Algebra universitaria
UNIDAD III. MATRICES Y DETERMINANTES 4.6. Definición de determinante de una matriz y sus propiedades Determinante. A cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante, el cual tiene información sobre la matriz misma que es usada en muchas ramas de matemáticas y de las ciencias. Cálculo de determinantes. El determinante de una matriz cuadrada de 2x2 se denota A y esta dado por la siguiente ecuación:
a a Det 11 12 =a11a22 − a21a12 a21 a22 Observe que el determinante en una matriz de 2x2 esta dado por la diferencia de la multiplicación de sus diagonales. Ejemplo: Encuentre el determinante de: 2 4 A= −3 1 Det(A)=(2)(1)- (-3)(4) = 2+12 = 14
Regla de Sarrus Para matrices de 3x3 se ocupa un método corto denominado regla de Sarrus, la cual consiste en lo siguiente. Para una matriz de 3x3: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Para determinar el cofactor de dicha matriz se coloca nuevamente la matriz debajo de la siguiente manera: Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
a11 A = a21 a31
a32
a13 a23 a33
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a12 a22
A continuación se trazan unas líneas diagonales de guía para el proceso de multiplicación de los elementos, de la siguiente manera:
a11 A = a21 a31 a11 a 21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 a33 a13 a23 a33
Los tres elementos que son tocados por cada flecha se multiplican, los mismos que se suman al resto. Los elementos que son tocados por las flechas de izquierda a derecha se suman y los que están tocados por las flechas de derecha a izquierda se restan de la siguiente manera: Det(A)=a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23 – (a13a22a31+ a23a32a11+ a33a12a21) Ejemplo: Encuentre el determinante de: 1 0 3 A = 4 −1 2 0 2 1 1
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Desarrollo por cofactores. A cada elemento aij de la matriz A puede asignársele un cofactor, definido como: Cij = (−1)i + j M ij Donde M ij es el determinante que queda después de borrar el renglón “i” y la columna “j” de la matriz A. Mij se le denomina “menor de i j” Por ejemplo, para la matriz: 1 0 3 A = 4 −1 2 0 −2 1
El determinante para el elemento a11 el elemento menor M11 y el cofactor del mismo. Menor de a11:
1 0 3 −1 2 M 11 = 4 −1 2 = = ( −1x1) − ( −2 x 2 ) = 3 −2 1 0 −2 1
El cofactor de a11: C11 = ( −1)
1+1
M 11 = ( −1) 3 = 3 1+1
El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de sus elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores: Expansión a lo largo del renglón “i” A = ai1Ci1 + ai 2Ci 2 + ai 3Ci 3 + ... + ainCin Expansión a lo largo de la columna “j” A = a1 j C1 j + a2 j C2 j + a3 j C3 j + ... + anj Cnj Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Calcular el determinante de la matriz A indicada usando cofactores: 1 0 3 A = 4 −1 2 0 −2 1 Recordemos que los elementos de la matriz A pueden expresarse como: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Vamos a calcularlo usando el primer renglón, la ecuación original desarrollando un renglón “i” es: A = ai1Ci1 + ai 2Ci 2 + ai 3Ci 3 + ... + ainCin Para el renglón 1, el valor de i = 1, por lo tanto la ecuación general para el renglón 1 queda: A = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n Como solo es una matriz de 3x3 cada renglón tiene tres elementos, por lo tanto la ecuación queda: A = a11C11 + a12C12 + a13C13 Ahora como ya tenemos los elementos “aij” de la matriz, solo nos hace falta cada cofactor, de los cuales la ecuación es: Cij = (−1)i + j M ij Los cofactores que se requieren son los siguientes: C11 = (−1)1+1 M 11
C12 = (−1)1+ 2 M12 C13 = (−1)1+3 M13 2
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Pero cada uno requiere de las matrices menores. 1 0 3 A = 4 −1 2 0 −2 1
C11 = (−1)1+1 M11 = (−1) 2 [ (−1)(1) − (2)(−2) ] = −1 + 4 = 3 C12 = (−1)1+ 2 M12 = (−1)3 [ 4(1) − 2(0)] = −4
C13 = (−1)1+3 M13 = (−1)4 [ 4(−2) − (−1)(0)] = −8 − 0 = −8
Dado que el determinante lo consideramos para el primer renglón obtuvimos la siguiente ecuación: A = a11C11 + a12C12 + a13C13 Ahora sustituyendo los valores: A = (1) C11 + ( 0 ) C12 + ( 3) C13
A = (1)( 3) + ( 3)( −8) = 3 − 24 = −21
A = −21 NOTESE QUE EL ELEMENTO a12 FUE CERO, POR LO CUAL NO ERA NECESARIO CALCULAR EL COFACTOR C12. Lo anterior puede confirmarse con EXCEL usando la función MDETERM como se indica en la siguiente figura:
Como puede notarse entre mayor sea la matriz, es mas complicado hacer el procedimiento manual, hay un consejo importante para tardarse menos, por ejemplo considere la siguiente matriz: 2 1 0 4 0 −1 0 2 A= 7 −2 3 5 0 1 0 −3 Elegir el desarrollo de renglón o columna según la cantidad de ceros en el mismo, por ejemplo en la matriz anterior conviene desarrollar la tercera columna. La ecuación para el determinante de la matriz al desarrollar la tercera columna queda: A = a1 j C1 j + a2 j C2 j + a3 j C3 j + ... + anj Cnj Originalmente es: A = a1 j C1 j + a2 j C2 j + a3 j C3 j + a4 j C4 j Solo para una matriz 4x4 A = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43 Para el renglón 3: A = ( 0 ) C13 + ( 0 ) C23 + ( 3) C33 + ( 0 ) C34 Sustituyendo de a13 a a43: A = ( 3) C33 Por lo tanto queda: Solo requerimos el cofactor C33. Cij = (−1)i + j M ij
2 C33 = (−1)
3+ 3
1
M 33 = M 33 = 0 −1
4 2
0 1 −3 Para calcular de nuevo el determinante revisamos que la primera columna tiene la mayor cantidad de ceros, por lo cual: A = a1 j C1 j + a2 j C2 j + a3 j C3 j + ... + anj Cnj M 33 = a11C11 + a21C21 + a31C31 = (2)C11 + (0)C21 + (0)C31 M 33 = 2C11 El resultado al darle ENTER claro que es -21. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
C11 = (−1)2 M11 = ( −1)( −3) − ( 2 )(1) = 3 − 2 = 1 3
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Ahora sustituimos C11 en M33. M 33 = 2C11 = 2(1) = 2 Recordemos que C33 = M33: 2 1
C33 = (−1)
3+ 3
4
M 33 = M 33 = 0 −1
2 =2
0 1 −3 Finalmente el determinante queda: A = ( 3) C33
Para la matriz A indicada, determinar minar la adjunta de A, es decir, Adj(A) 2 0 3 A = −1 4 −2 1 −3 5
Se calculan los cofactores de A:
A = 3(2) = 6 A =6 Lo anterior puede confirmarlo con EXCEL. Calculo de la inversa por medio de la adjunta.
Sea una matriz A cuadrada: a11 a12 ⋯ a1n a a22 ⋯ a2 n 21 A= ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
Trasponiendo dicha matriz tenemos la adjunta de A: 14 −9 −12 Adj ( A) = 3 7 1 −1 6 8
Si para cada elemento aij se calcula un cofactor Cij, puede gene generarse una matriz de cofactores C y se define la adjunta de la matriz A como la transpuesta de la matriz de cofactores tal como se muestra: C11 C12 ⋯ C1n C C22 ⋯ C2 n C = 21 ⋮ ⋮ ⋮ Cn1 Cn 2 ⋯ Cnn
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Por lo tanto la matriz de cofactores de A es: 14 3 −1 C = −9 7 6 −12 1 8
C11 C21 ⋯ Cn1 C C22 ⋯ Cn 2 Ct = Adj(A) = 12 ⋮ ⋮ ⋮ C1n C2 n ⋯ Cnn
Finalmente tenemos que para calcular la inversa de una matriz podemos ocupar tanto la adjunta como el determinante de A de la siguiente manera: 1 A−1 = adj ( A) A Como puede observarse una matriz cuadrara solo puede ser invertible si su determinante es diferente de cero. 4
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Ejemplo:: Usar las propiedades de determinantes para verificar si las siguientes matrices son invertibles:
Solución: A =5
B =0 C =0 D =2 Por lo tanto solo B y C no son invertibles y no tienen inversa.
Para la matriz A indicada (es la misma vista anteriormente): 2 0 3 A = −1 4 −2 1 −3 5
Calcular el determinante: a) det(A) b) La adjunta de A adj(A) c) Calcular la inversa A-1. Solución: A) El determinante de A es igual a 25 (la comprobación puede hacerla el estudiante en clase). B) La adjunta de A ya la calculamos anteriormente y fue: 14 −9 −12 Adj ( A) = 3 7 1 −1 6 8
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
C) Por lo tanto la inversa puede determinarse con la ecuación: 1 A−1 = adj ( A) A
14 14 −9 −12 25 1 1 3 A −1 = adj ( A ) = 3 7 1 = 25 A 25 −1 6 8 −1 25 14 −9 −12 25 25 25 7 1 −1 3 Quedando: A = 25 25 25 8 −1 6 25 25 25
−9 25 7 25 6 25
−12 25 1 25 8 25
Resolución de sistemas de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial de la siguiente manera, sea el sistema: 2x+3y+z = 0 3x+y-z=12 5x+2y-3z=15 La representación matricial del mismo sería: 2 3 1 x 0 3 1 −1 y = 12 5 2 −3 z 15
También se puede reducir de la forma: Ax = b Matricialmente puede despejarse así: x = A−1b Para que esta solución sea posible la inversa de la matriz debe existir, en otras palabras el determinante de la matriz no debe ser igual a cero. 5
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Regla de cramer. Esta regla se usa para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas que tienen una solución única (un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones, ninguna solución o una solución única). Las incógnitas se encuentran con las siguientes ecuaciones: A A A A x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 … xn = n A A A A Donde “Ai” es la matriz que se obtiene sustituyendo la co columna “i” por el vector “B” de constantes. Ejemplo:: Resolver el sistema siguiente con la regla de cramer:
Para encontrar A1 se sustituye la columna de constantes co B por la columna 1.
Se obtienen los determinantes de cada matriz quedando: A1 = −3 A2 = 6 A3 = −9 Por lo tanto la solución del sistema es: A A A x3 = 3 x1 = 1 x2 = 2 A A A x1 =
La matriz de coeficientes y de términos constantes son:
−3 =1 −3
x2 =
6 = −2 −3
x3 =
−9 =3 −3
Actividad 4.4. Regla de Cramer. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer. El determinante de la matriz de coeficientes es igual a -3 3 y por lo tanto diferente de cero, por lo que el sistema tiene una sola solución (si fuera igual a cero el sistema o no tiene ninguna solución o tiene múltiples soluciones, cuando ocurre cada caso puede investigarlo el estudiante). Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones:
[email protected];;
[email protected] y
[email protected] Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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