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EJERCICIOS RESUELTOS 1

Calcula las funciones primitivas, que toman el valor b cuando x = a, de las funciones f definidas por: a) f (x ) = 5x 3 – 4x 2 + x – 7; a = – 3; b = 2. 1 4 3 7 b) f (x ) = x 2 − x + ; a = 1; b = –1. − 2 5 x2 x5 Solución: a) F ( x ) = ∫ (5x 3 − 4x 2 + x − 7)dx = 5 Como debe ser F(–3) = 2: 5 ·

Operando:

x4 x3 x2 −4 + − 7x + c 4 3 2

( − 3)4 ( − 3)3 ( − 3)2 −4· + − 7( − 3) + c = 2 4 3 2

405 643 9 . + 36 + + 21 + c = 2 ; de donde c = − 4 4 2

⎛1 x −1 x −4 4 3 7⎞ 1 x3 4 x2 +3· −7· +c − · b) F ( x ) = ∫ ⎜ x 2 − x + 2 − 5 ⎟ dx = · ⎝2 ⎠ −1 −4 5 2 3 5 2 x x Para x = 1 es F(1) = –1

F (1) =

1 1 4 1 1 1 · − · +3· −7· + c = −1 2 3 5 2 −1 −4

Despejando: c =

2

29 . 60

Sea la función f (x ) = (ax 2 + bx + c ) 1 + x 2 a) Hallar su derivada. b) Calcula I =

∫

3x 3 + 4x 2 + 3x + 2 1+ x 2

dx utilizando el resultado obtenido en a).

Solución: a) f '( x ) = (2ax + b ) 1 + x 2 + (ax 2 + bx + c )

Operando: f '( x ) =

x 1+ x 2

(2ax + b ) (1 + x 2 ) + ax 3 + bx 2 + cx 1+ x 2

=

3ax 3 + 2bx 2 + (2a + c )x + b 1+ x 2

b) La expresión de f'(x ) para a = 1, b = 2 y c =1 corresponde al integrando de I, por tanto: I=

∫

3x 3 + 4x 2 + 3x + 2 1+ x 2

dx = ( x 2 + 2x + 1) 1 + x 2 + c

Tema 9. La integral

211

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Página 212

EJERCICIOS RESUELTOS 3

Encuentra la primitiva de y =

x3 − x2 + x − 1 que se anula para x = 1. x

Solución:

∫

I( x ) =

⎛ 1⎞ x3 − x2 + x − 1 x3 x2 − + x − ln |x | + c dx = ∫ ⎜ x 2 − x + 1 − ⎟ dx = ⎝ 2 3 x x⎠

Si ha de ser I(1) = 0: I(1) =

4

1 1 5 − + 1 − 0 + c = 0 . Despejando: c = − 3 2 6

Determina la ecuación del movimiento de un punto cuya velocidad es v = 3t + 1 y del que se sabe que en t = 2 segundos estaba a 5 metros del origen. Solución: La ecuación de la velocidad es la derivada del espacio recorrido respecto del tiempo empleado en recorrerlo, es 2 ds = 3t + 1. Por tanto: s = (3t + 1) dt = 3 t + t + c ∫ dt 2 Además, si en t = 2 era s = 5 tenemos: 5 = 3 × 2 + 2 + c, de donde: c = –3.

decir: ν =

Así pues la ecuación buscada es: s =

5

3t 2 +t–3 2

Calcula: 5x 2 + 3 x − 6

a)

∫

d)

∫ sen2 x dx

x2

dx

tg2 x

b)

∫ (sen2 x + cos2 x ) dx

e)

∫

2x + 5

c)

⎛3

∫ ⎜⎝ x

+

⎞ x + 3 x + x 3 ⎟ dx ; ⎠ 3

dx

2 x

Solución: 5x 2 + 3x − 6

a)

∫

b)

∫ (sen2 x + cos2 x )dx = ∫ dx

c)

∫ ⎜⎝ x

x2

⎛3

+

dx = (descomponiendo) =

212

2x + 5 2 x

= 5x + 3 ln | x | +

6 +c x

⎞ x x2 x4 3x + 3x + x 3 ⎟ dx = 3 ln |x | + + + +c ⎠ 3 6 ln 3 4

⎛ sen2 x ⎞ dx = ⎜ como tg2 x = d) ∫ ⎟ = 2 ⎝ sen x cos2 x ⎠

∫

6

= x + c pues sen2 x + cos2 x = 1

tg2 x

e)

3

∫ 5 dx + ∫ x dx − ∫ x 2 dx

dx =

∫

x x

dx + 5 ∫

1 2 x

∫

sen2 x cos2 x dx = sen2 x

dx = ∫ x 1/2 dx + 5 ∫

1

∫ cos2 x

1 2 x

dx =

= tg x + c

2x x x 3 /2 + x +c = + x +c 3/ 2 3

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Utiliza el cálculo integral para hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la hipérbola xy = 2 en el punto de abscisa x = 1. Solución: Primeramente calculamos la ecuación de la recta tangente que es: y – y (1) = y '(1) (x – 1); como y = 2

⇒ y '(1) = –2

Y

y la recta tangente es: y – 2 = –2(x – 1) ⇒ y = –2x + 4 El área pedida es la de la figura y su valor es:

4

Luego: y '(x ) = –

x2

2 , es y (1) = 2. x

2

A=

2

∫0 (− 2x + 4)dx

2 = [ − x 2 + 4x ]0

= − 4 + 8 = 4 u.a. O

7

1

X

2

a) Encontrar una función polinómica de 2º grado que pase por los puntos (0, 0), (1, 5) y (2, 8). b) Calcular el área limitada por la función polinómica anterior y las rectas y = 0, x = 1 y x = p, siendo p la abscisa del punto donde la función polinómica alcanza el valor máximo. Solución: a) La función polinómica buscada será de la forma y = ax 2 + bx + c Por pasar por el (0, 0) ⇒ 0 = c Por pasar por el (1, 5) ⇒ 5 = a + b + c Por pasar por el (2, 8) ⇒ 8 = 4a + 2b + c Resolvemos el sistema que forman las 3 ecuaciones resultando ser a = –1, b = 6 y c = 0 La función será y = –x 2 + 6x b) El punto donde la función alcanza el valor máximo es el vértice de la parábola que tiene por abscisa 6 b Y x =− =− = 3. 2a −2 x=1 x=3 La gráfica es: 9 y = −x2 + 6x 5

O

Por tanto el área pedida es: A =

1

3

X

6

3

⎡ x3 ⎤ 46 ∫1 (− x 2 + 6x )dx = ⎢⎣ − 3 + 3x 2 ⎥⎦1 = 3 u.a. 3

Tema 9. La integral

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EJERCICIOS RESUELTOS 8

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x ) = –x 2 + 3x + 4, su recta tangente en el punto de abscisa 3 y su recta tangente en el punto de abscisa –1. Solución: ⎛ 3 25 ⎞ La gráfica de la función es una parábola convexa de vértice ⎜⎝ , ⎟⎠ y corta al eje OX en los puntos de abscisa 2 4

x = –1 y x = 4, pues son las raíces de la ecuación –x 2 + 3x + 4 = 0. Si x = 3 es f (3) = 4, luego una recta tangente pasa por P (3, 4) y la otra por Q (–1, 0). Como f '(x ) = –2x + 3, tenemos: f '(3) = –3 y f '(–1) = 5 que son las respectivas pendientes de las rectas tangentes. Dichas rectas son: La que pasa por P (3, 4): y – 4 = –3(x – 3) ⇒ y = –3x + 13 La que pasa por Q (–1, 0): y – 0 = 5(x + 1) ⇒ y = 5x + 5 Ambas se cortan en el punto R (1, 10). El recinto está dibujado en la figura: Y y = 5x + 5 10

y = −3x + 13 7

A1

A2

y = −x2 + 3x + 4

6 5 4

−1

O

1

2

X

3 4

El área pedida será:

A=

=

214

3

1

∫−1[(5x + 5) − (− x 2 + 3x + 4)dx + + ∫1 [(− 3x + 13) − (− x 2 + 3x + 4)dx 1

∫− 1

( x 2 + 2x + 1)dx +

1

⎡x3 ⎤ ∫1 (x 2 − 6x + 9)dx = ⎢⎣ 3 + x 2 + x ⎥⎦−1 + 3

= 3

⎡x3 ⎤ 8 8 16 u.a. − 3 x 2 + 9x ⎥ = + = ⎢ ⎣3 ⎦1 3 3 3

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FORMULARIO Integrales inmediatas Funciones elementales 1)

∫ dx

2)

∫ x n dx =

3)

∫ xn

4)

∫

dx

dx x

Funciones compuestas

= x +C

x n +1 + x + C (n ≠ n +1 −1

=

(n

− 1)x n −1

+ C (n

=2 x +C

1

1)

∫ f '(x )dx

2)

n ∫ [f (x )]

3)

∫

4)

∫

= f (x ) + C · f '( x )dx =

[f (x )]n +1 + C n +1

n ≠1

f '( x ) dx −1 + C (n ≠ 1) = n f (x ) (n − 1) f ( x )n −1 f '( x ) dx f (x ) f '( x )

= 2 f (x ) + C

5)

∫ x dx

= ln |x | + C

5)

∫ f (x ) dx

6)

∫ e x dx

= ex + C

6)

∫ ef ( x ) · f '(x ) dx

= ef ( x ) + C

7)

∫ a x dx

=

7)

∫ af ( x ) · f '(x ) dx

=

8)

∫ sen x dx

= − cos x + C

8)

∫ f '(x ) sen f (x ) dx

= − cos f ( x ) + C

9)

∫ cos x dx

= sen x + C

9)

∫ f '(x ) cos f (x ) dx

= sen f ( x ) + C

= − ln cos x + C

10)

∫ f '(x ) tg f (x ) dx

11)

∫ cos2 f (x ) dx = ∫ f '(x ) ⎡⎣1 + tg2 (f (x ))⎤⎦ dx

12)

∫ sen2 f (x ) = ∫ f '(x ) ⎡⎣1 + ctg2 (f (x ))⎤⎦ dx

ax + C (a > 0, a ≠ 1) ln a

10)

∫ tg x dx

11)

∫ cos2 x = ∫ (1 + tg2 x )dx

12)

∫ sen2 x = ∫ (1 + ctg2 x )dx

dx

dx

= tg x + C = − ctg x + C

= ln f ( x ) + C

af ( x ) + C (a > 0, a ≠ 1) ln a

= − ln cos f ( x ) + C

f '( x )

= tg f ( x ) + C

f '( x ) dx

= − ctg f ( x ) + C

Integral definida b b ∫a f ( x ) dx = [F ( x )]a

= F (b ) − F (a ) siendo F(x ) una primitiva de f (x ) en [a, b].

Tema 9. La integral

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EJERCICIOS FINALES Del 38 al 64. Determina la solución general de las siguientes integrales.

38 a)

39 a)

40 a)

41 a)

∫ (3x − x 3 ) dx x4

∫

+ x2

x3

dx

55 a)

∫

56 a)

∫ ⎜⎝ x

57 a)

∫ 2x /2 dx

58 a)

∫ 2x 2 + 3 dx

∫ 3 x2

59 a)

∫ x2 ·

∫3 ⎛

∫ ⎜⎝

5

∫ x 2 + 3x dx

b)

∫

3

x 2 dx

dx x 2

x +

1 ⎞ ⎟ dx x⎠

⎛ 6

x 3 + x 2 + 7x dx x ⎛1

1

+

x2

1⎞ ⎟ dx x3 ⎠

+

b)

∫ sen (7x + 1) dx

b)

∫ e 4x +2 dx

b)

∫ cos2 (x 2 ) dx

⎞

∫ ⎜⎝ x 2 + 2x ⎟⎠ dx

b)

dx x

2x + 3

b)

x

2

∫2

b)

x + 3 x ) dx

⎞

54 a)

b)

∫ x (1 − x )2 dx ∫(

⎛ 8

∫ ⎜⎝ x 2 + 1⎟⎠ dx

b)

53 a) ∫ cos ( x + 4) dx

x

2

42 a)

∫ (1 − 3x 2 )2 dx

43 a)

∫

⎛ 1⎞ b) ∫ ⎜ x + ⎟ dx ⎝ x⎠

7x

b) ∫ (3x 3 + 2x 2 + 7x − 3) dx

5 dx

3x 2 − x dx 4

b)

x 3 + 2 dx

⎛ 5⎞ 44 a) ∫ ⎜ x 2 + x + 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠

b)

∫6

x dx

60 a)

∫ x 2 sen x 3 dx

∫ (4x )2 dx

b)

∫ −(1 + 2x )2 dx

61 a)

∫

62 a)

∫ 3 x2

45 a) 46 a)

47 a) 48

∫ ∫

8x + 3

x4

dx

dx

b)

x +2

∫ tg2 x dx

∫2

− 2x

∫ x 2 + 1 dx

50 a)

∫ sen2 x cos x dx ∫ x 2 (x 3 + 3)3 dx

x +2

∫ 2 cos x dx

dx

b)

∫x

7x + 4 6x 2 + 1 dx

b) ∫ (2x − 5)3 dx

1

dx

b)

∫

ln x dx x

63 Halla la función f tal que f (2) = 10 y cuya derivada es f '(x ) = 6x 2 – 3x . 3+x dx 5 para que la función resultante se anule en x = –1.

64 Determina la constante de integración de b)

b)

∫ (2 + 2 sec2 x − 5x ) dx x2

∫ x 3 + 3 dx

65 ¿Verdadero o falso? a)

∫

3 dx

b)

∫

6x

b) ∫ x · sen ( x 2 + 3) dx

52 a) ∫ e sen x · cos x dx b) ∫ (3x 5 + 4x 2 + 3x − 2) dx 216

− 6x + 2

∫

dx

(piensa que tg2 x = 1 + tg2 x – 1)

49 a)

51 a)

b)

x −3 x2

dx

b)

x +2

= 6 x +2 +c

4 − 2x 2

dx = − 3 4 − 2x 2 + c

∫

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3 − 4x − x 2

c)

∫

d)

∫ x dx

dx =

( x 2 + 3)2 1

=−

1

73 Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x (x – 1)(x – 2) y el eje OX.

x +2 +c x2 + 3

74 Calcular el área de la figura comprendida entre la π curva y = tg x, el eje OX y la recta x = . 3

+c

x2

66 Dada la función f (x ) = 3 x −

8 se pide determix2

⎛1 ⎞ nar una primitiva de f que pase por P ⎜ , 30 ⎟ . ⎝4 ⎠

67 Encuentra la primitiva de f (x ) = x 2 – x + 1 que toma el valor 2 cuando x = 1. 68 Encuentra la primitiva de f (x ) = 3x 2 + x – 2 que se anula para x = 1. 1

69 Encuentra la primitiva de f (x ) = se anula en x =

cos2 x

+ sen x que

π . 4

70 Utiliza rectángulos para hallar una acotación del 1 área encerrada por la función f (x ) = , el eje OX y x las rectas x = 1 y x = 5 haciendo una división del intervalo [1, 5] en cuatro partes. 71 Calcula las siguientes integrales definidas 1

a)

∫−2 (x 2 − x − 2) dx

c)

∫1

e)

4

1

∫0

dx

∫0 (1 − x 2 ) dx

d)

∫1 x 2

x x x dx

1

b)

f)

2 dx

2

∫0

x ( x + 4) dx

72 Comprueba que: 2

a)

∫− 2

b)

∫0 (x + 2)2 dx

2

x2

dx =

75 Calcular el área determinada por las funciones f (x ) = 2x – x 2 y g (x ) = –x. ⎡ π⎤ 76 Se considera la función f (x ) = sen x, x ∈ ⎢ 0, ⎥ y ⎣ 2⎦ π . sus tangentes en x = 0 y x = 2 Calcular el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes.

77 Con ayuda de la derivada determinar los intervalos donde es creciente o decreciente la función f (x ) = (x + 3) (x – 2)2, utiliza este resultado para representar la curva y = (x + 3) (x – 2)2, hallando el área del recinto finito encerrado entre dicha curva y el eje OX.

78 Halla el área encerrada por y =

1

x2

,x=

1 ,x=2 2

e y = 0.

79 Calcula el área limitada por la gráfica de la función f (x ) = x 3 – 9x, la recta x = 2 y el eje OX.

80 Obtener por cálculo integral el área encerrada por los ejes coordenados y las rectas y = 3x + 2 y x = 4. 81 Sea la función f (x ) = x 2 – 6x + 5. Calcular el área limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas.

dx

82 a) Encontrar una función polinómica de segundo grado que pase por los puntos: (0, –3), (1, –4) y (2, –3).

= − ∫ ( x + 2)2 dx

b) Calcular el área limitada por la función polinómica anterior y las rectas y = 0, x = 1 y x = 2.

1

∫− 2

x2

dx + 0

2

2

∫1

x2

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EJERCICIOS FINALES 83 En una región, un río tiene la forma de la curva 1 3 y= x – x 2 + x y es cortado por un camino diri4 gido según el eje OX. Haz un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento. Tomando como unidad el km calcula la extensión del terreno, comprendido entre el rio y el camino. 3 2 84 Considérese la curva de ecuación y = x – 2x + x, así como su tangente en el origen. Hallar el área de la región acotada del plano que queda encerrada entre la curva y la tangente.

88

Calcula el área siguiente:

Y

9

y= 9 x

y=x

3

9

3

1

O 1

89 Calcula el área siguiente:

4x 3

+ 10x + 8, se pide: 85 Dada la función f (x ) = a) Calcular una primitiva, F (x ), que cumpla la condición F (1) = 20. b) Calcular la integral de la función del enunciado, f (x ), en el intervalo [1, 2].

X

Y (0, 9)

5

(2, 5)

86 Halla utilizando el cálculo integral el área de la figura siguiente: Y (−3, 0)

2

O

1

X

2

2

(3, 0)

X

90 Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 + 2x +1, el eje de abcisas, la recta x = –2 y la recta x = 5.

1

−1

O

87 Calcula razonadamente mediante integrales el área de la figura, siendo la curva un trozo de parábola. Y 3

91 La parte superior de una pared de 2 metros de base tiene una forma parabólica determinada por la expresión –x 2 + 2x +1, donde x mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcula la superficie de la pared. 92 Calcula el área comprendida entre las gráficas de las funciones f (x ) = x 2 +3 y g (x ) = –x 2 + 2x + 7.

1 −2 −1 O

1

3

6

X

93 Calcula el área del recinto limitado por las gráficas f (x ) = x 2 + 2x + 2 y las rectas x = 0, x = 1 e y = 1. 94 Calcula el área del recinto cerrado comprendido entre la curva y = x 2 + 1 y las rectas y = x , x = 1, x = 2.

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AUTOEVALUACIÓN 1

Una primitiva F(x ) de f (x ) = 3x 2 – 2x tal que F(3) = 0 es:

A F(x ) = x 2 – 2x – 3

2

B F(x ) = x 3 – 3x 2

C F(x ) = x 3 – x 2 – 18

D nada de lo anterior

3 es: x B 3 + ln x

C 3x 2

D nada de lo anterior

C – cos x + sen x + C

D nada de lo anterior

C (1 + x )2/3

D nada de lo anterior

Una primitiva de la función f (x ) =

A ln x 3

3

La integral

∫ (sen x − cos x ) dx

A sen x + cos x + C

4

La integral

A

5

∫

B – (sen x + cos x + C)

1++ x es igual a:

1

B

2 1+ x

El valor de

B 101,75 5

∫3 2x dx

A 4

7

El valor de 4

3

4

∫3 ( 5x 2 + 3 x ) dx

[ x 2 + 4 ]53

C 29

D nada de lo anterior

es igual al de: 4

B 8 ∫ ( x 2 + x )dx 3

4

C 3 ∫ (5x 2 + x )dx 3

D nada de lo anterior

32 u.a. 3

B

16 u.a. 3

C no hay área

D nada de lo anterior

El área encerrada por la gráfica de las funciones y = x 2 + 1 e y = –x 2 – 1 es:

A

10

D nada de lo anterior

El área limitada por las gráficas de y = –x 2 + 7 e y = 3 es:

A

9

C 50

es:

B

A 5 ∫ ( x 2 + 3x )dx

8

2 (1 + x )3 +C 3

El área de la región plana comprendida entre y = x3 – 4x e y = 9x + 12 es:

A 100

6

es igual a:

8 u.a. 3

B

16 u.a. 3

C no existe tal área

D nada de lo anterior

El área limitada por la gráfica de la función y = cos x y el eje de abscisas en [0, 4π] es:

A 2 u.a.

B 4 u.a.

C 8 u.a.

D nada de lo anterior

Tema 9. La integral

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