Extremwertaufgaben Aufgaben 1

Der Quader Welche oben offene Schachtel in der Form einer qua dratischen Sa ule hat bei gegebenem Oberfla cheninhalt von 3 dm 2 ein maximales Fassungsvermogen?

2

Der Kegel Aus einem kreisformigen Blatt Papier soll ein Kegel ohne Boden gefaltet we rden. Bei Uberlappung um welchen Winkel wird dessen Volumen m aximal?

3

Die Kugel Aus einer Holzkugel soll ein Zylinder mit groü tmoglichem Volumen geschnitzt werden. Wie viel Prozent des Holzes gehen dabei verloren? Hinweis: Zum Losen dieser Aufgabe werden keine Maü e der Kugel benotigt! Auch einen Taschenrechner braucht man nur f u r den letzten Schritt!

4

Die Holzplatte Aus einer Holzplatte in Form eines gleichschenklingen Dreiec ks soll ein moglichst groü es Rechteck ausgesa gt werden. An welchen Stellen der Dreicksseiten muss die Sa ge angesetzt werden? Wie viel Prozent des Holzes werden abgesa gt?

Hinweise zum Vorwissen In allen Aufgaben mu ssen Extremstellen von Funktionen berechnet werden. Ansonsten ist folgendes Wissen wird vorausgesetzt:

R

In Aufgabe 1: Volumen eines Quaders, Fla che eines Rechecks

R

In Aufgabe 2: Volumen eines Kegels, Fla che eines Kreises, Bogenla nge, Satz des Pythagoras

R

In Aufgabe 3: Volumen von Kugel und Zylinder, Satz des Pythagoras, Prozentrec hnung

R

In Aufgabe 4: Fla chenberechnung, Satz des Pythagoras, Strahlensa tze, Prozentrechnung

Losung zu Aufgabe 1 A

Extremalbedingung Das Volumen V = a 2b soll maximiert werden.

B

Nebenbedingung Die Oberfla che O = a 2 + 4 × a × b betra gt 3 dm2.

C

Zielfunktion Die Zielfunktion erha lt man durch Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Extremalbedingung. a)

Umformen der Nebenbedingung 2

O = a + 4 ×a×b = 3 b)

4 ×a ×b = 3 - a

Û

3 - a2 b= 4×a

Einsetzen in die Extremalbedingung V = a2 × b = a2 × also V(a) =

D

Û

2

3 - a2 3 × a2 - a4 3 1 = = × a - × a3 , 4×a 4×a 4 4

3 1 × a - × a3 4 4

Untersuchung der Funktion auf relative Extremstellen Es sind die Seitenla ngen gesucht, mit denen sich das maximale Volumen des Quaders ergibt. Gesucht ist demnach ein Hochpunkt von V(a) . a)

Ableitungen bilden V ¢(a) =

b)

3 3 2 - ×a 4 4

V ¢¢(a) = -

3 ×a 2

Berechnung der Extremstellen 0=

3 3 2 - ×a 4 4

Û

3 2 3 ×a = 4 4

Û

a2 = 1

Û

a = ±1

Beachte: Die Losung a = -1 ergibt fu r die Aufgabenstellung keinen Sinn! c)

Untersuchung auf Hoch- oder Tiefpunkt V ¢¢(1) = -

3