Die Elemente des Euklid
Euklid von Alexandria
lebte ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr.
systematisierte in 13 B¨ uchern ( Elemente“) das ” mathematische Wissen der Antike - bis ins 19. Jahrhundert nach Bibel das am meisten verbreitete Werk der Weltliteratur stellte die Geometrie in Form einer axiomatischen Theorie dar
Dr. Denis Vogel
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Papyrus aus Oxyrhynchon, ca. 100 n.Chr.
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Gliederung von Buch 1
Definitionen Postulate Axiome Propositionen
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Die Elemente des Euklid
¨ 23 Definitionen (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933)
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. 2. Eine Linie breitenlose L¨ange. 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichm¨aßig liegt. 8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander fortzusetzen. 10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter; und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu der, auf der sie steht.
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Die Elemente des Euklid
¨ 23 Definitionen (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933)
15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfaßte Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegene Punkte bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind. 16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt. 19. Geradlinige Figuren sind solche, die von Strecken umfaßt werden; dreiseitige die von drei, ... 20. Von den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten, ...
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¨ 5 Postulate (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933)
Gefordert soll sein: 1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann, 2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenh¨angend gerade verl¨angern kann, 3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann, 4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
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Postulat 5 - Das Parallelenpostulat 5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verl¨angerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
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Die Elemente des Euklid
¨ 5 Axiome (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933)
1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. 2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugef¨ ugt wird, sind die Ganzen gleich. 3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich. 4. Was einander deckt, ist gleich. 5. Das Ganze ist gr¨ oßer als der Teil.
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Die Elemente des Euklid
¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll u ¨ber der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll u ¨ber der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll u ¨ber der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll u ¨ber der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Da A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC = AB (Def. 15); ebenso ist, da Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist, BC = BA. Wie oben bewiesen, ist auch CA = AB, also sind CA und CB beide = AB. Was aber demselben gleich ist, ist auch einander gleich (Axiom 1), also ist auch CA = CB; also sind CA, AB, BC alle drei einander gleich. Also ist das Dreieck ABC gleichseitig (Def. 20); und es ist u ¨ber der gegebenen Strecke AB errichtet - dies hatte man ausf¨ uhren sollen.
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¨ Proposition 1 (aus der Ubersetzung von C.Thaer, 1933) ¨ Uber einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Da A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC = AB (Def. 15); ebenso ist, da Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist, BC = BA. Wie oben bewiesen, ist auch CA = AB, also sind CA und CB beide = AB. Was aber demselben gleich ist, ist auch einander gleich (Axiom 1), also ist auch CA = CB; also sind CA, AB, BC alle drei einander gleich. Also ist das Dreieck ABC gleichseitig (Def. 20); und es ist u ¨ber der gegebenen Strecke AB errichtet - dies hatte man ausf¨ uhren sollen.
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Kritik am Beweis von Proposition 1 Wieso existiert der Schnittpunkt C der beiden Kreise?
Wieso treffen sich AC und BC nicht schon, bevor sie C erreichen? (Disput zwischen Zenon von Sidon und Poseidonios)
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Literatur
¨ Euklid, Die Elemente, Clemens Thaer (Hrsg. und Ubs.), Teil 1 (Buch I-III), Teil 2 (Buch IV-VI), Teil 3 (Buch VII-IX), Teil 4 (Buch X), Teil 5 (Buch XI), Teil 6 (Buch XII-XIII), in: Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 235 ff., Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933, 1935, 1936 und 1937 European Cultural Heritage Online (ECHO) echo.mpiwg-berlin.mpg.de
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