Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Definition Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE).

Beispiel Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

1 3 0,075

2 7 0,175

3 8 0,2

4 9 0,225

5 5 0,125

6 8 0,2

Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Häufigkeit in der 2. Zeile, wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (z.B. 1 wurde 3-mal geworfen). Unter der in der 3. Zeile aufgeführten relativen Häufigkeit verstehen wir den Quotienten aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Versuche: Zur Kontrolle, ob wir die relativen Häufigkeiten richtig berechnet haben, addieren wir alle relativen Häufigkeiten... 0,075 + 0,175 + 0,2 + 0,225 + 0,125 + 0,2 = 1 ... und man erhält die Zahl 1.

Merke: Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.

Ergebnis, Ereignis, Ergebnisraum, Ereignisraum Definition Um ein ZE mathematisch beschreiben zu können, fasst man alle hierbei möglichen und jeweils interessierenden Versuchsresultate (Ergebnisse), die man mit ω1,ω 2 ,…,ω n bezeichnet, zu einer

{

}

Menge Ω zusammen, die man den Ergebnisraum des ZE nennt. Es gilt also: Ω = ω1,ω 2 ,…,ω n . Die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums Ω nennt man seine Mächtigkeit und schreibt dafür . (Hier gilt also: Ω = n .)

Beispiele 1. (einmaliges) Würfeln mit 1 Würfel

{

}

es interessiert die genaue Augenzahl: Ω = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

{ }

es interessiert, ob eine gerade oder ungerade Augenzahl geworfen wurde: Ω = g,u .

2. Zweimaliges Werfen einer Münze (man spricht von einem mehrstufigen ZE) Ω = {(K , K) , (K , Z) , (Z , K) , (Z , Z)} In diesem Beispiel kann man die Durchführung des ZE’s anhand eines sogenannten Baumdiagramms veranschaulichen:

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3. Es werden zwei unterscheidbare Würfel geworfen. Es handelt sich z.B. um einen roten und einen blauen Würfel. Dabei sollen die beiden Würfeln unabhängig voneinander fallen, d.h. das Verhalten des einen soll das Verhalten des anderen nicht beeinflussen. Die möglichen Versuchsausgänge sind alle 36 möglichen geordneten Paare von Augenzahlen: Ω = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3},... {6, 4}, {6, 5}, {6, 6}}. |Ω|=36

4. In einer Urne befinden sich 10 rote, 15 blaue und 5 grüne Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig ("blind") herausgegriffen. Die Kugeln der gleichen Farbe werden nicht unterschieden. Die möglichen Versuchsausgänge sind die 3 Farben der in der Urne enthaltenen Kugeln: r (steht für: es wird eine rote Kugel gezogen) b (steht für: es wird eine blaue Kugel gezogen) g (steht für: es wird eine grüne Kugel gezogen) Ω = { r , b , g }; |Ω|=3.

Definition Sei Ω der Ergebnisraum eines ZE. Dann heißt jede Teilmenge A von Ω fenden ZE). Ist ω

ein Ereignis (beim betref-

irgendein Ergebnis, so sagt man

im Fall ω ∈ A : das Ereignis A ist eingetreten, im Fall ω ∉ A : das Ereignis A ist nicht eingetreten. Elementarereignisse sind Ereignisse, A = ω1 , B = ω 2 , C = ω 3 , …

{ }

{ }

die

{ }

nur

aus

einem

Element

bestehen:

Mit jedem Versuchsausgang treten gewisse Ereignisse ein und andere nicht.

Beispiele 1. (einmaliges) Würfeln mit 1 Würfel

{

}

{

}

{}

{

}

Ereignisse sind z.B. „Primzahl“ = A = 2,3,5 , B = 1,2,4,5 , C = 5 , „gerade Zahl“ = D = 2,4,6 ; Wird z.B. die Zahl 4 gewürfelt (Ergebnis ω = 4 ), sind die Ereignisse B und D eingetreten, die Ereignisse A und C dagegen nicht.

2. Fortsetzung des Beispiels 3 von oben (zwei Würfeln): Mögliche Ereignisse sind: Die Augenzahlen sind 1, 4. Das entspricht der Teilmenge {{1, 4}} des Ereignisraums. Beide Augenzahlen sind nicht größer als 2. Das entspricht der Teilmenge {{1, 1}, {1, 2}, {2, 1}, {2, 2}} des Ereignisraums. Die Summe der Augenzahlen ist gerade. Die Augenzahl des roten Würfels ist doppelt so groß wie jene des blauen Würfels.

3. Fortsetzung des Beispiels 4 von oben (Urne mit Kugeln): Mögliche Ereignisse sind Es wird eine blaue Kugel gezogen. Das entspricht der Teilmenge {b} des Ereignisraums. Es wird eine rote oder eine blaue Kugel gezogen. Das entspricht der Teilmenge {r, b} des Ereignisraums. Falls das Ereignis A = { } ist, heißt das Ereignis A das unmögliche Ereignis. Falls gilt: A = Ω , heißt A das sichere Ereignis.

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Verknüpfung von Ereignissen Definitionen Es sei A ⊂ Ω irgendein Ereignis. Dann heißt ein Ereignis A , für das gilt: A ∩ A =

{}

∧

A ∪ A = Ω Gegenereignis zu A.

Ferner definiert man den Durchschnitt (∩) und die Vereinigung (∪) von Ereignissen:

{

}

{

}

A ∩ B := ω ω ∈ A ∧ ω ∈B ; A ∪ B := ω ω ∈ A ∨ ω ∈B Venn-Diagramme:

Wahrscheinlichkeit, Laplace-Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zu. Nennen wir ein Ereignis A, so wird die ihm zugeschriebene Wahrscheinlichkeit mit P(A) bezeichnet. Die einzelnen (Elementar-)Ereignisse eines Zufallsexperiments können unterschiedliche „Chancen“ (Wahrscheinlichkeiten) besitzen, die man i.a. in Prozent (%) angibt. Schreibweise: p = P ω1 .

({ })

Theoretisch kann man diesen Wahrscheinlichkeiten jeden beliebigen Wert geben, aber man lässt sich von den relativen Häufigkeiten inspirieren, die sich ergeben, wenn man das ZE sehr oft durchführt. Zusammen müssen die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse immer 1 (=100%) ergeben. Als sog. Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Würfel des Beispiels zur relativen Häufigkeit könnte man aufgrund des Versuchsergebnisses wählen: Augenzahl Wahrscheinlichkeit p

1 0,075

2 0,175

3 0,2

4 0,225

5 0,125

6 0,2

Die einfachsten Zufallsexperimente sind aber dadurch gekennzeichnet, dass jeder Versuchsausgang (also jedes Elementarereignis) gleich wahrscheinlich ist. Man nennt sie Laplace-Experimente. Ein typisches Beispiel ist der (ideale) Würfel. Selbst wenn man die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Augenzahlen nicht kennt, sorgt seine perfekte (ideale) Form dafür, dass sie alle gleich groß sind. Diese Information reicht aber aus, sie konkret zu berechnen: p=1/6.

Definition Wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, spricht man von einem Laplace-Experiment und von Laplace-Wahrscheinlichkeit [Pierre Simon de Laplace (1749-1827)]. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. Spezialfall für Laplace-Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Anzahl der zugehörigen Ergebnisse („günstige Ergebnisse“) durch die Gesamtzahl aller Anzahl der günstigen Ergebnisse möglichen Ergebnisse dividiert: Wahrscheinlichkeit = . Anzahl der möglichen Ergebnisse

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Beispiele ⎛

1⎞

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette die Null auftritt? ⎜ p = ⎟ 37 ⎠ ⎝ 2. Du ziehst eine Karte aus einem Skatspiel (ein Skatspiel hat 32 Karten). Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischst du

a)

⎛ 1⎞ den Kreuzbuben? ⎜ P "Kreuzbube " = 32 ⎟⎠ ⎝

b)

eine Pik-Karte?

(

)

⎛ 8 1⎞ ⎜⎝ P "Pik − Karte " = 32 = 4 ⎟⎠

(

)

3. In einer Urne befinden sich 50 blaue, 30 gelbe und 120 rote Kugeln. Man zieht nun eine Kugel aus dieser Urne. Wie wahrscheinlich ist es,

a)

⎛ ⎞ 50 1 dass man eine blaue Kugel zieht? ⎜ P "blaue Kugel" = = = 0,25 = 25%⎟ 200 4 ⎝ ⎠

b)

keine gelbe Kugel zieht?

(

)

⎛ ⎞ 30 17 ⎜⎝ P "keine gelbe Kugel" = 1− P "gelbe Kugel" = 1− 200 = 20 = 0,85⎟⎠

(

)

(

)

4. Um im obigen Beispiel 3 (ein roter und ein blauer Würfel) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Die Summe der Augenzahlen ist gerade" zu berechnen, benötigt man: •

die Zahl der möglichen Fälle (Zahl der möglichen Versuchsausgänge). Sie ist 36.

•

die Zahl der günstigen Fälle, d.h. die Zahl der möglichen Versuchsausgänge, bei denen die Summe der Augenzahlen gerade ist. Die Summe der Augenzahlen ist gerade, wenn beide Augenzahlen gerade oder wenn beide Augenzahlen ungerade sind. Da jeder Würfel 3 gerade und 3 ungerade Augenzahlen besitzt, gibt es 9 Versuchsausgänge der Form (gerade, gerade) und 9 Versuchsausgänge der Form (ungerade, ungerade). Insgesamt gibt es also 18 günstige Fälle. also: P(„Die Summe der Augenzahlen ist gerade“) = 18/36 = 1/2.

5. Beispiel: Das obige Beispiel 4 (Urne mit 10 roten, 15 blauen und 5 grünen Kugeln, wobei Kugeln gleicher Farbe nicht unterschieden werden und eine Kugel zufällig herausgegriffen wird) ist kein Laplace-Experiment. Das folgt daraus, dass die Versuchsausgänge rot, blau und grün (für die herausgegriffene Kugel) nicht die gleiche Chance haben, einzutreten. Es lässt sich aber leicht auf ein Laplace-Experiment zurückführen, wenn man einen Trick anwendet: Man nummeriert die Kugeln (heimlich) durch, so dass jede ihre eigene Identität besitzt. Nun wird jede Nummer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen - wir haben aus dem Urnenbeispiel vorübergehend ein Laplace-Experiment gemacht: •

Die Zahl der möglichen Fälle ist 30 (die Anzahl der Kugeln in der Urne).

•

Hinsichtlich des Versuchsausgangs rot ist die Zahl der günstigen Fälle 10 (die Anzahl der roten Kugeln in der Urne). also: P(„es wird eine rote Kugel gezogen“) = 10/30 = 1/3. In ähnlicher Weise lassen sich viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf LaplaceExperimente zurückführen.

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Mehrstufige Zufallsexperimente Definition Wenn ein ZE darin besteht, dass mehrere ZE’s in einer werden, spricht man von einem zusammengesetzten ment. Je nach Anzahl der Stufen des ZE’s schreibt man Tripel (a1, a2, a3) oder allgemein n-Tupel (a1, a2, a3, ..., genau einen Pfad im zugehörigen Baumdiagramm dar.

bestimmten Reihenfolge ausgeführt oder mehrstufigen Zufallsexperiseine Ergebnisse als Paare (a1, a2), an). Jedes n-Tupel (Ergebnis) stellt

Beispiel In einer Urne befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln (nacheinander) ohne Zurücklegen gezogen.

1. Pfadregel Bei einem mehrstufigen ZE erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert

2. Pfadregel Bei einem mehrstufigen ZE erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehören.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Bei einer Befragung von 80 Personen gaben 65 an Englisch und 55 Französisch zu sprechen. Von denen die Englisch sprechen, sprechen 45 auch Französisch. Wenn man nur die 65 Personen betrachtet, die Englisch sprechen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person Französisch spricht 45 9 = =: PE (F) (bedingte Wahrscheinlichkeit). 65 13 Es gilt: P(E) ⋅ PE (F) = P E ∩ F .

(

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)

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Definition

( )

Seien A,B Ereignisse aus einem Ergebnisraum Ω eines ZE mit P B ≠ 0 .

( )

Dann heißt PB A :=

(

P B∩A

( )

P B

)

bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedin-

gung B.

Die Vierfeldertafel

allgemein: zwei Ereignisse A und B ermöglichen eine sog. Zerlegung des Ergebnisraums Ω in vier Teilmengen:

A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B und A ∩ B . Jedes Ergebnis ω gehört dabei genau einer Teilmenge an.

Beispiel In einem Betrieb sind 60% Männer beschäftigt. Von den Betriebsangehörigen rauchen 10%. Unter den weiblichen Betriebsangehörigen rauchen 15%. (a) Berechne den Anteil der weiblichen Raucher unter den Betriebsangehörigen. (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein beliebig herausgegriffener Betriebsangehöriger i. männlich, falls „er“ raucht? ii. Raucher, falls „er“ männlich ist? Lösung: (a) P W ∩ R = P W ⋅ PW R = 0,4 ⋅ 0,15 = 0,06 = 6%

(

)

(b)

( )

i. PR M =

=

( )

(

) = P (R) − P (R ∩ W ) = P (R) P (R)

P R∩M

0,1− 0,06 = 0,4 = 40% 0,1

( )

ii. PM R =

6/6

( )

(

) = 0,1− 0,06 =

P R∩M

( )

P M

0,6

1 ≈ 6,7% 15

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