FRACTALES ERNESTO ARANDA

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CONCEPTOS PREVIOS ¿Qu´ e es el infinito?

El infinito representa el concepto de lo que no tiene fin o no tiene l´ımite. Se representa por el s´ımbolo ∞, introducido por el ingl´es John Wallis (1616–1703), y est´a inspirado por la curva lemniscata, descrita por primera vez en 1694 por el suizo Jakob Bernoulli (1654–1705).

El infinito aparece, por ejemplo, cuando contemplamos sucesiones de n´ umeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . . . Estas sucesiones contin´ uan hasta el infinito, lo que significa que no tienen fin. Actividad 1 Si se observan las dos sucesiones anteriores, ¿cu´al de ellas contiene m´as elementos? ¿Se te ocurre c´ omo podr´ıas compararlas?

Sucesiones y l´ımites Las sucesiones anteriores son sencillas y van creciendo hasta el infinito. Se dice que tienden a ∞. Actividad 2 En las siguientes sucesiones, ¿puedes averiguar cu´ales son los tres siguientes t´erminos y ver hacia d´ onde tienden? 2, 4, 8, 16, 32, . . . 1 1 1 1 1 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . 1 3 5 7 9 11 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , . . .

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Fractales

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El valor hacia el cual se aproxima cada sucesi´on es lo que se denomina su l´ımite. 2

ALGUNOS FRACTALES 2

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La curva de Koch

Vamos a construir un objeto geom´etrico en el que usaremos un proceso que se repite hasta el infinito. Partimos de un segmento, lo dividimos en tres trozos, suprimimos el trozo de enmedio y lo sustituimos por un tri´ angulo equil´ atero sin base: −→ Ahora, en cada segmento de la nueva figura, reiteramos el procedimiento anterior de forma recursiva: −→

−→

y as´ı continuamos hasta el infinito. Obtenemos una curva conocidad como la curva de Koch, descubierta por el matem´ atico sueco Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924) en 1904. Esta curva tiene propiedades interesantes que vamos a descubrir. Actividad 3 Si la longitud del segmento inicial es 1, averiguar cu´al es la longitud total de la curva. Para ello rellenar la siguiente tabla: Etapa

N. segmentos

Long. segmento

Long. total

0

1

1

1

1 2 3 4 .. . n

2

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El tri´ angulo de Sierpinski

Partimos ahora de un tri´ angulo equil´ atero de lado 1 y realizamos la construcci´on que sigue a continuaci´ on: unimos los puntos medios de cada lado del tri´angulo y eliminamos el tri´angulo interior resultante:

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A continuaci´ on, procedemos de igual modo con cada uno de los tri´angulos que quedan en la figura, continuando indefinidamente:

El resultado es una figura conocida como tri´ angulo de Sierpinski, en honor al matem´atico polaco Waclaw Sierpi´ nski (1882–1969). Actividad 4 Vamos a calcular el per´ımetro total de la figura y el ´area encerrada rellenando la siguiente tabla: Etapa

N. tri´ angulos

Long. lado tri´ ang

0

1

1

Per´ımetro total

´ Area total

1 2 3 4 .. . n

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2

3

4

La alfombra de Sierpinski

De una forma similar se puede construir la alfombra de Sierpinski ; partiendo de un cuadrado de lado unidad, dividimos en tres trozos cada lado y extraemos el cuadrado central:

Ahora reiteramos el proceso en cada cuadrado restante:

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Actividad 5 Al igual que antes, calcular el per´ımetro total de la figura y el ´area encerrada rellenando la siguiente tabla: Etapa

N. cuadrados

Long. lado cuadrado

0

1

1

Per´ımetro total

´ Area total

1 2 3 4 .. . n

Propiedades de los fractales Entre las caracter´ısticas m´ as destacables de estos conjuntos se pueden destacar:

Tienen detalle a todas las escalas, es decir, si los miramos a cualquier escala, siempre observaremos detalles ya observados a nivel global. Son autosemejantes, lo que significa que est´an formados por partes que se asemejan al conjunto total. Tienen una descripci´ on algor´ıtmica sencilla, de manera que su construcci´on se lleva a cabo siguiendo unos pasos simples.

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FRACTALES EN LA NATURALEZA Es evidente que estos conjuntos son extra˜ nos, y tienen propiedades matem´aticas poco usuales. Pero, ¿realmente son muy diferentes a lo que podemos encontrar a nuestro alrededor? Mira estos ejemplos:

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4

´ ¿COMO SE MIDE UN FRACTAL? Como has podido comprobar, estos objetos geom´etricos son un tanto extra˜ nos y sus dimensiones (longitud, per´ımetro o a´rea) no corresponden a mediciones “l´ogicas”. Viene a pasar algo parecido si intentamos medir, por ejemplo, el volumen de una superfice. ¿C´ ual es el volumen de un cuadrado? Como un cuadrado no tiene volumen, decimos que su volumen es cero. Pero si tenemos dos cuadrados, uno m´as grande que el otro, ambos tendr´ an volumen cero, por lo que el volumen no nos permite comparar cuadrados. En realidad, esto ocurre porque el volumen no es una medida apropiada para un cuadrado, lo correcto ser´ıa usar el ´area. Algo similar ocurre con los fractales.

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Actividad 6 Imaginemos que en lugar de empezar con un segmento de longitud 1 para construir la curva de Koch, usamos un segmento de longitud 2. ¿C´ ual ser´a la longitud de la nueva curva de Koch? ¿Es la longitud una medida adecuada para la curva de Koch? ¿Y el ´area?

En conclusi´ on, podemos decir que la curva de Koch no es un objeto de dimensi´on 1, ni un objeto de dimensi´ on 2, sino que su dimensi´ on va a ser un n´ umero comprendido entre 1 y 2, es decir una dimensi´ on fraccionaria. En esta secci´ on vamos a ver c´omo calcular la dimensi´on de los fractales que ya concoces. 4

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Medida y dimensi´ on: figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero diferente tama˜ no. Por ejemplo, los dos tri´angulos siguientes son semejantes:

Veamos c´ omo podemos relacionar la medida de un objeto con su dimensi´on. Si consideramos un segmento de longitud L y un segmento semejante, con longitud (αL), es evidente que longitud(αL) = α · longitud(L) ¿Qu´e ocurre con el ´ area? Actividad 7 Las siguientes figuras son semejantes.

L

2L

L

αL

αL

¿Cu´ al es la relaci´ on entre sus a´reas? Es decir, ´ Area(αL) =

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´ ? · Area(L)

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Actividad 8 ¿Puedes establecer una relaci´ on similar entre los vol´ umenes de las siguientes figuras?

L

αL

Volumen(αL) =

4

2

? · Volumen(L)

Dimensi´ on fractal

Para averiguar la dimensi´ on de un fractal vamos a tratar de relacionar la medida entre dos fractales semejantes. En el caso de los fractales, como son autosemejantes es muy f´acil. F´ıjate en la curva de Koch:

L 3L Si atendemos a  medida(3L) = 3d · medida(L)  medida(3L) = 4 · medida(L) 

⇒ 3d = 4 ⇒ d = log3 4 = 1,2619

De manera que la curva de Koch tiene como dimensi´on 1,2619 . . . , es decir, una dimensi´on no entera.

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Actividad 9 Atendiendo a las figuras, calcular la dimensi´on del tri´angulo y la alfombra de Sierpinski:

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