Anhang A

Mathematische Hilfsmittel

In diesem Anhang werden wichtige mathematische Begriffe und Beziehungen zusammengestellt und Rechenmethoden erläutert. Wir verzichten auf formale Definitionen und Beweise und bringen stattdessen viele Beispiele. Eine systematische Einführung findet man in dem Lehrbuch Mathematischer Einführungskurs für die Physik von Siegfried Großmann [26].

A.1 Reelle und komplexe Zahlen Die natürlichen Zahlen 1; 2; 3; 4; 5; : : : sind jedem Kind geläufig und brauchen hier nicht weiter erklärt zu werden. Die erste Abstraktion sind die ganzen Zahlen: 0; ˙1; ˙2; ˙3; : : :; die sich ergeben, wenn man zwei beliebige natürliche Zahlen voneinander subtrahiert. Die Division von ganzen Zahlen führt zu den rationalen Zahlen, die man alle in der Form m rD n schreiben kann, wobei m; n ganze Zahlen sind und n ¤ 0 sein muss. Die natürlichen und die ganzen Zahlen sind Teilmengen der rationalen Zahlen. Eine wichtige Beobachtung ist, dass die rationalen Zahlen nicht ausreichen. Man kann beweisen, dass die Quadratwurzel aus 2 nicht als rationale Zahl dargestellt werden kann. Auch die wichtige Zahl , das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises, ist keine rationale Zahl. Als reelle Zahlen bezeichnet man die Gesamtmenge der rationalen Zahlen und der irrationalen Zahlen (das sind solche, die sich nicht als Bruch schreiben lassen). Die reellen Zahlen haben die

P. Schmüser, Theoretische Physik für Studierende des Lehramts 1, DOI 10.1007/978-3-642-25397-3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

177

178

A Mathematische Hilfsmittel

Eigenschaft, dass ihr Quadrat immer positiv ist r2  0 und nur null wird, wenn r D 0 ist. In der Mathematik und Physik erweist es sich als zweckmässig, noch einen Schritt weiter zu gehen und Zahlen zu definieren, deren Quadrat auch negativ werden kann. Dies sind die komplexen Zahlen die man in der Form schreiben kann z D x C iy

(A.1)

mit reellen Zahlen x und y. Die imaginäre Einheit ist definiert durch p i2 D 1 ) i D 1 : Der Name imaginäre Einheit macht schon deutlich, dass man bei der Einführung dieser Größe einige Fantasie brauchte. x ist der Realteil der komplexen Zahl z und y der Imaginärteil: x D Re.z/ ;

y D Im.z/ ;

z D Re.z/ C i Im.z/ :

Die zu z konjugiert komplexe Zahl ist definiert durch z  D x  iy :

(A.2)

Man kann die komplexen Zahlen als Vektoren in der sog. komplexen Ebene darstellen (Abb. A.1). Die Länge des Vektors z D x C iy ist offensichtlich nach dem Satz p von Pythagoras gegeben durch x 2 C y 2 . Dies legt es nahe, den Absolutbetrag der Zahl z wie folgt zu definieren p p p (A.3) jzj D zz  D .x C iy/.x  iy/ D x 2 C y 2 : Aus der Abb. A.1 ersieht man, dass gilt x D jzj cos ˛ ;

y D jzj sin ˛

und daher z D jzj .cos ˛ C i sin ˛/  jzj ei˛ : Hier benutzen wir den fundamentalen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den Cosinus- und Sinusfunktionen ei˛ D cos ˛ C i sin ˛ ;

ei˛ D cos ˛  i sin ˛ :

Man erkennt sofort, dass ei˛ den Betrag 1 hat: p ˇ i˛ ˇ p ˇe ˇ D .cos ˛ C i sin ˛/.cos ˛  i sin ˛/ D cos2 ˛ C sin2 ˛ D 1 :

(A.4)

A.2 Zeigerdarstellung des komplexen Phasenfaktors

179

Abb. A.1 Links: Darstellung der komplexen Zahlen z D x C iy und z  D x  iy als Vektoren in der komplexen Zahlenebene. Rechts: Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den Cosinus- und Sinusfunktionen

Um das Argument der Exponentialfunktion besser lesbar zu machen, schreiben wir sie häufig in der Form exp.i˛/.

A.2 Zeigerdarstellung des komplexen Phasenfaktors In vielen Schulbüchern wird die komplexe Exponentialfunktion umgangen und eine Zeigerdarstellung zur Ermittlung von Interferenzmustern verwendet. Dies geht auf die Pfadintegralmethode von Richard Feynman zurück. Der Phasenfaktor wird durch den Zeiger einer Messuhr dargestellt. Eine Beschreibung ohne jede Formel findet man in dem Buch von Feynman „Quantenelektrodynamik – Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie“, Piper-Verlag. Wir betrachten einen undurchsichtigen Schirm, in dem sich zwei schmale Spalte S1 und S2 mit einem Abstand a befinden. Der Schirm wird mit Licht der Wellenlänge  beleuchtet, die Lichtquelle sei sehr weit entfernt, so dass das einfallende Licht als ebene Welle behandelt werden darf (in der Praxis kann man Laserlicht benutzen). Hinter den Spalten breitet sich das Licht als Zylinderwelle aus. Wir interessieren uns für das Interferenzmuster auf einem weit entfernten Beobachtungsschirm. Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt P auf dem Schirm und vergleichen die beiden Lichtstrahlen, die von S1 und S2 nach P laufen. Die Strecken S1 P und S2 P haben verschiedene Längen L1 und L2 . Der Phasenfaktor der Lichtwelle ändert sich längs der Strecke S1 P um exp .i 2L1 =/ und längs der Strecke S2 P um exp .i 2L2 =/. Jetzt wollen wir die komplexe e-Funktion vermeiden und messen die Längen L1 und L2 in Einheiten der Lichtwellenlänge. Dazu verwenden wir Messuhren, deren Zeiger genau eine Umdrehung pro Lichtwellenlänge machen. Längs der Strecke S1 P wird die Messuhr U1 sehr viele Umdrehungen machen, da die Länge L1 viel größer als die Lichtwellenlänge ist. Entscheidend ist, dass im allgemeinen eine nicht vollständige

180

A Mathematische Hilfsmittel

Abb. A.2 Oben: Zeigerdarstellung des Phasenfaktors exp.i kx/ D exp.i 2 x=/ als Funktion von x=. Der Zeiger der Messuhr dreht sich im Anti-Uhrzeigersinn. Unten: Anwendung der Zeigerdarstellung auf den Doppelspalt. Zur Berechnung der Lichtwellenamplitude im Punkt P werden die beiden Pfeile vektoriell addiert: A D A 1 C A 2

Umdrehung übrig bleibt, und auf die kommt es an. Ganz entsprechend wird auch längs der Strecke S2 P eine Messuhr U2 sehr viele Umdrehungen machen. Um die Lichtamplitude im Punkt P zu bestimmen, müssen wir die Pfeile A1 und A2 der beiden Messuhren vektoriell addieren. Weisen sie in die gleiche Richtung, gibt es maximale Lichtintensität. Das ist offensichtlich im Symmetriepunkt der Fall. Im Punkt P tritt dies ein, wenn die Uhren U1 und U2 sich um eine ganze Zahl von Umdrehungen unterscheiden. Das führt zu der Bedingung L D L2  L1 D n : Aus der Abb. A.2 sieht man leicht, dass L D s D d sin  ist. Wir erhalten damit die bekannte Formel für die Lage der Maxima in Doppelspaltinterferenzen d sin  D n : Interferenzminima ergeben sich wenn die Zeiger der Uhren in die entgegengesetzte Richtung weisen, d. h. für L D 1=2 ; 3=2 ; : : : Ein Wort noch zum Drehsinn des Zeigers der Messuhr. Wir stellen hier den komplexen Phasenfaktor exp.i kx/ D exp.i 2 x=/ als Funktion von x= dar. Mit wachsendem x rotiert der Zeiger im Anti-Uhrzeigersinn. Feynman verwendet eine Stoppuhr, um die Zeitdauer zu messen, die das Licht braucht, um von Spalt 1 bzw. Spalt 2 zum Beobachtungspunkt zu kommen. Die Stoppuhr liefert eine bildli-

A.3 Grundregeln der Differential- und Integralrechnung

181

che Darstellung des Phasenfaktors exp.i!t/, und sie rotiert im Uhrzeigersinn. Im Schulphysikbuch von Dorn und Bader (Physik, Gymnasium SEK II) rotiert der Zeiger ebenfalls im Uhrzeigersinn. Der Drehsinn ist ohne Belang für die Berechnung der Interferenzen.

A.3 Grundregeln der Differential- und Integralrechnung A.3.1 Differentialrechnung Wir betrachten Funktionen f .x/, die von einer reellen Variablen abhängen. Diese Variable wird hier mit x bezeichnet, aber anders als in der Physik verstehen wir darunter keine Ortskoordinate, sondern eine reelle Zahl ohne Dimension. Ein Beispiel ist die Funktion f .x/ D 1C0;3x 2 , die in Abb. A.3 skizziert ist. Um die Steigung der Kurve bei einem Punkt x D x0 zu ermitteln, bilden wir den Differenzenquotienten f .x0 C x/  f .x0 / ; x

4

3

2

1

0

0

1

2

3

Abb. A.3 Kurvenverlauf der Funktion f .x/ D 1 C 0;3x 2 und Ermittlung der Steigung im Punkt x0 D 1. Hier hat x den großen Wert x D 1. Lässt man x ! 0 gehen, so wird aus der blau gezeichneten Geraden die Tangente im Punkt x0

182

A Mathematische Hilfsmittel

wobei x klein ist. Führt man den Grenzübergang (Limes) x ! 0 aus, erhalten wir den Differentialquotienten, der die Steigung der Tangente im Punkt x0 angibt. Die Funktion wird differenzierbar genannt, wenn dieser Limes für alle Werte von x0 gebildet werden kann. Den Index „0“ lassen wir im Folgenden weg. Die Ableitung der Funktion am Ort x ist definiert durch f 0 .x/ D

f .x C x/  f .x/ df D lim : x!0 dx x

(A.5)

Die meisten der in der Physik gebrauchten Funktionen sind differenzierbar. Ein Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion ist f .x/ D jxj. Die Ableitung ist f 0 .x/ D C1 für x > 0 und f 0 .x/ D 1 für x < 0. Diese Funktion ist nicht differenzierbar bei x D 0. Einige wichtige Funktionen und ihre Ableitungen sind in Tabelle A.1 aufgelistet. Tabelle A.1 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen Funktion f .x/

Ableitung f 0 .x/

xn sin x cos x ex ln x p x

nx n1 cos x  sin x ex 1=x p 1=.2 x/

Die Exponentialfunktion hat eine besondere Bedeutung in der Physik. Sie ist die einzige Funktion, die identisch mit ihrer Ableitung ist: f .x/ D ex ; f 0 .x/ D ex : Sie hat die Reihenentwicklung 1 X x3 xn x2 C C ::: D : e D1CxC 3 6 nŠ nD0 x

mit nŠ D n.n  1/.n  2/: : :1, also 4Š D 4  3  2  1 D 24 (gesprochen n-Fakultät). Definitionsgemäss setzt man 0Š D 1. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus, der nur für x > 0 definiert ist (im Limes x ! 0 gilt ln x ! 1). Exponential- und Logarithmusfunktion werden in Abb. A.4 gezeigt.

Differentiationsregeln Summenregel .f C g/0 D f 0 C g 0 :

A.3 Grundregeln der Differential- und Integralrechnung

8

183

2 f(x) = ln(x)

6

f(x) = exp(x)

0

4 2

2 0

2

0

2

4

0

1

2

Abb. A.4 Kurvenverlauf der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion

Produktregel .fg/0 D f 0 g C fg 0 ; Quotientenregel  0 f 0 g  fg 0 f D ; g g2

.x 3 sin x/0 D 3x 2 sin x C x 3 cos x :

Beispiel

 Beispiel

x2 sin x

0 D

2x sin x  x 2 cos x : sin2 x

Kettenregel .f Œg.x//0 D f 0 Œg  g 0 .x/ ;

Beispiel .sinŒx 3 /0 D cosŒx 3   3x 2 :

Taylorentwicklung Eine differenzierbare Funktion kann in einer kleinen Umgebung eines Punktes x0 in eine Taylorreihe entwickelt werden. Dadurch ist es in vielen Fällen möglich, die Funktion in der Nähe von x0 zu linearisieren. f .x/  f .x0 / C f 0 .x0 /.x  x0 /

für

jx  x0 j  1 :

Dies folgtpsofort aus der Definition des Differentialquotienten in Gl. (A.5). Beispiele f .x/ D 1 C x oder f .x/ D ln.1 C x/. Wir wählen x0 D 0. p 1 C x  1 C x=2 für jxj  1 : ln.1 C x/  x für jxj  1 : Eine bessere Genauigkeit bietet die Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung, bei der man außer der Steigung der Kurve auch noch ihre Krümmung berücksichtigt: f .x/  f .x0 /Cf 0 .x0 /.x x0 /C

f 00 .x0 / .x x0 /2 2

für

jx  x0 j  1 : (A.6)

184

A Mathematische Hilfsmittel

A.3.2 Integralrechnung Die Fläche zwischen einer Kurve f .x/ und der x-Achse in einem Intervall a  x  b bestimmen wir näherungsweise, indem wir das Intervall in n Abschnitte der Länge x D

ba n

unterteilen und die Summe SD

n X

f .xi /x

mit xi D a C .i  1=2/x

(A.7)

i D1

berechnen (siehe Abb. A.5). Im Limes n ! 1 wird daraus das bestimmte Integral Zb f .x/dx D lim

n!1

a

n X

f .xi /x :

(A.8)

i D1

Unter einer Stammfunktion F .x/ der Funktion f .x/ versteht man eine Funktion, deren Ableitung gleich f .x/ ist: F 0 .x/ D f .x/ :

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Sei F .x/ eine Stammfunktion von f .x/. Dann gilt Zb f .x/ dx D F .b/  F .a/ :

(A.9)

a

Stammfunktionen sind nicht eindeutig, man kann eine beliebige Konstante hinzuaddieren. Häufig schreibt man eine Stammfunktion in Form eines unbestimmten Integrals (es werden keine Integrationsgrenzen angegeben) Z F .x/ D

f .x/ dx :

Das Differenzieren einer vorgegebenen Funktion macht in den meisten Fällen keine Schwierigkeiten, aber beim Integrieren ist dies anders. Für sehr viele Funktionen sind die Stammfunktionen nicht bekannt (im Programm Mathematica findet man praktisch alle bekannten unbestimmten Integrale). Manchmal helfen Integrati-

A.3 Grundregeln der Differential- und Integralrechnung

185

6

4

2

0

0

1

2

Abb. A.5 Approximation des bestimmten Integrals Funktion ist f .x/ D 1 C 0;3x 2

R3 1

3

4

f .x/ dx durch die Summe (A.7). Die

onsregeln weiter. Besonders häufig verwendet man die partielle Integration: Zb

Zb

0

f .x/g .x/ dx D Œf .b/g.b/  f .a/g.a/  a

f 0 .x/g.x/ dx :

(A.10)

a

Auch wenn keine Stammfunktion bekannt ist, wird durch das unbestimmte Integral eine Funktion F .x/ definiert, die man leicht auf dem Computer auswerten kann.

A.3.3 Gaußfunktion und Fehlerfunktion Die Gaußfunktion spielt in der Physik eine außerordentlich wichtige Rolle. Sie ist definiert durch 2

g.x/ D ex :

(A.11)

Dabei ist e D 2;71828: : : die Euler’sche Zahl. Das Integral über die Gaußfunktion hat den Wert C1 Z p 2 ex dx D  : (A.12) 1

Die (Gauß’sche) Fehlerfunktion (error function) ist definiert als unbestimmtes Integral über die Gaußfunktion 2 erf.x/ D p 

Zx 0

2

es ds :

(A.13)

186

A Mathematische Hilfsmittel

Abb. A.6 Links: die Gaußfunktion g.x/ und die Fehlerfunktion erf.x/. Rechts: die normierte Gaußfunktion gn .x/ für zwei Standard-Abweichungen: 1 D 0;5 (rot) und 2 D 1 (blau)

Häufig benutzt man die Gaußfunktion auch in normierter Form   x2 1 gn .x/ D p exp  2 : 2 2 

(A.14)

Die Fläche unter dieser Kurve hat den Wert 1: C1 Z

gn .x/ D 1 : 1

Die Größe  nennt man die Standard-Abweichung, und  2 nennt man die Varianz.

A.4 Fourier-Reihe und Fourier-Integral A.4.1 Fourier-Reihe Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind periodisch mit der Periode 2: sin.x C 2/ D sin.x/. Von Fourier wurde bewiesen, dass sich jede periodische Funktion, die beschränkt und stückweise stetig ist, als Linearkombination von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen lässt. Eine Funktion f .x/ wird periodisch genannt, wenn es eine Zahl L > 0 gibt, so dass für alle x gilt f .x C L/ D f .x/ : Die Fourierreihe von f .x/ lautet 1 1 X a0 X C an cos.nkx/ C bn sin.nkx/ f .x/ D 2 nD1 nD1

mit k D

2 : L

(A.15)

Die Koeffizienten werden wie folgt berechnet: 2 an D L

ZL f .x/ cos.nkx/ dx ; 0

2 bn D L

ZL f .x/ sin.nkx/ dx : 0

(A.16)

A.4 Fourier-Reihe und Fourier-Integral

187

f(x) 1

0.5

3

2

1

0

1

2

3

x Abb. A.7 Eine Dreieckkurve (blau) und die Summe der Terme der Fourierreihe mit n D 0; 1; 3 (rote Kurve). Gestrichelte rote Linie: der Term a0 =2 D 1=2

Als Beispiel betrachten wir die in Abb. A.7 gezeigte Dreieckskurve. Sie ist eine gerade Funktion (f .x/ D f .x/) und hat deswegen nur Cosinusterme sowie einen konstanten Term in der Fourierreihe   4 1 1 1 f .x/ D  2 cos.x/ C 2 cos.3x/ C 2 cos.5x/ C : : : : 2  3 5 In der Elektrotechnik kommen häufig Funktionen vor, die periodisch in der Zeit sind f .t C T / D f .t/ : Die Fourierreihe lautet analog zu Gl. (A.15) f .t/ D

1 1 X a0 X C an cos.n!t/ C bn sin.n!t/ 2 nD1 nD1

mit ! D

2 : T

(A.17)

Die Koeffizienten sind 2 an D T

ZT f .t/ cos.n!t/ dt ; 0

2 bn D T

ZT f .t/ sin.n!t/ dt :

(A.18)

0

Mit Pulsgeneratoren kann man Rechteck-Pulsketten erzeugen, wie in Abb. A.8 gezeigt. Die hier dargestellte Funktion hat die Periode T D 2 und ist eine ungerade Funktion (f .t/ D f .t/). Daher gibt es in der Fourierreihe nur Sinusterme. Unter Benutzung von Gl. (A.18) finden wir   1 1 4 sin. t/ C sin.3 t/ C sin.5 t/ C : : : : f .t/ D  3 5

188

A Mathematische Hilfsmittel

f(t) 1.5

2

1

0

1

2

t

1.5 Abb. A.8 Eine periodische Folge von Rechteckpulsen (blau) und die Approximation durch eine Fourierreihe. Grüne Kurve: nur die 1. Ordnung 4 sin. t /, rote Kurve: alle Terme bis zur Ordnung nD5

Die Rechteckfunktion ist unstetig an den Stellen t D 0; ˙T; ˙2T : : :, d. h. dort macht die Funktion Sprünge und ist unendlich steil. Bei unstetigen Funktionen muss man die Fouriersumme bis zu sehr hohen Ordnungen n erstrecken, um die Sprünge einigermaßen zu reproduzieren. Die Fourierkoeffizienten sind proportional zu 1=n, die Konvergenz der Reihe ist schwach. Bei stetigen Funktionen wie bei der Dreieckskurve in Abb. A.7 konvergiert die Fourierreihe wesentlich schneller (in diesem Fall sind die Fourierkoeffizienten proportional zu 1=n2 ), und die Summe der Terme mit n D 0; 1; 3 liefert bereits eine gute Approximation.

A.4.2 Fourier-Integral Auch nichtperiodische Funktionen lassen sich durch Überlagerung harmonischer Funktionen darstellen, wobei die Fouriersumme durch das Fourierintegral ersetzt wird. Die Voraussetzung ist, dass die Funktion quadratisch integrierbar ist, d. h. es muss gelten Z1 jf .x/j2 dx < 1 : 1

Wir benutzen hier an Stelle der Sinus- und Cosinusfunktionen die komplexe Exponentialfunktion, die die Schreibweise wesentlich vereinfacht. Die Fourierdarstellung einer Funktion f .x/ lautet 1 f .x/ D p 2

Z1 1

fQ.k/ exp.ikx/ dk

(A.19)

A.4 Fourier-Reihe und Fourier-Integral

189

mit der Fouriertransformierten 1 fQ.k/ D p 2

Z1 f .x/ exp.ikx/ dx :

(A.20)

1

Es gilt das Parseval-Theorem Z1

Z1 jf .x/j dx D 2

1

jfQ.k/j2 dk :

(A.21)

1

Für Funktionen der Zeit schreibt man analog 1 f .t/ D p 2

Z1

fQ.!/ exp.i!t/ d! ;

1

1 fQ.!/ D p 2

Z1 f .t/ exp.i!t/ dt : 1

(A.22)

Fourier-Transformation einer Gaußfunktion Eine Gaußfunktion im Zeitbereich wird durch das Fourierintegral in eine Gaußfunktion im Frequenzbereich überführt.     1 !2 t2 1 1 Q exp  2 mit ! D exp  2 ) f .!/ D p : f .t/ D p 2! t 2 t 2 t 2 (A.23) Die Breite der Frequenzfunktion ist umso größer, je schmaler die Zeitfunktion ist, s. Abb. A.9. Das Produkt der Unschärfen ist 1:  t  ! D 1 :

0

Zeit

(A.24)

0

Frequenz

Abb. A.9 Zwei Gaußfunktionen f .t / verschiedener Breite und ihre Fouriertransformierten

190

A Mathematische Hilfsmittel

I(ω) / I(ω0)

1

0.5

0

Zeit

0.8

0.9

1 (ω −ω0) / ω0

1.1

Abb. A.10 Ein Wellenzug mit 10 Oszillationen und die Intensität als Funktion der Frequenz

Durch Multiplikation mit „ folgt daraus die Energie-Zeit-Unschärferelation, siehe Kap. 4.6.4.

Fourier-Transformation eines harmonischen Wellenzuges Das elektrische Feld einer Lichtwelle sei gegeben durch  exp.i !0 t/ für  T =2 < t < T =2 E.t/ D E 0 0 sonst

(A.25)

Die Zahl der Oszillationen ist N D !0 T =.2/. Wegen seiner endlichen Länge ist der Wellenzug nicht monochromatisch, sondern enthält ein Frequenzspektrum, das wir mit Hilfe der Fouriertransformation berechnen 1 Q E.!/ Dp 2

C1 Z E0 E.t/ei!t dt D p 2

1

CT Z =2

ei.!0 !/t dt

T =2

2E 0 sin..!0  !/T =2/ : Dp !0  ! 2 Die spektrale Intensität ist 2  ˇ ˇ2 ˇQ ˇ 2 sin u I.!/ / ˇE.!/ˇ / N u

mit u D

!0  ! .!0  !/T DN : 2 !0 (A.26)

Sie hat ihr Maximum bei ! D !0 und eine Halbwertsbreite ! 

!0 2 D : N T

(A.27)

Ein sehr kurzer Wellenzug mit nur 10 Oszillationen und seine spektrale Intensität werden in Abb. A.10 gezeigt.

A.5 Funktionen von mehreren Variablen

191

A.5 Funktionen von mehreren Variablen A.5.1 Partielle Ableitungen Funktionen von mehreren Variablen kommen sehr häufig in der Physik vor, und wir müssen die Regeln der Differential- und Integralrechnung erweitern, um diese Funktionen zu erfassen. Als Beispiel betrachten wir die Funktion f .x; y/ D .x  10/2  .y  10/2 C 100 der beiden reellen Variablen x und y. Diese Funktion kann man graphisch darstellen, es ergibt sich die sattelförmige Fläche in Abb. A.11. Die partiellen Ableitungen sind die Verallgemeinerung der normalen Ableitung einer Funktion mit einer Variablen. Sie sind definiert durch @f f .x C x; y/  f .x; y/ @f f .x; y C y/  f .x; y/ D lim ; D lim : x!0 y!0 @x x @y y (A.28) Dabei wird jeweils die andere Variable konstant gehalten. Man bestimmt also die normalen Ableitungen der Funktionen g.x/ D f .x; y0 / und h.y/ D f .x0 ; y/. Beispiel: f .x; y/ D .x 10/2 .y 10/2 C100 ;

@f D 2 .x 10/ ; @x

@f D 2 .y 10/ : @y

Die Kurven g.x/ D f .x; 10/ und h.y/ D f .10; y/ sind in Abb. A.11 skizziert.

Abb. A.11 Links: Graphische Darstellung der Funktion f .x; y/ D .x10/2 .y10/2 C100. Rechts: die Kurven g.x/ D f .x; 10/ und h.y/ D f .10; y/ auf der Sattelfläche

192

A Mathematische Hilfsmittel

Funktionen mit drei oder mehr Variablen lassen sich nicht mehr graphisch darstellen. Die partiellen Ableitungen sind gemäss (A.28) zu berechnen. Im Dreidimensionalen definiert man den Nabla-Operator. Nabla ist ein Vektoroperator, der als Komponenten die partiellen Ableitungen nach x, y und z enthält: 0 1 @x @ etc: (A.29) r D @ @y A mit @x  @x @ z

Angewandt auf eine Funktion f .x; y; z/ ergibt sich eine Vektorfunktion, die man oft auch den Gradienten nennt: 0 1 @x f @f etc : (A.30) grad f  r f D @ @y f A mit @x f  @x @z f Der Laplace-Operator ist die Summe der zweiten Ableitungen r2 D

@2 @2 @2 C 2C 2: 2 @x @y @z

(A.31)

A.5.2 Mehrfachintegrale Das Doppelintegral über eine Funktion f .x; y/ ist als Grenzwert einer Doppelsumme definiert Zd Zb f .x; y/ dx dy D lim

n!1

c

a

n n X X

f .xi ; yj /xy :

(A.32)

i D1 j D1

Für unsere Sattelflächenfunktion in Abb. A.11 ergibt Z20Z20 f .x; y/ dx dy 0

0

das Volumen unterhalb der Sattelfläche. Doppel- oder Dreifachintegrale sind oft schwer zu berechnen.

A.6 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Die Kugelkoordinaten .r; ; '/ eines Punktes P D .x; y; z/ werden in Abb. A.12 definiert. Ihre Verknüpfungen mit kartesischen Koordinaten lauten

A.6 Kugel- und Zylinderkoordinaten

193

O ' O ; O Abb. A.12 Links: Definition der Kugelkoordinaten. Die Richtungen der Einheitsvektoren r; hängen vom Polarwinkel  und vom Azimutalwinkel ' ab. Rechts: Definition der ZylinderkoordiO ' O hängen vom Azimutalwinkel ' ab, während der naten. Die Richtungen der Einheitsvektoren r; Einheitsvektor zO wie bei kartesischen Koordinaten immer dieselbe Richtung hat

x D r sin  cos ' ; y D r sin  sin ' ; z D r cos  ; p r D x 2 C y 2 C z 2 ;  D arccos.z=r/ ; ' D arctan.y=x/ :

(A.33)

O ', Man definiert drei Einheitsvektoren r; O ; O die jeweils in die Richtung zeigen, in der sich die betreffende Koordinate vergrößert. Ihr Zusammenhang mit den kartesischen Einheitsvektoren ist rO D sin  cos ' xO C sin  sin ' yO C cos  zO ;

(A.34a)

O D cos  cos ' xO C cos  sin ' yO  sin  zO ;

(A.34b)

'O D  sin ' xO C cos ' yO :

(A.34c)

Eine infinitesimale Verschiebung im Raum kann man schreiben ds D dx xO C dy yO C dz zO D dr rO C r d O C r sin  d' 'O :

(A.35)

Das infinitesimale Volumenelement ist dV D dx dy dz  d3 r in kartesischen Koordinaten. In Kugelkoordinaten lautet es dV D dx dy dz D r 2 sin  dr d d' : Der Laplace-Operator angewandt auf eine skalare Funktion lautet     1 @ @f 1 @f 1 @ @2 f r2 C 2 sin  C 2 r2f D 2 : 2 r @r @r r sin  @ @ r sin  @' 2

(A.36)

(A.37)

194

A Mathematische Hilfsmittel

Zylinderkoordinaten Die Zylinderkoordinaten .r; '; z/ eines Punktes P D .x; y; z/ werden ebenfalls in Abb. A.12 definiert. Ihre Verknüpfungen mit kartesischen Koordinaten lauten x D r cos ' ; y D r sin ' ; z D z ; p r D x 2 C y 2 ; ' D arctan.y=x/ :

(A.38)

Anmerkung: Üblicherweise nennt man den radialen Abstand von der Zylinderachse  D p x 2 C y 2 . Da  für die Wahrscheinlichkeitsdichte reserviert ist, verwenden wir den Buchstaben r. Man muss dann beachten, dass r in Kugelkoordinaten und in Zylinderkoordinaten eine unterschiedliche Bedeutung hat.

Man definiert drei Einheitsvektoren r; O '; O zO , die jeweils in die Richtung zeigen, in der sich die betreffende Koordinate vergrößert. Ihr Zusammenhang mit den kartesischen Einheitsvektoren ist rO D cos ' xO C sin ' yO ;

(A.39a)

'O D  sin ' xO C cos ' yO

(A.39b)

zO D zO :

(A.39c)

Eine infinitesimale Verschiebung im Raum kann man schreiben ds D dx xO C dy yO C dz zO D dr rO C Cr d' 'O C dz zO :

(A.40)

Das infinitesimale Volumenelement ist dV D r dr d' dz :

(A.41)

Der Laplace-Operator angewandt auf eine skalare Funktion lautet r 2f D

1 @2 f @2 f 1 @f @2 f C C C : @r 2 r @r r 2 @' 2 @z 2

(A.42)

Anhang B

Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

B.1 Kinematik der Compton-Streuung Die Streuung eines Röntgenquants an einem ruhenden Elektron wird in Abb. B.1 gezeigt. Vor dem Stoß hat das Photon die Energie „! und den Impuls „k mit jkj D k D !=c, nach dem Stoß hat es die Energie „! 0 und den Impuls „k0 . Die Geschwindigkeit v des Elektrons nach dem Stoß ist bei der Compton-Streuung von Röntgenquanten wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c, wir dürfen daher mit den nichtrelativistischen Formeln für Energie und Impuls des Elektrons rechnen: Ekin D

p2 ; 2me

p D me v :

p2 ; 2me

„k D „k0 C p :

Der Energie- und Impulssatz lauten „! D „! 0 C

Das Elektron wird bei der Compton-Streuung meistens nicht nachgewiesen, daher versuchen wir, seinen Impuls zu eliminieren. Die Komponenten des Impulses p parallel und senkrecht zur Einfallsrichtung sind p cos  D „k  „k 0 cos  ;

p sin  D „k 0 sin  :

Abb. B.1 Impulsbilanz bei der Compton-Streuung

195

196

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

Die beiden Gleichungen werden quadriert und danach addiert: p 2 D „2 .k 2  2kk 0 cos  C k 02 / : Nun wird der Energiesatz benutzt, um p 2 zu eliminieren p 2 D 2me „.!  ! 0 / D 2me c„.k  k 0 / : Einsetzen in die vorige Gleichung ergibt k D k  k 0 D

„ .k 2  2kk 0 cos  C k 02 / : 2me c

In den meisten Fällen ist k  k und man kann auf der rechten Seite k 0 durch k ersetzen, woraus folgt „k 2 .1  cos / : k D me c Nun benutzen wir  D 2=k und 0 D 2=k 0 . Die Wellenlänge als Funktion des Streuwinkels ist gegeben durch die Compton’sche Streuformel 0 D  C

2„ .1  cos / : me c

(B.1)

Genau die gleiche Formel findet man bei Anwendung der relativistischen Mechanik.

B.2 Die Kontinuitätsgleichung Wenn ein Teilchen eine scharf definierte Energie hat, kann man die Gesamtwellenfunktion in der Form .x; t/ D .x/ exp.i!t/ schreiben. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeitsdichte unabhängig von der Zeit

.x/ D  .x; t/ .x; t/ D



.x/ .x/ :

(B.2)

Im Allgemeinen ist jedoch D .x; t/ eine Funktion der Zeit, also @

@  @ D C  ¤ 0: @t @t @t

(B.3)

Aber auch in diesem Fall hat das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte immer den Wert 1, da im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik eine Teilchenerzeugung oder Teilchenvernichtung unmöglich ist1 . Daher muss die Wahr1 Die relativistischen Verallgemeinerungen der Schödingergleichung, die Klein-Gordon- und die Dirac-Gleichung, können Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse beschreiben.

B.2 Die Kontinuitätsgleichung

197

scheinlichkeit, das Elektron irgendwo im Raum zu finden, immer 1 bleiben. Um das mathematisch zu beweisen, benutzen wir die Schrödinger-Gleichung und die konjugiert komplexe Gleichung. i„ i „

@ „2 @2 C V .x; t/ .x; t/ D @t 2m @x 2

@  „2 @2  D C V .x; t/  .x; t/ : @t 2m @x 2

Die erste Gleichung wird von links mit  .x; t/ multipliziert, die zweite von rechts mit .x; t/, und dann werden die Gleichungen subtrahiert. Das Resultat ist     2  „2 @2  @ @  @ D C  :  i„ @t @t 2m @x 2 @x 2 Durch Kombination mit (B.3) erhalten wir   i„ @ @  @

 @ D  : @t 2m @x @x @x Die Wahrscheinlichkeits-Stromdichte wird definiert durch   @ i„ @  :   J.x; t/ D 2m @x @x

(B.4)

Es ergibt sich die Kontinuitätsgleichung @

@J C D 0: @t @x

(B.5)

Diese Gleichung ist Ausdruck für einen Erhaltungssatz: wenn sich die Wahrscheinlichkeitsdichte in einem Bereich Œx; x C dx ändert, so ist das nur über einen Teilchenstrom möglich. Für eine ebene Welle .x; t/ D A exp.ikx  i!t/ wird

D jAj2 und J D „k=m D v; beide sind unabhängig von x und t. Wir können jetzt beweisen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit konstant ist. Wenn man die Kontinuitätsgleichung über den ganzen Raum integriert, so folgt @ @t

C1 C1 Z Z @J dx D J.1/  J.C1/ :

.x; t/ dx D  @x

1

1

Wegen .x; t/ ! 0 und @ =@x ! 0 für x ! ˙1 gilt J.˙1/ D 0. Also ist die zeitliche Ableitung des Integrals null, und es gilt C1 C1 Z Z

.x; t/ dx D

.x; 0/ dx D 1 1

für jeden Wert von t.

1

198

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

B.3 Der Potentialtopf mit endlicher Tiefe In diesem Fall ist es zweckmäßig, das Potential symmetrisch zu x D 0 anzuordnen, weil dann die Eigenfunktionen entweder gerade oder ungerade Funktionen von x sind. Auf diese Weise braucht man nur eine Randbedingung zu betrachten. Wir wählen also V .x/ D V0 für  b  x  b V .x/ D 0 für jxj > b :

.b D a=2/ (B.6)

Innerhalb des Topfes erhalten wir eine Cosinusfunktion (gerade) oder Sinusfunktion (ungerade). Zunächst werden nur die geraden Lösungen betrachtet. Das Teilchen soll sich im Potentialtopf befinden, die Energie ist also negativ (V0 < E < 0). Die Schrödinger-Gleichung lautet für jxj < b D a=2 : p 2m.E C V0 / d2 1 2 : C k 1 D 0 mit k D dx 2 „ Wir machen den Lösungsansatz: 1 .x/

D A cos.kx/ :

Außerhalb des Topfes (x > b) lautet die Schrödinger-Gleichung p d2 2 2mjEj 2  ˛ 2 D 0 mit ˛ D 2 dx „ mit der allgemeinen Lösung 2 .x/

D Be˛x C C eC˛x :

Für x ! 1 muss gegen null gehen, daher ist C D 0. Die Stetigkeit von und 0 bei x D b führt zu den Gleichungen A cos.kb/ D Be˛b A k sin.kb/ D B ˛e˛b : Dividieren wir die zweite Gleichung durch die erste, so folgt tan.kb/ D

˛ : k

(B.7)

Dies ist eine Bestimmungsgleichung für die Energie, denn k und ˛ sind beide Funktionen der Energie. Zur Lösung erweist es sich als zweckmäßig, zwei neue Größen einzuführen: p b 2mV0 : u D kb ; u0 D „

B.3 Der Potentialtopf mit endlicher Tiefe

199

p Abb. B.2 Grafische Lösung der Gleichungen f .u/ D .u0 =u/2  1 D tan u (blaue Schnittp punkte) und f .u/ D .u0 =u/2  1 D 1= tan u (grüne Schnittpunkte)

Damit wird aus (B.7) tan u D Für die ungeraden Wellenfunktionen 

p .u0 =u/2  1 : 1 .x/

D A sin.kx/ findet man analog

p 1 D .u0 =u/2  1 : tan u

Es gibt keine analytischen Lösungen dieser transzendenten Gleichungen, man ist auf grafische oder numerische Methoden angewiesen. In Abb. B.2 werden die p Schnittpunkte der Funktion f .u/ D .u0 =u/2  1 mit den Funktionen tan u und 1= tan u gezeigt. Man kann die obigen Gleichungen auch umschreiben in j cos uj D u=u0 ; wobei die Nebenbedingung tan.u/ > 0 einzuhalten ist. Für die ungeraden Wellenfunktionen 1 .x/ D A sin.kx/ findet man j sin uj D u=u0 mit der Nebenbedingung tan u < 0. Die grafischen Lösungen werden in Abb. B.3 gezeigt. Wie man sieht, gibt es nur endlich viele Schnittpunkte, also endlich viele Energieniveaus. Für einen Topf der Tiefe V0 D 10 eV und der Breite a D 1 nm sind die Wellenfunktionen und die zugehörigen Energieniveaus des Elektrons in Abb. 3.2 aufgetragen.

200

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

Abb. B.3 Grafische Lösung der Gleichungen c.u/ D j cos uj D u=u0 (mit der Nebenbedingung tan u > 0) und s.u/ D j sin uj D u=u0 (Nebenbedingung tan u < 0) zur Bestimmung der Energieniveaus. Blaue Kurve: Funktion c.u/, grüne Kurve: Funktion s.u/. Die Bereiche, in denen tan u < 0 ist, sind schattiert. Die Schnittpunkte der Kurven mit der Geraden u=u0 sind gekennzeichnet

B.4 Der kreisförmige Potentialtopf Abbildung 1.13 in Kap. 1 zeigt eine stehende Elektronenwelle innerhalb eines Kreises von Eisenatomen, die mit einem Rastertunnelmikroskop abgetastet wurde. Um diese experimentelle Beobachtung zu erklären, betrachten wir als Modell einen zweidimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden und kreisförmiger Grundfläche. Das Potential habe die Form p V .r/ D 0 für r D x 2 C y 2 < R V .r/ ! 1

für r  R :

(B.8)

Die zweidimensionale Schrödinger-Gleichung schreiben wir unter Benutzung von Gl. (A.42) in Zylinderkoordinaten um 

„2 2me



@2 @2 C @x 2 @y 2

 D

„2 2me



1 @2 @2 1@ C C @r 2 r @r r 2 @' 2

 DE

.r; '/ :

Diese Gleichung gilt im Bereich 0  r < R. Wir suchen nun eine zylindersymmetrische Lösung, bei der also die Wellenfunktion nur vom Radius r, aber nicht vom Azimutwinkel ' abhängt. Es ist zweckmässig, eine Hilfsfunktion f .u/ einzuführen: .r/ D f .u/

mit u D k r ;

p 2me E : kD „

B.4 Der kreisförmige Potentialtopf

201

1

J0(u) 0.5

0

0.5

0

5

10

15

u

20

Abb. B.4 Die Besselfunktion J0 .u/. Die Nullstellen sind durch blaue Punkte markiert

Aus der Schrödinger-Gleichung (B.9) ergibt sich folgende Differentialgleichung für f .u/ d2 f 1 df C f .u/ D 0 : (B.9) C du2 u du Dies ist eine spezielle Form der Bessel’schen Differentialgleichung, deren Lösung die Form f .u/ D A J0 .u/ hat mit der Besselfunktion nullter Ordnung J0 .u/. Die Wellenfunktion muss am Rand des Topfes verschwinden, da dort das Potential unendlich groß ist. Wir erhalten somit die Randbedingung .R/ D A J0 .k R/ D 0 :

(B.10)

Die Besselfunktion J0 .u/ wird in Abb. B.4 gezeigt. Ihre ersten sechs Nullstellen sind u1 D 2;405; u2 D 5;520; u3 D 8;654; u4 D 11;792; u5 D 14;931; u6 D 18;071 : Wie beim 1D-Potentialtopf sind die Wellenzahlen und Energien quantisiert: kn D

un ; R

En D

„2 kn2 : 2me

(B.11)

Die Eigenfunktionen n .r/

D An J0 .kn r/

(B.12)

und die Energieniveaus werden in Abb. B.5 gezeigt. Für zwei Wellenfunktionen werden die Wahrscheinlichkeitsdichten in Abb. B.6 in einer perspektivischen Darstellung gezeigt. Sie gleichen den Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran. Durch Überlagerung verschiedener Eigenzustände kann man die stehende Elektronenwelle in Abb. 1.13 nachbilden.

202

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

Abb. B.5 Die Besselfunktionen J0 .kn r/ und die zugehörigen Energieniveaus eines Elektrons in einem kreisförmigen Potentialtopf

Abb. B.6 Die Wahrscheinlichkeitsdichten eines Elektrons in einem kreisförmigen Potentialtopf

B.5 Der 3D-Potentialtopf und die Zustandsdichte B.5.1 Zustandsdichte für massive Teilchen Ein Gas sei in einen würfelförmigen Kasten mit der Kantenlänge L eingesperrt. Im Innern des Kastens sind die Teilchen frei beweglich, wir dürfen also das Potential V D 0 setzen. Die Tatsache, dass die Teilchen nicht aus dem Kasten entweichen können, berücksichtigen wir dadurch, dass wir an den Wänden V ! 1 gehen lassen. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet   „2 @2 @2 @2 D E .x; y; z/ (B.13)  C C 2m @x 2 @y 2 @z 2 mit den Randbedingungen .0; y; z/ D

.x; 0; z/ D

.x; y; 0/ D 0 ;

B.5 Der 3D-Potentialtopf und die Zustandsdichte

.L; y; z/ D

.x; L; z/ D

203

.x; y; L/ D 0 :

Die Lösungen sind stehende Wellen r !3 2 .x; y; z/ D sin.k1 x/ sin.k2 y/ sin.k3 z/ : L

(B.14)

Für die Komponenten des Wellenvektors gilt kj D nj

 L

mit nj D 1; 2; 3; : : ::

(B.15)

Die Energie-Eigenwerte sind quantisiert ED

„2   2 2 „2 2 .k1 C k22 C k32 / D .n1 C n22 C n23 / : 2m 2m L

(B.16)

Die Kastenlänge L sei sehr groß im Vergleich zu atomaren Dimensionen. Dann liegen die Energie-Eigenwerte so nah beieinander, dass man die Energie als nahezu kontinuierliche Variable behandeln und eine Zustandsdichte definieren kann: g.E/ dE ist die Anzahl der Energieniveaus im Intervall ŒE; E C dE. Das Intervall ŒE; E C dE entspricht einem Intervall Œk; k C dk, das wir wie folgt berechnen q m „2 k 2 ) dk D 2 dE mit k D jkj D k12 C k22 C k32 : ED 2m „ k Im .k1 ; k2 ; k3 /-Raum bilden die gemäß Gl. (B.15) zulässigen .k1 ; k2 ; k3 /-Werte ein kubisches Gitter mit der Gitterkonstanten =L. Die Elementarzelle ist ein Würfel mit dem Volumen .=L/3 . Das Intervall Œk; k C dk entspricht einer Kugelschale im .k1 ; k2 ; k3 /-Raum, die ein Volumen 4k 2 dk hat. Die Zahl der Gitterpunkte in dieser Schale ist 4k 2 dk=.=L/3 . Da alle ki > 0 sind, dürfen wir aber nur ein Achtel der Kugelschale nehmen, d. h. wir müssen diese Zahl durch 8 dividieren. Außerdem ist es Konvention, auch noch durch das Volumen des Kastens zu dividieren (VKasten D L3 ). Die Zustandsdichte wird damit g.k/ dk D

k 2 k2 1 dk D dk : L3 2.=L/3 2 2

(B.17)

Nun benutzen wir dk D m=.„2 k/ dE und finden g.E/ dE D 2



m 3=2 p E dE : 2 2 „2

(B.18)

Diese Formeln gelten für Atome oder Teilchen mit Spin s D 0, für die jedes Energieniveau einfach ist. Das Elektronengas in einem Metall hat wegen der zwei Spineinstellungen der Elektronen eine doppelt so große Zustandsdichte.

204

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

B.5.2 Zustandsdichte für Photonen Um die Zustandsdichte eines Photonengases zu ermitteln, muss man die dreidimensionale Wellengleichung mit Randbedingungen lösen. In einem würfelförmigen Kasten mit spiegelnden Wänden ergeben sich für die elektrische Feldstärke stehende Wellen der Form sin.k1 x/ sin.k2 y/ sin.k3 z/

mit kj D nj

 ; L

die genau den stehenden „Materiewellen“ (B.14) entsprechen. Für Photonen ist der Zusammenhang zwischen Energie und Impuls anders als für Teilchen mit Masse: q E D „! D p c D „k c ; ! D k c D k12 C k22 C k32 c : Die Anzahl der .k1 ; k2 ; k3 /-Werte im Intervall Œk; k Cd k ist durch Gl. (B.17) gegeben, die wir allerdings noch mit einem Faktor 2 multiplizieren müssen, da es zwei unabhängige Polarisationsrichtungen gibt. Die Zustandsdichte im Frequenzbereich wird somit !2 (B.19) g.!/d! D 2 3 d! :  c

B.6 Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators Wir gehen aus von der Gleichung (3.14) 00

.u/  u2 .u/ C b .u/ D 0

und machen den Lösungsansatz

(B.20)

.u/ D H.u/ exp.u2 =2/, wobei

H.u/ D a0 C a1 u C a2 u2 C : : : eine Potenzreihe ist. Dies ist erlaubt, weil jede Lösung der Schrödinger-Gleichung als Potenzreihe dargestellt werden kann. Durch Einsetzen in (B.20) erhält man die Differentialgleichung H 00  2uH 0 C .b  1/H D 0 : Einsetzen der Potenzreihe und Sortieren nach Potenzen von u führt auf die Formeln 2a2 C .b  1/ a0 D 0 ;

6a3 C .b  3/ a1 D 0 ;

12a4 C .b  5/ a2 D 0 ;

20a5 C .b  7/ a3 D 0 ;

:::

:::

(B.21)

B.6 Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

205

Zwei der Koeffizienten (etwa a0 und a1 ) sind frei wählbar, da eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen hat. Die anderen Koeffizienten ergeben sich dann aus obigen Bedingungen, die man allgemein schreiben kann als  .b  1  2`/ a`C2 D (B.22) a` ; ` D 0; 1; 2; 3; : : : .` C 1/ .` C 2/ Wir wollen zeigen, dass diese Reihe aus physikalischen Gründen abbrechen muss, mit anderen Worten, dass die Funktionen H.u/ Polynome sind. Wenn nämlich die Reihe unendlich wäre, so ergäbe sich asymptotisch folgendes Verhältnis der Koeffizienten 2 a`C2 für ` ! 1 : ! a` ` Ein solche Verhältnis hat die Potenzreihenentwicklung der Funktion exp.Cu2 /. Die Wellenfunktion H.u/ exp.u2 =2/ wäre dann proportional zu exp.Cu2 =2/ und würde für juj ! 1 divergieren, was physikalisch unakzeptabel ist. Die Reihe bricht genau dann bei einer bestimmten Potenz ab, wenn der Parameter b gleich einer ungeraden natürlichen Zahl ist: b D 2n C 1

n D 0; 1; 2; 3; : : :

Die Serie der Koeffizienten a` endet dann bei ` D n. Bei geradem n kann man durch Wahl von a1 D 0 alle Koeffizienten mit ungeradem Index zu null machen, bei ungeradem n werden durch die Wahl a0 D 0 alle Koeffizienten mit geradem Index zu null gemacht. Dies ist eine interessante Beobachtung: die Polynome H.u/ enthalten entweder immer nur gerade Potenzen von u oder immer nur ungerade Potenzen. Der physikalische Grund dafür ist die Symmetrie des Potentials V .x/ D C2 x 2 zu x D 0, die Wellenfunktionen sind deswegen entweder gerade oder ungerade Funktionen von x: .x/ D ˙ .x/ : Die Bedingung b D 2n C 1 führt zu den diskreten Energie-Eigenwerten En D .n C 1=2/ „!

n D 0; 1; 2; 3; : : :

Die normierten Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators lauten r  m ! 1=4 1 m! 2 x Hn .u/ exp.u =2/ ; u D p n .x/ D n „ „ 2 nŠ mit

(B.23)

206

B Ergänzungen zu Kap. 1, 2 und 3

H0 .u/ D 1

H1 .u/ D 2u ;

H2 .u/ D 4u  2

H3 .u/ D 8u3  12u ;

2

:::

:

B.7 Gaußförmiges Wellenpaket Da die Fouriertransformierte einer Gaußfunktion ebenfalls eine Gaußfunktion ist, wählen wir zur Beschreibung eines Teilchens mit Impuls p0 D „k0 eine Amplitudenfunktion der Form ! ! 2 / .k  k0 /2 .k  k 0 A.k/ D A0 exp  ; jA.k/j2 D A20 exp  : 4k2 2k2 Wegen p D „k ist der k-Raum identisch mit dem Impulsraum (Anhang C.3). Die Ortsraum-Wellenfunktion zum Zeitpunkt t D 0 erhalten wir durch Fouriertransformation der Amplitudenfunktion A.k/:    

x2 x2 .x; 0/ exp x 2 k2  exp  2 ; j .x; 0/j2 exp  2 : 4x 2x Es ist zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeitsamplituden .x; 0/ und A.k/ durch Fouriertransformation miteinander verknüpft sind, nicht aber die Wahrscheinlichkeitsdichten j .x; 0/j2 und jA.k/j2 . Daraus folgt die wichtige Beziehung zwischen den Varianzen im Ortsraum und k-Raum: x2 D

1 : 4 k2

(B.24)

Für ein bewegtes Elektron mit Impuls p0 D „k0 wird das Wellenpaket aus ebenen Wellen gebildet, deren Wellenzahlen k nahe bei k0 liegen: k D k0 C 

mit jj  k0 :

Die (Kreis)-Frequenz wird !.k/ D

„ 2 k D !0 C ˛ .2k0  C  2 / 2me

mit ˛ D

„ ; 2me

!0 D ˛k02 :

Die Wellenfunktion (3.29) eines bewegten Elektrons kann damit wie folgt umgeschrieben werden ! C1 Z 2 2 i k0 xi !0 t exp  2 ei xi ˛ .2k0 C /t d : .x; t/ D A0 e 4 k 1

Die zeitabhängige Wahrscheinlichkeitsdichte wird

B.7 Gaußförmiges Wellenpaket

ˇ C1 ˇ2 ! ˇZ ˇ 2 ˇ ˇ  2 2 ˇ i xi ˛ .2k0 C /t

.x; t/ D A0 ˇ exp  2 e d ˇˇ : 4 k ˇ ˇ

207

(B.25)

1

Diese Formel eignet sich für die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte .x; t/ D j .x; t/j2 durch numerische Integration, siehe Aufgabe 9.3.

Anhang C

Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

C.1 Selbstadjungierte Operatoren C.1.1 Ortsraum Zu einem Operator b A definiert man den adjungierten Operator b A durch die Gleichung C1 C1 Z Z  b  .x/.A .x// dx D .b A .x// .x/ dx : (C.1) 1

1

b gilt. Die EigenEin Operator heißt selbstadjungiert oder hermitesch, wenn b A D A und Erwartungswerte eines selbstadjungierten Operators b A sind reell. Es gilt nämlich hj b A i D hb Aj i (C.2) oder mit Integralen geschrieben C1 C1 Z Z   .x/.b A .x// dx D .b A.x// .x/ dx : 1

(C.3)

1

Setzt man in diese Beziehung  D ein, so erkennt man sofort, dass die Eigen- und Erwartungswerte reell sind. Da Observable grundsätzlich reelle Messwerte haben müssen, stellt man das Postulat auf, dass alle Operatoren der Quantenmechanik selbstadjungiert sind. Der Hamilton- und Ortsoperator sind beide reell und daher auch selbstadjungiert. Um diese Eigenschaft für den Impulsoperator nachzuweisen, muss man Gleichung (4.22) partiell integrieren

209

210 C1 Z

1

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5 

 @ dx D i„ .x/.i„/ @x „



C1  Z @ i„ .x/ .x/ 1 C .x/ dx : @x ƒ‚ …

C1

0

1

Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet wegen Somit ist Gleichung (C.1) erfüllt.

.x/ ! 0 für jxj ! 1.

C.1.2 Spinraum Einen Spinzustand können wir entweder als Dirac-ket-Vektor oder als Spaltenvektor schreiben:   a j i D ; b wobei a und b komplexe Zahlen sind. Der zugehörige bra-Vektor ist ein Zeilenvektor mit den konjugiert komplexen Koeffizienten

h j D a b  ; (C.4) und das Skalarprodukt ist das Matrixprodukt des Zeilen- und des Spaltenvektors    

a h j i D a b  D jaj2 C jbj2 : b Die Normierung bedingt dann jaj2 C jbj2 D 1. Die Operatoren sind 2 2-Matrizen mit komplexen Koeffizienten:   a11 a12 b AD : a21 a22 Den adjungierten Operator erhält man durch Transponieren der Matrix (Spiegeln an der Hauptdiagonalen) und Übergang zum konjugiert Komplexen:     a11 a21 b A D : (C.5)   a12 a22 Es ist leicht zu sehen, dass alle Spinoperatoren selbstadjungiert sind. Wichtig ist noch, dass sich bei der Bildung der Adjungierten eines Matrixprodukts die Reihenfolge der Faktoren ändert, z. B. 

a11 a12 a21 a22

      

a a11 a21  : D a b     a12 a22 b

(C.6)

C.2 Gleichzeitige Messbarkeit

211

C.2 Gleichzeitige Messbarkeit Ein grundlegendes Theorem der Quantenmechanik lautet: Zwei physikalische Größen (Observable) können genau dann gleichzeitig präzise Werte annehmen, wenn die zugehörigen Operatoren vertauschbar sind, und das wiederum ist gleichbedeutend damit, dass die beiden Operatoren einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen haben. b Um dies Theorem zu beweisen, betrachten wir zuerst zwei Operatoren b A und B, die einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen n besitzen. Wir wollen zeigen, dass diese Operatoren dann notwendigerweise kommutieren. Es gelte also b A

n

D an

n

b B

;

n

D bn

für alle n :

n

.x/ können wir nach dem vollständigen System entwi-

Eine beliebige Funktion ckeln

X

.x/ D

cn

n .x/ :

n

Anwenden der Operatoren ergibt: X X b b /Db b nDb A.B A cn B A cn bn n

n

D

n

und entsprechend b.b B A /D

X

X

cn .bn an /

n

n

cn .an bn /

n

:

n

Für eine beliebige Funktion

.x/ gilt demnach

bB bb .b AB A/

D0

b D 0; Œb A; B

)

d. h. die Operatoren sind vertauschbar. Damit ist natürlich auch bewiesen, dass nicht vertauschbare Operatoren keinen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen besitzen1 . Im zweiten Schritt muss die Umkehrung gezeigt werden, dass nämlich vertauschbare Operatoren einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen A besitzen. Seien die n die Eigenfunktionen des Operators b b A

1

n

D an

n

:

Die Betonung liegt hier auf dem Wort vollständig. Es kann durchaus vorkommen, dass gewisse Funktionen gemeinsame Eigenfunktionen nicht vertauschbarer Operatoren sind. Als Beispiel betrachten wir die Eigenfunktionen n;l;m .r; ; / des Wasserstoffatoms, siehe Kap. 6. Für l D 0 und m D 0 sind sie sowohl Eigenfunktionen von b Lz als auch von b Lx und b Ly , obwohl die Komponenten des Drehimpulsoperators nicht untereinander vertauschbar sind. Allerdings sind die Lz . n;l;m mit l ¤ 0 nur noch Eigenfunktionen von b

212

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

Zur Vereinfachung nehmen wir hier an, dass die Eigenwerte an alle verschieden b auf eine beliebige dieser Eigensind (keine Entartung). Jetzt wird der Operator B funktionen angewandt: b n: n D B Es ist nun leicht zu sehen, dass n ebenfalls eine Eigenfunktion von b A ist: b b An D b AB

n

bb DB A

n

b D an B

n

D an n :

Hier ist die Vertauschbarkeit der Operatoren benutzt worden. Es gilt also in der Tat: b An D an n . Da wir vorausgesetzt haben, dass alle Eigenwerte verschieden sind, darf sich n nur durch einen konstanten Faktor von n unterscheiden: n D bn n . Daraus sehen wir b n D bn n B für alle n, mit anderen Worten, alle Eigenfunktionen n von b A sind auch Eigenb funktionen von B. Im Fall der Entartung wird der Beweis komplizierter, es ist aber möglich, einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen zu konstruieren, siehe etwa [27].

C.3 Orts- und Impulsraum Wir haben schon bei der Diskussion der Wellenpakete gesehen, dass das Fourierintegral eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik spielt. Das soll jetzt noch weiter analysiert werden. Die Fouriertransformierte existiert für jede Funktion f .x/, die quadrat-integrabel ist, d. h. für die das Integral C1 Z jf .x/j2 dx 1

einen endlichen Wert hat. Gemäß Anhang A.4.2 lauten die Fourierdarstellung einer Funktion f .x/ und ihre Umkehrung 1 f .x/ D p 2

Z1 1

fQ.k/eikx dk ;

1 fQ.k/ D p 2

Z1

f .x/eikx dx :

1

In p der Quantentheorie gilt k D p=„. Setzen wir f .x/ D „ .p/, so ergibt sich

.x/ und fQ.k/ D

C.3 Orts- und Impulsraum

213

C1   Z ipx dp ; .x/ D p .p/ exp „ 2„

1

1

.p/ D p

C1 Z

1 2„

1

  ipx dx : .x/ exp  „

(C.7)

Wir nennen .p/ die Impulsraum-Wellenfunktion. Wenn man die Ortsraum-Wellenfunktion .x/ kennt, kann man die Impulsraum-Wellenfunktion .p/ mit Hilfe des Fourierintegrals berechnen und umgekehrt. Beide Funktionen sind auf 1 normiert: C1 C1 Z Z 2 j .x/j dx D 1 ; j.p/j2 dp D 1 : (C.8) 1

1

Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation kann auch auf den Impulsraum angewandt werden. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit einem Impuls zwischen p und p C dp zu finden, ist w.p/ dp D j.p/j2 dp :

(C.9)

Der Erwartungswert des Impulsoperators wird im Ortsraum gemäß Gl. (4.22) berechnet C1 Z @  dx : .x/.i„/ hb pi D @x 1

.x/ ein, so folgt

Setzt man die Fourierdarstellung für i„ hb p i D p 2„

C1 Z

1

3 2 C1 Z @.exp.ipx=„//  dp 5 dx .x/ 4 .p/ @x 1

2 C1 C1 Z Z 4p 1 D 2„ 1



 .x/ exp

1

ipx „



3 dx 5 p .p/ dp

C1 C1 Z Z  D  .p/ p .p/ dpx D p j.p/j2 dp : 1

(C.10)

1

Diese letzte Zeile zeigt, dass man den Mittelwert des Impulses erhält, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum.

214

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

c in einem Zentralpotential C.4 Rotationsinvarianz von H In einem Zentralpotential V D V .r/ ist der Hamilton-Operator b D„  H 2m 2



@2 @2 @2 C 2C 2 2 @x @y @z

 C V .r/

(C.11)

rotationsinvariant. Um dies nachzuweisen, betrachten wir eine Rotation um die zAchse. x 0 D x cos ' C y sin ' ; y 0 D x sin ' C y cos ' ; z0 D z

x D x 0 cos '  y 0 sin ' ; y D x 0 sin ' C y 0 cos ' ; :

(C.12)

Es ist leicht zu sehen, dass die Länge des Ortsvektors in beiden Koordinatensystemen gleich ist (anschaulich ist das evident): r 0 2 D .x cos ' C y sin '/2 C .x sin ' C y cos '/2 C z 2 D x 2 .cos2 ' C sin2 '/ C y 2 .cos2 ' C sin2 '/ C z 2 D r 2 : Im rotierten System lautet der Hamilton-Operator  2  @ „2 @2 @2 0 b  H D C 02 C 02 C V .r 0 / 2m @x 02 @y @z

(C.13)

Das Potential V .r/ D V .r 0 / ist offensichtlich rotationsinvariant. Die Ableitung der Wellenfunktion nach den neuen Koordinaten wird mit Hilfe der Kettenregel berechnet @ @ @ @x @ @y @ C sin ' : D C D cos ' @x 0 @x @x 0 @y @x 0 @x @y Daraus folgt   @2 @ 2 @2 @2 @ C sin ' C C D cos ' @x 02 @y 02 @z 02 @x @y   @ @ 2 C  sin ' C cos ' @x @y D b bewiesen. b0 D H Damit ist H

@2 @2 @2 C C : @x 2 @y 2 @z 2

C

@2 @z 2 (C.14)

C.6 Der Drehimpuls in Kugelkoordinaten

215

C.5 Vertauschbarkeit von Hamilton- und Drehimpulsoperator Bei einem Zentralpotential ist der Hamilton-Operator rotationsinvariant, man sollte b kommutiert. Dies ist in der Tat der Fall, es gilt b mit L daher vermuten, dass H b; b b; b b; b ŒH Lx  D Œ H Ly  D Œ H Lz  D 0 :

(C.15)

Wir beweisen diese Relation für die z-Komponente und betrachten zuerst den V .r/Term.   @V @V b Lz V .r/  V .r/b : y Lz D i„ x @y @x Wegen @V y @V @V x @V D ; D @y @r r @x @r r ist die eckige Klammer null. Für den Operator der kinetischen Energie machen wir folgende Rechnung  2    2   @ @ @ @ @ @ @2 @2 y  y  x x C C @y @x @x 2 @y 2 @x 2 @y 2 @y @x      @ @ @ @ D  D 0: @x @y @y @x b und b Da H Lz kommutieren, kann man gemeinsame Eigenfunktionen finden. b. Aus Symmetriegründen vertauschen auch b Lx und b Ly mit H

C.6 Der Drehimpuls in Kugelkoordinaten Aus der Verknüpfung zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten x D r sin  cos ' ;

y D r sin  sin ' ;

z D r cos 

folgt für die Differentiale dx D sin  cos ' dr C r cos  cos ' d  r sin  sin ' d' ; dy D sin  sin ' dr C r cos  sin ' d C r sin  cos ' d' ; dz D cos  dr  r sin  d : Man kann daraus die Differentiale der Kugelkoordinaten berechnen:

(C.16)

216

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

dr D sin  cos ' dx C sin  sin ' dy C cos  dz ; 1 d D .cos  cos ' dx C cos  sin ' dy  sin  dz/ ; r 1 d' D . sin ' dx C cos ' dy/ : r sin 

(C.17)

Die partiellen Ableitungen werden wie folgt umgerechnet: @ @r @ @ @ @' @ D C C : @x @x @r @x @ @x @' Das Ergebnis ist @ @ cos  cos ' @ sin ' @ D sin  cos ' C  ; @x @r r @ r sin  @' @ @ cos  sin ' @ cos ' @ D sin  sin ' C C ; @y @r r @ r sin  @' @ @ sin  @ D cos   : @z @r r @

(C.18)

Mit den Formeln (C.18) kann man die Drehimpuls-Operatoren in Kugelkoordinaten umrechnen. Das wird für b Lz vorgeführt. Schreiben wir diesen Operator in der Form     @ @ @ @ @ b D i„ cr ; y C c C c' Lz D i„ x @y @x @r @ @' so sind die Koeffizienten cr D r sin  cos ' sin  sin '  r sin  sin ' sin  cos ' D 0 ; c D r sin  cos ' cos  sin '=r  r sin  sin ' cos  cos '=r D 0 ; c' D r sin  cos ' cos '=.r sin /  r sin  sin ' . sin '=.r sin // D cos2 ' C sin2 ' D 1 : b2 berechnet man entsprechend. Das Resultat ist Die x- und y-Komponenten und L     @ @ @ @ b b  cos ' cot  ; Ly D i„ cos '  sin ' cot  ; Lx D i„  sin ' @ @' @ @'    2 @ @2 1 @ 1 @ 2 b b Lz D i„ ; L D „ sin  : (C.19) C @' sin  @ @ sin2  @' 2

C.7 Ergänzungen zur Drehimpulsalgebra

217

C.7 Ergänzungen zur Drehimpulsalgebra Wertebereich der magnetischen Quantenzahl Wie groß bzw. wie klein kann die magnetische Quantenzahl m werden? Behauptung: mmax D Cj ;

mmin D j :

Zuerst wird gezeigt, dass m2  j.j C 1/ sein muss. Dazu berechnet man den b 2 im Zustand j j; mi auf zwei Weisen: Erwartungswert von J

b 2 , daher gilt (1) j j; mi ist ein Eigenzustand von J

b 2 j j; mi D j.j C 1/„2 : b 2 i  hj; mjJ hJ 2

b Db J x2 C b J y2 C b J z2 und bedenken, dass j j; mi ein Eigenzustand (2) Wir schreiben J von b J z ist mit dem Eigenwert m „. Daraus folgt 2

b i D hb hJ J x2 i C hb J y2 i C hb J z2 i D hb J x2 i C hb J y2 i C m2 „2  m2 „2 : Die Ungleichung gilt, weil die Erwartungswerte hb J x2 i  0 und hb J y2 i  0 sind. Wegen m2  j.j C 1/ gibt es einen maximalen Wert m D mmax . Wendet man den Aufsteigeoperator auf j j; mmax i an, so muss null herauskommen, da andernfalls ein Zustand mit m > mmax existieren würde. b J C j j; mmax i D 0 : Um zu zeigen, dass mmax D j ist, betrachten wir den Operator 2 b Jb JC D b J b J z2  „b Jz

und berechnen seinen Erwartungswert im Zustand j j; mmax i, und zwar auch wieder auf zwei Weisen. (1) hj; mmax jb J C j j; mmax i D 0 wegen b J b J C j j; mmax i D 0. 2 2 b b b (2) hj; mmax jJ  J z  „J z j j; mmax i D Œj.j C 1/  mmax .mmax C 1/„2 . Damit ist bewiesen, dass mmax D j ist. Entsprechend kann bewiesen werden, dass für das minimale m gilt mmin D j : Die Quantenzahl m nimmt somit folgende Werte an: m D j; j C 1; : : : C j :

(C.20)

218

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

Berechnung der Koeffizienten C˙ .j; m/ Die Anwendung eines Aufsteige-Operators auf einen Zustand j j; mi erhöht die Quantenzahl m um 1. b J C j j; mi D CC .j; m/j j; m C 1i : Um die Koeffizienten CC .j; m/ zu bestimmen, definieren wir den ket-Vektor ji D b J C j j; mi D CC .j; m/j j; m C 1i und berechnen seine Norm auf zwei Weisen: (1) hj i D .CC .j; m//2 hj; m C 1j j; m C 1i D .CC .j; m//2 ; b2  b J C j j; mi D hj; mj.J J z2  „b J z /j j; mi (2) hj i D hj; mjb J b D j.j C 1/„2  m2 „2  m„2 : Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Koeffizienten C˙ .j; m/ reelle Zahlen sind und dass b JC D .b J x Cib J y/ D b J x ib Jy D b J  ist. Durch Vergleich von (1) und (2) ergibt sich p (C.21) CC .j; m/ D „ j.j C 1/  m.m C 1/ : Mit einer entsprechenden Rechnung findet man p C .j; m/ D „ j.j C 1/  m.m  1/ :

(C.22)

Die Koeffizienten haben die Eigenschaft CC .j; mmax / D 0 und C .j; mmin / D 0, so dass in der Tat mmax D Cj der maximale m-Wert ist und mmin D j der minimale.

C.8 Addition von zwei Spins 1=2 b2 mit dem Wir wollen zeigen, dass die Spintriplettzustände Eigenzustände von S Eigenwert 2„2 sind. Dazu schreiben wir den Operator um: b1 C S b 2 /2 D S b2 C S b 2 C 2S b1  S b2 b 2 D .S S 1 2 2

2

b1 C S b2 C b S 2 C b S 2C C 2b S 2z : DS S 1Cb S 1 b S 1z b b2 auf j *i1 j *2 i angewandt. Wegen Jetzt wird S b S 2 j *i1 j *i2 D b S j *i D 0 S 1Cb S j *i b „ 1Cƒ‚ …1 2 0

S 2C j *i1 j *i2 D 0 und b S 1 b

C.9 Addition von Bahndrehimpuls und Spin

219

folgt b2 C S b2 C 2b b2 j *i1 j *i2 D ŒS S 1z b S S 2z j *i1 j *i2 D 2„2 j *i1 j *i2 : 1 2 Interessant wird der Zustand j1; 0i. Unter Benutzung der Regeln b S 2 j *i1 j +i2 D 0 S 1Cb

b S 2 j +i1 j *i2 D „2 j *i1 j +2 i S 1Cb

b S 1b S 2C j +i1 j *i2 D 0

b S 2C j *i1 j +i2 D „2 j +i1 j *i2 S 1 b

folgt S 2 C b S 2C .j *i1 j +i2 C j +i1 j *i2 / D „2 .j *i1 j +i2 C j +i1 j *i2 / Œb S 1Cb S 1 b Insgesamt ergibt sich b2 .j *i1 j +i2 C j +i1 j *i2 / D .3=2 C 1  1=2/„2.j *i1 j +i2 C j +i1 j *i2 / S D 2„2 .j *i1 j +i2 C j +i1 j *i2 / : Für den Singulettzustand j0; 0i gilt hingegen S 2 C b S 2C .j *i1 j +i2 j +i1 j *i2 / D „2 .j *i1 ; j +i2 j +i1 j *i2 / Œb S 1Cb S 1b und daher b2 .j *i1 j +i2 j +i1 j *i2 / D .3=211=2/„2.j *i1 j +i2 j +i1 j *i2 / D 0 : S

C.9 Addition von Bahndrehimpuls und Spin Es wird das Beispiel l D 1 betrachtet. Wir beginnen mit dem Zustand jj; mj i D j3=2; 3=2i, der eine eindeutige Darstellung durch die Eigenzustände der Bahndrehimpuls- und Spin-Operatoren hat (vgl. Abb. 5.6) j3=2; 3=2i D j1; 1i  j1=2; 1=2i  Y1;1   : Nun wird der Aufsteigeoperator angewandt b J C j3=2; 3=2i D .b LC j1; 1i/  j1=2; 1=2i C j1; 1i  .b S C j1=2; 1=2i/ p p „ 3 j3=2; 1=2i D „ 2 j1; 0i  j1=2; 1=2i C „j1; 1i  j1=2; C1=2i : Daraus folgt r j3=2; 1=2i D

2 j1; 0ij1=2; 1=2i C 3

r

1 j1; 1i/j1=2; C1=2i : 3

220

C Ergänzungen zu Kap. 4 und 5

Wendet man b J C noch einmal an, so ergibt sich r r 1 2 j1; 1ij1=2; 1=2i C j1; 0ij1=2; C1=2i j3=2; C1=2i D 3 3 und schließlich b J C j3=2; C1=2i D

p p 3 j3=2; C3=2i D 3 j1; C1i j1=2; C1=2i :

Die beiden Zustände mit j D 1=2 sind orthogonal zu den Zuständen j3=2; C1=2i und j3=2; 1=2i: r r 2 1 j1=2; C1=2i D j1; 1i j1=2; 1=2i  j1; 0i j1=2; C1=2i ; 3 3 r r 1 2 j1; 0i j1=2; 1=2i  j1; 1i j1=2; C1=2i : j1=2; 1=2i D 3 3

Anhang D

Ergänzungen zu Kap. 6, 7 und 8

D.1 Die Radialgleichung des H-Atoms Die Differentialgleichung für die Radialfunktion R.r/ des H-Atoms lautet   2me r 2 dR d r2  ŒV .r/  E R  l.l C 1/R D 0 : dr dr „2

(D.1)

Wir führen eine Hilfsfunktion u.r/ D rR.r/ ein. Es gilt dann   d2 u d dR r2 Dr 2 ; dr dr dr und daher wird die Differentialgleichung für u.r/   „2 d 2 u „2 l.l C 1/  u D E u: C V .r/ C 2me dr 2 2me r 2

(D.2)

Dies entspricht der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung mit einem effektiven Potential „2 l.l C 1/ Veff .r/ D V .r/ C : (D.3) 2me r 2 Der zweite Term ist eine Rotationsenergie und wird, etwas unpräzise, „Zentrifugalterm“ genannt. Im H-Atom gilt V .r/ D 

e2 ; 4"0 r

und die Gleichung (D.2) wird   „2 l.l C 1/ e2 „2 d 2 u C u D E u: C   2me dr 2 4"0 r 2me r 2

(D.4)

221

222

D Ergänzungen zu Kap. 6, 7 und 8

Abb. D.1 Das Coulomb-Potential und das effektive Potential für l D 1

Das effektive Potential für l D 1 wird in Abb. D.1 mit dem Coulomb-Potential verglichen. Für große Abstände gilt: Veff .r/ ! 0. Gebundene Zustände sind durch eine Energie E < 0 gekennzeichnet, ungebundene (freie) Zustände haben E > 0. Das ist ähnlich wie im Sonnensystem: die Planeten sind an die Sonne gebunden und durchlaufen Ellipsenbahnen, ein Meteor, der mit hoher Geschwindigkeit aus dem Weltall kommt, ist nicht gebunden. Er durchläuft eine Hyperbelbahn im Gravitationsfeld der Sonne und entweicht wieder in das Weltall. Wir sind an gebundenen Zuständen interessiert und setzen also E < 0 voraus. Zur Vereinfachung der Gl. (D.4) ist es zweckmässig, folgende Größen einzuführen [2] p 2me jEj me e 2 ; D  r ; 0 D : (D.5) D „ 2"0 „2  Damit wird aus der Radialgleichung   d2 u l.l C 1/

0 C u D 0:  1 d 2

2

(D.6)

Um die Lösungen zu finden, betrachten wir zunächst die Grenzfälle sehr großer und sehr kleiner Abstände. Im Limes ! 1 wird aus (D.6) d2 u Du d 2

u e˙ :

)

Wegen der Bedingung u.1/ D 0 ist die asymptotische Lösung u. / D e Im Limes ! 0 dominiert der Term Gleichung ist dann

für  1 : l.lC1/ 2

d2 u l.l C 1/ D u d 2

2

)

(wir setzen hier l > 0 voraus), die

u lC1 :

D.1 Die Radialgleichung des H-Atoms

223

Die beiden asymptotischen Formen werden jetzt kombiniert in dem folgenden Lösungsansatz der kompletten Differentialgleichung (D.6) u. / D lC1 e v. /

mit v. / D

1 X

cj j :

(D.7)

j D0

Jede Lösung der Gl. (D.6) lässt sich als Potenzreihe darstellen, daher bedeutet die Form (D.7) keine Einschränkung der Allgemeinheit. Der Vorteil der Abspaltung der Faktoren lC1 und exp. / liegt darin, dass dadurch die Bedingungen für die Koeffizienten cj der Potenzreihe einfacher werden. Durch Einsetzen in Gl. (D.6) bekommt man eine Differentialgleichung für die Potenzreihe v. /:

dv d2 v C Π0  2.l C 1/ v D 0 : C 2.l C 1  / 2 d

d

Einsetzen der Reihe liefert die folgende Rekursionsformel für die Koeffizienten cj C1 D

2.j C l C 1/  0 cj : .j C 1/.j C 2l C 2/

(D.8)

Ähnlich wie beim harmonischen Oszillator wollen wir nun zeigen, dass die Potenzreihe abbrechen muss, damit die Wellenfunktion nicht divergiert für ! 1. Für große j -Werte ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Koeffizienten 2 cj C1 :  cj j C1 2 Das Koeffizientenverhältnis j C1 tritt auch bei der Potenzreihenentwicklung der Funktion exp.2 / auf. Wenn also die Reihe nicht abbricht, verhält sich die Funktion u. / asymptotisch wie exp. /  exp.2 / D exp. / und divergiert für ! 1. Um dies zu vermeiden, müssen wir fordern, dass die Reihe bei einem maximalen j D jmax aufhört, d. h. dass cj D 0 ist für j > jmax . Es wird jetzt die wichtige Hauptquantenzahl n eingeführt durch die Gleichung

n D jmax C l C 1 :

(D.9)

Aus c.jmax C1/ D 0 folgt dann

0 D 2n : Dies ist eine Bestimmungsgleichung für die Energie. Benutzen wir Gl. (D.5) und den Bohr-Radius a0 D 4"0 „2 =.me e2 /, so wird  D 1=.na0 /, und die Energie ergibt sich zu E D En D 

„2 1 1 e2 D   2  2 2 2 4"0 a0 n 2 me a0 n

mit n D 1; 2; 3; : : : : (D.10)

224

D Ergänzungen zu Kap. 6, 7 und 8

Wir haben das fundamentale Resultat, dass die Schrödinger-Gleichung genau die Energieniveaus des Bohr’schen Atommodells wiedergibt. Aus der Rekursionsformel (D.8) und Gl. (D.9) wird klar, dass die Radialfunktionen von der Hauptquantenzahl n und der Bahndrehimpuls-Quantenzahl l abhängen, während die magnetische Quantenzahl m nicht eingeht. Die Funktion Rnl .r/ ist das Produkt der Exponentialfunktion exp.r=.n a0 // mit einem Polynom des Grades .n  1/ in der Variablen r=.n a0 /, dessen Koeffizienten mit der Rekursionsformel (D.8) berechnet werden. Sie sind in den Formeln (6.12) aufgelistet. Die Radialfunktionen sind – ebenso wie die Kugelfunktionen – auf 1 normiert und für gleiches l aber verschiedenes n orthogonal: Z1 Rnl .r/Rn0 l .r/r 2 dr D ınn0 :

(D.11)

0

Die Wellenfunktionen des H-Atoms nlm .r; ; '/

D Rnl .r/ Ylm .; '/

(D.12)

bilden ein vollständiges System von normierten und paarweise orthogonalen Eigenb des Wasserstoff-Atoms. funktionen des Hamiltons-Operators H Z1 h

nlm j

n0 l 0 m0 i

D

Rnl .r/Rn0 l 0 .r/r 2 dr 0

2 3 Z2 Z 

4 Ylm .; '/Yl 0 m0 .; '/ sin d 5 d' 0

0

D ınn0 ıl l 0 ımm0 :

(D.13)

Die Vollständigkeit bedeutet, dass man jede Lösung der zeitabhängigen SchrödingerGleichung des H-Atoms als Superposition der Eigenfunktionen darstellen kann. Wenn .r; ; '; t/ eine Lösung der Differentialgleichung i„

@ b DH @t

ist, gibt es eindeutig bestimmte komplexe Koeffizienten cnlm , so dass folgende Darstellung gilt: .r; ; '; t/ D

n1 X 1 X Cl X

cnlm

nlm .r; ; '/ exp.i!n t/ :

nD1 lD0 mDl

Dabei gilt für die Eigenfunktionen b H

nlm

D En

nlm

und !n D En =„ :

(D.14)

D.2 Coulomb- und Austausch-Integral beim Helium

225

Die Koeffizienten werden mit Hilfe der Skalarprodukte berechnet: cnlm D h

nlm j i ;

(D.15)

wobei die Funktion zum Zeitpunkt t D 0 einzusetzen ist, so dass alle Faktoren exp.i!n t/ D 1 sind. Gleichung (D.15) folgt aus der Orthogonalität der Eigenfunktionen.

D.2 Coulomb- und Austausch-Integral beim Helium Zur Berechnung der Energieniveaus im Helium-Atom schreiben wir den HamiltonOperator in der Form b 2 C V12 b DH b1 C H H mit den Einteilchen-Hamilton-Operatoren 2 b j D  „ r j2 H 2me

j .rj /



2e 2 ˇ ˇ 4"0 ˇrj ˇ

.j D 1; 2/

und dem Wechselwirkungspotential V12 .r 1 ; r 2 / D C

e2 4"0 r12

mit r12 D jr 1  r 2 j :

b im Zustand S .1; 2/ oder A .1; 2/ sind Die Erwartungswerte von H ˇ ˇ D E ˇbˇ .1; 2/ .1; 2/ D Ea C Eb C C C A ; H ˇ ˇ S S D A

ˇ ˇ ˇbˇ .1; 2/ ˇH ˇ

A

E .1; 2/ D Ea C Eb C C  A :

(D.16) (D.17)

Dabei treten zwei Integrale auf, die exakt berechnet werden können: das CoulombIntegral “ e2 j a .1/j2 j b .2/j2 3 d r1 d 3 r2 (D.18) C D 4"0 r12 und das Austausch-Integral “ e2 AD 4"0

  a .1/ b .1/ b .2/ a .2/ 3

r12

d r1 d 3 r2 :

(D.19)

226

D Ergänzungen zu Kap. 6, 7 und 8

D.3 Fermi-Dirac- und Bose-Einstein-Statistik In der statistischen Thermodynamik berechnet man die Verteilung von N Teilchen auf die zur Verfügung stehenden Energievineaus Ei eines Systems. Das ist nicht Inhalt des vorliegenden Buches1 . Wir wollen hier nur einige wichtige Resultate angeben. Bei unterscheidbaren Teilchen erhält man im thermodynamischen Gleichgewicht die Boltzmann-Verteilung ni D gi

N Ei =.kB T / e Z

mit Z D

X

gi eEi =.kB T / :

(D.20)

i

Die Boltzmann-Konstante hat den Wert kB D 8;617  105 eV=K. Die Zahlen gi geben die Vielfachheit (Multiplizität) der Niveaus Ei an. Für nicht unterscheidbare Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin) ergibt sich die Fermi-Dirac-Verteilung ni D gi 

1 : e.Ei EF /=.kB T / C 1

(D.21)

Die Größe EF nennt man Fermi-Energie. Für nicht unterscheidbare Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) gilt die BoseEinstein-Verteilung. Wir geben sie hier nur für Photonen an: ni D gi 

1 : eEi =.kB T /  1

(D.22)

Wenn die Energieniveaus sehr dicht liegen, was bei vielen Anwendungen der Fall ist, erweist es sich als zweckmäßig, den Multiplizitätsfaktor gi durch eine Dichtefunktion zu ersetzen: g.E/ dE ist die Zahl der Energieniveaus im Intervall ŒE; E C dE. Die diskreten Verteilungen (D.21) und (D.22) kann man dann durch kontinuierliche Verteilungsfunktionen f .E/ ersetzen, indem man die Zahl der Teilchen pro Energieintervall in folgender Form schreibt: n.E/ dE D g.E/f .E/ : Für Fermionen wird die Verteilungsfunktion fFermi .E/ D

1 : e.E EF /=.kB T / C 1

(D.23)

1 : eE=.kB T /  1

(D.24)

Für Photonen lautet sie fPhoton .E/ D 1

Vergleichsweise einfache Einführungen in die klassische und Quanten-Statistik findet man bei Alonso-Finn [28], Griffiths [2] sowie in einem Vorlesungsmanuskript des Verfassers (www.desy.de/pschmues, Datei Thermodynamik-Quantenstatistik.pdf).

Anhang E

Ergänzungen zu Kap. 9 und 10

E.1 Eigenschaften des Spinsingulettzustands Wir wollen beweisen, dass der Spinsingulettzustand bezüglich der z-Komponente 1 j0; 0i.z/ D p f j*i1 j+i2  j+i1 j*i2 g 2

(E.1)

gleichzeitig auch Spinsingulettzustand bezüglich der x- und der y-Komponente ist. In Matrixdarstellung gilt für die z-Komponente „ b Sz D 2



1 0 0 1

 ;

  1 j*i D ; 0

  0 j+i D : 1

Wir betrachten nun die x-Komponente des Spinoperators „ b Sx D 2



01 10

 :

Die Eigenzustände von b S x sind   1 1 D p . j*i C j+i / ; 1 2   1 1 1 D p . j*i  j+i / : j(i  p 1 2 2 1 j)i  p 2

(E.2)

Der Singulettzustand bezüglich der x-Komponente lautet in Analogie zu Gl. (E.1) 1 j0; 0i.x/ D p f j)i1 j(i2  j(i1 j)i2 g : 2

(E.3)

227

228

E Ergänzungen zu Kap. 9 und 10

Nun setzen wir in Gl. (E.3) die Spaltenvektor-Darstellung ein:           1 1 1 0 0 j0; 0i.x/ D p C  0 1 0 2 1 1 1 2 2 2           1 0 0 1 1  p  C 1 1 1 2 0 2 0 1 2 2         1 1 0 1 0 D p  0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 D  p f j*i1 j+i2  j+i1 j*i2 g D j0; 0i.z/ : 2

(E.4)

Damit ist der Beweis erbracht. Der Beweis für die y-Komponente verläuft analog.

E.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichung Im Jahr 1964 wurde von John Bell eine Arbeit zum Einstein-Podolsky-RosenParadoxon publiziert, die zu einem gründlichen Überdenken der Deutung der Quantentheorie führte (J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics Vol. 1, 195 (1964). Ein Weblink zu diesem Artikel ist in Wikipedia zu finden). Die Arbeit von Bell ist jedoch nicht leicht zu lesen. In der Herleitung der Bell’schen Ungleichung halte ich mich eng an eine Vorlesung von Prof. Klaus Fredenhagen (Universität Hamburg), der einen kurzen und sehr eleganten Beweis präsentiert hat. Bei der Interpretation der Quantenmechanik ging Niels Bohr davon aus, dass ein quantenmechanisches System keine Eigenschaften wie Ort, Impuls etc. besitzt, sondern dass die Observablen erst bei dem Eingriff durch ein Messgerät bestimmte Werte annehmen. Diese Deutung ist heute weitgehend akzeptiert (wir haben sie in diesem Buch benutzt, ohne es immer explizit zu sagen), sie wurde aber in der Vergangenheit oft kritisiert. Besonders von Einstein wurde die Meinung vertreten, dass ein einzelnes System sehr wohl objektive Eigenschaften besitzt, die aber – grundsätzlich oder wegen unvollkommener Messtechnik – nicht gemessen werden können. Die tatsächlich gefundenen Messergebnisse hängen dann noch von „verborgenen Variablen“ ab, aber solange wir diese nicht kennen, bleiben nur statistische Aussagen als Mittelwerte über die verborgenen Variablen. Diesen Standpunkt haben Einstein, Podolsky und Rosen (EPR) in ihrer berühmten Arbeit vertreten. Das EPR-Argument kann man am Bohm’schen Gedankenexperiment verdeutlichen. Ein Molekül mit Spin 0 wird in zwei Spin-1=2-Atome zerlegt, die sich diametral voneinander entfernen und in räumlich weit getrennten Detektoren registriert werden. Beim Atom 1 wird die Komponente des Spins in Richtung eines Einheitsvektors a gemessen, beim Atom 2 die Spinkomponente in Richtung eines Einheitsvektors b. Für den Fall a D b erwarten wir wegen der Erhaltung des Drehimpulses, dass immer dann, wenn wir den Spin des 1. Teilchens in Richtung Ca finden, der

E.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichung

229

Spin des 2. Atoms in die entgegengesetzte Richtung a weisen muss. Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der Richtung a. EPR betrachteten dies Gedankenexperiment als Beweis dafür, dass die Spinkomponente des Teilchens 2 in a-Richtung nicht erst durch die Messung am Teilchen 1 festgelegt wird. Denn wenn man voraussetzt, dass die Messung des 1. Teilchens nicht das 2. Teilchen beeinflussen kann (was bei großem Abstand der Messapparaturen aufgrund der Relativitätstheorie ja auch nicht möglich sein sollte), so hat die Spinkomponente von Teilchen 2 einen wohldefinierten Wert, egal ob eine Messung am Teilchen 1 durchgeführt wird oder nicht. Nach dieser Argumentation sind die Werte der Komponenten des Spins in allen Richtungen die verborgenen Variablen. Wir stellen jetzt folgende Hypothese auf: Teilchen 1 hat – unabhängig davon, ob man misst oder nicht – bezüglich jeder Richtung a eine wohldefinierte Spineinstellung A.a/ D ˙1 (zur Vereinfachung der weiteren Rechnung wird hier die mit 2=„ multiplizierte Spinkomponente angegeben). Messen können wir A.a/ allerdings immer nur für eine Richtung a, die Werte A.a0 / für die anderen Richtungen a0 sind die verborgenen Variablen. Die entsprechende Hypothese gilt für Teilchen 2, dort nennen wir die Spineinstellung B.b/ D ˙1. Nun machen wir N Versuche und bilden den Mittelwert (Erwartungswert) des Produkts A.a/B.b/ der beiden Spinwerte: E.a; b/ D

N 1 X An .a/ Bn .b/ N nD1

(E.5)

Es erweist sich als zweckmäßig, vier Richtungen zu betrachten, a, a0 für Teilchen 1 und b, b0 für Teilchen 2 (siehe Abb. 9.4). Wir bilden die folgende Linearkombination von Mittelwerten: S.a; a0 ; b; b0 / D E.a; b/  E.a; b0 / C E.a0 ; b/ C E.a0 ; b0 /

(E.6)

und behaupten, dass sie einer Ungleichung genügt: jS.a; a0 ; b; b0 /j D jE.a; b/  E.a; b0 / C E.a0 ; b/ C E.a0 ; b0 /j  2 :

(E.7)

Dies ist die berühmte Bell’sche Ungleichung in einer für experimentelle Tests besonders geeigneten Form. Um diese Ungleichung zu beweisen, setzen wir (E.5) in (E.7) ein und betrachten den Summanden mit Index n Sn D An .a/ Bn .b/  An .a/ Bn .b0 / C An .a0 / Bn .b/ C An .a0 / Bn .b0 / : Durch Ausklammern finden wir  Sn D An .a/ Bn .b/  Bn .b0 / C An .a0 / fBn .b/ C Bn .b0 /g :

(E.8)

Wegen unserer obigen Hypothese können Bn .b/ und Bn .b0 / jeweils die Werte ˙1 annehmen. Sind die Vorzeichen von Bn .b/ und Bn .b0 / gleich, so verschwindet

230

E Ergänzungen zu Kap. 9 und 10

die eckige Klammer in (E.8), sind die Vorzeichen verschieden, verschwindet die geschweifte Klammer. Die jeweils andere Klammer hat dann den Betrag 2. Daraus folgt Sn D ˙2. Gemittelt über alle n ergibt sich ˇ ˇ N ˇ1 X ˇ ˇ ˇ Sn ˇ  2 : ˇ ˇN ˇ nD1

Damit ist die Bell’sche Ungleichung bewiesen.

E.3 Einfluss der relativistischen Energie im H-Atom Die kinetische Energie eines Elektrons ist Ekin D

q

p2 c 2 C m2e c 4  me c 2 

p2 p4  ; 2me 8m3e c 2

(E.9)

wobei der erste Term die nichtrelativistische kinetische Energie ist und der zweite Term als kleine Störung angesehen werden kann. Der Hamilton-Operator wird p2 e2 b .0/ D b ; mit H  2me 4"0 r

b .1/ b DH b .0/ C H H

p4 b .1/ D  b H : (E.10) 8m3e c 2

Gemäß Gl. (10.8) ist die Verschiebung der Energieniveaus in 1. Ordnung der Störungsrechnung b .1/ j n.0/ i : ıEn.1/ D h n.0/ jH Wir müssen daher den Erwartungswert von b p4 D b p2  b p2 berechnen. Es gilt b p2 j

.0/ n i

b .0/  V /j D 2me .H

.0/ n i

D 2me .En.0/  V /j

.0/ n i;

woraus folgt h

.0/ 2 p n jb

ıEn.1/

b p2 j n.0/ i D 4m2e h .En.0/  V /2 i : 1 D Œ.En.0/ /2  2En.0/ hV i C hV 2 i : 2me c 2

Wegen V .r/ D 

e2 4"0 r

treten die Erwartungswerte von 1=r und 1=r 2 auf, die für folgende Werte haben:

.0/ n

D

n l ml .r; ; '/

E.4 Energieaufspaltung infolge der Spin-Bahn-Kopplung

  1 1 D 2 ; r n a0



231



1 1 D 3 : r2 n .l C 1=2/a02

(E.11)

Setzt man dies ein, so ergibt sich die Energieverschiebung in 1. Ordnung zu   3 n 2.En.0/ /2 .1/ ıEn D   : (E.12) me c 2 l C 1=2 4 Die dimensionslose Feinstrukturkonstante ist definiert durch ˛D

e2 1  : 4"0 „c 137

(E.13)

Damit lässt sich die Energieverschiebung aufgrund der relativistischen kinetischen Energie schreiben ıEnrel

jEn.0/ j D ˛ n2 2



3 n  l C 1=2 4

 :

(E.14)

Dabei haben wir die Formeln (6.11) und (6.14) benutzt.

E.4 Energieaufspaltung infolge der Spin-Bahn-Kopplung Der Hamilton-Operator ist b .1/ b DH b .0/ C H H

p2 e2 b .0/ D b ; mit H  2me 4"0 r

2 bS b: b .1/ D 0 e 1 L H 8 m2e r 3

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung können näherungsweise als Produkt von Ortswellenfunktion und Spinfunktion geschrieben werden. n l ml .r; ; '/

Dabei gilt

b .0/ H

n l ml .r; ; '/

 :

 D En

nlml .r/

 :

Gemäß Gl. (10.8) ist die Energieverschiebung ıEn.1/ D h

nlml

b .1/ j jH

n l ml

i D

0 e 2 8 m2e



 1 bS bi :  hL r3

bS bi ist leicht zu berechnen. Aus b bCS b folgt Der Erwartungswert hL J DL bS bi D hL

i 2 1 h b2 b2 i  hS b2 i D „ Œj.j C 1/  l.l C 1/  s.s C 1/ : hJ i  hL 2 2

232

E Ergänzungen zu Kap. 9 und 10

Jetzt muss noch der Erwartungswert von 1=r 3 berechnet werden. 1 h 3i D r

Z1

 Rnl .r/

1 Rnl .r/r 2 dr : r3

0

Beispielrechnung für n D 2; l D 1: 1

R21 .r/ D p 3=2 6 a0

r 2=.2a0 / e ; 2a0

1 1 h 3i D r 24a05

Z1

r er=a0 dr D

0

1 : 24a03

Die allgemeine Formel lautet für n  2; l  1 h

1 1 : iD 3 3 3 r a0 n l.l C 1=2/.l C 1/

Die Energieverschiebung durch Spin-Bahn-Kopplung ist in 1. Ordnung ıEnSB D ˛ 2

jEn.0/ j j.j C 1/  l.l C 1/  3=4  : 2n l.l C 1=2/.l C 1/

(E.15)

E.5 Zeitabhängige Störungsrechnung In Kap. 10.3.2 haben wir die zeitabhängige Störungsrechnung benutzt, um die Gleichung (10.25) herzuleiten: .r; t/ D ci .t/ i .r; t/ C

X

cj .t/ j .r; t/

j ¤i

mit der Anfangsbedingung ci .0/ D 1; cj .0/ D 0. Der gewünschte Endzustand (final state) f befindet sich unter den j . Wir nehmen jetzt an, dass die Frequenz des elektrischen Feldes die „Resonanzbedingung“ jEf  Ei j !0  j!f i j D „ erfüllt. Dann dominiert in der obigen Summe der Term j D f so stark, dass man die übrigen Terme weglassen kann (dies folgt aus dem Resonanzverhalten der weiter unten stehenden Gleichung (E.24)). Unsere vereinfachte Wellenfunktion lautet für t >0 .r; t/ D ci .t/ i .r; t/ C cf .t/ f .r; t/ :

(E.16)

E.5 Zeitabhängige Störungsrechnung

233

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung (10.24) ergibt unter Benutzung der Gleichungen @ i b .0/ i ; i„ @ f D H b .0/ f DH i„ @t @t die folgende Differentialgleichung für die Koeffizienten ci und cf i„cPi j i i C i„cPf j f i D ci .t/V 0 j i i C cf .t/V 0 j f i :

(E.17)

Hier wird die Dirac-Schreibweise benutzt. Um die zeitliche Entwicklung der Amplitude cf .t/ des Endzustands zu ermitteln, wird die Gleichung skalar mit h f j multipliziert und die Orthogonalität und Normierung der j ausgenutzt i„cPf D ci .t/h f jV 0 j i i C cf .t/h f jV 0 j f i :

(E.18)

Nun gilt für dies spezielle Potential h f jV 0 j f i

• j

f

.r/j2 r d3 r D 0 ;

da der Integrand eine ungerade Funktion ist. Daher folgt i„cPf D ci .t/h f jV 0 j i i :

(E.19)

Eine entsprechende Differentialgleichung ergibt sich für ci .t/: i„cPi D cf .t/h i jV 0 j f i :

(E.20)

Dies System von gekoppelten Differentialgleichungen kann man generell lösen, wir möchten hier aber nur den Spezialfall betrachten, dass die Störung V 0 schwach ist und nur für kurze Zeit 0 < t < T wirkt. Dann gilt jci .t/j  1 und jcf .t/j  1 im Intervall 0 < t < T , und wir erhalten die vereinfachte Gleichung i„cPf D ci .0/h f jV 0 j i i D h f jV 0 j i i : Wir schreiben das Übergangs-Matrixelement von V 0 explizit hin i h e h f jV 0 j i i D .E0  rf i /  ei.!f i C!0 /t C ei.!f i !0 /t 2 mit

• rf i D

 f .r/r

i .r/ d

3

r

und !f i D

Ef  Ei : „

Integration über das Zeitintervall 0 < t < T ergibt " # ei.!f i !0 /T  1 e ei.!f i C!0 /T  1/ i„cf .T / D .E0  rf i /  C : 2 i.!f i C !0 / i.!f i  !0 /

(E.21)

(E.22)

(E.23)

(E.24)

234

E Ergänzungen zu Kap. 9 und 10

E.6 Auswahlregeln für optische Übergänge In den folgenden Rechnungen ist es zweckmässig, die Matrixelemente von x˙i y D r sin  exp.˙i '/ und z D r cos  getrennt auszuwerten. Mit Z1 rf i D

Rnf ;lf .r/ r Rni ;li .r/ r 2 dr 0

erhalten wir Z .x ˙ i y/f i D rf i 0

Z zf i D rf i 0

2 4 2 4

Z2

3 Ylf ;mf .; '/ sin e˙i' Yli ;mi .; '/ d' 5 sin  d ;

0

Z2

3 Ylf ;mf .; '/ cos  Yli ;mi .; '/ d' 5 sin  d : (E.25)

0

Magnetische Quantenzahl Das Integral über den Azimutwinkel ist leicht auszuwerten. Z2 .x ˙ i y/f i

Ylf ;mf e˙i '

Z2 Yli ;mi d'

0

expŒi.mi  mf ˙ 1/' d' : 0

Dies ist nur dann ungleich null, wenn mi  mf ˙ 1 D 0 ist. Z2 zf i

Ylf ;mf

Z2 Yli ;mi d'

0

expŒi.mi  mf /' d' : 0

Hier muss mi  mf D 0 sein. Wir haben damit die bekannte Auswahlregel m D 0; ˙1 bewiesen.

Bahndrehimpuls-Quantenzahl Die Regel l D ˙1 ist mühsam zu beweisen, wir beschränken uns daher auf einige Beispiele und betrachten zuerst zf i . Der Anfangszustand sei Y20 . Wir benutzen die Abkürzung u D cos ; du D  sin  d.

E.6 Auswahlregeln für optische Übergänge

Z

 Y00

Z1 cos  Y20 sin  d

u.3u2  1/ du D 0 l D 2 ; 1

0

Z

235

 Y10

Z1 cos  Y20 sin  d

u2 .3u2  1/ du ¤ 0

jlj D 1 :

1

0

Hier ist von vornherein die zf i -Regel m D 0 vorausgesetzt worden. Bei .x ˙ i y/f i erhalten wir mit dem Anfangszustand Y21 sin  cos  und den Endzuständen Y10 und Y00 Z

 Y00

Z1 sin  Y21 sin  d

l D 2 ;

1

0

Z

u.1  u2 / du D 0

 Y10

Z1 sin  Y21 sin  d

u2 .1  u2 / du ¤ 0

jlj D 1 :

1

0

Hauptquantenzahl Im Dipolmatrixelement gibt es den Radialanteil Z1 rf i D

Rnf ;lf .r/ r Rni ;li .r/ r 2 dr :

(E.26)

0

Dieser Ausdruck ist für l D ˙1 immer ungleich null, daher darf n eine beliebige ganze Zahl sein.

Anhang F

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

In diesem Abschnitt sind kurzgefasste Lösungen zu ausgewählten Aufgaben zusammengestellt. Kapitel 1 Aufg. 1.1  D 1;47  1010 m ; Gitterkonstante d D 0;543  109 m  Bragg-Winkel für Beugung 1. Ordnung  D arcsin 2d D 7;8ı . Aufg. 1.3 Rydberg-Zustand des Wasserstoff-Atoms rn D n2 a0 ; a0 D 0;5292  1010 m ;

En D 

1 e2 13;606 D eV 2 8"0 a0 n n2

Die Radien sind r20 D 21;2 nm, r40 D 84;7 nm, r60 D 190;5 nm. Für den Übergang E1 ! En muss die Photonen-Energie des zweiten Lasers die Bedingung ELas2 .n/ D jE1  En j  ELas1 D Œ13;606.1  1=n2 /  11;5 eV erfüllen. Man findet ELas2 .20/ D 2;072 eV, ELas2.40/ D 2;097 eV und ELas2 .60/ D 2;102 eV. Kapitel 3 Aufg. 3.1 hxi D 20;16; hx 2 i D 468;48;  D 7;88  R C1 2 .xhxi/ G.x/ D pN exp  2 2 ; 1 G.x/ dx D N 

2

Aufg. 3.2 Graphische Lösung der Gleichung tan u D 0;059 eV, B=A D 1;03, k1 D k.E1 /, ˛1 D ˛.E1 /. Zb wi D 2

Z1 A2 cos2 .k1 x/ dx D 0;11 ;

0

wa D 2

p

.u0 =u/2  1 ergibt E1 D

B 2 e2˛1 x dx D 0;89 ;

b

wi C wa D 1 :

237

238

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

p Aufg. 3.3, 3.4 Das Elektron ist niemals in Ruhe. Normierung A D 2= a, Maximum bei x D a=4. r 2 X cn sin.kn x/ ei!n t .x; t/ D a n c1 D 0;6; c2 D 0;71; c3 D 0;36; c4 D 0; c5 D 0;086; c6 D 0.

Aufg. 3.5 Damit .x; y/ bei x D a oder y D a verschwindet, muss für die Wellenzahlen gelten k1 D n1 =a, k2 D n2 =a, n1 ; n2 D 1; 2; 3: : : Energie-Eigenwerte: E.n1;n2/ D

„2 2 „2  2 2 .k1 C k22 / D .n C n22 / 2m 2ma2 1

Wellenfunktionen gleichen Eigenschwingungen einer quadratischen Membran.

Aufg. 3.6 Reduzierte Masse und Federkonstante des O2 -Moleküls: mred D

16 mp  16 mp D 8 mp ; 16 mp C 16 mp

C D mred ! 2 D 1;116  103 N=m :

Tiefste Oszillatorenergie und Dissoziationsenergie des Moleküls: Emin D D C „ !=2 ;

Ediss D D  „!=2 D 4;905 eV

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

239

Aufg. 3.7 HD: E0 D 0;236 eV, D2 : E0 D 0;193 eV. Aufg. 3.8, 3.9 Folgendes Bild: links Reflexion eines Elektrons der Energie E D 3 eV an einer Potentialstufe der Höhe V0 D 5 eV. Imaginärteil und Absolutquadrat der Wellenfunktion als Funktion von x. Mitte: Tunneleffekt. Imaginärteil und Absolutquadrat der Wellenfunktion als Funktion von x. Vor der Barriere entsteht eine stehende Welle, bei der j j2 oszilliert, dahinter ist eine laufende Welle, für die j j2 D const ist.

Rechts: der „Mountainbiker“ am Abgrund. Die Reflexionswahrscheinlichkeit ist  RD

k  k0 k C k0

2 mit k D

p 2me Ekin =„ ;

k0 D

p 2me .V0 C Ekin /=„ :

Numerisch: R D 0;57 ' 57%.

Kapitel 4 2

Aufg. 4.2 a) Schreibe 1 .u/ D A1 u eu =2 . Normierungsfaktor A1 berechnen aus R C1 der Bedingung 1 j 1 .u/j2 du D 1. Es gilt

240

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

p   1 u2  2 2 u2 2 erf.u/ A1 u e du D A1  u e C 2 4 q p Integrationsgrenzen 1 einsetzen ergibt A21 2 D 1 ) A1 D p2 . Z

2

2

D A3 .8u3  12u/ eu =2 b) 2 D A2 .4u2  2/ eu =2 und R C1  3 Orthogonalität: Zu zeigen ist 1 m .u/ n .u/ du D 0 für m ¤ n.   1 2 und 2 3 sind ungerade Funktionen von u, daher ist das Integral null. Z1

 1 .u/ 3 .u/ du

Z1 D A1 A3

1

h i 2 2 1 .8u4  12u2 /eu du D A1 A3 4u3 eu

1

1 2

wegen u3 eu ! 0 für u ! ˙1 :

D0

(F.1)

c) Es ist hb x i D 0 und hb p x i D 0, da die Integranden ungerade Funktionen von u sind. C1 Z

hb x iD 2

 x2 1 .x/b

1

2„ 1 .x/ dx D p m!

C1 Z 3„ 2 : u4 eu du D 2m! 1 „ ƒ‚ … p 3 =4

C1 Z

hb p 2x i

D „

2 1

d  1 .x/

2

1 dx dx 2

2„!m D p 

C1 Z 1

„

Unschärfeprodukt: x  px D

3„!m 2 : u4  3u2 eu du D 2 ƒ‚ … p 3 =4

p p hb x 2 i  hb p 2x i D 3„=2 > „=2.

hp bx 2 i m! 2 3„ 3 3 2 b bpot i D C hb Aufg. 4.3 hE 2 x i D 2 2m! D 4 „! und hE kin i D 2m D 4 „!. Wie b pot i, das Ehrenfest-Theorem ist erfüllt. bkin i D hE beim klassischen Oszillator gilt hE

Aufg. 4.4 .0; 0; 0/ D 0 ) Sinusfunktionen, .L; L; L/ D 0 ) ki quantisiert: ki D ni =L ni D 0; 1; 2; 3; : : : 3=2 a) Normierte Wellenfunktionen .x; y; z/ D L2  sin k1 x  sin k2 y  sin k3 z b) Orthogonalität: für die sin k1 x-Funktion gilt 2 L

ZL sin

 n x   m x  1 1 sin dx L L

0

1 D L

   ZL   .m1 C n1 /x .m1  n1 /x  cos dx D ım1 n1 : cos L L 0

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

241

Analog für die sin k2 y- und sin k3 z-Funktionen.  2 2 c) E.n1 ; n2 ; n3 / D „2 =.2me / L .n1 C n22 C n23 /

2 2 „   3 D 1;128  1014 eV. Emin D E.1; 1; 1/ D 2m L Aufg. 4.5 a) E.1; 1; 1/ D 1;128  1014 eV (1-fach) E.2; 1; 1/ D E.1; 2; 1/ D E.1; 1; 2/ D 2 E.1; 1; 1/ D 2;256  1014 eV E.2; 2; 1/ D E.2; 1; 2/ D E.1; 2; 2/ D 3 E.1; 1; 1/ D 3;384  1014 eV E.2; 2; 2/ D 4 E.1; 1; 1/ D 4;512  1014 eV (1-fach) b) Nach Anhang B.5 ist die Zustandsdichte für Elektronen g.E/ dE D 4 E D 0;1 eV: E D 1 eV: E D 10 eV:

(3-fach) (3-fach)

 m 3=2 p e E dE : 2 2 „2

g.E/ E D 2;15  1018 , g.E/ E D 6;81  1018 , g.E/ E D 2;15  1019 .

Kapitel 5 LC C b L /, b Ly D .1=2i/ .b LC  b L /. Aufg. 5.1 b) Es gilt b Lx D .1=2/ .b 2b Lx Ylm D .b LC C b L /Ylm D CC .l; m/ Yl;mC1 C C .l; m/ Yl;m1 ¤ const Ylm : Analog b Ly Ylm ¤ const Ylm . Aufg. 5.2 Spintriplett siehe Gleichung (5.32). 0 0 p 0 1 1 1 10 0 0 2 p0 p0 0 0 b Sz D „ @ 0 0 0 A ; b S  D „ @ 2 p0 0 A : SC D „ @ 0 0 2A; b 0 0 1 0 0 0 20 0 SC C b S / ; b Sy D Es gilt b S x D 12 .b

1 b .S C 2i

b S / ; b S2 D b S 2x C b S y2 C b S 2z

p p 1 1 0 0 2 p0 0 0 0  2i p 10 p p „ „ b S x D @ 2 p0 S y D @ 2 i p0  2 i A ; b S 2 D 2„2 @ 0 1 2A; b 2 2 00 2 0 2i 0 0 0 0

Kommutatoren:

0 1 i 0 0 i h b Sx b Sy D b Sy b Sy  b S x D „2 @ 0 0 0 A D i „ b Sz : Sx; b 0 0 i

i i h h S x und b Sy . Sz D i „ b Sz; b Sx D i „ b Analog zeigt man b Sy ; b

1 0 0A: 1

242

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Weitere Regeln 0 p 1 0 2 p0 i h b Sz; b S C D „2 @ 0 0 SC 2A D „b 0 0 0

0 00 h i b S C; b S 2 D „2 @ 0 0 00

1 0 0A  0: 0

Anwenden von b S z auf Spintriplett j1; 1i; j1; 0i und j1; 1i : 0 10 1 0 1 10 0 1 1 b S z j1; 1i D „ @ 0 0 0 A @ 0 A D „ @ 0 A 0 0 1 0 0 j1; 1i ist Eigenzustand von b S z mit Eigenwert C1 „ 0 10 1 0 1 0 1 10 0 0 0 0 b S z j1; 0i D „ @ 0 0 0 A @ 1 A D 0 „ @ 1 A ; b S z j1; 1i D 1 „ @ 0 A : 0 0 1 0 1 0 j1; 0i, j1; 1i sind Eigenzustände von b S z mit Eigenwert 0 bzw. 1 „. Da b S 2 eine Konstante multipliziert mit der Einheitsmatrix ist, sind alle Triplettzustände Eigenzustände von b S 2 mit Eigenwert s.s C 1/„2 D 2„2 . Anwenden des Aufsteigeoperators: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 p p b S C j1; 1i D „ @ 0 A  0 ; b S C j1; 0i D „ 2 @ 0 A ; b S C j1; 1i D „ 2 @ 1 A : 0 0 0 Übereinstimmung mit Gln. (5.19) und (C.21). Aufg. 5.3 HCl-Molekülrotationen. Reduzierte Masse, Trägheitsmoment, Rotationsenergie: mred D

mp  35mp ; I D mred r02 ; mp C 35mp

Erot .l/ D

„2 l.l C 1/; 2I

l D 0; 1; 2; 3: : :

Photon-Energie bei Übergang .l C 1/ ! l, Differenz der Photon-Energien „!.l/ D Erot .l/  Erot .l  1/ D

„2 l; I

„! D „!.l/  „!.l  1/ D

„2 : mred r02

Aus „! D 2;6  103 eV berechnet man r0 D 1;28  1010 m. Aufg. 5.4 Spinsingulett j0; 0i D operator ist b SC D auf Teilchen 2.

b S .1/ C

C

b S .2/ C ,

.1/ b S C j *i1 j +i2 D 0;

p1 2

. j *i1 j +i2  j +i1 j *i2 /. Der Aufsteige-

b.2/ wobei b S .1/ C nur auf Teilchen 1 wirkt und S C nur .1/ b S C j +i1 j *i2 D „ j *i1 j *i2 ;

b S .2/ C j *i1 j +i2 D „ j *i1 j *i2 ;

b S .2/ C j +i1 j *i2 D 0 :

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

243

Daher ist b S C j0; 0i D 0. Analog für den Absteigeoperator b S  j0; 0i D 0. Anders ist dies beim Spintriplett: p p b S C j1; 0i D 2 „ j *i1 j *i2 ; b S  j1; 0i D 2 „ j +i1 j +i2 : Aufg. 5.5    

3i 1 3i : D jAj2 .9 C 16/ D 1 H) D D jAj2 3i; 4 4 5 4   

01 „ 3i b 3i; 4 hS x i D D 0; 10 4 50   

0 i „ 24„ 3i 3i; 4 D 0;48 „ ; hb Sy i D D i 0 4 50 50   

1 0 7„ „ 3i 3i; 4 hb Szi D D D 0;14 „ ; 0 1 4 50 50   „2 1 0 b S 2x D b ) hb S 2x i D hb S y2 D S y2 i D 0;25 „2 : 4 01 Die Unschärfen sind p p Sx D 0;25 „2  0 D 0;5„ ; Sy D 0;25„2  0;482 „2 D 0;14 „ ; „ S z ij: Sx  Sy D 0;07 „2 D  jhb 2 Hier gilt die verallgemeinerte Unschärferelation (4.29) mit dem Gleichheitszeichen.

Kapitel 6 Aufg. 6.1 Lösungsansatz für die Radialgleichung des H-Atoms: u. / D lC1 e

1 X j D0

cj j mit D

r 2 .j C l C 1  n/ ; cj C1 D cj : na0 .j C 1/ .j C 2l C 2/

c1 D c0 ; c2 D 0 ) u20 . / D c0 e .1  /   r er=.2a0 / R20 .r/ 1  2a0 r r=.2a0 / n D 2; l D 1 W c1 D 0 ) u21 . / D c0 2 e ; R21 .r/ e 2a0

n D 2; l D 0 W

244

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

2c0 c1 D 2c0 ; c2 D ; c3 D 0 ; 3   2 2  ; 1  2 C u30 . / D c0 e 3 !   r 2 r 2 R30 .r/ 1  2 C er=.3a0 / 3a0 3 3a0   1 c0 ) u31 . / D c0 2 e 1 

n D 3; l D 1 W c1 D  2 2   1 r r R31 .r/ 1 er=.3a0 / 3a0 2 3a0   r 2 r=.3a0 / 3  n D 3; l D 2 W c1 D 0 ) u32 . / D c0 e ; R32 .r/ e 3a0 n D 3; l D 0 W

Aufg. 6.2 Ionisationsenergie Eion D jE1 j D 9;70 eV. Vergleich der Energien En des endlichen Topfs und der Energien En0 des Topfs mit unendlich hohen Wänden (alle Werte in eV): E1 D 9;70 ;

E2 D 8;81 ;

E3 D 7;34 ;

E4 D 5;32

E10

E20

E30

E40 D 3;96 :

D 9;62 ;

D 8;49 ;

D 6;60 ;

Aufg. 6.3 a) Normierungskonstante N folgt aus: Z1 N

2

e 0

2r=a0

4 r dr D N 2

2

a03

  1 2r 2r 2 2r=a0 1C C 2 e D1 a0 a0 0 „ ƒ‚ … .1/

p b) Erwartungswerte. hb x i D 0, denn x exp.2 x 2 C y 2 C z 2 =a0 / ist eine ungerade Funktion von x. Ebenso gilt hb p x i D 0. Da im Grundzustand des H-Atoms Kugelsymmetrie vorliegt, gelten folgende Regeln

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

hb x 2 i D hb y 2 i D hb z2i D Z1 hb r iDN 2

2

245

1 2 hb r i; 3

e2r=a0 4 r 4 dr D 3a02 ;

0

b p 2 D „2 r 2 Š „2

hb p 2x i

hb p 2x i D hb py2 i D hb p2z i D

Z1

hb x 2 i D a02

  d r2 dr

1 d r 2 dr

1 2 4N 2 D hb p iD 3 3

1 2 hb p i 3

er=a0 .b p 2 er=a0 /r 2 dr

0

D

4N 2 „2 3

Z1

er=a0

d dr

0

p

Daher ist x D hb x 2 i D a0 und px D Die Unschärferelation ist erfüllt: p x  px D „= 3 > „=2. Aufg. 6.4 2 b kin D „ r 2 ; E 2me

  d „2 r 2 er=a0 r 2 dr D 2 dr 3a0 p

p hb p2x i D „=. 3a0 /.

1

2   1 b pot D e E 4"0 r

b kin 100 .r/ ¤ const  ist keine Eigenfunktion, denn E 100 .r/ ¤ const  100 .r/. Erwartungswerte:

100 .r/

b pot E

100 .r/

und

1

  Z1 4 1 1 h iD r e2r=a0 dr D 3 r a0 a0 0

2 „2 bkin i D 1 hb bpot i D e hE p2 i D D C13;6 eV ; h E D 27;2 eV 2me 4"0 a0 2me a02

b kin i D 1 jhE bpot ij, genau wie in der Planetenbewegung und im Wir erhalten somit hE 2 Bohr’schen Atommodell. Das Ehrenfest-Theorem ist erfüllt. Aufg. 6.5 Antiprotonisches Neon. Z D 10; mred D

20 mp ; 21

En D 

mred Z 2 e 4 1 ; 2 .4  "0 „/2 n2

ıEn D En  En1 :

Berechnete Werte: ıE7 D 17;54 keV, ıE8 D 11;39 keV, ıE9 D 7;81 keV, ıE10 D 5;58 keV, ıE11 D 4;13 keV.

246

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Aufg. 6.6 a) Mesonisches H-Atom mit   -Meson im 1s-Zustand. Reduzierte Masse, modifizierter Bohr’scher Radius b0 : m D 0;25  1027 kg ; mred D

m mp ; m C mp

1s-Wellenfunktion:

100 .r/

b0 D Dq

4  " 0 „2 D 2;2  1013 m: mred e 2

1

er=b0

b03

Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen Proton und Meson kleiner als d D 2  1015 m ist: Zd wD

j 0

 d  2r 2r 2 2 2 2r=b0 1 C .r/ 4  r dr D  e C D 9;6  107 100 b0 b02 0

Aufg. 6.7 a) Die Funktion ! r r 1 2 D R21 .r/ Y11 .; '/ j1=2; 1=2i C Y10 .; '/ j1=2; C1=2i 3 3 b D E2 . Sie ist Eigenfunktion der ist Lösung der Schrödinger-Gl. mit n D 2: H 2 2 b mit den Eigenwerten E2 , 2„2 und 3„2 =4. Dagegen ist b und S b, L Operatoren H S z . Die Erwartungswerte sind keine Eigenfunktion von b Lz und b 1 2 „ hb Lz i D  „ C  0 D ; 3 3 3

1 2 „ hb S z i D  .„=2/ C  .C„=2/ D : 3 3 6

b ) Wahrscheinlichkeitsdichte, Elektron mit Spin nach „oben“ zu finden: 2 jR21 .r/j2 jY11 .; '/j2 : 3 Integration von jY11 .; '/j2 über den Raumwinkel ergibt 1, s. Gl. (5.15). Daher wird 2 wD 3

Za0

r 2 jR21 .r/j2 dr D 2;4  103 :

0

Aufg. 6.8 Arsen-Atom in einem Siliziumkristall. In einem Dielektrikum muss man "0 durch "r "0 ersetzen. Radius der ersten Bohr’schen Bahn: r1 D "r a0 D 6;3  1010 m, Energie des Grundzustands E1 D 13;6 eV="2r D 0;095 eV. In Wahrheit ist E1 noch kleiner, weil das Elektron im Siliziumkristall eine effektive Masse meff < me hat.

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

247

Kapitel 7 Aufg. 7.1 a) He-Ion HeC im Grundzustand. Energie E1 und Radius r1 im Bohrschen Atommodell: a0 D 0;26  1010 m ; E1 D Z 2  13;6 eV D 54;4 eV : Z D 2; r1 D Z b) Radialfunktion und negative Ladung innerhalb Kugel mit Radius r1 :  R10 .r/ D 2

Z a0

3=2 e

Z r=a0

Zr1 ; e

jR10 .r/j2 r 2 dr D 0;32 e : 0

Effektive Kernladungszahl Zeff D 1;68. Aufg. 7.2 Total antisymmetrische Wellenfunktion von drei Fermionen (vergleiche hierzu Kap. 8.1): A

1 Dp Œ 3Š

a .1/ b .2/ c .3/ C



a .2/ b .3/ c .1/

a .2/ b .1/ c .3/ 

C

a .1/ b .3/ c .2/

a .3/ b .1/ c .2/



a .3/ b .2/ c .1/ 

Aufg. 7.3 Wellenfunktionen und Energieniveaus: .x; y/ D A sin.k1 x/ sin.k2 y/ ;

En1 ;n2 D

„2  2 .n2 C n22 / 2 me a 2 1

Energien En1 ;n2 in eV, Maximalzahl Nn1 ;n2 der Elektronen pro Niveau. E1;1 D 0;75 ; N1;1 D 2 ;

E2;1 D 1;86 ; N2;1 D 2 ;

E1;2 D 1;86 ; N1;2 D 2 ;

E2;2 D 2;98 ; N2;2 D 2 ;

E3;1 D 3;73 N3;1 D 2

Bei 9 Elektronen muss man die Niveaus bis E3;1 besetzen, Fermi-Energie EF D 3;73 eV.

Kapitel 8 und 10 Aufg. 8.1 Identische Bosonen: der Grundzustand bleibt unverändert. Der erste Anregungszustand hat die Energie 5G und ist nicht entartet. p         x1  2x2 2x1 x2  2 1 sin C sin sin sin : p . 12 C 21 / D a a a a a 2 Identische Fermionen mit parallelem Spin (Spintriplett): der Grundzustand mit Energie 2G existiert nicht. Der erste Anregungszustand hat die Energie 5G und ist nicht entartet.

248

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

p        x  1 2 x1  2x2 2x1 2 sin sin  sin sin : p . 12  21 / D a a a a a 2 Aufg. 8.3 Nach Gl. (8.19) ist die Wahrscheinlichkeit für spontane Emission proportional zu ! 3 . Aufg. 10.1 Ungestörte Wellenfunktionen und Energien: r n  x  2 „2   2 .0/ sin ; En.0/ D  n2 ; n .x/ D a a 2 me a 2 E1.0/ D 37;58 eV; E2.0/ D 150;31 eV; E3.0/ D 338;20 eV; : : : 1. Ordnung der Störungsrechnung: ıEn.1/

Dh

.0/ n

b .1/

jH

Za j

.0/ n i

D

.0/ .x/ V 0 .x/ n

.0/ n

dx;

0

ıE1.1/

D 1;41 eV;

ıE2.1/

D 1;60 eV; ıE3.1/ D 1;64 eV ; : : :

Aufg. 10.2 O2 -Molekülschwingungen.

2 Vappr .x/ D D x   2 x 2 =2 C  3 x 3 =6: : :  D  V2 .x/ C V30 .x/ C V40 .x/ V2 .x/ D D 2 x 2  D ;

V30 .x/ D D 3 x 3 ; V40 .x/ D

7D 4 4 x 12

Der erste Term V2 .x/ ist das harmonische Oszillatorpotential. Die zugehörigen normierten (ungestörten) Wellenfunktionen sind .0/ 0 .x/

D

! 1=4 u2 =2 e ; „

m

red

.0/ 1 .x/

D

! 1=4 p 2 2 u eu =2 : „

m

red

F Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

249

Verschiebung der Energieniveaus E0 , E1 : 0;2r Z 0

ıEn.1/

.0/ .x/ .V30 .x/ n

D

C V40 .x//

.0/ n .x/ dx

; n D 0; 1 :

0;2r0

Der x 3 Term trägt nicht bei, da der Integrand eine ungerade Funktion ist. Die Verschiebung durch den x 4 -Term ist ıE0.1/ D 0;0042 „! D 7;9  104 eV ;

ıE1.1/ D 0;021 „! D 3;9  103 eV :

Aufg. 10.4 b) 2p1=2 -Zustand: n D 2; l D 1; j D 1=2. ıE2rel D 2;683  105 eV; ıE2SB D 3;066  105 eV; ıE2Dir D 5;749  105 eV: 2p3=2 -Zustand: n D 2; l D 1; j D 3=2. ıE2rel D 2;683  105 eV; ıE2SB D C1;533  105 eV; ıE2Dir D 1;150  105 eV: Aufg. 10.5 a) Elektron im Potentialtopf. „2  2 .22  12 / ; 2 me a 2

E D E2  E1 D

f D

E D 2;727  1014 Hz: 2 „

Das Übergangs-Matrixelement des elektrischen Dipolmoments ist proportional zu: xm;n

2 D a

Za sin

n  x  m  x  x   sin dx ; a a a

0

x2;1 D 0;18; x4;1 D 0;014;    ; aber x3;1 D x5;1 D : : : D 0 : b) Elektron im harmonischen Oszillatorpotential, Nullpunktsenergie „!=2 D 1 eV. Einzustrahlende Frequenz für den Übergang 0 ! 1: f D 4;8  1014 Hz. Die Übergangs-Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments sind e xm;n mit C1 Z

xm;n D

m .x/

x

n .x/ dx

:

1

Dies ist proportional zu 1

1

um;n D p p 2m mŠ 2n nŠ

C1 Z

Hm .u/ u Hn .u/ exp  u2 du :

1

Unter Benutzung der Fehlerfunktion (A.6) sind die Integrale analytisch lösbar, z. B. u1;0 D

p

C1 r 1  Z p 1  u exp.u2 / 2 2 C erf.u/ : 2 u exp.u / du D 2  D 2 4 2 1 1

Ergebnis: u1;0 D 1;25, u2;1 D 1;77, u3;2 D 2;17 und u2;0 D u3;0 D u3;1 D 0.

Literaturverzeichnis

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251

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Sachverzeichnis

A Absorption von Strahlung 129 ˛-Zerfall 48 antiprotonische Atome 109 Atommodell Bohr 104 Rutherford 103 Atomorbital 118 Atomuhr 4 Ausschließungsprinzip 111 Auswahlregeln 172, 234 B Balmer-Formel 18, 103 Bell’sche Ungleichung 150, 228 Bohr Atommodell 104 Magneton 87 Radius 105 Boltzmann Konstante 226 Verteilung 226 Bose-Einstein Verteilung 226 Kondensation 16 Statistik 111 Vestärkungseffekt 127 Boson 111, 126

9, 195

D Darwin-Term

E Ehrenfest-Theorem 66 Eigenfunktion 28, 56, 211 Eigenwert 28, 56 Eigenwertgleichung 28 Einstein EPR-Paradoxon 143 Koeffizienten 132 Energie-Zeit-Unschärfe 64 Entartung 98 Erwartungswert 60, 69 F

C Compton-Effekt

de Broglie Wellenlänge 23 Dekohärenz 154 Deltafunktion 57 Differentialquotient 182 Dirac Deltafunktion 57 ket- und bra-Vektoren 57 Notation 57 Doppelspaltexperiment 5, 8 Drehimpuls Addition 84, 219 Kugelkoordinaten 78, 216 Leiteroperatoren 80 Operator 75 Vertauschungsregeln 76, 80

167

Fehlerfunktion 185 Feinstrukturkonstante Fermi-Dirac Verteilung 226 Statistik 111

166

253

254

Sachverzeichnis

Fermi-Energie 226 Fermion 111 Fourier Integral 188 Reihe 186 Transformation 189

Kroneckersymbol

G

M

Gamow-Faktor 48 Gaußfunktion 185 Gesamtdrehimpuls 85 gleichzeitige Messbarkeit Gruppengeschwindigkeit

magnetische Kernresonanz magnetisches Moment Bohr’sches Atommodell Elektron 1, 88 Proton, Neutron 89 Quantenheorie 88 Matrixelement 234 mesonische Atome 109 Messprozess 65, 155

58

L Laplace-Operator 192 Laser 3, 134 Lebensdauer 65, 128

63, 211 40

H Hamilton-Operator 55 harmonischer Oszillator 37, 204 Heisenberg Mikroskop 12 Unschärferelation 30, 42, 63 Helium-Atom 112 Austausch-Integral 225 Coulomb-Integral 225 Hybridfunktion 119

Nabla-Operator 56, 192 Nichtlokalät 141 Nichtvertauschbarkeit 62 Norm 58 Normierung 29 Nullpunktsenergie 35 Nullpunktsschwingungen 38 O

K Kernspin-Tomografie 3, 91 Kollaps Wellenfunktion 66 Kommutator 62 komplexe Zahlen 178 komplexer Phasenfaktor 179 Kontinuitätsgleichung 196 Koordinatensystem Kugelkoordinaten 192 Zylinderkoordinaten 194 Kopenhagener Deutung 29 Korrespondenzprinzip 107

87

N

I identische Teilchen Bosonen 126 Fermionen 111 Impulsoperator 56 Impulsraum 212 Integral 184 Interferenzexperimente Elektronen 7 Moleküle 15 Neutronen 11

91

Observable inkompatible 63 kompatible 63 Operator Bahndrehimpuls 75 Energie 24 Energie, Impuls 24 Hamilton 26 Impuls 24, 56 Laplace 192 Nabla 56, 192 Ort 57 selbstadjungiert 209 Operatoren nicht vertauschbare 63 vertauschbare 62, 211 Optische Übergänge 168 Orthogonalität 58 Ortsoperator 57 P partielle Ableitung Pauli Matrizen 83

191

Sachverzeichnis

255

Prinzip 111 Phasengeschwindigkeit 39 Planck Strahlungsformel 131 Wirkungsquantum 23 polarisiertes Licht 67 Positronium 106 Potentialstufe 43 Potentialtopf dreidimensional 202 endlich 35, 198 kreisförmig 200 unendlich 33 Q Quanten-Klassik-Übergang 12, 154 Quantenelektrodynamik QED 88, 125 Quantenstatistik 226 Quantenzahlen Atome 111 Bahndrehimpuls 78 Spin 83

Strahlung Absorption 129, 170 spontane Emission 128, 135 stimulierte Emission 129, 171 Superpositionsprinzip 58, 71, 142 T Taylorentwicklung Tunneleffekt 45

183

U Unschärfe Definition 63 Unschärferelation 30, 63 Ort-Impuls 64 Wellenpaket 42 Zeit-Energie 64 V Vakuumfluktuation 135 Verschränkung 142, 146

R W Rastertunnelmikroskop

21, 46

S Schalenstruktur 117 Schrödinger-Gleichung 26 zeitabhängig 25 zeitunabhängig 27 Schrödinger-Katze 154 selbstadjungierte Operatoren 209 Skalarprodukt 57, 58 Spektrallinien 18, 105 Spin Operator 82 Singulett 84, 115, 144, 227 Triplett 84, 114 Spinraum 210 spontane Emission 128 Störungsrechnung zeitabhängig 169, 232 zeitunabhängig 163 Stern-Gerlach-Experiment 90 stimulierte Emission 129, 171

Wahrscheinlichkeits-Stromdichte 197 Wahrscheinlichkeitsinterpretation 7, 28, 29 Wasserstoff-Atom 95 Radialfunktionen 97 bildliche Darstellung 100 Feinstruktur 165 Radialgleichung 221 relativistische Korrektur 165 Spin-Bahn-Kopplung 166 Wellenfunktion 224 Winkelgleichungen 96 Welle-Teilchen-Komplementarität 20 Wellenpaket 40 gaußförmig 41, 156, 206 Zerfließen 42, 156 Z Zeeman-Effekt 99 Zustandsdichte massive Teilchen 202 Photonen 204