Jerzy ŚWIĄTEK*, Krzysztof DOBOSZ, Mateusz LIS, Łukasz PINTAL**

IDENTYFIKACJA PROCESU HEMOLIZY Streszczenie W pracy podjęto próbę zamodelowania procesu rozpadu erytrocytów w 0,1% roztworze krwi oraz wpływu podania leku w znanym stęŜeniu na jej przebieg. Badano zaleŜność procentowej ilości zniszczonych komórek od czasu i stęŜenia substancji aktywnej w próbce. W dalszej kolejności porównano proces identyfikacji jedno i dwuetapowej oraz zaproponowano nowy model procesu dla stałego stęŜenia antybiotyku, który uwzględnia anomalie wynikające z przebiegu hemolizy na poziomie pojedynczej komórki.

1. Eksperyment 1.1. Opis procesu hemolizy Proces hemolizy jest to proces przejścia hemoglobiny do osocza krwi wywołany zniszczeniem erytrocytów. Na poziomie komórki przebieg hemolizy jest następujący: erytrocyt wypełnia się płynem z otoczenia, pęcznieje, po czym pęka. Przypuszcza się, Ŝe niektóre substancje mogą mieć wpływ na szybkość zachodzenia hemolizy oraz końcową ilość zniszczonych komórek. Przebieg hemolizy analizuje się oświetlając próbkę światłem o znanym natęŜeniu i mierząc natęŜenie światła przepuszczonego przez roztwór. Próbka, w której nie zachodzi hemoliza jest mętna, próbka w której wszystkie komórki uległy hemolizie ma przejrzystość ośrodka, w którym rozpuszczona była krew.

1.2. Przebieg eksperymentu W eksperymencie zbadano próbki 0,1% krwi od czterech róŜnych dawców, mieszane z antybiotykiem w stęŜeniach 0 µM (próbki kontrolne), 0,36 µM oraz 0,6 µM. UŜytą substancją aktywną był melittin. Próbki po wzbogaceniu lekiem zostały składowane przez godzinę w inkubatorze w temperaturze 37 OC. Następnie próbki przenoszone są na urządzenie stopped flow, gdzie zachodzi hemoliza. *

Politechnika Wrocławska Politechnika Wrocławska

**

276

Jerzy Świątek, Krzysztof Dobosz, Mateusz Lis, Łukasz Pintal

Czas od momentu procesu do ustalenia się poziomu transmitancji wynosi ok. 65 sek. KaŜda seria pomiarowa zawiera 3250 pomiarów. RóŜnica w czasie między pomiarami wynosiła ∆t = 0.02 sek.

2. Opis obiektu identyfikacji Wejściem naszego obiektu jest czas oraz stęŜenie podanego leku. Wyjściem jest stosunek (transmitancja) natęŜenia światła przepuszczonego przez roztwór do natęŜenia światła, którym oświetlana była próbka, który odpowiada procentowej ilości komórek, które uległy rozpadowi. PoniewaŜ model przewiduje niezaleŜność wyników od indywidualnych cech dawcy, została wyznaczona regresja liniowa i rzędu dla wszystkich serii pomiarowych przy stałym stęŜeniu antybiotyku, co jest równoznaczne uśrednieniu wszystkich próbek dla danego stęŜenia do jednej reprezentatywnej.

Rys. 1. Reprezentatywne próbki dla stęŜeń po uśrednieniu wyników ze wszystkich serii pomiarowych

3. Dobór klasy modelu Celem procesu identyfikacji jest dobranie takiej funkcji Φ(s,t), gdzie s - stęŜenie, t - czas, aby jej przebieg był jak najbliŜszy rzeczywistym wynikom pomiarów K(s,t). Przyjmujemy, Ŝe satysfakcjonującym przybliŜeniem obiektu będzie funkcja eksponencjalna z odpowiednio dobranymi parametrami:

Φ( s, t ) = A( s ) − B( s )e − tC ( s ) . Dalsza analiza prowadzi do przyjęcia zaleŜności parametrów od stęŜenia:

(1)

Identyfikacja procesu hemolizy

277

A, B ~ s 2 + k , (k ∈ R), C ~ s + k , (k ∈ R),

(2)

zatem ostateczna postać proponowanego modelu jest następująca:

Φ( s, t ) = a0 s 2 + a1 − (a2 s 2 + a3 )e − t ( a4 s + a5 ) .

(3)

Rys. 2. Przykładowa seria pomiarowa dla próbki kontrolnej (s = 0)

Przyjmujemy kryterium sumy kwadratów: N

Q( A) = ∑ ( K n − Φ ( s, t , A)) 2 , n=0

(4)

A = [a 0 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a5 , ].

4. Identyfikacja parametrów Otrzymane wyniki pomiarów pozwalają przyjąć załoŜenie, iŜ statystyczny błąd pomiarowy ma wartość oczekiwaną równą 0 oraz skończoną wariancję, dlatego w dalszej części pracy do identyfikacji przyjmiemy metodę najmniejszych kwadratów.

4.1. Identyfikacja bezpośrednia Proces identyfikacji sprowadza się do zadania optymalizacji funkcji sześciu zmiennych Q(A).

Rys. 3. Wykres otrzymanego modelu (identyfikacja jednostopniowa)

278

Jerzy Świątek, Krzysztof Dobosz, Mateusz Lis, Łukasz Pintal

Optymalizacja została przeprowadzona w środowisku Python (za pomocą biblioteki SciPy), metodą Neldera – Meada.

4.2. Identyfikacja dwuetapowa Otrzymanie modelu globalnie optymalnego jest zadaniem skomplikowanym oraz pochłaniającym duŜe ilości zasobów z powodu konieczności optymalizacji funkcji duŜej ilości zmiennych, postanowiliśmy więc porównać otrzymane wyniki identyfikacji jednostopniowej z modelem otrzymanym na podstawie modeli lokalnie optymalnych dla stałego stęŜenia. MoŜemy przeprowadzić proces identyfikacji dla poszczególnych wartości stęŜenia (s = 0, 0.36, 0.6) i postaci modelu dla stałego stęŜenia zaproponowanej w punkcie 3 (1). Na podstawie modeli lokalnie optymalnych dla stałych wartości stęŜeń moŜemy zbudować model w ustalonej klasie.

Rys. 4. Wykres otrzymanego modelu (identyfikacja dwustopniowa)

4.3. Porównanie metod Pomimo znaczącej róŜnicy wartości kryterium jakości dla obu modeli otrzymane średnie procentowe wartości błędu wynikającego z ich zastosowania wynoszą odpowiednio 0,2% i 0,3%, a zatem oba pozwalają osiągnąć satysfakcjonujące przybliŜenia. Warte uwagi jest jednak to, Ŝe maksymalne odchylenie od danych rzeczywistych, koncentruje się na obszarze pierwszych pięciu sekund pomiaru (niezaleŜnie od stęŜenia), otrzymane w przypadku estymacji parametrów modelu jest w obu przypadkach o dwa rzędy większe od średniego. Prowadzi to do konkluzji, Ŝe moŜna zaproponować lepszą klasę modelu, uwzględniającą wyniki pomiarów na tym obszarze.

Identyfikacja procesu hemolizy

279

5. Anomalie w wynikach pomiarów 5.1. Sformułowanie problemu Jak zostało juŜ wspomniane, zaproponowana postać modelu nie oddaje w stopniu dostatecznym charakteru procesu w początkowej jego fazie. MoŜemy zaobserwować charakterystyczne ,,przegięcie'' krzywej transmitancji na przedziale [0; 5] sek:

Rys. 5. Krzywa transmitancji dla pojedynczej serii pomiarowej z zaznaczonym „przegięciem”

Prawdopodobną przyczyną wystąpienia tego zjawiska jest przebieg hemolizy na poziomie pojedynczej komórki. Przypuszcza się, Ŝe w ciągu pierwszych sekund procesu erytrocyty masowo pęcznieją, przez co gwałtownie zmienia się przezroczystość cieczy w próbce, następnie pozostają przez chwilę w tym stanie, po czym następuje ich stopniowy rozpad.

5.1. Propozycja nowego modelu Rozpatrzymy przebieg hemolizy dla próbki z zerowym stęŜeniem antybiotyku, poniewaŜ dla takich parametrów zjawisko to jest najwyraźniejsze (próbka w oparciu o którą przeprowadzona zostanie identyfikacja na rys. 5). PoniewaŜ przyjęty uprzednio model dobrze opisuje proces na pozostałym przedziale czasowym, jego podstawowa struktura powinna zostać zachowana. Proponowany nowy model będzie postaci:

Ψ (t ) = Φ(t ) + ε (t ) , gdzie: Φ(t) - proponowana uprzednio postać modelu (3), ε (t) - jest funkcją spełniającą poniŜsze załoŜenia:

(5)

280

Jerzy Świątek, Krzysztof Dobosz, Mateusz Lis, Łukasz Pintal

ε (t ) ≈ 0 dla t > 5 sek; ε (t ) > 0 dla t < ~2 sek; ε (t ) < 0 dla ~2 sek < t < 5 sek. Funkcją spełniającą powyŜsze załoŜenia jest tłumiony sinus. Ostateczna postać klasy modelu to:

Ψ (t ) = a 0 − a1e − a2t +

a3 sin a6 t . t + a5 a4

(7)

5.2. Identyfikacja w zadanej klasie modelu Optymalizacja przeprowadzona metodą Neldera – Meada dała wyniki dla których wartość kryterium jakości to 80.32 (wartość kryterium jakości dla modelu lokalnie optymalnego dla zerowego stęŜenia wynosi 237.08).

6. Podsumowanie W pracy zaproponowany został model zjawiska hemolizy przy obecności melittinu w róŜnych stęŜeniach. Identyfikacja procesu przeprowadzona została na dwa sposoby – jedno i dwustopniowo. Estymacja parametrów modelu globalnie optymalnego dała lepsze rezultaty niŜ utworzenie modelu ogólnego z lokalnie optymalnych. Udało się równieŜ zaproponować klasę modelu opisującą nieuwzględniane we wcześniejszych badaniach zjawisko towarzyszące hemolizie i mające wpływ na jej przebieg. Abstract This paper is an approach to model the process of hemolisys in 0.1 percent blood solution, as well as an analysis of the influence of medicine applied during this process. Relation between percentage of destroyed cells, time and concentration the active constutuent was investigated. Further, there is a comparison of one and two-level identification and a proposal of a new model taking into account constant concentration of antibiotic in which abnormal flow of the hemolisys curve (implied by the way the hemolisys process runs on the level of a single cell) was considered.

Identyfikacja procesu hemolizy

281

Bibliografia: [1] Bubnicki Z., Identyfikacja obiektów sterowania, PWN, Warszawa 1974. [2] Nelles O., Nonlinear system identification: from classical approaches to neural networks and fuzzy models, Springer, Berlin, 2001.

Recenzent: dr Krzysztof Bzdyra