Kapitel 13
Exakte Bahnen in der Schwarzschild Raum–Zeit 13.1
Diskussion der Newtonschen Bahnen
13.1.1
Die Erhaltungsgro ¨ßen
Since the potential is spherically symmetric, we have the angular momentum as a constant of motion d L = 0, dt
L = mx × v .
(13-1.1)
From this equation it is immediately clear that x·L=0
v·L=0
and
(13-1.2)
from which we can infer that the motion takes place in a plane orthogonal to L. We choose the coordinate system such that L = Le3 . We also choose polar coordinates in the x1 − x2 –plane: x1 = r cos ϕ , x2 = r sin ϕ . (13-1.3) From the L3 component in polar coordinates L3 = m0 x1 x˙ 2 − x2 x˙ 1 ,
(13-1.4)
where m0 is the mass of the test particle, we get
L3 = mr2 ϕ˙
(13-1.5)
L . m0 r 2
(13-1.6)
or, equivalently, ϕ˙ =
If we know the solution r = r(t), then we can calculate from this the solution ϕ = ϕ(t). Since the potential is independent from the time we also have the conservation of energy E=
1 1 m0 v 2 + U (r) = m0 r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 + U (r) = const. 2 2
(13-1.7)
With ϕ˙ from (13-1.6) this gives E=
L2 1 1 1 m0 r˙ 2 + 2 2 + U (r) = m0 r˙ 2 + Ueff (r) 2 m0 r 2
(13-1.8)
with the effective potential for the radial motion, see Fig.13.1, Ueff (r) = U (r) +
1 L2 . 2m0 r2
(13-1.9)
The second term is called the angular momentum barrier since it is a repulsive potential. The effective potential is not the ”true” pontential, that is, the potential for the motion in three– dimensional physical space, it is the potential for the radial coordinate only. 171
172
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT U L2 2mred r 2 Ueff
r
−
Gm1 m2 r
Abbildung 13.1: The effective potential for the radial motion.
We solve (13-1.8) for r˙ r˙ = which yields dt = q
dr 2 m0
(E − Ueff (r))
r
2 (E − Ueff (r)) . m0
⇒
t − t0 =
Z
r
q
(13-1.10)
dr 2 m0
(13-1.11)
(E − Ueff (r))
That is, we have implicitely r as function of time. Was wir letztendlich ben¨ otigen, ist r = r(t) und ϕ = ϕ(t). Wir werden unten sehene, dass es sehr einfach ist, r = r(ϕ) zu bekommen. Daraus erhalten wir ϕ = ϕ(r), worin wir r = r(t) einsetzen k¨onnen. Alternativ k¨ onnen wir aber auch den Drehimpulussatz ϕ˙ = L/(mr2 (t)) integrieren.
13.1.2
Die L¨ osung
The distance as function of the angle We also can express r as function of ϕ what we can solve explicitely. Owing to −1 dr dr dϕ = dϕ dt dt
(13-1.12)
we get from (13-1.6) and (13-1.10)
or, explicitely,
dr dϕ
2
dr r2 p 2m0 (E − Ueff (r)) = dϕ L
(13-1.13)
1 r4 L2 1 . = 2 2m0 E + mm0 − L r 2m0 r2
(13-1.14)
This non–linear differential equation can be solved. For doing so, we make a transformation of the variable u := 1/r. Then u=
1 , r
du 1 dr dr =− 2 = −u2 . dϕ r dϕ dϕ
Then the above equation (13-1.14) gives 2 1 du 1 L2 2 = , 2m E + Gm mu − u 0 u2 dϕ L2 u4 2m
(13-1.15)
(13-1.16)
173
13.1. DISKUSSION DER NEWTONSCHEN BAHNEN or,
du dϕ
2
L2 2 1 2m 2mm20 = 2 2m0 E + m0 mu − u = 2E+ u − u2 . L 2m L L2
(13-1.17)
Dies k¨onnen wir direkt integrieren1 , wenn wir noch die Wurzel ziehen r
du = dϕ
2mm20 2m0 E + u − u2 L2 L2
(13-1.24)
und Separation der Variablen machen dϕ = q Daraus folgt ϕ − ϕ0 =
Z
du 2m0 L2 E
+
2mm20 L2 u
u
q
Integration ergibt
2m0 L2 E
+
2mm20 ′ L2 u
2mred E L2
2mm20 L2
−2u + q 2m0 E L2 +
bzw.
mm20 u= L2
1+
.
2Gmred m1 m2 L2
+
(13-1.26)
− u′ 2
4G2 m20 m21 m22 L4
.
(13-1.27)
= − sin(ϕ − ϕ0 )
(13-1.28)
! L2 E 1+ sin(ϕ − ϕ0 ) 2m2 m30
(13-1.29)
4m2 m30 L4
s
(13-1.25)
du′
−2u + ϕ − ϕ0 = −arcsin q
Umkehrung gibt
. − u2
Reeintroducing r and choosing without loosing any generality ϕ0 = 0, the final solution reads r0 r(ϕ) = 1 + e cos ϕ
L2 , r0 = mm20
with
e=
s
1+
2EL2 . m30 m2
(13-1.30)
1 Durch mehrere Umformungen kann man diese Differentialgleichung auch auf die einfache Form des Gleichung f¨ ur den harmonischen Oszillator bringen: Differentiation of this relation with respect to ϕ yields 2 du d u L2 du du 1 2 2m − u . (13-1.18) = mm 0 0 dϕ dϕ2 L2 dϕ m0 dϕ
and, thus, 1 d2 u = 2 m0 dϕ2 L where A =
m2 0 m. L2
mm0 −
L2 u m0
=
m20 m − u = A − u, L2
(13-1.19)
Another substitution u′ = u − A gives the equation d2 u′ = −u′ , dϕ2
(13-1.20)
which solution is u′ = a cos(ϕ − ϕ0 ). In terms of u the solution is u = A + u′ = A + a cos(ϕ − ϕ0 ) . If we insert this solution into (13-1.17) for ϕ = 0 then we obtain the constant s 2 2 m0 m 2m0 E + . a= L2 L2
(13-1.21)
(13-1.22)
In terms of r we get 1 = A + a cos(ϕ − ϕ0 ) r with r0 = 1/A and e = a/A.
⇔
r(ϕ) =
r0 . 1 + e cos(ϕ − ϕ0 )
(13-1.23)
174
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
The orbit as function of time In order to obtain the orbit as function of time we have to perform the integration (??) for the Newtonian potential. Z Z mred dr dr r q 2 . (13-1.31) = t − t0 = e −1 L 2Gm1 m2 L2 2 + r02r − r12 2 r E + − 0 mred r 2mred r 2 The evaluation of the integral depends on the sign of e2 − 1, that is, on the type of the orbit. Elliptic orbit. In this case e2 < 1 so that Z Z mred mred r0 rdr √ q r t − t0 = = 2 L 2+ 2 r−1 L 1 − e2 − 1−e r 2 r0 r0 − r−
rdr 2
r0 1−e2
. +
e2 r2 (1−e2 )2 0
(13-1.32)
With the substitution (since r is finite and periodic cos is a preferred choice) e e r0 =− r0 cos ϕE , dr = r0 sin ϕE dϕE r− 1 − e2 1 − e2 1 − e2
(13-1.33)
the integral becomes t − t0
=
= =
Z
mred r0 √ L 1 − e2
r0
2
q1−e 2
mred r02 3/2
L (1 − e2 ) mred r02
3/2
L (1 − e2 )
Z
−
e 1−e2 r0
e r2 (1−e2 )2 0
cos ϕE
(1 −
cos2
e r0 sin ϕE dϕE 1 − e2 ϕE )
(1 − e cos ϕE ) dϕE
(ϕE − e sin ϕE ) .
(13-1.34)
The parameter ϕE is the eccentric anomaly (see below for the interpretation). Taking all together we arrived at a parametric representation of the orbit r0 (1 − e cos ϕE ) , t = M (ϕE − e sin ϕE ) , r= 1 − e2 m
(13-1.35)
r2
red 0 where M = L(1−e is the mean anomaly. This is called the Keplerian representation of the 2 )3/2 orbit. Neither the relation t = t(ϕ) nor t = t(ϕE ) can be inverted in closed form. However, t = t(ϕE ) is much more easier to handle.
Hyperbolic orbit. Now e2 > 1 so that Z Z mred mred r0 rdr q 2 r t − t0 = = √ 2 e −1 2 L L e2 − 1 r−1 2 r + r0
r0
Here we make the substitution r0 e r+ = r0 cosh ϕE , 1 − e2 1 − e2
and obtain
t − t0
=
= =
mred r0 √ L e2 − 1
Z
mred r02 L (e2 − 1) mred r02
3/2
L (e2 − 1)
3/2
e 2
q 1−e 2 Z
dr =
r0 e2 −1
. (13-1.36) −
e2 r2 (e2 −1)2 0
e r0 sinh ϕE dϕE 1 − e2
r0 cosh ϕE −
e r2 (e2 −1)2 0
r+
rdr 2
(13-1.37)
r0 1−e2
e 1 − e2 r0 sinh ϕE dϕE cosh ϕE − 1 2
(e cosh ϕE − 1) dϕE
(e sinh ϕE − ϕE ) dϕE .
(13-1.38)
which gives the parametric representation r=
r0 (e cosh ϕE − 1) , 1 − e2
t=
mred r02 L (e2 − 1)
3/2
(e sinh ϕE − ϕE ) .
(13-1.39)
175
13.1. DISKUSSION DER NEWTONSCHEN BAHNEN Parabolic orbit. In this case e2 = 1 and r Z r rdr mred 1 mred r02 r q −1 t − t0 = = 2 − 1, 2 L 3 L r0 r0 r0 r − 1
(13-1.40)
which can be squared. The resulting cubic polynomial can be solved for r as function of t.
The meaning of the variable ϕE can be inferred from the solution for the angle ϕ as function of time t: From the conservation of angular momentum we have L = mr2
dϕ = const. dt
dϕ L 1 L 1 = = 2 dt mr m r2 (ϕ)
⇒
(13-1.41)
Separation of variables gives m dt = r2 (ϕ)dϕ L
m t − t0 = L
⇒
Z
ϕ
mr02 r (ϕ)dϕ = L 2
ϕ0
Z
ϕ
dϕ 2
(1 + e cos ϕ)
ϕ0
.
(13-1.42)
For bound orbits e2 < 1 we have2 mr02 2 e sin ϕ 1 (1 − e) tan(ϕ/2) √ √ t − t0 = − arctan L (e2 − 1)(1 + e cos ϕ) e2 − 1 1 − e2 1 − e2 ! ! r p 1−e mr02 ϕ sin ϕ 2 arctan − e 1 − e2 . (13-1.45) = tan 1+e 2 1 + e cos ϕ L(1 − e2 )3/2 Now we define a new variable through ϕE = tan 2
r
ϕ 1−e tan . 1+e 2
(13-1.46)
Then a lengthy but straightforward calculation gives3 sin ϕ sin ϕE . =√ 1 + e cos ϕ 1 − e2
(13-1.47)
Using this and (13-1.46) in (13-1.45) yields t − t0 =
mr02 (ϕE − e sin ϕE ) , L(1 − e2 )3/2
(13-1.48)
which is the same result as derived above. Using the new variable one can also show that r=
r0 r0 (1 − e cos ϕE ) . = 1 + e cos ϕ 1 − e2
(13-1.49)
As a consequence, ϕE is a kind of redefined angle which geometrical meaning can be inferred from Fig.13.2. We first can read off ea = a cos ϕE − r cos ϕ which we use to reformulate the equation of the orbit as r = r(ϕE ): We replace in r=
a(1 − e2 ) 1 + e cos ϕ
⇔
r + er cos ϕ = a(1 − e2 )
(13-1.50)
the term r cos ϕ and obtain r + e (a cos ϕE − ea) = a(1 − e2 ) , 2 We
use
Z
dx (1 + e cos(ax))2
=
Z
=
dx 1 + e cos(ax)
a(e2
e sin(ax) 1 − 2 − 1)(1 + e cos(ax)) e −1
(13-1.51) Z
dx 1 + e cos(ax)
(1 − e) tan(ax/2) 2 √ arctan √ a 1 − e2 1 − e2 (e − 1) tanh(ax/2) 2 √ √ arctanh a e2 − 1 e2 − 1
for
e2 < 1
for
e2 > 1 .
(13-1.43)
(13-1.44)
3 One first replaces sin ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ and cos ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ and then expresses the sin and cos through 2 2 2 2 the tan. Insertion of tan ϕ defined in (13-1.46) finally gives the result. 2
176
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT y
s
r0
ϕ
d
B1
minor axis
b
r
ϕE
x
B2
r=
r0 1 + e cos ϕ
ea a semi–major axis
a(1 − e)
Abbildung 13.2: The definition of the eccentric anomaly ϕE . The radius of the enveloping circle is a. If the momentary position of the body is given by (r, ϕ), then the eccentric anomaly ϕE is the angle of that point lying on the enveloping circle which has the same x–coordinate d as the body.
that is, r = a (1 − e cos ϕE ) .
(13-1.52)
This is the orbit as function of the eccentric anomaly ϕE . Now we equate the expressions for r in terms of ϕ and ϕE and obtain (1 − e2 )a = a (1 − e cos ϕE ) . 1 + e cos ϕ This gives cos ϕ =
(13-1.53)
cos ϕE − e . 1 − e cos ϕE
(13-1.54)
The characteristic term tan ϕ2 in the expression for t = t(ϕ) can be expressed in terms of ϕE : ϕ sin ϕ tan = = 2 1 + cos ϕ
p
1 − cos2 ϕ = 1 + cos ϕ
r
1−
1+
cos ϕE −e 1−e cos ϕE
cos ϕE −e 1−e cos ϕE
2
=
r
1+e ϕE tan , 1−e 2
which reproduces (13-1.46). Also for parabolic orbits we can calculate the time as function of the angle ϕ: Z mr02 1 ϕ 1 dϕ mr02 3 ϕ , tan + tan t − t0 = 2 = L L 2 2 6 2 (1 + cos ϕ) so that we have
r0 , r= 1 + cos ϕ
mr02 t= L
1 ϕ 1 ϕ tan + tan3 2 2 6 2
.
(13-1.55)
(13-1.56)
(13-1.57)
Even for situations with perihelion shift it is possible to express the orbit in a Keplerian form. With (??) and (13-1.42) we obtain Z m(1 + ǫ)2 r02 dϕ t − t0 = . (13-1.58) L (1 + e cos((1 + ǫ)ϕ)) Integration gives t − t0 =
m(1 + ǫ)2 r02 3/2
L(1 + ǫ) (1 − e2 )
2 arctan
r
1−e (1 + ǫ)ϕ tan 1+e 2
!
p − e 1 − e2
! sin((1 + ǫ)ϕ) . 1 + e cos((1 + ǫ)ϕ) (13-1.59)
177
13.1. DISKUSSION DER NEWTONSCHEN BAHNEN A definition of a new angle ϕE through (1 + ǫ)ϕE = tan 2
r
(1 + ǫ)ϕ 1−e tan 1+e 2
(13-1.60)
again leads to a Keplerian representation t − t0 =
m(1 + ǫ)r02 L (1 − e2 )
3/2
((1 + ǫ)ϕE − e sin((1 + ǫ)ϕE )) ,
(13-1.61)
so that together r=
(1 + ǫ)r0 (1 − e cos((1 + ǫ)ϕE )) , 1 − e2
13.1.3
t − t0 =
m(1 + ǫ)r02 3/2
L (1 − e2 )
((1 + ǫ)ϕE − e sin((1 + ǫ)ϕE )) . (13-1.62)
Diskussion der L¨ osung
Die Diskussion der L¨ osung besteht darin, f¨ ur die verschiedenen Werte der Energie und des Drehimpulses die Bahn (Werte, Definitionsbereich, etc.) anzugeben. This is also related to the task of determining the singularities, that is, the angles ϕ for which r → ∞ which determines the admissible domain of ϕ. The distance r becomes infinity if the denominator vanishes, 0 = 1+e sin ϕ. This is only possible for e ≥ 1. Then ϕ = −arcsine−1 . For further discussion we rewrite this solution in terms of cartesian coordinates. Taking the square of r0 − er cos ϕ = r gives r02 − 2er0 r cos ϕ + e2 r2 cos2 ϕ = r2
(13-1.63)
(x1 )2 (1 − e2 ) + 2r0 ex1 + (x2 )2 = r02 .
(13-1.64)
or Now we have to distinguish two cases: e = 1 and e 6= 1. e = 1: In this case we get −2r0 ex1 + (x2 )2 = r02 ,
(13-1.65)
(x2 )2 = −2r0 x1′ .
(13-1.66)
which after the translation x1 = x1′ + r0 /2 gives a parabola4
We can see from (13-1.30) that the condition e = 1 in terms of the energy means E = 0. e 6= 1: We divide through r02 and obtain 1=
x1 +
er0 1−e2
r02 (1−e2 )2
After a translation x1 = x1′ − this finally gives (x2 )2 (x1′ )2 ± 2 =1 2 a b
with
a2 =
2
+
(x2 )2 r02 1−e2
.
(13-1.67)
er0 1 − e2
(13-1.68)
r02 , (1 − e2 )2
b2 =
r02 |1 − e2 |
(13-1.69)
and where the ± is related to the cases 0 < e < 1 and e > 1: For 0 < e < 1 this equation is an ellipse5 , while for e > 1 we obtain a hyperbola6 , see Fig.13.4. From (13-1.30) these cases are related to − Fig.13.3. 4 See
Appendix. Appendix. 6 See Appendix. 5 See
mred G2 m21 m22 2L2
< E < 0 and E > 0, respectively, see
178
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT U L2 2mred r 2 Ueff hyperbolic orbit r
parabolic orbit elliptic orbit circular orbit
−
Gm1 m2 r
Abbildung 13.3: The green lines denote the variation of the r coordinate for the various types of orbits. A circular motion is defined for one r only, for an elliptic motion r varies within a bound interval, while for a parabolic and hyperbolic motion r goes from from r0 > 0 to infinity.
From (13-1.30) it is also clear that the orbits with always finite r are closed orbits: For 0 ≤ e < 1 the function r(ϕ) is 2π–periodic. The point of minimum distance (perihel) has rmin = r0 /(1 + e) and for the point of maximum distance (aphel) we have rmax = e/(1 − e). The distance becomes infinite if the denominator vanishes which happens for a certain angle ϕ∞ which is defined by 1 + e cos ϕ = 0. That required e ≥ 1. The minimum distance again is rmin = r0 /(1 + e). energy E = Emin < 0 E0
orbital shape circle ellipse parabola hyperbola
eccentricity e=0 0 0,
λ=
2m L
2
>0
(13-2.36)
ein und eliminieren den in u quadratischen Term durch die Substitution 1 3
x=u−
(13-2.37)
und erhalten dϕ
ds
=
q
1 3
x3 −
= λL x+
dt
= λLE
3
bzw. d
wobei
ϕ 2
d
s 2
d
t 2
=
dx 2 27
− ǫλ x −
q 1 2
x+
1 2 3 p
1 3
x3 − 2 3
(13-2.38a)
+ 23 ǫλ − λµ
dx − ǫλ x −
q x3 − −x
2 27
dx 1 3
(13-2.38b)
+ 32 ǫλ − λµ
− ǫλ x −
2 27
, + 23 ǫλ − λµ
dx
(13-2.38c)
(13-2.39a)
4x3
− g2 x − g3 dx = λL p 1 2 4x3 − g2 x − g3 x+ 3 dx , = λLE p 1 2 2 4x3 − g2 x − g3 x+ 3 3 −x
(13-2.39b) (13-2.39c)
2 2 1 − ǫλ , g3 = 4 + ǫλ − λµ . (13-2.40) 3 27 3 Diese Gleichungen werden wir zu l¨ osen haben. Die letzten beiden Gleichungen k¨ onnen unter Zuhilfenahme der L¨osung der ersten Gleichung noch umgeschrieben werden g2 = 4
dϕ
ds
= λL
dt
= λLE
x(ϕ) +
1 2 3
x(ϕ) +
(13-2.41) dϕ
1 2 3
2 3
. − x(ϕ)
(13-2.42)
F¨ ur die verschiedenen Variablen r, u und x ergeben sich folgende charakteristischen Werte r=0 r = 2m r = 3m r = 6m r=∞
↔
u=∞
↔
u=
↔
↔
↔
u=1
u=
2 3 1 3
u=0
↔
x=∞
↔
x=
↔
x = − 31
↔
↔
x=
2 3 1 3
(13-2.43)
x=0
Es muss auf jeden Fall x ≥ − 13 sein. Der Bereich − 31 ≤ x ≤ 32 entspricht einer Bewegung außerhalb des Schwarzschild–Radius. F¨ ur x > 32 bewegt sich das Teilchen innerhalb des Schwarzschild–Radius.
184
13.2.4
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Das effektive Potential
Wir diskutieren noch kurz Gleichung (14-2.1b). Diese lautet 1 2
dr ds
2
=
E2 − ǫ m L2 mL2 E2 − ǫ + ǫ− 2 + 3 = − Veff . 2 r 2r r 2
(13-2.44)
Dies beschreibt die Zentralbewegung in einem effektiven Potential Veff = −
L2 mL2 m ǫ+ 2 − 3 . r 2r r
(13-2.45)
Der dritte Term kommt hier im Vergleich mit Newton hinzu. Das effektive Potential ist in Abb. 13.5 dargestellt. Der Bewegungsbereich 2
Bei vorgegebener Energie E kann eine Bewegung nur dann stattfinden, wenn E 2−ǫ − Veff ≥ 0. Der Bereich der m¨ oglichen Bewegungen wird also durch die Nullstellen der Gleichung 0=
E2 − ǫ m L2 mL2 E2 − ǫ − Veff = + ǫ− 2 + 3 2 2 r 2r r
(13-2.46)
bestimmt. Multiplikation mit r3 ergibt eine kubische Gleichung 0=
E2 − ǫ 3 L2 r + ǫmr2 − r + mL2 . 2 2
(13-2.47)
Wir betrachten massive Teilchen und Licht getrennt. Licht ǫ = 0 Dann gilt E 2 3 L2 r − r + mL2 . 2 2
(13-2.48)
E2 − 1 3 L2 r + mr2 − r + mL2 . 2 2
(13-2.49)
0= F¨ ur E = 0 ist r = 2m. Falls E 6= 0 ... Teilchen ǫ = 1 Dann gilt 0=
Falls E 1 − 1 = 0 ist, reduziert sich das auf eine quadratische Gleichung 0 = r2 − mit den L¨ osungen r1,2 =
L2 r + L2 2m
p L L ± L2 − 16m2 4m
(13-2.50)
(13-2.51)
Im Falle E 2 − 1 6= 0 k¨ onnen wir durch E 2 − 1 dividieren und durch die Substitution r = r¯ + a den quadratischen Term eliminieren 0 = r3 .... (13-2.52) Diese besitzt entweder eine oder drei reelle L¨osungen. LL1 p33: Bestimmung des effektiven Potentials aus Schwingingsdauer Extrema des effektiven Potentials Zur Bestimmung der Extrema des effektiven Potentials muss dieses abgeleitet werden. Dadurch f¨allt die Energie E heraus, so dass die Extrema nur vom Drehimpuls L abh¨angen.
185
13.2. DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG U
U
U
L2 2mr 2
L2 2mr 2 Veff
Veff
−
r
−
L2 2mr 2
Gm r
mL r3
−
(a) Newton
Veff
r
−
mL r3
r
Gm r (c) Licht
(b) Teilchen
Abbildung 13.5: Das effektive Newtonsche (links) und relativistische (rechts) Potential f¨ ur die Zentralbewegung
Licht ǫ = 0 F¨ ur Licht
dVeff L2 mL2 L2 = − 3 + 3 4 = 4 (−r + 3m) . dr r r r Diese Ableitung verschwindet f¨ ur L 6= 0 bei r = 3m .
(13-2.53)
(13-2.54)
Es gibt also ein Maximum, welches unabh¨angig von L ist, siehe Abb. 13.5c. Teilchen ǫ = 1 Das effektive Potential kann zwei Extrema besitzen. Wir haben m L2 mL2 1 dVeff = 2 − 2 3 + 3 4 = 2 mr2 − L2 r + 3mL2 . dr r 2r r r
(13-2.55)
Diese Ableitung verschwindet bei
r∓ =
p 1 2 L ± L L2 − 12m2 2m
(13-2.56)
2 2 2 Das effektive bei r+ = √ Potential hat also, falls L ≥ 12m = 1Lkrit 2ist, ein √ lokales Minimum 1 2 2 2 2 − 12m2 . Die Extrema des L + L L − L L − 12m und ein Maximum bei r = L − 2m 2m effektiven Potential liegen bei √ √ λ 2λ − 1 + 1 − 3λ 2m2 8m2 − L2 + L L2 − 12m2 (13-2.57) = Veff (r− ) = √ √ 3 L 2 1 − 1 − 3λ 3 L − L2 − 12m2 √ √ 2m2 8m2 − L2 − L L2 − 12m2 λ 2λ − 1 − 1 − 3λ Veff (r+ ) = (13-2.58) = . √ √ 3 L 2 1 + 1 − 3λ 3 L + L2 − 12m2
Das kritisches effektives Potential ist dasjenige, bei dem die beiden Extrema zu einem Sattelpunkt verschmelzen. Dies liegt bei L2 = L2krit = 12m2 bzw. bei λ = 31 vor, siehe Abb. 13.6. Ein weiterer Spezialfall liegt vor, wenn das Maximum des effektiven Potentials gerade Null ist, Veff (r− ) = 0. Das ist der Fall bei L = 4m2 bzw. λ = 41 . Desweiteren ersieht man aus der radialen Bewegungsgleichung (13-2.44), dass eine ungebundene Bahn, d.h. eine Fluchtbahn oder ein escape orbit, genauer der Grenzfall r → ∞, nur dann m¨oglich ist, wenn dabei die rechte Seite von (13-2.44) positiv bleibt. Da das effektive Potential (13-2.45) f¨ ur r → ∞ verschwindet, geht das nur, wenn E 2 − ǫ ≥ 0 ist. Damit erhalten wir die Interpretation Fluchtbahn (escape orbit)
⇒
E2 − ǫ ≥ 0 ⇔ µ ≥ ǫ
(13-2.59)
E2 − ǫ < 0 ⇔ µ < ǫ
⇒
gebundene Bahn .
(13-2.60)
bzw.
186
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT 0.1
0.05
10
20
30
40
50
-0.05
-0.1
Abbildung 13.6: Das effektive√Potential f¨ ur verschiedene Werte des Drehimpluses L (in Einheiten von m). Der Grenzfall (rot) ist f¨ ur L = Lkrit = 12, die Kurven dar¨ uber sind f¨ ur L = 1.1Lkrit , L = 1.2Lkrit , etc, die darunerliegenden Kurven f¨ ur L = 0.9Lkrit , L = 0.8Lkrit , etc. F¨ ur L → 0 n¨ ahert sich das effektive Potential dem Newton Potential an.
Auch f¨ ur E > 1 kann die Bahn eine gebundene Bahn sein. Das sind z.B. Bahnen, die bei r < r− in der N¨ahe der Singularit¨ at starten und dann in die Singularit¨at fallen. Das effektive Potential als Funktion von u und λ: 2m 4m2 1 1 u2 8m3 1 u3 1 − = −u + . (13-2.61) + 2 − 3 − Veff = 2 r r λ r λ 2 λ λ Der ktitische Drehimpuls entspricht λkrit = 31 . 2 Interpretieren wir 21 dr als die auf die Masse des Teilchens normierte kinetische Energie, dann ds ist E 2 = 1 + 2Ekin + 2Veff . (13-2.62) 2
D.h. den zu einer Energie geh¨ orenden Zustand eines Teilchen erh¨alt man, wenn man E 2−ǫ in das Veff –Diagramm einzeichnet. E bedeutet die auf die Masse normierte Gesamtenergie und in E 2 − ǫ wird noch die auf die Masse normierte Ruhenenergie abgezogen. Berechnen wir E 2 = 1 + 2Veff an den Extrema des effektiven Potentials, ehalten wir √ √ 4m2 8m2 − L2 ± L2 − 12m2 2 2 1 − 3λ . (13-2.63) 1 + 9λ ± (1 − 3λ) µ± = E± = 1 + = √ 3 L 27λ L ∓ L2 − 12m2
13.3
Mathematischer Einschub: Elliptische Integrale
R Gesucht ist das Integral R(z, w(z))dz, wobei R(z, w(z)) eine rationale Funktion und w(z) eine algebraische Funktion von z ist. Diese Integrale nennt man Abelsche Integrale. Wir nehmem nun an, dass w2 (z) = Pd (z), wobei Pd ein Polynom der Ordnung d in z ist. Jede in z und w rationale Funktion R(z, w) kann in der Form [4] R(z, w) = R1 (z) +
R2 (z) w(z)
(13-3.1)
geschrieben werden, wobei sowohl R1 als auch R2 wieder rationale Funktionen sind. Damit gilt Z Z Z Z Z R2 (z) g(z) 1 R(z, w)dz = R1 (z)dz + dz = R1 (z)dz + dz , (13-3.2) w(z) h(z) w(z) wobei g(z) und h(z) irgendwelche Polynome sind. Wir k¨onnen ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, dass das Polynom Pd (z) nur verschiedene Nullstellen besitzt, d.h. dass Pd (z) = Πdi=1 (z − zi ). H¨atte es z.B. eine zweifache Nullstelle, dann k¨onnte man aus diesem Faktor die Wurzel ziehen und in das h(z) absorbieren. Wir klassifizieren: • Ist d = 1, 2, dann sind die dazugeh¨origen Integrale elementar. • Ist d = 3, 4, dann nennt man die Integrale elliptisch.
187
13.4. ELLIPTISCHE FUNKTIONEN • F¨ ur d = 5, . . . nennt man die Integrale hyperelliptisch und ultraelliptisch
Im Folgenden ben¨ otigen wir nur die elliptischen Integrale. Durch sukzessive Substitutionen kann man zeigen [4], dass das allgemeinste elliptische Itegral R R(z, w(z))dz sich darstellen l¨ aßt als Linearkombination einer rationalen Funktion und drei elliptischen Normalintegralen Z Z Z Z zdz C y + y0 dz dz +B + , (13-3.3) R(z, w(z))dz = R2 (z, w(z)) + A y y 2 z − z0 y wobei y 2 = 4z 3 − g2 z − g3 .
(13-3.4)
Die fundamentalen elliptischen Integrale lauten Z x Z x dz dψ p p F (x, k) = = 2 2 2 (1 − z )(1 − k z ) 0 0 1 − k 2 sin2 ψ r Z x Z xq 1 − k2 z 2 1 − k 2 sin2 ψdψ E(x, k) = dz = 1 − z2 0 0 Z x Z x dz dψ p p Π(x, r, k) = = 2 2 2 2 2 0 (1 − rz) (1 − z )(1 − k z ) 0 (1 − r sin ψ) 1 − k 2 sin ψ
(13-3.5) (13-3.6) (13-3.7)
weobei x = sin ψ substtuiert wurde. Die dazugeh¨origen vollst¨andigen elliptischen Integrale lauten K(k) E(k)
13.4
= =
F ( π2 , k) E( π2 , k)
=
Z
π 2
0
=
Z
0
π 2
p
r
dz (1 −
z 2 )(1
− k2 z 2 )
1 − k2 z 2 dz 1 − z2
(13-3.8) (13-3.9)
Elliptische Funktionen
Es gibt mehrere Zug¨ ange bzw. Definitionen der elliptischen Funktionen: 1. Als Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale. 2. Eine analytische meromorphe doppeltperiodische Funktion mit den Perioden ω1 und ω2 mit ω2 /ω1 nicht reell (oder ω2 nicht kollinear zu ω1 ) nennt man elliptische Funktion. Wir beschreiben im wesentlichen den ersten Zugang, mit dem wir die Jacobischen und Weierstrass’schen elliptischen Funktionen einf¨ uhren. Der zwite Zugang wird im Zusammenhang mit den Weierstrass’schen elliptischen Funktionen kurz erw¨ahnt.
13.5
Die Jacobischen elliptischen Funktionen
Wir wollen nun die obere Integrationsrenze x im unvollst¨andigen elliptischen Integral der ersten Art als Funktion des Integrationswertes u Z x dψ p (13-5.1) u = F (x, k) = 0 1 − k 2 sin2 ψ darstellen. F¨ ur festes k nennet diese Umkehrung die Jacobische Amplitudenfunktion x = am(u, k) .
(13-5.2)
The Jacobi amplitude function is either a periodic function (for parameters k < 1), or a linear function with a superimposed periodicity (for k > 1) and in the limit (k = 1) it asymptotically approaches a constant value, siehe Abb. 13.7. Diese Amplitudenfunktion stellt die exakte L¨osung des mathematischen Pendels dar, wobei k eine Art normierte Amplitude ist (f¨ ur klene k ist die Amplitude klein und der am wird sehr gut durch den Sinus approximiert, f¨ ur k → 1 wird die Amplitude π).
188
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Abbildung 13.7: The Jacobi amplitude functions for parameters k < 1 to parameters k > 1.
Bilden wir von dieser Amplitdenfunktion den Sinus und Cosinus, dann erhalten wir die Jacobischen elliptischen Funktionen sn (sinus amplitudines) und cn (cosinus amplitudines). Dar¨ uberhinaus definieren wir auch noch die elliptische Funktion dn sn(u, k)
=
cn(u, k)
=
dn(u, k)
sin x = sin(am(u, k))
(13-5.3)
cos x = cos(am(u, k)) q p 2 2 = 1 − k sin x = 1 − k 2 sin2 (am(u, k)) ,
(13-5.4) (13-5.5)
These functions are generalizations of the trigonometric functions sin and cos: sn(u, 0) = sin u ,
cn(u, 0) = cos u ,
dn(u, 0) = 1 .
(13-5.6)
It can be shown that the Jacobi elliptic functions obey the differential equations dsnu = cnu dnu , du
dcnu = −snu dnu , du
ddnu = −k 2 snu cnu . du
(13-5.7)
There are more relations of the structure generalizing the relations of the trigonometric functions, e.g., sn2 u + cn2 u = 1 ,
k 2 sn2 u + dn2 u = 1 ,
k 2 cn2 u + 1 − k 2 = dn2 u ,
etc.
(13-5.8)
One property of the Jacobi elliptic functions is very important: They are periodic: sn(u+2nπK, k) = (−1)n sn(u, k) ,
cn(u+2nπK, k) = (−1)n cn(u, k) ,
dn(u+2nπK, k) = dn(u, k) , (13-5.9) where K = K(k) is the complete elliptic integral of the first kind. Plots of the Jacobi elliptic functions for various parameters k, ranging from k = 0 (cyan), which reduces to the trigonometric functions sin and cos) in steps of 0.1 to the extreme case k = 1 (red) are given in Fig. 13.8
13.6
Mathematischer Einschub: Weierstrass’sche elliptische Funktionen
Die Integration der Differentialgleichung (13-2.39a) lautet Z x dx p , ψ − ψ0 = 3−g x−g 4x x0 2 3
(13-6.1)
wobei wir der Einfachheit halber ψ = ϕ/2 setzten. Hier ist nun x eine Funktion von ψ: x = x(ψ), die Integration verl¨ auft entlang eines Weges von x(ψ0 ) nach x(ψ). Hierbei ist zu beachten, dass der Nenner drei oder eine reelle Nullstellen besitzt.
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN189
-15
-10
1
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
-5 -0.25
5
10
15
-15
-5 -0.25
-10
-0.5
-0.5
-0.75
-0.75
-1
-1
(a) sn(x)
5
10
15
(b) cn(x)
1 0.75 0.5 0.25 -15
-10
-5 -0.25
5
10
15
-0.5 -0.75 -1 (c) dn(x)
Abbildung 13.8: Die Jacobische elliptischen Fnktionen (a) sn, (b) cn und (c) dn f¨ ur die Parameter k = 0 bis k = 1 in Schritten von 0.1. One clearly recognizes the periodicity of the functions which depends on the parameter k. For k = 1 the periodicity disappears.
13.6.1
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Wichtig sind die Nullstellen des zur Differentialgleichung geh¨orenden Polynoms 0 = 4z 3 − g2 z − g3 ,
(13-6.2)
wobei g2 , g3 ∈ R, mit deren Hilfe man die L¨osung der kubischen Gleichung darstellen kann. Diese Nullstellen sind √ i 3 1 (u1 − u2 ) (13-6.3) z1 = u 1 + u 2 , z2,3 = − (u1 + u2 ) ± 2 2 wobei s s r r 3 g3 g3 2 g2 3 ∆ 3 g3 u1 = − = + + − 3 (13-6.4) 8 8 12 8 12 s s r r 3 g3 g3 2 g2 3 ∆ 3 g3 u2 = (13-6.5) − − = − − 3, 8 8 12 8 12 wobei wir die Diskriminante ∆ = g23 − 27g32
(13-6.6)
einf¨ uhrten. Wenn der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ ist, d.h. wenn die Diskriminante positiv wird, dann liegen 3 reelle Wurzeln vor. Ist die Diskriminante negativ, dann haben wir eine reelle und zwei komplexe L¨ osungen. Drei reelle Nullstellen Ist die Diskriminante positiv, dann liegt der sogenante casus irreducibilis vor, bei dem drei reelle L¨osungen existieren. Diese sind gegeben durch √ √ √ y2 = 2 3 ρ cos 13 ϕ + 32 π , y3 = 2 3 ρ cos 31 ϕ + 43 π , (13-6.7) y1 = 2 3 ρ cos 13 ϕ ,
190
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
wobei ρ=
r
1 2 g3 cos ϕ = q . 3
g23 , 27
(13-6.8)
g2 27
Mit den Nullstellen e1 , e2 und e3 , wobei wir o.E.d.A. e3 ≤ e2 ≤ e3 vereinbaren, stellen wir nun das Polynom dar 4z 3 − g2 z − g3 = 4(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) . (13-6.9) Der Vergleich ergibt e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 = −
e1 + e2 + e3 = 0 ,
g2 , 4
e1 e2 e3 =
g3 . 4
(13-6.10)
Die beiden letzten Relationen k¨ onnen umgeschrieben werden g2 = 2(e21 + e22 + e23 ) ,
g3 =
4 3 (e + e32 + e33 ) . 3 1
(13-6.11)
Damit sind f¨ ur reelle Nullstellen g2 > 0 und g3 > 0. Außerdem gilt ∆ = g23 − 27g32 = 16(e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 (e1 − e2 )2 ,
(13-6.12)
so dass f¨ ur reelle Nullstellen ∆ > 0 ist. Eine reelle Nullstellen F¨ ur negative Diskriminante ∆ < 0 gibt es nur eine relle Nullstelle, die beiden anderen sind komplex, und zwar komplex konjugiert zueinander. Wir nennen die reelle Nullstelle e2 , dann sind e1,3 = α±iβ, α, β ∈ R. Aus 4z 3 − g2 z − g3 = 4(z − α − iβ)(z − e2 )(z − α + iβ) (13-6.13) erhalten wir wieder durch Vergleich −
0 = 2α + e2 ,
13.6.2
g3 = α2 + β 2 e2 4
g2 = α2 + β 2 + 2αe2 , 4
Die Periodizit¨ at
(13-6.14)
An diesen Nullstellen ist der Integrand singul¨ar. Bei der Integration von x0 nach x m¨ ussen diese Singularit¨ aten umgangen werden indem man die Variablen komplex w¨ahlt. Dann tritt eine weitere Komplikation ein: Die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist mehrdeutig7 . Der anzulegende Verzweigungsschnitt l¨ auft in Intervallen entlang der reellen Achse, in denen der Radikand negativ ist. In unserem Fall sind dies die Intervalle (−∞, e3 ] und [e2 , e1 ], siehe Abb. 13.9. Drei reelle Nullstellen Wenn wir nun (13-6.1) integrieren, h¨angt der Wert des Integrals davon ab, wie diese Pole bzw. Verzweigngsschnitte umgangen werden. Dabei darf der Integrationsweg nicht u ¨ber einen Verzweigungsschnitt gehen. Sei also x0 und x Anfangs– und Endpunkt der Integration und C1 und C2 zwei Wege von x0 nach x. Dann ist Z z Z z du du p p und ψ2 = . (13-6.15) ψ1 = 3 3 4u − g2 u − g3 4u − g2 u − g3 z0 ,C2 z0 ,C1 √ ur z ∈ R, z > 0 stetig fort, wenn man z ∈ C w¨ ahlt, dann ist f¨ ur z = ρeiθ , ρ > 0 die man die Werte f¨ √ z√ Wurzel gegeben durch z = ρeiθ/2 . F¨ ur θ → 2π und θ → −2π gibt es entlang der negativen reellen Achse einen Sprung. Daher muss man entlang dieser Linie einen Verzweigungsschnitt anlegen. 7 Setzt
Imz
!!! Re z
Rez
!!! Im z
1.5 1 0.5 0 -2
2 1
!!! Abs z
1.5 1 0.5 1 0 0 Im z -2
1 0 -1
2
0 Im z -2 -1
-1 0 Re z
Re z 2 -2
0 Im z -1
0
-1 1
2 1
0
-1 Re z
1 2 -2
-1 1 2 -2
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN191
∆>0
Imz
e3
e2 e1
Rez
Abbildung 13.9: Der Verlauf p des Real- und Imagin¨ arteils und des Absolutwertes der Funktion p 4(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) und 1/ 4(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) f¨ ur e1 = 0.8, e2 = 0.2 und e3 = −1. Links sind die Verzweigungsschnitte aufgetragen.
Daraus folgt zun¨ achst ψ2 − ψ1 =
I
p
dz 4z 3
− g2 z − g3
,
(13-6.16)
siehe z.B. Abb.13.10. F¨ ur die Kurven C1 und C2 bzw. C2 erhalten wir 2ω2 :=
I
C1 ∩C2
und es gilt
p
dz
und
4z 3 − g2 z − g3
2ω1 :=
I
C1 ∩C2
ψ1 = ψ2 − 2ω2
p
dz 4z 3 − g2 z − g3
ψ1 = ψ2 − 2ω1 .
bzw.
(13-6.17)
(13-6.18)
Damit haben wir Z
x
C1
p
dz 4z 3
− g2 z − g3
= ψ1
Z
und
x
C2
p
dz 4z 3
− g2 z − g3
= ψ1 + 2ω2 .
(13-6.19)
Da x unabh¨ angig vom Weg derselbe Punkt im C sein soll, muss gelten x = ℘(ψ1 ) = ℘(ψ1 + 2ω2 )
bzw.
x = ℘(ψ1 ) = ℘(ψ1 + 2ω1 ) .
(13-6.20)
Damit muss ψ eine periodische Funktion mit den Periode 2ω1 und 2ω2 sein. Imz C1
z0
x C2
C2 e3
e2
e1
Rez
Abbildung 13.10: Die Integration von x0 = 0 nach x entlang verschiedener Wege. Dabei m¨ ussen einerseits die Pole e1 , p wie auch sichergestellt sein, dass die Wege immer auf e2 und e3 der Funktion 1/ 4z 3 − g2 z − g3 umfahren werden, p demselben Blatt der mehrwertigen komplexen Funktion 1/ 4z 3 − g2 z − g3 verlaufen (gestrichelte Linien verlaufen auf einem anderen Blatt als durchgezogene Linien).
192
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT Man kann nun zeigen mit z = z1 + iz2 mit z1 = ℜz und z2 = ℑz. I I dz dz p q = 3 4z − g2 z − g3 4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 + i 3z12 − z22 − 41 g2 z2 q I 4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 − i 3z12 − z22 − 41 g2 z2 q = 2 dz 2 (4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 ) + 3z12 − z22 − 41 g2 z2 r p (3z2 −z22 − 41 g2 )z2 3 2 I 4z1 − g2 z1 − g3 − 12z2 z2 1 − i 4z3 −g12 z1 −g 2 3 −12z2 z2 1 q dz = 2(13-6.21) 2 (4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 ) + 3z12 − z22 − 41 g2 z2
Wir k¨onnen den Weg um den Verzweigungsschnitt [e2 , e1 ] so deformieren, dass z2 ≪ 1. Dann k¨onnen wir entwickeln p I I 4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 dz p q = 2 × 2 4z 3 − g2 z − g3 (4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 ) + 3z12 − z22 − 41 g2 z2 ! 3z12 − z22 − 41 g2 z2 i × 1− dz . (13-6.22) 2 4z13 − g2 z1 − g3 − 12z2 z22 Dabei ist der Realteil eine gerade Funktion in z2 und der Imagin¨arteil eine ungerade Funktion. Mit I
=
Z
dz1 +
Z
e1 −iz20
dz1 + lim
Z
e2 −iz20
e1 +iz20
e2 +iz20
erhalten wir im Limes z2 → 0 lim
z2 →0
I
= lim
z2 →0
Z
e1 +iz20
e2 +iz20
z2 →0
e1 +iz20
dz2 +
e1 −iz20
Z
e2 −iz20
dz1 +
e1 −iz20
dz1 = 2 lim
z2 →0
Z
Z
e2 +iz20
e2 −iz20
e1 +iz20
e2 +iz20
dz1 = 2
dz2
Z
(13-6.23)
e1
dz1 ,
(13-6.24)
e2
wobei der letzte Schritt m¨ oglich war, weil der Integrand eine ungerade Funktion in z2 ist. Somit ist die halbe Periode gegeben durch Z e1 dz p . (13-6.25) ω2 = 3 4z − g2 z − g3 e2 Analog kann man zeigen
ω1 =
Z
e2
e3
p
dz 4z 3
− g2 z − g3
.
(13-6.26)
Damit ist die Funktion ℘(z) periodisch mit den beiden Perioden ω1 und ω2 . Wir schließen dabei den Fall aus, dass ω2 kollinear zu ω1 ist, d.h. dass ω2 /ω2 reell ist. Damit kann man ein Periodenparallelogramm aufzeichnen, siehe Abb.13.11, mit der Eigenschaft, dass die Funktion ℘(z) in jedem Parallelogramm dieselben Werte annimmt. Durch eine affine Transformation kann man die reelle und imagin¨ are Achse im C so w¨ ahlen, dass die eine Periode reell und die zweite rein imagin¨ar wird, siehe Abb.13.13.
13.6.3
Eine reelle Nullstelle
Bei einer reellen Nullstelle sind zwei Nullstellen jeweils komplex konjugiert zueinander. Dann kann man die Verzweigungsschnitte z.B. so legen, wie in Abb. 13.12 angegeben. Hier gilt nun f¨ ur die Halbperioden K − iK ′ ω1 = p , 2 9α2 + β 2
K + iK ′ ω2 = p . 4 9α2 + β 2
(13-6.27)
...... Beweis ..... ¨ Uber die Periodizit¨ atseigenschaften kann man auch zeigen, dass ℘ eine gerade Funktion ist, ℘(−z) = ℘(z). Beweis ....
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN193 ℑz
ω2
ω1 ℜz
Abbildung 13.11: Eine elliptische Funktion nimmt in jedem Parallelogramm dieselben Werte an. Das durch ω1 und ω2 , ω1 6∼ ω2 definierte Periodenparallelogramm ist rot gekennzeichnet.
∆ 0, rechts f¨ ur ∆ < 0. Das fundamentale Rechteck ist blau umrandet und grau schattiert eigezeichnet. Kennt man ℘ im fundamentalen Rechtek, kennt man sie u ¨berall.
Funktion h anzusetzen. Die Periodizit¨at f (z + mω1 + nω2 ) = f (z) erzwingt dann einen Ansatz X 1 1 1 ℘(z) = 2 + , (13-6.28) − z (z − 2mω1 − 2nω2 )2 (2mω1 + 2nω2 )2 m,n∈Z m,n6=0
wobei u ¨ber alle m und n summiert wird, außer u ¨ber m = n = 0. Dies ist die doppelt–periodische Weierstrass’sche elliptische Funktion ℘. Die Gr¨oßen 2ω1 und 2ω2 sind die Perioden dieser elliptischen Funktion ∀ω1 , ω2 ∈ C
℘(z + 2mω1 + 2nω2 ) = ℘(z)
mit
Im
ω1 6= 0 . ω2
(13-6.29)
Letzteres bedeutet, dass ω1 und ω2 nicht kollinear sein d¨ urfen, d.h., dass diese beiden komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene eine Fl¨ache aufspannen. ℘ ist offensichtlich eine gerade Funktion ℘(−z) = ℘(z) . Außerdem ist ℘′ (z) =
(13-6.30)
X d℘(z) 2 1 =− 3 −2 . dz z (z − 2mω1 − 2nω2 )3 m,n
(13-6.31)
Die Ableitung ist offenbar ungerade ℘′ (−z) = −℘′ (z) .
(13-6.32)
Damit kann man zeigen
d℘(z) dz
2
wobei g2 = 60
X = 4
m,n∈Z m,n6=0
X
m,n∈Z m,n6=0
1 (z − 2mω2 − 2nω2
1 , (mω1 + nω2 )4
2
= 4℘3 (z) − g2 ℘(z) − g3
)3
g2 = 140
X
m,n∈Z m,n6=0
1 . (mω1 + nω2 )6
(13-6.33)
(13-6.34)
Man kann sofort sehen, dass g2 g3 ℘(z; g2 , g3 ) = λ2 ℘ λ2 z; 4 , 6 . λ λ
(13-6.35)
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN195
13.6.5
Allgemeine Eigenschaften
Ein Additionstheorem 1 ℘(α + β) = 4
℘′ (α) − ℘′ (β) ℘(α) − ℘(β)
2
− ℘(α) − ℘(β) .
(13-6.36)
Die besondere Bedeutung der Weierstrass’schen elliptischen Funktion ℘ ersieht man daraus, dass es jede elliptische Funktion f durch ℘ und rationalen Funktionen R1 und R2 dargestellt werden kann: f (z) = R1 (℘(z)) + ℘′ (z)R2 (℘(z)) .
(13-6.37)
Diese rationalen Funktionen k¨ onnen durch die sp¨ater einzuf¨ uhrenden σ– und ζ–Funktionen dargestellt werden.
13.6.6
℘ an den Nullstellen
Es gilt ℘(ω1 ) = e1 , Wegen
folgt
d℘(z) dz
2
℘(ω1 + ω2 ) = e2 ,
℘(ω2 ) = e3
(13-6.38)
= 4 (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e2 ) (℘(z) − e3 ) ,
(13-6.39)
d℘(z) = 0, dz e1
d℘(z) = 0, dz e2
d℘(z) = 0. dz e3
(13-6.40)
Differenzieren wir die Differentialgleichung f¨ ur ℘(x) noch einmal, erhalten wir ℘′′ (z) = 6℘2 (z) − 12 g2 = 2 ((℘(z) − e2 ) (℘(z) − e3 ) + (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e3 ) + (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e2 )) . (13-6.41) Daraus folgt insbesondere d2 ℘(z) = dz 2 e1 d2 ℘(z) = dz 2 e2 d2 ℘(z) = dz 2 e3
13.6.7
2 (℘(z) − e2 ) (℘(z) − e3 )|e1 = 2 (e1 − e2 ) (e1 − e3 ) > 0
(13-6.42)
2 (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e3 )|e1 = 2 (e2 − e1 ) (e2 − e3 ) < 0
(13-6.43)
2 (℘(z) − e1 ) (℘(z) − e2 )|e1 = 2 (e3 − e1 ) (e3 − e2 ) > 0 .
(13-6.44)
Reelle Anteile von ℘(z)
F¨ ur den Fall, dass ω1 reell und ω2 rein imagin¨ar ist, ω1 = α, ω2 = iβ mit α, β ∈ ℘(z) = ℘(z), d.h. ℘(x + iy) = ℘(x − iy)
, dann gilt (13-6.45)
f¨ ur reelle x und y. Das sieht man sofort aus der Definition von ℘ verm¨oge der Summenformel. Als Spezialfall ergibt sich, dass auch ℘(x) reell ist, denn f¨ ur y = 0 reduziert sich (13-6.45) genau auf diese Aussage. Als weiterer Spezialfall ergibt sich , dass ℘(x) und ℘(iy) reell sind. Denn wegen (13-6.45) ist ℘(iy) = ℘(−iy) w¨ ahrend aus der Geradheit von ℘ folgt ℘(−iy) = ℘(iy). Zusammen heisst dies ℘(iy) = ℘(iy) d.h. ℘(iy) ∈ R . (13-6.46) Desweiteren erhalten wir ℘(α + iy) = ℘(α − iy), w¨ahrend aufgrund der Geradheit und Periodizit¨at von ℘ auch gilt ℘(α + iy) = ℘(−α − iy) = ℘(−α − iy + 2α) = ℘(α − iy). Deswegen ist ℘(α + iy) = ℘(α + iy) d.h. ℘(α + iy) ∈
.
(13-6.47)
Schließlich gilt noch wegen der Periodizi¨at ℘(x + iβ) = ℘(x − iβ) = ℘(x − iβ + 2iβ) = ℘(x + iβ), d.h. ℘(x + iβ) = ℘(x + iβ) d.h. ℘(x + iβ) ∈ . (13-6.48)
196
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
℘(x)
ω1 –periodisch
e1 ℘(ix + ω1 ) ω2 –periodisch e2 e3
℘(x + ω2 )
x ω1 –periodisch
℘(ix)
ω2 –periodisch
Abbildung 13.14: Die vier reellen Anteile der Weierstrass’schen ℘–Funktion. Schwarz: ℘(x) mit Wertebereich [e1 , ∞). Gr¨ un: ℘(x + ω2 ). Blau: ℘(ix) mit Wertebereich (−∞, e3 ]. Rot ℘(ix + ω1 ) mit Wertebereich [e3 , e2 ]. Die Werte e3 < e2 < e1 sind als gestrichelte Linien eingezeichnet. ℘(x) und ℘(x + ω2 ) besitzen die Periode ω1 , ℘(ix) und ℘(ix + ω1 ) besitzen die Periode iω2 .
Damit sind bei reellem ω1 und rein imagin¨arem ω2 die Funktionen ℘(x), ℘(x + ω2 ), ℘(ix + ω1 ) und ℘(ix) rein reell. Sie sind in Abb. 13.14 aufgezeichnet. Bei Anwendungen werden die Wertebereiche der ℘–Funktion und deren Ableger wichtig. Ist z.B. ℘(x) eine reelle L¨ osung der Differentialgleichung (13-6.33) bzw. (13-6.39), dann ist auch ℘(x + iβ) eine L¨osung, denn d℘(x + iβ) d℘(x + iβ) = . (13-6.49) d(x + iβ) dx
13.6.8
Darstellungen der Weierstrass’schen Funktion
Positive Diskriminante F¨ ur positive Diskriminante ∆ > 0 liegen drei reelle Wurzeln e1 , e2 und e3 vor, die wir so bezeichnen, dass e1 > e2 > e3 ist. In diesem Falle ist dann Z u dz p e1 , e2 , e3 ∈ R , (13-6.50) ϕ= 4(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 )
wobei u = ℘(ϕ). Wir k¨ onnen nun das Integral auf eines der elliptischen Integrale zur¨ uckf¨ uhren. Dazu substituieren wir e1 − e3 z = e3 + (13-6.51) x2 Damit erhalten wir Z x 3 dx −2 e1x−e 3 q ϕ = e1 −e3 e1 −e3 3 2 e3 + x2 − e1 e3 + x2 − e2 e3 + e1x−e − e3 2 Z x 1 dx p = −√ 2 e1 − e3 (1 − x ) (1 − k 2 x2 ) Z arcsin x 1 dψ p , (13-6.52) = −√ e1 − e3 1 − k 2 sin2 ψ mit k 2 =
e2 −e3 e1 −e3 .
Dies stellt ein elliptisches Integral mit dem Modulus k dar: 1 F (arcsin x, k) ϕ = −√ e1 − e3
mit der Umkehrfunktion x = sn Damit haben wir mit (13-6.50) und (13-6.51)
√ e1 − e3 ϕ .
u = ℘(ϕ) = e3 +
e1 − e3 √ . sn2 ( e1 − e3 ϕ)
(13-6.53)
(13-6.54)
(13-6.55)
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN197 Mittels Identit¨ aeten ziwschen den verschiedene Jacobischen elliptischen Funktionen sn, cn und dn erhalten wir die folgen Darstellungen 1 √ sn2 ( e1 − e3 z, k) √ dn2 ( e1 − e3 z, k) = e2 + (e1 − e3 ) 2 √ sn ( e1 − e3 z, k) √ cn2 ( e1 − e3 z, k) = e1 + (e1 − e3 ) 2 √ sn ( e1 − e3 z, k)
℘(z) = e3 + (e1 − e3 )
(13-6.56) (13-6.57) (13-6.58)
q 3 wobei k = ee21 −e ur reelle z periodisch. Der sn ist eine Verallgemeinerung −e3 . Diese Funktionen sind f¨ der sinus–Funktion, die beim Argument 0 verschwindet. Die halben Perioden ergeben sich zu Z ∞ Z e2 dz K dz p p ω1 = = =√ (13-6.59) e1 − e3 4z 3 − g2 z − g3 4z 3 − g2 z − g3 e1 e3 Z e1 Z e3 dz dz K′ p p =i = i√ ω2 = i . (13-6.60) e1 − e3 −4z 3 + g2 z + g3 −4z 3 + g2 z + g3 e2 −∞
Als Funktion einer reellen Variablen wird sn periodisch Null, d.h. ℘ wird periodisch unendlich, so dass ℘ nur zwischen diesen Unendlichkeitsstellen definiert ist. Der Definitionsbereich ist also (0, 2π/ω1 ). Wir sahen, dass mit ℘(x) auch ℘(x + ω2 ) L¨osung der Differentialgleichung ist. Wir k¨onnen berechnen 2 1 ℘′ (x) − ℘′ (ω2 ) (13−6.36) ℘(x + ω2 ) = −℘(x) − ℘(ω2 ) + 4 ℘(x) − ℘(ω2 ) (13−6.38,13−6.40)
=
(13−6.39)
2
−℘(x) − e3 +
=
−℘(x) − e3 +
=
−℘(x) − e3 +
1 (℘′ (x)) 4 (℘(x) − e3 )2
1 4 (℘(x) − e1 ) (℘(x) − e2 ) (℘(x) − e3 ) 2 4 (℘(x) − e3 ) (℘(x) − e1 ) (℘(x) − e2 ) ℘(x) − e3
F¨ ur die obige Entwicklung (13-6.56) erhalten wir e3 + e1 − e3 ℘(x + ω2 ) = −e3 − 2 √ − e3 + sn ( e1 − e3 z, k)
e1 −e3 √ sn2 ( e1 −e3 z,k)
− e1
(13-6.61)
e3 +
e1 −e3 √ sn2 ( e1 −e3 z,k)
− e2
e1 −e3 √ − e3 sn2 ( e1 −e3 z,k) √ e1 − e3 e1 − e3 2 = −2e3 − 2 √ + 1 − sn ( e1 − e3 z, k) e3 − e2 + 2 √ sn ( e1 − e3 z, k) sn ( e1 − e3 z, k) √ 2 = −e1 − e2 − (e3 − e2 )sn ( e1 − e3 z, k) √ (13-6.62) = e3 + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 z, k)
e3 +
Gleichermaßen k¨ onnen wir ℘(x + ω2 ) auch mittels der Darstellung (13-6.58) berechnen √ cn2 ( e1 − e3 z, k) − e3 ℘(x + ω2 ) = − e1 + (e1 − e3 ) 2 √ sn ( e1 − e3 z, k) 2 √ 2 √ ( e1 −e3 z,k) ( e1 −e3 z,k) √ √ − e1 e1 + (e1 − e3 ) cn − e2 e1 + (e1 − e3 ) cn sn2 ( e1 −e3 z,k) sn2 ( e1 −e3 z,k) √ + 2 ( e −e z,k) 3 √ 1 e1 + (e1 − e3 ) cn − e3 sn2 ( e1 −e3 z,k) √ √ cn2 ( e1 −e3 z,k) cn2 ( e1 −e3 z,k) √ √ √ e − e + (e − e ) 2 1 2 1 3 2 2 cn ( e1 − e3 z, k) sn ( e1 −e3 z,k) sn ( e1 −e3 z,k) √ = −e1 − (e1 − e3 ) 2 √ − e3 + cn2 ( e1 −e3 z,k) sn ( e1 − e3 z, k) √ 1 + sn2 ( e1 −e3 z,k) √ 2 = −e1 − e3 + (e3 − e2 ) cn ( e1 − e3 z, k) √ = e2 − (e2 − e3 ) cn2 ( e1 − e3 z, k) , (13-6.63) was wegen sn2 + cn2 = 1 a ¨quivalent zu Obigem ist.
198
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT Eine n¨ utzliche Reihenentwicklung der Weierstrass’schen Funktion lautet ∞ π 2 X 1 nπz q 2n η π 2 cos + n , − 2 2 πz ω 2ω sin 2ω ω n=1 1 − q 2n ω
℘(z) = − wobei
−πω2 /ω1
q=e
∞ X π2 q 2n − 2π 2 12 (1 + q 2n )2 n=1
1 η= ω
,
!
(13-6.64)
(13-6.65)
Negative Diskriminante F¨ ur negative Diskriminante ∆ < 0 gibt es nur eine reelle L¨osung, die wir mit e2 benennen, die anderen beiden L¨ osungen e1 und e3 sind komplex konjugiert: e1 = α + iβ, e3 = α − iβ (aus der ersten Relation (13-6.10) folgt ℑ(e3 ) = −ℑ(e1 ) und aus der zweiten Relation in (13-6.10) erhalten wir ℜ(e3 ) = ℜ(e1 )). Außerdem gilt wegen (13-6.10) e2 = −2α. Dann erhalten wir Z u dz p ϕ = 4(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) Z u dz p = 4z 3 − 4(e1 + e2 + e3 )z 2 + 4(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 )z − 4e1 e2 e3 Z u dz p = . (13-6.66) 3 2 4z + 4(−3α + β 2 )z + 8α(α2 + β 2 ) Wir substituieren
z = e2 + B und erhalten Z u ϕ= =
Z
u
1+x , 1−x
dz =
2B dx (1 − x)2
(13-6.67)
2Bdx r 3 1+x 1+x (1 − x)2 4 −2α + B 1−x + 4(−3α2 + β 2 ) −2α + B 1−x + 8α(α2 + β 2 ) r − 6α + B +
W¨ahlen wir B = ϕ
9α2 +β B
2
x4 + 2
9α2 +β 2 B
2Bdx
− B x3 + 12αx2 − 2
9α2 +β 2 B
− B x + B − 6α + (13-6.68)
p
9α2 + β 2 , fallen die ungeraden Potenzen von x heraus Z u dx r = 2B 2 2 − 6α + B + 9α B+β x4 + 12αx2 + B − 6α + Z u dx p . = 2B 4 − (6α + 2B) x + 12αx2 + 2B − 6α
Dies soll verglichen werden mit Z u Z dx q ϕ=− =− (1 − x2 )(k ′ 2 + k 2 x2 ) 2
u
q
9α2 +β 2 B
dx k ′ 2 + (k 2 − k ′ 2 )x2 − k 2 x4
(13-6.69)
,
(13-6.70)
wobei k 2 < 1 und k 2 + k ′ = 1. Wegen 6α + 2B + 2B − 6α = 4B klammern wir aus der Wurzel noch ein 4B aus Z u 2B dx q . (13-6.71) ϕ = √ 6α+2B 4 4B 2 + 2B−6α x − 4B x + 12α 4B 4B
Wenn wir identifizieren k2 =
6α + 2B 1 1 3α 3e2 = − p , = + p 4B 2 2 9α2 + β 2 2 4 9α2 + β 2
2
k′ =
2B − 6α 1 3α , = − p 4B 2 2 9α2 + β 2 (13-6.72)
. 9α2 +β 2 B
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN199 dann besitzt dieses Integral die gew¨ unschte Struktur (13-6.70) Z u dx ϕ p q = − 4 9α2 + β 2 (1 − x2 )(k ′ 2 + k 2 x2 )
Daraus folgt
p 4
u = cn
ϕ 9α2 + β 2
,k
!
Somit lautet im Falle einer reellen Nullstelle die Darstellung von ℘ −1/4 1 + cn 9α2 + β 2 ϕ, k p , ℘(ϕ) = e2 + 9α2 + β 3 −1/4 1 − cn (9α2 + β 2 ) ϕ, k
wobei k durch
k=
s
gegeben ist.
3e2 1 −p 2 9α2 + β 2
(13-6.73)
(13-6.74)
(13-6.75)
(13-6.76)
Verschwindende Diskriminante Im Falle verschwindender Diskriminante ∆ = 0 sind alle Wurzeln e1 , e2 und e3 reell. Weegen (13-6.12) ist dann e1 = e2 oder e2 = e3 oder im Spezialfall e1 = e2 = e3 : • Falls e1 = e2 6= e3 , dann ist k = 1. In diesem Fall wird sn(z, k = 1) = tanh z. Setzen wir e1 = a > 0, dann ist e3 = −2a und wir erhalten aus (13-6.56) ! 2 √ 2 1 2 √ = 3a coth − , (13-6.77) − ℘(z) = 3a 3az 3 3 tanh2 3az
was f¨ ur reelle z nicht periodisch ist. Dies ergibt sich auch aus ω1 = ∞. F¨ ur den anderen Zweig ℘(x + ω2 ) erhalten wir mit (13-6.62) √ 2 √ , (13-6.78) ℘(x + iω2 ) = e3 + (e2 − e3 )sn2 e2 − e3 x, k = 3a tanh2 3ax − 3 wobei
ω2 = i
Z
e3 −∞
dx π √ =− √ . 2(x − a) x + 2a 2 3a
(13-6.79)
Dieses Ergebnis erhalten wir auch u ¨ber Z ℘(t) Z ℘(t) dx dx p p t = = 3 4(x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ) 4x − g2 x − g3 r Z ℘(t) Z ℘(t) 2a + ℘(t) dx dx 1 p p = , = = − √ arctanh 2 3a 3a 4(x − a) (x + 2a) 2(x − a) (x + 2a) (13-6.80) woraus
℘(t) = 3a tanh2
√
3at − 2a
(13-6.81)
folgt. Daraus erhalten wir auch √ √ π π 2 2 2 2 ℘(t + iω2 ) = 3a tanh 3a t − i √ 3at − i − = 3a tanh − 3 2 3 2 3a √ 2 π − , (13-6.82) = 3a coth2 3at − i 2 3
wobei wir benutzten tanh(x − i π2 ) = coth x, was man leicht aus der Definition der Hyperbelfunktionen ersieht.
200
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT • Falls e1 6= e2 = e3 , w¨ ahlen wir e2 = −a, a > 0. Dann ist e1 = 2a und es ergibt sich auch 3g3 = a. Wegen k = 0 ist sn(x, k = 0) = sin x. Damit reduziert sich (13-6.56) auf g2 ℘(x) = 3a
sin2
1 1 √ − 3 3ax
!
,
(13-6.83)
was wieder periodisch ist mit der Periode Z ∞ dx π √ 2ω1 = 2 =√ . 3a 2a 2(x + a) x − 2a
(13-6.84)
Da hier ω2 = ∞, gibt es hier keinen anderen Zweig. Auch in diesem Fall erhalten wir dies wieder u ¨ber Z x dx′ p t = 4(x′ − 2a)(x′ + a)2 r Z x ℘(t) − 2a 1 dx′ √ √ =− = arctan . 3a 2(x′ + a) x′ − 2a 3a
(13-6.85)
Aufl¨ osen nach ℘(x) ergibt √ 3ax + 2a = 3a ℘(x) = 3a tan 2
! 3ax 1 √ +1− = 3a 3 3ax
√
sin2 cos2
cos2
1 √
! 1 − 3 3ax (13-6.86)
• Falls noch g2 = g3 = 0, dann muss sein e1 = e2 = e3 = 0 und wir erhalten die nichtperiodische Funktion 1 (13-6.87) ℘(z) = 2 . z Auch hier k¨ onnen wir dieses Ergebnis aus t=
Z
℘(t)
dx 1 √ = 3 2 4x
Z
℘(t)
3
1
x− 2 dx′ = −℘− 2 (t) ,
(13-6.88)
herleiten, woraus (13-6.87) folgt. Es ist auch |ω1 | = |ω2 | = ∞.
13.6.9
Die ϑ–Funktion
Wir definieren nun die sogenannten ϑ–Funktionen, die deswegen besonders wichtig sind, weil sich alle Jacobischen elliptischen Funktionen als Verh¨altnis zweier θ–Funktionen darstellen lassen. Die vier ϑ–Funktionen sind definiert durch ϑ1 (z, q) ϑ2 (z, q) ϑ3 (z, q) ϑ4 (z, q)
= = = =
1
2q 4 1
2q 4
∞ X
n=0 ∞ X
(−1)n q n(n+1) sin((2n + 1)z)
(13-6.89)
q n(n+1) cos((2n + 1)z)
(13-6.90)
n=0 ∞ X
1+2
1+2
n=0 ∞ X
2
q n cos(2nz) 2
(−1)n q n sin((2n + 1)z)
(13-6.91) (13-6.92)
n=0
wobei
der sogenannte Nome ist.
K′ q = exp −π K
(13-6.93)
13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS’SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN201
13.6.10
Die ζ–Funktion
Die Funktion ζ wird definiert durch ζ(u) =
1 − u
Z
u
℘(z) −
1 z2
dz .
(13-6.94)
Es ist offensichtlich, dass damit ¨ aquivalenterweise auch 1 d =0 ζ(u) = −℘(u) , lim ζ(u) − u→0 du u
(13-6.95)
ist. Die ζ–Funktion ist im Wesentlichen die Stammfunktion der Weierstrass’schen ℘–Funktion. Aus der Integration der Summendarstellung von ℘ erhalten wir Z u X 1 1 1 1 1 + ζ(u) = − 2 dz − − u z2 (z − 2mω1 − 2nω2 )2 (2mω1 + 2nω2 )2 z m,n∈Z Z u X Z u 1 1 1 − dz − dz = u (z − 2mω1 − 2nω2 )2 (2mω1 + 2nω2 )2 m,n∈Z m,n6=0
=
X 1 + u
m,n∈Z m,n6=0
1 u 1 + + 2 u − 2mω1 − 2nω2 2mω1 + 2nω2 (2mω1 + 2nω2 )
!
.
(13-6.96)
Die Funktion ζ ist damit meromorph mit einfachen Polen bei 2mω1 +2nω2 . Außerdem ist ζ ungerade, ζ(−u) = −ζ(u). Die ζ–Funktion ist keine elliptische Funktion, da sie nicht doppelt periodisch ist. Man kann jedoch eine “quasi–Periodizit¨ at” zeigen. Daf¨ ur geht man aus von (13-6.94) und erhalten 0 = ℘(u + 2ω1 ) − ℘(u) = −
d d d ζ(u − 2ω1 ) + ζ(u) = − (ζ(u − 2ω1 ) − ζ(u)) . du du du
(13-6.97)
Damit ist ζ(u − 2ω1 ) − ζ(u) =: η1 eine Konstante. Desgleichen ergibt sich ζ(u − 2ω2 ) − ζ(u) =: η2 . Setzen wir im ersten Fall u = ω1 und im zweiten Fall u = ω2 erhalten wir mit der Antisymmetrie der ζ–Funktion η1 = 2ζ(ω1 ) , η2 = 2ζ(ω2 ) . (13-6.98) Allgemein gilt ζ(u + 2n1 ω1 + 2n2 ω2 ) = ζ(u) + n1 η1 + n2 η2 .
(13-6.99)
Aus Eigenschaften der Addition der Argumente ζ(ϕ + ϕ1 ) − ζ(ϕ − ϕ1 ) − 2ζ(ϕ1 ) = −
℘′ (ϕ1 ) ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 )
(13-6.100)
Auch gilt noch ζ(z1 + z2 ) = ζ(z1 ) + ζ(z2 ) +
1 ℘′ (z1 ) − ℘′ (z2 ) 2 ℘(z1 ) − ℘(z2 )
(13-6.101)
Wir geben noch die Darstellungen der ζ-Funktion f¨ ur die verschiedenen Werte der Diskriminante an. Positive Diskriminante
F¨ ur ∆ > 0 ist ζ(z) =
Negative Diskriminante
πz ) η π ϑ′1 ( 2ω z+ πz ω 2ω ϑ1 ( 2ω )
(13-6.102)
F¨ ur ∆ < 0 haben wir ζ(z) =
πz ) π ϑ′1 ( 2ω η2 z+ πz ω2 2ω2 ϑ1 ( 2ω )
(13-6.103)
202
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Verschwindende Diskriminante F¨ ur ∆ = 0 mit e1 = e2 = a ist √ √ ζ(z) = −az + 3a coth 3az
und f¨ ur e2 = e3 = −a
ζ(z) = az +
F¨ ur e1 = e2 = e3 = 0 ist
√ √ 3a cot 3az .
ζ(z) =
13.6.11
(13-6.104)
(13-6.105)
1 . z
(13-6.106)
Die σ–Funktion
Die Funktion σ is definiert durch σ(u) = u exp
Z
u
0
ζ(z) −
1 z
dz
.
(13-6.107)
σ(z) = 1. z
(13-6.108)
Es gilt offensichtlich d ln σ(z) = ζ(z) , dz
lim
z→0
Damit ist auch σ(0) = 0. Die σ–Funktion kann noch dargestellt werden durch Z z 1 ζ(u) − σ(z) = z exp du u 0 ! Z z X 1 1 u = z exp du + + 2 u − 2mω1 − 2nω2 2mω1 + 2nω2 (2mω1 + 2nω2 ) 0 m,n∈Z m,n6=0
X = z exp
m,n∈Z m,n6=0
X = z exp
m,n∈Z m,n6=0
= z
Y
m,n∈Z m,n6=0
Z
0
ln
z
1 du + u − 2mω1 − 2nω2
Z
z
0
1 du + 2mω1 + 2nω2
Z
0
z
! u 2 du (2mω1 + 2nω2 ) !
z z2 z − 2mω1 − 2nω2 + + 2 −2mω1 − 2nω2 2mω1 + 2nω2 2 (2mω1 + 2nω2 )
z 1− 2mω1 + 2nω2
exp
z2 z + 2 2mω1 + 2nω2 2 (2mω1 + 2nω2 )
!
.
(13-6.109)
σ ist eine ungerade Funktion, σ(−z) = −σ(z). Wie die ζ–Funktion ist die σ–Funktion keine elliptische Funktion. Wir k¨onnen aber wieder eine Quasi–Periodizit¨ at angeben. Dazu verwenden wir (13-6.99) und (13-6.108) ηi = ζ(z + 2ωi ) − ζ(z) =
σ ′ (z + 2ωi ) σ ′ (z) − . σ(z + 2ωi ) σ(z)
(13-6.110)
Integration ergibt σ(z + 2ωi ) , σ(z)
(13-6.111)
σ(z + 2ωi ) = σ(z)eηi z+c .
(13-6.112)
ηi z + ci = ln bzw.
Die Integrationskonstante c bestimmen wir durch Einsetzen von z = −ωi : σ(ωi ) = σ(−ω1 )e−ηi ωi +c .
(13-6.113)
ec = −eηi ωi .
(13-6.114)
Da σ ungerade ist, folgt
¨ ¨ EINE TEILCHENBAHN 13.7. DIE EXAKTE LOSUNG FUR
203
Damit erhalten wir aus (13-6.112) σ(z + 2ωi ) = −σ(z)eηi (z+ωi ) .
(13-6.115)
Damit ist σ periodisch bis auf einen Zusatzfaktor −eηi (z+ωi ) . F¨ ur den allgemeinen Fall lautet die quasi–Periodizit¨ at σ(z + 2m1 ω1 + 2m2 ω2 ) = (−1)m1 +m2 +m1 m2 e(m1 η1 +m2 η2 )(z+m1 ω1 +m2 ω2 ) σ(z) .
(13-6.116)
Wir geben noch die Darstellungen der σ-Funktion f¨ ur die verschiedenen Werte der Diskriminante an. Positive Diskriminante
F¨ ur ∆ > 0 ist σ(z) =
Negative Diskriminante
πz ) 2ω η z2 ϑ1 ( 2ω e 2ω ′ π ϑ1 (0)
(13-6.117)
F¨ ur ∆ < 0 haben wir σ(z) =
πz η2 2 ϑ1 ( 2ω2 2ω 2ω ) e 2z π ϑ′1 (0)
Verschwindende Diskriminante F¨ ur ∆ = 0 mit e1 = e2 = a ist √ a 2 1 σ(z) = √ e− 2 z sinh 3az 3a und f¨ ur e2 = e3 = −a F¨ ur e1 = e2 = e3 = 0 ist
(13-6.118)
(13-6.119)
√ 1 a 2 3az . σ(z) = √ e 2 z sin 3a
(13-6.120)
σ(z) = z .
(13-6.121)
13.7
Die Exakte L¨ osung fu ¨ r eine Teilchenbahn
13.7.1
L¨ osung fu ¨ r r = r(ϕ)
Aus (13-2.39a) erhalten wir durch Integration das elliptische Integral Z x 1 1 1 p dx , 2 ϕ − 2 ϕ0 = 3 4x − g2 x − g3
was im Prinzip gel¨ ost und dann zu einer Funktion x = x(ϕ/2) aufgel¨ost werden kann. Wir k¨ onnen das Integral als Z x 1 p dx′ W (x) = 3 ′ ′ 4x − g2 x − g3
(13-7.1)
(13-7.2)
bezeichnen. Dann ist
1 2ϕ
− 21 ϕ0 = W (x)
(13-7.3)
Die inverse Funktion U = W −1 ( 12 ϕ − 12 ϕ0 )
(13-7.4)
ist die Weierstrass’sche elliptische Funktion ℘
Die Funktion ℘(ϕ) erf¨ ullt
Damit ist
d℘(ϕ) dϕ
U = ℘( 12 ϕ − 21 ϕ0 ) .
(13-7.5)
2
(13-7.6)
= 4℘3 (ϕ) − g2 ℘(ϕ) − g3
1 1 = u = ℘( 21 ϕ − 12 ϕ0 ) + r 3
(13-7.7)
204
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
so dass r(ϕ) =
2m ℘( 21 ϕ − 12 ϕ0 ) +
(13-7.8)
1 3
Dies ist die allgemeine L¨soung. Diese m¨ ussen jetzt f¨ ur alle m¨oglichen Werte der Parameter Energie und Drehimpuls explizit angegeben werden. Die allgemeine L¨osung beinhaltet dabei viele F¨alle, insbesondere die relativistische Verallgemeinerung der Kreis–, Ellipsen–, Parabel– und Hyperbelbahnen der Newtonschen Theorie. Diese sollen alle angegeben werden. Nach der Angabe der geometrischen Form der Bahn muss in einem zweiten Schritt der zeitliche Verlauf dieser Bahn, d.h. r = r(t) und ϕ = ϕ(t) bzw. r = r(s) und ϕ = ϕ(s) berechnet werden.
13.7.2
L¨ osung fu ¨ r s = s(ϕ)
Wir differenzieren (13-6.100) nach ϕ1 2
℘′′ (ϕ1 ) ℘′ (ϕ1 ) + . ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ) (℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ))2
(13-7.9)
℘′′ (ϕ1 ) ℘′ (ϕ1 ) = ℘(ϕ + ϕ ) + ℘(ϕ − ϕ ) − 2℘(ϕ ) − . 1 1 1 (℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ))2 ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 )
(13-7.10)
℘(ϕ + ϕ1 ) + ℘(ϕ − ϕ1 ) − 2℘(ϕ1 ) = Dies k¨onnen wir umschreiben 2
Definieren wir einen Winkel ϕ1 , so dass ℘(ϕ1 ) = − 13 ,
(13-7.11)
dann besitzt die linke Seite obiger Gleichung die Form (13-2.41). Damit kann (13-2.41) integriert werden Z Z Z 1 1 dϕ = ℘(ϕ + ϕ )dϕ + ℘(ϕ − ϕ1 )dϕ 1 (℘(ϕ) + 13 ))2 ℘′ 2 (ϕ1 ) Z Z ℘′′ (ϕ1 ) −2 ℘(ϕ1 )dϕ − dϕ ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ) ! Z 1 ℘′′ (ϕ1 ) dϕ . = −ζ(ϕ − ϕ2 ) − ζ(ϕ + ϕ1 )dϕ − 2ϕ℘(ϕ1 ) − ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ) ℘′ 2 (ϕ) (13-7.12) In der zweiten Zeile setzen wir noch (13-6.100) ein, Z Z Z Z 1 1 ζ(ϕ + ϕ1 )dϕ − ζ(ϕ − ϕ1 )dϕ − 2 ζ(ϕ1 )dϕ dϕ = − ′ ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ) ℘ (ϕ1 ) 1 = − ′ (ln σ(ϕ + ϕ1 ) − ln σ(ϕ − ϕ1 ) − 2ζ(ϕ1 )ϕ) . (13-7.13) ℘ (ϕ1 ) Damit erhalten wir Z
1 dϕ (℘(ϕ) + 13 )2
=
1 ℘′ 2 (ϕ
1)
℘′′ (ϕ1 ) + ′ ℘ (ϕ1 )
−ζ(ϕ − ϕ2 ) − ζ(ϕ + ϕ1 )dϕ − 2ϕ℘(ϕ1 )
σ(ϕ + ϕ1 ) ln − 2ζ(ϕ1 )ϕ σ(ϕ − ϕ1 )
!
.
(13-7.14)
R R 1 1 Wegen x(ϕ) = ℘( ϕ2 ) ist (℘(ϕ)+ d ϕ , so dass die L¨osung der Gleichung (131 2 dϕ = 2 (℘(ϕ)+ 31 )2 2 3) 2.41) σ( ϕ2 + ϕ1 ) ℘′′ (ϕ1 ) 2λL ϕ ϕ −ζ( 2 + ϕ1 ) − ζ( 2 − ϕ1 ) − ϕ℘(ϕ1 ) + ′ ln ϕ − ϕζ(ϕ1 ) s(ϕ) + s0 = ′ 2 ℘ (ϕ1 ) σ( 2 − ϕ1 ) ℘ (ϕ1 ) (13-7.15) lautet.
¨ ¨ EINE TEILCHENBAHN 13.7. DIE EXAKTE LOSUNG FUR
205
Die Gr¨ oßen ℘′ (ϕ1 ) und ℘′′ (ϕ1 ) berechnen wir wie folgt: Werten wir die Differentialgleichung (13-7.6) an der Stelle ϕ1 aus, erhalten wir 2
℘′ (ϕ1 ) = 4℘3 (ϕ1 ) − g2 ℘(ϕ1 ) − g3 = 4
4m2 2 (E − 1) = 4λ(µ − 1) . L2
(13-7.16)
Differenzieren wir (13-7.6) noch einmal, 2℘′′ (z) = 12℘2 (z) − g2
(13-7.17)
und werten dies auch an der Stelle z = ϕ1 aus, ℘′′ (ϕ1 )℘′ (ϕ1 ) = 6℘2 (ϕ1 )℘′ (ϕ1 ) − 21 g2 , erhalten wir 1 4m2 ℘′′ (ϕ1 ) = 6℘2 (ϕ1 ) − g2 = 2 2 = 2λ . 6 L
(13-7.18)
Somit lautet die endg¨ ultige L¨ osung der Gleichung (13-2.41) L s(ϕ) + s0 = 2(µ − 1)
13.7.3
−ζ( ϕ2 + ϕ1 ) − ζ( ϕ2 − ϕ1 ) − ϕ℘(ϕ1 ) +
s
λ µ−1
! σ( ϕ2 + ϕ1 ) − ϕζ(ϕ1 ) ln ϕ σ( 2 − ϕ1 ) (13-7.19)
Lo ¨sung fu ¨ r t = t(ϕ)
Die Partialbruchzerlegung von (13-2.42) ergibt9 −
1 (x +
1 2 3 ) (x
−
2 3)
=
1 x+
1 3
+
1 1 1 2 − (x + 3 ) x−
Dies ergibt dt = λLE
dϕ ℘(ϕ) +
dϕ
1 3
dϕ + − 1 2 ℘(ϕ) − ℘(ϕ) + 3
(13-7.21)
2 3
2 3
!
,
(13-7.22)
was unter Verwendung von (13-7.13) und (13-7.14) wieder integriert werden kann. Dazu definieren wir einen Winkel ϕ2 durch 2 (13-7.23) ℘(ϕ2 ) = . 3 und erhalten t = λLE
Z
dϕ + ℘(ϕ) − ℘(ϕ1 )
Z
dϕ (℘(ϕ) − ℘(ϕ1 ))
2
−
Z
dϕ ℘(ϕ) − ℘(ϕ2 )
!
1 (ln σ(ϕ + ϕ1 ) − ln σ(ϕ − ϕ1 ) − 2ζ(ϕ1 )ϕ) ℘′ (ϕ1 ) ℘′′ (ϕ1 ) σ(ϕ + ϕ1 ) 1 −ζ(ϕ − ϕ1 ) − ζ(ϕ + ϕ1 ) − 2ϕ℘(ϕ1 ) + ′ ln − 2ζ(ϕ1 )ϕ + ′2 ℘ (ϕ1 ) σ(ϕ − ϕ1 ) ℘ (ϕ1 ) 1 (ln σ(ϕ + ϕ2 ) − ln σ(ϕ − ϕ2 ) − 2ζ(ϕ2 )ϕ) + ′ ℘ (ϕ2 ) σ(ϕ + ϕ1 ) ℘′′ (ϕ1 ) 1 ln 1 − ′2 = λLE − ′ − 2ζ(ϕ1 )ϕ ℘ (ϕ1 ) σ(ϕ − ϕ1 ) ℘ (ϕ1 ) 1 σ(ϕ + ϕ2 ) 1 (ζ(ϕ − ϕ1 ) + ζ(ϕ + ϕ1 )dϕ + 2ϕ℘(ϕ1 )) + ′ ln − 2ζ(ϕ2 )ϕ − ′2 ℘ (ϕ2 ) σ(ϕ − ϕ2 ) ℘ (ϕ1 ) (13-7.24)
= λLE −
Beachten wir wieder x(ϕ) = ℘( ϕ2 ), dann lautet die L¨osung von (13-2.42) 9 Man
setzt an −
1 A = (x + 13 )2 (x − 23 ) x+
1 3
+
C B + (x + 13 )2 x−
2 3
,
Globales Vorze Faktor 2 gegen¨ ub ra verschieden (13-7.20)
was drei Gleichungen f¨ ur die drei zu bestimmenden Koeffizienten A, B und C gibt. Man erh¨ alt A = B = 1 und C = −1.
206
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT σ( ϕ2 + ϕ2 ) t(ϕ) = −2λLE ϕζ(ϕ2 ) − ln ϕ σ( 2 − ϕ2 ) ′′ σ( ϕ2 + ϕ1 ) 1 ℘ (ϕ1 ) − ′ ϕζ(ϕ1 ) − ln ϕ 1 − ′2 ℘ (ϕ1 ) σ( 2 − ϕ1 ) ℘ (ϕ1 ) 1 + ′2 ζ( ϕ2 + ϕ1 ) + ζ( ϕ2 − ϕ1 ) + ϕ℘(ϕ1 ) . ℘ (ϕ1 )
1 ℘′ (ϕ2 )
(13-7.25)
Den Koeffizienten ℘′ (ϕ2 ) bestimmen wir wieder aus der Differentialgleichung f¨ ur ℘: 2 1 2 2 8 2 −λ −4 + λ − λµ = 4λµ . (13-7.26) ℘′ (ϕ2 ) = 4℘3 (ϕ2 ) − g2 ℘(ϕ2 ) − g3 = 4 − 4 27 3 3 27 3 Damit lautet die L¨ osung schließlich s σ( ϕ + ϕ2 ) λ t(ϕ) = −LE ϕζ(ϕ2 ) − ln ϕ2 µ σ( 2 − ϕ2 ) s σ( ϕ + ϕ1 ) λ 1 1− ϕζ(ϕ1 ) − ln ϕ2 − µ−1 2(µ − 1) σ( 2 − ϕ1 ) 1 ϕ ϕ ϕ ζ( 2 + ϕ1 ) + ζ( 2 − ϕ1 ) − . + 2(µ − 1) 3
13.8
(13-7.27)
Die Unendlichkeiten
Zur Beschreibung der Bahn der Teilchen ist es wichtig zu wissen, an welchen Stellen r, s oder t unendlich werden. Diese Stellen kann man direkt aus den L¨osungen ablesen (das ist analog zu der Situation im Newtonschen Fall, wo man schauen muss, bei welchen Winkeln und welchen Parametern r0 /(1 + e cos ϕ) unendlich wird.).
13.8.1
Die Unendlichkeiten von r
Die L¨osung r = r(ϕ) wird unendlich, wenn u = 0 bzw. wenn x(ϕ) = − 31 wird. D.h., wenn ℘( ϕ2 ) = ℘(ϕ1 )
⇔
1 2ϕ
= ϕ1 mod(2ω, 2ω ′ ) .
(13-8.1)
Diese Singularit¨ at ist eine Polstelle.
13.8.2
Die Unendlichkeiten von s
Die Funktion s = s(ϕ) wird unendlich, wenn σ( ϕ2 + ϕ1 ) = 0 oder σ( ϕ2 − ϕ1 ) = 0 werden. Diese Singularit¨ aten sind logarithmisch. D.h. σ( ϕ2 ± ϕ1 ) = 0
13.8.3
⇔
1 2ϕ
= ∓ϕ1 mod(2ω, 2ω ′ ) .
(13-8.2)
Die Unendlichkeiten von t
Die Funktion t = t(ϕ) wird unendlich, wenn σ( ϕ2 +ϕ2 ) oder σ( ϕ2 −ϕ2 ) oder σ( ϕ2 +ϕ1 ) oder σ( ϕ2 −ϕ1 ) verschwinden, d.h. σ( ϕ2 ± ϕ1,2 ) = 0
13.9
⇔
1 2ϕ
= ∓ϕ1,2 mod(2ω, 2ω ′ ) .
(13-8.3)
Diskussion der Parameter
Eine sehr wichtige Gr¨ oße bei der Diskussion der L¨osung ist das charakteristische Polynom X(x) = 4x3 − g2 x − g3
(13-9.1)
∆ = g23 − 27g32 .
(13-9.2)
und die Diskriminante Wir diskutieren zun¨ achst das charakteristische Polynom, und danach die Diskriminante.
207
13.9. DISKUSSION DER PARAMETER
13.9.1
Das charakteristische Polynom
Da das charakteristische Polynom von µ und λ abh¨angt, schreiben wir 2 2 1 −λ x−4 + λ − λµ Xλ,µ (x) = 4x3 − g2 x − g3 = 4x3 − 4 3 27 3
(13-9.3)
Die Nullstelen dieses Polynom sind die Nullstellen des Nenners in der zu integrierenden Glg. (132.39a), d.h. die Singularit¨ aten des Integranden. In diesem Polynom steckt sowohl das effektive Potential als auch die Energie des Systems. Wir f¨ uhren nun eine ausf¨ uhrliche Kurvendiskussion dieses Polynoms durch: 1. F¨ ur x → ±∞ wird Xλ,µ (x) → ±∞, so dass die Kurve links aus −∞ kommt und nach rechts nach +∞ entschwindet. Außerdem gilt Xλ,µ (x = 23 ) = 4λµ > 0, so dass im Bereich x > Nullstellen gibt.
2 3
es entweder keine oder zwei
2. Wir k¨ onnen nun zeigen, dass es keine Nullstelle im Bereich x > 23 gibt. Dazu verwenden wir die Funktion 2 2 8 1 4 x− . (13-9.4) =4 x+ X0,µ (x) = 4x3 − x − 3 27 3 3 Es ist X0,µ (x) ≤ 0 die f¨ ur x ≤ 23 , siehe Abb. 13.15. Die Differenz
2 ∆Xλ,µ (x) = Xλ,µ (x) − X0,µ (x) = 4λ x − + µ 3
(13-9.5)
ist positiv f¨ ur x > 23 − µ. Da µ ≥ 0, ist auf jeden Fall f¨ ur x ≥ 32 das Xλ,µ (x) ≥ X0,µ (x). Da 2 2 2 ur x > 3 , muss auch Xλ,µ (x) > 0 sein f¨ ur x > 32 . Damit kann X0,µ ( 3 ) = 0 und X0,µ ( 3 ) > 0 f¨ 2 Xλ,µ (x) keine Nullstellen im Intervall ( 3 , ∞) besitzen. 3. Auch f¨ ur den Bereich x < − 31 k¨ onnen wir eine Aussage machen, n¨amlich, dass es eine oder keine Nullstelle dort gibt. Die Ableitung 1 dXλ,µ (x) 2 = 12x − 4 −λ (13-9.6) dx 3 verschwindet bei x=
1√ 1 − 3λ . 3
(13-9.7)
ur 0 ≤ λ ≤ 31 . Diese liegen F¨ ur λ > 13 gibt es kein Extremum. Extrema gibt es also nur f¨ 1 1 dann notwendigerweise im Interval [− 3 , 3 ]. D.h. in diesem Intervall liegt das lokale Maximum der Kurve, wenn sie von x = −∞ kommt und auch das lokale Minimum, bevor sie wieder nach x = +∞ entschwindet. Links neben dem lokalen Maximum kann aber h¨ochstens eine Nullstelle liegen. Das da lokale Maximum aber bei x ≥ − 31 liegt, kann links von x = − 31 nur noch h¨ ochstens eine Nullstelle liegen. (Fall es dort keine Nullstelle gibt, muss diese bei x > − 13 auftauchen.) 4. Wir untersuchen den Punkt x = − 13 : Dort gilt Xλ,µ (x = − 31 ) = λ(µ − 1).
Falls µ < 1, ist die Kurve Xλ,µ (x) in x = − 31 schon negativ, so dass es keine Nullstelle im Bereich x < − 13 geben kann.
Falls µ > 1, ist Xλ,µ (x) in x = − 13 positiv, so dass es im Bereich x < − 31 noch eine Nullstelle geben muss. 8 8 − 31 µ , was einer um 4 27 − 13 µ nach oben 5. Falls λ = 13 , haben wir Xλ,µ (x) = 4x3 − 4 27 verschobenen kubischen Kurve 4x3 entspricht. Diese hat einen Wendepunkt bei x = 0. F¨ ur µ = 98 geht diese Kurve auch noch durch den Nullpunkt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 13.1 zusammengefasst. Die dazugeh¨origen Kurven werden in Diagramm Abb.13.15 dargestellt.
208
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT Fall I II III IV
Diskriminante ∆>0 ∆>0 ∆ 0 ist: Links im (λ, µ)–Diagramm, rechts im (E 2 , ℓ2 )–Diagramm.
Wegen µ ≥ 0 sind diese L¨ osungen reell, falls µ≥
8 9
µ = E2
,
(13-9.11)
siehe Abb. 13.16. F¨ ur vorgegebenes µ geben diese λ1,2 den Rand der t¨ urkisen Fl¨ache in Abb. 13.16. Das bedeutet, dass ∆ > 0 wenn λ2 < λ < λ1 (f¨ ur 98 < µ < 1) oder 0 < λ < λ1 (f¨ ur µ > 1). F¨ ur µ = 98 ist λ1 = λ2 = 13 . F¨ ur µ = 1 ist λ1 = 14 und λ2 = 0. 3. Wir untersuchen nun, f¨ ur welche Werte von µ bei vorgegebenem λ die Bedingung (13-9.9) eine L¨ osung besitzt. Die zwei L¨ osungen f¨ ur µ lauten p 2 (13-9.12) 9λ + 1 ± −(3λ − 1)3 , µ1,2 = 27 λ vergl. (13-2.63). Daraus folgt, dass f¨ ur λ≤
1 3
⇔ L2 ≥ 12m2
die L¨ osungen reell sind. Sie sind dar¨ uber hinaus positiv denn p p −(3λ − 1)3 = (9λ + 1)2 − 27λ(λ + 1)2 ≤ 9λ + 1 .
(13-9.13)
(13-9.14)
F¨ ur vorgegebenes λ geben diese µ1,2 den Rand der t¨ urkisen Fl¨ache in Abb. 13.16. Das bedeutet, ur λ = 13 ist µ = 98 . dass ∆ > 0 f¨ ur µ2 < µ < µ1 (f¨ ur vorgegebenes λ < 13 ). F¨
Die Bedingung λ ≤ 13 bzw. L2 ≥ 12m2 bedeutet, dass das Potential in Abb. 13.6 ein Minimum besitzt. Die Bedingung ∆ ≥ 0 bedeutet also, dass der Drehimpuls ist gr¨oßer als der kritische Drehimpuls ist. Die Bedingung ∆ S 0 l¨ aßt sich im Rahmen des effektiven Potentials, Abb. 13.5 und 13.6 interpretieren: Ist ∆ > 0, dann schneidet die E bzw. µ–Linie das effektive Potential drei mal, bei ∆ < 0 gibt es nur einen Schnittpunkt und f¨ ur ∆ = 0 fallen zwei Schnittpunkte zusammen, d.h. die E bzw. µ–Linie geht durch das Maximum und das Minimum des effektiven Potentials, vergl. (13-2.63). Mit anderen Worten: Falls das lokale Maximum und Minimum existieren, ist ∆ < 0, wenn die dazugeh¨ orige Energie gr¨ oßer oder kleiner als das Maximum bzw. Minimum sind. Im Bereich dazwischen ist ∆ = 0. Falls keine Extrema existieren, ist immer ∆ = 0.
13.10
Die expliziten L¨ osungen fu ¨r ∆ > 0
Die erlaubte x-Werte sind solche, f¨ ur die Xλ,µ ≥ 0. Damit k¨onnen wir f¨ ur die Teilchentrajektorien die folgenden Unterscheidungen treffen: Terminating orbit: Falls x nach Unendlich reicht, dann st¨ urzt das Teilchen in die Singularit¨at (Im Gegensatz zu Newton gibt es hier Bahnen mit L 6= 0, die in die Singularit¨at st¨ urzen.). Dabei kann die Bahn endlich sein (bound terminating orbit) oder ins Unendliche reichen (unbound terminating orbit). Diese Bahnen k¨onnen nur in eine Richtung durchfahren werden. Fluchtbahn, escape orbit: Falls x = − 31 ein erlaubter Wert ist (d.h. e3 ≤ − 31 ), dann reicht diese Bahn ins Unendliche. Eine Fluchtbahn liegt vor, wenn dabei das x nicht nach Unendlich reicht, d.h. wenn es ein a gibt, so dass − 13 ≤ x < a < 32 .
210
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Gebundener Orbit, bound orbit: Falls es ein a gibt mit − 31 < a < x ≤ e2 , dann liegt ein gebundener Orbit vor (Planetenbahn).
13.10.1
Fall I Veff
Xλ,µ (x)
Ib
Ia e2
r
e1 1 3
− 13
2 3
r1r2
x
(a) Charakteristisches Polynom
(b) Potential und Teilchenenergie
Abbildung 13.17: Fall I. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie (E 2 − 1)/2.
Es gibt hier zwei Bereiche mit erlaubten x–Werten: a) e1 ≤ x ≤ +∞ und b) e3 < − 13 ≤ x ≤ e2 . Es ist ∆ > 0 und µ > 1. Fall Ia – bound terminating orbit Der Bereich e1 ≤ x < +∞ entspricht einem Bereich 0 ≤ r ≤ r1 =
2m . e1 + 31
(13-10.1)
Dies ist eine gebundene Bahn, die in der Singularit¨at endet. (Man beachte, dass es f¨ ur µ > 1 durchaus gebundene Bahnen geben kann. Dagegen ist bei µ < 1 der Orbit notwendigerweise gebunden.) An der Stelle ϕ = ϕ1 , f¨ ur die ℘(ϕ1 /2) = e1 , ist d℘(ϕ/2)/dϕ = 0 und damit ist auch dr(ϕ) = 0. (13-10.2) dϕ ϕ=ϕ1
uckt: Bei Damit geht die Kurve tangential in den Kreis mit dem Radius r1 u ¨ber. Anders ausgedr¨ r = r1 wird ein Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit tangential losgeschossen (dabei darf die Geschwindigkeit nicht zu gross sein) und f¨allt danach auf den Schwarzschild–Horizont zu, durchquert ihn und f¨ allt auf die Singularit¨at, Siehe Abb. 13.18. Auch die umgekehrte Bahn ist eine L¨osung der Bewegungsgleichung. Die Bahn geh¨ort in dem effektiven Potential zu einer Energie, die gr¨oßer als Null ist, wobei sich aber das Teilchen links von dem Potentialmaximum befindet. Diese Bahnen nennt man pseudo–elliptisch. Mit (13-6.56) lautet die L¨ osung explizit √ sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) 2m 2m r(ϕ) = = = 2m √ 3 ℘( ϕ2 ) + 31 e3 + sn2 (√ee11−e + 13 e1 − e3 + e3 + 13 sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) −e3 ϕ ,k) 2 (13-10.3) q e2 −e3 aßig nicht gr¨oßer als 1 mit k = e1 −e2 . Da der sn periodisch Nullstellen besitzt und betragsm¨ werden kann, ist der Nenner immer positiv w¨ahrend der Z¨ahler periodisch Null werden kann. Diese Bahn verl¨ auft also im Endlichen (gebundene Bahn) und endet in der Singularit¨at, vergl. Abb. 13.18.
Fall Ib – escape orbit In diesem Fall haben wir es mit einem escape–orbit zu tun, der sich im Bereich 2m = r2 ≤ r < +∞ . e2 + 31
(13-10.4)
¨ ¨ ∆>0 13.10. DIE EXPLIZITEN LOSUNGEN FUR
(a)
211
(b)
(c)
Abbildung 13.18: Fall I. (a) Bound terminating orbit. Diese Bahn entsteht z.B. durch einen tangentialen Abschuss beim ¨ außeren Radius (gestrichelt) gefolgt vom Sturz in die Singularit¨ at. Der innere gestrichelte Kreis ist der Schwarzschild–Radius. (b) und (c) Escape orbits, die sich im Prinzip beliebig oft um das gravitierende Objekt winden k¨ onnen.
bewegt. Auch hier gilt wieder
d℘(ϕ) =0 dϕ ϕ=ϕ2
(13-10.5)
bei ϕ2 gegeben durch ℘(ϕ2 /2) = e2 . Das bedeutet, dass die aus dem Unendlichen kommende Bahn den Kreis r2 tangential ber¨ uhrt. Die Bahnen sind Teilchen, die aus dem Unendlichen kommen, am gravitierenden K¨ orper abgelenkt werden und wieder ins Unendliche verschwinden. Diese Bahnen nennt man quasi–hyperbolisch10 . Sie besitzen Newtonsche Analoga in dem Sinne, dass diese als ¨ Grenzfall aus diesen Bahnen gewonnen werden k¨onnen durch kontinuierliche Anderung von Bahnparametern bei Beibehaltung von Bedingungen wie ∆ > 0. Allerdings besitzen Bahnen, die sich hier ein– oder mehrmals um den gravitatierenden K¨orper herumwinden, kein Newtonsches Analogon. Das ist in der Newtonschen Theorie nicht m¨oglich. Die explizite Darstellung lautet r(ϕ) =
℘( ϕ2
2m + ω2 ) +
(13-10.6)
1 3
mit der rein imagin¨ aren Halbperiode ω2 . Verm¨oge (13-6.62) k¨onnen wir das durch die Jacobischen elliptischen Funktionen ausdr¨ ucken r(ϕ) =
2m √ e3 + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) +
1 3
=
e3 +
1 3
2m . √ + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k)
(13-10.7)
Da der sn2 Werte√zwischen 0 und 1 hat und e3 + 13 < 0 ist, sind nur solche Winkel ϕ erlaubt, f¨ ur die (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) > −e3 − 31 ist. Bei den Grenzwinkeln verschwindet der Nenner, so dass der Radius r unendlich werden kann. Die Bahnen sind in Abb. 13.18 geplottet. Der Ablenkwinkel ist die Differenz der Winkel, bei denen der Radius unendlich wird. Diese Winkel sind gegeben durch 0 = e3 + bzw.
√ 1 + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) 3
(13-10.8)
s √ e3 + 31 ϕ − sn( e1 − e3 1,2 , k) = ± . 2 e2 − e3
(13-10.9)
Explizit lauten diese Winkel also ϕ1,2
2 F (α, k) , =√ e1 − e3
α = arcsin
s
e3 + 31 − , e2 − e3
k=
r
e2 − e3 . e1 − e3
(13-10.10)
Jetzt wollen wir anstelle von λ und µ bzw. anstelle von e1 , e2 und e3 physikalisch interpretierbare Parameter ausw¨ ahlen, die dieses Problem ebenfalls eindeutig charakterisieren. Zun¨achst w¨ahlen wir 10 Die Bahnen werden mit der Vorsilbe quasi belegt, wenn es wirklich Analoga der Newtonschen Bahnen sind. Die Vorsilbe pseudo besagt, dass sie im Newtonschen Fall zwar diese Bahn ergeben w¨ urden, hier jedoch vollkommen anders aussehen.
212
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
r2 , den kleinsten Abstand zum gravitierenden K¨orper. Damit haben wir schon e2 bestimmt. Als zweiten Parameter w¨ ahlen wir die Energie E des einlaufenden Teilchens. Mit e1 = −e2 − e3 dr¨ ucken wir die Invarianten (13-6.10) aus 1 g2 − +λ=− 3 4 2 g3 2 + λ − λµ = 27 3 3
= −e22 − e2 e3 − e23
(13-10.11)
= −e2 (e2 e3 + e23 ) .
(13-10.12)
Dividieren wir die zweite Gleichung durch den gesetzen Parameter e2 und subtrahieren dies von der ersten Gleichung, erhalten wir eine Beziehung zwischen e2 und den Parametern λ und µ 1 2 2 e32 − − λ e2 − + λ − λµ = 0 , (13-10.13) 3 27 3 womit man, bei festem µ, den Zusammenhang zwischen e2 und λ erh¨alt. Da wir aber von vornherein e2 als einen die Bahn charakterisierenden Parameter gew¨ahlt haben, ersparen wir uns damit das L¨osen dieser kubischen Gleichung. Außerdem k¨ onnen wir die erste Gleichung (13-10.11) nach λ aufl¨osen und in die zweite Gleichung (13-10.11) einsetzen und erhalten 2 2 8 2 2 µ e − = 0, + µ− (13-10.14) e23 e2 − + µ + e3 e2 e2 − + µ + 3 3 27 3 2 3 was e3 als Funktion von e2 und µ und damit als Funktion von r2 und µ ergibt q 2 8 + µ − 23 e22 − µ3 −e2 e2 − 32 + µ ± e22 e2 − 32 + µ − 4 e2 − 32 + µ 27 e3 = . (13-10.15) 2 e2 − 23 + µ
Damit haben wir die in (13-10.10) ben¨ otigten e1 , e2 und e3 in Abh¨angigkeit von E und r2 bestimmt. Damit f¨ ur m → 0 der Wert e3 = − 31 angenommen wird, muss das untere Vorzeichen gew¨ahlt werden. Da die Darstellung von e2 in Abh¨ angigkeit von r2 auch die Masse m des gravitierenden K¨orpers beinhaltet, k¨ onnen wir jetzt auch leicht eine relativistische N¨aherung durchf¨ uhren, indem wir das exakte Ergebnis nach Potenzen von m entwickeln. Das Ergebnis ist (2m)2 E2 3π 2E 2 − 1 2m + − + O(m3 /r23 ) . (13-10.16) ∆φ = − 2 E − 1 r2 16(E 2 − 1)2 2(E 2 − 1)2 r22 Mit der Darstellung E 2 = 1 + 12 v 2 − 18 v 4 + O(v 6 ) der Energie erhalten wir das interpretierbare Ergebnis 1 + v 2 − 14 v 4 2m 1 + 12 v 2 − 81 v 4 (2m)2 3π + O(m3 /r23 ) , (13-10.17) − ∆φ = −2 +2 r22 v 2 − 14 v 4 r2 4(v 2 − 41 v 4 )2 (v 2 − 41 v 4 )2 welches zeigt, dass f¨ ur kleinere Geschwindigkeiten des ankommenden Teilchens der Effekt gr¨oßer wird (die obige N¨ aherung in v bricht f¨ ur v → 0 zusammen).
13.10.2
Fall II
Auch hier gibt es zwei Bereiche mit erlaubten x–Werten: a) e1 ≤ x ≤ +∞ und b) e3 ≤ x ≤ e2 . Es ist ∆ > 0 und µ < 1. Dies k¨ onnen nur gebundene Bahnen ergeben. Fall IIa – bound terminating orbit Dieser Fall beschreibt eine gebundene Bahn 0 ≤ r ≤ r1 =
2m , e1 + 31
(13-10.18)
mit 2m < r1 , wobei wieder dr(ϕ1 )/dϕ = 0 gilt. Es liegt wie im Fall Ia eine quasi–elliptische Bahn vor, d.h. ein spiralf¨ ormiges Reinfallen in das Schwarze Loch bei tangentialem Abschuss, siehe Abb. 13.20. Auch hier liegt die Bahn links vom Maximum des Effektiven Potentials, nur ist hier die Energie kleiner als was im Falle eines escape Orbits n¨otig w¨are. Die explizite Darstellung lautet wie im Fall Ia, Glg. (13-10.3).
¨ ¨ ∆>0 13.10. DIE EXPLIZITEN LOSUNGEN FUR
213 Veff
Xλ,µ (x)
e3
e2
e1
r1
1 3
− 31
r2
x
2 3
IIb
IIa
(b) Potential energie
(a) Charakteristisches Polynom
r
r3
und
Teilchen-
Abbildung 13.19: Fall II. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
Fall IIb – bound orbit Auch hier haben wir eine gebundene Bahn vorliegen 2m 2m = r2 ≤ r ≤ r3 = . e2 + 31 e3 + 31 Es gilt auch hier
dr(ϕ) =0 dϕ e2
(13-10.19)
dr(ϕ) = 0. dϕ e3
und
(13-10.20)
Dies definiert die Punkte e2 nd e3 bzw. die Radien r2 nd r3 . Außerdem haben wir wegen (13-6.43) d2 r(ϕ) d2 r(ϕ) < 0 und > 0. (13-10.21) dϕ2 e2 dϕ2 e3
Die Bahn ber¨ uhrt also tangential die beiden Kreise r2 und r3 , und zwar r3 von innen und r2 < r3 von außen. Es handelt sich um quasi–elliptische Bahnen. Den kleinsten Abstand nennt man Perihel, den gr¨oßte Abstand r1 das Aphel. Dies sind die exakten Bahnen f¨ ur die Planeten im Gravitationsfeld der Sonne. Diese Bahnen besitzen Newtonsche Analoga. Explizit lautet die Bahn 2m (13-10.22) r(ϕ) = ϕ ℘( 2 + ω2 ) + 13 wobei ω2 die zweite (rein imagin¨ are) Periode der ℘–Funktion wie in (13-6.60) angegeben ist. Verm¨oge (13-6.62) k¨ıonnen wir das durch die Jacobischen elliptischen Funktionen ausdr¨ ucken r(ϕ) =
2m √ e3 + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k) +
1 3
=
e3 +
1 3
2m √ + (e2 − e3 )sn2 ( e1 − e3 ϕ2 , k)
(13-10.23)
Der Plot ist in Abb.13.20 b) und c) zu sehen. Da der sn Werte im Intervall [−1, 1] hat und e3 + 31 > 0 ist, kann der Nenner weder Null noch Unendlich werden. Mit den Werten von ϕ, f¨ ur die der sn = 0 bzw 1 wird, k¨ onnen wir (13-10.19) reproduzieren. Diese L¨osung ist zu vergleichen mit der Newtonschen Ellipsenbahn (13-1.30), die wir in eine zu oben analoge Form umschreiben k¨onnen rNewton (ϕ) =
r0 = 1 − e cos ϕ 1−e
1 2
r0 = 1− − sin2 ϕ2
e 2
r0 + e sin2
ϕ 2
.
(13-10.24)
Wir k¨ onnen nun leicht den Winkel angeben um den das Teilchen gewandert ist, wenn es von z.B. rmin wieder zu rmin zur¨ uck kommt. Dieser Winkel ist gegeben durch Z e3 Z e3 Z e3 Z rmax 1 dϕ 1 dϕ r dx = 2 p dr = 2 dx = 2 ∆ϕ = 2 dx = 2ω1 . 3 2 dr dx 4x − g2 x − g3 e2 e2 e2 rmin dx dϕ
(13-10.25) Dies ist i.a. verschieden von 2π, was bei der Newtonschen Planetenbewegung zu beobachten w¨are. Der Unterschied zu 2π ist die Periheldrehung δϕ = 2ω1 − 2π .
(13-10.26)
214
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
(a) Spirale in die Singularit¨ at
(c) Kometenbahn mit 1 − µ ≪ 1
(b) Planetenbahnen mit µ < 1
Abbildung 13.20: Fall II. (a) Das Hineinspiralisieren bei tangentialem Abschuss. Der Schwarzschild–Radius ist wieder gestrichelt. (b) Quasi–elliptische Orbits, Planetenbahnen. (c) F¨ ur 1 − µ → 0+ wird die Quasi–Ellipse immer l¨ anger und geht f¨ ur µ → 1 in eine quasi–parabolische Bahn u ¨ber.
Dabei kann ω1 auch durch (13-6.59) dargestellt werden K(k) 1 ω1 = √ =√ e1 − e3 e1 − e3
Z
π 2
q
0
dx 1−
e2 −e3 e1 −e3
sin2 x
(13-10.27)
der Faktor 4 statt einem Faktor 2 vor dem ω1 resultiert daraus, dass nur der halbe Winkel ϕ/2 in der Weierstass’schen Funktion steht, dass also ϕ/2 die Periode 2ω1 besitzt. Da e1 = −e2 − e3 , wird die Periheldrehung zu 4 δ=√ −e2 − 2e3
Z
π 2
0
q
dx 1−
e2 −e3 −e2 −2e3
sin2 x
− 2π .
(13-10.28)
F¨ ur eine relativistische N¨ aherung stellt man e2 und e3 dar durch e2 =
2m 1 − , r2 3
e3 =
2m 1 − . r3 3
(13-10.29)
Man setzt dies nun in die exakte Periheldrehung ein und n¨ahert nach Ordnungen von m und erh¨alt 1 1 3π 19 19 17 δ = 3π + m+ + 2+ m2 + O(m3 ) . (13-10.30) r2 r3 4 2r22 2r3 r2 r3 ¨ Ublicherweise stellt man das Resultat dar durch die große Halbachse a und die Exzentrizit¨at e. Diese h¨angen mit r2 und r3 u ¨ber r2 = a(1 − e) ,
r3 = a(1 + e) ,
a=
1 (r2 + r3 ) , 2
e=
r3 − r2 r3 + r2
(13-10.31)
zusammen. Damit erhalten wir δ = 3π
1 2m 3π 18 + e2 (2m)2 − + O(m3 ) . 1 − e2 a 8 (1 − e2 )2 a2
(13-10.32)
Dies stimmt mit den u ¨blichen Resultaten u ¨berein. Kepler–Gesetz: dazu ben¨ otigt man die Zeitdauer: andere L¨osung .....
13.11
Die expliziten L¨ osungen fu ¨r ∆ < 0
In diesem Fall gibt es nur eine reelle L¨osung e2 des Polynoms Xλ,µ (x). F¨ ur diese kann gelten Fall III e2 < − 31 , was µ > 1 entspricht, oder Fall IV − 31 < e2 < 23 , was f¨ ur 0 < µ < 1 gilt.
¨ ¨ ∆ 0 gilt, siehe Abb.13.16. Verschwindet die Diskriminante ∆, dann m¨ ussen wegen (13-6.12) zwei der drei Nullstellen zusammenfallen. Es liegt also entweder e2 = e3 oder e2 = e1 vor. Der Fall e1 = e3 kann nur dann eintreten, wenn alle drei Nullstellen zusammenfallen, e3 = e2 = e1 , as einen weiteren Spezialfall definiert. Diese F¨alle k¨onnen ur ∆ = 0 folgende ¨aquivalent durch g3 > 0, g3 < 0 und g3 = 0 charakterisiert werden. Damit liegen f¨ F¨alle vor, die wir weiter mit r¨ omischen Ziffern durchnumerieren Fall V Alle Nullstellen fallen zusammen, e1 = e2 = e3 . Dann ist e1 = e2 = e3 = 0 und g2 = g3 = 0.
¨ ¨ ∆=0 13.12. DIE EXPLIZITEN LOSUNGEN FUR
217
Fall VI e2 = e1 = a > 0: Dann ist wegen (13-6.10) e3 = −2a und mit (13-6.11) g2 = 12a2 und g3 = −8a3 < 0. Wegen e1 ≤ 32 muss a ≤ 32 und − 34 ≤ e3 sein. Hier gibt es dann noch die Unterf¨ alle Fall VI − 43 ≤ e3 ≤ − 13 Fall VI’ − 31 ≤ e3 < 0.
Fall VII e2 = e3 =: −a: Dann ist wegen (13-6.10) e1 = 2a > 0 und mit (13-6.11) g2 = 12a2 und g3 = 8a3 > 0. Wegen e1 ≤ 32 muss a ≤ 13 und − 31 ≤ e2 = e3 sein. Wir diskutieren jetzt die darauf basierenden F¨alle.
13.12.1
Fall V Veff
Xλ,µ (x)
r 1 3
− 31
2 3
x Va Vb
(a) Charakteristisches Polynom
(b) Potential energie
und
Teilchen-
Abbildung 13.25: Fall V. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
Falls ∆ = 0 und e1 = e2 = e3 = 0 (dann gilt auch g2 = 0 und g3 = 0 und damit auch λ = 31 und µ = 89 ), k¨ onnen wir zwei Bereiche identifizieren, a) 0 = e1 ≤ x < +∞ und b) e3 ≤ x ≤ e2 , d.h. x = 0. Fall Va – bound terminating orbit In diesem Fall kann sich das Teilchen in dem Bereich 0 ≤ r ≤ 6m
(13-12.1)
bewegen. F¨ ur diese Parameter kann die Weierstrass’sche ℘–Funktion durch ℘(z) = 1/z 2 dargestellt werden, so dass 2m 2mϕ2 r(ϕ) = 4 . (13-12.2) 1 = 4 + 13 ϕ2 ϕ2 + 3 Dies ist eine (algebraische) Spirale, die sich auf der einen Seite f¨ ur ϕ → ∞ asymptotisch an den Kreis mit dem Radius 2m ann¨ ahert und auf der anderen in der Singularit¨at endet, sie Abb.13.26. Mit den Spezifikationen (13-6.87), (13-6.106) und (13-6.121) ergeben sich f¨ ur die Eigenzeit und Koordinatenzeit (13-7.15) und (13-7.25) zusammen mit s0 = 0 und t0 = 0 s(ϕ) t(ϕ)
ϕ 1 ℘′′ (ϕ1 ) 1 ϕ ϕ 2 + ϕ1 −ϕ ln ϕ = − ϕ − 2+ ′ − ϕ1 ℘ (ϕ1 ) ϕ1 2 + ϕ1 2 − ϕ1 2 − ϕ1 ϕ ′′ + ϕ ϕ ℘ (ϕ ) ϕ 1 1 2 1 1 − ′2 = −2λLE − ln ϕ2 − ln − ′ ′ ℘ (ϕ2 ) ϕ2 ℘ (ϕ1 ) ϕ1 ℘ (ϕ1 ) 2 − ϕ2 1 1 ϕ 1 . + + + ′2 ϕ ϕ ϕ21 ℘ (ϕ1 ) 2 + ϕ1 2 − ϕ1 2λL ′ ℘ 2 (ϕ1 )
Mit ℘(ϕ1 ) = − 13 und ℘(ϕ1 ) = 6 9
=
2 3
2
1 ϕ21
(13-12.3) ϕ 2 ϕ 2
+ ϕ1 − ϕ1
(13-12.4)
√ = − 13 erhalten wir ϕ1 = ±i 3. Außerdem ist ℘′′ (ϕ1 ) = 6℘2 (ϕ1 ) =
4 und ℘′ (ϕ1 ) = 4℘3 (ϕ1 ) = − 27 . Wegen ℘(ϕ) =
1 ϕ2
√ . Damit gibt es noch ℘′ (ϕ1 ) = − ϕ23 = ∓ 32i 3 1
218
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
und mit weiteren algebraischen Manipulationen11 reduziert sich die Eigenzeit auf ! √ ′′ √ 4ϕ ℘′′ (ϕ1 ) 1 4 3ϕ ℘ (ϕ1 ) ϕ− ′ s(ϕ) = 27 3m + − i arctan 2 ϕ2 + 12 ϕ1 ℘′ (ϕ1 ) 3 ℘ (ϕ1 ) ϕ − 12 ! √ √ √ 4 3ϕ 4ϕ 2 , (13-12.6) + ϕ + 3 arctan 2 = 27 3m 2 ϕ + 12 3 ϕ − 12
√ eingesetzt haben und das Vorzeichen gem¨aß ϕ1 = +i 3 w¨ahlten. Aus ℘(ϕ2 ) = q folgt noch ϕ2 = 32 und (℘′ (ϕ2 ))2 = 4℘3 (ϕ2 ) = 32 27 , so dass sich die Koordinatenzeit zu
wobei wir noch λ = 1 ϕ22
=
t(ϕ)
2 3
ϕ ϕ + ϕ2 + ϕ1 ϕ ℘′′ (ϕ1 ) ϕ 1 1 − ′2 − ln ϕ2 − ln ϕ2 − ′ ϕ2 ℘ (ϕ1 ) ϕ1 ℘ (ϕ1 ) 2 − ϕ2 2 − ϕ1 1 ϕ 1 1 + ϕ + 2 + ′2 ϕ ϕ − ϕ ℘ (ϕ1 ) 2 + ϕ1 1 1 2 ! r r √ √ ! 2 4 3ϕ 2m √ ϕ 27 2 1 ϕ+ 6 3 √ √ − i arctan 2 −2λ √ µ − 1− 4 ϕ − ln √ 32 3 ϕ − 12 − 27 ∓ 32i ϕ− 6 i 3 λ 3 4ϕ 1 ϕ + 4 − 3 − 27 ϕ2 + 12 ! r r √ √ √ ! p 3 3 11 3 3 2 4 3ϕ ϕ ϕ+ 6 √ √ − i arctan 2 ± −4m λµ ϕ − ln 4 2 3 2i 2 i 3 ϕ − 12 ϕ− 6 4ϕ ϕ 27 − − 2 4 ϕ + 12 3 ! r r √ √ ! √ 4 3ϕ 18 3 3 ϕ+ 6 3 √ −4m ϕ− ∓ 11 ϕ + 3 arctan 2 ln 39 4 2 ϕ− 6 4 ϕ − 12 27 4ϕ ϕ − − 4 ϕ2 + 12 3 ! r √ √ √ 3 4 3ϕ 9ϕ 2 7 ϕ + 6 11 3 √ + (13-12.7) ϕ + √ ln arctan 2 + 8m 3 4 4 ϕ − 12 ϕ2 + 12 4 6 ϕ− 6
= −2λLE
=
=
=
=
1 3
1 ℘′ (ϕ2 )
ergibt, wobei wir das Vorzeichen beiden Qadratwurzeln so w¨ahlten, dass der ∼ ϕ–Term einen √ positiven Koeffizienten hat. Der Wert ϕ = 6 entspricht r(ϕ) = 2m, so dass die in t auftretende Unendlichkeit der u ¨blichen Koordinatensingularit¨at in Schwarzschild–Koordinaten entspricht. Fall Vb – bound orbit Hier ist x und damit auch der Radius konstant, und zwar r = 6m .
(13-12.8)
Das Teilchen vollf¨ uhrt eine Kreisbahn mit dem Radius 6m, d.h. dem dreifachen Schwarzschild– Radius. Dies ist ein Grenzfall von Fall Va in dem Sinne, dass das Teilchen gen¨ ugend Energie besitzt, um dem Fall ins Schwarze Loch gerade noch zu entgehen. Wir berechnen nun, wie lange das Teilchen ben¨otigt, um einmal das gravitierende Zentrum zu umrunden. Zun¨ achst bestimmen wir die Eigenzeit. Diese ist durch Letzte stabile Kreisbahn Im Newtonschen Fall kann es stabile Kreisbahnen bei jedem Radius geben. In unserem Fall ist dies nicht mehr so. Dies kann man aus der Form des effektiven Potentials ersehen. Kreisbahnen sind 11 Z.B. ℑ(z/¯ z) ℜ(z/¯ z)
=
√ mit z = ϕ + 2i 3 ist √ 4 3 , ϕ2 −12
√ ϕ+2i√3 ϕ+2i 3
=
z z ¯
=
√ ϕ2 +4i 3−12 ϕ2 +12
=
ϕ2 −12 ϕ2 +12
√
3 + i ϕ42 +12 ist
√ ϕ+2i√3 ϕ+2i 3
= eiψ mit tan ψ =
so dass ln
√ √ ϕ + 2ϕ1 z ϕ + 2i 3 4 3 √ = ln = iψ = i arctan 2 = ln . ϕ + 2ϕ1 z¯ ϕ − 12 ϕ + 2i 3
(13-12.5)
¨ ¨ ∆=0 13.12. DIE EXPLIZITEN LOSUNGEN FUR
(a) Spirale in die Singularit¨ at
219
(b) Kreisbahn
Abbildung 13.26: Fall V. (a) Fall Va – Der spiralisierende Fall ins Schwarze Loch aus r = 6m (Der a ¨ußere gestrichelte Kreis ist r = 6m, der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild–Radius r = 2m). (b) Die Kreisbahn r = 6m.
durch dVeff /dr = 0 charakterisiert, auch im Newtonschen Fall. Wie in Abschnitt 13.2.4 gezeigt, fallen beide Extrema zu einem Sattelpunkt zusammen bei dem kritischen Wert L2 = 12m2 . In diesem Fall ist der Radius rkrit = r1,2 |L2 =12m2 = 6m (13-12.9) Dieser kritische Radius ist auch der kleinste, der bei einem vorgegebenen m auftreten kann. Denn f¨ ur L2 > 12m2 haben wir zwei L¨osungen, bei der die kleinere instabil ist (Maximum des effektiven Potentials) und nur die gr¨ oßere stabil (Minimum), siehe Abb.13.6. Die L¨osung r+ ist aber immer gr¨ oßer als rkrit : r+ |L2 >12m2 > rkrit . (13-12.10) Damit ist rkrit = 6m wirklich die letzte stabile Kreisbahn um einen kompakten gravitatierenden K¨orper.
13.12.2
Fall VI Veff
Xλ,µ (x)
VIa
VIb
r −2a
− 31
1 3
a
2 3
x
(b) Potential energie
(a) Charakteristisches Polynom
und
Teilchen-
Abbildung 13.27: Fall VI. (a) Die erlaubten x–Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
Falls ∆ = 0 und e1 = e2 =: a > 0 und − 34 ≤ −2a = e3 < − 31 < e2 = e1 = a ≤ 31 < +∞ ist, muss 61 < a < 13 sein und es k¨ onnen wieder zwei Unterf¨alle diskutiert werden: a) e1 = a ≤ x < +∞ und b) − 31 ≤ x ≤ e2 = a. Fall VIa – bound terminating orbit Hier bewegt sich das Teilchen im beschr¨ankten Bereich 0 ≤ r ≤ ra =
2m , a + 31
(13-12.11)
220
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
(a) Spirale in die Singularit¨ at
(b) Spirale aus dem Unendlichen
Abbildung 13.28: Fall VI. (a) Der unendich spiralisierende Fall ins Schwarze Loch. Die transzendente Pseudospirale schmiegt sich asymptotisch an eine Kreisbahn mit einem Radius zwischen 3m und 6m an. (Der innere gestrichelte Kreis ist der Schwarzschild–Radius r = 2m.). (b) Teilchen spiralisiert aus dem Unendlichen kommend auf eine Kreisbahn ein.
wobei wegen 0 < a < 31 f¨ ur den Radius 3m < ra < 6m gilt. F¨ ur diese Parameter kann die Weierstrass’sche ℘–Funktion durch (13-6.77) dargestellt werden. Wir erhalten r(ϕ) =
3a coth
2
2m √ ϕ 2 3a 2 − 3 +
1 3
=
3a coth
2
2m √ ϕ 3a 2 − 2a +
1 3
.
(13-12.12)
Da der coth2 immer gr¨ oßer als 1 ist, kann der Nenner nicht verschwinden. F¨ ur ϕ = 0 wird allerdings der coth2 unendlich, so dass der Radius Null wird, das Teilchen also in die Singularit¨at st¨ urzt. Hierbei wird r = ra in einer unendlichen Spirale asymptotisch angenommen, d.h., das Teilchen beginnt auf einer Kreisbahn und spiralisiert nach und nach in die Singularit¨at. Diese Bewegung wird transzendente Pseudospirale genannt und liefert Abb. 13.28. Fall VIb – unbound terminating orbit Hier kann sich das Teilchen im Bereich 2m
0 und − 31 < e3 < e2 = e1 = a ≤ 13 < +∞ ist, muss auch a < 16 sein. Es k¨ onnen wieder zwei Unterf¨alle diskutiert werden: a) e1 = a ≤ x < +∞ und b) −2a = e3 ≤ x ≤ e2 = a. Fall VI’a – bound terminating orbit Das Teilchen bewegt sich im Bereich 0 ≤ r ≤ r3 =
2m 2m 1 = e3 + 3 −2a +
1 3
,
(13-12.15)
wobei 2m < r3 . Die explizite Darstellung und der Plot, Abb. 13.30 ist vollkommen analog zum Fall VIa. Auch f¨ ur a < 16 ist immer noch −2a + 31 > 0.
¨ ¨ ∆=0 13.12. DIE EXPLIZITEN LOSUNGEN FUR Veff
Xλ,µ (x)
−2a
− 31
221
a
VIIa 1 3
2 3
(a) Charakteristisches Polynom
VIIb
r
x
(b) Potential energie
und
Teilchen-
Abbildung 13.29: Fall VI’. (a) Die erlaubten x–Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
(a) Spirale in die Singularit¨ at
(b) Doppelspirale
Abbildung 13.30: Fall VII. (a) Der spiralisierende Fall ins Schwarze Loch. Die transzendente Pseudospirale schmiegt sich asymptotisch an eine Kreisbahn an. (Der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild–Radius r = 2m.). (b) Doppelt asymptotische Kreisbahn. Eine Kreisbahn wird ddurch eine Doppelspirale asymptotisch erreicht.
Fall VI’b – bound orbit Hier bewegt sich das Teilchen im Bereich 2m 2m = ra ≤ r ≤ r3 = a + 31 −2a + wobei 2m < ra < r3 ist. Hierbei gilt wieder dr(ψ) dψ = 0 a
und
1 3
,
dr(ψ) = 0, dψ −2a
(13-12.16)
(13-12.17)
d.h. die Bewegung ber¨ uhrt wieder tangential die Kreise ra und r3 . Nach dieser qualitativen Diskussion k¨onnen wir mittels (13-6.77) die L¨osung auch explizit angeben 2m √ ϕ r(ψ) = . (13-12.18) 3a tanh2 3a 2 − 2a + 13
Da a < 61 ist, kann hier der Nenner im Gegensatz zu Fall VIb nicht mehr verschwinden. Die Bewegung bleibt endlich. Hierbei handelt es sich um eine quasi–elliptische Spirale, siehe Abb. 13.30. F¨ ur ψ → ±∞ n¨ ahert sich r(ψ) asymptotisch ra an. Zwischen ψ = −∞ und ψ = +∞ ber¨ uhrt die Kurve einmal r = r3 > ra .
13.12.4
Fall VII
Im Falle ∆ = 0 und e3 = e2 = −a gilt − 31 ≤ −a = e3 = e2 < e1 ≤ 23 < +∞ treten wieder zwei m¨ogliche Bereiche auf: a) 2a = e1 ≤ x < +∞ und b) e3 ≤ x ≤ e2 , d.h. x = −a ≥ − 31 .
222
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT Veff
Xλ,µ (x)
− 31
−a
r
2a 1 3
x
2 3
VIIIb VIIIa
(b) Potential energie
(a) Charakteristisches Polynom
und
Teilchen-
Abbildung 13.31: Fall VII. (a) Die erlaubten x–Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
(a) Spirale in die Singularit¨ at
(b) Kreisbahn
Abbildung 13.32: Fall VIII. (a) Der spiralisierende Fall in die Singularit¨ at. (Der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild–Radius r = 2m). (b) Kreisbahn mit Radius > 6m.
Fall VIIa – bound terminating orbit Der Wertebereich des Radius ist
2m 2a + 31
0 ≤ r ≤ ra =
(13-12.19)
wobei 2m < ra . Es gilt wieder dr/dψ = 0 bei ψ = 2a. Wir k¨ onnen die Darstellung (13-6.83) der Weierstrass’schen Funktion verwenden und erhalten r(ϕ)
da a
6m .
(13-12.21)
Dies sind Kreisbahnen mit einem beliebigen Radius zwischen 6m und ∞, siehe Abb. 13.32.
13.13
Parabolische Orbits
Parabolische Orbits sind solche, bei denen das Teilchen soviel Energie besitzt, dass es gerade noch das Unendliche erreichen kann. Diese Energie ist gegeben durch µ = 1. F¨ ur µ = 1 vereinfacht sich
223
13.13. PARABOLISCHE ORBITS das Polynom Xλ,µ zu
1 Xλ,1 (x) = 4 x + 3
1 x− 6
2
1 +λ− 4
!
,
(13-13.1)
was bedeutet, dass Xλ,1 (x) immer durch den Punkt x = − 31 gehen muss. Daher ist immer e3 = − 13 . F¨ ur λ > 41 ist dies auch die einzige Nullstelle. Parabolische Orbits besitzen keine Asymptote.
13.13.1
Fall PI Veff
Xλ,µ (x)
1 3
− 31
2 3
PIa
x
(a) Charakteristisches Polynom
PIb
r
und
Teilchen-
(b) Potential energie
Abbildung 13.33: Fall PI. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild.
Neben µ = 1 gelte noch 0 < λ < 41 . Damit ist ∆ > 0. Die erlaubte x–Bereich besteht somit aus a) e1 ≤ x < ∞ und b) − 31 ≤ x ≤ e2 . Fall PIa – bound terminating orbit Der Wertebereich f¨ ur r ist 0 ≤ r ≤ r1 =
2m e1 + 31
(13-13.2)
Die explizite Darstellung ist
r(ϕ) =
sn2
2m ℘( ϕ2 ) +
1 3
= 2m
q
1ϕ 3 2,k
e1 +
e1 +
1 3
(13-13.3)
und stellt eine endliche Spirale dar, siehe Abb. 13.34, und kann als pseudo–parabolischer Orbit bezeichnet werden. Fall PIb – escape orbit Hier ist der Wertebereich r2 =
2m ≤r 0. Wir haben die Wertebereiche a) e1 < x < ∞, In diesem Fall ist 0 < λµ < 27 2 1 1 wobei 3 < e1 < 3 , und b) − 3 ≤ x < e2 < 13 . Dies entspricht den Bereichen
a)
0 ≤ r < r1
2m e1 + 31
und
b)
2m = r2 < r < ∞ . e2 + 13
(13-14.7)
231
13.14. LICHTBAHNEN Xλ,µ (x)
Fall IV
Fall III 1 3
− 31
2 3
x
X0,0 (x)
Fall I
verbotener Bereich
Fall II
Gebiet der Extrema
Abbildung 13.46: Das Polynom Xλ,µ (x) f¨ ur Licht. Der gelb unterlegte Bereich gibt die zul¨ assigen x–Werte an. Im grau unterlegten Bereich kann das Polynom keine Werte annehmen. Veff
Xλ,µ (x)
LIb LIa 1 3
− 13
2 3
r
x
(b) Potential und Lichtenergie
(a) Charakteristisches Polynom
Abbildung 13.47: Fall LI. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E 2 /2. Die Trajektorie LIb stellt einen physikalisch degenerierten Fall dar und verl¨ auft im Unendlichen.
Die L¨osungen sind gegeben durch a)
r(ϕ) =
2m ℘( ϕ2 ) +
1 3
=
2m b) r(ϕ) = ϕ ℘( 2 + ω2 ) +
2m e3 +
1 3
=
1 3
+
e −e3 √1 sn2 ( e1 −e3 ϕ 2 ,k )
e3 +
1 3
=
√ e1 − e3 ϕ2 2msn2 √ e1 − e3 + e3 + 31 sn2 e1 − e3 ϕ2 , k
2m √ e1 − e3 ϕ2 , k + (e2 − e3 )sn2
(13-14.8) (13-14.9)
Die erste Bahn beschreibt wieder einen Fall in die Singularit¨at, wobei das Licht tangential auf einem Radius zwischen 2m und 3m ausgesandt wird. Wegen e1 − e3 + e3 + 31 = e1 + 31 > 0 kann der Nenner nicht verschwinden. Im Fall b) ist e3 + 31 < 0, so dass der Nenner verschwinden und somit r unendlich werden kann. Dies beschreibt die Lichtablenkung antlang einer quasi–hyperbolischen Bahn, siehe Abb. 13.50. Der einzige Parameter, der die Lichtbahnen charakterisiert, ist λµ =
2 (2m)2 2 2E E = (2m) . L2 L2
(13-14.10)
Bei vorgegebener Masse des gravitierenden K¨orpers m ist also nur noch der Quotient L/E durch das Teilchen frei w¨ ahlbar. Dieser Quotient hat die Dimension einer L¨ange und stellt den senkrechten
232
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Abbildung 13.48: Fall LIa. Licht wird im Abstand r = 2m tangential ausgesandt und f¨ allt in die Singularit¨ at. (Der gestrichelte Kreis der Schwarzschild–Radius r = 2m). Veff
Xλ,µ (x)
LIIa
LIIb r
1 3
− 13
x
2 3
(b) Potential und Lichtenergie
(a) Charakteristisches Polynom
Abbildung 13.49: Fall LII. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E 2 /2.
Abstand zwischen dem Zentrum des gravitierenden K¨orpers zum Lichtstrahl dar, wenn er nicht durch den gravitativen Einfluss abgelenkt w¨ urde. Dies ist der Impaktparameter. Die Aufgabe ist nun, die Nullstellen e1 , e2 und e3 als Funktion von λµ darzustellen. Der erste Faktor stellt den Schwarzschild–Radius dar. Bei relativistischen Entwicklungen wird man nach diesem Schwarzschild– Radius zu entwicklen haben. Alternativ k¨ onnen wir auch den k¨ urzesten Abstand r2 des Lichstrahls zum gravitierenden K¨orper 1 als Parameter w¨ ahlen. Dann kann sofort e2 durch r2 ersetzt werden: e2 = 2m r2 − 3 . Hierin stellt das 2m den Schwarzschild–Radius dar, nach dem relativistisch zu entwickeln ist. Hier besteht die Aufgabe darin, die e1 und e3 als Funktion von diesem vorgegeben e2 anzugeben. Dies tun wir jetzt. Wir verwenden nun die drei Gleichugen (13-6.10), um e1 und e3 als Funktion des e2 und dieses als Fnktion von λµ darzustellen. Aus der ersten Gleichung folgt e3 = −(e1 + e2 ), was wir in die anderen beiden einsetzen e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 e1 e2 e3
g2 1 =− (13-14.11) 4 3 g3 2 = − λµ (13-14.12) e21 + e1 e2 = 4 27
= e1 e2 − (e2 + e1 )2 = −e21 − e1 e2 − e22 = − = −e1 e2 (e1 + e2 ) = −e2
D.h., e21 + e1 e2 + e22 e21 + e1 e2
=
1 3
= −
(13-14.13) 1 e2
2 − λµ 27
(13-14.14)
Die erste Gleichung gibt e2 e1 = − ± 2
r
m 1 1 3 2 − e =− + + 3 4 2 r2 6
s
1 m 3m2 + − 2 4 r2 r2
(13-14.15)
233
13.14. LICHTBAHNEN
(a) Licht f¨ allt in die Singularit¨ at
(b) Lichtablenkung
(c) Lichtablenkung chem Umlauf
mit
mehrfa-
Abbildung 13.50: Fall LII. (a) Fall LIIa – Licht wird im Abstand r = 2m tangential ausgesandt und f¨ allt in die Singularit¨ at. (Die gestrichelten Kreis bezeichnen den Schwarzschild–Radius r = 2m und den Radius r = 3m). (b) Lichtablenkung. (c) Bei der Lichtablenkung kann das Licht mehrmals das gravitierende Zentrum umrunden.
2 3
herauskommen soll, gilt nur das obere Vorzeichen), so dass auch s r e2 1 3 2 1 m 3m2 m 1 e3 = −e1 − e2 = − ∓ (13-14.16) − 2 − e2 = − + − + 2 3 4 r2 6 4 r2 r2
(da f¨ ur m = 0 der Wert e1 =
Subtraktion der zweiten von der ersten f¨ uhrt auf 1 2 e32 − e2 − − λµ = 0 , 3 27
(13-14.17)
womit man prinzipiell den Parameter λµ in r2 umrechnen k¨onnte, was wir aber nicht brauchen. Damit haben zusammen s s 2m 1 m 1 1 m 3m2 1 m 3m2 m 1 + − 2 , e2 = − , e3 = − + − + − 2 . (13-14.18) e1 = − + + r2 6 4 r2 r2 r2 3 r2 6 4 r2 r2 Der Ablenkwinkel ist die Differenz der beiden Winkel, f¨ ur die der Nenner verschwindet: s √ e3 + 31 ϕ1,2 sn e1 − e3 . (13-14.19) ,k = ± − 2 e2 − e3 Gem¨aß Definition des sn, Glg. (13-5.2) und (??), erh¨alt man also f¨ ur die beiden Winkel ϕ1 und ϕ2 Z
r
e +1
− e 3−e3
s
e3 + 31 e2 − e3 0 (13-14.20) was sich vollst¨ andig durch den Parameter r2 ausdr¨ ucken l¨aßt. Damit ergibt sich f¨ ur den Ablenkwinkel s e3 + 31 4 , (13-14.21) F (α, k) , sin α = − ∆ϕ = 2φ1 = √ e2 − e3 e1 − e3 ϕ1,2
2 = ±√ e1 − e3
arcsin
2
3
2 p = ±√ F (α, k) , 2 2 e 1 − e3 1 − k sin ψ dψ
α = arcsin
−
wobei wir noch berechnen e2 − e3 = k2 = e1 − e3 e3 + 13 = e2 − e3
− rm2 3m r2
+ −
1 2 1 2
− +
3m r2
q
q
q + 14 + rm2 − q 2 2 14 + rm2 − 3m r2
−
1 2
3m2 r22
(13-14.22)
2
1 4
1 4
+
+
m r2
m r2
−
−
3m2 r22
3m2 r22
(13-14.23)
Dmit ist der Ablenkwinkel explizit als Funktion des minimalen Abstandes r2 dargestellt. Dies ist das exakte Resultat.
234
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Dies kann damit f¨ ur eine relativistische N¨aherung auch nach 2m entwickelt werden. Dazu f¨ uhren wir eine relativistische N¨ aherung bis zur zweiten Ordnung in m durch. Wir erhalten k2 =
arcsin
s
4m 12m2 + O(m/r2 )3 − r2 r22
(13-14.24)
−
e3 + 31 1 m m2 = − + 2 + O(m/r2 )3 e2 − e3 2 2r2 2r2
(13-14.25)
−
e3 + 31 π m m2 = − + 2 + O(m/r2 )3 e2 − e3 4 2r2 2r2
(13-14.26)
Setzen wir das in das exakte Resultat ein und n¨ahern bis zur zweiten Ordnung in m, dann erhalten wir 4m m2 ∆ϕ = − (4 + 15π) 2 + O(m/r2 )3 . (13-14.27) r2 r2 Mit algebraischen Rechenprogrammen kann das beliebig verbessert werden. Die u ¨bliche Darstellung verwendet statt r2 den Impaktparameter. Dazu muss man (13-14.17) nach e2 bzw. nach r2 aufl¨ osen. Man kann diese Gleichung geschlossen l¨osen, zum Vergleich mit der u aherhgsformel gen¨ ugt uns aber auch die gen¨aherte L¨osung. Diese lautet ¨blichen N¨ Em E 2 m2 1 +2 + O(m3 ) e2 = − + 2 3 L L
(13-14.28)
woraus
L −m E folgt. Setzt man dieses r2 in (13-14.27) ein, ergbt sich das u ¨bliche Resultat. r2 =
13.14.3
(13-14.29)
Fall LIII Veff
Xλ,µ (x)
LIIIa
LIIIb
r 1 3
− 13
2 3
x
(a) Charakteristisches Polynom
(b) Potential und Lichtenergie
Abbildung 13.51: Fall LIII. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E 2 /2. 8 4 , so dass g2 = 43 und g3 = − 27 . Das charakteristische Polynom lautet Xλ,µ (x) = Hier ist λµ = 27 2 2 2 1 4 x + 3 x − 3 . Die Nullstellen sind e3 = − 3 und e2 = e1 = 31 , so dass ∆ = 0. Die Wertebereiche sind a) 13 < x < ∞ und b) − 31 < x < 31 , was den Abst¨anden
a)
0 ≤ r < 3m
und
b)
3m < r∞
entspricht. Die expliziten L¨ osungen lauten mit (13-6.77), (13-6.78) und a =
(13-14.30) 1 3
2m 2m 2m √ ϕ 2 1 = = 2 ℘( ϕ2 ) + 13 coth2 ϕ2 − 31 3a coth 3a 2 − 3 + 3 2m 2m 2m √ ϕ 2 1 = b) r(ϕ) = ϕ 1 = 2 ℘( 2 + ω2 ) + 3 tanh2 ϕ2 − 3a tanh 3a 2 − 3 + 3 a)
r(ϕ) =
(13-14.31) 1 3
(13-14.32)
Dies sind Lichtbahnen, die sich in einer unendlichen Spirale asymptotisch an den Kreis mit dem Radius r = 3m ann¨ ahern. Die eine Lichtbahn endet in der Singularit¨at, die andere kommt aus dem Unendlichen, siehe Abb. 13.52. Im Fall b) ist der Definitionsbereich von ϕ halbseitig beschr¨ankt und zwar auf das Intervall, f¨ ur das tanh2 ϕ2 > 13 , d.h. ϕ > 2Arctanh √13 oder ϕ < −2Arctanh √13 .
235
13.14. LICHTBAHNEN
(a) Ausspiralen aus r = 3m
(b) Einspiralen auf r = 3m
Abbildung 13.52: Fall LIII. (a) Fall LIIIa – Die Lichtbahn endet in der Singularit¨ at und schmiegt sich asymptotisch an den Kreis mit dem Radius r = 3m an. (Die gestrichelten Kreise haben wieder die Radien r = 2m und r = 3m). (b) Fall LIIIb – Licht kommt aus dem Unendlichen und spiralisiert asymptotisch auf die Kreisbahn r = 3m ein.
13.14.4
Fall LIV Veff
Xλ,µ (x)
LIV
r − 13
1 3
2 3
x
(a) Charakteristisches Polynom
(b) Potential und Lichtenergie
Abbildung 13.53: Fall LIV. (a) Die erlaubten x–Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E 2 /2. 4 In diesem Fall ist 27 < λµ. Es gibt nur eine Nullstelle, so dass ∆ < 0. Der zusammenh¨angende 1 Wertebereich ist − 3 < x < ∞, d.h. 0 ≤ r < ∞, (13-14.33)
was einem Lichtstrahl entspricht, der aus dem Unendlichen in die Singularit¨at f¨allt. Die explizite L¨osung lautet 2m . (13-14.34) r(ϕ) = ℘( ϕ2 ) + 13 Dies ist eine quasi–hyperbolische Bahn, siehe Abb. 13.54.
13.14.5
Kreisbahnen
Mit Hilfe der obigen Geod¨ atengleichung in Form von (13-2.39a) k¨onnen wir leicht angeben, bei welchem Radius Licht eine Kreisbahn um ein Schwarzes Loch beschreibt. Eine Kreisbahn ist durch einen konstanten Radius r charakterisiert. Wir setzen also dr/dλ = 0 ein und erhalten eine Bedingungsgleichung f¨ ur r E2 L2 0= − 2 , (13-14.35) gtt r bzw. A2 = gtt
L2 . r2
(13-14.36)
236
KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM–ZEIT
Abbildung 13.54: Fall LIV. Licht f¨ allt aus dem Unendlichen in die Singularit¨ at.
Da wir hier keine Angabe der Konstanten E und L machen k¨onnen, m¨ ussen wir diese eliminieren. Der Trick besteht darin, diese Gleichung zu differenzieren und durch L2 zu dividieren: dgtt 2gtt − . r dr
0=
(13-14.37)
Hierin setzen wir das gtt der Schwarzschild–Metrik ein und erhalten r = 3m .
(13-14.38)
Dies ist der einzige Radius, bei dem Licht eine Kreisbahn um das Schwarze Loch beschreiben kann.
13.14.6
Zusammenfassung
Da es nur ein einziges Potential gibt (es gibt keine Minima und Maxima, die sich ver¨andern k¨onnen), k¨onnen wir alle F¨ alle in einem einzgen Diagramm zusammenfassen, siehe Abb. 13.55. Veff LIV LIII LII r LI
3m
Abbildung 13.55: Fall LII. M¨ ogliche Energien der Lichtstrahlen.
13.15
Der post–Newtonsche Grenzfall
Wir wollen nun die L¨ osungen in eine Reihe entwickeln, wobei der wesentliche Entwicklngsparameter 2 durch das Verh¨ altnis zwischen Schwarzschild–Radius und Abstand, m/r=Gm/(c b r) gegeben ist. Dies entspricht dem Newtonschen Potential. Dieser Entwicklungsparameter ist nur dann klein, wenn der Abstand zwischen dem Teilchen und dem gravitierenden Zentrum groß ist. Das schließt die Bahnen Ia, IIa, IV, V, VIa, VIIa, VIIIa, PIa, PIIa von vornherein aus. Andere Bahnen k¨onnen nur f¨ ur Abschnitte, die weit weg von der Singularit¨at sind, post–Newtonsch behandelt werden; dies sind die Bahnen III, PIII, PIV, PV. Die Bahnen Ib, IIb, VIb, VIIb, VIIIb, PIb, PIIb sollten aus jeden Fall post–Newtonsch behandelt werden o¨nnen, auch wenn sie teilweise bis an das Potentialmaxium, welches in der N¨ ahe des Schwarzschild–Radius liegt, herankommen. Dann wird man die Entwicklung entsprechend weit treiben m¨ ussen. Die Funktionen, die bei den zu diskutierenden L¨osungen eine wesentliche Rolle spielen, sind der sn (Ib, IIb, PIb), tanh (VIb, VIIb, PIIb) und die Konstante (Kreisbahn, VIIIb). ((Hier noch nicht klar, da negative Diskriminante III, PIII, PIV, PV))
