Cap´ıtulo 2

Curvas

1 Curvas parametrizadas

Definici´on 2.1. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Una curva C parametrizada en este espacio es la representaci´on gr´afica de una funci´on del tipo: r(t) = (x(t), y(t), z(t))

(1)

donde t se le denomina el par´ametro, t ∈ I ⊆ R. La estructura de la curva depender´a de las funciones x(t), y(t), y z(t). Diremos que C es de clase C r (I), si su parametrizaci´on r(t) lo es, es decir si las funciones componentes x(t), y(t) y z(t) son de clase C r (I).

Nota 2.1. Las funciones componentes x(t), y(t) y z(t) son funciones de valor real y variable real, x(t), y(t), z(t) : I −→ R. Tales funciones se estudiaron en cursos anteriores. Para cada valor permisible del par´ametro t obtenemos un punto en R 3 . Ejemplo 2.1. Consideremos la curva con ecuaciones param´etricas,   x(t) = t y(t) = t 2 1 ≤ t ≤ 1   z(t) = t 3

(2)

Dado que y(t) no toma valores negativos, la gr´afica no puede estar en los octantes III, IV y los que est´an “debajo”de e´ stos, V II y V III. Cuando eliminamos el par´ametro t y relacionamos dos coordenadas de los puntos estamos obteniendo la proyecci´on de la curva sobre el plano generado por esas dos variables. Por ejemplo, de las ecuaciones param´etricas dadas obtenemos que y = x 2 , lo cual significa que la 17

18

proyecci´on de la curva dada sobre el plano xy es una par´abola. De la misma manera la proyecci´on de la curva dada sobre el plano xz es una par´abola c´ubica z = x 3 y sobre el plano yz es la curva con ecuaci´on y 3 = z2 .

1.0

x(t) = t, y(t) = t 2 , z(t) = t 3 ,

La curva −1 ≤ t ≤ 1 tiene como proyecci´on sobre el plano xy la par´abola y = x2 y sobre el plano xz la par´abola c´ubica z = x3 .

0.5 0.0

-1

-0.5 -1.0 0.0

0 0.25

0.5

0.75

1.0

1

Figura 1 Una curva en R3

A continuaci´on veremos algunas t´ecnicas para graficar curvas que tienen ciertas caracter´ısticas.

2 Curvas sobre superficies Una t´ecnica para graficar manualmente sobre el papel una curva C en el espacio se basa en el conocimiento previo de superficies. Al eliminar el par´ametro entre dos coordenadas obtenemos una ecuaci´on en dos variables, por ejemplo f (x, y) = 0. Esta ecuaci´on se puede interpretar de dos maneras diferentes: La primera como la curva sobre el plano coordenado xy que es la proyecci´on ortogonal de la curva dada C. La otra manera es que la curva C est´a sobre una superficie cil´ındrica Σ con ecuaci´on f (x, y) = 0. As´ı podemos graficar la curva C conociendo una o varias superficies en las cuales est´a. Nota 2.2. En muchos casos nos valemos de una superficie a la cual pertenece la curva dada C,pero a veces es necesario tener informaci´on de dos superficies a las cuales pertenece. En general, no es cierto que podemos graficar la curva C habiendo encontrado dos superficies cil´ındricas a las cuales pertenece, pues la intersecci´on de las dos superficies encontradas puede ser que tenga m´as informaci´on que la que necesitamos, es decir describa curvas adicionales a la curva C. Lo que si es cierto es que la curva es la intersecci´on de las tres superficies cil´ındricas perpendiculares a los

19

planos coordenados cuando eliminamos el par´ametro t por parejas de coordenadas, pero es m´as dif´ıcil de visualizar la situaci´on. Ejemplo 2.2. En el ejemplo (1.1) la curva x(t) = t, y(t) = t 2 , z(t) = t 3 , −1 ≤ t ≤ 1 est´a sobre la superficies cil´ındricas Σ 1 : y = x2 , Σ2 : z = x3 . En esta caso es suficiente esta informaci´on, la curva es la intersecci´on de este par de superficies cil´ındricas. La primera superficie cil´ındrica Σ 1 se dibuja, dibujando primero la curva y = x 2 sobre el plano xy, luego un deslizamiento de esta curva a lo largo el eje z en ambas direcciones. Similarmente la segunda superficie cil´ındrica Σ 2 se dibuja, dibujando primero la curva z = x 3 sobre el plano xz, luego un deslizamiento de esta curva a lo largo el eje y solo en la direcci´on positiva. Ejemplo 2.3. Consideremos la curva C con ecuaciones param´etricas,   x(t) = cost y(t) = sint , −2π ≤ t ≤ 2π   z(t) = t

(3)

La curva C est´a sobre el cilindro Σ 1 : x2 + y2 = 1 y tambi´en sobre la superficie cil´ındrica Σ 2 : x = cos z. Con solo esta informaci´on no podemos graficar la curva, aunque si lo podr´ıamos hacer mirando la intersecci´on de las tres superficies cil´ındricas, lo cual puede resultar un poco complicado. Para este caso podr´ıamos simplemente pensar de la siguiente manera: A medida que t recorre el intervalo I = [−2π , 2π ], las coordenadas x e y del punto sobre la curva C recorre la circunferencia x2 + y2 = 1 sobre el plano xy en sentido positivo (visto desde arriba), mientras que z recorre el intervalo I = [−2π , 2π ] sobre el eje z. Por lo tanto, se forma una h´elice circular, la cual est´a sobre el cilindro Σ 1 y hace parte de la intersecci´on entre las dos superficies Σ 1 y Σ2 , pero la intersecci´on contienen puntos que no est´an en C.

6.0

La curva x(t) = cost, y(t) = sint, z(t) = t, −2π ≤ t ≤ 2π est´a sobre la superficie x2 + y2 = 1.

3.5 1.0 -1.5

-1

-4.0 -6.5

0 -1

0

1

1

Figura 2 Una curva helicoidal en R3

20

Reparametrizaci´on

Definici´on 2.2. Dada una curva C con ecuaci´on vectorial r1 (t) = (x(t), y(t), z(t)) ,

t ∈ I1 ⊆ R

(4)

y una funci´on biyectiva f , y por lo tanto invertible, f : I 2 −→ I1 , donde I2 ⊆ R. Podemos reparametrizar la curva y dar una expresi´on en t´erminos de s definiendo r 2 (s) como sigue: r2 (s)  (r1 ◦ f ) (s) = r1 ( f (s)) = r1 (t)

(5)

Podemos recodar esta definici´on, mediante el siguiente cuadro: r1 (t)

f (s) = t ∈ I1 −−−−→ R3   f (1−1)

(6)

r2 (s)

s ∈ I2 −−−−→ R3 r2 (s)  (r1 ◦ f ) (t) = r1 ( f (s)) = r1 (t)

(7)

Nota 2.3. Debe ser claro que s = f −1 (t). Ejemplo 2.4. Sea C definida mediante la funci´on vectorial √ r1 (t) = sinti + exptj − 1 − tk − 5, t ∈ I1 = (−∞, 1]

(8)

Ahora consideremos la funci´on t = f (s) = 1 − s3,

(9)

la cual es biyectiva en todo el conjunto de los n´umeros reales, R. Pero para construir la reparametrizaci´on en t´erminos de s debemos estar seguros que la funci´on compuesta est´e bien definida. Para esto debemos encontrar el dominio correcto para s tal que el rango de la funci´on f sea I 1 = (−∞, 1]. Este proceso se hace usando la expresi´on para la funci´on inversa, √ s = f −1 (t) = 3 1 − t (10) Por lo tanto, el dominio de f lo debemos restringir a I 2 = [0, ∞) para que su rango sea exactamente I1 = (−∞, 1]. Los extremos del intervalo I 2 se encuentran evaluando los extremos del intervalo I 1 en (10).

21

3 Derivada de r(t) El concepto de una funci´on vectorial y su derivada lo trataremos en el cap´ıtulo 1, sin embargo aqu´ı daremos una primera visi´on al respecto. Las parametrizaciones de las curvas, que hemos visto hasta el momento son un ejemplo de funciones vectoriales.

Definici´on 2.3. Dada una funci´on vectorial r(t), r : I ⊂ R −→ Rn

(11)

t → (x (t), x (t), . . . , x (t)) 1

2

n

(12)

˙ la definimos como otra funci´on vecsu derivada la cual denotaremos por p(t) torial as´ı: r˙ : I ⊂ R −→ Rn  1  dxn (t) dx (t) dx2 (t) , ,..., t → dt dt dt

(13) (14)

Propiedades b´asicas Usando la definici´on anterior, se pueden probar las siguientes propiedades b´asicas: 1. Regla de la cadena. Si tenemos dos parametrizaciones de una misma funci´on, r(t) y r(s), entonces ds (15) v˙ (t) = v˙ (s) dt 2. Regla de Leibniz para el producto escalar. Si tenemos dos funciones vectoriales r1 (t) y r2 (t), entonces, d r1 (t) · r2 (t) = r˙ 1 (t) · r2 (t) + r1 (t) · r˙ 2 (t) = dt

(16)

3. Regla de Leibniz para el producto vectorial. Si tenemos dos funciones vectoriales r1 (t) y r2 (t), entonces, d r1 (t) × r2 (t) = r˙ 1 (t) × r2 (t) + r1 (t) × r˙ 2 (t) = dt

(17)

22

4 Par´ametro natural

Definici´on 2.4. Sea C una curva suave, con ecuaci´on vectorial r1 (t) = (x(t), y(t), z(t)) ,

t ∈ I1 ⊆ R

(18)

donde a ≤ t ≤ b. Supongamos que la curva C es recorrida una sola vez a medida que t aumenta entre a y b. Definimos la funci´on longitud de arco de la siguiente manera, s(t) =

t

˙r1 (τ ) d τ ,

τ ∈ [a, b]

(19)

a

Despejando t en t´erminos de s y reemplazando en la ecuaci´on que define la curva obtenmos una reparametrizaci´on de la curva en t´erminos del par´ametro lomgitu de arco s. r2 (s) = (x(s), y(s), z(s)) ,

s ∈ I2 ⊆ R

(20)

En este caso al par´ametro s le llamaremos par a´ metro natural y a la parametrizaci´on parametrizaci´on natural. Nota 2.4. En este caso conocemos la expresi´on para s = g(t), g = f −1 . La funci´on g es biyectiva, por ser estrictamente creciente, dado que la funci´on que est´a en el integrando es una funci´on real positiva, las cuales se trataron en cursos anteriores. Por lo tanto para hallar para f debemos integrar y hallar la expresi´on para la funci´on inversa. Este proceso puede ser simple o un poco largo dependiendo de la funci´on a integrar. En caso que la integral no se pueda expresar en t´erminos de funciones simples no podremos reparametrizar la funci´on del par´ametro natural. Proposition 2.1. Sea r(s) la parametrizaci o´ n natural de una curva C. Entonces,

r(s)

=1

ds

(21)

Demostraci´on. Sea r(t) cualquier parametrizaci´on de la curva C. Usando la regla de la cadena y tomando magnitudes, tenemos r˙ (t) = r˙ (s)

ds ds =⇒ ˙r(t) = ˙r(s) | | dt dt

(22)

23

ds | es el valor absoluto de la funci´on s = s(t) la cual es positiva dt ds ds por definici´on, por lo tanto | | = . Ahora usando el Teorema Fundamental del dt dt C´alculo en la ecuaci´on (??) de la definici´on tenemos que

La expresi´on |

ds = ˙r(t) dt

(23)

Simplificando tenemos lo que nos piden demostrar. Proposition 2.2. Sea h(t) la funci o´ n definida por h(t) = p(t) para alguna funci o´ n ˙ son ortogonavectorial p(t). Si h(t) es constante, entonces los vectores p(t) y p(t) les. Demostraci´on. Recordemos la propiedad del producto escalar a 2 = a · a

(24)

Por lo tanto, elevando al cuadrado, derivando y usando la regla de Leibniz tenemos, p(t) = c =⇒ p(t) 2 = c2 =⇒

d ˙ = 0 =⇒ p(t)· p(t) ˙ =0 p(t) 2 = 0 =⇒ 2p(t)· p(t) dt (25)

Lemma 2.1. Sea C una curva en R 3 parametrizada naturalmente. Entonces, los vectores r˙ (s) y r¨ (s) son ortogonales. Demostraci´on. Por la proposici´on (1.1), tenemos ˙r(s) = 1 =⇒ ˙r(s) 2 = 1 =⇒

d r˙ (s) · r˙ (s) = 0 =⇒ 2˙r(s) · r¨ (s) = 0 ds

(26)

Lo cual muestra lo pedido. Ejemplo 2.5. Reparametrizar en t´ermino del par´ametro natural la curva dada por la funci´on vectorial, r(t) = (cost, sint,t), t ∈ [0, 2π ] (27) Usando (??), tenemos que s = s(t) =

t 0

sin2 t + cos2 t + 1dt =

√ √ s 2t =⇒ s = 2t =⇒ t = √ 2

Por lo tanto, la expresi´on pedida es,   s s s r(s) = cos √ , sin √ , √ , 2 2 2

√ s ∈ [0, 2 2π ]

(28)

(29)

Ejemplo 2.6. Una h´elice tiene un radio de 10cm, y sube 20cm en cada vuelta. En total ella gira 30 veces. Encuentre la parametrizaci´on natural.

24

´ . S OLUCI ON Una h´elice en general se puede expresar mediante una funci´on vectorial, r(t) = (a cost, a sint, bt)

(30)

donde a es el radio del cilindro que la contiene y g(t) es la funci´on que determina c´omo ella se enrolla en este cilindro. Conocemos que a = 10 y una vuelta est´a determinada por el recorrido de t en el intervalo [0, 2π ] por lo tanto, r(0) = (1, 0, 0),

r(2π ) = (1, 0, 2bπ ) =⇒ 2bπ = 20 =⇒ b

10 π

(31)

La segunda informaci´on es para definir exactamente el dominio, el cual es [0, 60π ], dado que si en una vuelta es [0, 2π ] en 30 vueltas ser´a [0, 60π ]. Una parametrizaci´on ser´a,   10 r(t) = 10 cost, 10 sint, t , t ∈ [0, 60π ] (32) π Usando la funci´on longitud de arco (19) y luego despejando t en t´erminos de s, πs hallamos t = √ . Por lo tanto, la parametrizaci´on en t´erminos del par´ametro 10 π 2 + 1 natural s es:   s πs πs , 10 sin √ ,√ r(s) = 10 cos √ , s ∈ [0, 600 π 2 + 1] 10 π 2 + 1 10 π 2 + 1 π 2 + 1 (33)

5 Rectas Ecuaci´on vectorial

Definici´on 2.5. La ecuaci o´ n vectorial de una recta en R 3 que pasa por el punto P y tiene vector director v es: r(t) = OP + tv,

donde O es el origen del sistema.

Ecuaciones param´etricas

(34)

25

Definici´on 2.6. Las ecuaciones param e´ tricas de una recta en R 3 que pasa por el punto P con coordenadas P(p 1 , p2 , p3 ) y tiene vector director v con componentes v = (a, b, c) son:   x(t) = p1 + at (35) y(t) = p2 + bt   z(t) = p3 + ct

Nota 2.5. Las ecuaciones param´etricas se obtienen simplemente escribiendo la ecuaci´on vectorial (34) en t´erminos de las componentes de los vectores indicados, sumando e igualando componentes. Veamos esto en detalle. Sea M(x, y, z) cualquier punto sobre la recta, el origen del sistema O(0, 0, 0), por lo tanto OP = (p 1 , p2 , p3 ), v = (a, b, c), y v(t) = (x(t), y(t), z(t)), donde observamos que para cada valor de t se obtiene un punto sobre la recta. De esta manera, r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (p1 , p2 , p3 ) + t(a, b, c)

(36)

sumando vectores y luego igualando componente a componente obtenemos (35).

Ecuaciones sim´etricas

Definici´on 2.7. Las ecuaciones sim´etricas de una recta en R 3 que pasa por el punto P(p 1 , p2 , p3 ) y tiene vector director v = (a, b, c), donde ninguna de sus componentes es cero, son: x − p 1 y − p 2 z − p3 = = a b c

(37)

Nota 2.6. Las ecuaciones sim´etricas (37), se obtienen despejando el par´ametro t en cada una de las ecuaciones (35) e igualando estas expresiones. En este caso ya no escribiremos la dependencia de t pues hemos eliminado el par´ametro. Las ecuaciones sim´etricas en realidad son tres a saber: x − p1 y − p2 = , a b

x − p 1 z − p3 = , a c

y − p 2 z − p3 = b c

(38)

cada una de las cuales, como ya lo hemos visto, representa un plano en R 3 . En otras palabras la recta es la intersecci´on de los tres planos anteriores.

26

En caso que una de las componentes del vector director v = (a, b, c) sea cero, por ejemplo tomemos c = 0, es decir este vector director no tiene componente en z y es por lo tanto paralelo al plano xy, diremos que la recta es la obtenida por la intersecci´on de los dos planos. x − p1 y − p2 = , a b

z − p3 = 0

(39)

el segundo de los cuales es precisamente el plano paralelo al plano xy. En caso que dos de las componentes del vector director v = (a, b, c) sean cero, por ejemplo tomemos b = 0, y c = 0, es decir este vector director no tiene componentes ni en z ni en y, solamente tiene componente en x, y por lo tanto paralelo al eje x, diremos que la recta es la obtenida por la intersecci´on de los dos planos. y − p2 = 0,

z − p3 = 0

(40)

el segundo de los cuales es precisamente el plano paralelo al plano xy. Ejemplo 2.7. Hallar las ecuaciones param´etricas de la recta  que es la intersecci´on de los planos 4x − 3y − 2z = 1 y x + 2y − 3z = 4. (41) ´ : S OLUCI ON Debemos hallar dos objetos que determinan la recta: Un punto cualquiera P por donde pasa  y un vector director v de . Para hallar P resolvemos el sistema 41. Este sistema es un sistema de 2 ecuaciones con 3 inc´ognitas, por lo tanto tenemos 1 grado de libertad. Observamos que ambos planos intersectan el plano xy, por lo tanto podemos dar el valor z = 0 y resolver sobre el plano xy el punto de intersecci´on del par de rectas resultantes:   4x − 3y = 1 14 15 , ,0 (42) =⇒ P 11 11 x + 2y = 4 Como vector director podemos tomar el producto cruz de los vectores normales a los planos: v = n1 × n2 = (4, −3, −2) × (1, 2, −3) = (13, 10, 11)

(43)

Nota 2.7. El porqu´e hemos tomado como vector director de la recta el producto cruz de los vectores normales es por que la recta intersecci´on  debe pertenecer a ambos planos, por lo tanto el vector director elegido v debe ser ortogonal a cada uno de los vectores normales n 1 y n2 . Podemos comprobar que v · n 1 = 0, y v · n2 = 0. La ecuaci´on de la recta pedida es:

27

 14  x(t) = + 13t   11 15 y(t) = + 10t   11   z(t) = 11t

(44)

Ejemplo 2.8. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano que contiene las rectas: 1 : r1 (t) = (−1, 3, 4) + t(−2, 2, 3)

(45)

2 : r2 (t) = (2, 3, 2) + s(1, 2, 1)

(46)

´ S OLUCI ON Nota 2.8. En general no existe un plano que contenga dos rectas cualesquiera. Necesitamos que las dos rectas satisfagan dos condiciones: 1. Que las rectas sean paralelas y no tengan puntos de intersecci´on. Es decir que sus vectores directores escogidos sean uno m´ultiplo del otro v 1 = λ v2 , λ ∈ R∗ = R\{0}, 1 2 , 1 ∩ 2 = 0. / 2. Que las rectas 1 y 2 no sean paralelas pero tengan un punto de intersecci´on P = 1 ∪ 2 . Es decir que sus vectores directores escogidos no sean uno m´ultiplo del otro y adem´as que las rectas se intersecten solamente en un punto. En este ejemplo tenemos el segundo caso, por lo tanto necesitamos el punto P de intersecci´on de las rectas, P =  1 ∩ 2 y un vector normal al plano el cual podemos escoger como el producto cruz de los dos vectores directores de las rectas dadas. Recordemos que para cada valor del par´ametro en las ecuaciones param´etricas de una recta produce un punto. Por lo tanto para un valor de t = t 0 producir´a un punto P1 ∈ 1 , y para otro valor de s = s 0 producir´a un punto P2 ∈ 2 . Lo que buscamos son esos valores especiales para t y para s para los cuales P1 = P2 . Por lo tanto tenemos el sistema   −1 − 2t = 2 + s =⇒ s = t = −1 =⇒ P(1, 1, 1) (47) 3 + 2t = 3 + 2s   4 + 3t = 2 + s n = v1 × v2 = −(4, −5, 6)

(48)

La ecuaci´on del plano que contiene al par de rectas es: 4x − 5y + 6z = 5

6 El marco de Frenet

(49)

28

Definici´on 2.8. Dada una curva C, r(t) = (x(t), y(t), z(t)) en R 3 de clase Cr (I), r ≥ 1, donde I ⊆ R definimos el vector tangente unitario como T(t) =

r (t) (x (t), y (t), z (t)) = r (t) (x (t), y (t), z (t))

(50)

donde las primas representan las derivadas de las funciones correspondientes d respecto a t, por ejemplo x  (t) = x(t). dt El vector normal unitario se define como, N(t) =

T (t) T (t)

(51)

El vector binormal unitario se define como B(t) = T(t) × N(t)

(52)

La triada de vectores {T(t), N(t), B(t)} se le denomina el marco ortonormal de Frenet.

Ejemplo 2.9. Hallar el marco ortonormal de Frenet para la h´elice, r(t) = (cost, sint,t)

(53)

y mostrarlos en un gr´afico para t = π /4. ´ . S OLUCI ON

Usando la definici´on obtenemos que  1  T = √ (− sint, cost, 1)    2 N = (− cost, − sint, 0)   1   B = √ (sint, − cost, 1) 2

6 -1

(54)

√ Notemos que sin(π /4) = cos(π /4) = 1/ 2 > 0, por lo tanto:

4

0 1 -1

2 0

0 1

Figura 3 Marco ortonormal para la h´elice r(t) = (cost, sint,t) en t = π /4

29

Vector x-comp. hacia y-comp. hacia z-comp. hacia T(π /4) < 0 atr´as > 0 derecha > 0 arriba N(π /4) < 0 atr´as < 0 izquierda = 0 paralela plano xy B(π /4) > 0 adelante > 0 izquierda > 0 arriba

F´ormulas de Frenet naturales Las f´ormulas de Frenet para una parametrizaci´on natural d una curva C, r(s), son:  T(s) = s˙    r¨ (s) N(s) =  ¨r(s)   B(s) = T(s) × N(s)

(55)

Nota 2.9. Ahora, probar que efectivamente la triada o marco de Frenet {T, N, B} es ortonormal es mucho m´as f´acil. Dado que T = 1, entonces por la proposici´on (1.2) los vectores T y N son ortogonales. El resto se deduce de las definiciones y de una propiedad del producto cruz, a × b = a b | sin θ |, donde θ es el a´ ngulo entre los dos vectores. Dejamos al lector la prueba rigurosa de este hecho. (Ver ejercicio (??))

Curvatura y Torsi´on En la secci´on anterior vimos dos cosas importantes: 1. Para cada valor del par´ametro t el marco de Frenet se puede hallar en el punto sobre la curva que t determina. 2. El marco de Frenet {T, N, B} es ortonormal en cualquier punto de la curva r(t). Lo cual nos dice que si ninguno de ellos se anula formar´ıan una base de R 3 . En general, puede suceder que al variar el par´ametro t cada uno de estos vectores cambie. Podr´ıamos expresar este nuevo vector de cambio en la base usual {i, j, k}, pero lo haremos mejor en la propia base de Frenet. Dada una funci´on vectorial que define una curva en el espacio R 3 y sea r(s) su parametrizaci´on natural. Los cambios de cada uno de los vectores de la triada de Frenet {T(s), N(s), B(s)} a medida que cambia el par´ametro s, los podemos representar mediante el siguiente sistema de ecuaciones,

30

 dT(s)    ds = a11 T(s) + a12 N(s) + a13 B(s)   dN(s) (56) = a21 T(s) + a22 N(s) + a23 B(s)  ds     dB(s) = a T(s) + a N(s) + a B(s) 31 32 33 ds donde a i j son nuestras inc´ognitas y en general tambi´en son funciones del par´ametro natural s, es decir a i j = ai j (s). Sin escribir la dependencia de s el sistema anteror (56), lo podemos escribir en forma matricial:   (1) (2)   (3)

T˙ = a11 T + a12 N + a13 B ˙ = a21 T + a22 N + a23 B N B˙ = a31 T + a32 N + a33 B

     T T˙ a11 a12 a13 ˙  = a21 a22 a23  N ⇒ N a31 a32 a33 B B˙

(57)

Para hallar las funciones a i j del sistema (57), usaremos las propiedades mismas del marco de Frenet.

C´omo hallar ai j . Resulta ser que de las nueve funciones a i j hay cinco de ellas que son cero y las cuatro restantes dos de ellas son el opuesto de la otra, es decir que de las nueve solo nos quedan dos las cuales les llamaremos a una de ellas la curvatura y a la otra la torsi´on. Veamos esto en detalle. 1. Qu´e representan ai j . Cada funci´on a i j representa la componente de uno de los tres vectores derivados en t´erminos del marco de Frenet. Por ejemplo, a 11 es la ˙ en la direcci´on componente de T˙ en la direcci´on T, a 12 es la componente de T ˙ ˙ en la N, a13 es la componente de T en la direci´on B, a 21 es la componente de N direcci´on T, y similarmente los dem´as. 2. Mostremos que aii = 0. Multiplicando escalarmente por T, o por N o por B cada una de las ecuaciones de (57) obtenemos las funciones a i j . Por ejemplo, si multiplicamos la ecuaci´on (1) de (57) por T tenemos, ˙ = a11 T + a12 N + a13 B (1) T ˙ = a11 T · T + a12 T · N + a13 T · B ⇒ T·T ⇒ 0 = a11 T · T˙ = a11 ⇒ a11 = 0 De manera similar, si multplicamos escalarmente la ecuaci´on (2) de (57) por N tenemos a22=0 y finalmente su multiplicamos escalarmente la ecuaci´on (1) de (57) por B tenemos que a 33 = 0. 3. Mostremos que ai j = −a ji . Sabemos que T y N son ortogonales, por lo tanto T · N = 0. De modo que si derivamos y usamos la regla de Leibniz (Ver 3), tenemos

31

que, T·N = 0 ˙ =0 ⇒ T˙ · N + T · N ⇒ a12 + a21 = 0 ⇒ a12 = −a21

(58)

De manera similar si tomamos las otras condiciones de ortogonalidad del marco de Frenet T · B = 0 y N · B = 0 y derivamos obtenemos que a i j = −a ji , es decir la matriz asociada al sistema (57) es una matriz anti-sim´etrica. De las nueve componentes a i j solo quedan entonces por ahora cuatro sustanciales. 4. Mostremos que a13 = 0. Debemos mostrar que T˙ · B = 0. Por definici´on del vector normal tenemos, T˙ ˙ T ˙ ⇒ T˙ = T N ˙ · B = T N ˙ ⇒T ·B = 0 N=

⇒ a13 = 0

Definici´on 2.9. Dada una curva en R 3 , con representaci´on param´etrica natural r(s), definimos la curvatura, como ˙ κ (s) = T(s)

(59)

Definici´on 2.10. Dada una curva en R 3 , con representaci´on param´etrica natural r(s), definimos la torsio´ n, como ˙ · N(s) τ (s) = −B(s)

(60)

Nota 2.10. Si incluir las expresiones de la curvatura κ (s) y de la torsi´on τ (s) en la ecuaciones 57, debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. En general el marco de Frenet puede ser que no exista o mejor que se componga de un solo vector, del vector T, este es el caso de una recta. Puede ocurrir que se componga solo de dos vectores T y N, y que el vector binormal B sea cero, como en el caso por ejemplo de la circinferencia r(s) = cos si + sinsj.

32

2. Geom´etricamente la curvatura κ nos dice c´omo est´a cambiando el vector normal unitario en t´erminos absolutos, es decir si el vetor tangente T es constante (no depende del par´ametro s), entonces esa curva no tiene curvatura, es una recta. 3. La torsi´on τ nos est´a hablando de una proyecci´on. De la proyecci´on de la variaci´on del vector normal N en la direcci´on del vector binormal. Es claro que si la torsi´on es cero, de la propia definici´on tendr´ıamos tres casos a saber: El vector normal N permanece constante, el vector binormal B es cero, o la tercera opci´on que la variaci´on del vector normal N, en caso que e´ ste no sea cero, sea colineal con el vector tangente T. Se puede demostrar que para que una curva sea plana es suficiente mostrar que su torsi´on sea cero. ˙ = a12 N. Tomando m´odulo de los vectores en De las ecuaciones (57) sabemos que T cada uno de los lads de esta expresi´on tendr´ıamos que κ = |a 12 |. Por definici´on κ es una cantidad no negativa, por lo tanto si decimos que a 12 lo tomamos como el valor de la curvatura κ estamos tomando un caso muy especial. A este caso especial de la ecuaciones (57) cuando se toma a 12 = κ y a32 = −τ se le conoce con el nombre de f´ormulas de Frenet. Ellas tiene la forma:      T˙ T 0 κ 0 ˙  = −κ 0 τ  N N (61) 0 −τ 0 B B˙ Ejemplo 2.10. Hallar la curvatura y la tosi´on para la h´elice x(t) = a cost, y(t) = a sint, z(t) = bt, 0 ≤ t ≤ 2π , donde a > 0, y b > 0 son constantes. ´ . S OLUCI ON r(t) = a costi + a sintj + bk  √ ⇒ s = 0t a2 + b2d τ √ √ s ⇒ s = a2 + b2t ⇒ t = , dondec = a2 + b2 c s s s i + a sin j+b k ⇒ r(s) = a cos c c c a a ⇒κ = 2 ⇒ κ = 2 c a + b2 s s i − a sin j ⇒ N(s) = − cos c c s s b a b i − cos j+ k ⇒ B(s) = sin c c c c c s s b b ˙ ⇒ B(s) = 2 cos i + 2 sin j c c c c b ˙ ·N = b ⇒ τ = ⇒ τ = −B c2 a2 + b2 (62)

33

F´ormulas de Frenet en cualquier parametrizacio´ n Proposition 2.3. Dada una curva regular, es decir una curva cuyo vector tangente existe en cualquier t de su dominio, entonces  r (t)   T(t) =   r (t)  r (t) × r (t) (63) B(t) =   r (t) × r (t)    N(t) = B(t) × T(t)  r (t) × r (t)   κ (t) = r (t) 3 (64)  r (t) × r (t) · r (t)   τ (t) = r (t) × r (t) 2        0 κ 0 T  T      (65) N  = ν −κ 0 τ  N    B 0 −τ 0 B donde ν =

ds = r (t) dt

Ejemplo 2.11. Dada la curva x = sinht, y = cosht, z = t, encuentre la curvatura y la torsi´on en el punto (0, 1, 0). ´ . S OLUCI ON Debemos conocer primero para qu´e valor o valores de t ,r(t) = (0, 1, 0). El valor de t es t = 0 y es u´ nico. Por lo tanto, r (0) = (1, 0, 1); r (0) = (0, 1, 0); r (0) = (1, 0, 0); =⇒ r (0) × r (0) = (−1, 0 − 1) =⇒ r (0) × r (0) =

κ= R/:

κ=

1 2

τ =−

1 2

τ =−

1 2

√ 2 (66)

1 2

Ejemplo 2.12. Mostrar que la curva intersecci´on de los dos cilindros x 2 + z2 = 1, y2 + z2 = 1, ubicada en el primer octante, es una curva plana. ´ . S OLUCI ON

34

De las dos ecuaciones de los cilindros podemos deducir que su intersecci´on se encuentra en los planos y = x, y = −x. Tomamos la primera opci´on dado que nos dicen que est´a en el primer octante. Por lo tanto la curva se puede parametrizar como: r(t) = (cos t, cost, sint),t ∈ [0, π /2]

1.0 0.5

(67)

Dado que r (t) = −r (t), entonces τ = 0. Lo cual nos dice que la curva es plana justamente. √ Por otro lado r (t) × r (t) = 2, entonces √ 2 κ= (68) 3/2 2 2 sin t + cos2 t

z

0.0 -1.5

-0.5 -1.0

-0.5 0.5 -1.5

-0.5

y

0.5

1.5

x

1.5

Figura 4 Curva intersecci´on cilindros x2 + z2 = 1, y2 + z2 = 1

Ejemplo 2.13. Considere la curva intersecci´on entre las superficies z = x 2 − y2 , x2 + y2 = 1. 1. 2. 3. 4.

Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen m´ınima curvatura. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen m´axima curvatura. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen m´ınima torsi´on. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen m´axima torsi´on. ´ . S OLUCI ON

De las dos ecuaciones de los cilindros podemos deducir que su intersecci´on se encuentra en los planos y = x, y = −x. Tomamos la primera opci´on dado que nos dicen que est´a en el primer octante. Por lo tanto la curva se puede parametrizar como: r(t) = (cos t, cost, sint),t ∈ [0, π /2]

(69)

Dado que r (t) = −r (t), entonces τ = 0. Lo cual nos dice que la curva es plana justamente. √ Por otro lado r (t) × r (t) = 2, entonces √ 2 κ= (70) 3/2 2 2 sin t + cos2 t Figura 5 Curva intersecci´on cilindro x2 + y2 = 1, y silla z = x2 − y2

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7 Aplicaciones: Velocidad y Aceleraci´on 8 Ejercicios Cap´ıtulo 1

2.1. Considere la ecuaci´on de segundo grado xy − z = 0. Muestre que la gr´afica de esta ecuaci´on en 3D es un paraboloide hiperb´olico en su forma est´andar z = x2 − y2 . Ayuda: Use una rotaci´on alrededor del eje z, de la siguiente manera:     x = x cos θ − y sin θ   y = x sin θ + y cos θ  z = z reemplace en la ecuaci´on dada y encuentre el a´ ngulo θ para el cual la nueva ecuaci´on no contenga el elemento cruzado x y . 2.2. Muestre que el hiperboloide de un solo manto, x2 + y2 − z2 = 1 es una superficie reglada. Es decir si fijamos cualquier punto P sobre la superficie siempre podemos encontrar otro punto Q sobre ella tal que la recta OP + λ PQ,

λ ∈ R,

2.4. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano que contiene las rectas: 1 : r1 (t) = (1, 1, 1) + t(1, 2, 1) 2 : r2 (t) = (1, −1, 1) + s(1, 2, 1) Ayuda: Encuentre primero tres puntos no colineales. 2.5. Encuentre el punto donde la recta   x(t) = 1 − t y(t) = 3t  z(t) = 1 + t intersecta al plano 2x − y + 3z = 6. 2.6. Halle la ecuaci´on del plano que contiene la recta  : r(t) = (2 + 3t)i + (1 − 2t)j + (−1 + t)k

tambi´en pertenece a la superficie.

y el punto P(1, 3, 1).

2.3. Mostrar que si el punto A(a, b, c)est´a sobre el paraboloide hiperb´olico (silla de montar),

2.7. Muestre que efectivamente el marco de Fren´et {T, N, B} es ortonormal. Escriba todos los detalles. Ayuda: Use la parametrizaci´on natural y la proposici´on (1.2).

z = y2 − x2 , entonces la recta con ecuaciones param´etricas:   x = a + t y = b+t  z = c + (b − a)t y recta con ecuaciones param´etricas:   x = a + t y = b−t  z = c − (b + a)t ambas est´an completamente contenidas en el paraboloide hiperb´olico. Es decir el paraboloide hiperb´olico tambi´en es una superficie reglada.

2.8. Encuentre la curvatura y la torsi´on de la h´elice hiperb´olica, r(t) = (cosh t, sinht,t). 2.9. Encuentre la ecuaci´on del plano que pasa por el origen y que tiene vector normal paralelo a la recta que es intersecci´on de los planos 2x + y + z = 4 y x + 3y + z = 2. 2.10. La intersecci´on de las dos superficies y2 y2 = 1, y z2 + = 1 consiste en dos curx2 + 2 vas. 2 (a)

Halle una parametrizaci´on para cada una de estas curvas en la forma vectorial r(t) = x(t), y(t), z(t).

36 (b)

Plantee la integral que repreenta la funci´on longitud de arco. (c) Encuentre la longitud de arco de cada una de estas curvas.

(b)

2.11. (a) Encuentre la curvatura1 κ (t) de la curva r(t) = − cost, sint, −2t en el punto r(0). (b) Encuentre la curvatura de la curva r(t) = − cos(5t), sin(5t), −10t en el punto r(0). Si lo dese no es necesario volver hacer c´alculos, pero si una justificaci´on de su respuesta.

2.13. (a) Encuentre el a´ rea del paralelogramo PQRS con v´ertices en P (1, 0, 0), Q (0, 2, 0), R (0, 0, 3) y S (−1, 2, 3). (b) Verifique el triple producto escalar2 , tiene la propiedad [u + v, v + w, w + u] = 2[u, v, w]. (b) Verifique el triple producto escalar tiene la propiedad |[u, v, w]|  u v w .

2.12. (a) Encuentre una parametrizaci´on de la recta intersecci´on de los planos 3x − 2y + z = 7 y x + 2y + 3z = −3.

2.14. Encuentre la distancia entre las rectas: r1 (t) = t, 2t, −t, r2 (t) = 1 + t,t,t.

1 2

|r (t) × r (t)| |r(t)|3 [u, v, [w]] = (u × v) · w

κ (t) =

Encuentre sus ecuaciones sim´etricas de la y − y0 z − z0 x − x0 = = . a b c

forma