für höhere Multipolmomente. Das elektrostatische Feld berechnet man durch Gradientbildung des Potentials. Elektrostatik in Anwesenheit von Leitern Auf Leitern sind elektrische Ladungen frei verschieblich, so daß ihre Oberflächen Aquipotentialflächen sind. Für vorgegebene Anordnungen von zwei Leitern besteht eine lineare Beziehung zwischen Spannung U und Ladung Q

Q = CU Der Proportionalitätskoeffizient C heißt Kapazität. Für den Plattenkondensator mit der Plattenfläche a und dem Plattenabstand b ist die Kapazität a C = e:0 b -+

Ein homogenes Feld EO influenziert auf einer Metal 1kugel vom Radius R um den Mittelpunkt = 0 die Flächenladungsdichte -+ ;t-+ a(r) = 3e: Ot O r = 3e: OEO cos~ .

r

0

Flächenladungen verursachen Unstetigkeiten der Feldstärke. Die Feld~tärken EI' E2 zu beiden Seiten der ladungsbelegten Fläche mit der Normalen sind mit der Fläahenladungsdiahte a verknüpft

n

-+-+

-+

(E 1-E 2) on =

1 E:

O

a

,

die Nonnalkomponente ist unstetig. Die Tangentialkamponente ist stetig -+

-+

-+

(E 1-E 2 ) x n

=0

Elektrostatik in Materie In Materie gelten die bei den Gleichungen -+

'V x

-+

E=0

und

-+

-+

v ° D= p

mit dem Zusammenhang -+

-+

zwischen dielektrischer Verschiebung D, elektrischer Feldstärke E und Po-+ larisation P. Die Polarisation ist durch die influenzierten oder orientierten atomaren oder molekularen Dipolmomente der Substanz bedingt. Es gilt

P = nDd

,

QD: Anzahldiahte der atomaren Dipole, d-: Dipolmoment des einzelnen Atoms.

Elektrostatik in Materie

547

Die Polarisationsladungsdichte ist -+

Pp = - V·

-+

P

Die elektronische Polarisation beruht auf der Entstehung eines influenzierten Dipolmomentes bei kugel symmetrischen Atomen im elektrischen Feld. Im einfachsten Fall gibt die lineare Beziehung

d = aE , a : Polarisierbarkeit eines Atoms, die Größe des Dipolmomentes wieder. Das liefert einen linearen Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischer Feldstärke -+

P

-+

= EOxE

und für die Suszeptibilität X in kubischen Kristallen und amorphen Substan-

bzw. für die Dielektrizitätskonstante 2 nDa E

E

die Clausius-Mossotische Formel

1+-3 So

1 +X

1 nDCl 1--3 EO

Die Orientierungspolarisation beruht auf der Ausrichtung der permanenten Dipolmomente von Atomen oder Molekülen mit nicht kugel symmetrischer Ladungsverteilung im elektrischen Feld. Die hervorgerufene Polarisation ist temperaturabhängig

a

p = nDdiL(~D

L(x) : = coth x -

~

L(x): Langevin-Funktion, k Boltzmann-Konstante, T absolute Temperatur Für kleine Werte x «1 gilt L(x) Pdx/3 E

nDd2 = 1 + 3E OkT

Die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung und die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke sind an der Grenzfläche zweier Dielektrika stetig

Anhang C: Formelsammlung

548

Die TangentiaZkamponenten der dielektrischen Verschiebung sind unstetig -+

-+.+

(DCD2) x n

-+

.+

= EO(E I -E2)E I x n .

Für die elektrischen Feldlinien gilt ein ;t -+ t.Ion E2 EI tana l ;t .+=g, tana = E2 2 t. 2 n 1

B~echungsgesetz

o

Strom in Materie Für Substanzen, deren Dichte groß genug ist, gilt eine lineare Beziehung, das Onmsche Gesetz, zwischen der Stromdichte 1 und der Feldstärke Ean einem Ort r -t-+

-+-+

= KE(r)

J (r)

Dabei ist die spezifische Leitfähigkeit K. Es gilt

q~

K=In . ..21"'1 . 1 m. 1

1

ni : Anzahldichte der Ladungsträgerart i, q .. Ladung der Ladungsträgerart i, m~: Masse der Ladungsträgerart i, 1"1: mittlere freie Flugzeit der Ladungsträgerart Für einen ausgedehnten Leiter der Länge ~ mit dem Querschnitt a gilt dann die Integralform des Ohmschen Gesetzes ~ I = nU , mit R = -Ka , 1\ I: St~am durch den Leiterquerschnitt, U: Spannung an den Enden des Leiters, K: spezifische Leitfähigkeit des Leitermaterials, R: Ohmsch~ Wide~stand des Leiters Für stationäre Ströme gilt wegen

p= 0

Die Leistungsdichte die das Feld an die Ladungsträg.er überträgt, ist -+

-+ -+

v(r) = j(r)

-+-+ 0

E(r)

Im Leiter mit der Leitfähigkeit K wird die elektrische Leistung -+

-+ -+

v(r) = j(r)

-+ -+ 0

-+2

E(r) = KE

bei Stößen in Wärme umgesetzt. Sie heißt JouZesche

Ve~ZustZeistung.

~'agnetos ta ti

k

549

Netzwerke In Netzwerken mit stationären Strömen gilt

o = J V• j

dV

v

=

J

j . da

(V)

d.h. der Strom durch eine geschlossene Oberfläche verschwindet. Sind I k, k=1, ... , N, die Ströme, die durch die einzelnen Leiter auf den Knoten eines Netzwerkes zufließen, so gilt deshalb die 1. Kirchhoffsehe Regel N L Ik = 0

k=1

Sind Uk, k= 1, ... , M, die bezüglich eines Umlaufsinnes gezählten Teilspannungen längs einer Masche eines Netzwerkes, so besagt die 2. Kirchhoffsche Regel M

L

U

k

k=1

=0

Eine Reihenschaltung Ohmscher Widerstände Ri hat den Gesamtwiderstand N

L

R=

R.

i=1

1

Für den Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung Ohmscher Widerstände Ri gi lt

lR =

I

1-

. 1 R.1

1=

Magnetostatik Alle Ladungsdichten und Stromdichten sind zeitunabhängig p(t,r) = p(r)

, j(t,r) = j(r)

Die Bewegungen der Ladungen führt daher - wie die Kontinuitätsgleichung zeigt - zu stationären Strömen

v· j(r) = 0

Die Feldgrößen sind dann zeitunabhängig und es folgen aus den MaxwellGleichungen in Materie die Beziehungen +

I]xE=O

+

->-

+

+

+

+

+

I]·B=O

I]·D=p +

I]xH=j

Anhang C: Formelsammlung

550

+

+

Die Gleichungen enthalten keine Kopplung der elektrischen Größen E, 0 (deren Feldgleichungen gegenüber der Elektrostatik ungeändert sind) mit den + + magnetischen Größen B, H. Wir betrachten daher im folgenden nur die Glei+ + + chungen für Bund H. Die Gleichung für H in diesem Spezialfall heißt auch Ampere/sehe Gleichung.

1

+

+

Magnetostatik im Vakuum: H=- B

~~-------------------~O--

+

+

V'·B=O

Für das Vektorpotential ergibt sich die Gleichung

!c.A

=

-~OJ

Für vorgegebene Stromdichte erhalten wir aus den Darstellungen (C.5) das Vektorpotential

A(;)

=

~O

41\

J 1++'1 j(r') dV'

r-r und die magnetische Induktion ++ + ++ ~O B(r) = V' x A(r) = 41\

Jj(r')1+ x+,(r-r') 13

dV'

r-r

Für einen Liniens!rom I entlang der Kurve r' =r'(~') mit der Bogenlänge~' und der Tangente n(r') gilt das Biot-Savartsche Gesetz als Spezialfall ~O B(r)=-I 41\

+ +

J +(->-, )

(+ +, ) 1->r-r+, 13

nrxr-rd~'

Einfache magnetische Anordnungen

A

Induktionsfeld eines langen gestreckten Drahtes der Richtung ~ -+ + B = --.2. I nxr ...

n

21\ r ... r ... : Vektor des senkrechten Abstandes vom Draht zum Aufpunkt. Magnetischer Dipol mit Dipolmoment m . -+ ++3+ Stromd1chte J M = -(mxV')o (r) Stationarität jM = 0 . + ].10 + + 1 ].10 mxr Vektorpotent1al ~ = - 41\ (mxV') r = 41\ ~

v.

r

Magne~isc!he Ind~kli~n+

+BM -- 41\0 1·1m 3(m·r)r-m n( 40~3(-+) 3 r-E ) + 381\ mu r E->Ü

r

I

Q

Potentielle Energie eines magnetischen Dipols im Induktionsfeld

+ -+-+ Epot=-m.B(r)

Multipolentwicklung des magnetischen Induktionsfeldes einer stationären Stromdichte

Kraft auf einen Dipol im Induktionsfeld

F

(~.~)B(r)

=

Drehmoment auf einen Dipol +

+;:t-+

D=mxö(r)

Dipolmoment eines Kreisstromes +

m

= 11IR2'+a

I: Stromstärke des Kreisstromes, R: Radius des Kreisstromes, + a: rechtshändige Normale auf der Kreisstromebene Dipolmoment einer rotierenden geladenen Kugel + 411 R4+ m =aT w 0: Oberflächenladungsdichte, R: Kugelradius, w: Winkelgeschwindigkeit

Induziertes Dipolmoment einer metallischen Kugel bei Einführung in ein magnetisches Induktionsfeld +

+

m·1

=

ß

= 411 3

ß: 0: me: q: R:

-ßB R4a

~

Lm e

Magnetisierbarkeit, Dichte der Leitungselektronen in der Kugel, Elektronenmasse, Ladung der Ladungsträger, Kugelradius

Induktionsfeld einer langen Spule + .+

B=

~Onla8(R-r~)

n: Windungszahl pro LängeQeinheit, a: Achse der Spule, R: Radius der Spule, r : senkrechter Abstand von der Spulenachse .+ ~

Multipolentwicklung des magnetischen Induktionsfeldes einer stationären ++ Stromdichte j(r) + +

A(r)

)10

= 411

mxr +

2 r

551

Anhang C: Formelsammlung

552

Es tritt kein MonopoZtenn auf, da keine magnetischen Ladungen existieren. Das magnetische DipoZmament ist

J rXJr

-+ 1 m=2

-+,

-t-(-+,

)dV '

Die höheren Terme haben analoge Formen. Das magnetische Induktionsfeld erhält man durch Bildung der Rotation des Vektorpotentials. Magnetostatik in Materie In Materie gelten die Gleichungen -+

v·

-+

B = 0

-+

vx

-+

-+

H= j

mit der Beziehung -+

1-+-+

H=-B-M J.lO

-+

-+

zwischen der magnetischen Feldstärke H und der magnetischen Induktion Bund -+ Magnetisierung M. Die Magnetisierung ist durch die induzierten oder orientierten atomaren oder molekularen magnetischen Dipolmomente der Substanz bedingt. Es gilt -+

-+

M = nMm ~: Anzahldichte der atomaren magnetischen Dipole, m : Dipolmoment des einzelnen Atoms oder Moleküls

Die Magnetisierungsstromdichte ist -+

jM

=:

-+-+ vxM

Der Diamagnetismus freier Atame beruht auf der Entstehung eines induzierten magnetischen Momentes in der kugel symmetrischen Hülle von Atomen oder Molekülen. Im einfachsten Fall gilt eine lineare Beziehung -+

-+

m =: -ßB

zwischen der Induktion und dem Dipolmoment. Die Magnetisierbarkeit ßA eines Atoms mit der Kernladungszahl Z und den mittleren Elektronenschalenradien , k =: 1, ... , Z ist ßA

=:

2 e2 Z 6m e t=:l

Die magnetische Suszeptibilität xM ist negativ J.lOnMß

Magnetostatik in Materie

553

für kleine Magnetisierbarkeit, 1l0nMß « 1, gilt xM = -IlOnMß, und für die Permeabilität 2

1 - 3 1l0nMß 11 = 1 + xM = 1 ~ 1 - 1l0nMß 1 +3 1l0nMß .