Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI Instituto de Engenharia de produção e Gestão - IEPG
EPR-03 Automação da Manufatura Notas sobre:
Curvas de Preenchimento Espacial
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Prof. José Hamilton Chaves Gorgulho Júnior Itajubá - Abril de 2009 Revisão 0
Curvas de Preenchimento Espacial 1 Introdução Segundo Sagan (1991, p.1) as curvas de preenchimento espacial (space-filling curves) também são chamadas de curvas de Peano, em homenagem ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Mello (2002) cita que por volta de 1890 Peano exibiu um exemplo de curva planar contínua e sem cruzamento, cujo traço é todo o quadrado de lado unitário ([0,1]x[0,1]⊂R2). Outros pesquisadores, como David Hilbert, deram continuidade à pesquisa dessas curvas estendendo-as para espaços n-dimensionais (ALENCAR e SANTOS, 2003, p.24). 2 A curva de Peano A curva de Peano é construída a partir de um bloco básico gerado em um quadrado dividido em nove partes, ou seja, cada face é dividida em três partes, como mostra a Figura 1. A numeração mostrada indica a sequência pela qual as regiões do quadrado são percorridas.
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Figura 1- Mapeamento e curva de Peano
A divisão do quadrado em múltiplos de 3 permite a construção da curva pela repetição do padrão básico com pequena alteração na seqüência. Na Figura 2 tem-se um quadrado com seus lados divididos em 6 partes. O padrão básico é apresentado em preto enquanto os percursos de conecção estão em azul para dar maior destaque.
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Figura 2 - Curva de Peano com 6 divisões por lado
Na Figura 3 pode-se observar a curva de Peano com o quadrado tendo suas faces divididas em 9 e 27 partes.
Figura 3 - Curvas de Peano com 9 e 27 divisões nas faces
3 Variações da curva de Peano Sagan (1991, p.44) mostra que o matemático Walter Wunderlich (1910-1998), entre diversas outras contribuições, enumerou outras três curvas que satisfazem as condições para a geração de curvas de preenchimento espacial. Na Figura 4 tem-se a curva Peano-S (switch-back type). Na Figura 5 é exibida a curva Peano-R (também denominada switchback type). A curva da Figura 6 é denominada Meander type (Peano-M).
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Figura 4 - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-S)
Figura 5 - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-R)
Figura 6 - Curva de Peano Meander Type (Peano-M)
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4 Outras curvas de preenchimento Embora Peano tenha descoberto a primeira curva de preenchimento espacial foi o matemático David Hilbert (1862-1942) que difundiu esse campo da geometria (SAGAN, 1991, p.10). A Figura 7 mostra a geração da curva de Hilbert e onde pode-se perceber que o lado do quadrado é dividido em múltiplos de 2.
Figura 7 - Criação da curva de preenchimento espacial de Hilbert
Na Figura 8 tem-se a construção da curva de Moore que recebeu esse nome em homenagem ao matemático Eliakim Hastings Moore (1862-1932). Segundo Sagan (1991, p.24) Moore mostrou que o caminho de Hilbert não era o único para alinhar os subquadrados após sucessivos particionamentos em 22n réplicas. Nota-se que enquanto a curva de Hilbert parte do extremo de uma face e termina no extremo oposto da mesma face, a curva de Moore parte do centro de uma face e encerra na mesma posição.
Figura 8 - Criação da curva de preenchimento de Moore
O matemático russo Waclaw Sierpinski (1882-1969) introduziu um outro tipo de curva de preenchimento espacial, como mostra a Figura 9.
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Figura 9 - Construção da curva de Sierpinski
Tanto a Figura 10 quanto a Figura 11 apresentam variações da curva de Sierpinski.
Figura 10 - Construção da curva modificada de Sierpinski
Figura 11 - Construção da curva modificada de Sierpinski
Sagan (1991, p.26) também cita definições tridimensionais das curvas de Peano, Hilbert e Sierpinski. A Figura 12 apresenta a construção da curva de Hilbert no espaço 3D.
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Fonte: Liu e Snoeyink (2003, p.7)
Figura 12 - Construção da curva de Hilbert em 3D
Referências ALENCAR, H.; SANTOS, W. (2003). Geometria diferencial das curvas planas. PósGraduação do Instituto de Matemática da UFRJ. Disponível em: . Acessado em: 08 Jun. 2005. MELLO, L. F. O. (2002). Curvas planares, da intuição à perplexidade. Semana da Matemática da UNIFEI (Universidade Federal de Itajubá). Disponível em: . Acesso em: 08 Jun. 2005. SAGAN, H. (1991). Space-filling curves. Universitext, Springer-Verlag, New York.
Links relacionados http://www2.isye.gatech.edu/~jjb/mow/mow.html http://www.ece.rutgers.edu/~parashar/Papers/sc97html/index.htm http://www.caip.rutgers.edu/TASSL/Projects/GrACE/sfc.html http://math.nist.gov/phaml/reftree.html http://www.dcs.bbk.ac.uk/~jkl/BNCOD2000/slides.html http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/PSFC http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC http://www.nirarebakun.com/graph/ehila1.html http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Peano.html http://lcni.uoregon.edu/~mark/Geek_art/Binary_fractals/Binary_fractal_images.html#R-tree http://caute.egloos.com/tag/pathologicalcurve/page/1 Obs: adaptado do texto original de Gorgulho Júnior (2007), Análise do desempenho dos arranjos físicos distribuídos em ambiente de roteamento de tarefas com flexibilidade de fabricação, Tese (Doutorado), EESC-USP, p.290-296.
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