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EJERCICIO _____________________________________________________________________________________________ Dadas las rectas r:
x 4 y 1 z 2 1 2 3
y
s : x 1
y 2 z 8 2 2
se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. _____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________ Perpendicular común a dos rectas que se cruzan y distancia entre las rectas 1
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a) POSICIÓN RELATIVA Las rectas r:
vienen determinadas por
x 4 y 1 z 2 2 1 3 A 4, 1, 2 r : u 2, 1, 3
y
s:
y
x 1 y 2 z 8 1 2 2
B 1, 2, 8 s : v 1, 2, 2
y tienen distinta dirección dado que sus vectores de dirección no son proporcionales 2 1 1 2
u y v son linealmente independientes
u o bien, porque R 2 , como podemos observar: v 2 1 3 R 2 por ser 1 2 2
2 1 3 0 1 2
Por lo tanto, las rectas serán secantes o rectas que se cruzan.
Para saber a cual de los dos casos corresponden estudiaremos si los vectores AB , u y v son linealmente dependientes o independientes. AB 3, 3, 10 3 3 10 2 1 3 6 9 40 10 12 18 39 0 1 2 2
AB , u y v son linealmente independientes
Por lo tanto, las rectas r y s se cruzan. b) PERPENDICULAR COMÚN Método 1 Sea t la perpendicular común a r y s. Determinemos los puntos P y Q de mínima distancia entre ambas rectas, puntos de intersección de la perpendicular común t con las rectas r y s, respectivamente. P r t y Q s t Para ello expresemos las rectas en forma paramétrica, y tomemos los puntos P y Q como puntos genéricos de sus respectivas rectas. Debemos utilizar distintos parámetros en cada una de las rectas. x 4 2λ x 1 r : y 1 λ y s : y 2 2 z 8 2 z 2 3λ P r P 4 2, 1 , 2 3 PQ 3 2 , 3 2, 10 3 2 Q s Q 1 , 2 2, 8 2
y teniendo en cuenta que PQ u PQ v
PQ u 0 2 3 2 1 3 2 3 10 3 2 0 PQ v 0 1 3 2 2 3 2 2 10 3 2 0
obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 27 14 10 0 14 10 27 6 4 2 3 2 30 9 6 0 23 10 9 0 10 9 23 3 2 6 2 4 20 6 4 0
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Resolviéndolo 70 50 135 13 26 2 70 63 161
y
10 18 23
1 2
y con
1 2
2
y
quedan determinados los puntos P y Q. 1 1 1 P 4 2 , 1 , 2 3 2 2 2
y
Q 1 2 , 2 2 2 , 8 2 2
es decir, 1 1 P 5, , 2 2
y
Q 1, 2, 4
y la recta t queda determinada por P y Q 1 1 P 5, , t: 2 2 Q 1, 2, 4
o bien, considerando el vector PQ
3 9 PQ 6, , w ' 12, 3, 9 w 4, 1, 3 2 2
y será Q 1, 2, 4 t: w 4, 1, 3
y dada por su ecuación continua es t:
x 1 y 2 z 4 4 1 3
c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método 1 d r , s d P, Q PQ
6
2
2
2
9 81 3 9 36 2 2 4 4
234 4
234 32 2 13 3 26 2 2 2
Por lo tanto, d r, s
3 26 2
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b) PERPENDICULAR COMÚN Método 2 Sea t la perpendicular común a r y s. Se puede dar la perpendicular común t como intersección de dos planos 1 y 2 , siendo 1 el plano que contiene a las rectas r y t, y 2 , el que contiene a s y t. t: 1 2 Un vector director de la perpendicular común t es el producto vectorial de los vectores directores r y s. i j k 1 3 2 3 2 1 w u v 2 1 3 i j k 4i j 3k 2 2 1 2 1 2 1 2 2 o sea,
w 4, 1, 3
quedando determinados A 4, 1, 2 1 : u 2, 1, 3 w 4, 1, 3
y
B 1, 2, 8 2 : v 1, 2, 2 w 4, 1, 3
x 4 y 1 z 2 2 3 2 1 1 3 3 0 1 : 2 1 x 4 y 1 z 2 0 4 3 4 1 1 3 4 1 3 6 x 4 18 y 1 2 z 2 0 6 x 24 18 y 18 2 z 4 0 6 x 18 y 2 z 38 0
1 : 3 x 9 y z 19 0 x 1 y 2 z 8 1 2 1 2 2 2 2 0 2 : 1 2 x 1 y 2 z 8 0 4 3 4 1 1 3 4 1 3 8 x 1 11 y 2 7 z 8 0 8 x 8 11 y 22 7 z 56 0 8 x 11y 7 z 42 0 2 : 8 x 11y 7 z 42 0
y se tiene que 3 x 9 y z 19 0 t: 8 x 11 y 7 z 42 0
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c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método 2 Dadas las rectas x 4 y 1 z 2 r: 2 1 3 determinadas por
A 4, 1, 2 r : u 2, 1, 3
consideramos el vector
y
s:
y
x 1 y 2 z 8 2 1 2
B 1, 2, 8 s : v 1, 2, 2
AB 3, 3, 10 AB, u, v d r, s u v 3 3 10 AB, u, v 2 1 3 6 9 40 10 12 18 39 1 2 2
i
j k
1 3 2 3 2 1 u v 2 1 3 i j k 4i j 3k 2 2 1 2 1 2 1 2 2 u v 4, 1, 3
2 u v 42 1 32 16 1 9 26 AB, u, v 39 39 39 26 3 26 d r, s u v 26 2 26 26 d r, s
3 26 2
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c) DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS Método 3 Dadas las rectas x 4 y 1 z 2 r: 2 1 3 determinadas por
y
A 4, 1, 2 r : u 2, 1, 3
s:
y
x 1 y 2 z 8 2 1 2
B 1, 2, 8 s : v 1, 2, 2
calculemos la ecuación del plano paralelo a una de las rectas y que contenga a la otra, por ejemplo, el plano s paralelo a r y que contiene a la recta s. s / s s y r s
Así pues, x 1 y 2 z 8 B 1, 2, 8 s : v 1, 2, 2 de donde s : 1 2 0 2 u 2, 1, 3 2 3 1 2 2 1 2 1 2 x 1 y 2 z 8 0 4 x 1 1 y 2 3 z 8 0 2 3 2 1 1 3 4 x 4 y 2 3z 24 0 4 x y 3z 18 0 s : 4 x y 3z 18 0
La distancia entre las rectas r y s será la distancia de cualquier punto de la recta r al plano s . d r , s d A, s
4 4 1 3 2 18 4 1 3 2
2
2
d r, s
16 1 6 18 16 1 9
39 26
39 26 3 26 26 2
3 26 2
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Por último, comprobemos que la perpendicular común obtenida con el método 1 coincide con la obtenida en el método 2. Método 1 Q 1, 2, 4 t: w 4, 1, 3
y
t:
x 1 y 2 z 4 4 1 3
Método 2 3 x 9 y z 19 0 t: 8 x 11 y 7 z 42 0
Determinemos un vector director de t como producto vectorial de los dos vectores normales que determinan la recta. i j k 9 1 3 1 3 9 w ' n1 n2 3 9 1 i j k 52i 13 j 39k 11 7 8 7 8 11 8 11 7 w ' 52, 13, 39 w 4, 1,3
por ser
w ' 13w
Por lo tanto las dos rectas tienen la misma dirección. Comprobemos que el punto Q 1, 2, 4 verifican las ecuaciones implícitas obtenidas por el método 2.
Efectivamente, 3 1 9 2 4 19 3 18 4 19 0 8 1 11 2 7 4 42 8 22 28 42 0
Conclusión: Es la misma recta
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