Conjuntos y funciones convexas

• Un conjunto X ⊂ Rn se dice convexo si para todo par de puntos x1 y x2 en X, λ x1 + ( 1- λ) x2 ∈X, para todo λ ∈ [0,1] Qué significa esto geométricamente?

• Un punto λ x1 + ( 1- λ) x2, con λ ∈ [0,1] se llama una combinación convexa de x1 y x2 . • Si λ ∈ (0,1) se dice que la combinación es estricta. •Dado un conjunto convexo X, un punto x ∈X se llama un punto extremo de X si no puede ser representado como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos en X.

Ejemplos de conjuntos convexos: • {(x1, x2)/ x12 + x22 ≤ 1} • { x/ Ax = b} donde A es una matriz de mxm y b un vector. •

{ x/ Ax = b, x≥ 0}

• { x/ Ax ≤ b, x≥ 0} • {x/ x = λ1 v1+ λ2v2 + λ3 v3,, λ1 +λ2 + λ3 = 1, λ1, λ2, λ3 ≥ 0} donde v1 = (1 0 0), v2 = (1 2 1), v3 = (-1 2 -3)

• Un hiperplano H en Rn es un conjunto de la forma H= {x ∈ Rn / px = k} • El vector p es el vector normal del hiperplano H. • Si x0 es un punto de H entonces se puede poner H= {x ∈ Rn / p (x - x0) = 0} • O sea vector p es ortogonal al vector (x - x0) para cualquier x ∈ H. • Un hiperplano divide Rn en dos semiespacios: {x ∈ Rn / px ≤ k} {x ∈ Rn / px ≥k} • Cómo se pueden expresar estos semiespacios en función de (x x0)?. Representar gráficamente en R2.

Rayos y direcciones

Dado un vector d no nulo, en Rn el conjunto { x0 + λd / λ ≥ 0} se llama un rayo. Se dice que x0 es el vértice y d es la dirección del rayo.

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Dado un conjunto convexo X, un vector d no nulo es una dirección de X si el rayo { x + λd / λ ≥ 0} está contenido en X para todo x ∈ X.

• Si X = { x/ Ax ≤ b, x≥ 0} entonces d es una dirección de X si se verifica que: A (x + λd) ≤ b x + λd ≥ 0 para todo λ ≥ 0 y x ∈X. • Como Ax ≤ by y x + λd ≥ 0 para cualquier λ ≥ 0 resulta que d es una dirección de X si y sólo si se verifica que: d ≥ 0, d ≠ 0 y Ad ≤ 0 • Geométricamente el conjunto de soluciones de este último sistema se llama cono de recesión.(Graficar en un ejemplo en R2) • Definimos D = {d/, Ad ≤ 0,1d = 1, d ≥ 0}, conjunto de direcciones de recesión normalizadas. (1 vector de unos)

• Una dirección extrema de X es una dirección d tal que no puede ser representada como λ1 d1 + λ2 d2 con λ1, λ2 >0 para ningún par de direcciones distintas d1, d2 de X (cuándo dos direcciones son “distintas” ?) Ejemplo: Determinar las direcciones y las direcciones extremas de X = {{(x1, x2)/ x1- 2x2 ≥ 6,, x1- x2 ≥ -2, x1 ≥ 0, x2≥1 }

Conos • Un cono convexo C es un conjunto convexo tal que además, λ x∈ C para todo x ∈ C y λ ≥ 0 . • Un cono convexo siempre contiene al origen y las semirectas {λx/ λ ≥ 0 } para todo x ∈ C. • Un cono convexo queda completamente definido por sus direcciones extremas. • Ejemplo: definir el cono convexo, cuyas direcciones extremas sean (1,1) , (0,1) • Dado un conjunto de vectores se puede formar el cono generado por dichos vectores.

Funciones convexas y cóncavas

• Una función f: Rn --------> R es convexa si para todo x1 y x2, f (λ x1+(1- λ) x2) ≤ λ f(x1)+(1- λ) f(x2) para todo λ ∈ [0,1]

• Qué significa esto geométricamente? • F se dice cóncava si –f es convexa.

Poliedros

• Un poliedro en Rn se define como la intersección de un número finito de semiespacios de Rn . • Por lo tanto un poliedro puede representarse por un sistema finito de desigualdades. • Un poliedro acotado se llama un politopo.

• Ejemplo: graficar el poliedro definido por -2X1 + X2 ≤ 4 X1 + X2 ≤ 3 X1 ≤ 2 X1 , X2 ≥ 0

En las definiciones y resultados siguientes asumiremos que tenemos un poliedro definido por X = { x/ Ax ≤ b, x≥ 0} con A matriz de mxn y b un vector de m componentes. (algunas de las desigualdades pueden ser redundantes) • El conjunto de hiperplanos que definen X es linealmente independiente si y sólo si A tiene rango completo. • Sea x es tal que la restricción αx ≤ β es activa ( o ajustada) en x. Entonces si x se escribe como combinación convexa estricta de x´y x”, la restricción αx ≤ β es activa también en x´y x”. • Decimos que x es un punto extremo o un vértice de X si x pertenece a n hiperplanos linealmente independientes de los que definen X. • Si hay más de n hiperplanos que pasan por un punto extremo decimos que x es un extremo degenerado. • Esta definición de punto extremo es equivalente a decir que x no se pude escribir como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos de X. (porqué?)

Caras, facetas, dimensión de poliedros • Una cara propia F de X es un conjunto no vacío de puntos que son solución de la intersección de un conjunto de hiperplanos de X. • El rango de F, r(F) es el máximo número de hiperplanos linealmente independientes que son activos en todos los puntos de F. • La dimensión de F se define como n – r(F) • Un poliedro X es de dimensión completa si r(X) = 0 o sea si dim (X) = n. (o sea ninguna de las restricciones l.i. que lo definen es verificada por todos los puntos de X por igualdad). • Una arista (o eje) del poliedro es una cara de dimensión 1. • Una faceta es una cara de dimensión n-1. • Dos puntos extremos de X se llaman adyacentes si el segmento que los une es una arista de X. O sea hay (n-1) hiperplanos activos que los definen en común.

Representación de Poliedros: Queremos ver como representar los poliedros en función de sus puntos extremos y direcciones. Teorema de Caratheodory: Sea X = { x/ Ax ≤ b, x≥ 0} un poliedro no vacío. Entonces: • el conjunto de puntos extremos x1, x2 ……………xk de X es no vacío. • el conjunto de direcciones extremas es vacío si y sólo si X es acotado. • si X es no acotado sea d1, d2, … dl el conjunto de direcciones extremas de X, • x ∈ X si y sólo si puede ser escrito como una combinación convexa de x1, x2 ……………xk más una combinación lineal no negativa de los d1, d2, … dl ¡, o sea: x = ∑i λi xi + ∑j µj dj ∑i λi = 1 λi ≥ 0 µj ≥¡ 0

Correspondencia entre soluciones básicas y puntos extremos del poliedro Max cx st Ax = b x≥0 donde A es una matriz mxn de rango m Entonces si x es un punto extremo de la región factible es también una solución básica del problema de PL. Recíprocamente si x es una solución básica del problema de PL es también un punto extremo de la región factible.