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Conjuntos, relaciones y funciones Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico
Teoría de conjuntos Representación y manipulación de grupos
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Motivación Las nociones que estudiaremos constituyen fundamentos
matemáticos importantes.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones http://www.ipuc-an.org/imagenes/7columnas.jpg
Aplicaciones de los conjuntos Clustering Complejidad computacional Definiciones formales Ej. grafos
Manejo de grupos en general ¡Tema básico! 4
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Definición Conjunto= grupo de elementos u objetos. Formas de representación Extensión Enumeración de miembros Intención Descripción formal Diagramas de Venn y Euler Representación gráfica
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Formas de representación Extensión– Enumeración de miembros A={1,2,3} // E={ mateo, marcos, lucas, juan } // ¿…?
Intención-- Descripción formal A={x | 0 < x < 4} // { n3+ n2 | n {1,2,3,4} }
Diagramas de Venn y Euler-- Representación gráfica A
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B
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Consideraciones Los elementos se encierran entre llaves y se escriben con
minúsculas.
Los nombres de conjuntos se representan con mayúsculas. A= {1,2}, B={c, d}.
No importa el orden ni las repeticiones. {a, b, c} = {b, a, c} = {b, b, a, c, c, c}.
Podemos tener conjuntos dentro de conjuntos.
Ej. C={ {1,2}, {3,4} }, E={{u,v} | u,v V}
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Pertenencia de elementos Un elemento puede o no pertenecer a un conjunto*. La pertenencia se indica con . La no-pertenencia se indica con . Ej. a {a, b, c} // {3,4} {{3,4},5} // A = {1, 2, 3}
4 A
*=(En el caso nítido o booleano; en conjuntos difusos, existen grados de
pertenencia.)
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Conjuntos finitos e infinitos Existen conjuntos finitos e infinitos. La diferencia consiste en si es posible expresar su tamaño (cantidad
de elementos) con un número. A = {1,3,5} finito B = {a, b, c…z} finito C = {1,2,3…} infinito D = {x | x es un número real} infinito Los conjuntos infinitos pueden ser contables o
incontables. 9
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Conjuntos infinitos Conjuntos infinitos: su tamaño no puede expresarse con un
número. Ejemplo: Los números naturales
Conjuntos contables (numerables) Los elementos pueden ponerse en correspondencia a los
números naturales. Ej. números pares
Un conjunto incontable es, por ejemplo, el de los números
reales.
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Ejercicio Menciona un ejemplo concreto de: un conjunto finito. un conjunto infinito.
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Conjunto vacío y universo de discurso Conjunto vacío Se representa como { } ó || = 0 Observa que {} no es vacío. Universo de discurso Se representa como U. Contiene todos los elementos. “El todo”.
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U B A
C
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Tamaño (cardinalidad) Número de elementos que contiene un conjunto finito. Los elementos pueden ser atómicos o compuestos (otros conjuntos).
Se denota |A| para un conjunto A. Ej. A = {a, b, c, d} / |A|=4 C = {a, b, a, c, d} / |A|=4 D={{a, b}, {c, d}} / |D|=2
B={1,2,{3,4}} … ¿|B|?
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Operaciones binarias con conjuntos Unión (A B) Enumeración de todos los elementos de A y
B. Intersección (A B) Elementos que están tanto en A como en B.
Diferencia (A – B) Elementos de A que no están en B.
Diferencia simétrica (A B) Elementos no compartidos entre A y B. 14
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Ejemplos con operaciones A = {a, b, c}, B = {b, c, d} A B = {a, b, c, d} A B = {b, c} A – B = {a} A B = {a, d}
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Otras operaciones con conjuntos Complemento (Ac) Diferencia entre el universo U y el conjunto.
Producto cartesiano (A B) Conjunto de pares ordenados de forma (a,b), tal que a pertenece
a A y b pertenece a B. Error común: no representar al producto cartesiano como un conjunto. Nota que esta operación no es conmutativa. 16
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejemplos U = {a,b,c,d,e,f,g} A = {a,b,c}, B={f,g}
¿Qué regla de conteo nos explica el tamaño del conjunto cartesiano?
Ac = {d,e,f,g} A B = {(a,f), (b,f), (c,f), (a,g), (b,g), (c,g)}. B A = {(f,a), (f,b), (f,c), (g,a), (g,b), (g,c)}. B B = {(f,f), (f,g), (g,g), (g,f)}. Aplicación: en redes complejas, el producto cartesiano representa todas las posibles conexiones que existen para una red. 17
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Igualdad si y sólo si
Dos conjuntos son iguales ssi tienen los mismos elementos. Son idénticos (sin importar orden o repeticiones).
Ejemplos
(A={1,2,3,4} B={1,2,3,4}) A=B. (A={1,2,3,4} B={2,1,3,4}) A=B. (A={1,2,3,4} B={2,1,3,5}) AB. (A={1,2,3,4} B={0,1,2,3,4}) AB.
Nota que cuando A=B, |A| = |B|. 18
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Subconjuntos Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si los elementos de A se
encuentran en B.
Se denota con . Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplo:
{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5} {1,2,3} {1,2,4} En un grafo (red), las conexiones son un subconjunto de todas las relaciones posibles entre pares de vértices; formalmente, E V V.
Observa que |A| |B|.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Subconjuntos propios Si la cantidad de elementos en A es estrictamente menor, entonces A
es un subconjunto propio de B. Se denota con .
siempre es subconjunto propio de cualquier conjunto.
Ejemplos
A={1,2,3} y B={1,2,3,4,5} // A B {a} {a,b,c,d,e} {a,x} {a,b,c,d,e}
Observa que |A| < |B|. 20
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Conjunto potencia Enumeración de todos los subconjuntos de un conjunto. Se denota
como P(A) para un conjunto A.
Ejemplos: A = {1,2,3}, B={a,b,c,d} P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. P(B)={,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},
{c,d},{a,b,c},{b,c,d},{a,b,d},{a,c,d}{a,b,c,d}}. Observa que |P(X) |=2n, donde n=|X|. 21
¿Cómo explicas esta cantidad a través de conteo?
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Diagramas de Venn Utilizados para representar conjuntos
Intersección
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Contención (subconjunto propio)
Conjuntos disjuntos
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Venn: contención NR A
Código nuevo reusable
Código agregado
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Venn: intersección Estudian
Trabajan
Estudian y trabajan 24
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
ET
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Venn: conjuntos disjuntos PL= Estudiantes de posgrado
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Estudiantes de licenciatura
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Algunos ejemplos más…
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Algunos ejemplos más… AB
A
B
AC
BC
C
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ABC
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
U A 12
B 6
C
D 1
10
7
3
F
9 14
2
E 16
15
11
8 4
G 5
28
13
MATDIS / Posgrado / FIME / UANL
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F (B - A)
D E = {1, 7, 9}
AC
(D E) (A B)
E - D = {9}
16 (D E)
ED=
(A B)’ = {5, 13, 15}
(C E) B
B – A = {2, 4, 8, 11}
(D - E) (A B )
(A B) (A - B) = A
C – G = {3, 10}
2 U’
G–F=
[U – (A B)] = G {13,
(F – C) B A – B = {3, 10, 12, 14}
15} D E = {1, 9} A – (A B) = C {12, 14}
¿Falso o verdadero? (F oV) 29
MATDIS / Posgrado / FIME / UANL
Ejercicios Considera como universo un lote de autos de una planta. Existen los siguientes conjuntos en el universo: A1 = Autos que tienen el defecto 1. A2 = Autos que tienen el defecto 2. A3 = Autos que tienen el defecto 3.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejercicios (Continúa) Crea un diagrama de Venn que represente el caso. Representa gráficamente lo siguiente e interprétalo (en
español) : A1 A2 A1 A2
A1 A2 A3 A1 A2 A3
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejercicios (continúa) Representa (gráfica y formalmente) lo siguiente: Los autos que tienen el defecto 1 pero no el 2. (Pueden o no tener el defecto 3.) Los autos que tienen los defectos 2 y 3. Los autos que tienen el defecto 2 y, además, el 1 ó el 3. Los autos que tienen el defecto 3 pero no tienen ni el 1 ni el 2.
¿Qué representa el resto del universo?
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Leyes Conmutativa Unión e intersección A B = B A, A B = B A
Distributiva Unión e intersección A (B C)= (A B) (A C) / A (B C)= (A B) (A C)
De de Morgan Complemento (A B)C = AC BC, (A B)C = AC BC
Doble complemento (AC)C = A 33
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejemplo con De Morgan
(Ac) c = Lo que NO es Ac
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Algunos conjuntos ya definidos
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Conjunto
Significado
Z
Enteros
N
Naturales (no negativos)
Z+
Positivos
Q
Racionales
Q+
Racionales positivos
Q*
Racionales distintos de cero
R
Reales
R+
Reales positivos
R*
Reales distintos de cero
C
Complejos
C*
Complejos distintos de cero
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejercicio Proporciona ejemplos para: AN AZ AR e N eC
¿Qué diferencia existe entre N y Z+? Exprésalo con notación
de conjuntos. 36
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Aplicación práctica: índices de similitud El Índice de Jaccard J(A,B) mide la similitud entre dos
conjuntos A y B. Divide el tamaño de la intersección entre el tamaño de la unión.
J ( A, B)
| A B | | A B |
Mini-ejercicio 1. Proporciona un ejemplo del índice Jaccard. Incluye un diagrama de Venn. 2. ¿Qué pasa si A=B? 3. ¿Qué pasa si A B=? 37
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Más ejercicios Construye tres conjuntos (finitos) Representa uno por intención Construye el diagrama de Venn correspondiente (de preferencia
que los conjuntos no sean disjuntos)
Calcula lo siguiente: Unión, Intersección, Diferencia, Cardinalidades Conjunto potencia (al menos de uno) Complemento Producto cartesiano 38
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Hasta aquí… ¿Qué es un conjunto? ¿Cuáles son sus formas de representación? ¿Qué operaciones se pueden realizar con un conjunto? ¿Qué es un subconjunto?
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Resumen Conjunto = colección de elementos donde el orden y
repeticiones son irrelevantes.
Representaciones: extensión, intención o diagramas de Venn. Subconjunto= porción de un conjunto (propio) o conjunto
completo (igualdad).
Operaciones unarias: tamaño, complemento, conjunto potencia. Operaciones binarias: unión, intersección, diferencia, producto
cartesiano.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejercicio para dominio del tema Programa (en el lenguaje de tu elección) las siguientes
operaciones con conjuntos: Intersección Unión
Diferencia Producto cartesiano
Investiga y establece la conexión entre teoría de conjuntos y
álgebra relacional. Puntos extra
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Caso de estudio: conjuntos difusos Generalización: cualquier elemento del universo de discurso
tiene un grado de pertenencia a un conjunto dado. En el caso convencional o nítido (el que acabamos de ver), el
grado g(e)A de pertenencia de un elemento e en un conjunto A es binario. Es decir, g(e)A {0,1}. Para conjuntos difusos, se permiten valores intermedios, i.e.
g(e)A [0,1]. 42
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Caso de estudio: conjuntos difusos Realiza los ejercicios
planteados por el profesor.
¿Qué ventajas tiene la lógica
difusa sobre la lógica booleana?
En resumen, ¿qué diferencias
encuentras entre los conjuntos nítidos y los conjuntos difusos?
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¿Qué ventajas tiene un
conjunto nítido sobre un conjunto difuso?
¿Qué desventajas tiene un
conjunto nítido sobre uno difuso?
¿Encuentras alguna aplicación
práctica para este concepto?
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Relaciones y funciones Definición, propiedades, ejemplos
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Contenidos Relaciones Definición Propiedades
Ejemplos
Funciones Definición Propiedades Ejemplos 45
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Relación Subconjunto del producto cartesiano entre conjuntos. R :A B
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Ejemplo 1 P = {países} A = {a | 1929 < a < 2011} Relación: País p que ganó el mundial
en el Año a R={(España, 2010), (Italia, 2006),
(Brasil, 2002), (Francia, 1998), …}
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejemplo 2 A={1,2,3} A x A: {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2),
(3,3)} Relación: Menor que Rmenor={ (x,y) | x < y } Rmenor={(1,2), (1,3), (2,3)}
La relación puede ser del conjunto consigo mismo.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejemplo 3 (Jiménez p. 224) A = {2, 4, 5, 6, 7, 11} B = {b | b Z; 1 b 10} Relación: b es divisible entre a R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (2, 10), (4,4), (4,8), (5,5),
(5, 10), (6,6), (7,7)}
R: A -> B 49
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejercicio 1 (Brena p. 19) Un juego infantil consiste
en proponer simultáneamente ya sea “piedra”, “papel” o “tijeras”.
¿Cuál es la relación
correspondiente para “gana sobre”?
Se supone que tijera gana
sobre papel, piedra sobre tijera y papel sobre piedra.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejercicio 2 Plantea tres relaciones. Define los conjuntos involucrados. Define el producto cartesiano entre éstos.
Define la relación en sí.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Relaciones de diferentes órdenes Comúnmente hablamos de relaciones binarias: se tienen pares ordenados (i.e., dos elementos en la tupla)
Pero también existen relaciones ternarias, cuaternarias y n-arias
en general… Se tienen tuplas ordenadas.
En los hipergrafos podemos apreciar relaciones n-arias.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Relaciones de diferentes órdenes Relaciones ternarias Ejemplo: hipergrafos para redes de colaboración A = {perez, gzz }, B={li, yong}, C={newman, smith}
A x B x C = {(perez, li, newman), (perez, li, smith), …}
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Propiedades en relaciones Reflexiva
Contiene todos los pares de la forma (x, x) para x A Ejemplos: “es igual a”, “es igual o mayor que”
Simétrica Si contiene un par (x,y), también contiene (y,x) Ejemplo: “hermano de”
Transitiva Si contiene los pares (x,y) y (y,z), entonces también contiene
(x,z)
Ejemplo: “ancestro” 54
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Ejercicio 3 Menciona si las relaciones presentadas son reflexivas,
simétricas y/o transitivas. “Gana sobre” en el juego de piedra, papel o tijera.
Las relaciones que planteaste en el Ejercicio 2.
Plantea una relación: Reflexiva Simétrica Transitiva 55
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Funciones Una función es un tipo especial de relación. Ningún par ordenado tiene el mismo primer componente. i.e., para una entrada sólo existe una salida La mayoría de los textos considera adicionalmente que todas las entradas generan alguna salida. Nosotros consideraremos, en su lugar, la noción de función parcial.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Dominio y co-dominio Para una función f : A B
Dominio Co-dominio (rango) 57
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Funciones importantes para computación Techo “Redondear hacia arriba”.
Piso “Redondear hacia abajo”.
1.3 2 3.7 4 3.7 3 1.3 1
Logaritmo base 2 Exponente al que fue
elevado una potencia de 2. 58
log 2 (8) 3
log 2 (1024) 10
log 2 (16) 4
Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Funciones importantes log2(n) en calculadora =
log10 (n) log10 (2)
Módulo Residuo de una división
3 mod 5 3 5 mod 3 2 4 mod 2 0
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Propiedades en funciones Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Inyectiva Relación de uno a uno. Para cada elemento del dominio, hay un único elemento del
co-dominio.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Sobreyectiva Cada elemento del co-dominio aparece en un par ordenado.
x
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Biyectiva Inyectiva y sobreyectiva.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Ejemplos
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http://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Parcial No está definida para todos los elementos del dominio.
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Total Está definida para todos los elementos del dominio.
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Aplicaciones Descripción formal de procesos. Ej. autómatas celulares
Análisis de algoritmos. Descripción de su complejidad
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Hasta aquí ¿Qué es una relación? Menciona algunas de sus propiedades.
¿Qué es una función? Menciona algunas de sus propiedades.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Resumen Un conjunto es un grupo/colección de
elementos u objetos.
Existen tres formas de representación:
extensión, intención y diagramas.
Algunas operaciones que podemos realizar con
conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia, conjunto potencia, producto cartesiano.
Un subconjunto es una porción de un
conjunto.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
Resumen Una relación se define como un
subconjunto del producto cartesiano de conjuntos.
Función: entrada = salida única Tanto las funciones como las relaciones
poseen propiedades.
Existen funciones importantes para la
computación.
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Matemáticas Discretas: Conjuntos, relaciones y funciones
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Referencias Brena, Ramón F. Autómatas y Lenguajes. E-book. 2003. Grimaldi, Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria:
Una Introducción con Aplicaciones. Addison Wesley Longman, México, 1997. Jiménez Murillo, José A. Matemáticas para la computación.
Alfaomega, México, 2009.
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