Elektromagnetische Felder I

Klausur 4. September 2014

1. Berechnen Sie die folgenden vektoranalytischen Ausdr¨ ucke in den angegebenen Koordinatensystemen. Dabei sind a eine konstante L¨ange, ~r = (x, y, z)T , r = |~r|, Φ (~r) ein skalares Feld und V~ (~r) ein Vektorfeld. 
 r 3 in Kugelkoordinaten a) grad ln a b) div (Φ (~r) · ~r) in Kugelkoordinaten c) div rot V~ (~r) in kartesischen Koordinaten - F¨ uhren Sie die beiden Operationen explizit aus. Die Zwischenschritte m¨ ussen nachvollziehbar aufgeschrieben sein. ¨ d) Ubertragen Sie die nebenstehende Tabelle auf Ihr Papier und vervollst¨andigen Sie die fehlenden 20 Eintr¨age.

α/◦ 90 120 135 150 180 α/ rad sin α cos α tan α

e) Die magnetische Flussdichte ist nachfolgend in kartesischen Koordinaten am Ort ~ ra ) = µI · (1, 1, 0)T . Bestimmen Sie unter ~ra = (−a, a, 0)T mit a > 0 gegeben: B(~ 8πa ~ ra ) in Kugelkoordinaten. Benutzung des Koordinatenhilfszettels den Ausdruck f¨ ur B(~ f) Geben Sie die Lichtgeschwindigkeit in allgemeiner Form f¨ ur ein Material an. Benutzen Sie dazu die Permeabilit¨at und Permittivit¨at. Machen Sie deutlich welcher Teil die Vakuumlichtgeschwindigkeit repr¨asentiert und in welchem Teil der Einfluss der Materialeigenschaften wiederzufinden ist. Berechnen Sie ausgehend von dem Teil, der die Vakuumlichtgeschwindigkeit ausmacht den Wert von c0 . (11 Punkte) 2. Gegeben sei ein idealer Zylinderkondensator mit Innenradius a, Außenradius b und H¨ohe h. Auf der inneren Kondensatorplatte ist die Ladung +Q und auf der ¨außeren −Q aufgebracht (Q > 0). Die Ladungen sind auf der jeweiligen Platte frei beweglich, k¨onnen diese aber nicht verlassen. a) Berechnen Sie zun¨achst die Kapazit¨at des leeren Kondensators. Zum Zeitpunkt t = 0 wird damit begonnen, ein fl¨ ussiges Dielektrikum mit εr = 5 in den anfangs leeren Kondensator einzuleiten. Der F¨ ullstand f (t) erh¨oht sich parallel zur Zylinderachse.

a b

h εr f (t)

~ b) Haben sich nach der vollst¨andigen F¨ ullung des Kondensators die Kapazit¨at, das DFeld und/oder die Spannung zwischen den Kondensatorplatten im Vergleich zum leeren Kondensator ge¨andert? Begr¨ unden Sie Ihre Antworten kurz mit Formeln. ~ c) Berechnen Sie das E-Feld zwischen den Kondensatorplatten w¨ahrend des F¨ ullvorgangs. Es ist abh¨angig von Zeit und Ort! Beachten Sie, dass w¨ahrend des F¨ ullvorgangs die Ladung nicht gleichm¨aßig u ¨ber die Kondensatorplatten verteilt ist Parallelschaltung zweier Kondensatoren! (10 Punkte)

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3. a) Wie lautet das Biot-Savart-Gesetz f¨ ur eine Stromdichte J?

y Gegeben ist eine quadratische Leiterschleife mit der Kantenl¨ange 2a in der (z = 0)-Ebene. Ihr Mittelpunkt befindet sich auf der z-Achse, ihre Seiten liegen parallel zur x- bzw. y-Achse. Der Leiter ist ideal d¨ unn und der Strom I fließt entgegen dem Uhrzeigersinn durch die Schleife.

2

z

I

x

4

2a

Elektromagnetische Felder I

3

b) Geben Sie die Stromdichte im oberen Abschnitt 1 an. c) Stellen Sie f¨ ur den Strom in Abschnitt 1 das Integral f¨ ur dessen Beitrag zur magne~ tischen Flussdichte B1 (0, 0, z0 ) auf der z-Achse auf. Rechnen Sie das Kreuzprodukt aus, aber l¨osen Sie noch nicht das Integral. d) Nun werden alle vier Abschnitte zusammen betrachtet. Welche Komponenten der ~ ges verschwinden auf der z-Achse? Dieser Aufgesamten magnetischen Flussdichte B gabenteil kann auch ohne die anderen Aufgabenteile gel¨ost werden. ~ ges (0, 0, z0 ) auf der z-Achse. Benutzen e) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B Sie dabei das in c) aufgestellte Integral und setzen Sie gem¨aß d) verschwindende Komponenten auf 0. Ber¨ ucksichtigen Sie außerdem, dass jeder der vier Abschnitte ~ ges leistet. den gleichen Beitrag zu B R R x Hinweis: (x2 +b12 )3/2 dx = b2 √xx2 +b2 dx = √x−1 , 2 +b2 (x2 +b2 )3/2 (9 Punkte)

H ~ d~l = 0 auf jedem geschlossenen Weg C gilt, ~ E 4. a) Beweisen Sie: Wenn f¨ ur ein E-Feld C ~ = ~0 im ganzen Raum. dann gilt auch rot E ~ ist darstellbar als B ~ = rot A. ~ Wie heißt A ~ und wie kann man A ~ in ein A ~′ u b) B ¨ber′ ′ ~ ~ ~ f¨ uhren, so dass auch f¨ ur A gilt: B = rot A , d.h. welcher Zusammenhang besteht ′ ~ ~ zwischen A und A ? Geben Sie die Gleichung der Vektoranalysis an, die dem zu ~ ¨ Grunde liegt. Wie heißt eine solche Anderung von A? (5 Punkte)

5. Betrachtet wird eine einfallende ebene Welle an einer ebenen Grenzschicht zwischen zwei verschiedenen Materialien. Es kommt zur Reflexion und Brechung. a) Welche Gr¨oßen ben¨otigen Sie, um die reflektierte und die gebrochene Welle vollst¨andig zu spezifizieren? b) Wieso gibt es insgesamt vier Fresnel-Formeln bzw. wieso reichen nicht zwei? c) Woher kommt der Unterschied zwischen den Fresnel-Formeln und dem elektrostatischen bzw. dem magnetostatischen Brechungsgesetz? Es geht doch bei allen um das Feldverhalten an Grenzfl¨achen. (5 Punkte)

Elektromagnetische Felder I

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6. a) Gegeben sei eine Grenzfl¨ache zwischen zwei Materialien 1 und 2. Diese unterscheiden sich in ihren Permittivit¨aten und Permeabilit¨aten. Der Normalenvektor ~n auf der Grenzfl¨ache zeigt von Material 1 ins Material 2. In der Grenzfl¨ache sind eine ~ vorhanden. Grenzfl¨achenladungsdichte σ und eine Grenzfl¨achenstromdichte K Geben Sie diejenigen Gleichungen von den nachfolgend aufgelisteten an, die das Verhalten der vier Feldst¨arken an der Grenzfl¨ache allgemein beschreiben. Außerdem ist die jeweils zugeh¨orige Maxwellgleichung in differentieller Form anzugeben, aus der die Randbedingung hergeleitet werden kann. Die Herleitung selbst ist nicht gefordert. ~2 − B ~ 1) = σ ~n × (B ~2 − E ~ 1) = σ ~n × (E ~2 − E ~ 1) = σ ~n · (E

~2 − B ~ 1) = 0 ~n · (B ~2 −D ~ 1) = K ~ ~n · (D ~2 − H ~ 1) = K ~ ~n × (H

~2 − B ~ 1 ) = ~0 ~n × (B ~2 − E ~ 1) = K ~ ~n · (E ~2 −D ~ 1) = K ~ ~n × (D

~2 − B ~ 1) = σ ~n · (B ~2 − D ~ 1) = σ ~n · (D ~2 − D ~ 1 ) = ~0 ~n × (D

~2 − H ~ 1) = 0 ~n · (H ~2 − H ~ 1) = σ ~n × (H ~2 −D ~ 1) = 0 ~n · (D

~2 − E ~ 1 ) = ~0 ~n × (E ~2 − H ~ 1) = σ ~n · (H ~2 − H ~ 1 ) = ~0 ~n × (H

~2 − B ~ 1) = K ~ ~n × (B

~2 − E ~ 1) = K ~ ~n × (E

~2 − E ~ 1) = 0 ~n · (E

b) Die Grenzfl¨ache sei nun die x-y-Ebene, unterhalb sei Vakuum, oberhalb ein Material mit εr = 2 und µr = 3. Eine Grenzfl¨achenladungsdichte oder -stromdichte sind nicht ~ 1 = (4, 5, 6)T V/m an der vorhanden. Im Vakuum sei die elektrische Feldst¨arke E ~ 2 im Material auf Grenzfl¨ache vorhanden. Wie groß ist die elektrische Feldst¨arke E der anderen Seite der Grenzfl¨ache? c) F¨ ur die gleiche Grenzfl¨ache und Materialparameter aus Aufgabenteil b): Welche Grenzfl¨achenladungsdichte oder Grenzfl¨achenstromdichte muss vorhanden sein, da~ 1 = (1, 2, 3)T T und im Material das Feld B ~ 2 = (5, 6, 3)T T mit im Vakuum das Feld B auftreten k¨onnen? (10 Punkte) 7. Eine ebene Welle mit der Kreisfrequenz ω breitet sich im Vakuum in z-Richtung aus. Ihr elektrisches Feld ist in x-Richtung linear polarisiert. Die Feldst¨arke hat zur Zeit t = 0 im Ursprung des Koordinatensystems ihren Maximalwert E0 . a) Geben Sie den zugeh¨origen Wellenvektor ~k an. ~ r, t) als Funktion von Ort und Zeit in komplexer b) Geben Sie das elektrische Feld E(~ Darstellung an. ~ r , t). c) Berechnen Sie das zugeh¨orige Magnetfeld H(~ d) Berechnen Sie das Verh¨altnis der Komponenten von elektrischem Feld zu magnetischem Feld. Wie wird dieses Verh¨altnis genannt? e) Wie h¨angt der Betrag der Leistungsflussdichte mit dem elektrischen Feld und dem im vorigen Aufgabenteil berechneten Verh¨altnis zusammen? f) Die Welle trifft nun senkrecht auf eine Grenzschicht zu einem Material mit εr = 4 und µr = 1. Berechnen Sie den ins Material transmittierten Bruchteil der Leistungsflussdichte der einfallenden Welle, also das Verh¨altnis von transmittierter zu einfallender Leistungsflussdichte. g) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit der Welle im Material. (9 Punkte)

Elektromagnetische Felder I

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Reflexion und Brechung an Grenzfl¨ achen: ✆ ☞ ☛ ✡✠ ✟ ✞ ✝

~ senkrecht zur Einfallsebene E Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans ) Erefl = Eeinf Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans ) Etrans 2Z2 cos(θeinf ) = Eeinf Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )

✆☎

❊✐

qt

❡

❜❡ ❧ ✂❡ ❢✁❧

q✍

✌t q✍

❍r

❦r

❦t

❍t ●

①

❞✐✄ ▼❡

❦✍

✌ r ❍✍

❞✐✄ ▼❡

♠

♠

✷

✶

✌✍

③

② ✆ ☞ ☛ ✡✠ ✟ ✞ ✝

~ parallel zur Einfallsebene E Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf ) Erefl = Eeinf Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf ) 2Z2 cos(θeinf ) Etrans = Eeinf Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )

✆☎

✌✑ ●

①

❦✏ ❍✏

❦✑

q✑

❡

❜❡ ❧ ✂❡ ✌ ❢✁❧ ✏ ✐ ❊

❍✑

q✎ ❍✎ ✌✎

❦ ✎

❞✐✄ ▼❡

q✎

❞✐✄ ▼❡

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✶

③ ②

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✷

Elektromagnetische Felder II

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8. a) Geben Sie je zwei unterschiedliche Formeln an, mit der die gespeicherte Energie in einem (idealen) Kondensator und in einer (idealen) Spule berechnet werden kann. Unterschiedlich bedeutet sowohl eine feldbasierte Formel wie eine Ersatzschaltbildformel. b) Wieso ist ein Ersatzschaltbild im dynamischen Fall generell eine N¨aherung bez¨ uglich des dreidimensionalen Feldbildes? Welcher physikalische Term wird z.B. bei allen Ersatzschaltbild-Bauelementen nicht ber¨ ucksichtig? (6 Punkte) 9. Ein Koaxialkabel mit Ri und Ra als Radius des ideal leitenden Innen- bzw. Außenleiters sei mit beliebiger L¨ange l gegeben. Es gibt zwei geschichtete Dielektrika, siehe nebenstehende Abbildung, mit unterschiedlichen Permittivit¨aten ε1 f¨ ur r ∈ [Ri ; Rx ] und ε2 f¨ ur r ∈]Rx ; Ra ]. Zwischen Innenleiter und Außenleiter wird eine Spannung U angelegt, wobei der Innenleiter positiv gepolt und der Außenleiter mit Masse verbunden, d.h. geerdet ist. Etwaige Randeffekte k¨onnen im Weiteren vernachl¨assigt werden.

U Ri

Rx

ε1 ε2 Ra

~ und das elektrische Feld E ~ f¨ a) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D ur den ~ Radius r ∈ [Ri , Ra ]. Geben Sie die dielektrische Verschiebung D und das elektri~ f¨ sche Feld E ur alle Radien r ∈ [0; ∞[ an. Die Ergebnisse sollen als Funktion der angelegten Spannung U dargestellt werden! b) Berechnen Sie den Kapazit¨atsbelag C ′ des Kabels, also die Kapazit¨at pro L¨angeneinheit. ~ und E ~ gec) Fortan gelte 4ε1 = ε2 . Geben Sie die in der ersten Teilaufgabe f¨ ur D fundenen Ausdr¨ ucke f¨ ur die hier gegebenen Materialparameter an. Fassen Sie diese Ausdr¨ ucke swoweit wie m¨oglich zusammen. ~ und E ~ qualitativ. Dabei soll eine gr¨oßere Feldd) Skizzieren Sie die Feldlinien von D st¨arke mit einer h¨oheren Anzahl an Feldlinien und eine kleinere mit einer geringeren Anzahl an Feldlinien deutlich dargestellt werden. (10 Punkte) 10. a) Erkl¨aren Sie den Begriff der Mode“. ” b) Welche Gr¨oße zu einer Mode gibt Auskunft dar¨ uber, ob bei einer gegebenen Frequenz ω ein reeller Leistungstransport m¨oglich ist? Welche Mode ist hierf¨ ur im Gleichstromfall ω = 0 geeignet und wie lautet der Wert der gefragten Gr¨oße f¨ ur ω = 0? c) Nennen Sie die beiden m¨oglichen L¨osungsklassen in geschlossenen metallischen Hohlrohren mit homogenem inneren Querschnitt. Welche Randbedingung ist f¨ ur welche nicht-verschwindende Feldkomponente zu erf¨ ullen? d) Wieso ist ein Multimoden-Lichtwellenleiter f¨ ur die hochbitratige interkontinentale Nachrichten¨ ubertragung unbrauchbar? (6 Punkte)

Elektromagnetische Felder II

11. Nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines Rechteckhohlleiters. In Abh¨angigkeit von den Indizes m und n k¨onnen folgende Feldkomponenten berechnet werden. Hierbei ist A eine noch n¨aher zu bestimmende Amplitude, welche f¨ ur TE- und TM-Wellen verschieden ist.

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z y b x a

(0, 0, 0)

TE-Wellen:

−j vω · z mπ nπ · cos · x · sin · y · e ph Eˆx = A · mπ 2ωµ nπ 2 · nπ a b ( a ) +( b ) b

−j ω · z · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph Eˆy = −A · mπ 2ωµ nπ 2 · mπ a a b ( a ) +( b ) ˆ Ez = 0 ω

−j vω · z vph mπ mπ nπ ˆx = A · H · · sin · x · cos · y · e ph 2 2 a a b +( nπ ( mπ a ) b ) ω

−j vω · z vph nπ mπ nπ ˆy = A · H · cos · x · sin · y · e ph · 2 2 b a b +( nπ ( mπ a ) b ) ω

ˆ z = −j · A · cos mπ · x · cos nπ · y · e−j vph · z H a b TM-Wellen: ω

−j ω · z v · cos mπ · x · sin nπ · y · e vph Eˆx = −A · mπ 2 ph nπ 2 · mπ a a b ( a ) +( b ) ω

−j ω · z v Eˆy = −A · mπ 2ph nπ 2 · nπ · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph b a b ( a ) +( b )

−j vω · z nπ Eˆz = −j · A · sin mπ · x · sin · y · e ph a b

−j ω · z ωε ˆx = A · · nπ H · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph nπ 2 mπ 2 b a b ( a ) +( b )

−j vω · z ωε mπ nπ mπ ˆ y = −A · H · cos · x · sin · y · e ph · 2 2 a a b +( nπ ( mπ a ) b ) ˆz = 0 H a) Welche Feldkomponenten sind f¨ ur die H10 -Mode ungleich Null? b) Berechnen Sie den Wellenwiderstand f¨ ur eine Welle, die sich in positiver z-Richtung in der H10 -Mode ausbreitet. c) Bestimmen Sie die Amplitude A so, dass in der H10 -Mode die effektive Leistung (zeitlicher Mittelwert) von 1 W durch den Hohlleiter transportiert wird. d) Welche Einheit hat die ausgerechnete Amplitude A? Mit Herleitung! R R 1 1 Hinweis: sin2 ax dx = 12 x − 4a sin 2ax und cos2 ax dx = 12 x + 4a sin 2ax (8 Punkte)

Elektromagnetische Felder II

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12. Ein Hertzscher Dipol mit Ausrichtung parallel zur z-Achse wird betrachtet. a) Geben Sie zun¨achst den allgemeinen Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω, der Lichtgeschwindigkeit c und der Wellenl¨ange λ an. b) Ab welchem Abstand r vom Hertzschen Dipol wird vom Fernfeld gesprochen? c) Geben Sie f¨ ur das Nahfeld eines Hertzschen Dipols an, welche der jeweils drei sph¨a~ und des H-Feldes ~ rischen Komponenten des Evon Null verschieden sind. d) Geben Sie f¨ ur das Fernfeld an, welche der jeweils drei sph¨arischen Komponenten des ~ und des H-Feldes ~ Ezum zeitlich gemittelten Leistungsfluss beitragen. e) Welche weitere sph¨arische Feldkomponente existiert noch im Fernfeld, tr¨agt aber nicht zum zeitlich gemittelten Leistungsfluss bei? f) Welche Abstandsabh¨angigkeit(en) besitzen die sogenannten Fernfeldterme des Hertzschen Dipols? g) Welche Abstandsabh¨angigkeit(en) besitzen die sogenannten Nahfeldterme des Hertzschen Dipols? h) Welche physikalischen Idealisierungen werden bei der Definition des Hertzschen Dipols angenommen? (8 Punkte)

13. In dieser Aufgabe wird die konforme Abbildung des Einheitskreises mit Radius 1 und z Mittelpunkt im Ursprung durch w(z) = 1−z betrachtet. Parametrisieren Sie den abzujφ bildenden Einheitskreis mit zk = e . a) Berechnen Sie zun¨achst Real- und Imagin¨arteil von w(zk ). b) Wohin werden die Punkte des Einheitskreises mit φ = ǫ, φ = π und φ = 2π − ǫ abgebildet, wobei 0 < ǫ ≪ 1 gilt? ¨ c) Zeichnen oder beschreiben Sie, wohin das Innere und wohin das Außere des Einheitskreises abgebildet werden. Eine Rechnung ist nicht erforderlich, aber eine Begr¨ undung. d) Wohin werden die drei folgenden Linienladungsdichten transformiert: τ1 am Ort z = 0 · e j0 , τ2 am Ort z = 10 · e jπ und τ3 am Ort z = 10 · e j0 ? e) F¨ ur welche der drei kombinierten Geometrien aus Einheitskreis und einer der Linienladungsdichten (τ1 , τ2 oder τ3 ) stellt die Abbildung w(z) eine Vereinfachung zur Feldberechnung dar? Geben Sie eine Begr¨ undung an. Hinweis: sin x = x − (11 Punkte)

x3 3!

+

x5 5!

− . . . und cos x = 1 −

x2 2!

+

x4 4!

− ...

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14. In der folgenden Abbildung sind drei Anordnungen von Ladungen und perfekt leitenden, ebenen Oberfl¨achen dargestellt. In jeder Anordnung befindet sich eine mit Q bezeichnete positive Punktladung. Die perfekt leitenden Oberfl¨achen sind senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt. Q 45◦

Q 45

(1)

◦

(2)

30◦ Q 30◦ (3)

a) Geben Sie f¨ ur diese Anordnungen jeweils an, wie viele positive und wie viele negative Bildladungen hinzugef¨ ugt werden m¨ ussen, um die Methode der Bildladungen anwenden zu k¨onnen. Gegeben ist nun eine vergleichbare Anordnung (4), nur mit beliebigen Winkel α: b) F¨ ur welche Winkel α l¨asst sich das elektrische Feld mit der Methode der Bildladungen direkt berechnen? c) Geben Sie f¨ ur die zul¨assigen Winkel an, wie viele positive und wie viele negative Bildladungen hinzugef¨ ugt werden m¨ ussen.

α/2 Q α/2 (4)

Gegeben ist nun eine zu Anordnung (2) modifizierte Anordnung (5): d) L¨asst sich das elektrische Feld mit der Methode der Bildladungen direkt berechnen? Falls Ja, fertigen Sie eine Zeichnung mit den Platten, der gegebenen Ladung und der/den Bildladung(en) an. Falls Nein, begr¨ unden Sie.

60◦ a

Q 30◦

(5)

e) F¨ ur die Anordnung (1) seien die folgenden Details festgelegt: die Oberfl¨ache liege in der (y = 0)-Ebene und die Ladung befinde sich am Ort (0, a, 0) mit der L¨ange a > 0. Geben Sie das Potential im oberen Halbraum (y ≥ 0) an, mit der Randbedingung, dass das Potential auf der perfekt leitenden Oberfl¨ache gleich Null sein soll. f) Geben Sie nun das Potential im Halbraum y < 0 an. g) L¨asst sich auf eine in dieser Aufgabe vorkommende Anordnung eine konforme Abbildung anwenden? Falls Ja, auf welche? Falls Nein, begr¨ unden Sie. (10 Punkte)