Drei-, Vier- und Vielecke ein einf¨ uhrendes und begleitendes Skriptum 2014 Klasse 3A

NB: Ich behalte mir immer das Recht, dieses Skriptum zu aktualisieren, sei es anl¨ aßlich Schreibfehler, Formulierungsfehler, Unklarheiten, Terminunm¨ oglichkeiten, Vernachl¨ assigungen, Erg¨ anzungen oder Sonstigen.

Inhaltsverzeichnis 1

Lernziele und Anforderungen 1. Du kennst dich bei den besprochenen Themen aus. 2. Du machst alle Aufgaben in der daf¨ ur angegebenen Woche. Nur Zusatsstoff und Zusatzaufgaben sind frei w¨ ahlbar und frei einteilbar. 3. Jede Unterrichtsstunde gibt es eine kleine Besprechung von etwa 5 bis 10 Minuten, wo wir die Unklarheiten beseitigen. 4. Ich erkl¨ are jede Unterrichtsstunde ein Beispiel oder ein Konzept. Ich will die Zeit daf¨ ur unter 10 Minuten halten. Arbeitet daran mit! 5. Ihr arbeitet jede Unterrichtsstunde mindestens 20 Minuten selbstst¨andig. 6. Es gibt am Ende jeder Stunde die M¨oglichkeit, in Kleingruppen Antworten mit einander zu vergleichen, Unklarheiten zu besprechen und kurz Fragen zu stellen. 7. Jede Woche schreibst du eine halbe Seite ‘Logbuch’, welche du mir jede Woche am Donnerstag abgibst. Darin beschreibst du (a) was du gelernt hast (welche Begriffe, Formeln, Techniken, Strategien), (b) was daran evt. schwierig war, (c) wie du gelernt hast (alleine, in Gruppen, beim Aufpassen/Mitschreiben, bei welcher Aufgabe) und (d) welche Probleme es noch gibt und wie du sie zu l¨osen glaubst. 8. Alle Aufgaben stehen sch¨ on in deinem Heft (oder Mappe) und ich kann mir jede Zeit dein Heft nehmen und mir das anschauen. 9. Du hast entweder dieses Skriptum von mir bekommen (Schwarzweißkopie) oder selbst eine Farbkopie von meiner Homepage ausgedruckt. Dieses Skriptum hast du in einem Schnellhefter, den du immer dabei hast.

10. Dein Buch hast du genau so wie dein Heft / deine Mappe immer dabei. 11. Es fehlt dir niemals an Papier, Bleistifte, Geodreieck, Taschenrechner und Schreiber. 1

12. Bei Krankheiten hast du selbst die Zeit und den Stoff nachzuholen. 13. Bei Problemen schickst du mir rechtzeitig eine Email oder meldest es sofort, wenn du kannst. 14. Man kann immer Besprechungstermine mit mir ausmachen und dann etwas genau besprechen oder vielleicht erkl¨ art bekommen. 15. Folgende Themen werden vorausgesetzt: (1) Verh¨altnisse, (2) Gleichungen, (3) Bruchzahlen, (4) Dezimalzahlen, (5) Wurzel, (6) Quadrate und Potenzen, (7) Binomische Formeln, (9) Klammern und wie man sie ausmultipliziert, (10) Winkel Messen und Winkelarten, (11) Dreiecke Konstruieren (teilweise), (12) Mit dem Taschenrechner umgehen, (13) Variablen, (14) Strahlensatz, (15) Wie du mit dem Zirkel umgehst. Die Lernziele sind die folgenden: 1. Den Satz des Pythagoras kennen, seine G¨ ultigkeit wissen, Anwendungen durchf¨ uhren k¨ onnen, Begr¨ undungen kennen. √ 2. Die Ungleichheit a2 + b2 < a+b f¨ ur alle a, b > 0 kennen und geometrisch deuten k¨onnen. 3. Fl¨ acheninhaltsberechnungen von Dreiecken verstehen, begr¨ unden k¨onnen und durchf¨ uhren k¨ onnen. 4. H¨ohen in Dreiecken einzeichnen, evt. mit dem pythagoreischen Lehrsatz berechnen und ihre Schnittpunkte ermitteln k¨ onnen. 5. Die besonderen Eigenschaften der rechtwinkligen Dreiecke kennen. 6. Wissen und verstehen, dass Eindeutigkeit bei Konstruktionen nicht immer gesichert ist. Du kennst und verstehst einige F¨alle von Mehrdeutigkeit bei der Konstruktion eines Dreiecks aus Angaben. 7. Verschiedene Vierecke kennen, ihre Definitionen und Eigenschaften kennen, ihre Fl¨acheninhalte berechnen und Fl¨ acheninhaltsformeln begr¨ unden k¨onnen. 8. Den pythagoreischen Lehrsatz in Vierecken anwenden k¨onnen, vor allem in Bezug auf H¨ohen und Diagonalen. 9. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen speziellen Vierecken kennen. 10. Probleme mit Fl¨ acheninhaltsberechnungen und beliebigen Vielecken auf Berechnungen mit Vier- und Dreiecken zur¨ uckf¨ uhren k¨onnen.

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Rechtwinklige Dreiecke

Ich erkl¨ are kurz die Formel A = ab f¨ ur rechtwinklige Dreiecke und die Formeln A = 1 1 bh = ch f¨ u r beliebige Dreiecke. b c 2 2

2.1

Umfang und Fl¨ acheninhalt

Aufgabe 1. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 845, 865, 866 und 867.

2

1 2 aha

=

2.2

Pythagoras und sein Lehrsatz

Merksatz M 1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a und b und Hypotenuse c gilt c2 = a2 + b2 . (a) Aus der Formel a2 + b2 = c2 folgt auch: a2 = c2 − b2 und b2 = c2 − a2 . (b) Wenn eine Kathete bekannt (sagen wir a) und die Hypotenuse auch gegeben ist, dann kann man also die zweite Kathete b ausrechnen: b2 = c2 − a2 und dabei ist es oft vom rechnerischen Vorteil das als b2 = (c − a)(c + a) zu schreiben. Ein Beispiel, in einem rechtwinkligen Dreieck √ ist bekannt c = 10, a = 9, dann b2 = (10 + 9)(10 − 9) = 19 · 1 = 19, also b = 19, und das ist etwas mehr als 4. √ √ (c) Wenn c2 = a2 + b2 , dann ist also c = a2 + b2 , aber Achtung, es gilt nicht a2 + b2 = a + b. Ein Zahlenbeispiel, wenn a = 3, b = 4, dann a2 + b2 = 25. Die Wurzel aus a2 + b2 ist also 5. Aber a + b = 7. Dies ist wirklich wichtig: √ Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a und b hat die L¨ange a2 + b2 und dies ist nicht zu verwirren mit a + b. Nehmen wir ein Dreieck 4ABC mit AB = a, BC = b und AC = c, dann ist die Strecke von A u ¨ber B nach C l¨anger √ als die Strecke direkt von A nach C. Erstere hat L¨ ange a + b und Letztere hat L¨ a nge c = a2 + b2 . Da die direkte Strecke √ 2 2 ussen a und b gr¨oßer immer k¨ urzer ist, gilt also im Allgemeinen a + b < a + b (Notiz, hier m¨ als Null sein, denn sonst ist es ja kein Dreieck). Aufgabe 2. Mache eine Zeichung von der Situation √ hier oben (ein Dreieck 4ABC mit AB = a, BC = b und AC = c) . Schreibe die Ungleichung a2 + b2 < a + b (falls a, b > 0) deutlich dazu, und sorge daf¨ ur, dass du das Argument verstehst! Also, gut lernen! √ Aufgabe 3. (TR) Kontrolliere die Ungleichung a2 + b2 < a + b f¨ ur: (i) a = 6, b = 7, (ii) a = 3, b = 9, (iii) a = 10, b = 7. √ Aufgabe 4. Kontrolliere, dass a2 + b2 = a + b, wenn a oder b Null ist, beide aber positiv sind. Mit dem Satz des Thales kann man leicht ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind: Satz von Thales. Situation: Sei l eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises. Seien A und B die Schnittpunkte des Kreises mit der Gerade l. Sei C irgendein Punkt auf dem Kreis, nicht gleich A oder B. Aussage: Dann ist der Winkel ∠ACB ein rechter Winkel und somit ist 4ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Anwendung: Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse c = 10cm und Kathete a = 6cm. Konstruiere einen Kreis mit Radius c/2 = 5cm. Zeichne eine gerade durch den Mittelpunkt; du bekommst zwei Schnittpunkte A und C und AC = c = 10cm. Stecke Aufgabe 5. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 1027 (a), 1033(a), 1034(a)(b). Merksatz M 2. Drei nat¨ urliche Zahlen a, b und c mit a2 + b2 = c2 bilden ein sogenanntes pythagoreisches Zahlentripel. Es existieren unendlich viele verschiedene pythagoreische Zahlentripel (Aussage ohne Beweis). Aufgabe 6. Mache 1031(a) und 1032(a) aus dem Buch.

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Oft sagt man, der Satz von Pythagoras ist a2 + b2 = c2 , aber strikt genommen ist das falsch. Denn, was sind a, b und c hier? Und warum geht es hier? Um drei beliebige Primzahlen? Um die H¨ ohe eines Flugzeugs (sei dies c) in einer Formel mit Geschwindigkeit b und Passagieranzahl c? Nein, es geht darum, dass in einem rechtwinkligen Satz aus den Katheten a und b die Hypotenuse c berechnet werden kann, und zwar mit der Formel c2 = a2 + b2 . Man muss hier genau sein! Denn sonst k¨ onnte man es falsch verstehen. Und pass bitte auf: Der Satz des Pythagoras gilt NUR in rechtwinkligen Dreiecken. Es ist sogar so, wenn ein Dreieck drei Seiten a, b und c hat und es gilt, a2 + b2 = c2 , dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b und Hypotenuse c. Dies ist die sogenannte Umkehrung vom pythagoreischen Lehrsatz. Das ist eine Feinheit, die man zu sch¨ atzen lernt, wenn man l¨anger dar¨ uber nachdenkt. So wie oft in der Mathematik muss man hier also ganz gut aufpassen und sehr genau sein.

2.3

Ho ¨hen (Ho ¨henlinien) und die Reduktion auf einfache Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke sind sozusagen ‘gute’ Dreiecke; wir wissen halt sehr schnell alles u ¨ber sie. Wenn wir zwei von drei Seiten wissen, wissen wir alle drei und gleich auch Fl¨acheninhalt und Umfang. Darum ist es eine gute Idee geometrische Probleme auf rechtwinklige Dreiecke zu reduzieren. Allgemein – auch ohne Bezug auf Mathematik – kann man schon sagen: Musst du ein großes Problem l¨ osen, dann ist es sinnvoll, das Problem in kleine St¨ uckchen zu verteilen, oder das Problem (mit oder ohne es zuerst aufzuteilen) auf Bekanntes zur¨ uckzuf¨ uhren. Ein Beispiel, du bist alleine irgendwo in der Lobau, und du weißt nicht mehr, wie du nach Hause kommst. Dann siehst du einen Bus, der nach Schwechat f¨ahrt. Dann wird das vielleicht nicht die schnellste L¨ osung sein, aber wenn du mal in Schwechat bist, dann weißt du wahrscheinlich, dass es dort eine S-Bahn gibt, die dich mit Sicherheit bis Landstraße bringen kann, und dann weißt du wahrscheinlich ganz genau, wie du nach Hause kommst. In der Mathematik sind die Probleme nicht so lebensbedrohlich, doch sind die Strategien ab und zu ¨ahnlich. Zur¨ uck zur Mathematik: Ein allgemeines Dreieck wird uns oft Schwierigkeiten bereiten k¨onnen. Wenn wir eine H¨ ohe einzeichnen, gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke, und davon wissen wir schon mehr. Auch ist der Fl¨ acheninhalt eines beliebigen Dreiecks durch 21 aha gegeben, wo a eine Seite und ha die H¨ ohe auf genau dieser Seite ist. Mit etwas mehr Erfahrung vielleicht kann ich euch schon Folgendes sagen: In fast jedem geometrischen Problem haben Lote und H¨ohen mir die L¨ osung gegeben, da dadurch das Problem, das ich l¨osen wollte, einfacher wurde. Achte also darauf, wenn eine Aufgabe dir zu schwierig vorkommt. Aufgabe 7. Zeichne ein Dreieck mit Seiten a = 4cm, b = 6cm und c = 7cm. Konstruiere die H¨ ohen. Aufgabe 8. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a = 5cm und b = 7cm. Konstruiere die H¨ ohen. Aufgabe 9. Formuliere eine allgemeine Aussage u ¨ber die H¨ohen in einem rechtwinkligen Dreieck. Benutze dazu die vorige Aufgabe. In welchem Punkt schneiden sich die H¨ohen?

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Begru ¨ ndungen fu ¨ r den pythagoreischen Lehrsatz

Vortrag von mir u undungen ¨ ber Begr¨ Ich werde euch nur zwei Zeigen, obwohl es mehrere gibt. Es gibt sogar ein Buch mit 101 Beweisen f¨ ur den Satz des Pythagoras.

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Aufgabe 10. Finde zu der nebenstehenden Figur eine passende Begr¨ undung. Hinweis: Introduziere Variablen a und b und dann hat das Quadrat in der Mitte also Seitenl¨ ange a − b, wenn a gr¨ oßer als b ist. Damit ist sein Fl¨ acheninhalt (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 . Finde jetzt selbst die Fl¨ acheninhalte f¨ ur die Dreiecke und addiere geschickt!

Zusatzaufgabe 1. Finde zu der nebenstehenden Figur eine passende Begr¨ undung. Hinweis: Die Dreiecke sind ¨ahnlich: durch die H¨ohe wird das Dreieck getrennt in zwei Dreiecke. Diese zwei kleinere Dreiecke sind einander und dem urspr¨ unglichen Dreieck ¨ahnlich! Das heißt: p/a = a/c und q/b = b/c. Schreibe diese Verh¨altnisse in Produkte (innen mal innen, . . . , also a2 = pc und so weiter) um, und benutze p + q = c. Dann bisserl passen und fertig! Aufgabe 11. Warum muss man eigentlich einen mathematischen Satz begr¨ unden? Erkl¨are in etwa 10 Zeilen deine Meinung – mehr Zeilen auch erlaubt.

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Parallelogramm

Vortrag von mir Es folgt eine kurze Erkl¨ arung u ¨ber das Parallelogramm.

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Ein Parallelogramm kann man auf verschiedene Weisen definieren. Die folgenden Definitionen sind ¨ aquivalent. Das bedeutet, dass aus einer Definition die anderen folgen; in anderen Worten, mit einer Definition kann man begr¨ unden, dass die Eigenschaften der anderen Definition so sein m¨ ussen. Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass je zwei gegen¨ uberliegende Seiten parallel zu einander sind. ¨ Aquivalent: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass zwei einander gegen¨ uberliegende Seiten gleich sind. ¨ Aquivalent: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass zwei einander gegen¨ uberliegende Winkel gleich sind. ¨ Aquivalent: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass zwei benachbarte Winkel sich immer auf 180 Grad addieren. Die Fl¨ acheninhaltsformel A = aha = bhb musst du begr¨ unden k¨ onnen. Aufgabe 12. Mache mit Skizzen und Text dazu eine sch¨one Begr¨ undung f¨ ur die Formel f¨ ur den Fl¨ acheninhalt eines Parallelogramms. Aufgabe 13. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 830(a), 831(a)(c), 832, 833, 837. Aufgabe 14. (a) Von einem Parallelogramm ist bekannt: a = 5cm, ha = 3cm und b = 4cm. Berechne hb . (b) Von einem Parallelogramm ist bekannt: a = 4cm, ha = 2cm und b = 6cm. Berechne hb . (c) Konstruiere beide Parallelogramme (siehe Konstruktionsgang bei Aufgabe 840 im Buch) und kontrolliere deine Ergebnisse.

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Rhombus, Raute und Deltoid

Vortrag von mir Es folgt eine kurze Erkl¨ arung u ¨ber Rhombus und Deltoid. Ein Rhombus und eine Raute sind dasselbe Ding. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit allen Seiten gleich lang. Daraus folgt, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Somit besteht ein Rhombus aus vier rechtwinkligen Dreiecken. Ein Deltoid ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass die Diagonalen senkrecht auf einander stehen und ein Kreuz bilden. In anderen Worten, ein Deltoid ist die Form eines Drachenfliegers. Ein Deltoid besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken mit gleich langen Basisseiten, die l¨ angst ihrer Basisseiten aneinander geklebt sind. Oder, ein Deltoid besteht aus zwei Dreiecken mit gemeinsamer l¨ angster Seite, die l¨angst dieser l¨angsten Seite an einander geklebt sind. Die Fl¨ acheninhaltsformel A = ef unden k¨ onnen. 2 musst du begr¨ Aufgabe 15. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 870(a), 871(a), 872(a), 874(b), 878(a)(b)(c), 882(b), 885. Aufgabe 16. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Korrigiere wenn notwendig! (A) Jedes Parallelogramm ist ein Rhombus. (B) Jede Raute ist ein Parallelogramm. (C) Jede Raute ist ein Deltoid. (D) Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm. (E) Jedes Quadrat ist ein Rechteck. (F) Jeder Rhombus ist ein Quadrat.

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Trapez

Vortrag von mir Es folgt eine kurze Erkl¨ arung u ¨ber Trapeze. Ein Trapez ist ein Viereck mit der Eigenschaft, dass mindestens zwei gegen¨ uberliegende Seiten parallel sind. Die Seiten, die nicht parallel sind, nennt man auch wohl Schenkel. Sind die Schenkel gleich lang, nennt man das Trapez ein gleichschenkliges Trapez. musst du begr¨ unden k¨ onnen! Der Fl¨ acheninhaltsformel A = h(a+c) 2 Aufgabe 17. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 889(a), 890(b), 894, 895, 896, 898, 900(a), 901, 906 (auch dazu die Skizzen machen!)

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Eindeutigkeit bei Konstruktionen

Bei manchen Konstruktionen gibt es mehrere M¨oglichkeiten, manchmal zwei, manchmal unendlich viele. In einigen F¨ allen haben wir Gl¨ uck und gibt es nur eine M¨oglichkeit. In Prinzip muss ich in einem Dreieck drei Sachen wissen, diese Sachen k¨onnen Winkel oder H¨ohen oder Seiten sein. Aber dennoch ist noch nicht immer nur ein Dreieck als m¨ogliche L¨osung zu konstruieren. Darauf muss man aufpassen! Damit muss man sich vertraut machen. Aufgabe 18. Konstruiere ein Dreieck mit den Seiten a = 4cm, b = 10cm, und c = 14cm. Wie viele m¨ ogliche solche Dreiecke gibt es? Aufgabe 19. Zeige, dass es unendlich viele Dreiecke mit den Winkeln 30o , 50o und 100o gibt. Aufgabe 20. Zeige, dass es genau zwei Dreiecke 4ABC gibt mit ∠20o , AB = 5cm und BC = 3cm.

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Diagonalen

In einem Viereck ist jede Verbindungsstrecke im Viereck zwischen nicht benachbarten Eckpunkten eine Diagonale. Diese Definition gilt auch f¨ ur allgemeine Vielecke. In einem speziellen Viereck (Deltoid, Parallelogramm, Trapez, usw.) gibt es zu jedem Eckpunkt nur eine Diagonale, in einem beliebigen Vieleck gibt es vielleicht mehrere. Es gibt Vierecke, die nicht zwei Diagonalen haben; das sind dann nicht konvexe Vierecke; hier w¨ urde eine Diagonale nicht mehr im Viereck liegen. Bei Bedarf gib ich ein Beispiel, aber u ¨berlege dir zuerst selbst eines. Aufgabe 21. Gegeben ist ein Rhombus mit e = 4cm und f = 6cm. Berechne den Umfang. Hinweis: Mache zuerst eine Skizze und benutze dann Pythagoras. Aufgabe 22. Gegeben ist ein Deltoid mit Diagonalen e = 5cm und f = 8cm. Die Diagonale e teilt die Diagonale f in einem Verh¨ altnis 1 : 3. Berechne den Umfang. Hinweis: Mache zuerst eine Skizze. Benutze dann Pythagoras. Aufgabe 23. Von einem Trapez ABCD weiß man folgende Eigenschaften. AB = 7cm, AD = 3cm, die Distanz zwischen AB und CD ist 2, 3cm und die Diagonale von AC ist 5, 3cm. Konstruiere das Trapez. Hinweis: Benutze den Zirkel.

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Allgemeine Vielecke

Ein anderes Wort f¨ ur Vieleck ist Polygon. Das kommt aus dem altgriechischen. Gon ist Knie, und auch Winkel; Poly bedeutet viel. Aufgabe 24. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 917, 918(a), 919(a), 920, 921, 932. Aufgabe 25. Zeichne ein beliebiges F¨ unfeck und unterteile es auf geschickte Weise in Dreiecke auf, die einander nicht u ¨berschneiden. Bestimme dann die Winkelsumme! 7

Aufgabe 26. Berechne die Winkelsumme eines beliebigen Sechsecks, Siebenecks, Achtecks, Neunecks und Zehnecks.

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Allgemeine Vielecke

Aufgabe 27. Mache folgende Aufgaben aus dem Buch: 934, 938, 940, 1050(a)(b). Aufgabe 28. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte der Reihe nach, sodass ein Vieleck ensteht, und bestimme den Fl¨acheninhalt der so enstandenen Figur. Die Punkte (−3|0), (0| − 4), (3|0), (5|0), (5|5), (0|5).

10.1

¨ Wie bestimmt man den Fl¨ acheninhalt von Osterreich?

¨ Aufgabe 29. Wie kann man die Karte von Aufgabe 990 benutzen, den Fl¨acheninhalt Osterreichs zu bestimmen (nur ann¨ aherungsweise)? Hinweis: Eine Seite eines kleines Quadrats ist so 50 bis 75 Kilometer. Aufgabe 30. Betrachte die Karte von Deutschland, teile das Land in geeigneten Vielecken auf und berechne den Fl¨ acheninhalt von Deutschland ann¨aherungsweise.

10.2

Landvermessung

Die Idee ist wie folgt: Um die H¨ ohe eines Berges zu bestimmen, kann ich zwei Punkte vor dem Berg nehmen. Ich messe die Distanz zwischen den zwei Punkten und die Winkel Berg – Punkt

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1 – Punkt 2 und Berg – Punkt 2 – Punkt 1. Dann weiß ich die Distanz zum Berg – das kann ich mit einer Zeichnung in wohlgew¨ ahltem Maßstab herausfinden. Wenn ich dann auch noch den Winkel zwischen der Linie Berg – Punkt 1 und dem Horizont weiß, dann ist mir die H¨ohe bekannt – wieder mit einer Zeichnung in geeignetem Maßstab. In der f¨ unften Klasse lernst du, wie du das alles ausrechnen kannst, ohne es mit kleineren ¨ahnlichen Dreiecken und mit Maßstab machen kannst. Das sind diese Sin, Cos und Tan auf deinem TR! Aufgabe 31. Mache Aufgaben 1001 und 1003 aus dem Buch.

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Anhang: geordnete Liste der Aufgaben aus dem Buch

830(a), 831(a)(c), 832, 833, 837, 845, 865, 866, 867, 870(a), 871(a), 872(a), 874(b), 878(a)(b)(c), 882(b), 885, 889(a), 890(b), 894, 895, 896, 898, 900(a), 901, 906, 917, 918(a), 919(a), 920, 921, 932, 934, 938, 940, 1003, 1003, 1050(a)(b), 1027 (a), 1031(a) und 1032(a), 1033(a), 1034(a)(b).

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Anhang: Zeitplan

Woche Woche Woche 12. Woche Woche Woche Woche Woche

23: Kapitel 2.1, Aufgaben 845, 865, 866 und 867 aus dem Buch. 24: Kapitel 2 ist erledigt, bis Aufgabe 9 aus dem Skriptum. 25: Kapitel 3 samt Aufgaben ist erledigt, Kapitel 4 wurde angefangen bis zu Aufgabe 26: 27: 28: 29: 30:

Kapitel 4 und 5 samt Aufgaben sind erledigt. Kapitel 6 samt Aufgaben ist erledigt. Kapitel 7 und 8 sind samt Aufgaben v¨ollig fertig! Kapitel 9 und 10. Letzte M¨ oglichkeit des Erledigens einiger Aufgaben – Benotung f¨ ur Arbeit.

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