Inecuaciones INECUACIONES DE 1° GRADO

INECUACIONES Indicadores Representa gráficamente el conjunto solución de inecuaciones de primer y segundo grado, así como de inecuaciones fraccionarias. Resuelve inecuaciones utilizando las propiedades de los números reales, así como el método de de puntos críticos. Resuelve problemas con inecuaciones de primer y segundo grado.

Contenido Inecuaciones     

Lineales Fraccionarias Irracionales Cuadráticas y de orden superior Con valor absoluto

Para resolver una inecuación lineal o de primer grado debemos usar las propiedades de las desigualdades además de tener en cuenta los siguientes casos: Caso 1 Resolver:

2x > 8 x>4

–

4

+

x  4;  Caso 2 Resolver:

–3x  15 3x  –15 x  –5

–5

–

+

x   ; 5

Caso 3 Resolver:

–6x < –18 6x > 18

–

3

+

x   3;   

INECUACIONES Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo. Profesor: Javier Trigoso

SISTEMAS DE INECUACIONES La solución de un sistema de inecuaciones supone la solución de cada una de las inecuaciones dadas, siendo el conjunto solución, la intersección de todas las soluciones obtenidas.

Página 1

Inecuaciones Ejemplo:

05.

Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación: 2x  1 3x  2 2x  1 2    5 6 2 3 Rpta. -18

2x  1  x  2 Resolver:  3x  4  2x  9

2x  1  x  2  x  3 3x  4  2x  9  x  5

3

–

5

06. La suma de los enteros que verifican simultáneamente las inecuaciones:  4x  5  x3   7 , es:   3x  8  2x  5   4 Rpta. -21

+

x  3;5 

… PARA LA CLASE 01.



Resolver: 2 2x  1



 3 3x – 4  – 6  4 – 3x   – 3

Rpta. x  –, 1 02.





 



Rpta. x   ;2 03.

Resolver :

Rpta. x  ,

2x  6 x  5 3 4

36 5

2x 5x 7x   11 3 6 12 Rpta. x   ;12  04.







Resolver: x  1 x  3 – x  8 x – 6  6 x  7  1

Resolver:

5x  3y  2  07. Resuelve para valores enteros:  2x  y  11  y3  Rpta. x = 3; y = 4 08. El mayor valor entero de x que satisface al siguiente sistema de inecuaciones es: x  y  76  x  y  10 x  2y  112  Rpta. 43 09.

Si J, R, T є Z+ . halla R.T en: J  R  T  8  J  R  T  4  T R 1   R4 

Rpta. 15 Profesor: Javier Trigoso

Página 2

Inecuaciones 10. Si se duplica la edad de Carlos, está resulta menor que 84. Pero si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5. Rpta. 12 11. Si al doble de un número entero se le disminuye 5, no resulta más que 28 y si al triple del número se le aumenta 7, no resulta menos que 53. Halla el número y da como respuesta la suma de sus cifras. Rpta. 7 12. Javier tenía cierto número de cigarrillos. Triplicó esta cantidad, luego vendió 100 y le quedaron menos de 82. Luego, le regalaron 13 y posteriormente vendió la tercera parte de los que tenía, quedándose con más de 60. ¿Cuántos cigarrillos tenía inicialmente? Rpta. 60

… PARA LA CASA 01.

B. x    ;1 

C. x    1;  

D. x   1;  

02.

Resolver:  x – 2 x – 3   x – 5  x  7   2  x – 3

Y da como respuesta el mayor valor entero A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Profesor: Javier Trigoso

Resolver :  4x – 3  3x – 2  x  7x – 13 2

A. x  –5, + C. x  [–5, + 04.

Resolver:

A. x  –11, + C. x  [–11, +

2

B. x  –3, + D. x  [–3, +

x  2 5(x  7) 7  x   3 4 2 B. x  –, 11 D. x  [–, 11

x  3 3  2x x  8    2 5 10 30 A. x    ;59  B. x  59;   C. x    ; 59 D. x  59;   05.

Resolver:

06.

Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación: 2x  1 3x  2 2x  1 2    5 6 2 3 A. -18 B. -16 C. 16 D. 18

5  7x 4  2x x  1 3 5 2 y señala el mayor valor entero que puede tomar “x” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Resolver: 2 1 – x  +3 2 – 5x   – 9

A. x    ; 1 

03.

2

07.

Resuelve:

08.

Señala el mayor valor entero que satisface: 13x  5 1 8  5x  4x   3 2 6 B. -1 D. 1

A. -2 C. 0

Página 3

Inecuaciones 09.

A. -2 C. 1

Señala el menor valor entero que se obtiene al resolver: 2x  3 3x  1 1  2x   3 2 4 B. -1 D. 2

 2x  2 5  2x  1   3 10. Resolver:  5  x  2  2x  3  3  4 4  3 A. x   ;84  B. x  84;  

C. x   84;  

D. x   84;  

11. La suma de los valores enteros de x que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones: 13x  5 3x  8 2x  7   1   2 5 3 , es:   3x  1  1  x  1  x  2 7  5 A. 5 B. 9 C. 14 D. 20 12. ¿Cuántos números enteros mayores o iguales a -7 satisfacen el siguiente sistema?

A. 1 C. 3 Profesor: Javier Trigoso

 7x  5 3x   2  3   x  6  x  2   1  5x  2 5 B. 2 D. 4

2x  5y  30  13. Resuelve para valores enteros:  x  3y  22  y  8  A. x = 2; y = -7 B. x = -2; y = 7 C. x = -7; y = 2 D. x = -2; y = -7

14.

5x  3y  2  Resuelve en R+: 2x  y  11  y 3 

2 2 Y señala el valor de P  x  y

A. 1 C. 3

15.

B. 2 D. 4

x  y  z  8  x  y  z  4 Resuelve para valores enteros:  zy0   z5 

Y da como respuesta « x + y + z » A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 16.

Siendo: x, y, z los valores enteros que satisfacen el sistema: x  y  z  14  x  y  z  6  yz   z7  Halla y.z A. 5 B. 15 C. 25 D. 30 Página 4

Inecuaciones 17. Tengo cierto número de cuadernos. Si regalara los 3/5 de mis cuadernos, me quedarían más de 20, pero si regalara solo la mitad, me quedarían menos de 30. ¿Cuántos valores podría tomar el número de cuadernos que tengo? A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES POR "PUNTOS

18. El dinero de Juan es el triple del dinero del dinero de Pedro, aumentado en 6; además, el quíntuplo del dinero de Pedro, más el cuádruple del dinero de Juan es mayor que 500. ¿Cuánto tiene como mínimo Pedro? (considera una cantidad entera de soles) A. S/.26 B. S/.27 C. S/.28 D. S/.29

Los pasos a seguir son los siguientes:

19. Después de un partido de futbol, un futbolista empezó comiendo un cierto número de naranjas, después compró 3 más, también se las comió, resultando que había comido menos de 10 naranjas. Compró 8 naranjas más y, al comérselas observó que había comido en total, menos del triple de naranjas que comió la primera vez. El número total de naranjas que comió fue: A. 14 B. 16 C. 17 D. 18 20. Se tiene una fracción cuyo denominador es menor en una unidad que el cuadrado del numerador. Si añadimos 2 unidades al numerador y al denominador, el valor de la fracción será mayor que 1/3. Si del denominador y el numerador se restan 3 unidades, la fracción sigue siendo positiva, pero será menor que 1/10. calcular la suma del numerador y denominador de la fracción original. A. 13 B. 15 C. 17 D. 19

Profesor: Javier Trigoso

CRÍTICOS" Este método lo vamos a utilizar para cualquier desigualdad de grado mayor o igual a 2, sea esta entera o fraccionaria.

 Factorizamos la expresión dada.  Igualamos cada uno de los factores a CERO y hallando los valores de “x” determinamos los PUNTOS CRÍTICOS (P.C)  Llevamos los P.C a la recta numérica, quedando esta dividida en intervalos. Al primer intervalo (contado desde la derecha) le asignamos el signo positivo (+), los demás signos van alternados.

–

+ a

b

+ c

+

 Cuando la desigualdad es > ó ≥ tomaremos todos los intervalos POSITIVOS.  Cuando la desigualdad es < ó ≤ tomaremos todos los intervalos NEGATIVOS.  El conjunto solución quedará determinado por la UNIÓN de todas las zonas sombradas

Página 5

Inecuaciones Ejemplo 1: Resuelve: x2  5x  6  0 Solución:

 Llevamos los P.C a la recta numérica:

-

 Igualando cada factor a cero: x 2  0  x  2

+

2

3

+

 Como la desigualdad es menor que cero, escogemos los intervalos NEGATIVOS:

+

2

–

+

 El conjunto solución es: x  2;3 Ejemplo 2:









Resuelve: 2x  1 x  3 x  2  0 Solución:  Como la expresión ya esta factorizada, solo nos queda igualar cada factor a cero: 1 2x  1  0  x  2 x  3  0  x  3 x 2  0  x  2

Profesor: Javier Trigoso

2

1/2

+

-

+ -3

+ 2

1/2

+

 1  El conjunto solución es: x   3;   2;   2  Ejemplo 3: Resuelve:

+ 3

–

+

+

 Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los intervalos POSITIVOS:

x 3  0  x  3  Llevamos los P.C a la recta numérica:

–

-3

–

 Factorizando:  x  2 x  3  0

-

+

Solución:

3x  2 0 x5

 Sabemos que el denominador debe ser diferente de cero, por lo tanto x ≠ 5.  Igualando cada factor a cero: 2 3x  2  0  x   3 x 3  0  x  5  Llevamos los P.C a la recta numérica:

+ –

-2/3

+ 5

+

 Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los intervalos POSITIVOS: Página 6

Inecuaciones + –



-2/3

07.

+ 5

+

 2 El conjunto solución es: x   ;    5;   3 

Resuelve:

(3  x) (x  1) (x  5) (x  2) (x  2)

0

Rpta. x  –, –2]  [–1, 2]  [3, 5] 08.

Resuelve:

x 1 3 x

Rpta. x  0 < x < 1/2

……… PARA LA CLASE 01. Resuelve: (x + 4)(x + 2) > 0 Rpta. x  –, -4  -2, + 02. Resuelve: (x + 3)(x - 5) < 0 Rpta. x  –3, 5

x8 0 x2 Rpta. B. x  –2, 8 03.

Resuelve:

x 8 x 2  x3 x 1 Rpta. x  [–3, –1]  [–1/2, +[ 09.

Resuelve:

10.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2  3x  7x  2  0  2   x  3x  10  0   Rpta. x   2; 1   2;5    3  

……… PARA LA CASA

x9 0 x 1 Rpta. x  –, –9]  1, +

01. Resuelve: (x + 6)(x + 6)  0 A. [–6, + [ B.]–, –6] C. R - {–6} D. {–6}

05. Resuelve: 3x2 – 10x  – 3 Rpta. [1/3, 3]

02. Resuelve: x2 – 7x + 10  0 A. x  –, 2  5, + B. x  [2, 5] C. x  [5, + D. x  , 2

04.

06.

Resuelve:

Señala el mayor valor entero que satisface: (x  2) (x  5) (x  2) 0 (x  1) (x  7)

Rpta. 6 Profesor: Javier Trigoso

03. Resuelve: x2 + 4x – 45 > 0 A. x  –, –9  5, + B. x  –, –15  3, + C. x  [–9, 5] D. x  [–15, 3 Página 7

Inecuaciones 04.

Resuelve:

A.]1/2, + [ C. x > 5 ó x < 1/2 05.

Resuelve:

2x  1 0 x5

x6 0 x(x  4)

A.]–6, 0[ C. [–6, –4[  ]0, +[ 06.

Resuelve:

Resuelve:

B. ]–, –6]  ]-4, 0[ D. 

(4  2x) (x  1) x

A. [–1, 0]  [2, +[ C.]–1, 0]  [2, +[ 07.

B.]–, 1/2[ D. ]1/2, 5[

0

B.]–1, 0[  ]2, +[ D. 

(x  3) (x  5) x (x  2)

0

A.] –, –3]  [5, +[ B.] –, –3]  ]–2, 0[  ]5, +[ C.] –, –3[  ]–2, 0[  ]5, +[ D.] –, –3]  ]–2, 0[  [5, +[ 08.

Resuelve:

x (x  2) (x  1) (x  3)

A.] –, –1[  ]0, 2[  ]3, +[ C.] –, –1[  ]0, 2[  [3, +[ 09.

Resuelve:

B.] –, –1]  [0, 2]  [3, +[ D.] –, –1[  ]3, +[

(2  x) (x  1)

A. 0, –1 C. – {5} D.  – {5} 10.

Resuelve:

11.

Resuelve:

x2

x x6 A. –3, –2  2, + C. 2, +

12.

Resuelve:

2

x2  5x  14 x2  1

A. –7, –1 C. –7, –1  1, 2 13.

Resuelve:

0

B. –, –1 D. 3, + 0

B. 1, 2 D. [–7, –1  1, 2]

x2 2 x 1

A.]4, + [ C.]–, 1[  ]4, + [

B.]1, + [ D.] –, 4[

3x  6 2 x 1 A. x  –, 3  4, + C. x  –, 2  5, +

B. x  [–4, –1 D. x  5, 7

14.

Resuelve:

x 3 x  x4 x6 A. x  5, 6  8, + B. x  –, 4  6, + 15.

Resuelve:

C. x  –, 3  7, 9]

D. x  –, –6   18 , 4 7

Página 8

Inecuaciones x  9 x 1  x 3 x 1 A. [–3, –1]  [3, + B. [–3, –1]  3, + C. R – {3, 1} D.  16.

Resuelve:

x 1 x  2x 3x A. x  –, –3  2, + B. x  –, 3  5, + C. x  3, 4  5, + D. x  [–3, 2] 17.

18.

Resuelve:

Resuelve:

A.]–2, 3[ C.] –, –2[ 19.

Resuelve

x 1 1 x   5 x2 5 B.]3, +[ D.]–, 3[ x x 4 2

A. 2,   C. 3, 



x 3 x x4 B. 3, 10 D. R 2

20.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2  x  2x  15  0  2   x x6 0 A. 2; 1  2;3 B. 2;3 B.  2; 1

D.  1;2

INECUACIONES IRRACIONALES: Para resolver inecuaciones con radicales debemos tener muy presente el sentido de la desigualdad, sobre todo cuando eliminamos los radicales. Primero debemos analisar el campo de variación de la variable contenida en el radical. Para una mejor comprensión veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Resuelve: Solución:

x2  16  3

 Analicemos el campo de variación de la variable contenida en el radical: x2  16  0

 x  4  x  4   0  S1 : x   ; 4    4;  

 Eliminemos el radical: x2  16  3  x2  16  9 x2  25  0

 x  5  x  5   0  S2 : x   5;5 

 Intersectamos S1 con S2

+ -5

-4

4

5

 SF  S1  S2   5; 4  4;5

Profesor: Javier Trigoso

Página 9

Inecuaciones ……… PARA LA CLASE

……… PARA LA CASA

01. Resolver: 3x  2  5 Rpta. x  [2/3; 9[

01. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x" A. 13 B. 15 C. 18 D. 25

02. Resolver: Rpta. x > 23/2 03. Resolver: Rpta. x ≥ 1/2

4x  3  7

3x 

02. Resolver 2x  8  x e indica la suma de valores enteros que satisfacen la inecuación A. -4 B. -1 C. 1 D. 4

x 2

03. Resolver: A. 1; 23/2 C. –1; 23/2

04. Resolver: 5  2x  x  3 Rpta. x  [–3; 5/2] 05. Encuentra el mayor valor entero de: Rpta. 3 06. Resolver:

9  x2 4x2  25

07. Resolver:

x2  x  6  16  x

 0 e indicar el número de valores enteros

que asume “x” Rpta. 2

Rpta. x  [–6; 0[  ]3; 4]

B. –3; 4 D. –23/2; 1

x2  3  12x

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4 4  x  2x  6

 10  A.  , 4  3 

B.

 10 C.  ;  3

D. R

06. Resolver:

9  A.  ;8 5 

Profesor: Javier Trigoso

2x  23  x  4

04. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x" en:

05. Resolver: 24  2x  x2 1 x

2x  5  13

;

10   3

4x  1  8  x  0

B. ;8

Página 10

Inecuaciones 1 9 C.  ; 4 5 07. Resolver la inecuación: A. 1; 2 C. 0; 3

3

09. Resolver: A. ] –; -6] C. ]32/3;

x2  2x  24  x  4

x

2





 1 x2 4x  5  0

A. [–2; 2] C. {-1; 1}

B. {-2; 2} D. [–1; 1]

B. [–1; 0 D.

0; +

x2  5x  4 es real.

A. ] –; 4] C. [ 4;  [

3

Para resolver inecuaciones con valor absoluto debemos tener presente la definición de valor absoluto, así como las siguientes propiedades:

11. Calcula el conjunto de valores de “x” para los cuales el número: P

B. ]2; 3[ D. [2; 7]

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

x 3  x  3

–; 1

7x

B. ] –; -6]

 [8; + [ D. ] –; -6]  ]32/3; + [

A. [0; 1 C.

 [6, + [

D. ] -4; 6[

[

10. Resolver:

15. Resolver

B. ] –, -4]

[

3 x 2 

A. [2; 3[ C. [2; 7[

x2  2x  24  4

A. ] –; 4]

B. 2 D. 4

14. Resolver

x3  7  x  1

B. –2; 2 D. –1; 2

08. Resolver: C. [ -6;

A. 1 C. 3

1 D.  ;8 4

B. ] –; 1 ]  [ 4;  [ D. ] –; 3 [

Propiedades : P1. Si x  a  a  0   a  x  a P2. Si x  a  x  a  x  a

12. Halla el mayor valor entero que satisface la inecuación: 1  x  1  3x  3  x  3  x

A. -1 C. 1

B. 0 D. 2

13. Determina la cantidad de valores enteros que asume “x” en la siguiente inecuación: Profesor: Javier Trigoso

Propiedades Auxiliares: P1. Si x  y   x  y   x  y   0

P2. Si x  y   x  y   x  y   0

2 9x 1

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Inecuaciones ……… PARA LA CLASE Resuelve las siguientes inecuaciones:

2   |x  4|  5  2   | x  5x  6 |  2 Rpta. {2; 3}

10.

01. |3x – 5| < 7 Rpta. ]–2/3; 4[ 02. |4x – 3| > 5 Rpta. ]–; –1/2[  ]2; +[ 03. |3x – 1|  5 Rpta. [–4/3; 2] 04. |5x + 2| ≥ 1 Rpta. ]–, –3/5]  [-1/5, +[ 05. |12 - x2 |  13 Rpta. ]–, –5]  [5, +[ 06. |x2 – 6x + 8|  4 – x Rpta. [1,3] {4} 07. 3

x  1 x  1 3x  1    2, 5 2 4 3

Rpta. ]–7/3, 5/3[ 08. |3x + 1|  |x - 2| Rpta. ]–, –3/2]  [1/4, +[ 09. |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7| Rpta. [–3, 1/3]  [2, +[

Profesor: Javier Trigoso

……… PARA LA CASA 01. Resolver: |2x + 6|  –4 A. { } C. R

B. R– D. R+

02. Resolver: |x – 3| < 1 A. x  ]–, 2[ C. x  ]2, 4[

B. x  [2, 4] D. x  ]4, +[

03. Resolver: |3x – 6| < 9 A. x  ]1, 5[ C. x  ]–5, 1[

B. x  [1, 5] D. x  ]–1, 5[

04. Resolver: |x – 4|  1 A. x  ]3, 5[ C. x  ]3, 5]

B. x  ]–, 3]  [5, +[ D. x  ]–, 3[  [5, +[

05. Resolver: |x + 2|  3 A. [–5, 1[ C. ]0, 5]

B. [–5, 1] D. [1, 5]

06. Resolver: |1 – 5x| < 1 A. [0, 2/5] C. ]0, 5[

B. [0, 1] D. [0, 1[

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Inecuaciones 07. Resolver:

1 0 | x  3|

A. R C. R – {3}

14. Hallar la mayor solución de: B. R – {0} D. [–3, 3]

A. 18 C. 20

08. Resolver: |3x + 4|  3x + 8 A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[ C. [2, +[ D. R 09. Resolver: |2x + 3| < x + 1 A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [ C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[

15. Resolver: A. ]– ∞, –2] B. [–3, 2]  {3}

9  5x 4 x3

B. 19 D. 21 x2  x  6 x 1

0

B. [–3, 2] – {1} D. [–2, 3] – {1}

10. Resolver: |2x + 6|  2x + 1 A. R B. R– C. { } D. R+ 11.

Hallar el mayor entero que satisface:

A. 0 C. 1

5 1 | 2x  3 |

B. 1 D. 3

12. La suma de las raíces enteras negativas que verifican:

x 5  x 3 A. –30 C. –34 13. Resolver:

B. –32 D. –36 x  5  2x  1

A. ]4, +∞] C. ]2, +∞[

Profesor: Javier Trigoso

B. ]–8, –4[  ]2, +∞[ D. [5, +∞[

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