Mathematik Anders Machen Eine Initiative zur Lehrerfortbildung
Materialien zum Kurs Keine Angst vor Stochastik - Teil 2
Referenten Dr. Elke Warmuth und Stephan Lange
¨ Projektleiter: Prof. Dr. Gunter Torner ¨ Fachbereich Mathematik ¨ Duisburg-Essen Universitat
Projektleiter: Prof. Dr. Jurg ¨ Kramer Institut fur ¨ Mathematik ¨ zu Berlin Humboldt Universitat
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Keine Angst vor Stochastik Teil 2 Elke Warmuth und Stephan Lange Humboldt-Universit¨ at zu Berlin und Georg-Forster-Oberschule Berlin
12.06.2007
Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
1
Sammelbilderproblem Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ ” Hinweise zum Arbeitsblatt
2
Identifizieren von W-Z-Folgen Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ ” Hinweise zum Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
3
Sammelproben Erl¨auterung Arbeitsbl¨atter Sammelproben“ ” Hinweise zu den Arbeitsbl¨attern Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
Quelle: www.pixelio.de
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Mathematik Anders Machen
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
Beim Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ geht es darum, ” Erfahrungen mit zuf¨alligen Vorg¨angen zu sammeln und zu erkennen, dass man durch Simulationen Vermutungen u ufen ¨berpr¨ kann und gegebenenfalls revidieren muss. Die H¨aufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit erm¨oglicht Vorhersagen u ¨ber zu erwartende H¨aufigkeiten. Naiv wird die Additivit¨at des Erwartungswertes benutzt, um Vorhersagen f¨ ur das arithmetische Mittel zu treffen. Der Einsatz empfiehlt sich ab Klasse 10. An eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung ist dabei nicht gedacht. F¨ ur Aufgabe 2 ist es sinnvoll, ein Computeralgebrasystem zu verwenden. Die weiterf¨ uhrenden Betrachtungen zur harmonischen Reihe bleiben der Sekundarstufe II vorbehalten, sie stellen eine sch¨one Verbindung zwischen Stochastik und Analysis her.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
Sammelbilderproblem 1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat?
2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen: 3
1
6
1
1
4
6
6
2
2
1
1
5
Bezeichne dann mit xi die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der (i-1)-ten erstmals gewürfelten Augenzahl die i-te erstmals gewürfelte Augenzahl zu erreichen. Im obigen Beispiel ist x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Man hat also 1+1+1+3+3+4=13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen. Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle:
Versuch
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Muster 1 2 3 4 5
1
1
1
3
3
4
Gesamtanzahl der Versuche 13
Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche.
Überlege, welche Werte für x1, x2, ..., x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt.
2. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist.
AB_Sammelbilderproblem_MAM.doc
Elke Warmuth und Stephan Lange
Lange/Warmuth, Berlin
Keine Angst vor StochastikTeil 2
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
¨ 1. Eine Firma hat eine neue Serie Uberraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Superm¨arkte sei aber v¨ollig zuf¨allig. Max ist begeisterter Fan und m¨ochte nat¨ urlich alle Motive haben. ¨ Wie oft muss er vermutlich ein Uberraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat?
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
2. Simuliere mit W¨ urfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausg¨ange des W¨ urfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie k¨ onnte z. B. so aussehen: 3
1
6
1
1
4
6
6
2
2
1
1
5
Bezeichne dann mit xi die Anzahl der Versuche, die Du ben¨otigt hast, um nach der (i − 1)−ten erstmals gew¨ urfelten Augenzahl die i−te erstmals gew¨ urfelte Augenzahl zu erreichen. Im obigen Beispiel ist x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Man hat also 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 4 = 13 Versuche ben¨otigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen.
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle: Versuch
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Muster 1 2 3 4 5 6
1
1
1
3
3
4
Gesamtanzahl der Versuche 13
Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils ben¨otigten Versuche. ¨ Uberlege, welche Werte f¨ ur x1 , x2 , . . . , x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus f¨ ur x ergibt.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
3. Es gibt 120 verschiedene Pok´emon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in v¨ollig zuf¨alliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden m¨ ussen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen K¨aufen zu erwarten ist.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
¨ 1. Der Wert x1 wird immer 1 sein, weil das erste U-Ei nat¨ urlich zwangsl¨aufig ein noch nicht vorhandenes Motiv enthalten wird. Beim zweiten Kauf ist die Wahrscheinlichkeit, ein neues Motiv zu erwerben, 56 . Man hat also durchschnittlich bei 6 K¨aufen in dieser Phase 5 mal Gl¨ uck. Man erwartet also f¨ ur x2 als 6 ¨ uhrt, liefert uns f¨ ur x Mittelwert 5 . Diese Uberlegung weitergef¨ x
= x1 + x2 + . . . + x6 = 6· = 6·
1 6 49 20
+
1 5
+
1 4
+
1 3
+
1 2
+1
≈ 14, 7
Man kann nun gut mit den durch Simulation ermittelten Werten vergleichen. Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
2. Eine L¨osung durch Simulation verbietet sich hier. Mit den ¨ Uberlegungen aus Aufgabe 1 kommt man zu dem Ansatz: x = 120 ·
120 X 1 k k=1
Nun kann man diese Summe ausrechnen, was einige Zeit oder einen halbwegs guten Rechner erfordert, oder man kann diese Summe absch¨atzen.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
Zur Absch¨atzung muss man wissen, dass sich die harmonische Reihe etwa wie die Logarithmusfunktion verh¨alt. Genauer gesagt gilt folgender Zusammenhang: ! n X 1 lim − (ln(n) + c) = 0 n→∞ k k=1
Dabei ist c die Eulersche bzw. Mascheronische Konstante, f¨ ur die n¨aherungsweise gilt c = 0, 57722....
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Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Sammelbilderproblem“ Hinweise zum” Arbeitsblatt
¨ In der folgenden Tabelle wird eine Ubersicht gegeben, welche Werte bei exakter Rechnung und welche als Absch¨atzung mit c = 0, 57722 entstehen. Dabei findet man f¨ ur n = 120 die L¨osung zu Aufgabe 2. n
n P
1 k
Absch¨atzung
Relative
71,9548 644,264 1525,17 3396,41 7485,47
mit Eulerscher Konstanten 71,459 643,765 1524,67 3395,91 7484,98
Abweichung in % 0,689 0,078 0,033 0,015 0,007
n·
k=1
20 120 250 500 1000
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Quelle: www.pixelio.de
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Keine Angst vor StochastikTeil 2
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Das Problem Identifizieren von W-Z-Folgen“ eignet sich sehr gut, ” um Sch¨ ulerinnen und Sch¨ ulern Fehlvorstellungen von Schwankungen bei zuf¨alligen Vorg¨angen bewusst zu machen. Das Arbeitsblatt kann in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung der Pfadregeln eingesetzt werden. Die Behandlung der Wechsel erfordert die Kenntnis der Binomialverteilung und kann in der Sekundarstufe II zur Differenzierung genutzt werden. Mit dem Thema Identifizieren von W-Z-Folgen werden Grundideen statistischer Tests vorbereitet. Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Identifizieren von W-Z-Folgen 1. Welche der beiden Münzwurffolgen hältst Du für „echt“? Begründe!
Folge A ZWZW ZWWZ WZZW WZZW ZZWZ
WZZW ZWZZ ZZWZ ZZWW ZWWW
WZZW ZWWZ WWWZ ZWZW ZWZZ
ZWZW WZWZ WWZZ WZZW WZWW
WZWW ZWWZ WWZW WWZW ZWZW
ZWZZ ZZWW WWWW WWZW WZWW
ZWWW ZWZW ZWZZ ZWWZ WZZW
ZZZW WZZW WZWW ZZWZ ZWZZ
WZWW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZWWZ
ZWZW ZWZW WZWW ZZWW WWZZ
WWZW ZWZW ZWZZ WZZW WWZW
WWWZ ZWWW ZZZZ ZZWW ZWZZ
WZZW WZZZ ZZZW WWWW ZWZW
WWZZ ZZZW WZZW ZWZZ ZZWW
WZZW ZZZW ZZZZ WWZZ WZWW
WWZZ ZWZZ ZZZW ZWWZ WWZZ
WZZZ WZZZ WWWW ZZWZ WWWZ
WWWZ ZZWZ ZZZZ ZZWW WWWW
WWWW ZZWW WWZW WWWZ ZZWW
Folge B WZZW WWZW ZZZW ZWZZ ZZWW
2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W’s in einem Viererblock. Stelle eine Häufigkeitstabelle und eine Häufigkeitsverteilung für die beobachteten Werte von X in den Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme das arithmetische Mittel x und die mittlere lineare Abweichung a. absolute Häufigkeit Werte von X Folge A Folge B relative Häufigkeit Werte von X Folge A Folge B
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
a
x
3. Zeichne ein Baumdiagramm für den viermaligen Münzwurf mit einer echten Münze. Notiere an jedem Pfadende die Anzahl der Wappen auf diesem Pfad. Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.
Werte von X Wahrscheinlichkeit
0
1
2
3
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4
4. Beantworte und begründe noch einmal die Antwort auf die Anfangsfrage. Bist Du sicher?
AB_W_Z_Folgen_MAM.doc
Elke Warmuth und Stephan Lange
Lange/Warmuth, Berlin
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
1. Welche der beiden M¨ unzwurffolgen h¨altst du f¨ ur echt“? ” Begr¨ unde! Folge A ZWZW ZWWZ WZZW WZZW ZZWZ
WZZW ZWZZ ZZWZ ZZWW ZWWW
WZZW ZWWZ WWWZ ZWZW ZWZZ
ZWZW WZWZ WWZZ WZZW WZWW
WZWW ZWWZ WWZW WWZW ZWZW
ZWZZ ZZWW WWWW WWZW WZWW
ZWWW ZWZW ZWZZ ZWWZ WZZW
ZZZW WZZW WZWW ZZWZ ZWZZ
WZWW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZWWZ
WZZW ZZZW ZZZZ WWZZ WZWW
WWZZ ZWZZ ZZZW ZWWZ WWZZ
WZZZ WZZZ WWWW ZZWZ WWWZ
WWWZ ZZWZ ZZZZ ZZWW WWWW
ZWZW ZWZW WZWW ZZWW WWZZ
Folge B WZZW WWZW ZZZW ZWZZ ZZWW
WWZW ZWZW ZWZZ WZZW WWZW
WWWZ ZWWW ZZZZ ZZWW ZWZZ
WZZW WZZZ ZZZW WWWW ZWZW
WWZZ ZZZW WZZW ZWZZ ZZWW
WWWW ZZWW WWZW WWWZ ZZWW
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W’s in einem Viererblock. Stelle eine H¨aufigkeitstabelle und eine H¨aufigkeitsverteilung f¨ ur die beobachteten Werte von X in den Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme das arithmetische Mittel x und die mittlere lineare Abweichung a. absolute H¨aufigkeit Werte von X 0 1 2 3 Folge A Folge B relative H¨aufigkeit Werte von X 0 1 2 3 4 Folge A Folge B
4
x
a
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
3. Zeichne ein Baumdiagramm f¨ ur den viermaligen M¨ unzwurf mit einer echten M¨ unze. Notiere an jedem Pfadende die Anzahl der Wappen auf diesem Pfad. Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte. Werte von X Wahrscheinlichkeit
0
1
2
3
4
4. Beantworte und begr¨ unde noch einmal die Antwort auf die Anfangsfrage. Bist Du sicher?
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
2. absolute H¨ aufigkeit Werte von X 0 Folge A 0 Folge B 3 relative H¨ aufigkeit Werte von X 0 Folge A 0,00 Folge B 0,06
1 10 15
2 27 18
1 0,20 0,30
3 12 10
2 0,54 0,36
4 1 4
3 0,24 0,20
4 0,02 0,08
x¯ 2,08 1,94
a 0,52 0,80
3. Werte von X Wahrscheinlichkeit
0 0,0625
1 0,250
2 0,375
3 0,250
4 0,0625
Die Modellparameter zu x und a sind der Erwartungswert der Anzahl der Wappen E (X ) = 2 und die theoretische lineare Abweichung A(X ) = 0, 75. Bei sehr vielen Beobachtungen von X sollten sich die beobachteten Parameter von den Modellparametern nur wenig unterscheiden.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
4. Die Sch¨ uler sollen sich an den beobachteten relativen H¨aufigkeiten orientieren, ohne hier einen statistischen Test durchzuf¨ uhren. Besonders eklatant ist der Unterschied bei zwei Wappen, der zeigt, dass h¨aufige Wechsel naiv bevorzugt werden. Sie sollen aber auch erkennen, dass sichere Aussagen prinzipiell unm¨ oglich sind. Auch die Folge A k¨onnte von einer echten M¨ unzwurffolge stammen. Somit bereitet diese Aufgabe auch die Grundphilosophie des Testens vor. Bemerkung : Die lineare Abweichung ist ein Inhalt, den der Rahmenplan verlangt. Eigentlich passt diese Gr¨oße nicht als Abweichungsmaß zum arithmetischen Mittel und entzieht sich auch einer vern¨ unftigen Deutung. Sie ist allenfalls zum Vergleich zweier Verteilungen geeignet. Folge B streut in diesem Sinne mehr um ihr arithmetisches Mittel als Folge A.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Lassen Sie von Ihren Sch¨ ulern Folgen der L¨ange 200 mit den Symbolen W und Z herstellen. Dabei soll ein Teil der Sch¨ uler eine M¨ unze werfen und die Ergebnisse fortlaufend notieren, wobei nach jeweils 4 W¨ urfen ein kleiner Abstand gelassen werden soll. Der andere Teil soll keine M¨ unze werfen, sondern sich eine Folge ausdenken, die seiner Meinung nach von M¨ unzw¨ urfen stammen k¨ onnte. Sie m¨ ussen darauf bauen k¨onnen, dass Ihre Sch¨ uler ehrlich arbeiten.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Wenn die Sch¨ uler noch keine hinreichende Erfahrung mit Schwankungen bei Zufallsexperimenten haben, dann wird folgendes passieren: Bei den ausgedachten Folgen werden sich W’s und Z’s zu h¨aufig abwechseln. Dies k¨ onnen Sie relativ sicher auf zwei Wegen u ¨berblicken: 1. In den Viererbl¨ocken der ausgedachten Folgen wird es zu wenige reine Bl¨ocke WWWW oder ZZZZ geben. Genaue Auskunft gibt das Arbeitsblatt Identifizieren von ” W-Z-Folgen“. 2. In der ausgedachten Folge wird es zu viele Wechsel zwischen den Symbolen W und Z geben. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen. Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Es sei Wn die Anzahl der Wechsel in einer echten M¨ unzwurffolge der L¨ange n. Wir z¨ahlen mit dem Z¨ahlalgorithmus die Anzahl der W-Z-Folgen der L¨ange n mit genau k Wechseln. 1. Schritt: F¨ ur das erste Symbol gibt es 2 M¨oglichkeiten (W oder Z). 2. Schritt: Wir markieren unter den n¨achsten n − 1 Stellen die k Stellen, bei denen das Symbol wechselt. Daf¨ ur gibt es je n−1 M¨ o glichkeiten. k Insgesamt gibt es also 2 · n−1 W-Z-Folgen der L¨ange n mit genau k k Wechseln.
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Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Jede echte M¨ unzwurffolge der L¨ange n hat die Wahrscheinlichkeit 1 . Also gilt 2n n−1 2 · n−1 k k P(Wn = k) = = n−1 , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 2n 2 Es sieht nach einer bekannten Verteilung aus: P(Wn = k) =
n−1 k
n−1 1 , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 2
Wir sehen, dass die Anzahl der Wechsel binomialverteilt ist mit den Parametern n − 1 und 21 . Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Also gilt E (Wn ) =
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
n−1 2 .
In einer echten M¨ unzwurffolge der L¨ange 200 m¨ ussten etwa 100 Wechsel auftreten. Genauere Auskunft gibt das 2σ-Intervall, das f¨ ur große n eine Wahrscheinlichkeit von etwa 95% hat: n−1 √ n−1 √ P − n − 1 ≤ Wn ≤ + n − 1 ≈ 0, 95. 2 2 F¨ ur n = 200 erhalten wir als 2σ-Intervall [86; 113]. Mehr als 113 Wechsel sind also schon sehr verd¨achtig. Die Folge A hat 122 Wechsel, die Folge B hat 91. Wir halten die Folge B f¨ ur die echte und k¨onnen uns dabei irren. Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Arbeitsblatt Identifizieren von W-Z-Folgen“ Hinweise zum” Arbeitsblatt Hinweise f¨ ur den Unterricht
Wir sehen, dass die 2σ-Intervalle eine wesentlich st¨arkere Aussagekraft haben als die Erwartungswerte. Sie sind außerdem sehr gut geeignet, das Testen von Hypothesen vorzubereiten. Bemerkung: Wenn es gegen¨ uber den Sch¨ ulern um eine schnelle Entscheidung geht, dann sollte man entweder die Sch¨ uler die Wechsel in ihren eigenen Folgen z¨ahlen lassen oder sich die Viererblocks anschauen.
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
Quelle: www.pixelio.de
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
Das Thema Sammelproben“ behandelt ein anwendungsrelevantes ” Problem. Es zeigt, wie wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle helfen k¨onnen, ¨okonomische Entscheidungen zu treffen. Das Thema kann in der Sekundarstufe II im Kontext von Binomialverteilung, Zufallsgr¨oßen und Erwartungswerten aufgegriffen werden. Das Problem bietet eine Reihe von Differenzierungsm¨oglichkeiten und interessante Verbindungen zur Analysis.
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
In kurzer Zeit soll eine große Anzahl n von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabh¨angig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
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Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
Dieses Problem kann auf verschiedenen Niveaustufen bearbeitet werden. 1. Im einfachsten Fall gibt man p und die Gesamtzahl n vor und l¨asst mehrere gegebene Gruppengr¨oßen r hinsichtlich der mittleren Anzahl an Analysen vergleichen (Arbeitsblatt Sammelproben 1). 2. Schwieriger ist es, wenn man nur n und p vorgibt und nach der optimalen Gruppengr¨oße fragt. Hier m¨ ussen die Sch¨ uler zun¨achst die mittlere Anzahl von Analysen pro Gruppe mit einem beliebigen r berechnen. Dann werden sie zur Erkenntnis gef¨ uhrt, dass die mittlere Anzahl der Analysen pro Person eine wichtige Kenngr¨oße ist. Das optimale r im Sinne der gr¨oßten durchschnittlichen Einsparung kann durch Einschachteln“ ” oder mit Hilfe eines Funktionsplotters gefunden werden (Arbeitsblatt Sammelproben 2).
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Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
3. Interessante Verbindungen zur Analysis bietet das anspruchsvolle Arbeitsblatt Sammelproben 3. Dort ist zun¨achst nachzuweisen, dass im Mittel eine Ersparnis nur 1 dann eintreten kann, wenn p > √ e e ≈ 0, 69 gilt. Mittels zweier Approximationen soll dann eine N¨aherungsformel f¨ ur r gefunden werden. Diese N¨aherungsformel vermindert den Aufwand beim Einschachteln der L¨osung erheblich. Wichtig: Modellkritik. Diskutieren Sie die Annahmen, die in die Berechnungen eingehen, kritisch. Welche Vereinfachung scheint am wenigsten realistisch? Mathematik Anders Machen
Elke Warmuth und Stephan Lange
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
Sammelproben 1 In kurzer Zeit soll eine große Anzahl n von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? 1. Äußere Vermutungen, wie p und r qualitativ beschaffen sein müssen, damit die Gruppenprüfung im Mittel weniger Analysen erfordert als die Einzelprüfung.
2. Es sei n = 100 und p = 0,98. Eine Blutanalyse kostet 2 €. Bei der naiven Methode betragen die Gesamtkosten 200 €. Wir bezeichnen mit G die Kosten für eine Gruppe bei der Gruppenprüfung. Begründe, dass G eine Zufallsgröße ist und gib für die Gruppengrößen r = 5, r = 10 und r = 20 die Verteilung von G an. Runde die Wahrscheinlichkeiten auf 2 Stellen nach dem Komma. r=5 Werte von G Wahrscheinlichkeit r = 10 Werte von G Wahrscheinlichkeit r = 20 Werte von G Wahrscheinlichkeit 3. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert von G. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert der Gesamtkosten bei Gruppenprüfung.
4. Bei welcher Gruppengröße ist im Mittel die größte Einsparung bei den Gesamtkosten gegenüber der naiven Methode zu erwarten? Wie viel Prozent beträgt diese Einsparung?
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AB_Sammelproben_1_MAM.doc
Elke Warmuth und Stephan Lange
Lange/Warmuth, Berlin
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Sammelbilderproblem Identifizieren von W-Z-Folgen Sammelproben
Erl¨ auterung Arbeitsbl¨ atter Sammelproben“ ” Arbeitsbl¨ Hinweise zu den attern
Sammelproben 2 In kurzer Zeit sollen 1000 Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit 0,98 gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Bei Kosten von 2 € pro Blutprobe fallen 2000 € Gesamtkosten an. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Welche Werte kommen für r in Frage?
2. Es bezeichne Xr die Anzahl der Analysen für eine Gruppe. Welche Werte kann Xr annehmen und wie groß sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten? Du kannst die Pfadregeln benutzen.
3. Weise nach, dass für den Erwartungswert gilt E(X r ) = r + 1 − r ⋅ 0,98 r . Gib eine Interpretation dieses Erwartungswertes an.
4. Wie groß sind die mittleren Gesamtkosten E(K) für die Untersuchung der 1000 Personen, wenn die Gruppengröße r beträgt?
⎛ 1 ⎞ 5. Weise nach, dass für die mittleren Gesamtkosten gilt E(K ) = 2000 ⋅ ⎜ 1 + − 0,98r ⎟ . ⎝ r ⎠ Gib eine Interpretation des Terms in der Klammer.
6. Die Differenz aus den Gesamtkosten bei Einzelprüfung und bei Gruppenprüfung beträgt folglich 1⎞ ⎛ 2000 ⋅ ⎜ 0,98r − ⎟ =: d(r ). Untersuche, für welches r die Funktion d ihr Maximum annimmt. r⎠ ⎝ Hinweis: Du kannst Aufgabe 1 zu Hilfe nehmen oder die Maximalstelle schrittweise einschachteln. Es gibt nur ein Maximum.
Mathematik Anders Machen
AB_Sammelproben_2_MAM.doc
Elke Warmuth und Stephan Lange
Lange/Warmuth, Berlin
Keine Angst vor StochastikTeil 2
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Sammelproben 3 In kurzer Zeit sollen eine große Anzahl von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Bei Kosten von 2 € pro Blutprobe fallen 2n € Gesamtkosten an. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? Folgende Fragen sollen untersucht werden: Bei welchem p ist bei Gruppenprüfung im Durchschnitt mit weniger Blutproben zu rechnen als bei Einzelprüfung? Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Die durchschnittliche Einsparung pro Person durch die Gruppenprüfung ist gegeben durch 1 e(r ) = p r − . Gib eine notwendige Bedingung für p an, damit e(r ) positiv ist. r Hinweis: Eine Funktion f nimmt ein Minimum an derselben Stelle an wie ln f .
2. Vervollständige den Satz: Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p gelten. Im Folgenden sei die notwendige Bedingung für p erfüllt. Es geht nun darum, diejenige Gruppengröße zu finden, für die die Einsparung maximal ist. 3. a) Leite eine notwenige Bedingung für eine Extremstelle der Funktion e her. b) Ersetze in der Gleichung den Term ln p durch einen Term für die Tangente an den Graphen von ln p im Punkt (1; 0). r c) Ersetze p durch 1 und löse die resultierende Gleichung nach r auf.
4. Gib Begründungen für die Schritte b) und c) in 3. Die Lösung aus 3. beruht auf Näherungen. Erläutere Dein weiteres Vorgehen ausgehend von diesem Näherungswert, um die optimale Gruppengröße zu bestimmen. Bestimme die optimale Gruppengröße für p=0,99 und die zugehörige prozentuale Einsparung.
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Lange/Warmuth, Berlin
Keine Angst vor StochastikTeil 2
Mathematik Anders Machen
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Sammelproben 1 Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? ¨ 1. Außere Vermutungen, wie p und r qualitativ beschaffen sein m¨ ussen, damit die Gruppenpr¨ ufung im Mittel weniger Analysen erfordert als die Einzelpr¨ ufung. 2. Es sei n = 100 und p = 0, 98. Eine Blutanalyse kostet 2 Euro. Bei der naiven Methode betragen die Gesamtkosten 200 Euro. Wir bezeichnen mit G die Kosten f¨ ur eine Gruppe bei der Gruppenpr¨ ufung. Begr¨ unde, dass G eine Zufallsgr¨oße ist und gib f¨ ur die Gruppengr¨oßen r = 5, r = 10 und r = 20 die Verteilung von G an. Runde die Wahrscheinlichkeiten auf 2 Stellen nach dem Komma. Mathematik Anders Machen
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Keine Angst vor StochastikTeil 2
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3. Berechne f¨ ur die drei Gruppengr¨oßen den Erwartungswert von G. Berechne f¨ ur die drei Gruppengr¨oßen den Erwartungswert der Gesamtkosten bei Gruppenpr¨ ufung. 4. Bei welcher Gruppengr¨oße ist im Mittel die gr¨oßte Einsparung bei den Gesamtkosten gegen¨ uber der naiven Methode zu erwarten? Wie viel Prozent betr¨agt diese Einsparung?
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Keine Angst vor StochastikTeil 2
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Sammelproben 2 Die Frage lautet: Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen m¨oglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegen¨ uber der naiven Methode? 1. Welche Werte kommen f¨ ur r in Frage? 2. Es bezeichne Xr die Anzahl der Analysen f¨ ur eine Gruppe. Welche Werte kann Xr annehmen und wie groß sind die zugeh¨origen Wahrscheinlichkeiten? Du kannst die Pfadregeln benutzen. 3. Weise nach, dass f¨ ur den Erwartungswert gilt E (Xr ) = r + 1 − r · 0, 98r . Gib eine Interpretation dieses Erwartungswertes an. Mathematik Anders Machen
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4. Wie groß sind die mittleren Gesamtkosten E (K ) f¨ ur die Untersuchung der 1000 Personen, wenn die Gruppengr¨oße r betr¨agt? 5. Weise nach, dass f¨ ur die mittleren Gesamtkosten gilt 1 r E (K ) = 2000 · 1 + r − 0, 98 . Gib eine Interpretation des Terms in der Klammer. 6. Die Differenz aus den Gesamtkosten bei Einzelpr¨ ufung und bei 1 r Gruppenpr¨ ufung betr¨agt folglich 2000 · 0, 98 − r =: d(r ). Untersuche, f¨ ur welches r die Funktion d ihr Maximum annimmt. Hinweis: Du kannst Aufgabe 1 zu Hilfe nehmen oder die Maximalstelle schrittweise einschachteln. Es gibt nur ein Maximum. Mathematik Anders Machen
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Sammelproben 3 Folgende Fragen sollen untersucht werden: Bei welchem p ist bei Gruppenpr¨ ufung im Durchschnitt mit weniger Blutproben zu rechnen als bei Einzelpr¨ ufung? Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen m¨oglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegen¨ uber der naiven Methode? 1. Die durchschnittliche Einsparung pro Person durch die Gruppenpr¨ ufung ist gegeben durch e(r ) = p r − 1r . Gib eine notwendige Bedingung f¨ ur p an, damit e(r ) positiv ist. Hinweis: Eine Funktion f nimmt ein Minimum an derselben Stelle an wie ln(f ). 2. Vervollst¨andige den Satz: Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p gelten. Mathematik Anders Machen
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Im Folgenden sei die notwendige Bedingung f¨ ur p erf¨ ullt. Es geht nun darum, diejenige Gruppengr¨oße zu finden, f¨ ur die die Einsparung maximal ist. 3. a) Leite eine notwenige Bedingung f¨ ur eine Extremstelle der Funktion e her. b) Ersetze in der Gleichung den Term ln p durch einen Term f¨ ur die Tangente an den Graphen von ln p im Punkt (1; 0). c) Ersetze p r durch 1 und l¨ ose die resultierende Gleichung nach r auf.
4. Gib Begr¨ undungen f¨ ur die Schritte b) und c) in 3. Die L¨osung aus 3. beruht auf N¨aherungen. Erl¨autere Dein weiteres Vorgehen ausgehend von diesem N¨aherungswert, um die optimale Gruppengr¨oße zu bestimmen. Bestimme die optimale Gruppengr¨oße f¨ ur p = 0, 99 und die zugeh¨orige prozentuale Einsparung.
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Sammelproben 1: 1. Die Krankheitsh¨aufigkeit darf nicht zu groß und auch die Gruppen d¨ urfen nicht zu groß sein, damit die Sammelprobe einen negativen Befund ergibt. 2. Der Wert von G kann vor der Analyse nicht sicher vorhergesagt werden. r = 5 : P(G = 2) = 0, 985 ≈ 0, 90, P(G = 12) ≈ 0, 10 r = 10 : P(G = 2) = 0, 9810 ≈ 0, 82, P(G = 22) ≈ 0, 18 r = 20 : P(G = 2) = 0, 9820 ≈ 0, 67, P(G = 42) ≈ 0, 33 3. n 5 10 20
E (G ) in Euro 3,00 5,60 15,20
Gruppenanzahl 20 10 5
E (K ) in Euro 60,00 56,00 76,00
Einsparung in % 70 72 62
Optimal im Sinne der gr¨oßten mittleren Einsparung ist die Gruppengr¨oße 10.
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Sammelproben 2: 1. Es kommen 15 Werte (alle 16 Teiler von 1000 außer 1) in Frage. 2. Xr kann die Werte 1 und r + 1 annehmen. P(Xr = 1) = 0, 98r (alle r Individuen gesund). P(Xr = r + 1) = 1 − 0, 98r 3. E (Xr ) = 1 · 0, 98r + (r + 1) · (1 − 0, 98r ) = r + 1 − r · 0, 98r Interpretation: Der Erwartungswert gibt die mittlere Anzahl von Proben je Gruppe bei vielen Gruppenpr¨ ufungen an. 1000 4. E (K ) = 2 · r (r + 1 − r · 0, 98r ) = 2000 · 1 + 1r − 0, 98r Mathematik Anders Machen
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5. Interpretation des Terms in der Klammer: mittlere Anzahl der Proben pro Person in der Gruppe. 6. Die Funktion nimmt ihr Maximum f¨ ur r = 8 an und d(8) = 1451, 53. Man spart also bei dieser Gruppengr¨oße im Mittel 1451,53 Euro bzw. rund 73%. Bemerkung : Diese Ersparnis ist unabh¨angig von der Gesamtzahl der zu untersuchenden Individuen. Es kommt nur auf mittlere Anzahl der Proben pro Person in der Gruppe an.
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Sammelproben 3: 1. p r −
1 r
1 √ r r 1 √ r r .
>0⇔p>
Betrachte f (r ) =
) Gem¨aß Hinweis: g (r ) = ln √r1r = − ln(r r . Die Funktion g hat ein Minimum bei e, demzufolge hat auch f ein Minimum bei e. Untersuchung der beiden benachbarten Werte 2 und 3 liefert als notwenige Bedingung: p > 0, 693. 2. Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p > 0, 693 gelten.
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3. a) e 0 (r ) = p r · ln(p) + r12 . Notwendige Bedingung: p r · ln(p) + r12 = 0 b) Tangente an den Graphen von ln(p) im Punkt (1; 0): t(p) = p − 1. Resultierende Gleichung: p r · (p − 1) + r12 = 0 1 c) p − 1 + r12 = 0 ⇒ r = √1−p
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4. b) In der N¨ahe von 1 wird die Funktion linear approximiert. c) In der N¨ahe von 1 ist p r nahe 1. Beide Schritte sind umso mehr 1 gerechtfertigt, je n¨aher p an 1 ist. Ausgehend von r = √1−p wird man nun durch Einschachteln das optimale r finden. p = 0, 99 : r e(r )
√1 0.01
10 0,80438
= 10. 11 0,80443
12 0,80305
Damit ist ein lokales Maximum gefunden. Bei der Gruppengr¨oße 11 betr¨agt die durchschnittlich Einsparung 80,4%. Man kann sich inhaltlich u ¨berlegen, dass es kein weiteres Maximum gibt. Mathematik Anders Machen
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