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1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 − 3x = 5 b.

x +1 x +2 = 3

c.

x + 1 x + 4 = 10

d.

x −1 + 2 = 4

e.

x+3 −2 = 4

f.

x2 − 1 = x

g.

x + 3 = 1 − x2

2. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: 2 − 7x a. −2 < ≤3 5 + 2x b. c.

2x2 − 3x + 1

>0 x2 − 2x + 1 6+x 2 − 3

c.

x2 − 1 ≤ 2

d.

x+2 < x+3

e.

x2 − 2x − 2 ≥ 1

f.

x2 + x − 5 ≤ x − 1

g.

1 − x < 2x

h.

1 − x2 > x − 1

i.

2x2 − 2 ≥

j.

7−x x−2 x

≤0

s.

(x + 2) x + 2 + 3x ≤ 0

t.

3x − 2 < x + 1

4. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: a.

x2 − 3x − 5 < x2 + 6

b.

x + 1 − x − 2 ≤ −2

c.

4 − x + 2x + 1 ≤ 4

d.

x + 1 > x − 2 + 2x − 9

e.

x2 − 1 ≤ x − x − 1

f.

(x − 2)(x − 6) + x − 4 ≤ 2

g.

2x x +1 3 − ≤ x +1 2x 2

h.

(x + 2) x + 2 + 3x ≤ 0

i.

x + 1 > x − 2 + 2x − 9

j.

(x + 1)(x − 1)2 x − 3 ≤ 0

k.

(x + 2) x + 2 ≥ x − 4

l.

4−x 2x − 1 ≥ x −3 1−x

m. x + 1 − x − 2 ≤ x − 1

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RESPUESTAS 1.a. –1/3, 3 b. (−3 + 13) / 2 , (−3 − 13) / 2 c. –6, 1 d. –1, 3 e. –9, 3 f. (−1 + 5) / 2 , (1 + 5) / 2 g. No tiene solución 2.a. [−1, 4) b. (−∞, 0) ∪ (1, ∞) c. (−∞, −5) ∪ (0, ∞) 3.a. (-1,5) b. (-∝,-1]∪[5, ∝) c. [- 3 , 3 ] d. (-5/2, ∝) e. (-∝,-1]∪[1- 2 ,1+ 2 ]∪[3, ∝) f. [-1+ 7 , 2] g. (1/3, ∝) h. ℜ-{1} i. ℜ j. (-∝,-5) ∪(1, ∝) k. ℜ-{-8} l. ℜ-{0} m. (-∝,1]∪[1, 3 / 2 ]∪[3/2, ∝) n. (-3/2,1/2)∪(1,2) o. ((1- 37 )/6,0)∪(0,(1+ 37 )/6) p. (-∝,-1] q. (-1,1)∪(5,7) r. (-∝,-4)∪(4/5, ∝) s. (-∝,(-7+ 35 )/2) t. (1/4,3/2) 4.a. (-11/3,1/2)∪(1, ∝) b. (-∝,-1/2] c. ∅ d. (3,6) e. [0, 2 ] f. [2,6] g. [-1/2,-1/5]∪[1/3, ∝) h. (-∝,(-7+ 33 )/2) i. (3,6)

j. [1- 2 ,(6- 15 )/3]∪[1+ 2 ,3)∪(3,(6+ 15 )/3]

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1. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Halle las coordenadas de sus cuatro vértices.

Rta: (a,a); (-a,a);

(-a,-a); (a,-a) 2. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las longitudes de los catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. Rta: 6, 5 3. Halle la distancia del origen al punto (a,b).

Rta :

a2 + b2

4. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1). Halle las coordenadas del tércer vértice. Rta : (1,1 + 2 3); (1,1 − 2 3) 5. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta: 20.26 6. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son los vértices de un triángulo isósceles. 7. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo y halle su área.

Rta: 34

8. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. 9. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2) son los vértices de un cuadrado. 10. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halle su ordenada. Rta: 2, -6 11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo.

Rta: (1,-2)

12. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada? Rta: 5 13. Demuestre que los puntos (1,6), (9,-2), (-5,-4) son los vértices de un triángulo. 14. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.

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15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2.

Rta:

2x-y+3=0 16. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45
. Rta: x-y+3=0 17. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es –2. Rta: 3x+y+2=0 18. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0 19. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2,2) y D(3,-4). Halle su ecuación. Rta: 6x+5y-82=0 20. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-2y+9=0.

Rta: 4x+y-10=0

21. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3):

a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0 22. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuación de una recta l es 4x+3y=12. Halle la distancia del punto P a la recta l.

Rta: 14/5

23. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-2). Calcule la abscisa de P. Rta: 11 24. Determine el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6).

Rta: A=20/19, B=16/19

25. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3).

Rta: 4x+3y+13=0

26. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta: 4

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27. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2,-3).

Rta: a=4, b=7

28. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). Rta: 33 41 41 29. Halle la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0. 7 Rta: 10 30. Halle la posición relativa de las rectas 72x-123y+235=0, 32y+54x-43=0.

Rta: secantes

31. Una recta pasa por los puntos M(x,3) y N(7,-1). Si su pendiente es –4/5, determine el

valor de “x”.

Rta: 2

32. Se tiene el triángulo formado por los puntos A(1,6), B(-5,-2) y C(8,1). Determine: a. Su perímetro. b. Su área.

Rta: 10 + 178 + 73 Rta: 43

33. Una recta tiene inclinación 2π y pasa por el punto A(2,1). Otra recta tiene inclinación 6π y 3 pasa por el punto B(-2,-3). Determine el punto común a ambas.

34. Se dan los puntos A(2,1), B(-2,3) y C(-4,-1). Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular a la que pasa por B y C.

35. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3): a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC.

c.

Rta: 5x+y+9=0

Halle las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección. Rta: (8/3,5/3)

d. Halle las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección. Rta: (10/3,5/3) e. Halle las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Rta: (4/3,5/3)

36. Los vértices de un triángulo son (1,1), (4,7) y (6,3). Demuestre que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro son colineales. 37. Halle la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas de ecuaciones dadas por x-2y-4=0 y 4x-y-4=0. Rta: ( 17 + 4 5)x − (2 17 + 5)y − 4 17 − 4 5 = 0

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1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle la ecuación de la curva. Rta. (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10 2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2). Rta: (x − 7)2 + (y + 6)2 = 89 3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y.

Rta.

(x − 2)2 + (y + 4)2 = 4 4. La ecuación de una circunferencia es (x − 3)2 + (y + 4)2 = 36 . Demuestre que el punto A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior. 5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. Rta. (x − 6)2 + (y + 3)2 = 25 6. La ecuación de una circunferencia es (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 . Halle la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3). Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0. 7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 25x2 + 25y2 + 30x − 20y − 62 = 0 . Rta. 2 3π 8. Demuestre que las circunferencias x + y + 4x + 6y − 23 = 0 y x + y − 8x − 10y + 25 = 0 2

2

2

2

son tangentes.

9. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,2) y (7,3). Halle su ecuación. Rta.

(x − 4)2 + (y + 1)2 = 25 , (x − 3)2 + (y − 6)2 = 25 10. Determine el valor de la constante k para que la recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0 . Rta. k= -1, 25

11. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a x2 + y2 = 25 que pasan por el punto (7,-1).

12. Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto ( 5, 14 ). 3

Rta.

x2 9

+

y2 49

= 1,

e=

2 10 7

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13. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0), (-3,0).

x2 16

Rta.

+

y2 7

=1

14. Los vértices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y (x − 4)2 9

menor y de cada lado recto. Rta.

+

(y −1)2 8

= 1 ; focos (5,1) , (3,1); 6, 4 2 , 16/3.

15. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos. Rta.

16. Halle

las

(x + 2)2 25

+

(y + 1)2 10

= 1,

ecuaciones

2x + 3y + x − y − 5 = 0 . 2

2

de

e=

15 5

, fo cos (−2 + 15, −1),(−2 − 15, −1)

las

tangentes

trazadas

del

punto

(3,-1)

a

la

elipse

Rta. x + y − 2 = 0, 9x − 191y − 218 = 0

17. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en (4,-1), uno de los focos está en (1,-1) y pasa por (8,0). Rta.

(x − 4)2 18

+

(y +1)2 9

=1

18. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by − 11 = 0. Halle la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) y (5,1). Rta. 4x2 + 9y2 − 16x − 18y − 11 = 0 . 19. La ecuación de una familia de elipses es kx2 + 4y2 + 6x − 8y − 5 = 0. Halle las ecuaciones de aquellos elementos de la familia que tienen una excentricidad igual a 21 . Rta. 3x2 + 4y2 + 6x − 8y − 5 = 0;

16x2 + 12y2 + 18x − 24y − 15 = 0

20. Los vértices de una hipérbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/2. Halle la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. Rta.

y2 16

−

x2 20

=1

focos (0,6),

(0,-6) 21. Si k es un número cualquiera diferente de cero, demuestre que la ecuación 3x2 − 3y2 = k representa una familia de hipérbolas de excentricidad igual a

2.

22. Halle y trace las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 4x2 − 5y2 = 7 . Rta. 2x − 5y = 0 ,

2x + 5y = 0 .

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23. Halle los puntos de intersección de la recta 2x − 9y + 12 = 0 con las asíntotas de la hipérbola 4x2 − 9y2 = 11. Rta. (3,2)

(− 32 ,1)

24. Halle las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación 9x2 − 4y2 = 36 . Rta. Vértices (0,3), (0,-3); focos (0, 13 ), (0, − 13 ), e = 13 3

25. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es 2, halle su ecuación.

26. Demuestre que la elipse x2 + 3y2 = 6 y la hipérbola x2 − 3y2 = 3 tienen los mismos focos. 27. Determine todos los elementos de las siguientes hipérbolas y construya su gráfica: a.

4x2 − 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0

b.

x2 − 4y2 − 2x + 1 = 0

c.

9x2 − 4y2 + 54x + 16y + 29 = 0

d.

3x2 − y2 + 30x + 78 = 0

28. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y − 5 = 0 . Rta.

x2 = −20y 29. Halle la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (−4, 3) y (−1, 3) , respectivamente y la ecuación de su directriz.

Rta. (y − 3)2 = 12(x + 4) ;

x = −7

30. Determine todos los elementos de las siguientes parábolas y construya su gráfica: a. 4y2 − 48x − 20y − 71 = 0 b. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 c.

4x2 + 48y + 12x − 159 = 0

31. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx . Halle la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (2, 8) y (−1,5) . Rta. y = 3x2 − 2x

32. Halle la distancia entre el centro de la elipse 25x2 + 9y2 − 150x + 54y + 81 = 0 y el centro de la circunferencia 3x2 + 3y2 + 12x + 4 3y + 12 = 0 . Rta. 5.32

33. Diga si x2 − y2 = 4 y x2 + 9y2 = 9 son cónicas homofocales (tienen focos iguales). Rta. Si

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34. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse

7x2 + 11y2 = 77 y cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. 7x2 − 4y2 = 28 35. Dibuje la región limitada por las curvas indicadas: 35.1. y = x2 − 4 , y = x + 2. 35.2.

x = y2 , x = −2y2 + 3.

35.3.

y = x + 1 , y = −x + 1 , y = 2x − 4.

35.4.

y = −2x2 + 8x − 7 , y = x − 4.

35.5.

y = 4 − x2 , y = −x + 2 , x = −2 , x = 3.

35.6.

x = 16 − y2 , x2 = 6 y .

35.7.

x = (y + 1)2 − 1 , x = 1 − y + 1 .

35.8.

x2 16 + y2 9 = 1 , x2 + y2 = 1.

35.9.

y = x − 1 + 3 , y = 4(x − 1)2 .

35.10. y = x2 , y = 8 − x2 , 4x − y + 12 = 0. 35.11. 2y2 = x + 4 , x = y2. 35.12. y − x = 6 , y = x3 , 2y + x = 0. 35.13. y =

(x − 2)2 2 2 −1 ; y = x + ; x=4 9 5 5

35.14. y =

x2 x − 2x + 1 ; y = + 1 ; y = −x + 5 2 3

35.15. y = 2(x − 2)2 , y = 2x 35.16. 4x = y2 , 4(8 − x) = y2 35.17. y = x + 5 + 3 , y = 0 , x = −8 , x = −3 35.18. y ≤ 1 + x

;

x+y ≥1

;

(x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1

35.19. y − x = 6 ; y = x3 ; 2y + x = 0 35.20. Primer cuadrante ; x2 + y2 ≤ 3 ; x2 ≤ 2y ; y2 ≤ 2x 35.21. x = −1 − y ; x = 35.22. x =

−y

;

x = 1+

1 − (y − 1)2

1 − y2

; y=

;

x +2 ; y = 0 2

y=x

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36. Dibuje las siguientes curvas: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 1 ≤ y ≤ 3  y = 12 (x + 2) 0≤ y ≤1   2 36.1.  x + y2 = 1 −1 ≤ y ≤ 0  4   y = 12 (x − 2) 0≤ y ≤1 

36.2.

36.3.

36.4.

36.5.

a.

  2 2 2≤x≤4  x −y =4  −2 ≤ x ≤ 4  y −2 3 = 0   y2 −2 3 ≤ y ≤ 2 3 x = −2 + 4 − 3   x2 + y2 = 16y − 60 8 ≤ y ≤ 10  2x = y − 4 0≤y≤8   y + 4 = x2 −4 ≤ y ≤ 0   2 2 16(x + 2) + (y − 4) = 16 −2 ≤ x ≤ −1

  2 2  x −y =4   y −2 3 = 0   y2 x = −2 + 4 − 3  x + y =1

2≤x≤4 −2 ≤ x ≤ 4 −2 3 ≤ y ≤ 2 3

36.6.

 y = 1 − x2 0≤ x≤1  x=0 −1 ≤ y ≤ 1  y − x + 1 = 0 0 < x ≤ 1 

36.7.

 y = x2 0≤x≤3  2 2 (y − 2) (x − 3) + = 1 0 ≤ x ≤ 3, y ≥ 2  9 49   x2 + (y − 1)2 = 1 −1 ≤ x ≤ 0 