Mathematische Hilfsmittel der theoretischen Physik Prof. Honerkamp∗ Wintersemester 2003 Copyright © 2004 Raimar Sandner. Es wird die Erlaubnis gegeben, dieses Dokument unter den Bedingungen der von der Free Software Foundation veröffentlichten GNU Free Documentation License (Version 1.2 oder neuer) zu kopieren, verteilen und/oder zu verändern. Eine Kopie dieser Lizenz ist unter http://www.gnu.org/copyleft/fdl.txt erhältlich.

Inhaltsverzeichnis Vorwort

3

1 Vektoren

3

1.1 Einführung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Basisvektoren und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.2 Die Gleichung für eine Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.3 Verallgemeinerung auf R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.2 Der Levi-Civita-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.3 Der Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.4 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.1 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.3 Schnittgerade zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Bahnkurven

11

2.1 Bahnkurven als vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ∗ Mitschrift

von Inka Benthin und Raimar Sandner

1

2.2 Parameterdarstellung von Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Ein spezialler Parameter: Die Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Hauptnormale, Krümmung und Krümmungsradius . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Die epizyklische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Kräfte

17

3.1 Addition von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Addition von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Das Kräftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Die Gesetze der Starrkörperstatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Felder

20

4.1 Der Begriff des Feldes und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Der Gradient eines skalaren Feldes, der Nabla-Operator . . . . . . . . . . 22 4.3 Produktregel und Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Die Richtung des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.5 Rotation und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.6 Das Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.7 Konservative Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Bewegungsgleichungen

28

5.1 Die Newtonschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Beispiele für Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3 Konstanten der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6 Der harmonische Oszillator

31

6.1 Das Superpositionsprinzip für lineare Differentialgleichungen . . . . . . . 31 6.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.3 Komplexwertige Lösungen der Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.4 Die inhomogene Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.5 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.6 Der harmonische Oszillator mit Dämpfung und beliebiger äußerer Kraft . 41 6.7 Ein Beispiel einer nichtlinearen Schwingung: Das Pendel mit harmonischem äußerem Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.8 Ein kleiner Einblick in numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.9 Das Foucaultsche Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

7 Matrizen

44

7.1 Rechenregeln und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.3 Die Transformation der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Vorwort Beim Vorliegenden Text handelt es sich um eine inoffizielle Mitschrift aus der Vorlesung „Mathematische Hilfsmittel der theoretischen Physik“ von Professor Honerkamp, Wintersemester 2003. Sie kann selbstverständlich Fehler enthalten und ist daher für Klausuren nicht zitierfähig. Korrekturen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen ([email protected]). Der Text wurde mit LATEX 2ε in Verbindung mit dem AMS-Paket für die Formeln gesetzt. Die Grafiken wurden mit XY-pic erstellt, Plots mit Mathematica.

1 Vektoren 1.1 Einführung von Vektoren am Beispiel von Verschiebungen in der Ebene. M : Menge der Punkte in der Tafelebene Q − − → P Q≡~ a

P

−− → 1. P P = ~0 −−→ − −→ P Q = −QP

Länge: |~a|. |~a| = 0 ⇔ ~a = ~0

2. Addition ~c = ~a + ~b

Q ~b

~ a

P

~ c

~a + ~0 = ~a ~a + (−~a) = ~0 ~a + ~b = ~b + ~a

R

(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)

3

3. Multiplikation mit Elementen aus R, λ~a: 0~a = ~0 1~a = ~a −1~a = −~a

(λν)~a = λ(ν~a) Für λ =

1 |~ a| :

~a Einheitsvektor |~a| ~a |~a| = |~a| |~a| = 1

Falls die Punkte 1-3 erfüllt sind, spricht man von einem Vektorraum. Ist dieser verknüpft, wie hier mit einer Menge M von konkreten Punkten, so ist dies ein affiner Raum. Sei O der Bezugspunkt in M :

~ r

P ~r ist Ortsvektor.

O Anwendungen: ~ v

O

n o Gerade: ~r ~r = ~r0 + ~v t, t ∈ R o n −−→ P OP = ~r, ~r = ~r0 + ~v t, t ∈ R

~ r0

P1 ~ r1 −~ r2

P2

~ r1

O

~ r2

~r = ~r2 + λ(~r1 − ~r2 ) = ~r1 + µ (~r1 − ~r2 )

4

λ∈R µ∈R

1.2 Basisvektoren und lineare Unabhängigkeit |~e1 | = 1

~r = x1~e1 + x2~e2 |{z}

~ e2

Komponente

. O

|~e2 | = 1

{O, ~ei , i = 1, 2} Koordinatensystem

~ e1



 x1 oder (x1 , x2 ) x2     0 1 ~e2 ≡ ~e1 ≡ 1 0 ~r ≡

α~r = αx1~e1 + αx2~e2    αx1 = αx2
1 Addition ~x + ~y heißt dann xx12 +y +y2 . 

x1 α x2

Drei Vektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 heißen linear unabhängig, wenn α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 = 0 nur α1 = α2 = α3 = 0 als Lösung hat.

1.3 Das Skalarprodukt Verknüpfung „ ·“ für zwei Vektoren:
~a · ~b = |~a||~b| cos (~a, ~b) = a1 · b1 + a2 · b2 + · · · + a n · bn

Folgerung ~a · ~b = 0 wenn ~a ⊥ ~b ~a · ~b = ~b ·~a (λ~a) · ~b = λ(~a · ~b) ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c ~a2 ≡ ~a ·~a = |~a|2

~e1 · ~e1 = 1

5

|~a| =

√ ~a2

~e1 · ~e2 = 0

~a · ~b = (a1~e1 + a2~e2 ) · (b1~e1 + b2~e2 ) = a 1 b1 + a 2 b2 =

2 X

a i bi

i=1

~a2 = a21 + a22

|~a| =

q

a21 + a22

1.4 TODO 1.4.1 TODO 1.4.2 Die Gleichung für eine Gerade

~ v ~ r(t1 )

~r(t) = ~r0 + t~v

~ r(t2 ) ~ n

O

sei ~n ⊥ ~v Ist ~v = (v1 , v2 ), so z.B. ~n = (−v2 , v1 )

~ r0

Dann folgt ~n · ~r = ~n · (~r0 + t~v ) = ~n · ~r0 ≡ d. ~n · ~r = d Die Gerade ist charakterisiert durch ~n, d. Umgekehrt: Sei die Gerade durch ~n · ~r = d gegeben, dann ist ~r wie folgt gegeben: Eine Lösung ist: ~r ≡ ~r0 = ~n~n2 , da ~n · ~r0 = ~n · ~n~n2 d = d. Andere Schlussweise: Ansatz ~r0 = α~n !

~n · ~r = α~n2 = d

⇒

α=

d ~n2

Ist ~n · ~r0 = d, so auch ~n(~r0 + t~v ) = d, wenn ~v ⊥ ~n. In der expliziten Darstellung ~r(t) = ~r0 + t~v sind ~r0 und ~v vorgegeben. In der impliziten Darstellung ~n · ~r = d sind ~n und d vorgegebn. ~n ⊥ ~v , also ~r0 =

~ n ~ n2 d,

6

mit |~n| = 1 ist |~r0 | = d.

Beispiel ~n = (1, 0), d = 2. ~n · ~r = (1, 0) · (x~e1 + y~e2 ) = 2

y

=~ e1

⇒

x=2 ~n ~r0 = 2 d = 2~n = 2~e1 ~n

~ r0

2

O

x

Für ~n = α~e1 + β~e2 folgt ~n · ~r = (α~e1 + β~e2 ) · (x~e1 + y~e2 ) = d αx + βy = d

⇒ 1.4.3 Verallgemeinerung auf R3

Gerade: ~r = ~r0 + t~v , t ∈ R, ~r0 , ~v ∈ R3

Ebene: ~r(λ, µ) = ~r0 + λ~v1 + µ~v2

Beispiel ~r0 = 2~e3 , ~v1 = ~e1 , ~v2 = ~e2 ~r(λ, µ) = 2~e3 + λ~e1 + µ~e2

1.5 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 1.5.1 Definition ~ ∝ |~r| Drehmoment |D| ~ ∝ |K|

~ K ~ r

~ ⊥ ~r, K ~ D }  ~  0, wenn ~r k K
~ ~ ~ ~ · ~n D = ~r × K = |~r||K| sin (~r, K)   ~ |~n| = 1 ~n ⊥ ~r, K |

Rechenregeln:

{z

~a × ~b = −~b × ~a ~a × ~a = 0 α~a × ~b = ~a × α~b = α(~a × ~b)

7

|~a × ~b| ist gleich der Fläche des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms. ~b

|~b| · sin ϕ

ϕ

Fläche: |~a| · |~b| · sin ϕ = |~a × ~b|

~ a

1.5.2 Der Levi-Civita-Tensor und das Vektorprodukt in Koordinatenschreibweise. Rekapitulation Kreuzprodukt. Distributivgesetz: ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c. Insbesondere: ~e1 × ~e2 = ~e3

~e2 × ~e1 = −~e3

~e2 × ~e3 = ~e1 ~e3 × ~e1 = ~e2

~e3 × ~e2 = −~e1 ~e3 × ~e1 = −~e2

ε123 = ε231 = ε312 = 1 ε213 = ε321 = ε132 = −1

εijk = 0 sonst, z.B. ε112 = ε232 = · · · = 0 ~ei × ~ej = z.B. ~e1 × ~e2 =

3 X

εijk ~ek

k=1 3 X

ε12k~ek = ~e3

k=1

Seien ai die Koordinaten des Vektors~a, so nennt man {~ai } auch Koordinaten des Tensors 1. Stufe ≡ Vektor. Dann ist X X X ~bj ~ej = ~a × ~b = ~ai~ei × ~ai · ~bj · (~ei × ~ej ) i

=

X

i,j,k

Mit ~c := ~a × ~b =

X

j

i,j

ai bj εijk ~ek | {z } ck

ck~ek folgt

k

ck =

X

εijk ai bj =

X

εkij ai bj

i,j

i,j

Also c1 =

X i,j

c2 =

X i,j

c3 =

X i,j

ε1ij ai bj = a2 b3 − a3 b2 ε2ij ai bj = a3 b1 − a1 b3 ε3ij ai bj = a1 b2 − a2 b1

8

1.5.3 Der Entwicklungssatz ~a × (~b × ~c) = ~b · (~a · ~c) − ~c · (~a · ~b) (~a × ~b) × ~c = ~b · (~a · ~c) − ~a · (~b · ~c)

Beweis h i X εijk ai (~b × ~c)j ~a × (~b × ~c) = k

ij

X

=

εijk ai · εmnj bm cn =

X

a i bm cn

εkij · εmnj

j

imn

ijmn

hX

i

(1)

Außerdem gilt: X j

εkij εmnj = (δkm δin − δkn δim )

δkm :=

(

1 0

für k = m sonst

Zusammen mit (1) folgt also: h i X ~a × (~b × ~c) = ai bm cn (δkm δin − δkn δim ) k

= bk (~a · ~c) − ck (~a · ~b) ,

weil

P

m bm δkm

= bk und

P

n

ai cn δin = ~a · ~c.

2

1.5.4 Das Spatprodukt Seien ~a, ~b, ~c drei Vektoren in R3 . Dann ist µ = ~a · (~b × ~c)

µ∈R

das Spatprodukt der Vektoren ~a, ~b, ~c. µ ist das Volumen des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Parallelepipeds.

~ a×~b

~ c

Parallelepiped

h ~ a ~ a

h = |~c| · cos (~c, ~a × ~b)

V = Grundfläche · h = |~a × ~b| · |~c| cos (~c, ~a × ~b) = |(~a × ~b) · ~c|

Für das Spatprodukt gilt: 9

1. (~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b Beweis   (~a × ~b) · ~c = (~a × ~b) · (~c − ~a) = (~a − ~c + ~c) × ~b · (~c − ~a)   = (~c × ~b) · (~c − ~a) da (~a − ~c) × ~b · (~c − ~a) = 0 = −(~c × ~b) ·~a = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b analog

2

2. Das Spatprodukt verschwindet genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind. 3. Das Spatprodukt ist linear in allen Faktoren:   ~a × (~b1 + ~b2 ) · ~c = (~a × ~b1 ) · ~c + (~a × ~b2 ) · ~c

1.6 Anwendungen 1.6.1 Der Sinussatz

~a + ~c = ~b ~a × ~b = ~a × (~a + ~c) = ~a × ~c

~ c

~b

α

|~a| · |~b| sin α = |~a| · |~c| · sin β

β ~ a

⇒

|~b| |~c| = sin β sin α

1.6.2 Seien~a, ~b, ~c ∈ R3 linear unabhängige Vektoren. Dann ist ~r = α~a +β~b+γ~c. Bestimmung von α, β, γ: ~r · (~b × ~c) = α~a(~b × ~c) + β~b(~b × ~c) + γ~c(~b × ~c) =0

⇒ α=

~r · (~b × ~c) ~a · (~b × ~c)

β=

~r · (~c × ~a) ~b · (~c × ~a)

10

=0

γ=

~r · (~a × ~b) ~c · (~a × ~b)

1.6.3 Schnittgerade zweier Ebenen Sei E1 : ~n1 · ~r = d1 und E2 : ~n2 · ~r = d2 mit |~n1 | = |n~2 | = 1.

Die Richtung der Schnittgerade steht senkrecht auf ~n1 und ~n2 . r = ~r0 + ~ut

~u = ~n1 × ~n2

Berechnung des Stützvektors ~r0 : ~n1 · ~r0 = d1 ~n2 · ~r0 = d2 Ansatz: ~r0 = α~e1 + β~e2 + γ~e3

2 Bahnkurven 2.1 Bahnkurven als vektorwertige Funktionen

~r(t) =

3 X

xi (t)~ei = x1 (t), x2 (t), x3 (t)

i=1

~ e3

~r(t1 )

~r˙ (t) =

x˙ i (t)~ei = ~v (t)

i=1

~r(t2 ) ~ e2

3 X

~r¨(t) =

3 X

x¨i (t)~ei = ~a(t)

i=1

O

~ e1

Ist [xi ] = m, [t] = s, dann [x˙ i ] = m s−1 , [~v ] = m s−1

Beispiel Gleichförmige geradlinige Bewegung:

~v ~r0

~r(t) = ~r0 + ~v t, ~r˙ (t) = ~v ~r¨(t) = 0

11

~v = const




Beispiel Kreisbewegung: ~ e2

~r = r cos ϕ~e1 + r sin ϕ~e2 , r = |~r| ϕ = ωt; T = Umlaufzeit, Periode 2π 2π = ωT ⇒ ω = = 2πν T 1 mit ν = (Frequenz) T t 7→ ~r(t) R → R3

~r ϕ ~ e1

~r(t) = r · cos(ωt)~e1 + r · sin(ωt)~e2 ;

~r2 (t) = r2 = const

r(t) ˙ = −rω sin(ωt)~e1 + rω cos(ωt)~e2 Für ωt = 0 : ~v (t) =↑, für ωt =

π 2

: ~v (t) =←.

Man beobachtet, dass ~r senkrecht auf r˙ steht, denn: d dt

~r(t) · ~r(t) = r 2 ⇒ ⇒

r(t)~ ˙ r (t) + ~r(t)r(t) ˙ =0 2r(t) ˙ · ~r(t) = 0

⇒

~r(t) ⊥ r(t) ˙

Außerdem gilt: r˙ 2 (t) = (−rω)2 sin2 (ωt) + (rω)2 cos2 (ωt) = r2 ω 2 r¨(t) = −rω 2 (ωt)~e1 − rω 2 (ωt)~e2 = −ω 2~r(t)

2.2 Parameterdarstellung von Bahnkurven Z.B. Parameterdarstellung eines Kreises: ~r(ϕ) = r cos ϕ~e1 + r sin ϕ~e2 ~r(t) = r cos(ωt)~e1 + r sin(ωt)~e2 | {z } | {z } x1 (t)

0 ≤ ϕ ≤ 2π 0≤t≤T

x2 (t)

Beispiel (Archimedische Spirale) ~r(ϕ) = ϕ cos ϕ, ϕ sin ϕ x

y




Beispiel ~r = (t, t2 ), also y = x2 . Hier ist y als f (x) darstellbar. x y

12

7.5 5 2.5 -5

-10

5

10

-2.5 -5 -7.5 -10

Abbildung 1: Archimedische Spirale 2

1.5

1

0.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Abbildung 2: y = x2 Beispiel ~r = (ϕ − sin ϕ, 1 − cos ϕ) ϕ = 2π y

x

2π Beispiel ~r = (t2 − 1, t3 − t)

y 0.4 t=0

x t = ±1

-1

-0.4

13

2.3 Ein spezialler Parameter: Die Bogenlänge Sei ~r(t) = ~r0 + ~v t. ~r(t) = ~r0 +

~v ·s v

d~r ~v = ds v

~v ~r(s) = ~r0 + s v d~r = 1 ⇒ |d~r| = |ds| ds |∆~r| = |∆s|

Für die Kreisbewegung:

~r

s

~r(ϕ) = r cos ϕ~e1 + r sin ϕ~e2 s s ⇒ ~r(s) = r cos ~e1 + r sin ~e2 r r s s d~r ~e1 + cos ~e2 = − sin ds r r

ϕ

Sei ~g(s) =

d~ r ds

mit s = vt, v = |~v |

=Tangenteneinheitsvektor. |~g| = 1.

Wie findet man allgemein s = s(t), wenn ~r(t) gegeben ist? d~r(t) d~r (s(t)) da |~v | = |~v | = dt dt d~r ds ds = · = ds dt dt =1

⇒

ds = |~v | dt Z t Z tq s(t) = |~v (t0 )| dt0 = ~r˙ 2 (t0 ) dt0 0

0

Beispiel Sei ~v (t) = const. Dann ist s(t) =

Z

t 0

|~v | dt0 = v

Z

t

dt0 = vt.

0

Für die Kreisbewegung: ~v (t) = ~r˙ (t) = −ωr sin(ωt)~e1 + ωr cos(ωt)~e2 |~r˙ (t)| = |~v (t)| = ωr

⇒

s(t) =

14

Z

t 0

dt0 ωr = ωrt = rϕ

d~r =1 ds

2.4 Hauptnormale, Krümmung und Krümmungsradius 2

d ~ r (s) g |~g | = 1. Man betrachte d~ ds = ds2 . d~g(s) d2~r(s) = ≡ Krümmung κ := ds ds2 1 ρ = ≡ Krümmungsradius κ

Sei ~r(s) gegeben, ~g(s) =

d~ r ds ,

Beispiel (Kreisbewegung) s s d~r ~e1 + cos ~e2 = sin ds r r s s 1 1 d2~r = − cos sin ~ e − ~e2 1 ds2 r r r2 r d ~r(s) 1 1 = κ = ρ= =r ds r κ

⇒ Hauptnormale: ~n(s) = g(s):

1 d2~r mit |~n(s)| = 1. Die Hauptnormale steht senkrecht auf κ ds2 ~g (s) · ~g (s) = 1 ⇒ ⇒

~ d~g (s) = 0 g(s) ds d2~r d~g (s) = 2 ~g (s) ⊥ ds ds

n o Binormale: ~b = ~g × ~n. ~g , ~n, ~b heißt das begleitende Dreibein.

2.5 Die epizyklische Bewegung Additionstheoreme: cos ((ω1 + ω2 )t) = cos ω1 t cos ω2 t − sin ω1 t sin ω2 t

sin ((ω1 + ω2 )t) = − sin ω1 t cos ω2 t + sin ω2 t cos ω1 t

15

(2)

~e 02 P

~ e02

~e2

~r2

P0

~ e01

~r1

ω2 t

ω1 t

P0

~e 01

E

~e1

−−→0 EP = ~r1 (t)

−−0→ P P = ~r2 (t) = r2 (cos ω2 t ~e01 + sin ω2 t ~e02 )

= r1 (cos ω1 t ~e1 + sin ω1 t ~e2 )

~e01 = cos ω1 t ~e1 + sin ω1 t ~e2 ~e02 = − sin ω1 t ~e1 + cos ω1 t ~e2 ~e01 · ~e02 = − cos ω1 t sin ω1 t + sin ω1 t cos ω1 t = 0 −−→ −−→ −− → ~r(t) = EP 0 + P 0 P = EP = r1 (cos ω1 t ~e1 + sin ω1 t ~e2 ) + r2 cos ω2 t (cos ω1 t ~e1 + sin ω1 t ~e2 ) + r2 sin ω2 t (− sin ω1t ~e1 + cos ω1 t ~e2 ) Wegen der Additionstheoreme (2): ~r(t) = (r1 cos(ω1 t) + r2 cos (ω1 + ω2 ) t) ~e1 + (r1 sin(ω1 t) + r2 sin (ω1 + ω2 ) t) ~e2

•

E

~rE (t) S

•

~rEP ~rE (t) =rE (cos(ωE t)~e1 + sin(ωE t)~e2 )

•P

~rP (t)

~rEP

~rP (t) =rP (cos(ωP t)~e1 + sin(ωp t)~e2 ) = ~rP − ~rE = (rp cos ωP t − rE cos ωE t) ~e1

+ (rP sin ωP t − rE sin ωE t) ~e2

mit rp → r1 ; ωp → ω1 ; rE → r2 ; ωE → ω1 + ω2 und Phase von ω2 t → ω2 t + π

16

3 Kräfte 3.1 Addition von Kräften (a)

~1 K

•

~2 K

~ =K ~1 +K ~2 K

Wirkungslinie

•

~ K

(b) Kräfte darf man entlang der Wirkungslinie verschieben.

(c) ~1 K

~ 1 +K ~2 K

~2 K

(d) ~ 1 +K ~2 K

~1 K

~2 K

(e) Parallelverschiebung einer Wirkungslinie:

=

=

+ Kräftepaar

~ auf Kraft K parallel verschobener Wirkungslinie

3.2 Addition von Drehmomenten ~ r •

~ K

~ = ~r × K ~ D

O

Das Drehmoment ist von der Lage des Bezugspunktes abhängig: O•

~ K

~ r ~ r0

~ r0 •

~ 0 = ~r0 × K ~ = (~r0 + ~r) × K ~ = ~r0 × K ~ +D ~ D

O0

17

Drehmomente kann man addieren: ~1 K

~ r1 •

O

~ r2

~ = ~r1 × K ~ 1 + ~r2 × K ~2 D

~2 K

Beispiel (Kräftepaar) ~ K

~ r1 −~ r2

~ r1 •

O

~ = ~r1 × K ~ + ~r2 × (−K) ~ = (~r1 − ~r2 ) × K ~ D

~ −K

~ r2

Daraus folgt: Das Kräftepaar ist unabhänig von der Lage des Bezugspunktes.

3.3 Erste Anwendungen Alle Kräfte seien parallel. N X

~ i = Ki~n K

~i = K

N X i=1

=

N X i=1

Ki~n = K~n

mit K =

i=1

i=1

~ = D

N X

~i = ~ri × K

N X i=1

N X

Ki

i=1

erweitern mit K

~ri × Ki~n

~ri Ki ~ ×K ~ × ~nK = R K

~= mit R

N X ~ri Ki i=1

Beispiel

• • • •

• •

•

mi = Masse des i-ten Massenelements ~ i = (mi g)~n K ~n =↓ X X ~ = ~i = K K mi g = M g~n i

•

O

~ ri

~= R

N X i

~ heißt auch Massenschwerpunktsvektor. R

18

i

~ri mig
PN

j=1

mj g
= M

=

N X mi i=1

M

~ri

K

Beispiel O • ~ r1 • ~1 K

~ r2

~ R

•

•

~ = K1~r1 + K2~r2 = ~r2 + K1 (~r1 − ~r2 ) R K1 + K 2 K1 + K 2 ~ =R ~ ×K ~ D

~2 K

~ K

|

{z

K1 r1 K1 +K2 (~

•

~ R

•

~1 K

− ~r2 ) •

}

P = Angelpunkt = O •

⇒ Drehung um P

~2 K

~ K

3.4 Das Kräftepaar ~ von einem Kräftepaar ist unabhängig vom Bezugspunkt. D ~0 K

~ r0 ~ −K

~ K

~ r

~ = ~r × K ~ D ~ = ~r0 × K ~ ~ + (~r − ~r0 ) ×K = ~r0 × K | {z } ~ ⊥K

Wirkung eines Kräftepaars auf einen Körper:

(a) ist der Körper frei beweglich: Drehung um eine Achse, die durch den Schwerpunkt geht. (b) Wird der Körper im Punkt P festgehalten: Drehung um P .

3.5 Die Gesetze der Starrkörperstatik Ein ruhender Körper bleibt in Ruhe, wenn die Summe der Kräfte, die auf ihn wirken, und die Summe der Drehmomente verschwinden: ~ = K

N X

~ i = ~0 K

~ = D

und

i=1

N X i=1

~ ist dabei unabhängig vom Bezugssystem. D

~ i = ~0 ~ri × K

Beweis ~0 = D

N X i=1

~i = (~ri + ~r0 ) × K

N X i=1

~i + ~ri × K

N X i=1

|

~i ~r0 × K

=~ r0 ×

~ =D 19

{z

}

P~ Ki =0

2

Reaktionskraft

Drehmoment um P:

/// ////////////// //////

~ P = (R ~ − ~r0 ) × K ~ D Falls der Schwerpunkt unterhalb von P liegt:

P •

~ − ~r0 k K ~ ⇒ D ~P = 0 R

~ r0 R−~ •

Ist das nicht der Fall:

~ K

~ r0

~ P 6= 0 D

~ R

O

•

4 Felder 4.1 Der Begriff des Feldes und erste Beispiele Eine Abbildung R3 → R ist ein Beispiel für ein skalares Feld Φ(~r), z.B. T (~r) (Temperatur) oder P (~r) (Druck). R2 → R, z.B. Höhendiagramm:

2

3 1

2 1

0

0

-2 -2

-1 -1

0

0

-1

1

1 2

2

Der skalare Wert der Funktion wird in die dritte Dimension abgetragen.

-2 -2

-1

0

1

2

Darstellung mit Höhenlinien. ~ r ), Von einem Vektorfeld spricht man z.B. bei einer Abbildung R 3 → R3 (z.B. ~v (~r), K(~ ~ ~ E(~r), B(~r)).

20

Beispiele (für skalare Felder und Vektorfelder) ϕ(~r) = rq , r = |~r| Linien, auf denenϕ(~r) = const

~ r ) = −D~r Beispiel K(~

r 2 2~ ~ r )| = γ m1 m ~ r ) = −γ m1 m , |K(~ Beispiel K(~ r3 r2

~ r) = 1 B ~ × ~r, B ~ = const Beispiel A(~ 2 x2

x1

21

4.2 Der Gradient eines skalaren Feldes, der Nabla-Operator f (x) f (x0 + ∆x)

f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = Steigung der Sekante ∆x

•

f (x0 )

•

x0

∆x → 0 f 0 (x) = Steigung der Tangente

x

x0 + ∆x

f (x) f (x0 + ∆x)

f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x + Rest

Rest

•

0

f (x0 )

f (x0 )∆x

•

x0

x0 + ∆x ⇒

x

f (x0 ) + ∆x Rest = −f 0 (x) ∆x ∆x | {z } =f 0 (x) für ∆x→0

f (x0 )

lim∆x→0

Rest =0 ∆x

Eine Funktion heißt im Punkt x0 ∈ I differenzierbar, wenn es eine eindeutige Zahl a gibt, so dass f (x0 + h) = f (x0 ) + a · h + R(x0 , h) ist mit R(xh0 ,h) → 0 für h → 0. Dann ist a = f 0 (x0 ), denn dann ist a = lim

n→0

f (x0 + h) − f (x0 ) R − . h h

Ein skalares Feld Φ(~r) heißt im Punkte ~r0 ∈ G differenzierbar, wenn es einen eindeu~ gibt, so dass Φ(~r0 + ~h) = Φ(~r0 ) + ~hA ~ + R ist mit R → 0 für |~h| → 0. tigen Vektor A |~ h| Was ist A? Sei ~h = (h1 , 0, 0): ~r0 + ~h = (x1 , x2 , x3 ) + (h1 , 0, 0) = (x1 + h1 , x2 , x3 ) Φ(~r0 + ~h) = Φ(x1 + h1 , x2 , x3 ) = Φ(x1 , x2 , x3 ) + h1 · A + Rest also A1 =

dΦ(x1 ) dx1

(Φ als Funktion von x1 betrachtet, x2 , x3 fest) =

∂Φ(x1 , x2 , x3 ) partielle Ableitung ∂x1

Auflösung nach A1 liefert: A1 = lim

h1 →0

∂Φ(x1 , x2 , x3 ) Φ(x1 + h1 , x2 , x3 ) − Φ(x1 , x2 , x3 ) =: h1 ∂x1

Es ergibt sich ~= A



∂ ∂ ∂ Φ, Φ, Φ ∂x1 ∂x2 ∂x3



=

22



∂ ∂ ∂ , , ∂x1 ∂x2 ∂x3



~ Φ = ∇Φ

~ = ∇Φ ~ (Gradient Φ, Nabla Φ) Also A ~ +R Φ(~r + ~h) = Φ(~r) + ~h · ∇Φ

R |~h|→0 −−−−→ 0 |~h|

f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + R

r h→0 −−−→ 0 |h|

analog zu

~ Φ)(~r) = (∇

↑ Nabla

d Φ(~r) d~r

4.3 Produktregel und Kettenregel ~ ~ ~ (a) Es gilt ∇ΦΨ = (∇Φ)Ψ + (∇Ψ)Φ. (b) Für eine Variable f (x), x(t), f (t) = f (x(t)) = f ◦ x(t): df dx df = · Kettenregel dt dx dt Beweis f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + R1 x(t) = x(t0 ) + x(t ˙ 0 )(t − t0 ) + R2

R1 → 0

↑ stärker als |x−x0 | für x→x0

R2 → 0

↑ stärker als |t−t0 | für t→t0

Sei x0 = x(t0 ), x = x(t). f (x(t)) = f (x(t0 )) + f 0 (x(t0 ))(x(t ˙ 0 )(t − t0 ) + R2 ) + R1 0 = f (t0 ) + f (x(t0 )) · x(t ˙ 0 )(t − t0 ) + R mit R = f 0 (x0 )R2 + R1 → 0. R geht stärker als |t − t0 | gegen 0 für t → t0 , da R2 das tut und R1 stärker als |x − x0 | ∼ |t − t0 | gegen 0 geht für t → t0 . Daraus folgt:   f (t) = f (t0 ) + f 0 (x0 ) · x(t ˙ 0 ) · (t − t0 ) + R 2 f =d dt

Für ein skalares Feld Φ(~r(t)) gilt: dΦ(t) ~ r (t)) · ~r˙ (t) ≡ dΦ · d~r . = ∇Φ(~ dt d~r dt

Beweis   ~ r0 ) · (~r − ~r0 ) + R1 Φ(~r) = Φ(~r0 ) + ∇Φ(~ ~r(t) = ~r(t0 ) + ~r˙ (t0 )(t − t0 ) + R2 23

Sei ~r(t0 ) = ~r0 und ~r(t) = ~r.

⇒

  ~ r0 ) · ~r˙ (t0 )(t − t0 ) + R2 + R1 Φ(~r) = Φ(~r0 ) + ∇Φ(~ dΦ (t − t0 ) + R dt

Φ(t) = Φ(t0 ) +

⇒

dΦ ~ r0 ) · ~r˙ (t0 ) = ∇Φ(~ dt

Beispiel 1. Φ(~r) = ~r2 = x21 + x22 + x23 . Dann ist   ∂ ~ = Φ, . . . = 2(x1 , x2 , x3 ) = 2~r ∇Φ ∂x1 2. Φ(~r) = f (r) mit r = |~r| =

p

x21 + x22 + x23 . Dann ist

∂ f (x) = ∂x1 ∂r = ∂x1

∂f ∂r · ∂r ∂x1 1 x1 p 2x1 = 2 2 2 r 2 x1 + x2 + x3

Entsprechend x2 , x3 , also     x1 x2 ~r ∂r ∂r ∂r ~ = , , , = ∇r = ∂x1 ∂x2 ∂x3 r rj, xr3 r Also:

~ r ) = df ∇r ~ = df · ~r ∇Φ(~ dr dr r

3. Φ(~r) = ~n · ~r. ~n sei irgendein Vektor. Φ(~r) = n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 ~ r ) = (n1 , n2 , n3 ) = ~n ∇Φ(~ Analog zu: f (x) = ax ⇒ f 0 (x) = a.

4.4 Die Richtung des Gradienten ~ +R Φ(~r + ~h) = Φ(~r) + ~h∇Φ ~ = ~n|∇Φ| ~ ~ ∇Φ |~n| = 1, ~n hat die Richtung von ∇Φ ~ +R Φ(~r + ~h) = Φ(~r) + ~h · ~n|∇Φ| | {z } Zuwachs

~h · ~n = |~h||~n| cos(~h, ~n) =maximal, wenn ~h k ~n.

24

2

~ = 2~r. Beispiel Φ(~r) = ~r2 , also ∇Φ

• • ~ r 2 =1

~ r 2 =4

~ auch die Ableitung von Φ in Richtung ~h. Man nennt ~h · ∇Φ

4.5 Rotation und Divergenz ~ = Mit dem Operator ∇



∂ ∂ ∂ ∂x1 , ∂x2 , ∂x3

~ r ) ein Vektorfeld, so nennt man Sei A(~



kann man bilden:

~ · A(~ ~ r ) = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3 ∇ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ~ und ∇ ~ × A(~ ~ r ) nennt man Rotation von A. ~ die Divergenz von A ∂ ∂ A3 − A2 ∂x2 ∂x3 ~ × ∇Φ ~ = ~0. So gilt zum Beispiel: ∇ ~ × A) ~ 1= (∇

~ × A) ~ 2,3 entsprechend (∇

Man kann bilden:    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , · , , Φ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3  2  ∂ ∂2 ∂2 = + + Φ = ∆Φ ↑ ∂x21 ∂x22 ∂x23

~ · ∇Φ ~ = ∇



Laplace-Operator

Bemerkung (Anwendung der Kettenregel) Sei M eine Mannigfaltigkeit gegeben durch die Gleichung Φ(~r) = d = const. Sei ~r(s) eine Bahnkurve in M . Man betrachte Φ(~r(s)) = d für alle s. ~ · d~r = 0. Da Ableitung nach s ergibt ∇Φ ds ~ normal auf M in ~r. Tangente in ~r, ∇Φ

d~ r ds

~ ⊥ ein Tangentialvektor an M ist, folgt ∇Φ

Beispiel Φ(~r) = ~n · ~r = d ist die Ebene senkrecht zu ~n. ~ r ) = ~n ⊥ Ebene = Mannigfaltigkeit ∇(~

25

4.6 Das Kurvenintegral ~ r ) ein Vektorfeld, ~r(s) eine Bahnkurve. Man nennt Sei K(~ Z s2
~ ~r(s) · d~r ds K A= ds Zs 1 o n ~ r) = d~r K(~ C = ~r(s) s1 ≤ s ≤ s2 C

 ein Kurvenintegral über die Kurve ~r(s) s1 ≤ s ≤ s2 . ~ K

• ∆~ r

~ r1 =~ r (s1 )

O

•

~ r2 =~ r (sn )

Z ~r2 ~ · d~r K A= ~ r1 ,C  mit C = ~r(s) s1 ≤ s ≤ sn

~ · ∆~r ∆A = K

∆~r =

d~r ∆s ds

Da ∆~r = ~r(s + ∆s) − ~r(s) = ~r˙ ∆s für ∆s → 0. ~ · d~r ∆s ∆A = K ds  X
~ ~r(si ) · d~r(si ) ∆s K A = lim ∆s→0 dsi i  Z sn 
~ ~r(s) · d~r ds K = ds s1

⇒

~ r ) = (−y, x) Beispiel ~r = (x, y), K(~ ~ e2

• r2

C1a : ~r(s) = (s, 0)

C2

(0, 0) = ~r1

•

C1a C1b C2

= (1, 1) C1b : ~r(s) = (1, s − 1) 1 ≤s ≤ 2 C2 : ~r(s) = (s, s) 0 ≤s ≤ 1

C1b

C1a

0 ≤s ≤ 1

~ e1

R d~ r ~ ~ · d~r ~ · d~r ~r(s) K K K ds ds ds (s, 0) (0, s) (1, 0) 0 0 R2 (1, s − 1) (1 − s, 1) (0, 1) 1 1 1 ds = 1 (s, s) (−s, s) (1, 1) 0 0 Z ~r2 Z ~r2 ~ · d~r = 1 C2 : ~ · d~r = 0 C1 : K K ~ r1

~ r1

26

~ r ) = ~r: Für K(~

C1a C1b C2

~ ~r(s) K (s, 0) (s, 0) (1, s − 1) (1 − s, 1) (s, s) (s, s) Z ~r2 ~ · d~r = 1 C1 : K

d~ r ds

(1, 0) (0, 1) (1, 1) C2 :

R ~ · d~r ~ · d~r K K ds ds R1 1 s ds = s 2 R2 0 s−1 s − 1 ds = 21 1R 1 2s ds = 1 2s 0 Z ~r2 ~ · d~r = 1 K ~ r1

~ r1

Dieses Feld ist konservativ.

4.7 Konservative Vektorfelder Ein Vektorfeld heißt konservativ, wenn das Wegintergral Z

~ r2

~ r ) · d~r K(~

~ r1 ,C

unabhängig vom Weg C ist, also nur von ~r1 und ~r2 abhängt. ~ r ) ist genau dann konservativ, wenn das Integral über jeden (a) Ein Vektorfeld A(~ geschlossenen Weg verschwindet. ~ konservativ: Beweis Sei A Z ~r1 Z ~r2 Z ~r2 ~ · d~r ~ · d~r = − ~ · d~r = A A A ~ r2 ,−C2 ~ r−1,C2 ~ r1 ,C1 Z Z I ⇒ + = 0, d.h. =0 C1

−C2

Die andere Richtung geht analog, Gleichung rückwärts lesen.

2

~ r ) = −∇Φ ~ darstellen (b) Ein Vektorfeld ist genau dann konservativ, wenn sich K(~ lässt. ~ = −∇Φ, ~ dann ist Beweis „⇒“ Sei K ~ · d~r = − dΦ · d~r = dΦ ~r(s) ~ r ) · d~r = −∇Φ K(~ ds ds d~r ds ds




Daraus folgt: Z

~ r2

~ r1

Z

s2


~ ~r(s) d~r ds = − −∇Φ ds s1 

 = − Φ ~r(s1 ) − Φ ~r(s2 )

~ r )d~r = K(~

Z

s2 s1

dΦ ds ds

Das Wegintegral ist also nur noch abhängig vom Start- und Endpunkt, also konservativ.

27

„⇐“ Sei

Z

~ r2

~ · d~r unabhängig vom Weg. K

~ r1 •~ r

n o C = ~r(σ 0 ) 0 ≤ σ 0 ≤ σ

0

~r(σ ) O

•

Z


Φ(~r) ≡ Φ ~r(σ) := −

σ

0

dΦ ~ · d~r = ∇Φ dσ dσ
dΦ ~ ~r(σ) · d~r = −K dσ dσ


~ ~r(σ 0 ) · d~r = − dσ 0 K dσ 0

Z

~ r

~0,C

~ · d~r K

nach Kettenregel nach Ableitung der Definition

Daraus folgt:

Da

d~ r dσ



~ +K ~ ∇Φ

 d~r =0 dσ

~ +K ~ = ~0, daraus folgt die Behauptung. beliebig ist, folgt ∇Φ

2

~ konservativ, so ist ∇ ~ ×K ~ = 0, da dann (c) Ist K ~ = −∇Φ ~ K

und

~ × ∇Φ ~ = ~0 ∇

~ ×K ~ = 0 in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, so folgt K ~ = (d) Gilt ∇ ~ −∇Φ. Beispiel (für konservative Kraftfelder) ~ = m · ~g mit ~g = −g~ee . Sei Φ = −m~g · ~r. • K ~ = −m · ~g ∇Φ ~ = f (r) · ~r . Wegen ∇r ~ = • K r 0 dass g = f . Dann ist:

~ = −∇Φ ~ = m · ~g K ~ r r

~ und ∇g(r) =

dg(r) dr

· ~rr : Sei Φ(r) = −g(r), so

~r ~ = −∇g(r) ~ ~ ∇Φ = −f (r) = −K r

5 Bewegungsgleichungen 5.1 Die Newtonschen Gesetze ~ ~r, ~r˙, t m · ~r¨ = K




2. Newtonsches Gesetz

28

Das ist eine Differentialgleichung für ~r(t). Eindeutige Lösung ergibt sich, wenn man ~r(0) und ~r˙ (0) vorgibt. m1

•

~ r1 •

O

~ r2

•

m2

~ 12 ≡ Kraft, die von Teilchen 2 m1~r¨1 (t) = K auf Teilchen 1 ausgeübt wird ¨ ~ 21 ≡ Kraft, die von Teilchen 1 m2~r2 (t) = K

auf Teilchen 2 ausgeübt wird

Zile: Berechnung von ~r1 (t), ~r2 (t) ~ 12 = −K ~ 21 3. Newtonsches Gesetz: K

~ r

O

•

•

Es gelte m~r¨ = ~0 im Bezugssystem von O. ~r0 = ~r + ~r0 (t). Dann gilt im Bezugssystem von O 0 :

m

=0

~ r0

Ist nun ~r0 (t) =

~ r0

O0

m~r¨0 = m~r¨0 + |{z} m~r¨ = m~r¨0

1 2 at 2~

(d.h. alo ~r¨0 6= 0), dann:

m~r¨0 = ~am (6= 0)

•

5.2 Beispiele für Bewegungsgleichungen Beispiele (a) m~r¨ = ~0 : ~r(t) = ~r0 + ~v0 t Anfangsbedingungen ~r(0) = ~r0 , ~r˙ (0) = ~v0 (b) m~t¨ = m · ~g , ~g = −g~e3 . Ansatz: ~r(t) = ~r0 + ~v0 t + 12 ~g t2 . Sei ~r0 = h~e3 und ~v0 = v~e1 z ~ e3

h

~ v0

~ e1

 1  ~r(t) = h − gt2 ~e3 + vt~e1 2 ⇒ 1 2 x(t) = vt z(t) = h − gt 2 x

~ = −D~r, ein Reibungsterm R ~ = −2mγ~r˙ . (c) Sei K

29

Mit D = mω02 folgt: m~r¨ + 2 mγ~r˙ +  mω02~r = 0  ~r¨ + 2γ~r˙ + ω02~r = 0

0 ~ r

Man führe den Operator d2 d + 2γ + ω02 dt2 dt

L=

ein. Dann lautet die Gleichung auch L~r(t) = 0. (d) Das Kepler-Problem. m1

~ r1 −~ r2 ~ r1 •

O

•

m1 m2 |~r1 − ~r2 |2   ~r1 − ~r2 m1 m2 ~ 12 =K − m1~r¨1 = γ (~r1 − ~r2 )2 |~r1 − ~r2 |   m1 m2 ~r1 − ~r2 ~ 21 = −K ~ 12 m2~r¨2 = γ =K (~r1 − ~r2 )2 |~r1 − ~r2 | ~ ∝ |K|

•

~ r2

m2

{~r1 (t), ~r2 (t)}

6 Koordinaten ⇒ 6 Differentialgleichungen

Dreikpörperproblem: • ~ r2 ~ r1 •

O

• ~ r3

•

  m1 m2 ~r1 − ~r2 ¨ m1~r1 = − γ (~r1 − ~r2 )2 |~r1 − ~r2 | m1 m3 ~r1 − ~r3 −γ (~r1 − ~r3 )2 |~r1 − ~r3 | m2~r¨2 = . . . m3~r¨3 = . . .

Das Dreikörperproblem ist nicht mehr analytisch lösbar.

5.3 Konstanten der Bewegung Sei

~ r) m~r¨ = K(~

(3)

gegeben. • Man erhält durch Multiplikation mit ~r˙ (t) und Integration von (3): Z t2 Z t2
~ ~r(t) · ~r˙ (t) dt m~r¨(t) · ~r(t) dt = K t1

t1

LS

RS

30

Für die linke Seite, da ~r¨(t) · ~r˙ (t) = LS =

Z

t2 t1

1 d ˙2 r 2 dt ~

ist, folgt:

t2 m d  m ˙2  ~r dt = ~r˙ (t)2 = T (t2 ) − T (t1 ) dt 2 |2 {z } t1 :=T (t)

~ konservativ ist: K ~ = −∇U ~ (~r), also: Für die rechte Seite, falls K  Z t2 Z t2 

d ~ ~r(t) · d~r dt = − ∇U RS = − U ~r(t) dt dt dt t1 t1 h

i = − U ~r(t2 ) − U ~r(t1 )

Insgesamt erhält man die Energieerhaltung im konservativen Kraftfeld:

T (t2 ) + U ~r(t2 ) = T (t1 ) + U ~r(t1 ) E(t2 ) = E(t1 )

• Aus (3) folgt ebenso: ~ r) = D ~ Drehmoment ~r × m~r¨ = ~r × K(~ ~ = ~r × m~r˙ = ~r × p~, dann ist Sei L ~ ~˙ = ~r˙ × m~r˙ +~r × m~r¨ = D L | {z } =0

~ = 0, so ist L ~˙ = 0 und L ~ eine erhaltene Größe (Drehimpulserhaltung). Ist D ~ = 0 immer wenn K ~ = f (r) ~r . D r

6 Der harmonische Oszillator 6.1 Das Superpositionsprinzip für lineare Differentialgleichungen ~r¨ + 2γ~r˙ + ω02~r = 0 Mit ~r = (x, y, z) gilt also auch: x ¨ + 2γ x˙ + ω02 = 0. Dabei sind x(0), x(0) ˙ als Anfangsbedingungen anzugeben. Seien x(1) (t) und x(2) (t) Lösungen der Differentialgleichung, dann ist auch x(t) = αx(1) (t) + βx(2) (t) eine Lösung (Superpositionsprinzip), da  d2 d2  (1) d2 (2) αx + βx = α 2 x(1) + β 2 x(2) . 2 dt dt dt

Mit anderen Worten: Sei L1 := dtd2 , dann   L1 αx(1) + βx(2) = αL1 x(1) + βL1 x(2) .

31

d Das gilt auch für L2 := 2γ dt und L3 := ω02 . Also:

d d2 L = L1 + L2 + L3 = 2 + 2γ + ω02 dt dt   L αx(1) + βx(2) = αLx(1) + βLx(2) = 0 =0

=0

Bemerkung Das gilt nur für lineare Differentialgleichungen. Ein Beispiel für eine nichtlineare Differentialgleichung: x¨ + γx2 = 0 Sei x(1) und x(2) Lösung und x := x(1) + x(2) . x¨ = x¨(1) + x ¨(2) 2  γx2 = γ x(1) + x(2) = γ(x(1) )2 + γ(x(2) )2 + 2γx(1) x(2)

Es gilt nicht: x ¨ + γx2 = 0, schon αx(1) mit α 6= 1 ist keine Lösung mehr:   2 2 α¨ x(1) + γ αx(1) = γ(α2 − α) x(1) 6= 0 q 2 −γ (x(1) )

6.2 Komplexe Zahlen ~r = (x, y) = x~e1 + y~e2

• ~ r ~ e2

O

•

~ e1

Definition ~e1~e1 = ~e1

y

~e1~e2 = ~e2 ~e2~e1 = ~e2 ~e2~e2 = −~e1

x

z = x + iy x =: Re(z) y =: Im(z)

~e1 7→ 1

~e2 7→ i i · i = −1

Man nennt z := x − iy mit z = x + iy gegeben das komplex konjugierte von z. zz = (x + iy)(x − iy) = x2 − ixy + ixy − i2 y = x2 + y 2 = ~r2 = |z|2 √ mit |z| := zz |z| ≥ 0

Man kann leicht zeigen: |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |. z −1 =

z zz

da so: zz −1 =

zz =1 zz

Division durch eine komplexe Zahl: 1 1 1 x − iy x y = = = 2 −i 2 z x + iy x + iy x − iy x + y2 x + y2     x −y 1 1 Re = 2 = 2 Im x + iy x + y2 x + iy x + y2 32

Einheitskreis

i

z = (x, y) = (cos ϕ, sin ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ z

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

ϕ

Eulersche Formel

1

Beweis (der Eulerschen Formel) über die Potenzreihenentwicklung der Sinus- Cosinusund Exponentialfunktion. ez = 1 + z +

∞ X zn z2 z3 + +··· = 2! 3! n! n=0

z3 z5 + −... 3! 5! z4 z2 + −... cos z := 1 − 2! 4! Wegen i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, . . . ist: sin z := z −

i2 z 2 i3 z 3 + +... 2! 3!   z2 z4 z3 =1− + +···+i z − +... 2! 4! 3!

eiz = 1 + iz +

= cos z + i sin z

2

Für: eiϕ = e0 = cos 0 + i sin 0 = 1 π π π ei 2 = cos + i sin = i 2 2 eiπ = cos π + i sin π = −1 3 3 3 ei 2 π = cos π + i sin π = −i 2 2 ei2π = cos 2π + i sin 2π = 1

ϕ=0: π ϕ= : 2 ϕ=π: 3 ϕ= π: 2 ϕ = 2π :

√ −1.

Beispiel Gesucht ist eine Lösung für z = 1

1

π

(−1) 2 = (eiπ ) 2 = ei 2 = i = (e

3iπ

1 2

) =e

i 23 π

ist eine Lösung

= −i

Beispiel (Additionstheorem)
2 eiϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)2 ⇒

ist auch eine Lösung

e2iϕ = cos(2ϕ) + i sin(2ϕ) = cos2 ϕ − sin2 ϕ + 2i sin ϕ cos ϕ

cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ

33

Sei f (t) = ezt mit z ∈ C, dann ist

d dt f (t)

= zezt .

6.3 Komplexwertige Lösungen der Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator x ¨ + 2γ x˙ + ω02 x = 0

(4)

Sei z(t) = x(t) + iy(t) eine komplexwertige Lösung, also z¨ + 2γ z˙ + ω02 z = 0, so gilt auch wegen der Liniarität: x ¨ + 2γ x˙ + ω02 x = 0 y¨ + 2γ y˙ + ω02 y = 0 da L(x + iy) = Lx + iLy = 0 ⇒

Lx = 0 Ly = 0

Ansatz: z(t) = eλt , λ ∈ C, denn so: z(t) ˙ = λeλt

z¨(t) = λ2 eλt

Und damit: 


d d2 ! 2 + 2γ + ω0 eλt = λ2 + 2γλ + ω02 eλt = 0 dt2 dt {z } | =0

⇒

λ2 + 2γλ + ω02 = 0

λ1/2 = −γ ±

q

γ 2 − ω02

Mit λ1 und λ2 erhält man zwei Lösungen der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung kann als Linearkombination dieser beiden Lösungen angesehen werden: z(t) = α1 eλ1 t + α2 eλ2 t
bzw. x(t) = Re z(t) .

α1 und α2 sind durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Durch die Wurzel erhält man eine Fallunterscheidung: (a) Starke Dämpfung: γ > ω0 , also λ = −γ ± ω ˆ mit w ˆ= ist λ1 , λ2 ∈ R.

p

γ 2 − ω02 . In diesem Fall


z(t) = x(t) = e−γt α1 eωˆ t + α2 e−ˆωt ) )   e(... e(... + α2 (−ˆ ω − γ) x(0) = α1 + α2 x(0) ˙ = α1 (ˆ ω − γ) ⇒ x(0) ˙ = α1 (ˆ ω − γ) + α2 (−ˆ ω − γ)

Die zwei Unbekannten α1 , α2 lassen sich mit den zwei Gleichungen bestimmen.

34

6 5 4 3 2 1 4

2

6

8

10

Abbildung 3: Die starke Dämpfung p (b) Schwache Dämpfung: γ < ω0 , also λ = −γ ± iω mit ω = ω02 − γ 2 . Hier sind die beiden Konstanten λ1 , λ2 ∈ C.

z(t) = e−γt α1 eiωt + α2 e−iωt = e−γt (α1 + α2 ) cos ωt + (α1 − α2 )i sin ωt | {z } α1 (cos ωt+i sin ωt)+α2 (cos ωt)−i sin ωt

Das sind zwei Lösungen, die allgemeine reelle Lösung ist: x(t) = e−γt (β1 cos ωt + β2 sin ωt)

3 2 1

1

2

4

3

5

7

6

-1 -2

Abbildung 4: Die schwache Dämpfung (c) Aperiodischer Grenzfall: γ = ω0 . Aus dem Lösungsansatz folgt λ = −γ. Da dies nur eine Lösung ist, benötigen wir einen neuen Ansatz:

⇒

z(t) = f (t)eλt λt ˙ z(t) ˙ = f˙(t)eλt + f (t)λeλt z¨(t) = f¨(t)eλt + 2f(t)λe + f (t)λ2 eλt

In die Bewegungsgleichung (4) eingesetzt, ergibt das: ! z¨ + 2γ z˙ + ω02 z = f¨eλt + 2f˙ (λ + γ) +f (λ2 + 2γλ + ω02 ) eλt = 0 {z } | {z } | q! 0

=0 da λ=−γ

35

=0 da λ=−γ=−ω02

Also f¨(t) = 0, das heißt f (t) = c1 + c2 t, so dass man wieder zwei Lösungen hat: x(t) = e−γt (c1 + c2 t)

6 5 4 3 2 1 2

4

6

8

10

Abbildung 5: Der aperiodische Grenzfall

6.4 Die inhomogene Schwingungsgleichung xges = x1 + x2 m¨ xges = −Dx x1 xges

Andererseits gilt:

•

x2 = x

x ¨ges = x ¨1 + x ¨2 = x ¨1 + x¨

Auslenkung der Feder ↓ (0)

+x

Es folgt:

↑ Ruhelage

m¨ x = m¨ xges − m¨ x1 = −Dx − m¨ x1

Für x1 (t) = const führt das zur bekannten Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators m¨ x = −Dx. Mit dem Ansatz x1 (t) = f0 cos ωt ist x ¨1 = −ω 2 f0 cos ωt, also:

oder

m¨ x = −Dx + mω 2 f0 cos ωt D = ω 2 f0 cos ωt x ¨+ m |{z} | {z } :=f

:=ω02

Mit Dämpfungsterm:

x ¨ + 2ρx˙ + ω02 x = f cos ωt

36

Führt man nun wiederum den Operator L L



d dt



d dt




=

d2 dt2

d + 2ρ dt + ω02 ein, erhält man:

x(t) = f cos(ωt)

Komplexifizierung: Man betrachte x(t) als Realteil von z(t) und f cos(ωt) als Realteil von f eiωt . Denn es gilt:   d z(t) = f eiωt L dt   d (x(t) + iy(t)) = f cos(ωt) + if sin(ωt) ⇒ L dt   d ⇒ L x(t) = f cos(ωt) dt   d y(t) = f sin(ωt) und L dt
d iωt d z(t) = AL(iω)eiωt . Dies gilt, da dt e = Ansatz: z(t) = Aeiωt , dann ist L dt iωt 2 2 iωe (Eigenfunktion). Dabei ist L(iω) = −ω + 2iρω + ω0 . Mit dem Ansatz erhält man: ! f eiωt AL(iω)eiωt =

⇒

AL(iω) = f

⇒

A=

Also: z(t) =

−ω 2

f f = L(iω) −ω 2 + 2iρω + ω02

f eiωt + 2iρω + ω02

⇒

x(t) = Re(z(t))

Wir schreiben A in der Polardarstellung: A |A|

A = |A|eiδ

δ

Dann ist z(t) = |A|ei(ωt+δ) und so
x(t) = Re z(t) = |A| cos (ωt + δ)

37

Für die Berechnung von |A|: |A|2 = AA∗ =

f

f

·

ω02 − ω 2 + 2iρω ω02 − ω 2 − 2iρω ⇒

|A|(ω = ω0 ) =

=

f2 2

(ω02 − ω 2 ) + 4ρ2 ω 2

f → ∞ für ρ → 0 2ρω0

|A| ρ

f ω02

∼ ω −2 ω

ω0 Berechnung von δ:


f ω02 − ω 2 − 2Iρω A= 2 = 2 ω0 − ω 2 + 2iρω (ω0 − ω 2 + 2iρω) (ω02 − ω 2 − 2iρω)
∝ reelle Zahl · ω02 − ω 2 −2iρω | {z } | {z } f

cos δ

−i sin δ

iδ

A = |A|e = |A| (cos δ + i sin δ) sin δ −2ρω 2ρω tan δ = = 2 = 2 cos δ ω0 − ω 2 ω − ω02 2

δ

ω0

1

−π

− π2

ω

− π2 -1

-2

−π

δ als Funktion von ω

tan δ x(t) = |A|(ω) cos (ωt + δ(ω)) Diese Lösung nennt man Partikularlösung. Es gilt: Sei x0 (t) eine Lösung der homogenen Gleichung L(x0 ) = 0 (mit den Anfangsbedingungen x(0), x(0)), ˙ so ist x(t) = x0 (t) + x1 (t) mit x1 (t) =Partikularlösung auch eine Lösung der inhomogenen Gleichung L(x) = f cos(ωt), denn so ist L(x0 + x1 ) = Lx0 + Lx1 = 0 + f cos ωt = f cos ωt

38

Da x0 (t) → 0 für große t, bleibt für große t nur die Partikularlösung übrig. Die allgemeine Lösung lautet: x(t) = e−ρt (α1 cos ω ˜ t + α2 sin ω ˜ t) + |A| cos(ωt + δ) mit ω ˜= α1 , α2 sind durch die Anfangsbedingungen x(0), x(0) ˙ zu bestimmen.

q ω02 − ρ2

x(0) = α1 + |A| cos δ x(t) ˙ = ...

Ausblick: Sei Lx(t) = f1 cos ω1 t + f2 cos ω2 t gegeben. Komplexifizierung: Lz(t) = f1 eiω1 t + f2 eiω2 t Ansatz: z = A1 eiω1 t + A2 eiω2 t ! ⇒ Lz = L(iω1 )A1 eiω1 t + L(iω2 )A2 eiω2 t = f1 eiω1 t + f2 eiω2 t f1 f2 ⇒ A1 = ; A2 = L(iω1 ) L(iω2 )

6.5 Fourier-Reihen Sei f (t) eine beliebige Funktion der Periode T und Kreisfrequenz ω =

2π T .

| {z } T

Man konstruiere die Funktion als Überlagerung der speziellen Funktion ϕ n (t): Normierung ↓

1 ϕn (t) := √ einωt n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . T ∞ ∞ X X 1 f (t) = cn ϕn (t) = cn √ einωt mit Koeffizienten cn ∈ C T n=−∞ n=−∞ f (t) =

∞ X

1 cn √ (cos(nωt) + i sin(nωt)) T n=−∞

∞ ∞ X X 1 1 i = c0 √ + (cn + c−n ) √ cos(nωt) + (cn − c−n ) √ sin(nωt) T n=1 T T n=1

Da f (t) reell ist, muss (cn + c−n ) reell sein, wie auch (cn − c−n )i. 39

Satz (von Fourier) f (t) sei periodisch mit Periode T , stetig und stetig differenzierbar bis auf endlich viele Sprünge. Dann gilt: ∞ X

cn ϕn (t)

mit cn =

n=−∞

Z

T 0

dt ϕ∗n (t)f (t)

heißt Fourierreihe. Diese konvergiert im Mittel gleichmäßig in jedem offenen Intervall um die Sprungstellen gegen f (t) und an den Sprungstellen t i konvergiert sie gegen lim

ε→0

1 (f (ti + ε) + f (ti − ε)) . 2

Konvergenz im Mittel bedeutet: lim

N →∞

Z

T 0

N  2 X dt f (t) − cn ϕn (t) → 0 n=−N

Beispiel π

f (t) = π

(

π 0

T = 2π

2π

für 0 ≤ t ≤ π für π < t < 2π ω=

2π =1 T

für

n6=0 T  ↓ π  1 1 −int  −int −int  √ √ cn = e · 0 dt = e π dt +  e · π 2π 0 2π −in 0 ( r r
π 1 π 1 0 n gerade = (−1)n − 1 = · 2 −in 2 −in −2 n ungerade

Z

π

Z

Für n = 0: 1 c0 = √ 2π

2π

Z

T 0

π2 π dt = √ 2π

Dann lautet die Fourier-Reihe für diese Funktion  ∞ r  X 1 2 π 2 1  i(2r+1)t −i(2r+1)t √ f (t) = c0 √ + e − e i(2r + 1) 2 π 2π r=0 2 i(2r + 1) ∞ X 1 sin((2r + 1)t) = c0 √ + 2 (2r + 1) 2π r=0

da sin x =

Sei Lx(t) = f (t), f (t) periodisch in T gegeben. f (t) =

∞ X

n=−∞

40

cn einωt

eix − e−ix 2i

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 4

2

6

8

Abbildung 6: Fourierreihenentwicklung des Beispiels P

xn einωt . X X
! Lx(t) = xn Leinωt = xn L(inω) einωt = cn einωt ≡ f (t)

Ansatz: x(t) =

n

n

⇒ xn L(inω) = cn

xn =

cn L(inω)

6.6 Der harmonische Oszillator mit Dämpfung und beliebiger äußerer Kraft TODO

6.7 Ein Beispiel einer nichtlinearen Schwingung: Das Pendel mit harmonischem äußerem Antrieb TODO

6.8 Ein kleiner Einblick in numerische Methoden Man kann jede Differentialgleichung in folgende Form bringen: x˙i = fi (x1 , . . . , xn , t) , i = 1, . . . , n

Beispiel x¨ + 2ρx˙ + ω02 = 0 Man führe ein: v = x. ˙ Dann folgt auch das Differentialgleichungssystem, wobei x = x 1 und v = x2 in der obigen Darstellung: x˙ = v v˙ = −2ρv −

= f1 (x, v) ω02 x 41

= f2 (x, v)

Es sei nun x˙ = f (x) gegeben und x(t0 ) bekannt, man berechne x(t0 + h). EulerVerfahren: x(t0 + h) = x(t0 ) + x˙ (t0 )h + O(h2 ) ↑ f (x(t0 ))

x ˆ(t0 + h) = x(t0 ) + f (x(t0 )) ist eine Näherung für x(t0 + h).

t0 +h

Abbildung 7: Das Euler-Verfahren Es lässt sich x ¨ berechnen: x˙ = f (x) ∂f ∂f x ¨= x˙ = fx f mit fx = ∂x ∂x Allgemein: x¨i =

X ∂fi (x1 , . . . , xn ) j

∂xj

x˙ j

So erhält man eine bessere Näherung: 1 x(t0 + h) = x(t0 ) + x(t ˙ 0 + h)h + x¨(t0 )h2 + O(h3 ) 2

h2 = x(t0 ) + f (x(t0 ))h + fx x(t0 ) f x(t0 ) + O(h3 ) 2

42

6.9 Das Foucaultsche Pendel

~ Ω

2π ≈ 7.2 · 10−5 s−1 Tag ~ · ~e3 = |Ω| sin ϕ Ω3 = Ω

|Ω| = • ~ e3

ϕ

l

↑ Breitengrad

~b = (b1 , b2 , 0)

↑ z-Komponente wird vernachlässigt für großes l

~b Man erhält folgende Bewegungsgleichungen1: mg m¨b1 = − b1 + 2mΩ3 b˙ 2 l mg m¨b2 = − b2 − 2mΩ3 b˙ 1 l } | {z } | {z Einfluss der

Pendel- Drehung der Erde gleichung

Mit z = b1 + ib2 erhält man

g z¨ = − z − 2iΩ3 z˙ l

Ansatz: z = eiωt ⇒ −ω 2 = − gl + 2Ω3 ω. Man erhält, mit Ω23 ≈ 10−8 s−2 sehr klein m s−2 gegenüber gl ≈ 1010 = s−2 : m r g + Ω23 ω = −Ω3 ± -wird vernachlässigt l  √g 2  √ i gl +Ω23 t −iΩ3 t + c2 e−i l +Ω3 t c1 e ⇒ z(t) = e

c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Zum Beispiel: b 1(0) = x0 , b2 (0) = 0, b˙ 1,2 (0) = 0.   1 Ω3 r c 1 = x0 1 + 2 ω ˆ g   mit ω + Ω23 ˆ= z(0) = x0 z(0) ˙ =0 ⇒ l 1 Ω3 c 2 = x0 1 − 2 ω ˆ Also:

Ω3 z(t) = x0 e−iΩ3 t cos ω ˆ t + x0 i sin ω ˆ t e−Ω3 t ω ˆ {z } | sehr klein

1 wird

nächstes Semester hergeleitet

43

Zwei Beobachter betrachten den Versuch: B: am Nordpol

A: über dem Pol ~ e2

~ e02 (t=0)

~ e02 (t>0)

(5) ~ e01 (t>0)

ϕ ~ e1

~ e01 (t=0)

In der Sicht von A dreht sich das System (~e01 , ~e02 ): ~ei (t) ≡ ~ei (Ω3 t). Entwicklung von ~e0i nach der Basis von A: ~e01 = ~e1 D11 + ~e2 D21 ~e02 = ~e1 D12 + ~e2 D22

~e0i

=

2 X

~ek Dki

k=1

Wegen ~e0i · ~e0j = δij : X

~ek Dki ·

k

X k0

~ ek · ~ ek0 =δkk0 ↓ X ~ek0 Dk0 j = Dki Dkj = δij k

Wir führen ein: D=



D11 D21

D12 D22



7 Matrizen 7.1 Rechenregeln und Eigenschaften Wir nennen ein Zahlenschema D=



D11 D21

D12 D22



eine Matrix mit den Elementen Dij . Vergleiche: das Zahlenschema ~r = (x1 , x2 , x3 ) (eine 1 × 3-Matrix) ist ein Vektor mit Komponenten xi . Rechenregeln (a) Addition: D+F =



D11 D21

D12 D22



+



F11 F21

F12 F22



=



D11 + F11 D21 + F21

(b) Multiplikation mit einem Skalar: λD =



λD11 λD21

44

λD12 λD22



D12 + F12 D22 + F22



(c) Transposition: DT =



D11 D12

D21 D22





 x1 (x1 , x2 , x3 )T = x2  x3



(d) Determinantenbildung: det(D) = D11 D22 − D12 D21 (e) Spurbildung: Spur(D) = D11 + D22 (f) Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor:   0     x1 D11 x1 + D12 x2 x1 D11 D12 =: = D~r = x02 D21 x1 + D22 x2 x2 D21 D22 x0i =

2 X

Dik xk

k=1

Aber: ~r0 = ~rD = (x1 , x2 ) = (x01 , x02 )



D11 D21

D12 D22



x0i =

= (x1 D11 + x2 D21 , x1 D12 + x2 D22 )

2 X

xk Dki

k=1

(g) Multiplikation zweiwer Matrizen:     F11 F12 D11 D12 D·F = · F21 F22 D21 D22   D11 F11 + D12 F21 D11 F12 + D12 F22 = D21 F11 + D22 F21 D21 F12 + D22 F22 X (D · F )ij = Dik Fkj k

Spezielle Matrizen (a) 0 =

00 00

(b) 1 =

10 01







Vergleiche: ~0 = (0, 0). mit (1)ij = δij .

45

(c) Basismatrizen:         1 0 0 1 0 0 0 0 E 11 = E 12 = E 21 = E 22 = 0 0 0 0 1 0 0 1 D=

2 X

Dij E ij

Vergleiche: ~r =

i,j=1

2 X

xi~ei

i=1

Eigenschaften • D+0=D • D · 1 = D, denn (D · 1)ij =

X

Dik (1)kj = Dij ↑ δkj

k

• Im Allgemeinen gilt nicht: D · F = F · D • det(1) = 1 • (DT )ik = Dki

det(AT ) = det(A)

det(AB) = det(A) det(B)

1 · ~r = ~r

Die Bedingung für unsere speziellen Matrizen D, die die Transformation der Basen beschreiben, X Dki Dkj = δij k

T

kann man auch schreiben als D · D = 1, denn X (DT )ik Dkj = (1)ij k

|

{z

}

Multiplikation D T mit D

7.2 Orthogonale Matrizen Orthogonale Matrizen sind Matrizen, für die gilt: DT D = 1. Wie sieht die Determinante einer solchen Matrix aus? det(D T D) = det(1) = 1 det(D T D) = det(D T ) det(D) = det(D) ⇒ det(D) = ±1   cos ϕ − sin ϕ ,ϕ ∈ R Wir untersuchen D = sin ϕ cos ϕ det(D) = (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 1 Die Transformation der Basis von (5) lautet konkret: ~e01 = ~e1 cos ϕ + ~e2 sin ϕ ~e02 = −~e2 sin ϕ + ~e2 cos ϕ 46


2

7.3 Die Transformation der Koordinaten

~ e2

~ e02

~r =

•P

2 X

xi~ei =

i=1

~ r ~ e01

ϕ

=

~ e1

x1 x2



=



D11 D21

D12 D22



 0

x1 x02

x0k ~e0k

k=1

XX l



2 X

k

⇒

(Dlk x0k ) ~el | {z }

=

2 X

x0k

k=1

⇒

X

|

xl =

{z

}

~ e0k

2 X

Dlk x0k

k=1

xl

~r = D~r0

~el Dlk

l

mit ~r =





x1 , ~r0 = x2



x01 x02



Also auch: DT ~r = DT D~r0 ⇒ ~r0 = D~r     0  x1 (t) cos(Ω3 t) − sin(Ω3 t) x1 (t) = x2 (t) sin(Ω3 t) cos(Ω3 t) x02 (t) Anfangsbedingungen: x01 (0) = x0

x02 (0) = 0

x˙ 01 (0) = 0

x˙ 02 (0) = 0

Was ist x1 (0), x2 (0), x˙ 1 (0), x˙ 2 (0)? Da für t = 0 D = und x2 (0) = x02 (0). Außerdem: 

Produktregel  ↓

x˙ 1 (t) x˙ 2 (t)

= Ω3



− sin(Ω3 t) − cos(Ω3 t) cos(Ω3 t) − sin(Ω3 t)



47

10 01




ist, gilt x1 (0) = x01 (0)

  x01 (t) cos(Ω3 t) + x02 (t) sin(Ω3 t) |

   − sin(Ω3 t) x˙ 1 (t)  cos(Ω3 t) x˙ (t)  2 } t=0 {z =0

Index Ableitung partielle, 22 aperiodischer Grenzfall, 35 Archimedische Spirale, 12

Kepler-Problem, 29 Kettenregel, 22 komplex konjugiert, 31 komplexe Zahlen, 31 Komplexifizierung, 36 Konvergenz im Mittel, 39 Koordinatensystem, 4 Kräfte Addition, 16 Kräftepaar, 17, 18 Krümmung, 14 Kreuzprodukt, 7 Koordinatenschreibweise, 8 Kurvenintegral, 25

Bahnkurve, 11 Parameterdarstellung, 12 Basismatrizen, 45 Basisvektoren, 4 Bewegungsgleichungen, 28 Bezugssystem, 28 Binormale, 15 Bogenlänge, 13 Dämpfung schwache, 34 starke, 34 Determinante, 44 Differentialgleichung, 28 Divergenz, 24 Drebein begleitendes, 15 Drehimpulserhaltung, 30 Drehmoment, 7, 30 Addition, 17 Dreikörperproblem, 29

Levi-Civita-Tensor, 8 linear unabhängig, 5 Massenschwerpunktsvektor, 18 Matrix, 43 Rechenregeln, 43 Nabla, 22 Newton 2. Gesetz von, 28 3. Gesetz von, 28

Ebene, 7 Eigenfunktion, 36 Energieerhaltung, 30 Entwicklungssatz, 8 epizyklische Bewegung, 15 Euler-Verfahren, 41 Eulersche Formel, 32

Ortsvektor, 4 Oszillator harmonischer, 30 Partikularlösung, 37 Polardarstellung, 36 Produktregel, 22

Feld skalares, 19 Foucaultsches Pendel, 42 Fourier-Reihen, 38 Fourierreihe, 39

Richtungsableitung, 24 Rotation, 24 Schnittgerade, 10 Sinussatz, 10 Skalarprodukt, 5 Spatprodukt, 9 Spur, 44 Starrkörperstatik, 19 Superpositionsprinzip, 30

Gerade, 4, 7 Geradengleichung, 6 Gradient, 22 Richtung des, 24 Hauptnormale, 15

Tangenteneinheitsvektor, 14 48

Vektor, 3 Addition, 3, 4 Multiplikation, 3 Vektorfeld, 20, 24 konservativ, 26 Vektorprodukt, siehe Kreuzprodukt Vektorraum, 4 Wirkungslinie, 16 Parallelverschiebung, 17 Zykloid, 12

49