FORMATO 1 (Anexo No.2) CARTA DE AUTORIZACIÓN DE LOS AUTORES PARA LA CONSULTA, LA REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL, Y PUBLICACIÓN ELECTRÓNICA DEL TEXTO COMPLETO. (OPCIONAL)

Bogotá, D.C., Fecha Marque con una X Tesis doctoral

Trabajo de Grado . X

Señores BIBLIOTECA GENERAL Cuidad Estimados Señores: Los suscritos Oscar Orlando Quiroga Pilonieta, con C.C. No. 80086464 autor(es) de la tesis doctoral y/o trabajo de grado titulado Álgebras de Rota-Baxter. Una Vista Panorámica presentado y aprobado en el año como requisito para optar al título de; autorizo (amos) a la Biblioteca General de la Universidad Javeriana para que con fines académicos, muestre al mundo la producción intelectual de la Universidad Javeriana, a través de la visibilidad de su contenido de la siguiente manera: •

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Continúo conservando los correspondientes derechos sin modificación o restricción alguna; puesto que de acuerdo con la legislación colombiana aplicable, el presente es un acuerdo jurídico que en ningún caso conlleva la enajenación del derecho de autor y sus conexos.

FORMATO 2 (Anexo No.3) FORMULARIO DE LA DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO TÍTULO COMPLETO DE LA TESIS DOCTORAL O TRABAJO DE GRADO: Álgebras de Rota-Baxter. Una Vista Panorámica. AUTOR O AUTORES Apellidos Completos

Nombres Completos

Quiroga Pilonieta

Oscar Orlando

DIRECTOR (ES) TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO Apellidos Completos Nombres Completos Pariguan Martinez

Eddy Josefina

TRABAJO PARA OPTAR AL TÍTULO DE: MATEMATICO FACULTAD: Matemáticas. PROGRAMA: Carrera X. Licenciatura ___ Especialización ____ Maestría ____ Doctorado ____ NOMBRE DEL PROGRAMA: Matemáticas. NOMBRES Y APELLIDOS DEL DIRECTOR DEL PROGRAMA: Patricia Hernández Romero. CIUDAD: BOGOTA AÑO DE PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DE GRADO: 2009 NÚMERO DE PÁGINAS: 72

TIPO DE ILUSTRACIONES: ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

Ilustraciones Mapas Retratos Tablas, gráficos y diagramas (X) Planos Láminas Fotografías

SOFTWARE requerido y/o especializado para la lectura del documento: Acrobat Reader. MATERIAL ANEXO (Vídeo, audio, multimedia o producción electrónica): Duración del audiovisual: ___________ minutos. Número de casetes de vídeo: ______ Formato: VHS ___ Beta Max ___ ¾ ___ Beta Cam ____ Mini DV ____ DV Cam ____ DVC Pro ____ Vídeo 8 ____ Hi 8 ____ Otro. Cual? _____ Sistema: Americano NTSC ______ Europeo PAL _____ SECAM ______ Número de casetes de audio: ________________ Número de archivos dentro del CD (En caso de incluirse un CD-ROM diferente al trabajo de grado): _________________________________________________________________________ PREMIO O DISTINCIÓN (En caso de ser LAUREADAS o tener una mención especial): _______________________________________________________________________________

DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN ESPAÑOL E INGLÉS: Son los términos que definen los temas que identifican el contenido. (En caso de duda para designar estos descriptores, se recomienda consultar con la Unidad de Procesos Técnicos de la Biblioteca General en el correo [email protected], donde se les orientará) ESPAÑOL Algebras de Rota-Baxter Operador de Rota-Baxter Operador de Nihenjuis Identidad de Rota-Baxter

INGLES Rota-Baxter Algebras Rota-Baxter Operator Nihenjuis Operator Rota-Baxter Identity

RESUMEN DEL CONTENIDO EN ESPAÑOL E INGLÉS: (Máximo 250 palabras 1530 caracteres): Presentamos en esta monografía algunas definiciones en torno a las álgebras de Rota-Baxter así como algunos ejemplos que dejan claro que están presentes en diversos campos de la matemática, de manera relevante, aquel que menciona el q-análogo de la identidad de RotaBaxter. Se desarrolla una notación gráfica conveniente para el producto y el operador de RotaBaxter, que permite varias aplicaciones, entre estas, el estudio de los operadores I-P e I-Pk y la posibilidad de expresar la identidad de Rota-Baxter desde un punto de vista algorítmico, con la introducción de tres movimientos que denominamos M1, M2, y M2, y el símbolo T(a,b,c). Este trabajo constituye un pequeño aporte a la divulgación y desarrollo de una linea de investigación pues son muchas la preguntas que quedan abiertas tales como si existe la posibilidad de clasificar las álgebras de Rota-Baxter y qué otras identidades pueden desarrollarse a partir de la aplicaci\'on de las representaciones gráficas. We present in this monograph some definitions on the Rota-Baxter algebras and a few examples of it in various fields of mathematics. As an important result we mention the q-analogous of the Rota-Baxter identity. We develop a graphic notation, suitable for the product and the RotaBaxter operator, which allows several applications, among these, the study of operators I-P e I-Pk and the opportunity to express the Rota-Baxter identity from an algorithmic point of view, with the introduction of three movements that we call M1, M2, and M2, and the T (a , b, c) symbol. This work is a small contribution to the disclosure and develop of a line of investigation and to the remaining open questions such as whether it is possible to classify the Rota-Baxter algebras and which other identities can be developed from the application of the graphical representation.

ÁLGEBRAS DE ROTA-BAXTER. UNA VISTA PANORÁMICA

OSCAR QUIROGA

TRABAJO DE GRADO Presentado como requisito parcial Para optar al título de

Matemático

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE MATEMÁTICAS Bogotá, D. C. Julio de 2009

Pontificia Universidad Javeriana. Facultad de Ciencias. Departamento de Matem´aticas.

´ Algebras de Rota-Baxter. Una vista panor´ amica.

Oscar Quiroga Pilonieta

Directora: Eddy Parigu´an

Bogot´a - Colombia Junio 2009

´Indice general 1. Preliminares

11

´ 1.1. Algebra abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Series y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ´ 2. Algebras de Rota-Baxter

18

2.1. q-a´ nalogo de la Identidad de Rota-Baxter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. Aplicaci´ on del operador de Rota-Baxter

39

3.1. Aproximaci´on combinatoria a las a´lgebras de Rota-Baxter. . . . . . . . . . 39 3.2. Introducci´on del s´ımbolo T (a, b, c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3. Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1. Generalizaci´on para los movimientos M1 , M2 y M3 sobre T (n, 1, c) y T (1, n, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

Resumen Presentamos en esta monograf´ıa algunas definiciones en torno a las a´lgebras de RotaBaxter as´ı como algunos ejemplos que dejan claro que est´an presentes en diversos campos de la matem´atica, de manera relevante, aquel que menciona el q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Se desarrolla una notaci´on gr´afica conveniente para el producto y el operador de Rota-Baxter, que permite varias aplicaciones, entre estas, el estudio de los operadores I − P e I − P k y la posibilidad de expresar la identidad de Rota-Baxter desde un punto de vista algor´ıtmico, con la introducci´on de tres movimientos que denominamos M1 , M2 , y M3 , y el s´ımbolo T (a, b, c). Este trabajo constituye un peque˜ no aporte a la divulgaci´on y desarrollo de una linea de investigaci´on pues son muchas la preguntas que quedan abiertas tales como si existe la posibilidad de clasificar las ´algebras de Rota-Baxter y qu´e otras identidades pueden desarrollarse a partir de la aplicaci´on de las representaciones gr´aficas.

3

Agradecimientos A la doctora Eddy Pariguan por su constante trabajo y ayuda.

4

Rese˜ na hist´ orica La teor´ıa de las ´algebras Baxter, o recientemente llamadas ´algebras de Rota-Baxter, se origina a partir del estudio algebraico realizado por el matem´atico Americano Glen Baxter en 1960 [6], de las ecuaciones integrables provenientes de la teor´ıa de la fluctuaci´on en la teor´ıa de la probabilidad. El tema fue posteriormente explorado por F. Atkinson, J. Kingman [31], D Cartier [26] y otros, pero sobre todo por el matem´atico Gian-Carlo Rota en sus trabajos de finales de 1960 y principios de 1970 [41, 42, 43], y tiempo despu´es, en algunas de sus recopilaciones [44]. El operador de Rota-Baxter tiene conexi´on con muchas areas de la matem´atica y la f´ısica; un ejemplo es el teorema de factorizaci´on del operador de Rota-Baxter descubierto por Atkinson y luego en 1979, establecido por Reyman y Semenov-Tian-Shansky, para las a´lgebras de Lie como un teorema fundamental de sistemas integrables. En el contexto de las ´algebras de Lie, fue introducido por lo mismos matem´aticos en las soluciones, llamadas r-matrices, de las ecuaciones cl´asicas de Yang-Baxter. Recientemente la noci´on de a´lgebra de Rota-Baxter reapareci´o en matem´atica y especialmente en la literatura sobre f´ısica. En cuanto a la matem´atica, se subraya su conexi´on ´ıntima con las estructuras algebraicas de Lodays [36] como a´lgebras dendriformes di y tria´lgebras [17, 35, 40], ecuaciones de Yang-Baxter [1, 2, 3], Shuffle product [14, 21, 22], teor´ıa de n´ umeros [7, 14, 24, 29], operadores [15, 16, 32, 33, 34], a´lgebras de Hopf, funciones hipergeometricas, funciones sim´etricas, grupos cu´anticos, integrales iteradas, a´lgebra diferencial, K-teor´ıa algebraica, topolog´ıa algebraica [19, 20], c´alculo umbral [23, 25, 38, 39, 45] y combinatoria, como es el caso de las particiones, n´ umeros de Stirling y coeficientes mul5

tinomiales, [24, 25, 41, 42, 46]. Desde el punto de vista de la f´ısica, estas se presentan a partir de un acercamiento desde las a´lgebras de Hopf, hecho por Connes y Kreimer, en la teor´ıa de la renormalizaci´on de la f´ısica cu´antica de campos perturbativos (pQFT) [9, 10, 11]. Este acercamiento proporcion´o un marco matem´atico solido para la teor´ıa de la renormalizaci´on en t´erminos de las a´lgebras combinatorias de Hopf, particularmente en le contexto del esquema de la m´ınima substraccion y el problema de Riemann-Hilbert.

6

Introducci´ on En la siguiente monograf´ıa se pretende presentar una visi´on panor´amica de las a´lgebras de Rota-Baxter. Un a´lgebra de Rota-Baxter es una tripleta (A, λ, P ) donde A es una Ka´lgebra asociativa, λ una constante en K, llamada peso de P , y P : A −→ A un operador K-lineal, denominado operador de Rota-Baxter, que satisface la siguiente identidad [13], P (x)P (y) = P (xP (y)) + P (P (x)y) + λP (xy), ∀x, y ∈ A. El primer cap´ıtulo hace referencia a conceptos sobre a´lgebra abstracta, series y sucesiones [4, 5, 12, 28]; estos son necesarios para la comprensi´on de los cap´ıtulos siguientes. Se define cuerpo, espacio vectorial, suma directa y serie formal de potencias, entre otros. En el segundo cap´ıtulo se introducen conceptos fundamentales alrededor de las a´lgebras de Rota-Baxter y del q-c´alculo as´ı como algunos ejemplos de las mismas, presentes en diversas a´reas de la matem´atica. En cuanto a los conceptos fundamentales sobre las a´lgebras de Rota-Baxter se define, a´lgebra de Rota-Baxter, identidad de Rota-Baxter, operador de Rota-Baxter, y peso del operador [13]. Con respecto al q-c´alculo se trata el q-an´alogo de un n´ umero real, q-diferencial, integral de Jackson, teorema fundamental del q-c´alculo y q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter [37, 30]. Dentro de los ejemplos, se nombran el anillo general de series de potencias con el operador cut-off [26, 44] y de manera particular el operador minimal substraction [9, 10], aplicado en la renormalizaci´on en la teor´ıa cu´antica de campos; la suma directa de ´algebras y las funciones q-integrables con un operador denominado q-an´alogo del operador de Rota-Baxter [29, 37, 30]. Para tener una idea de lo anterior veremos que en el anillo general de potencias con el producto de 7

Cauchy forma un a´lgebra que es de Rota-Baxter, pues ademas de ser asociativa, cuenta con un operador, con peso λ = −1, que llamamos operador cut-off, P , definido as´ı: ! ∞ ∞ X X n P an z = aˆn z n , donde n=−k

n=−k

aˆn =

  1an , si n < 0 si n ≥ 0.

 0,

En el u ´ltimo cap´ıtulo se muestra una aplicaci´on combinatoria a las ´algebras de RotaBaxter, haciendo uso de una forma gr´afica conveniente del producto en el ´algebra

Figura 1: Producto y del operador de Rota-Baxter

Figura 2: P. Se introduce tambi´en el s´ımbolo T (a, b, c) que representa el ´arbol con a puntos en la rama izquierda, b puntos en la rama de derecha y c puntos en la rama central. Este a´rbol, T (a, b, c), se dibuja as´ı:

8

Figura 3: T (a, b, c). Mostramos adem´as la interpretaci´on de tres movimientos gr´aficos [13], denominados M1 , M2 , M3 , M1 : Mover un punto de la rama izquierda hacia la rama central.

Figura 4 M2 : Mover un punto de la rama derecha hacia la rama central.

Figura 5 M3 : Mover un punto de la rama derecha e izquierda como un solo punto hacia la rama central.

Figura 6

sobre la identidad de Rota-Baxter que permite decir que, 9

Figura 7: Identidad de Rota-Baxter. y que contribuye a obtener identidades para, P c (P a (x)P b (y)), el operador de RotaBaxter definido como Pb := I − P y el operador Pb := I − P k , donde P es Rota-Baxter con peso λ = −1, [31]. Se presenta tambi´en, una relaci´on sencilla entre un operador de Rota-Baxter y un operador similar, conocido como Nijenhuis, [16], [18]. Cuenta adem´as esta monograf´ıa con algunos resultados anexos, sobre el operador de Rota-Baxter, entre esos se tiene una posible clasificaci´on de los ejemplos presentados en el cap´ıtulo 2, otros acerca de las consecuencias de que el operador de Rota-Baxter sea 0

idempotente, entre ´estos, que P k = P k ∀k, k 0 > 1 y se obtiene una formula que permite calcular el numero de a´rboles, Tn , con n operadores, a saber, Tn =

(n + 1)(n + 2) . 2

10

Cap´ıtulo 1 Preliminares Este cap´ıtulo pretende hacer la lectura de esta monograf´ıa m´as sencilla, para este prop´osito, se presentan algunas definiciones, teoremas y ejemplos que se usar´an a lo largo del escrito. En la primera parte, los concernientes al a´lgebra abstracta y posteriormente trabajaremos con series y convergencia de series.

1.1.

´ Algebra abstracta

Definici´ on 1. Un conjunto K con una operaci´on de adici´on (a + b) y una operaci´on de multiplicaci´on (ab) es un cuerpo si las siguientes condiciones se satisfacen [12]: 1. K es un grupo abeliano con la operaci´on +, (y su elemento identidad para + es denotado por 0). 2. La multiplicaci´on se distribuye con respecto a la adici´on a(b + c) = ab + ab + ac, ∀a, b ∈ A. 3. K − {0} es un grupo abeliano con la operaci´on de multiplicaci´on, (y su elemento identidad para la multiplicaci´on es denotado por 1).

11

Ejemplo 2. El conjunto R de n´ umeros reales es un cuerpo con la adici´on y multiplicaci´ on usual. Ejemplo 3. El conjunto Q de n´ umeros racionales es un cuerpo con la adici´on y multiplicaci´on usual. Ejemplo 4. El conjunto Z/pZ de los enteros modulo p, donde p es un n´ umero primo, es un cuerpo con la adici´on y multiplicaci´on usual entre clases de equivalencia. Definici´ on 5. La caracter´ıstica de un cuerpo K es el menor entero positivo n tal que 1| + 1 +{z· · · + 1} = n · 1 = 0. n

Si este entero positivo no existe, se dice que K tiene caracter´ıstica cero [12]. Ejemplo 6. El cuerpo Q de los n´ umeros racionales y R de los n´ umeros reales tienen caracter´ıstica cero. Ejemplo 7. El cuerpo finito Z/pZ, donde p es un n´ umero primo, tiene caracter´ıstica p. Definici´ on 8. Una K-´algebra, es un espacio vectorial V , sobre un cuerpo K que tambien tiene una multiplicaci´on, V ×V

−→

(v, w)

7→

V vw, ∀v, w ∈ V,

la cual se distribuye sobre la adici´on, u(v + w) = uv + uw, (v + w)u = vu + wu, y satisface, v(aw) = a(vw) = (av)w, ∀v, w ∈ V ∀a ∈ K. Definici´ on 9. Una K-´algebra A es asociativa si se cumple: v(wu) = (vw)u, ∀v, w, u ∈ A. 12

Ejemplo 10. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita End(V ) = {ϕ : V → V lineales}, es un ´algebra asociativa con las siguientes operaciones para todo φ, ψ ∈ End(V ), a ∈ K, y v ∈V, (φ + ψ)(v) = φ(v) + ψ(v), (aφ)(v)

=

a(φ(v)).

Demostraci´on. El endomorfismo nulo 0 ∈ End(V ) es el endomorfismo que env´ıa a todo v ∈ V al elemento cero en V . Con respecto a este endomorfimo 0 ∈ End(V ), el inverso aditivo de φ ∈ End(V ) es −φ y se define como (−φ(v)) = −φ(v). Es claro que φ + (−φ) es el endomorfismo nulo. Las propiedades restantes pueden ser verificadas tambii´en, de modo que End(V ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Para hacer al conjunto End(V ) un ´algebra; puede definirse el producto φψ de φ, ψ ∈ End(V ) as´ı: φψ(v) = φ(ψ(v)), esto es la composici´on, φ

ψ

V

−→

V

−→

V

v

7→

φ(v)

7→

φ(ψ(v)).

Las propiedades restantes para la multiplicaci´on definida en End(V ), pueden ser verificadas, por lo que este conjunto es un a´lgebra. Ejemplo 11. Mn (K), el conjunto de las matrices de tama˜ no n × n, sobre el cuerpo K es un ´algebra con la adici´on y multiplicaci´on usual. Definici´ on 12. Sean V, W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y φ : V −→ W una funci´on, se dice que φ es una transformaci´on lineal, si respeta combinaciones lineales, esto es, para todo a, b ∈ K y x, y ∈ V se tiene que: φ(ax + by) = aφ(x) + bφ(y).

13

Ejemplo 13. Sea V un espacio vectorial, I es una transformaci´on lineal I: V

−→ V 7→

v

I(v) = v para todo v ∈ V.

Ejemplo 14. Sea Mn (K) un espacio vectorial, T es una tranformaci´on lineal T : Mn (K) −→ K 7→

A

T (A) = tr(A),

donde tr(A) denota la traza de A. Definici´ on 15. Una transformaci´on lineal de un espacio vectorial V en ´el mismo es llamada un endomorfismo o un operador lineal de V . Ejemplo 16. I : V −→ V , presentado en el ejemplo 13, es un operador lineal. Ejemplo 17. Sea K[x] un espacio vectorial , T es un endomorfismo. T : K[x] → K[x] f

→ T (f ) = f 0 ,

donde f 0 es la derivada de f . Definici´ on 18. Sea V un espacio vectorial [28] sobre un cuerpo K y V1 , · · · , Vn subespacios de V . Se dice que V es la suma directa interna de V1 , · · · , Vn si todo elemento v ∈ V puede ser escrito de manera u ´nica como v = v1 + v2 + · · · + vn , donde vi ∈ Vi . Dado un n´ umero finito de espacios vectoriales sobre un cuerpo K, V1 , · · · , Vn , considere el conjunto V de todas n-tuplas ordenadas (v1 , · · · , vn ) donde vi ∈ Vi . Se dice que dos elementos (v1 , · · · , vn ), (v10 , · · · , vn0 ) de V son iguales si y solo si para todo i, vi = vi0 . Dos elementos de estos se suman as´ı: (v1 , · · · , vn ) + (w1 , · · · , wn ) = (v1 + w1 , v2 + w2 , · · · , vn + wn ). Si a ∈ K y (v1 , · · · , vn ) ∈ V , se define: a(v1 , · · · , vn ) = (av1 , av2 · · · , avn ). 14

Puede verificarse que V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K con las operaciones definidas. Se llama a V la suma directa externa de V1 , · · · , Vn y se denota como. V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn . Han finalizado las definiciones concernientes al a´lgebra abstracta, a continuaci´on se presentan algunas relacionadas con las series y convergencia de series.

1.2.

Series y convergencia

Los siguientes definiciones y ejemplos son tomados de [4]. Definici´ on 19. Sea f = u + iv una funci´on de variable compleja definida en un conjunto abierto S del plano complejo. Se dice que la funci´on es anal´ıtica en S si existe la derivada f 0 y es continua en todo punto de S. Definici´ on 20. Una serie

∞ X

an converge si la sucesi´on de sus sumas parciales es con-

n=0

vergente, en tal caso, que el limite de S de la sucesi´on Sn dice la suma de la serie. Ejemplo 21. La serie

∞ X

xk = 1 + x + x2 + · · · tiene por suma

n=0

1 y converge si 1−x

| x |< 1; cuando | x |≥ 1 la serie diverge. Definici´ on 22. La serie reales

∞ X n=0

Re(z n ) y

∞ X

∞ X

z n converge si y solo si convergen las dos series de n´ umeros

n=0

Im(z n ). Adem´as,

n=0 ∞ X n=0

n

z =

∞ X

n

Re(z ) +

n=0

∞ X

Im(z n ).

n=0

Definici´ on 23. Cualquier intervalo abierto que contenga un punto p como su punto medio se denomina entorno de p. Designemos los entornos N (p), N1 (p), N2 (p), etc. Puesto que un entorno N (p) es un intervalo abierto sim´etrico respecto a p, consta de todos los n´ umeros reales x que satisfagan p − r < x < p + r para un cierto r > 0. El n´ umero positivo r se 15

llama radio del entorno. En lugar de N (p) ponemos N (p; r) si deseamos especificar su radio. Las desigualdades p − r < x < p + r son equivalentes a −r < x + p < r y a | x − p |< r. Asi pues, N (p; r) consta de todos los puntos x, cuya distancia a p es menor que r. Definici´ on 24. Una serie de la forma ∞ X

an (z − z0 )n ,

n=0

es una serie de potencias de (z − z0 ). En ella z, z0 y an (n = 0, 1, 2, ...) son n´ umeros complejos o reales. A toda serie de potencias se asocia un c´ırculo de convergencia, de manera que la serie converge absolutamente para todo z interior a este c´ırculo y diverge para todo z exterior al mismo. En otras palabras, la serie converge absolutamente si | z −z0 |< r y diverge si | z −z0 |≥ r. Ejemplo 25. Sea f (z) =

1 , 1−z

puede ser representada por la serie de potencias ∞ X

zn = 1 + z + z2 + z3 + · · ·

n=0

la cual converge para | z |≤ 1, por lo que su radio de convergencia es r = 1. Teorema 26. Dados dos desarrollos en series de potencias en torno al or´ıgen, f (z) =

∞ X

an z n

si z ∈ N (0; r),

bn z n

si z ∈ N (0; R).

n=0

g(z) =

∞ X n=0

Entonces el producto, f (z)g(z), conocido como producto de Cauchy viene dado por la serie de potencias, f (z)g(z) =

∞ X

cn z n

si z ∈ N (0; r) ∩ N (0; R),

n=0

16

donde, cn =

∞ X

ak bn−k ,

n = 0, 1, 2, · · · .

k=0

Definici´ on 27. Sea R un anillo y R[[x]] el conjunto de todas las sucesiones de elementos de R(a0 , a1 , ...) tal que ai = 0, excepto en un n´ umero finito de indices i. R[[x]] es un anilllo con la adici´on y multiplicaci´on definida as´ı: (a0 , a1 , ...) + (b0 , b1 , ...) = (a0 + b0 , a1 + b1 , · · · ) (a0 , a1 , ...)(b0 , b1 , ...)

= (c0 , c1 , · · · ), donde cn =

n X

ai bn−i =

i=0

n X

ak b j .

k+j=n

La sucesi´on {cn } se llama producto de Cauchy de las sucesiones {an } y {bn }. El anillo R[[x]] es llamado anillo de series formales de potencias sobre el anillo R. Su elementos son llamados series de potencias. Definici´ on 28. Si z0 esta en el plano complejo y 0 < r1 < r2 , el conjunto A(z0 ; r1 , r2 ) = {z : r1 1 Demostraci´on. Se sabe que P = P 2 . P k+1 = P k P = P k−1 P P = P k−1 P 2 = P k−1 P = P k. 0

De lo anterior es claro tambien que P k = P k , ∀k, k 0 , > 1.

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Bibliograf´ıa [1] M. Aguiar, Pre-Poison algebras, Lett. Math. Phys., Volume 54, 2000, pp. 263-277. [2] M. Aguiar, Infinitesimal Hopf algebras, Contemporary Mathematics, 2000, pp. 1-29. [3] M. Aguiar, On the associative analog of Lie bialgebras, Journal of Algebra, Volume 244, Issue 2, 15 October 2001, pp. 492-532. [4] T. Apostol, An´alisis matem´atico, Revert´e, Barcelona, 1972, pp. 487, 495, 496. [5] T. Apostol, Introducci´on a la teor´ıa anal´ıtica de n´ umeros, Revert´e, Barcelona, 1980, pp. 50, 51. [6] G. Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity, Pacific Journal of Mathematics, Volume 10, Number 3 1960, pp. 731-742. [7] J. M. Borwein, D. J. Broadhurst, D. M. Bradley, P. Lisonek, Special values of multiple polylogarithms, Trans. Amer. Math. Soc., 353 2001, no. 3, pp. 907-941. [8] E. Castillo. R. Diaz, Rota-Baxter Categories. International Electronic Journal of Algebra Volume 5, 2009, pp. 27-57. [9] A. Connes, D. Kreimer, Renormalization in quantum field theory and the RiemannHilbert problem. I. The Hopf algebra structure of graphs and the main theorem, Comm. Math. Phys., 210, 2000, no. 1, pp. 249-273.

68

[10] A. Connes, D. Kreimer, Renormalization in quantum field theory and the RiemannHilbert problem. II. The L-function, diffeomorphisms and the renormalization group, Comm. Math. Phys., 216, no. 1, 2001, pp., 215-241. [11] A. Connes, D.Kreimer, Hopf algebras, Renormalization and noncommutative geometry, Comm. Math. Phys., 1998, pp. 203-242. [12] M. Curtis, Abstract linear algebra, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1990, pp. 2-19, 56. [13] R. D´ıaz, M. P´aez, An identity in Rota-Baxter algebras, Sem. Lothar. Combin., Volume 57, 2007, Article B57b, 8pp.. [14] K. Ebrahimi-Fard, L. Guo, Quasi-shuffles, mixable Shuffles and Hopf Algebras, Journal of Algebraic Combinatorics, 24, no 1, 2006, pp. 83-101. [15] K. Ebrahimi-Fard, Loday-type algebras and the Rota-Baxter relation, Letters in Mathematical Physics, 61, no. 2, 2002, pp. 139-147. [16] K. Ebrahimi-Fard, On the associative Nijenhuis relation, The Electronic Journal of Combinatorics, Volume 11(1), R38, 2004. [17] K. Ebrahimi-Fard, Rota-Baxter algebras and dendriform algebras, Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 212, Issue 2, February 2008, pp. 320-339. [18] K. Ebrahimi-Fard, Integrable renormaization II: the general case, Annales Henri Poincare 6 2005, pp. 369-395. [19] A. Frabetti, Dialgebra homology of associative algebras, C. R. Acad. Sci. Paris, 325, 1997, pp. 135-140. [20] A. Frabetti, Leibniz homology of dialgebras of matrices, Journal of Pure and Applied Algebra, 129, 1998, pp. 123-141.

69

[21] L. Guo, W. Keigher, Baxter algebras and shuffle products, Math., 150, 2000, 11 Advances in Mathematics, Volume 150, Issue 1, 1, March 2000, pp. 117-149. [22] L. Guo, W. Keigher, On free Baxter algebras: completions and the internal construction, Advances in Math., 151, 2000, pp. 101-127. [23] L. Guo, On differential Rota-Baxter algebras, Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 212, Issue 3, March 2008, pp. 522-540. [24] L. Guo, Baxter algebras, Stirling numbers and partitions, Journal of Applied Algebra, Volume 4, 2005, pp. 153-164. [25] L. Guo, Baxter algebras and the umbral calculus, Advances in Applied Mathematics, Volume 27, Issues 2-3, August 2001, pp. 405-426. [26] P. Cartier, On the structure of free Baxter algebras, Advances in Mathematics, Volume 9, Issue 2, October 1972, pp. 253-265. [27] L. Guo, Z. Liu, Rota-Baxter operators on generalized power series rings, arXiv:0710.0433. [28] I. Herstein, Topics in algebra, Blaisdell, Massachusetts, 1964, pp. 134, 135. [29] M. Hoffman, Quasi-shuffle products, Journal of Algebraic Combinatorics, Volume 11, no. 1, 2000, pp. 49-68. [30] V. Kac, P Cheung, Quantum Calculus. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2002, pp. 1-75 [31] J. Kingman, Spitzer’s identity and its use in probability theory, Journal of London Math. Soc., 37, 1962, pp. 309. [32] P. Leroux, Ennea-algebras, Journal of Algebra, Volume 281, Issue 1, 1 , November 2004, pp. 287-302.

70

[33] P. Leroux, Construction of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 2004, Issue 49, 2004, pp. 2595-2615. [34] P. Leroux, On some remarkable operads constructed from Baxter operators, 2003, arXiv:math.QA/0311214. [35] J. Loday, Dialgebras. In Dialgebras and related operads, Lecture Notes in Math., Volume 1763, Springer, Berlin, 2001, pp. 766. [36] J. Loday, Dialgebras, in ”Dialgegras and related operats”, Springer Lecture Notes in Mathematics, 1763, 2001, pp. 7-66. [37] C. Ortiz, N. Vega. Aspectos computacionales del calculo cu´antico. Tesis de pregrado. Universidad Javeriana. 2007. [38] S. Roman, G-C. Rota, The Umbral Calculus, Orlando: Academic Press, 1983, 193, Mathematical Social Sciences, Volume 11, Issue 1, February 1986, pp. 94-95. [39] S. Roman, G-C. Rota, The umbral calculus, Advances in Math., 27, 1978, pp. 95-188. [40] Mar´ıa Ronco, Trialgebras and families of polytopes. In Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic K-theory, Contemporany Math., Volume 346, 2004, pp. 369-398. [41] G-C. Rota, Baxter algebras and combinatorial identities. I, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 75, Number 2 1969, pp. 325-329. [42] G-C. Rota, Baxter algebras and combinatorial identities. II, Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 75, Number 2, 1969, pp. 330-334. [43] G-C. Rota, D. Smith, Fluctuation Theory and Baxter algebras, Istituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179, (1972). Reprinted in: ”Gian Carlo Rota on Combinatorics:

71

Introductory papers and commentaries”, J Kung ED., Contemp. Mathematicians, Birkhausser Boston, Boston, MA, 1995, pp.. 485-503. [44] G-C. Rota, Baxter operators, an introduction, In: ”Gian Carlo Rota on Combinatorics, Introductory papers and commentaries”, J. Kung ED., Contemp. Mathematicians, Birkhausser Boston, Boston, MA, 1995, pp. 504-512 [45] G-C. Rota, D. Kahaner, A. Odlyzko, Finite operator calculus, J. Annals of Applied Math., Volume 42, 1973, pp. 685-760. [46] G-C. Rota, The number of partitions of a set, Amer. Math. Monthly, Volume 64, 1964, pp. 498-504.

72

´ Algebras de Rota Baxter, una vista panor´amica Oscar Quiroga Pilonieta

4 de junio de 2009

´ Algebras de Rota-Baxter Introducci´ on.

Presentamos la definici´ on de un ´algebra de Rota-Baxter, as´ı como algunos ejemplos que dejan claro que est´an presentes en diversos campos de la matem´atica. Entre los ejemplos se hace referencia, de manera relevante, a lo que se denomina q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Se desarrolla una notaci´ on gr´afica conveniente para el producto y el operador de Rota-Baxter, que permite varias aplicaciones, entre estas, el estudio del operador I − P y la posibilidad de expresar la identidad de Rota-Baxter desde un punto de vista algor´ıtmico, con la introducci´ on de tres movimientos que denominamos M1 , M2 , y M3 , y el s´ımbolo T (a, b, c). Se encuentra tambi´en en esta presentaci´ on algunos otros resultados en torno al operador de Nijenhius, la deformaci´on infinitesimal del operador de Rota-Baxter y el conteo sobre el n´ umero de ´arboles posibles que contienen n operadores.

´ Algebras de Rota-Baxter Introducci´ on.

Basamos este trabajo fundamentalmente en el art´ıculo R. D´ıaz, M. P´aez, An identity in Rota-Baxter algebras, Sem. Lothar. Combin., Volume 57, 2007, Article B57b, 8pp. Este trabajo constituye un peque˜ no aporte a la divulgaci´on y desarrollo de una linea de investigaci´ on pues son muchas la preguntas que quedan abiertas tales como si existe la posibilidad de clasificar las ´algebras de Rota-Baxter y qu´e otras identidades pueden desarrollarse a partir de la aplicaci´on de las representaciones gr´aficas.

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

´ Algebra de Rota-Baxter. Sea K un cuerpo de caracter´ıstica cero. Un ´algebra de Rota-Baxter es una tripleta (A, λ, P) donde A es una K - ´algebra asociativa, λ un constante en K , denominada peso de P, y P : A −→ A un operador K -lineal, llamado operador de Rota-Baxter, que satisface la siguiente identidad, P(x)P(y ) = P(xP(y )) + P(P(x)y ) + λP(xy ), ∀x, y ∈ A.

(1)

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 1. Sea A una K -´algebra. Para un λ ∈ K se define: Pλ : A −→ A x 7→ −λx, Pλ es un opeador de Rota-Baxter con peso λ. 2. Integraci´on por partes. Sean A = {f : R −→ R, f funci´on}, consideremos el operador Z x P(f )(x) = f (t) dt. 0

P es un operador de Rota-Baxter con peso de λ = 0.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 3. Sumas parciales. Sean K un cuerpo de caracter´ıstica cero y A un ´algebra, A = {x = (x1 , x2 , · · · ), xi ∈ K }, consideremos el operador, P:

A −→ A (x1 , x2 , · · · ) 7→ P((x1 , x2 , · · · )) = (0, x1 , x1 + x2 , · · · ),

P es un operador de Rota-Baxter con peso λ = 1.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 4. Sean A un ´algebra topol´ ogica y E : A −→ A una aplicaci´on lineal tal que E (ab) = E (a)E (b), ∀a, b ∈ A, se define: X P(a) = E k (a) k≥1

de manera que esta serie converga. P es un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 5. Sean C[x1 , · · · , xn , xn+1 , · · · ] el ´algebra de polinomios en infinitas variables con coeficientes en C y f = f (x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 , · · · ) ∈ C[x1 , x2 · · · , xn , xn+1 , · · · ], se define: Pn (f ) = f (x1 , x2 , · · · , xn , 0, · · · , 0, · · · ), Pn es un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 6. Operador Cut-Off. Sea, P

∞ X

! an z n

=

n=−k

( an aˆn = 0

∞ X

aˆn z n , donde

n=−k

si n < 0 si n ≥ 0

P es un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 7. P

∞ X n=−k

! an z

n

=

0 X

an z n .

n=−k

P es un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1.

´ Algebras de Rota-Baxter Definiciones y Ejemplos.

Ejemplos. 8. Sea P un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1, ˆ := I ± P P ˆ = −1. es un operador de Rota-Baxter con peso λ

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter q-an´ alogo de la identidad de Rota-Baxter.

Definiciones previas. I

Considere una funci´ on arbitraria f (x). Su q diferencial es: dq f (x) = f (qx) − f (x). En particular, dq x = qx − x = (q − 1)x.

I

Dada f una funci´ on f : R −→ R. Se define la q-derivada de f as´ı: dq f (x) f (qx) − f (x) = . Dq f (x) = dq x (q − 1)x

I

Se define el operador Iq como Iq (f (x)) = f (qx); 0 < q < 1.

´ Algebras de Rota-Baxter q-an´ alogo de la identidad de Rota-Baxter.

q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. 9. El operador Z P(F ) = 0

x

x Dq f (t) dq t = f (t)

0

satisface la identidad, P(F )P(G ) = P(Iq P(F )G ) + P(P(G )F ).

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Representaci´on gr´afica del producto.

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Representaci´on gr´afica del operador.

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Representaci´on gr´afica del algunos productos con el operador.

xP(y ).

P(x)y .

P(x)P(y ).

P(xP(y )).

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Representaci´on gr´afica de la Identidad de Rota-Baxter.

P(x)P(y ) = P(xP(y )) + P(P(x)y ) + λP(xy ).

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on del s´ımbolo T (a, b, c). I

El s´ımbolo T (a, b, c) representa el ´arbol con a puntos en la rama izquierda, b puntos en la rama de derecha y c puntos en la rama central. El ´arbol representado por T (a, b, c) se dibuja as´ı:

T (a, b, c).

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

I

Por ejemplo el ´arbol T (1, 2, 3) se representa gr´aficamente como:

T (1, 2, 3).

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

I

Cada ´arbol T (a, b, c), de acuerdo a la identidad gr´afica de Rota-Baxter, puede ser escrito combinaci´ on lineal, con coeficientes en K [λ], de ´arboles de la forma:

T (0, i, j), T (i, 0, j), T (0, j, 0).

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

I

As´ı por ejemplo, para el ´arbol T (1, 2, 1) se tiene:

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

I

En efecto, cada aplicaci´ on de la relaci´ on gr´afica de Rota-Baxter reemplaza el ´arbol

I

por la suma,

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M1

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M2

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

´ Algebras de Rota-Baxter Representaci´ on gr´ afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 .

Introducci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 . I

M3

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

Haciendo uso de los movimientos M1 , M2 y M3 , en el caso de la identidad de Rota-Baxter, puede afirmarse que:

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

Identidad de Rota-Baxer.

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

ˆ := I − P Sea P un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1, P ˆ es un operador de Rota-Baxter con peso λ = −1. I

Si representamos el operador identidad I sobre un elemento del ´algebra como,

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

y, el operador P sobre x y sobre y respectivamente como:

P(x).

P(y ).

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

b puede ser representado as´ı: Se tiene que el operador P

I

b P(y b ) puede ser representando como, El producto entre P(x)

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

que es igual a:

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

b P(y b ). Apliquemos los movimientos M1 , M2 , M3 sobre P(x)

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

Generalizaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 para T (n, 1, c) y T (1, n, c). I

En el caso en que n = 1 y c = 0 para T (n, 1, c), esto es T (1, 1, 0), tenemos la identidad de Rota-Baxter,

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

En el caso en el que n = 2 y c = 0, esto es, T (2, 1, 0) se tiene:

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

Puede, aplicarse de nuevo la forma de la identidad de Rota-Baxter sobre el ´arbol T (1, 1, 1) obteniendo,

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

Por lo que,

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

Lo anterior lo podemos ver como la aplicaci´ on sucesiva de los movimientos M1 , M2 y M3 ,

´ Algebras de Rota-Baxter Aplicaci´ on de los movimientos M1 , M2 , M3 .

I

En general, para un valor cualquiera de n y de c se tiene la siguiente formula: T (n, 1, c) = ((M2 + λM3 )

n−1 X

M1k + M1n )(T (n, 1, c)).

(2)

k=0 I

Realizando un proceso an´alogo al anterior, obtenemos que la generalizaci´on de los movimientos M1 , M2 y M3 sobre T (1, n, c) es: T (1, n, c) = ((M1 + λM3 )

n−1 X k=0

M2k + M2n )(T (1, n, c)).

(3)

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Operador de Nijenhius.

Definici´on. Un ´algebra Nijenhius es un par (A, N) donde A es una k-´algebra y N : A 7→ A un operador que satisface la relaci´ on asociativa de Nijenhius, N(x)N(y ) = N(N(x)y ) + N(xN(y )) − N 2 (xy ), ∀x, y ∈ A.

´ Algebras de Rota-Baxter Operador de Nijenhius.

I

b := I − N Si N es un operdor Nijenhius entonces el operador N es tambi´en de Nijenhius.

I

Sea (A, P) un ´algebra de Rota-Baxter con P idempotente, P = P 2 , con peso λ = −1 se satisface que P(x)P(y ) = P(P(x)y ) + P(xP(y )) − P 2 (xy ), ∀x, y ∈ A, por lo que P es un operador de Nijenhius.

´ Algebras de Rota-Baxter Operador de Nijenhius.

I

b := I − P, con P el operador anterior, entonces se Sea P satisface que, b P(y b ) = P( b P(x)y b b P(y b )) − P b 2 (xy ), ∀x, y ∈ A. P(x) ) + P(x

I

b satisface la identidad de Nijenhius. El operador Nγ = P − γ P

I

El opedador Nγ es un operador idempotente para γ = −1.

´ Algebras de Rota-Baxter Operador de Nijenhius.

Identidad modificada de Rota-Baxter y el operador N. I

El operador N−1 cumple la identidad modificada de Rota-Baxter, N−1 (x)N−1 (y ) = N−1 (xN−1 (y )) + N−1 (N−1 (x)y ) − xy .

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Deformaci´on infinitesimal del operador de Rota-Baxter. Sea P un operador de Rota-Baxter con peso λ. Sea t ∈ K tal que t 2 = 0. Considere el operador T := P + tQ. Q es una deformaci´on infinitesimal de P si Q satisface: Q(x)P(y ) + Q(y )P(x) = P(xQ(y )) + Q(xP(y )) + P(Q(x)y ) + Q(P(x)y ) + λQ(xy ).

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

N´umero de operadores. I

Conteo del n´ umero de ´arboles con n operadores. Consiste en averiguar el n´ umero de representaciones posibles para ´arboles que contengan en total n opeardores de Rota Baxter, as´ı por ejemplo,

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Para n=0.

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Para n=1.

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Para n=2.

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Para n=3.

´ Algebras de Rota-Baxter Otros Resultados.

Seg´ un lo anterior, para n = 0 se tiene un ´arbol, n = 1, 3 ´arboles, n = 2, 6 ´arboles y n = 3, 10 ´arboles. Lo obtenido para el n´ umero de ´arboles, 1, 3, 6, 10 puede obtenerse a partir de las suma de los primeros n + 1 n´ umeros naturales. As´ı por ejemplo, para n = 3, se tiene, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Se afirma que el n´ umero de ´arboles Tn que se pueden obtener para n operadores, est´a dado por, Tn =

n+1 X k=1

k=

(n + 1)(n + 2) . 2

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

´ Algebras de Rota-Baxter Problemas Abiertos.

I

´ Clasificaci´on de las Algebras de Rota-Baxter.

I

Encontrar nuevas identidades a partir de la aplicaci´on de los movimientos sobre otros operadores.

I

Encontrar el operador Q que satisface la igualdad presentada en la deformaci´on infinitesimal.

CONTENIDO Definici´on y Ejemplos. q-an´alogo de la identidad de Rota-Baxter. Representaci´on gr´afica, T (a, b, c) y movimientos M1 , M2 y M3 . Aplicaci´on de los movimientos M1 , M2 , M3 . Una aplicaci´on al operador de Nijenhius. Otros Resultados. Problemas Abiertos. Bibliograf´ıa.

M. Aguiar, Pre-Poison algebras, Lett. Math. Phys., Volume 54, 2000, Pages 263-277. M. Aguiar, Infinitesimal Hopf algebras, Contemporary Mathematics, 2000, Pages 1-29. M. Aguiar, On the associative analog of Lie bialgebras, Journal of Algebra, Volume 244, Issue 2, 15 October 2001, Pages 492-532. T. Apostol, An´alisis matem´atico, Revert´e, Barcelona, 1972, Pages 487, 495, 496. T. Apostol, Introducci´ on a la teor´ıa anal´ıtica de n´ umeros, Revert´e, Barcelona, 1980, Pages 50, 51. G. Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity, Pacific Journal of Mathematics, Volume 10, Number 3 1960, Pages 731-742. J. M. Borwein, D. J. Broadhurst, D. M. Bradley, P. Lisonek, Special values of multiple polylogarithms, Trans. Amer. Math. Soc., 353 2001, no. 3, Pages 907-941.

E. Castillo. R. Diaz, Rota-Baxter Categories. International Electronic Journal of Algebra Volume 5, 2009, Pages 27-57. A. Connes, D.Kreimer, Hopf algebras, Renormalization and noncommutative geometry, Comm. Math. Phys., 1998, Pages 203-242. M. Curtis, Abstract linear algebra, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1990, Pages 2-19, 56. R. D´ıaz, M. P´aez, An identity in Rota-Baxter algebras, Sem. Lothar. Combin., Volume 57, 2007, Article B57b, 8pp. K. Ebrahimi-Fard, On the associative Nijenhuis relation, The Electronic Journal of Combinatorics, Volume 11(1), R38, 2004. K. Ebrahimi-Fard, Rota-Baxter algebras and dendriform algebras, Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 212, Issue 2, February 2008, Pages 320-339. I. Herstein, Topics in algebra, Blaisdell, Massachusetts, 1964, Pages 134, 135.

M. Hoffman, Quasi-shuffle products, Journal of Algebraic Combinatorics, Volume 11, no. 1, 2000, Pages 49-68. V. Kac, P Cheung, Quantum Calculus. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2002, Pages 1-75 C. Ortiz, N. Vega. Aspectos computacionales del calculo cu´antico. Tesis de pregrado. Universidad Javeriana. 2007. S. Roman, G.C. Rota, The Umbral Calculus, Orlando: Academic Press, 1983, 193, Mathematical Social Sciences, Volume 11, Issue 1, February 1986, Pages 94-95. G.C. Rota, Baxter operators, an introduction, In: ”Gian Carlo Rota on Combinatorics, Introductory papers and commentaries”, J.P.S. J Kung ED., Contemp. Mathematicians, Birkhausser Boston, Boston, MA, 1995, Pages 504-512 G.C. Rota, The number of partitions of a set, Amer. Math. Monthly, Volume 64, 1964, Pages 498-504.