LE.S. SOL DE PORTOCARRERO

,

MATEMATICAS

E.IlTdOS PARA AVANZAR

Cómo se representan los números enteros en la recta numérica ";' ". ~

·~_:~I~\;'~:·::»;al • • :

((-3) x 7)3 = (-3)3 X 73 El signo de (- 3)3 es negativo.

e) (5 x (-6))4

=

El signo de 73 es positivo. El resultado es negativo.

'!..

d) ((-9) x (-9))1 =

b) (4x(-4))4=

• Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades: a)

(O

x 3)3

= (-7)3 X

e) ((-9) x (-4))2

d) ((-15)

=

33

O

00 00

x 19)1 = (-15)7 x

e) ((-18) x (-23))1 =

x (-23)1

errE" 7;

-)8­

~

Cómo se halla la potencia de un cociente

-9)2 (3

•

(-9)2

=31

Expresa en forma de cociente de potencias: a)

(T15)4 =

b) (12: 7)3

e) (a: (-3))1

=

=

g) (3 : 4)8 =

d) (9 : 10)10 =

•

h)

Expresa en forma de cociente de potencias e indica cuál es el signo de cada uno de los factores y del resultado:

? al (~4r =

e) ((-17) : (-5))'

:

El signo de (-4)3 es negativo.

:

El signo de 53 es positivo•

•

••

=

El resultado es negativo•

••

b) (6: (-4))4 =

•

(~~r =

d)

(!y

=

Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

aJ

(0)'==-0 50

b)

(O :(-a)r

= 4

e)

(O:

d{-~)' ==-OD 50

------------".-­

...

Raíces PARA EMPEZAR

Qué es la raíz cuadrada exacta de un número

• Escribe la raíz cuadrada equivalente a los siguientes cuadrados de números:

>

a) 62 = 36

•

V36 = 6

d) 402 = 1 600

•

••

b) 72 = 49

e) 102

- - - - i ".... ,

=

100 -----'.....

t) lf = 121 -----'", ....

•

Escribe las potencias equivalentes a las siguientes raíces cuadradas:

> •

- - - - ¡.....

e)

V16 = 4

12 - - " , ....

t)

v4 = 2

b)

V100 = 10

e)

y'i4.4 =

>••

", 252

= 625

",

- - - - ¡ ".... ,

- - - - i.....

Escribe qué número multiplicado por sí mismo da como resultado:

a) 81

•

yI12'1 = 11

y625 = 25

••

•

d)

a)

• 9

d) 49

,..

b) 9 - -.....

e) 100 --)lo""

e) 64 - -.....

t) 25 -----'" ....

Escribe los números que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas:

al

Jo

b)

V36= O

e)

= 2

D=3

dl y'i6 =

O

eJD=13 t)Va1=O

- oG-V­

-'

PARA AVANZAR

Qué es la raíz cuadrada entera de un número mayor :jemplo: la raíz cuadrada entera de 27 es 5 porque 52 < 27 < 62• e llama resto a la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera, de forma que se cumple que: Radicando

=(Raíz cuadrada enterp)2 + Resto

+2

:jemplo: Resto = 27 - 52 = 27 - 25 = 2. Se cumple que: 27 = 52

Se escribe

•

•

Vii = 5

Yresto 2 .

Halla el resto de cada una de las siguientes raíces cuadradas enteras:

al

V6s = 8 ; resto:

d)

y3s = 5 ; resto:

b)

V75 = 8 ; resto:

el

y'iOs' =

cl

yI150 = 12 ; resto:

f)

y'a8 = 9 ; resto:

Completa las siguientes expresiones referidas a raíces cuadradas enteras:

y'39 =

a) 62 < 39 < 72

•

10 ; resto:

D

Resto:

~ -62 = 3

/0=9

Resto: 99 -

/0=

Resto: 148 -

~~D

Resto:

D-

=

=

2

20

= 10

Asigna a cada número su .raíz cuadrada entera y después calcula el resto en cada caso.

Raíces cuadradas:

> • •

111

22

10

11

10

15

111 - 102 = 11

•• ,~-----¡r-------------~--------------~ 234

500

122

- 21­

l. NÚMEROS FRACCIONARIOS)

Las fracciones

•

PARA EMPEZAR

Qué es una fracción

y cómo se llaman sus términos

fra~ci6~"~~ una~p~~s'ió~'riuméd~~fci~m~~'~tg>dristérmi~os:

Una

.! ...... Numerador: Las partes iguales que tomamos de la unidad. 8 ...... Denominador: Las partes iguales en que se ha dividido la unidad.

Una fracción nos puede indicar: " '. Las partes de un todo

Tres octavas partes (Tres partes de ocho)

•

• Un operador que se aplica

• El cociente de dos nú meros 3 8" = 3: 8 = 0,375 Valor numérico

.! de 24 ~ 8

j

24 x 3 = 9 8

~.

En estas figuras representa

b)

a)

e)

• Calcula el valor numérico de estas fracciones: 3 a) - = 5

•

12 4

10 b) - = 10

d) 11 =

e) - =

22

Utilizando la función de operador, calcula:

' > "'5 a)

3

de 75 =

75

..;,...:;...:.:...::==-

13 b) - 18 de"90=,

=

e

e.

• Une las fracciones que tienen el mismo valor numérico (aunque tengan distintos términos). ~

5

1.

24

¡

al 15

10 2. 25 3.

b)

8

20

16

7 e) 20

5

35 4. 100

d)

-22­

1. 5

Cómo se obtienen fracciones equivalentes . Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte del todo y tienen el mismo valor numérico,

Partes del todo

Valor numérico

!

~

= 0,75 }

.§..=075

8

"-'

'

1

3 =

61

4

8

iPara obtener fracciones equivalentes a una dada, se multiplican o dividen sus términos por el mismo número. 12 x 2 15 x 2

•Ejemplos:

24

= 30

12

24

~ 15 = 30

12: 3 4 12 15 : 3 = 5 ~ 15

4

=5

',Una fracción es irreducible cuando sus términos son números primos entre si y no pueden simplificarse. 4 1 9 son f racclOnes ' 'Irre d UCI'bl es ' Ios: 5'"6'"7 E:jemp

•

Entre estas parejas de fracciones coloca los signos = o =1= según sean o no equivalentes:

al 52

b)

D

1L 12

24 60

c) 57

D B.

d)

22

D "8

210

11

D J2 90

• Simplifica estas fracciones hasta averiguar la fracción irreducible eqlJivalente a cada una.

> ••

a)

!~ = !~ ~ ~

=

40 b) - = 72

• En cada serie de fracciones equivalentes hay un término incorrecto. Localízalo y escribe a continuación 'Ia fracción correcta. 1

a)

3

7

"2="6=13=

8 16

12

= 24

4 8 12 20 b) - = - = - = ­ 9 18 24 45

15 35 70 7 c) - = - = - = ­ 8

16

40

80

-23­

lit PARA AVANZAR Cómo se reducen fracciones a común denominador

• Multiplica los términos de estas fracciones por 2,3,4, 5, 6, ...• hasta que encuentres dos fracciones equivalentes a cada una de ellas con los mismos denominadores. 2 a)-=­ 9

bl

5 -=-=­ 6

• Escribe los numeradores que faltan para que se cumplan las equivalencias. 3

D

al 4 =20

b)

7

D

9

el 10 =

5=20

D 20

• Reduce a común denominador estas fracciones ampliando sus términos. 5 7 1

a)

9

3'4'2

b)

7

5

10'15'6

5 -=-= 3 7 -= 4

1

-= 2

> • : •• • •• •• •• • •••

, Multiplica o divide los términos de la fracción dada por el número indicado para buscar fracciones equivalentes: x 4

x6

:2

2~8~ ~ - = -=- = -

3 '-#' 12 '-#' x 4 x 6

:4

x5

~

~

x 2 ~

:30 ~

= =-='-#' '-#' '-#' '-#' :2 :4 x5 x 2

= ­

;3t

- 24­

por 11. • d . d "95 y U a comun enomma or

siguientes pasos: .0

9 = 32

Se calcula el m.Com. de los denominadores.

12

Y

m.c.m.(9 y 12) o

Se divide el m.c.m. por cada denominador.

36: 9

Se multiplican los términos de cada fracción por el cociente obtenido.

=2

2

2

3

X3 = 4 x 9

= 36

=4

36: 12 o

= 22 X

=3

.§. = 5 x 4 9 9x 4

=

f*1 36

..!l.=11X3=f*1 12 12 x 3 36

>•

Reduce estas tres fracciones a común denominador por el método del m.c.m. siguiendo los pasos indicados:

:

1

:•

~

'"

-'-"

'­

-

'"'

7

8

~~~

•• • •

5

.••

1.0 Se calcula el m.c.m. de (5, 6, 15)

.•

{

= 5'

• •• ••

••• •• •

2.° Se divide el m.c.m. por cada denominador

.••

.•

•

••• •• •• • • • •

-=

5

.•• •• .••••

r

Se multiplica por los cocientes

0: 0: 0:

5x

7 = 6 8 -= 15

••

•

15 =

m. c. m.(5. 6.15) =

••

.••

6=

• ' '''¡' d 11 13 Reduce a mmlmo comun,..enomlna or 18 y 24'

=

O

5=

6

=

15 =

Cómo se ordenan fracciones

.

"un;~r~ín~'~i'~~J;aánu~:~r~dor o'd~~om¡g~dor).

.

El mismo denominador

El mismo numerador

Es mayor la de mayor numerador

Es mayor la de menor denominador

5

.§.>± 7

5

9" >""12

7

Cuando tienen ambos términos diferentes se reducen a común denominador y se comparan después. 345 Ordena de menor a mayor 4' 6'

'8

(4

= 22; 6 = 2 x 3; 8 = 23) =>

m.c.m.(4, 6, 8)

= 23 X 3 = 8 x 3 = 24

5 15

-=­ 8 24

•

Escribe el signo> o o al

'§'+2+~= __ + __ + __ =

•••

m.c.m.(4, 3. 6)

~•

436

11 15

000 =

4 10

b) - - - =

• Para empaquetar los libros de mi estantería tengo tres cajas de diferente tamaño. En una guardo los yen otra

!.

¿Qué fracción del total de libros me queda para la tercera caja?

• Un depósito de agua está lleno hasta los

~. Como tiene una fuga, por la noche se \'ierte ~

capacidad. ¿Qué fracción queda en el depósito? 'IJ

-31­

de su

~.

••

Cómo se multiplican y dividen fracciones ~~~~~~

~~~~~~;~~~~~,~.~;

Multiplicación

División

1.° Se multiplican los numeradores. 2.° Se multiplican los denominadores.

1.° Se multiplica el dividendo por la fracción inversa del divisor.

=[1[= ';

simplificada

•

Calcula los productos y cocientes, simplificando los resultados que se puedan.

al : x

~x;

bJ 3 x -47 e)

=

e) 2 x

(~ : ~) =

8

x - =

9

7

¡: 3 =

5 d) 8: 9" =

• De una tarta nos hemos comido

h)

!

(1. x i) .(~ x i) =

4

2 ' 10

el primer día, y el día siguiente

~

3

de lo que quedaba.

¿Qué parte de la tarta nos queda aún?

• Una almazara elabora 3615 litros de aceite de oliva que envasa en botellas de

!

de litro. ¿Cuántas botellas se necesitarán?

-32.­

Cómo se eleva una fracción a una potencia "._. . _." _:-:;:/~; .~} '/;'.. :. ::~-~:'~i:~;%::~~:~?;;~-,:~~:_~~'~-~:, ":,: :_~ :;?~}~}~:.~~~-~~~~: ; ': : ~;.:.~:_~-: .:< :'~:"~J:r.-¿" ,": ,:,._ . ._ -: ":.~ _~i I~? '. :~t:;~>t::.::.:~;_ .:::'i-;~:~:-.; - ..';;. :L:; ',', :;_::.\:~i ~-." ~:; ~~~; . l1:~'·:':'-'>'-_ ":' ..•. una potencia de una fracción, se elevan al exponente el numerador y el denominador por separado.

_~ ~ ~ ~ _2 x 2 x 2 x 2 -..r. _r;fil (~)4 3 - 3 x 3 x 3 x 3 - 3x3x3x3 - 3 ~ 4 -

•

Escribe en forma de potencia o producto estas operaciones, según corresponda.

> •

a)

.1. x l x .1. = (l)3 555

5

d)

.1. x l x l x .1. x l x .1. =

e)

7 7 x- = 8 8

2

2

222

2

••

4

b) -

7

444 + -74 + -7 +7 - +7 -

=

2 2 2 2 el -x-x-x-= 9 9 9 9

•

Coloca entre estas parejas de fracciones = o ::f=, según proceda. a) (

b)

•

1~

rD

(~r

1

goo

d)

D 2~

e)

~ : 5 D (~r

cr D (!Y

Escribe la fracción que falta para que se cumpla la igualdad. a)

(-y = ~

,

e)

(-y = ~

e) ( -

d)

(_)3

f)

=_8 125

-33­

4 )

(-y

16 = 10000

=

~!

Cómo se calcula la raíz cuadrada de una fracción

Para calcular la raíz cuadrada de una fracción, se calcula la raíz del numerador y del denominador por separado.

\Ejemplos:

¡2s=~=m

.y~ ~

•

Calcula las siguientes raíces cuadradas:

> Jl00 a)

•

=

49

~ V49

=

••

b)

= .y(81 16

d)

.y[i= 36

• Completa el ejercicio conforme el modelo: Cálculo

Comprobación

a)

#S=~ 25 5

(;Y =~

b)

.y[ii 100 =

> •

••

e)

•

=>

[i =

.y~

Une las raíces con las potencias que den el mismo resultado. 1.

[í6 .ya,

2.

/J¡

b)

(:Y

3. J,o~o

e)

(~y

fi[s

256

d)

5. J2!6

el

4.

-34­

Gr (,~r

L!lJ

En qué orden se hacen las operaciones con fracciones Enoperacio~es combinadas debesseg'uir este orden en las operac'iones:

{9 . V-¡,

(2 + 1.)2 - !..4 x 1..5

{9 . .§.. - !.. x 1..

. 1.0 Se resuelven las operaciones del paréntesis.

V-¡·

.2.° Se calculan las potencias y raíces.

2:-¡--¡x S

3

3.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones. 4.° Se resuelven las sumas y restas.

5

4

5

7

12

14

24

14

2

W - 20 20 - 20

10

= 20

~ = 1; I

5.0 Se simplifica el resultado (si es posible).

•

4

Resuelve paso a paso estas operaciones combinadas, simplificando si es posible el resultado final.

> •

a) 6 :

(~ + ;~) = 6 : (

15

••

•

+

D) = D = D = 15

6' .

6 x _1_5

15

Si es necesario, ¿dónde pondrías el paréntesis para que el resultado sea correcto? .

9

a) 10

531

-10 + 10 = 10

5

1

3

7

7

7

e) - - - x 2 = ­

.. 8

6

1

3

b) - - - - - = ­ 5 5 5 5

5 1 8 d) - - - x 2 =­ 7 7 7

-3s­

Cómo se representan los nljmeros decimales sobre la recta rep

iguales y representar sobre ellas los números.

0,4

0,9

1,3

1,7

2,5 2,8 3,1

3,6

4,2

4,7

I [""""1""""'1""""'1""""'1""""'1

O

1

1,52

1,59

l' , , , , , , , '1' 1,5

234

5

1,78 1,83 1,88 , , 1,65 , , , , , , l'1,72 , , , , , , , , l' " , , , , , , l' , , " , , , , I

1,6

1,7

1,8

1,9

2

número es menor cuanto más a la izquierda esté situado en la recta: ',72 < ',78

• Representa estos números sobre la recta y escríbelos ordenados debajo de menor a mayor, según su situación en ella. al 6,8; 5,4; 3,2; 4,3; 6,'; 3,6; 5,9; 4,5. l' , , , , , , , , 1" , , , , , , , l' , , , , , , , , l' , , , , , , , , I 3

4

5

6

7

b) 0,'3; 0,42; 0,26; 0,35; 0,48; 0,'9; 0,2'; 0,30.

l' , , , , , , , , l' , , , , , , , '1' , , I O

0,1

, , , , ,

0,2

l' , , '" , , , l' , , , , , , , , I

0,3

0,4

0,5

e) ',283; ',252; ',264; ',272; ',258; ',269; ',276; ',28.

l' , , , , , , , , l' , , " , , , , l' , , , , , , , , l' , , , , , , , , I 1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

• Completa estas afirmaciones: a) Cuanto más cerca del punto O, el número decimal es ......................~............................................. b) Diez décimas forman una .................................................................... e) Diez milésimas forman una .................................................................... dl Cien diezmilésimas es igual que una ....................................................................

el Treinta centésimas es lo mismo que ............................... décimas.

_._-----~

-.3b­

------­

PARA AVANZAR

Cómo se ordenan los números decimales

parte entera es igual, se ordenan por las décimas. son iguales las décimas, se ordenan por las centésimas. iguales hasta las centésimas, se ordenan por las milésimas.

•

25,01

>

13,98

--7

8,63

>

8,49

--7

3,65

>

3,614

--7

0,374

>

0,3712

Ordena de menor a mayor estos decimales.

> •

a) 2,5; 0,17; 3,8; 4,92; 3,75; 1,316; --7 0,17

-­

--7

< ............ < ............ < ............ < ............ < ............

b) 1,73; 1,712; 1,719; 1,724; 1,78,1,729--7

e) 0,38; 0,05; 0,19; 0,24, 0,02; 0,11 --7

•

Coloca el signo> o < que sea adecuado.

D D D

a) 0,03 b) 2,7

d) 2,173

0,031

e) 0,002

2,69

e) 12,04

11,97

t) 0,264

D D D

D D D

2,1731

g) 29,1

0,01

h) 8,5346

0,2639

i) 74,1

29,096

8,5247

74,11

• Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones y ordénalas de menor a mayor según esos valores. 6

a) - = 5



83

b) 100 =

4 e) - = 6

d)

.1± = 15

36 37

e) - =

Ordenación:

, •

Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones y ordénalas de menor a mayor según esos valores.

> ! • a)

=

••

-::

Ordenaelon:"4 .. 3


a) A un número se le restan ocho unidades: x - 8

•

•••

b) A un número se le añaden diez unidades:

_.hO•._......__......._..__.._..••._ ••....._._......_____H.__......

m

• •_ _. . . ._ •••••

e) A las dos quintas partes de un número se le restan siete unidades: ._......_...................._......._...._..•._.........__•

d) La suma entre la tercera y la cuarta parte de un número: •.•.........•..•••___._._.._._............................_••_••.••...•_._••

e) Se añaden cinco unidades a las tres cuartas partes de un número:

f) Al triple de un número se le añade su cuarta parte: ........•••••._...____........_._....._ ..___..._...................._ ••__•••

g) La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte: ........_......_..._....................___••_....................._._.•

h) A un tercio de un número se le restan dos unidades: ...._._..~_.-......_-...................---...-.-..........-.-..............

• Escribe en el lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

>- a) Un número aumentado en trece unidades da treinta y uno: x + 13 = 31 •• ••

b) Un número disminuido en siete unidades da veintiocho: .....................__.__....._.•....._.•_.__.._..._..................__

e) El doble de un número es catorce: ..........................__•___..........................__._..................__•__......_.•_....._....

d) La mitadt;t~~~,{-:~~fit~~y:;>:,~~~~~~;~':}'((~~~~;~:flt~;:~L,: -:} ~:::(:~t .';:.::;'~ .~-_.;,-; erto ha pagado 7 euros por 5 refrescos y 3 bocadillos. Cada bocadillo "c(:;¡il"'nrln refresco y cada bocadillo? .0

o

Se identifica y da nombre a las cantidades que se piden.

Precio del refresco: x Precio del bocadillo: x + 1

Se escribe las cantidades que intervienen.

Ha gastado en refrescos: 5x Ha gastado en bocadillos: 3(x + 1)

° Se busca en el enunciado una relación entre las cantidades y se escribe una ecuación.

Ha pagado 7 euros. Ecuación: 5x + 3(x + 1) = 7

o

Se resuelve la ecuación.

5x+ 3x+ 3

o

Se escribe la solución del problema.

•

•••

8x= 4 => x= 0.5

Cada refresco vale 0.50 €. Cada bocadillo vale 1.50 € .

Halla un número tal que si lo multiplicas por 5 resulta el triple que si le sumas 12.

> •• • •• • ••• • • ••• ••

= 7;

x

1.° Identifica y da nombre a las cantidades que te piden.

Un número:

2.° Escribe las cantidades que intervienen.

Se multiplica por 5: Se le suma 12:

3.° Busca en el enunciado una relación entre las cantidades y escribe una ecuación.

El primero es el triple que el segundo. Ecuación:

4.° Resuelve la ecuación.

5.° Escribe la solución del problema.

•

Dos hermanos se llevan tres años. Entre los dos tienen 33 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

,

•

¿Cuántos años tiene Jorge si el triple de su edad aumentado en 7 años es 43?

•

Ana tiene un libro que va a terminar en 20 días, leyendo diariamente el mismo número de p~ginas. Si leyera dos páginas más cada día tardaría en leerlo 8 días menos. ¿Cuántas páginas lee cada día?

•

Un coche hace un viaje de 1100 km en dos tramos, de forma que el segundo mide 50 km más que el otro. ¿Cuánto recorrió en el primer tramo? .

•

¿Cuánto miden los lados de este rectángulo si su perímetro es 26 centímetros?

X+l~ 2x

•

Andrés tiene 55 años y su hijo 20 años. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea doble de la del hijo?

•

Averigua qué nrjmero si

+e sumas 9 resulta

el doble que si le restas 3.

-5'1­

l. PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA )

Razones, proporciones y porcentajes •

PARA EMPEZAR

Qué es una razón y qué es una proporción Se llama .razón de dos números, a y b, al cociente entre ellos b' Se puede expresar como cociente indicado o como cociente efectuado.

Ejemplo: La razón entre 7 y 4 es

~

, o también 1,75.

Cuatro números, a, b, e y d, forman una proporción si la razón entre a y b es igual a la razón entre e y d. Se escrI'b e: ba = de

~

Ejemplo: Los números 3, 2, 6 Y 4 forman una proporción ya que:

= : = 1,5.

La constante de proporcionalidad es 1,5.

Los extremos son 3 y 4 Y los medios son 2 y 6.

• Calcula el valor de las letras en las siguientes razones:

x al -13 = 2

b)

±5 =

k

x=D

k=D

• Observa la proporción:

~

=

cl -24 Y

dl ~ = 24 z '

y=D z=D

2~

Los extremos son: ............................. Los medios son: .............................

= 06 ,

y

y .............................

• Averigua cuáles de las siguientes series de números forman una proporción, y escribe la proporción cuando la formen:

al

12, 3, 60 Y 15

cl

bl

15, S, 30 Y 15

d) 40, 8, 35 Y 5

- bO­

21, 3, 56 Y 8

_.~_._----~

lit PARA AVANZAR Cuál es la propiedad fundamental de las proporciones ~-.E...

::::} a'd=b'c

512 256 b - d

. En la proporclon 64 = 3'2 se cumple que 512· 32 ..

= 64 . 256.

se conocen tres términos de una proporción, se puede hallar el cuarto término aplicando la propiedad fundamental e las proporciones. .. 12 . En Ia proporclon"'1'7

48 se cump Ie que =x

12· x

= 48·

816 17; 12x = 816; x= 12;

Ix = 68 I

• Averigua si los números 684,486, 342 Y 243 forman una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

• Indica si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa: 8

a)

72

200

"9 = 81

b) ~ 14

c)

31 =

1800 279

d) 313 = 414

=.1§. 16

212

313

• Calcula los valores de las letras en las siguientes proporciones, aplicando la propiedad fundamental.

)~=~

a 42

~~=~

28

60

Y

• Calcula los valores de las letras en las siguientes proporciones para que la constante de proporcionalidad de ambas sea 2,5. a) .E.. 4

=~

b) ..!Q

m

12

-bJ­

=~ 6

es una del Ofo. . 90 f.¡emplo: El 15 Ofo de 600 es 90 porque 600

=

15 100'

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica la cantidad por el número decimal equivalente al "l'\r."... ,,·~'3''''

Ejemplo: El 8 Ofo de 340 es: 340· 1~o

T

=

T

Tanto

por ciento

Razón equivalente

340 . 0,08

T

=

27,2

Número decimal equivalente

• Escribe los siguientes porcentajes: a) Siete por ciento: .............................

b) Cincuenta y cuatro por ciento: .......

m . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

• Indica cómo se leen los siguientes porcentajes: a) 4 010: ..........

m

•••••m .............................._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 135 010: ......................................................................................................

• Calcula los siguientes porcentajes:

> • • • • • e

e.

a) 13 Ofo de 470

e) 32 Ofo de 514

b) 16010 de 38

d) 125010 de 86

Al aplicar un determinado porcentaje a 1500 se obtiene 630. ¿Qué porcentaje se ha aplicado?

x

1500, 100

= 630;

x=

• El 23 OJo de una cantidad da 144,67. ¿De qué cantidad se trata?

- {;2­

Cómo se calculan aumentos y disminuciones porcentuales

disminución porcentual consiste en quitar a una cantidad un cierto porcentaje de ella.

la cantidad que resulta sí a 365 euros le aplicamos: al Un aumento del 18 %. b) Una disminución del 14 %.

a) 18 oto de 365

•

= 0,18' 365 =

65,70; cantidad que resulta: 365

+ 65,70 = I 430,70 euros

I

Calcula la cantidad final si a 875 euros le aplicamos: al Un aumento porcentual del 24%.

b) Una disminución porcentual del 32 oro.

•

Al efectuar la compra de un jersey nos han hecho un descuento del 15 0/0. Si el precio que marcaba el jersey era de 30 euros, ¿cuánto hemos pagado finalmente?

•

Para la compra de un coche, Teresa pidió un préstamo de 10230 euros, a pagar en varios años, y le cobran por ello un recargo del 8010. ¿Cuánto va a pagar al final por el coche?

•

La cantidad de 500 euros, aumentada en un determinado porcentaje, da 580 euros. ¿En qué porcentaje se aumentó la cantidad de 500 euros?

•

Una cierta cantidad de euros aumentada en un 6010 da un total de 710,20. ¿De qué cantidad se trataba?

-63­

Magnitudes proporcionales •

PARA EMPEZAR

Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales ~~~~~~~;Ii~ La siguiente tabla proporciona el coste en euros de unas fresas según el número de kilogramos que se compren. 6 15 18 12 5 6 2 3 4 El coste es directamente proporcional al número de kilogramos ya que al dividir las cantidades. 15 = 618 = 3,elcociente " es siempre 3, que es Ia constante d· e proporcIOna . ·I·d d d'¡recta. -6 = 93 = 12 ="5"" I a

• Para cada una de las siguientes tablas, estudia si representan valores de magnitudes directamente proporcionales, y cuando sea así indica cuál es la constante de proporcionalidad.

W

~

• Completa las siguientes tablas para que representen valores de mqgnitudes directamente proporcionales. Escribe la constante de proporcionalidad en cada caso. a)

10

18

9

34

b)

13

4

;=0

15

3

12

48

~=o

• Completa la tabla, para que represente valores de magnitudes directamente proporcionales, de co~stante de proporcionalidad!!!.. = 3,5.

n

14

2

105

12

- 6L1­

--'""

PARA AVANZAR

Cómo se aplica la reducción a la unidad 7 entradas que compré para un concierto me costaron 36,40 euros. ¿Cuánto me costarán 13 entradas?

Reducción a la unidad:

1 entrada ha costado 36.40 : 7 = 5,20 euros 13 entradas costarán 13 . 5.20 =

I

67.60 euros

• Pablo ha estudiado 22 horas durante 5 días. Si sigue así, ¿cuántas horas de estudio habrá hecho al cabo de 30 días?

• '-'

Dos pintores han tardado 4 días en pintar 220 metros cuadrados de un piso. ¿Cuántos días tardarán en pintar 715 metros cuadrados?

• Un trabajador recibió 180 euros por 6 días de trabajo. ¿Cuánto recibirá por 21 días de trabajo?

• En la elaboración de un pastel para 4 personas se emplean 240 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos de azúcar serán necesarios en la fabricación de un pastel para 7 personas?

•

En una etapa contrarreloj, un ciclista tarda 30 minutos en recorrer los primeros 25 km. Si sigue a esta misma velocidad, ¿cuánto tardará en recorrer los 15 km siguientes?

Cómo se aplica la regla de tres simple directa

,"

, j , ". . "..

-, " .. ~ ,.

'"--'>". ,,"\- ­

'~~:~;~~~';~i~~í~'d¡,~;~~;i¿;6úo mPTnnn 3 kilogramos de fruta hemos pagado 7,80 euros. ¿Cuánto habríamos pagado por 11 kilogramos?

construye u~n3 e:;uema con los datos del :'~~blema}Y se resuel;e de la siguiente manera: x ~ 11 .;,80 ~ 28,60 11k

_

H-a-b-ría-m-o-s-p-ag-a-d-0-2-8,-SO-€"'I

'1

x

•

Unos amigos han pagado 13,60 euros por 8 refrescos. ¿Cuánto hubieran pagado si se hubieran tomado 13 refrescos?

•

La pared de mi cuarto. que mide 3.2 metros. está representada en un plano en 2 centímetros. ¿En cuántos centímetros está representada la pared del salón. que mide 5.6 metros?

•

Un puesto de prensa ha recaudado 28 euros por la venta de 35 ejemplares de un periódico deportivo. ¿Cuánto habría recaudado por la venta de 73 ejemplares?

•

Jaime ha comprado 12 libros de una serie de aventuras en una librería de "segunda mano" por 19,20 euros. ¿Cuánto habría tenido que pagar si hubiera comprado 31 libros?

•

Un automóvil gasta 22 litros de gasolina cada 250 km. Si continúa con este gasto. ¿cuántos litros consumirá al recorrer 700 kilómetros?

- -- 6'6­

Cómo se hacen repartos directamente proporcionales

X,

y, z a las cantidades que corresponden a cada uno, respectivamente. 3 x

2

que el reparto sea directamente proporcional se tiene que cumplir:

1= f f = 4~0 = 80 folios =

x = 80 . 3 = 240

A Berta le corresponden 240 folios.

y = 80 . 2

A Álvaro le corresponden 160 folios.

z = 80·1

•

z

y

= 160 = 80

Reparte 3600 euros de forma directamente proporcional a: a) 2,3 Y 4

b) 2,4,5 Y 7

•

Juan ha trabajado durante 14 días en una obra. Rosa ha trabajado durante 6 días. Por su trabajo, han recibido 1000 euros conjuntamente. ¿Cuánto corresponde a cada uno, si han decidido repartírselo en proporción directa al número de días trabajados?

•

Ester, Miguel y Antonio presentan al Ayuntamiento un proyecto de urbanización de 880 pisos. Son propietarios, cada uno, de terrenos de 20, 35, Y 55 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos pisos corresponde construir en cada terreno, si deben hacerlo en proporción directa al número de hectáreas?

•

Javier decide dedicar a la paga de sus hijos 18 euros semanalmente, en proporción directa a sus edades. ¿Cuánto dará a cada uno, si tienen 13, 10 Y 7 años?

-c:¡­

11. FUNCIONES)

Gráficas y funciones

•

PARA EMPEZAR

Qué es una gráfica los ejes. Estas rectas cortan a los punto. lee primero el número del eje horizontal, la abscisa, y después el del vertical,

ordenada.

Ejemplo: Las coordenadas del punto Pson (- 5, 2).

La abscisa es -5 y la ordenada es 2.

:'Una gráfica cartesiana está formada por un conjunto de puntos representados en

,'unos ejes de coordenadas. Estos puntos a menudo se unen formando una linea.

• Dados los siguientes puntos: A(2, 4),8(-2,3). C(-4, 3), 0(-2, -1) Y E(O, -3). a} Dibuja la gráfica formada por ellos. bl ¿Cuáles tienen la misma ordenada? ...........................................

el ¿Cuáles tienen la misma abscisa? ...........................................

d) ¿En qué cuadr~nte se encuentra el punto A? ...........................................

•

Sobre esta gráfica se han señalado algunos puntos. Se pide: al las coordenadas de A y 8: ...........................................

b} ¿Qué puntos tienen la misma abscisa? ...........................................

c} ¿Qué puntos tienen la misma ordenada? ...........................................

d) ¿En qué cuadrante se encuentra B? ...........................................

• Escribe las coordenadas de [os puntos cuyas coordenadas figuran en la siguiente tabla de valores y representa la gráfica correspondiente.

Pun' :.,----:,."'!.-­

A 8

e o

"

-2

O

-1

-2 -3 -2

O

E

1

F

3

A...........................................

D...........................................

8 ...........................................

E...........................................

C...........................................

F...........................................

-b8­

Cómo se representa la gráfica de una función

por una 1.° Se representan los pares de valores de la tabla en los ejes de coordenadas. 2.° Se unen los puntos si el problema permite suponer que hay valores intermedios. Si la función viene dada por una fórmula: 1.° Se dan valores a la variable x en la fórmula y se deducen los correspondientes de la variable y. 2.° Se forma una tabla de valores y se siguen los pasos anteriores.

'emplo: Para representar la función dada por la fórmula y = x: - 1, donde x e y representan cualquier número, se forma una tabla -1

de valores en la que dando valores a x se obtienen los valores correspondientes de y. Se unen los puntos porque a la x se le puede dar cualquier valor intermedio.

•

O

-1

2

O 3

La tabla siguiente proporciona el número de hijos que han tenido 20 matrimonios encuestados.

O

2

2

5 8

3 4

2

5

a) Representa gráficamente la tabla en los ejes de coordenadas.

b) ¿Es una función? ....................................................................................................................................................................................

e) ¿Se deben unir los puntos? .................................................................................................................................................................

• Representa en unos ejes de coordenadas la tabla de valores siguiente y une los puntos formando la gráfica correspondiente.

-4 -3 -2

-3

-1

-1

1

2 3

3

3 O ,

·0

i

¡

Xi

~-~.]' ! -1--+-+-¡--1'-+-'

(±~L. ~'. . ._e•._'-... _.·,_"__,·

•

Representa en unos ejes de coordenadas la tabla de valores siguiente y une los puntos formando la gráfica correspondiente.

•

Representa las funciones definidas por las siguientes fórmulas: a) y = 3x + 2

-1

o

b) Y = 2x 2 - 3

•

Marta dio un paseo en bicicleta el domingo y la distancia que recorrió y el tiempo empleado se encuentran representados en la siguiente gráfica. Completa la tabla de valores con los puntos representados.

.. 7........_.._._..........................

a) ¿·Es una f unclon

b) ¿Por qué están unidos los puntos? ..............................................................._........................................

C) ¿Qué distancia recorrió Marta en los primeros 20 minutos? ....................................

m . . . . . . . . . . ..

-1-0­

_

Funciones de primer grado

~ •

PARA EMPEZAR

Qué es una función de funiciones de proporcionalidad directa son las definidas por una fórmula del tipo

y = mx.

gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. la constante de proporcionalidad, m, es la pendiente la recta y nos da una idea de su grado de inclinación. ,prnn,o·

Para representar la función de proporcionalidad directa dada por la fórmula y = 2x, se construye la tabla de valores correspondiente.

y r--+-t--t--t-.:·+-t-....-+--r--i

la constante de proporcionalidad o pendiente es 2.

• Representa las siguientes funciones de proporcionalidad directa e indica el valor de la pendiente en cada caso: a) y= 3x

b) y= -x

• Representa en los ejes coordenados las funciones de proporcionalidad directa que pasan por el origen de coordenadas y de pendientes:

a) m =-4

1

b) m=­ 2

y

._-,-_.,

i

,

-

¡

O

¡

I •

,

'X

¡

-:;z/­

i

¡

i

¡

f

J

.J

PARA AVANZAR

= mx + n

Cómo son las funciones de ecuación

s funciones definidas por una ecuación del tipo y = mx + n se representan por una recta que no necesariamente asa por el origen de coordenadas y en la que: • m es la pendiente de la recta. • n es la ordenada en el origen, esto es, la ordenada del punto de la recta cuya

abscisa es O•

. mplo: La función de ecuación y = 2x + 1 es una recta de pendiente 2 y ordenada en el origen 1.

•

Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a) y = 18x - 12

m=O n=O

e) y=x+3

m=

n=

b) y= -35x+ 41

m= O

d) y= -x- 5

m=O

n=

n=

• Representa las siguientes funciones: a) y= 3x - 1

b)y=-2x+2 y

O I

•

I

Representa en los siguientes ejes coordenados las funciones de pendiente y ordenada en el origen: a) m = -4;

-

X

n= 3

- -:;2­

PARA AVANZAR

Cómo se representa un diagrama de barras e frecuencias absolutas. Sus bases, todas iguales, se sitúan en el eje de abscisas, y en ellas se colocan los datos. frecuencias absolutas proporcionan la longitud de las alturas.

hace una encuesta en una clase sobre el número de horas semanales que dedican al deporte. Construye

diagrama de barras que representa 105 resultados de la encuesta:

ttz~~~~~ZZt~~~Z~~~~~Z~~~~4

construye la tabla de frecuencias y se representan los datos del número de horas de deporte en el eje

abscisas y las frecuencias, esto es, el número de compañeros en el eje de ordenadas.

,

't.:­

-'ti mod~ de~n conj~nto d~datos es el dato de mayorfrecuenéi~ absolut~ ... • Si hay dos o más datos cuya frecuencia es igual y mayor que los demás, entonces todos y cada uno de esos datos son la moda. • Si todos los datos tienen la misma frecuencia, entonces esos datos no tienen moda. edades de los estudiantes de un centro que componen el equipo de atletismo son las siguientes: 13 17

17 15

15 12 15 16 15 13 14 14 una tabla de frecuencias y calcula la moda. 12

13

3

3

16 18

14 5

12 17

17 15

15 6

14 12

16

17

2

4

15 14

14 13

La mayor frecuencia es 6, que corresponde al dato 15, por lo que la moda es 15.

•

Halla la moda de cada una de las siguientes tablas de frecuencias:

al

b) 1

2

2

3

3

6

4

5

5

3

6

5

7

8

8

2

9

4

a) Moda: ........_.........................

•

b) Moda: ....................................

En sucesivos lanzamientos de un dado se obtienen las siguientes puntuaciones: 36452

~

1

242

5

6

2

4

a) Añade la puntuación que falta si sabemos que esta serie tiene dos modas. b) ¿Cuáles son las modas de la serie? .............................._..............................................................

•

•

En una votación a la Alcaldía de un municipio los candidatos obtuvieron los siguientes votos: A 8

102 106

e

103

o

98

E

194

¿Cuál es la moda? ....................................

En un estudio sobre el color del jersey de los alumnos y alumnas de una clase se obtuvieron los siguientes resultados: Blanco

Rojo

Negro

Azul

Verde

6 4

¿Cuál es el color de moda en los jerseys? ....................................

6 2 3

.........

'.

-16­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula la media aritmética utilizando frecuencias

o

Se multiplican todos los datos por sus respectivas frecuencias.

o

Se suman los productos obtenidos.

Q

Se divide el resultado entre el número de datos.

¡eH/U/U.

Para hallar la media aritmética de los datos de la siguiente tabla de frecuencias: 3 34

6 51

9 62

12 74

15 38

18

Se multiplican los datos por sus frecuencias y se suman: 3·34

+ 6'

51

+ 9 . 62 + 12·74 + 15·38 + 18' 45 = 3234

Se divide el resultado entre el número total de datos: •

•

l'

3· 34

Media antmetlca =

•

+ 6·51 + 9· 62 + 12·74 + 15·38 + 18· 45 34 + 51 + 62 + 74 + 38 + 45

3234 = 304 = 10,64

Calcula la media aritmética de los datos de las siguientes tablas de frecuencias: ~

d 1

12

2

43

3

26

4

95

5

13

6

35

7

38

8

42

9

54

10

72

Total

Total

b)

d) 27,5

11

28,3

12

20,1

11

16

57

17,9

23

20

81

15,4

14

Total

Total

-11­

•

Las temperaturas máximas en una ciudad durante el mes de abril fueron las siguientes: 12 14

12 18

16 18

13 17

14 19

19 18

17 17

14 14

19 13

16 12

18 14

18 13

17 18

12 17

14 19

a) Forma la tabla de frecuencias absolutas.

b) Halla la temperatura media de las máximas.

e) ¿Cuál es la moda?

• Los 16 alumnos de una clase han obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 8 3 547 625 9737654

a) Forma la tabla de frecuencias absolutas.

b) Calcula la nota media de la clase.

e) ¿Cuál es la moda?

• En una encuesta realizada a la salida de un cine sobre la edad de los asistentes se obtuvieron los siguientes datos agrupados por sus frecuencias: 20

25

30

35

12

15

24

12

a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes al cine?

b) ¿Cuál es la moda?

-1 a =

Vv = ffii = 13 cm31

Una vez obtenida la arista, se calcula el área de una cara (que es un cuadrado). El área total es seis veces el área de una cara:

AT = 6al

= 6 • 3 = 6 . 9 = 1 54 cm 2

2

1

• Sabiendo que la superficie total de un cubo es 96 cm 3, determina su arista y su volumen.

• Un aula vacía tiene forma de ortoedro y unas dimensiones de 10 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. Calcula el volumen de aire que contiene y da el resultado en dm 3•

• Un silo de trigo formado por dos grandes naves: una con forma de ortoedro, de 20 m de largo, 15 m de ancho y 10 m de alto, y otra con forma de cubo de 25 m de arista. Determina el volumen de grano que cabe en el silo y da el resultado en m3 y hL

- Jlb­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el volumen de un prisma regular

.-,..mln,r.-

Para calcular el volumen del prisma de base pentagonal de la figura inferior, hay que hallar primero la apotema y el perímetro de la base:

a = './32 - 1,52= 2,6 cm p=3'5=15cm

As = l!...:.J!.. = 15· 2,6 2

1,5 m

2

= 19 5 cm

2

'

J V= As' h = 19,5' 10 ::::} ,I'"""V-=-1-9-5-cm-""',

• Calcula el volumen de un prisma de 15 m de altura, sabiendo que su base es un cuadrado de 56 m de perímetro.

• Un edificio tiene forma de prisma de base hexagonal. El lado de la base es 16 m y la altura del edificio es 30 m. Calcula su volumen.

• Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m. Su volumen es 36 m3 • Calcula su altura.

3

Cómo se calcula el volumen de un cilindro

Área de la base: As =

'iT •

r2

Para calcular el volumen de un cilindro de 24 m de altura y cuya base mide 150 cm de radio, hay que tener en cuenta que todas las medidas deben expresarse en la misma unidad: r =:: 150 cm = 150 : 100 = 1,5 m

V=

1r'

r· h = 3,14' 1,5

2

•

24 => I V= 169,56 m3 1

• Calcula el volumen de un cilindro de 12 m de radio y 2000 cm de altura.

• Una columna cilíndrica tiene 1 m de diámetro en la base y 6 m de altura. Halla su volumen.

• El volumen de un cilindro es 1356,48 cm 3 y su altura es 18 cm. Calcula el radio de su base.

• Una torre de un castillo tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide 6 m y su altura es 20 m. Calcula el área de la base y su volumen.

-

Jl~~

Cómo se calcula el volumen de una pirámide

~~~·~l~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~

v=..!..· 3 A

B

•h

:¡e:m'¡:J/o: El volumen de una pirámide pentagonal de 20 m de altura y cuya base tiene 10 m de lado

y apotema a = 6,88 m se calcula a partir de estas cantidades:

p = 5 . 10

V=

•

= 50 m;

~ . Ae . h = ~

Ae =.E!..::.l!.. 2

. 172 • 20 ==>

= 50· 6,88 = 172 m2 2

Iv = 1146,67 m 1 3

La mayor de las tres pirámides que hay en Gizeh (Egipto) es la de Keops. Su base es un cuadrado que mide 230 m de lado y su altura es 147 m. Halla el volumen de la pirámide.

•

Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un rectángulo que mide 16 m de largo por 12 m de ancho y tiene una altura de 14 m.

•

Calcula el volumen de una pirámide cuya base hexagonal tiene 12 m de lado, sabiendo que la apotema de la base es 10,39 m y que la altura de la pirámide es 15 m.

•

La base de una pirámide octogonal tiene 8 dm de lado y 9,66 dm de apotema. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su volumen es 103,04 dm 3•

-) 1'1­

Cómo se calcula el volumen de un cono

:jemplo: El volumen de un cono de 12 cm de altura y cuya base tiene 2 cm de radio se calcula a partir de la superficie de la base:

AB = 1l"

r = 3.14' 2 = 12.56 cm

V = ~ . AB • h =

2

~ . 12,56 . 12 =>

2

I V=

50,24 cm 3 1

• Calcula el volumen de un cono de 0,24 m de altura y cuya base tiene 5 cm de radio.

• Halla el volumen de un cucurucho de helado de 3 cm de radio y 12 cm de altura.

• Un gorro de fiesta tiene forma cónica. La circunferencia de la base tiene 58 cm de longitud y la altura del gorro es 30 cm. Halla el volumen del gorro.

• Un cono de 8 cm de radio tiene un volumen de 535,89 cm 3• Calcula la altura del cono.

Cómo se calcula el volumen de una esfera

V=±''rr'r 3

El volumen de una esfera de 6 cm de radio es:

v=;''rr.r=;'3,14'63 => IV=904,32cm 3 1

• Calcula el volumen de una canica de 4 mm de radio.

• Calcula el volumen de aire caliente que cabe en un globo aerostático de forma esférica que cuando está totalmente hinchado tiene un diámetro de 18 m. Sabiendo que cada litro de aire caliente pesa 0,0002 g, ¿cuánto pesará el aire contenido en el globo cuando esté totalmente hinchado?

• Averigua cuánt~s metros cúbicos de agua caben en un depósito de forma esférica que tiene 14 m de diámetro.

• ¿Cuál será el volumen de la cúpula de un planetario que tiene forma de semiesfera de 26 m de diámetro?

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