EXTENSIONES DISCRETAS DE LA REGLA DE BORDA: UN ESTUDIO COMPARATIVO José Luis García Lapresta Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas) Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Valladolid [email protected] Miguel Martínez Panero Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas) Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Valladolid [email protected]

Resumen La regla de Borda es un método de votación de más de dos siglos de tradición mediante el que los votantes manifiestan sus preferencias a través de órdenes lineales sobre los candidatos, asignando a éstos puntuaciones escalonadas según su mérito. Sin embargo, el procedimiento así diseñado no se puede aplicar tal cual a situaciones que admitan un mayor grado de libertad por parte de los agentes; por ejemplo, cuando éstos se muestran indiferentes entre candidatos. Por ello, son necesarias extensiones del patrón original que contemplen tales casos. Se han introducido así, desde mediados del siglo pasado, generalizaciones discretas de la regla de Borda basadas en relaciones de preferencia ordinarias. En el presente trabajo se trata de ofrecer un estudio globalizador de algunas de estas posibles variantes. Se estudiarán comparativamente distintas propiedades de las generalizaciones propuestas de la regla de Borda, particularmente en relación con el criterio de Condorcet y con la coherencia con la que los votantes establecen sus preferencias y a partir de ellas otorgan puntuaciones, y se analizará la idoneidad de las variantes tratadas.

Palabras clave: Regla de Borda, preferencias ordinarias, criterio de Condorcet, transitividad.

1. Introducción. Jean Charles de Borda (1733−1799) introdujo en 1770 un procedimiento de votación, que hoy lleva su nombre, con el cual los votantes gradúan sus preferencias sobre los candidatos o alternativas mediante puntuaciones escalonadas. Desde entonces ha habido numerosos autores que han defendido este sistema de votación como uno de los más idóneos y fáciles de llevar a la práctica. Por nombrar sólo algunos de los más recientes, Dummett (1998, p. 290) considera la regla de Borda como la mejor herramienta para reconciliar diferentes juicios y como el método más equitativo para determinar un resultado a partir de deseos divergentes. Por su parte, Saari (1995, p. 19) considera óptima la regla de Borda y ha dedicado a su estudio relevantes trabajos (véase, por ejemplo, Saari (1990)). Borda [1770] (1784) estipula que los agentes dispongan las alternativas mediante órdenes lineales, de tal forma que cada agente otorga a cada alternativa tantos puntos como alternativas considera peores que la que valora (en ocasiones nos referiremos a este procedimiento como “regla de Borda clásica”). Sin embargo son posibles en la práctica situaciones menos restrictivas, en las que, por ejemplo, los agentes podrían manifestarse indiferentes entre algunas alternativas. De acuerdo con Gärdenfors (1973), no hay una única manera de extender los contadores de Borda clásicos a este tipo de escenarios más generales. En este trabajo se propone un tratamiento sistemático, aunque no exhaustivo, de alguna de estas posibles generalizaciones. Introduciremos para ello cuatro contadores individuales que generalizan el original. El primero de ellos, utilizado por Nitzan – Rubinstein (1981) en su caracterización axiomática de la regla de Borda, no tiene en cuenta las alternativas que los agentes declaran indiferentes a la que se valora y considera, de forma análoga a la regla clásica de Borda, que los agentes asignan a cada alternativa tantos puntos como alternativas consideran que hay peores que la que se juzga. En cambio, los contadores segundo y tercero tienen en cuenta las alternativas indiferentes a la que se valora, asignando a cada una de éstas 0.5 puntos, con un matiz diferenciador: el considerar o no la indiferencia de la alternativa en cuestión consigo misma. El cuarto contador individual, utilizado por Young (1974) en su

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caracterización axiomática de la regla de Borda, asigna a cada alternativa una puntuación consistente en la diferencia entre el número de alternativas mejores y peores que la que se valora. Estos dos últimos contadores fueron introducidos por Black (1958) y la ventaja del último frente al anterior es, como veremos, un tratamiento menos prolijo, y por ende, más elegante, de la regla de Borda. A partir de cualquiera de estos contadores se introducirá uno colectivo como suma de los individuales, de forma que las alternativas quedarán ordenadas por la puntuación total obtenida. Se justificará que los tres últimos contadores individuales originan siempre la misma ordenación colectiva de las alternativas, la cual no coincide necesariamente con la proveniente del primer contador. Con objeto de garantizar la consistencia de los contadores individuales respecto de las preferencias individuales, consideraremos una propiedad de monotonía introducida para el primer contador en García Lapresta – Martínez Panero (2002). Esta propiedad exige que si un individuo prefiere una alternativa a otra, el contador ha de asignar mayor puntuación a la que es preferida que a la otra. De aquí se deduce que los contadores monótonos sólo asignan la misma puntuación a las alternativas que son indiferentes para los agentes. No obstante, cuando la relación de indiferencia de un agente no es transitiva puede ocurrir que el contador, aún siendo monótono, otorgue puntuaciones distintas a alternativas indiferentes. Justificamos que la monotonía queda asegurada para los cuatro contadores analizados en este trabajo si se supone que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son transitivas. Otro aspecto analizado es la relación existente entre las alternativas mejor o peor puntuadas por las reglas de Borda asociadas a los contadores utilizados y las alternativas ganadoras o perdedoras de Condorcet (aquéllas que vencen o son derrotadas en comparaciones por pares mediante la regla de la mayoría simple). Es bien conocido que la regla de Borda clásica no es Condorcet-eficiente, es decir, puede existir una alternativa ganadora de Condorcet que no obtenga la máxima puntuación por la regla de Borda. No obstante, justificamos que con la regla de Borda generalizada a cualquier tipo de preferencias individuales, utilizando los tres últimos contadores, ninguna alternativa que sea ganadora de Condorcet puede tener

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la peor puntuación con la regla de Borda, así como que ninguna alternativa que sea perdedora de Condorcet puede tener la mejor puntuación con la regla de Borda. Sin embargo estas propiedades dejan de cumplirse cuando se considera la regla de Borda asociada al primer contador, tal como se justifica con los correspondientes contraejemplos. En cuanto a su estructura, el trabajo se organiza como sigue. En la sección 2 se detallan, a modo de prerrequisitos, diversas nociones y propiedades relativas a las relaciones de preferencia que subyacen en las consideraciones de las alternativas por parte de los agentes. En la sección 3 se definen los cuatro contadores Borda que se analizan en el presente trabajo, tanto individuales como colectivos, y se explicitan las conexiones existentes entre ellos. En la sección 4 se estudia la consistencia de los contadores individuales respecto de las preferencias de los agentes. En la sección 5 se analizan diversos aspectos de los contadores colectivos en conexión con el criterio de Condorcet. El trabajo concluye con unos comentarios sobre la idoneidad de los procedimientos tratados. 2. Preliminares. Consideraremos a lo largo de nuestra exposición que m agentes (electores o votantes) deben decidirse entre un conjunto finito de alternativas (o candidatos) X = {x1 , x2 ,..., xn } . Supondremos además n , m ≥ 2 en lo que sigue 1 . A continuación se exponen los principales conceptos a partir de los cuales se modelizan las preferencias de los agentes o votantes y con los que es posible formular los distintos tipos de contadores Borda introducidos en el presente trabajo. A continuación se presentan algunas propiedades que pueden satisfacer las relaciones binarias, las cuales aparecen de forma na tural en la modelización de las preferencias individuales y colectivas. En la regla de Borda clásica se suele exigir n ≥ 3 , pues en el caso n = 2 el procedimiento coincide con los de pluralidad y mayorías simple y absoluta. A este respecto es interesante el análisis de Morales (1797, pp. 16 y ss.). Sin embargo, para las generalizaciones que proponemos a continuación lo anterior ya no es cierto, y será necesario por tanto contemplar también que sólo haya dos alternativas en litigio. 1

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Definición 1. Sea S una relación binaria sobre X. 1. S es asimétrica si cuando ocurre x S y entonces no ocurre

y S x, para

cualesquiera x , y ∈ X . 2. S es antisimétrica si cuando ocurre x S y así como y S x, entonces x = y , para cualesquiera x , y ∈ X . 3. S es completa si se verifica x S y o bien y S x, para cualesquiera x , y ∈ X . 4. S es transitiva si cuando ocurre x S y así como y S z, entonces también ocurre x S z , para cualesquiera x , y, z ∈ X . 5. S es negativamente transitiva si cuando no ocurre x S y ni y S z, entonces tampoco ocurre x S z , para cualesquiera x , y , z ∈ X . 6. S es acíclica si para cualesquiera x1 ,K, xi , xi + 1 ∈ X , cuando ocurre x jS x j +1 para cada j = 1,K, i , entonces no ocurre xi +1 S x1 . Observación 1. Resulta inmediato comprobar la siguiente cadena de implicaciones: S negativamente transitiva ⇒ S transitiva ⇒ S acíclica ⇒ S asimétrica. Existen en la modelización de preferencias ordinarias dos tradiciones extendidas. Ambas utilizan como nociones primarias relaciones binarias a las que se impone de partida ciertas exigencias. La primera de ellas interpreta “x es preferida a y” en sentido fuerte, a saber: “x es mejor que y” por lo que no puede darse a la vez “y es mejor que x”. Esto corresponde a la definición que sigue. Definición 2. Una relación de preferencia fuerte (o estricta) P sobre X es una relación binaria asimétrica. Un segundo enfoque considera la preferencia en un sentido débil, contemplando también la indiferencia, de manera que x R y se interpreta como “x es al menos tan buena como y”. Se supone en este caso que para cualesquiera dos alternativas x , y ∈ X , o bien x es al menos tan buena como y, o bien y es al menos tan buena como x. En la siguiente definición se recogen las ideas anteriores.

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Definición 3. Una relación de preferencia débil (o de preferencia-indiferencia) R sobre X es una relación binaria completa. Observación 2. Ambos enfoques son, de hecho, equivalentes. Efectivamente, si a una relación de preferencia fuerte P se le asocia una relación de indiferencia I entendida ésta como ausenc ia de preferencia ( x I y si no ocurre x P y ni y P x ), entonces R=P ∪ I ( x R y si x P y o y P x ) resulta completa. Recíprocamente, a partir de R completa se puede obtener P asimétrica como x P y si x R y pero no ocurre y R x (es decir, con la interpretación señalada, habría preferencia fuerte cuando x es al menos tan buena como y, pero y no es al menos tan buena como x). Conviene señalar que si se tiene una relación de preferencia débil R sobre X, para cada par de alternativas x , y ∈ X no caben más que tres situaciones, mutuamente excluyentes: x P y , y P x o x I y . Así, si no ocurre x P y debe suceder alguna de las otras dos posibilidades, o lo que es lo mismo, y R x. Habida cuenta de la equivalencia señalada, en lo que sigue, conjugaremos ambos enfoques, respetando en la medida de lo posible la notación introducida: R, preferencia débil (completa); P, preferencia fuerte asociada (también denominada parte asimétrica de R); I, indiferencia asociada (también llamada parte simétrica de R). A modo de recapitulación, señalemos que R es completa, P es asimétrica e I es reflexiva y simétrica. Definición 4. Sean R una relación de preferencia débil sobre X. Un elemento x ∈ X es un maximal respecto de R

si para todo y ∈ X se cumple x R y ; o

equivalentemente, si no existe y ∈ X tal que y P x. En vista de la equivalencia anterior se dirá también que x es un maximal respecto de P. Observación 3. Hemos de señalar que los elementos maximales respecto de R no tienen porqué existir. Ahora bien, si X es finito (como es el caso), una condición necesaria y suficiente para asegurar la existencia de maximales es que P sea acíclica (véase Sen [1970] (1976, Lema 1*1)). Así, supuesta la condición anterior, ante un

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problema de selección de alternativas siempre sería posible asignar a cada subconjunto de X sus elementos maximales. Para las relaciones de preferencia e indiferencia introducidas se cumplen las siguientes equivalencias: P negativamente transitiva ⇔ R transitiva ⇔ P, I transitivas. Observación 4. Se puede comprobar que la mera transitividad de P no garantiza que la relación de indiferencia asociada I sea transitiva. Ahora bien, a la vista de lo anterior, cuando P es negativamente transitiva resultan ser necesariamente transitivas tanto P como I. Observación 5. Tal como se ha señalado en la introducción, la regla de Borda clásica se plantea en un contexto preferencial muy restrictivo en el que la relación de preferencia R de cada uno de los agentes es un orden lineal (lo cual equivale a que P sea negativamente transitiva e I sea antisimétrica). Sin embargo, como veremos, nosotros supondremos una situación más general, en la que sólo se exigirá inicialmente que la relación de preferencia de cada uno de los agentes R sea completa (o, equivalentemente, que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son asimétricas), permitiendo en cualquier caso a los agentes declarar indiferencia entre alternativas. Posteriormente, la transitividad de P será requerida para garantizar la consistencia interna de los contadores Borda introducidos. En nuestro desarrollo será útil codificar las preferencias de los age ntes mediante índices de comparación entre alternativas, tal como se detalla a continuación. Definición 5. Los coeficientes rijk vienen dados por 1, si xi Pk x j ,  rijk = 0.5, si x i I k x j , 0, si x Pk x . j i 

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Estos coeficientes guardan relación con los introducidos por May (1952) y Fishburn (1973): 1, si xi Pk x j ,  d ijk = 0, si xi I k x j ,  −1, si x Pk x , j i  por lo que r = k ij

dijk + 1 2

y, por tanto, ambos coeficientes resultan equivalentes.

3. Extensiones de la regla de Borda. Aunque ya se ha señalado que la regla de Borda fue inicialmente diseñada para aquellos casos en los que los agentes ordenan linealmente las alternativas, en esta sección se extenderá la regla de Borda a situaciones mucho más generales, de manera que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes, P1 ,K , P m son simplemente asimétricas, sin necesidad de que sean inicialmente transitivas ni siquiera acíclicas. Así mismo, los agentes podrán manifestar indiferencia entre las alternativas que comparan, de modo que las relaciones de indiferencia de los agentes, I 1 ,K , I m , son reflexivas y simétricas, pero no necesariamente transitivas. No obstante, como ya se ha indicado, en la próxima sección se demostrará que para conseguir consistencia en la asignación de puntuaciones de los contadores individuales habrá que exigir que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes sean transitivas. Definición 6. Dada una alternativa xi ∈ X , se definen los contadores de Borda individuales rkv ( xi ), v = 1,K , 4 , con los que el agente k asigna una puntuación a la alternativa xi de la forma que sigue: rk1 ( xi ) =

∑r

k ij

= card {x j | xi P k x j } .

xi Pk x j

n

rk2 ( xi ) = ∑ rijk = j =1

∑r

xi Rk x j

k ij

=

∑r

xi Pk xj

k ij

+

∑r

k ij

= card {x j | xi Pk x j } +

xi Ik x j

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1 card {x j | xi I k x j } . 2

n

rk3 ( xi ) = ∑ rijk = j =1 j≠ i

rk4 ( xi ) =

∑r

xi Pk x j

∑r

k ij

+

xi Pk x j

∑r

k ij

= card {x j | x i P k x j } +

xi Ik xj

1 (card {x j | x i I k x j } − 1). 2

j ≠i

k ij

−

∑r

k ji

= card {x j | x i P k x j } − card {x j | x j P k x i } .

x j P k xi

El primer contador individual refleja la idea de Borda, explicitada por Morales (1805), de que la puntuación que el agente asigna a cada alternativa coincide con el número de alternativas que para él son peores. Por tanto, no tiene en cuenta si hay alternativas indiferentes a la que se valora. Como ya hemos hecho notar, ha sido utilizado por Nitzan – Rubinstein (1981). El segundo y el tercer contador suman a la puntuación dada por el contador anterior 0.5 puntos a cada alternativa que sea indiferente con la que se valora, considerando o no la propia alternativa que se valora, respectivamente. El último contador indica, para cada alternativa, el número de victorias (puntos a favor) menos el de derrotas (puntos en contra) sobre sus oponentes 2 para el agente k. Ya hemos comentado que ha sido usado, entre otros, por Young (1974), y no debe confundirse con los contadores Copeland, que aplican la misma filosofía a las preferencias colectivas originadas por la mayoría simple, para evitar la paradoja del voto (ciclos en las preferencias colectivas). Es usual en la literatura denominar a los dos últimos contadores como primer y segundo contador de Borda individuales ajustados según Black, o más brevemente, Black I y Black II. Observación 6. Una interesante propiedad del contador rk4 es que la suma de todas las puntuaciones otorgadas por cada agente es nula, es decir n

∑r

4 k

( xi ) = 0 .

i =1

2

Citando a Black (1958, p. 64): “the appropriate form of the Borda count is the net surplus of the plus over the minus votes for each candidate”.

9

Observación 7. Existen conexiones entre algunos de los contadores individuales introducidos 3 . Resulta evidente la siguiente relación: rk2 ( xi ) = rk3 ( x i ) +

1 . 2

Así mismo, aunque en este caso no es tan inmediato, Black (1976) y Coughlin (1979) demostraron que Black I y Black II difieren en una transformación lineal afín; más concretamente: rk4 ( x i ) = 2 rk3 ( x i ) − ( n − 1) . En consecuencia tenemos las siguientes relaciones, que permiten definir los dos últimos contadores en función del segundo: rk3 ( xi ) = rk2 ( xi ) −

1 y rk4 ( xi ) = 2 rk2( xi ) − n . 2

A partir de los contadores individuales puede definirse uno colectivo, en cada caso, como la suma de los mismos. Definición 7. La puntuación (o contador) total (o agregada) de Borda del colectivo de agentes a la alternativa xi se calcula como m

r v ( xi ) = ∑ rkv ( xi ), v = 1,K ,4. k =1

Observación 8. Teniendo en cuenta la Observación 7, tenemos: m

1. r 1 ( xi ) = ∑ k =1

∑r

k ij

.

xi Pk x j

3

Gärdenfors (1973) introduce también un contador que, en su contexto, denomina ranking-level function, y que identifica alternativas al mismo nivel de preferencia, aplicando entonces el contador de Borda clásico a la situación resultante. Sin embargo, habida cuenta de que para su correcto diseño se requiere la transitividad de la relación de indiferencia de los agentes y de que se trata de un contador bastante grosero, no lo incluiremos en nuestro estudio.

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m

2. r ( xi ) = ∑ 2

k =1

n

∑r j=1

k ij

.

m 1 m 3. r 3 ( xi ) = ∑  rk2 ( xi ) −  = r 2 ( xi ) − . 2 2 k =1 

4. r 4 ( xi ) = ∑ (2 rk2 ( xi ) − n ) = 2 r 2( xi ) − mn . m

k =1

Entonces, cualquiera que sea la forma de cálculo utilizada, la(s) alternativa(s) que resulta(n) ganadora(s) por el método de Borda de contador v-ésimo, v = 1,K , 4 viene(n) determinada(s) por la mayor puntuación recibida. Definición 8. La relación de preferencia agregada PvBC correspondiente a la regla de Borda con contador v-ésimo, v = 1,K , 4 , viene dada por xi PvBC x j ⇔ r v( xi ) > r v ( x j ) , para cualesquiera xi , x j ∈ X . Resulta inmediato comprobar que PvBC es negativamente transitiva para cualquiera de los cuatro contadores introducidos, luego acíclica. Tal como hemos indicado, de acuerdo con Sen [1970] (1976), como el conjunto X es finito, hay garantía de existencia (no así de unicidad) de elementos maximales para PvBC , que sería(n) ganador(es) por la regla de Borda asociada al contador v-ésimo. Cabe preguntarse si, para una misma situación decisional por parte de los agentes, los diferentes contadores proporcionan o no una misma preferencia agregada. Observación 9. De acuerdo con la Observación 8, los contadores Borda colectivos r 3 y r 4 son una transformación afín de r 2 . Por tanto, r 2 , r 3 y r 4 son equivalentes y,

en

consecuencia,

originan

la

misma

P2BC = P3BC = P4BC .

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preferencia

colectiva,

es

decir,

Ahora bien, r 1 no es equivalente a ninguno de los otros tres contadores, r 2 , r 3 y r 4 , como se pone de manifiesto a continuación. Ejemplo 1. Considérense 6 votantes cuyas preferencias (negativamente transitivas) sobre tres alternativas vienen dadas por 1 votante 2 votantes 3 votantes x1

x2 x3

x1 x2

x2 x3

x3 x1

De aquí en adelante se entenderá que alternativas situadas en un mismo nivel son indiferentes para los agentes y las que están en un determinado nivel son preferidas a todas aquéllas que están en un nivel inferior. Con ello se supone de forma implícita que las relaciones de preferencia (fuerte y débil) e indiferencia de los agentes son transitivas. Resulta inmediato comprobar que el primer contador de Borda individual otorga las siguientes puntuaciones

r 1 ( x1 ) = 5, r 1 ( x2 ) = 4, r 1 ( x3 ) = 3, luego x1 P1BC x2 P1BC x3 .

Sin embargo, mediante Black I se tiene

r 3 ( x1 ) = 5.5, r 3 ( x 2 ) = 7, r 3 ( x3 ) = 5.5, por

lo que en el agregado se obtiene x2 P3BC x1 I 3BC x3 . Dado que las ordenaciones colectivas son esencialmente distintas, los contadores r 1 y r 3 no son equivalentes. Por tanto, disponemos propiamente de dos reglas de Borda distintas que generalizan a la clásica en situaciones en las que los agentes no necesitan ordenar linealmente las alternativas: por un lado la correspondiente al contador individual r 1 y, por otro, las definidas por los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 . Obviamente, si los agentes ordenan linealmente las alternativas, los cuatro contadores individuales resultan equivalentes: basta observar que en tal caso r 3 = r 1 . 4. Consistencia interna de los contadores individuales. Parece lógico exigir, como petición de principio, que al puntuar cualesquiera dos alternativas a distinto nivel de preferencia los contadores individuales de Borda asignen mayor puntuación a aquélla que es mejor que la otra para el agente en 12

cuestión. Sería deseable, por tanto, el cumplimiento de la siguiente propiedad de monotonía. Definición 9. El contador de Borda individual rkv , v = 1,K ,4, es monótono si se verifica xi Pk x j

⇒ rkv ( xi ) > rkv ( x j ) ,

para cualquier par de alternativas x i , x j ∈ X . Hemos de observar que Gärdenfors (1973) introdujo una propiedad análoga a la de la definición anterior en el contexto de las funciones de voto representables (representable voting functions). A continuación justificamos que de la monotonía se deriva que las alternativas que reciben la misma puntuación han de ser necesariamente indiferentes. Proposición 1. Si el contador rkv es monótono, entonces se verifica rkv ( xi ) = rkv ( x j ) ⇒ xi Ik x j . Demostración. Utilizando la implicación contrarrecíproca en la definición de la monotonía de rkv para las alternativas xi y x j , se tiene rkv ( xi ) ≤ rkv ( x j ) ⇒ x j R k xi y rkv ( x j ) ≤ rkv ( xi ) ⇒ xi Rk x j ; consecuentemente, rkv ( x j ) = rkv ( xi ) ⇒ xi Ik x j . Observación 10. De la monotonía de rkv no se sigue la implicación recíproca de la proposición anterior, esto es, de xi Ik x j no se deriva rkv ( x j ) = rkv ( xi ) . En el caso en que I k no fuera transitiva (y, como hemos señalado, esto puede suceder aún siéndolo Pk ), se tendrían tres alternativas xi , x j y xl verificando xi Ik x j , x j I k xl y xi Pk xl . Entonces, si la implicación fuera cierta, debería ocurrir

rkv ( xi ) = rkv ( x j ) ,

rkv ( x j ) = rkv ( xl ) y rkv ( xi ) > rkv ( xl ) , lo que es absurdo. Por tanto, los contadores

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individuales rkv pueden asignar distintas puntuaciones a alternativas indiferentes, incluso cuando éstos son monótonos. A continuación demostramos que los cuatro contadores introducidos son monótonos cuando las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son transitivas. Proposición 2. Si la relación de preferencia fuerte P k es transitiva, entonces los contadores de Borda rkv , v = 1,K ,4, son monótonos. Demostración: Para el contador rk1 supongamos xi Pk x j . Al ser P k transitiva, si ocurriera

x j Pk xl , se tendría

xi Pk xl . Por tanto, {x l | x j P k x l } ⊂ {x l | x i P k x l } .

Nótese que la inclusión es estricta, ya que la alternativa x j pertenece al segundo conjunto, pero no al primero. En consecuencia, rk1 ( xi ) = card {xl | x i Pk x l} > card {xl | x j Pk x l} = rk1 ( x j ). Habida cuenta de la equivalencia existente entre los restantes contadores, basta con probar la monotonía para uno de ellos. Lo haremos, por su mayor sencillez, para rk4 . Supongamos xi Pk x j . Al ser P k transitiva, si ocurriera x j Pk xl , entonces también se verificaría xi Pk xl . Por tanto, {xl | x j P k x l} ⊂ {xl | xi Pk xl} . De nuevo la inclusión es estricta, ya que la alternativa x j pertenece al segundo conjunto, pero no al primero. Análogamente, si ocurriera xl P k xi , por transitividad también se tendría xl Pk x j . Por tanto, {x l | x l P k x i } ⊂ {x l | x l P k x j } . Y de nuevo aquí el contenido es estricto, ya que la alternativa x i pertenece al segundo conjunto, pero no al primero. En consecuencia, card {x l | xi P k x l } > card {xl | x j P k xl }, card {x l | x l P k x j } > card {x l | x l P k xi }. Sumando ambas expresiones se obtiene

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card {x l | x i P k xl } + card {x l | x l P k x j }> card {x l | x j P k x l } + card {x l | x l P k xi }. Operando, tenemos card {x l | xi P k xl } − card {x l | x l P k xi } > card {x l | x j P k x l } − card {x l | xl P k x j }, esto es, rk4 ( xi ) > rk4 ( x j ). Observación 11. Si P k no es transitiva, entonces el contador rkv puede no ser monótono, como se pone de manifiesto a continuación. Supóngase la relación de preferencia individual P k sobre X = { x1 , x2 , x3 , x4 } , dada explícitamente por x1 Pk x2 , x2 P k x3 , x3 Pk x4 , x2 Pk x4 . Entonces rk1 ( x1 ) = 1 < 2 = rk2 ( x 2 ), a pesar de que x1 Pk x2 . Como ya hemos comentado anteriormente, en la caracterización de la regla de Borda, Nitzan – Rubinstein (1981) no contemplan como hipótesis de racionalidad individual necesaria la transitividad de los agentes, a pesar de las implicaciones que, como hemos visto, supone esta permisividad. 5. Eficiencia de Condo rcet. Condorcet (1785) postuló, a partir de presupuestos filosóficos generales más que con fines pragmáticos, que el ganador en una votación debería vencer por mayoría simple al resto de oponentes en duelos por parejas. Este es el denominado principio de Condorcet, que formalizamos a continuación. Definición 10.

La alternativa xi es ganadora de Condorcet si para cualquier

alternativa x j ≠ xi se verifica card { k | xi Pk x j } > card { k | x j P k x i } , es decir xi derrota por mayoría simple a cada una de sus oponentes.

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Conviene señalar, como hace Nurmi (1999, p. 22), que en la filosofía del ganador de Condorcet lo importante es el diseño del método que lo seleccione en el caso de que exista. Se denomina eficiencia de Condorcet a la probabilidad condicionada de que un método de votación seleccione la alternativa ganadora de Condorcet, supuesto que ésta exista. Si esta probabilidad es 1, es decir, si un método dado selecciona la ganadora de Condorcet cuando exista, se dirá que el método es Condorcet-eficiente. A pesar de que, como puso de manifiesto Morales (1805), las puntuaciones Borda derivan de comparaciones por pares (tácitas o explícitas) entre los candidatos o alternativas por parte de los agentes, el método de Borda no es Condorcet-eficiente. A continuación se propone el ejemplo con el que Condorcet (1895) puso de manifiesto que el método de Borda no cumple su criterio. Ejemplo 2. Considérese una comisión de 30 vo tantes, donde existen dos coaliciones cuyas preferencias vienen dadas como sigue: 19 votantes 11 votantes x1

x2

x2

x3

x3

x1

En este caso x1 es ganadora de Condorcet, ya que vence a x2 y a x3 por 19 votos frente a 11. Sin embargo, las puntuaciones Borda colectivas, según el primer contador de Borda, son r 1 ( x1 ) = 38 , r 1 ( x2 ) = 41 , r 1 ( x3 ) = 11 . Por tanto, x2 es la alternativa ganadora según la regla de Borda (no importa qué contador se utilice, ya que, como se ha mencionado anteriormente, éstos originan la misma ordenación colectiva cuando las preferencias de los agentes son órdenes lineales). Está claro que de la definición de alternativa ganadora de Condorcet se sigue su unicidad, supuesta su existencia. Pero tal alternativa ideal no tiene porqué existir, un hecho éste que en parte vulnera el sólido razonamiento de Condorcet y del que este autor fue plenamente consciente, lo cual no fue óbice para que variasen sus

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posiciones. El ejemplo clásico de inexistencia de ganador de Condorcet, conocido como terna de Condorcet, es una simplificación del propuesto por dicho autor. Ejemplo 3. Considérense tres agentes cuyas preferencias sobre las alternativas x1 , x2 , x3 vienen dadas por 1 votante

1 votante

1 votante

x1

x2

x3

x2

x3

x1

x3

x1

x2

En este caso ninguna alternativa vence a sus oponentes al ser comparadas por parejas. De hecho, aunque los agentes son transitivos, en este caso la preferencia colectiva entre pares de alternativas definida a partir de la mayoría simple no es siquiera acíclica, pues dos de cada tres agentes prefieren en cada caso x1 a x2 , x2 a x3 ¡ y x3 a x1 ! Este ejemplo ilustra la denominada paradoja del voto, efecto Condorcet, o existencia de mayorías cíclicas. En ningún caso ocurriría esto si se emplease la regla de Borda que, como hemos visto, origina siempre una relación de preferencia colectiva negativamente transitiva, por tanto transitiva y acíclica. Ahora bien, aunque la regla de Borda siempre selecciona alguna alternativa ganadora, aquélla(s) que obtenga(n) la máxima puntuación, puede haber más de una, incluso todas, tal como ocurriría en la terna de Condorcet. Así, la ausencia de inconsistencias colectivas en la regla de Borda puede ir acompañada de falta de decisividad. A continuación analizaremos algunas relaciones existentes entre los resultados obtenidos por la regla de Borda, según los contadores individuales utilizados, y las alternativas ganadoras o perdedoras de Condorcet. Introducimos ahora este último concepto. Definición 11.

La alternativa xi es perdedora de Condorcet si para cualquier

alternativa x j ≠ xi se verifica

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card { k | xi Pk x j } < card { k | x j P k x i } , es decir xi es derrotada por cada una de sus oponentes a través de la regla de mayoría simple. Smith (1973) y Fishburn – Gehrlein (1976) demostraron que cuando los agentes ordenan linealmente las alternativas, una alternativa que sea ganadora de Condorcet nunca resultaría la peor puntuada por la regla de Borda. A continuación demostramos este mismo resultado para los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 , sin necesidad de exigir hipótesis alguna a las relaciones de preferencia individuales. Sin embargo, como veremos, este resultado no es cierto si se considera el contador r 1 . Proposición 3. Una alternativa ganadora de Condorcet, caso de existir, nunca será la peor puntuada por la regla de Borda si se emplean los contadores r 2 , r 3 y r 4 . Demostración. Supongamos que la alternativa xi es ganadora de Condorcet, es decir, para cualquier alternativa x j ≠ xi se verifica card { k | xi Pk x j } > card { k | x j P k x i } . Teniendo en cuenta la equivalencia entre los contadores r 2 , r 3 y r 4 , consideremos la regla de Borda asociada a r 4 y utilizaremos, por tanto, los contadores individuales rk4 , k = 1, K, m . Para justificar que xi no puede obtener la peor puntuación con r 4 , m

basta demostrar que r 4 ( xi ) = ∑ rk4 ( xi ) > 0 , ya que como ha sido comentado en la k =1

n

Observación 6,

∑r j =1

4 k

( x j ) = 0 y, en consecuencia, la puntuación total media es

1 n 4 1 n r ( x ) = j n∑ n∑ j =1 j =1

m

∑ rk4 (x j ) = k =1

1 m n∑ k =1

n

∑r j =1

4 k

(x j ) = 0 .

El hecho de que r 4 ( xi ) fuera positiva obligaría a que existiera alguna alternativa con puntuación negativa, luego peor puntuada que xi . 18

Para demostrar esto, tenemos en cuenta que, por ser xi ganadora de Condorcet, se tiene n

∑

card { k | xi Pk x j } >

j=1

n

∑

card { k | x j P k x i } ,

j=1

es decir el número total de victorias de xi es mayor que el número total de sus derrotas, lo que equivale a que se satisfaga m

∑ k =1

card { x j | xi Pk x j } > ∑ card { x j | x j P k xi } , m

k =1

es decir a que se cumpla r 4 ( xi ) > 0 . De la proposición anterior se deriva el hecho de que ninguna alternativa que alcance la peor puntuación con la regla de Borda asociada a los contadores r 2 , r 3 y r 4 puede ser ganadora de Condorcet. Esto no ocurre, si se utiliza el contador r 1 , tal como se justifica a continuación. Observación 12. La regla de Borda asociada al contador r 1 puede asignar la peor puntuación a una alternativa ganadora de Condorcet. Supongamos 10 votantes que disponen tres alternativas de la siguiente forma 2 votantes 3 votantes 3 votantes x1 x2

x2 x3

x3

x1

x1

2 votantes

x2 x3

x3 x1

x2

Resulta inmediato comprobar que la alternativa x2 es ganadora de Condorcet, ya que tres votantes prefieren x2 a x1 y x3 , frente a sólo dos que prefieren x1 y x3 a x2 . No obstante, r 1 ( x 2 ) = 6 < 7 = r 1 ( x1 ) = r 1 ( x 3 ) . En este aspecto, el contador r 1 tiene peor comportamiento que los otros tres equivalentes, ya que como se ha visto en la proposición anterior esta situación no puede ocurrir con los contadores r 2 , r 3 y r 4 .

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Un resultado en cierta forma dual del proporcionado por la Proposición 3 es que toda alternativa que obtenga la máxima puntuación colectiva con la regla de Borda puede perder por mayoría simple en confrontaciones por pares con alguna de sus oponentes, pero no con todas ellas; en otras palabras, que un ganador de Borda no puede ser perdedor de Condorcet. La demostración de este resultado en el marco clásico 4 puede verse, por ejemplo, en Gärdenfors (1973). Nosotros la hemos adaptado al caso en que eventualmente los agentes declaren indiferencia entre alternativas distintas y operen usando cualquiera de los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 . Proposición 4. Ninguna alternativa perdedora de Condorcet, caso de existir, puede resultar ganadora por la regla de Borda si se emplean los contadores r 2 , r 3 y r 4 . Demostración. Considerando razonamientos similares a los utilizados en la Proposición 3, supongamos que la alternativa xi es perdedora de Condorcet, es decir, para cualquier alternativa x j ≠ xi se verifica card { k | xi Pk x j } < card { k | x j P k x i } . De nuevo consideraremos la regla de Borda asociada a r 4 . Para justificar que xi no puede

obtener

la

mejor

puntuación

con

r4 ,

bastará

demostrar

que

m

r 4 ( xi ) = ∑ rk4 ( xi ) < 0 , ya que como ha sido justificado en la demostración de la k =1

Proposición 3, la puntuación total media es 0. El hecho de que r 4 ( xi ) fuera negativa obligaría a que existiera alguna alternativa con puntuación positiva, luego mejor puntuada que xi . Para demostrar esto, tenemos en cuenta que, por ser xi perdedora de Condorcet, se tiene n

∑

card { k | xi Pk x j }
3 = r 1 ( x 2 ) = r 1 ( x3 ) . De nuevo, el contador r 1 tiene peor comportamiento que los otros tres equivalentes, ya que como se ha visto en la proposición anterior esta situación no puede ocurrir con los contadores r 2 , r 3 y r 4 . 6. Conclusiones. A la vista de la definición de los cuatro contadores Borda individua les que aparecen en el presente trabajo, cabe señalar que la forma en que los dos primeros generalizan el contador de Borda clásico es la mas directa e inmediata (de hecho el primero no es sino una extrapolación literal), siendo más artificiosos en cuanto a su diseño los contadores de Black (tercero y cuarto). Ahora bien, aunque todos ellos son

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monótonos en el sentido detallado, el primero es el que peor se comporta desde un punto de vista condorcetiano del voto, pues el ganador de Borda según el primer contador puede ser el perdedor de Condorcet y, alternativamente, el ganador de Condorcet ser el perdedor (menor puntuado) según el método de Borda con dicho contador. Sin embargo, tales situaciones, en absoluto deseables, son imposibles con los otros tres contadores. Y es que, de hecho, el primer contador es un mundo aparte de los otros tres, al poder inducir respecto de una misma situación decisional una ordenación colectiva distinta a la de éstos, que siempre generan la misma preferencia social. En conclusió n, nuestro análisis avala la difusión que en la literatura tienen los contadores de Black. Sin embargo, apuntamos también la idoneidad de la regla de Borda usando el segundo contador, al conjugar la simplicidad de su definición con las buenas propiedades de las reglas de Borda con contadores de Black, a las que es equivalente en el sentido señalado. Agradecimientos.

Los autores desean agradecer la ayuda financiera de la

Consejería de Educación y Cultura de la Junta de Castilla y León (Proyecto VA057/02), así como la del Ministerio de Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo e Innovación Tecnológica (I+D+I) (Proyecto BEC2001-2253) y la de los fondos FEDER. Bibliografía. 1. Black, D. (1958): The Theory of Committees and Elections, Kluwer Academic Publishers, Boston. 2. Black, D. (1976): “Partial justification of the Borda count”, Public Choice, 28, pp. 1–16. 3.

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16. Saari, D. G. (1990): “The Borda dictionary”, Social Choice and Welfare, 7, pp. 279-317. 17. Saari, D. G. (1995): Basic Geometry of Voting, Springer-Verlag, Berlín. 18. Sen, A. K. (1976): Elección Colectiva y Bienestar Social, Alianza Editorial, Madrid. [Traducción de Francisco Elías Castillo de la edición original en inglés, 1970: Collective Choice and Social Welfare, Holden-Day, San Francisco]. 19. Smith, J. H. (1973): “Aggregation of preferences with variable electorate”, Econometrica, 41, pp. 1027–1041. 20. Young, H. P. (1974): “An axiomatization of Borda’s rule”, Journal of Economic Theory, 9, pp. 43–52.

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