Centro Regional Universitario De Bocas del Toro Nociones Fundamentales del Álgebra El Álgebra es una rama de la matemática que se ocupa de las cantidades más generales y para representarla utiliza letras, números y signos. Su progreso dentro de la historia de la matemática suele dividirse en dos períodos: Álgebra Retórica: sin abreviaturas, ni símbolos matemáticos especiales, emplea el propio lenguaje. Se remonta a la época paleo babilónica. Álgebra Sincopada: nombre dado por Nesselman, en 1942. Utiliza algunos términos técnicos y abreviaturas. Por ejemplo, la aritmética de Diofanto. Álgebra Simbólica: XVI y XVII.

se utiliza símbolos muy similares a los usados actualmente, siglos

Definición: El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo, generalmente es una letra. Definición: Una Variable es una entidad que representa valores desconocidos. Usualmente se emplean las letras minúsculas del alfabeto para indicar a las variables. Ejemplos:

x, p, w

Por ejemplo, veamos algunas expresiones que empleamos en el lenguaje cotidiano y de qué forma se puede traducir en el lenguaje algebraico. Lenguaje Cotidiano El doble de la edad desconocida de Carlos menos cinco. La semi suma de las tres calificaciones obtenidas en matemática. La media geométrica de dos cantidades desconocidas. Distancia dividida entre tiempo

Lenguaje Algebraico 2𝑥 − 5 𝑚+𝑛+𝑝 2 √𝑥𝑦 𝑑 𝑡

Definición: Un término algebraico contiene: Un factor numérico llamado coeficiente. Signo algebraico: Puede ser de relación (>, >, =), operación (*, -, x, ÷, 𝑎𝑛 , √𝑎), de agrupación tales como la llave , corchete   y el paréntesis circular ( ) Variables o incógnitas, generalmente se expresan mediante letras. 𝑛

Grado en relación a la variable: es el exponente de esa letra. Ejemplos.

Dados los términos algebraicos, identifique sus elementos básicos.

Término Algebraico −6𝑚 𝑚3 𝑝4 2

m

Grado en relación a la variable p 0

Grado en relación a la variable m 1

+

m, p

4

3

Coeficiente

Signo

Variable (s)

6 1 2

-

−√5𝑝

√5

-

p

𝑎𝑝−3 𝑚−1

1

+

a, p, m

1 2 -3

0 -1

Definición: Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades. Clasificación de las expresiones algebraicas: 1. Monomios: poseen un solo término algebraico. Ejemplo: -3mn4. 2. Polinomios: poseen más de dos términos algebraicos. Ejemplo: 3𝑥 − 8𝑡𝑦 − 𝑣 3 𝑝5 Existen polinomios que reciben nombres especiales: Binomio: posee exactamente 2 términos algebraicos. Ejemplo: 7𝑥𝑝2 − 12𝑥𝑦𝑧 3 Trinomio:

posee exactamente 3 términos algebraicos. Ejemplo: 3𝑥𝑝2 − 8𝑦𝑧 3 + 5

Orden de un polinomio: a) Ascendente: se ordena el polinomio en orden alfabético de la variable de menor a mayor exponente. Ejemplo. Dado el polinomio 8𝑐 6 − 5𝑥 3 𝑐 + 2𝑥𝑐 4 + 3𝑐 2 Ordenamos el polinomio en relación a la letra c de menor a mayor exponente, así: −5𝑐𝑥 3 + 3𝑐 2 + 2𝑐 4 𝑥 + 8𝑐 6 b) Descendente:

se ordena el polinomio en orden alfabético de la variable de mayor a

menor exponente. Ejemplo. Dado el polinomio 11𝑝7 + 5𝑝11 + 9𝑝 + 7𝑝5 − 2𝑝9 Ordenamos el polinomio en relación a la letra c de mayor a menor exponente, así: 5𝑝11 − 2𝑝9 + 11𝑝7 + 7𝑝5 + 9𝑝

Antes de avanzar, daremos en breve repaso de una operación fundamental, la Potenciación. Definición: La potenciación es una operación en la cual se multiplica un mismo factor un número de veces dado. Elementos de la potenciación: 1. Base: Factor que se multiplica. 2. Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base. 3. Potencia: Resultado de la operación potenciación. Ejemplos: Base

Exponente

Potencia

−25 = −2 × −2 × −2 × −2 × −2 = −32 (−0,35)4 = −0,35 × −0,35 × −0,35 × −0,35 = 0,01500625 3 3 3 3 3 27 ( ) = × × = 4 4 4 4 64

-2 -0,35

5 4

-32 0,01500625

3 4

3

27 64

Regla de los Signos de la Potenciación: 1. Si la base es positiva o negativa y el exponente es par, la potencia resulta positiva. 2. Si la base es positiva y el exponente es impar, la potencia es positiva. 3. Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. Propiedades Básicas de la Potenciación: Nombre de la Propiedad Exponente uno.

Exponente cero. Producto de potencia de igual base. División de potencia de igual base.

Regla enunciada Toda base elevada al exponente uno resulta como potencia la misma base. Toda base, distinta de cero, elevada al exponente cero resulta uno como potencia. Al multiplicar potencias de igual base se escribe la misma base y se adicionan los exponentes. Al dividir potencias de igual base se escribe la misma base y se restan los exponentes.

Escritura simbólica Ejemplo Práctico

𝑚

𝑎1 = 𝑎

(−5)1 = −5

𝑎0 = 1

(−5)0 = 1

𝑛

𝑎 ×𝑎 =𝑎

𝑚+𝑛

𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Toda base elevada a un exponente y a su vez está elevada a otro Potencia de una (𝑎𝑚 )𝑛 = (𝑎)𝑚×𝑛 exponente, se escribe la misma potencia. base y se multiplican los exponentes. Al multiplicar dos potencias de bases distintas pero de igual Potencia de un exponente se debe multiplicar las 𝑎𝑚 × 𝑏𝑚 = (𝑎 × 𝑏)𝑚 producto. bases y se escribe el mismo exponente. Al dividir dos potencias de bases Potencia de un distintas pero de igual exponente 𝑎 𝑚 ÷ 𝑏 𝑚 = (𝑎 ÷ 𝑏 )𝑚 cociente se debe dividir las bases y se escribe el mismo exponente.

(−5)2 (−5)4 = (−5)6 = −15625 (−5)12 ÷ (−5)8 = (−5)12−8 = (−5)4 = 625 (−52 )4 = (−5)8 = 390625

24 × 3 4 = (2 × 3) 4 = 64 = 1296

153 ÷ 53 = (15 ÷ 5)3 = 33 = 27

Nombre de la Propiedad

Regla enunciada Toda base, distinta de cero, elevada a un exponente negativo se debe invertir la base y en exponente cambia a positivo. Toda base elevada a un exponente fraccionario se convierte en una radicación.

Exponente negativo Exponente fraccionario.

Escritura simbólica Ejemplo Práctico

𝑎−𝑚 =

𝑚

𝑛

1 𝑎𝑚

𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚

5−3 =

2

1 1 = 3 5 125

3

3 23 = √ 22 = √4

Factorización y Producto Notable Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de la variable. Por ejemplo, la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

, se cumple para cualquier valor del ángulo .

Una ecuación es una igualdad que se satisface para ciertos valores de la variable. Por ejemplo, la expresión 𝑥 2 − 4 = 0, se cumple para 𝑥 = −2; 𝑥 = +2 Producto Notable Un producto notable es una multiplicación que se puede resolver por simple inspección. Caso 1. Cuadrado de un Binomio A través de una representación gráfica obtendremos el cuadrado de un binomio. Sea ABCD un cuadrado de lados x + y x y Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥2 𝑥𝑦 (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 x (𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 𝑦𝑥

y

𝑦2

Regla: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

𝐴) (2𝑥 2 − 3𝑦)2 (2𝑥 2 − 3𝑦)2 = (2𝑥 2 )2 + 2(2𝑥 2 )(−3𝑦) + (−3𝑦)2 (2𝑥 2 − 3𝑦)2 = 4𝑥 4 − 12𝑥 2 𝑦 + 9𝑦 2 (2𝑥 2 − 3𝑦)2 = 4𝑥 4 + 12𝑥 2 𝑦 + 9𝑦 2 𝐵) (𝑥−3𝑥 2 − 4𝑥𝑦)2 (𝑥 − 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦)2 = [(𝑥 − 4𝑥𝑦) − 3𝑥 2 ]2 = (𝑥 − 4𝑥𝑦)2 + 2(𝑥 − 4𝑥𝑦)(−3𝑥 2 ) + (−3𝑥 2 )2 [(𝑥 − 4𝑥𝑦) − 3𝑥 2 ]2 = (𝑥 2 + 2(−4𝑥𝑦)(𝑥) + (−4𝑥𝑦)2 ) − 6𝑥 2 (𝑥 − 4𝑥𝑦) + 9𝑦 4 [(𝑥 − 4𝑥𝑦) − 3𝑥 2 ]2 = 𝑥 2 − 8𝑥 2 𝑦 + 16𝑥 2 𝑦 2 − 6𝑥 3 + 24𝑥 3 𝑦 + 9𝑦 4 2

𝐶) (√3 − 2√2) 2

2

2

(√3 − 2√2) = (√3) + 2(√3)(−2√2) + (−2√2) 2

2

(√3 − 2√2) = 3 − 4(√3)(√2) + (−2)2 (√2) 2

(√3 − 2√2) = 3 − 4√6 + 4(2) 2

(√3 − 2√2) = 3 − 4√6 + 8 2

(√3 − 2√2) = 11 − 4√6 Caso 2. Cubo de un Binomio El cubo de un binomio se representa gráficamente en tercera dimensión, es decir en R 3, de la forma: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

𝐴) (2𝑥 2 − 3𝑦)3 (2𝑥 2 − 3𝑦)3 = (2𝑥 2 )3 + 3(2𝑥 2 )2 (−3𝑦) + 3(2𝑥 2 )(−3𝑦)2 + (−3𝑦)3 (2𝑥 2 − 3𝑦)3 = 8𝑥 6 − 9(4𝑥 4 )𝑦 + 54𝑥 2 𝑦 2 − 27𝑦 3 (2𝑥 2 − 3𝑦)3 = 8𝑥 6 − 36𝑥 4 𝑦 + 54𝑥 2 𝑦 2 − 27𝑦 3

3

𝐵)(2√3 + √2) 3

3

3

2

2

2

3

(2√3 + √2) = (2√3) + 3(2√3) (√2) + 3(2√3)(√2) + (√2) 2

2

3

(2√3 + √2) = 8(√3) (√3) + 3(2√3) (√2) + 3(2√3)(√2) + (√2) 3

2

2

(2√3 + √2) = 8(3)√3 + 3(2)2 (√3) (√2) + 6(√3)(2) + (√2) (√2) 3

(2√3 + √2) = 24√3 + 3(4)(3)√2 + 12√3 + 2√2 3

(2√3 + √2) = 24√3 + 36√2 + 12√3 + 2√2 3

(2√3 + √2) = 36√3 + 38√2 Caso 3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad. Veamos su representación gráfica:

ab

(a-b)2

a2

b

a

A) B) C)

ab

2

b

(2𝑥 − 5)(2𝑥 + 5) = 4𝑥 2 − 25 (√7𝑥 − 𝑐 3 )(√7𝑥 + 𝑐 3 ) = 7𝑥 2 − 𝑐 6 (0,32 + 2𝑦 2 )(0,32𝑥 − 2𝑦 2 ) = 0,1024 − 4𝑦 4 3

1

3

1

9

1

D) (4 𝑚3𝑥 − 3) (4 𝑚3𝑥 + 3) = 16 𝑚6𝑥 − 9

Caso 4. Producto de la forma (x+a)(x+b) El producto de la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 3

2

x

3

x

1

a

b

x2

bx

ax

ab

A) (6𝑚 − 13)(6𝑚 + 4) = 36𝑚2 + (−13 + 4)(6)𝑚 + (−13)(4) = 36𝑚2 − 54𝑚 − 52 B) (√5𝑥 + 9)(√5𝑥 + 6) = 5𝑥 2 + (9 + 6)√5𝑥 + (9)(6) = 5𝑥 2 + 15√5𝑥 + 54 7

7

49

7

49

7

C) (9 𝑛 + 2𝑚2 ) (9 𝑛 − 3𝑚2 ) = 81 𝑛2 + (2 − 3) (9) 𝑚2 𝑛 + (2)(−3)𝑚4 = 81 𝑛2 − 9 𝑚2 𝑛 − 6𝑚4

Caso 5. Producto de la forma (mx+a)(nx+b) El producto de la forma (𝑚𝑥 + 𝑎)(𝑛𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑛𝑥 2 + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑚)𝑥 + 𝑎𝑏

A) (6𝑥 + 5)(3𝑥 + 7) = (6)(3)𝑥 2 + [(5)(3) + (6)(7)]𝑥 + (5)(7) = 18𝑚2 + 57𝑥 + 35 B) (√5𝑥 + 2)(√3𝑥 − 3) = (√5)(√3)𝑥 2 + [(2)(√3) + (√5)(−3)]𝑥 + (2)(−3) = √15𝑥 2 + (2√3 − 3√5)𝑥 − 6 C) (2𝑚2 + 1)(3𝑚2 + 4) = (2)(3)𝑚4 + [(1)(3) + (2)(4)]𝑚2 + (1)(4) = 6𝑚4 + [3 + 8]𝑚2 + 4 = 6𝑚4 + 11𝑚2 + 4

Es un proceso matemático que permite determinar los factores (multiplicando y multiplicador) de un polinomio. Caso

¿Cómo se resuelve?

Se determina el factor común Factor Común monomio y se divide cada término del Monomio polinomio entre este factor. Se determina el factor común Factor Común polinomio y se divide cada término del polinomio dado entre este Polinomio. factor.

Se agrupan los términos algebraicos, Factor Común se determina el factor común y se por Agrupación. divide cada término de la expresión dada entre el factor común.

Ejemplo 12𝑚 𝑛 + 24𝑚 𝑛 − 36𝑚4 𝑛3 − 40𝑚5 𝑛4 Factor común monomio es: 2𝑚2 𝑛 Se divide todo el polinomio entre este factor común. 2𝑚2 𝑛(6 + 12𝑚2 𝑛 − 18𝑚2 𝑛2 − 20𝑚3 𝑛3 ) 12𝑚(𝑥 + 𝑦 − 1) − 7𝑥 − 7𝑦 + 7 12𝑚(𝑥 + 𝑦 − 1) − 7(𝑥 + 𝑦 − 1) Factor común polinomio es: 𝑥 + 𝑦 − 1 Se divide todo el polinomio entre este factor común. (𝒙 + 𝒚 − 𝟏)(𝟏𝟐𝒎 − 𝟕) 2 𝑛 𝑥 − 5𝑎2 𝑦 2 − 𝑛2 𝑦 2 + 5𝑎2 𝑥 Asociamos el primer y tercer término y además el segundo y el cuarto término. (𝑛2 𝑥 − 𝑛2 𝑦 2 ) + (−5𝑎2 𝑦 2 + 5𝑎2 𝑥 ) 𝑛2 (𝑥 − 𝑦 2 ) + 5𝑎2 (−𝑦 2 + 𝑥 ) 𝑛2 (𝑥 − 𝑦 2 ) + 5𝑎2 (𝑥 − 𝑦 2 ) (𝒏𝟐 + 𝟓𝒂𝟐 )(𝒙 − 𝒚𝟐 ) 2

3 2

Caso

¿Cómo se resuelve? Se ordena el polinomio dado, se extraen las raíces del primer y tercer término del trinomio y se Trinomio verifica que es TCP al duplicar esas Cuadrado raíces halladas. Perfecto. Para factorizar el trinomio, se eleva al cuadrado el binomio que resulta de las raíces halladas anteriormente. Se extrae la raíz del primer término del trinomio ya ordenado. Por tanteo, se buscan dos números a y b que adicionados resulten el Trinomio de la coeficiente del segundo término del forma trinomio y esos mismos números 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒙 multiplicados resulten el tercer término del trinomio. Los factores son tales que (x+a)(x+b)

Ejemplo 1 − 2𝑦 2 + 𝑦 4 Ordenamos el trinomio 𝑦 4 − 2𝑦 2 + 1 √𝑦 4 = 𝑦 2 √1 = 1 2 2(𝑦 )(1) = 2𝑦 2 La factorización resulta: ( 𝒚𝟐 − 𝟏) 𝟐

𝑧 2 + 8𝑧 − 180 √𝑧 2 = 𝑧 18 − 10 = 𝟖 18(10) = 𝟏𝟖𝟎 Al factorizar resulta: (𝑧 + 18)(𝑧 − 10)

Se ordena el trinomio dado y se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primero, excepto el término del medio. Se determina la raíz cuadrada del primer término. Trinomio de la Se buscan dos números a y b tales forma que adicionados resulten el a𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒙 coeficiente del segundo término pero que multiplicados resulten el tercer término del trinomio. Se divide los factores (mx+a)(mx+b) por los divisores del primer término del trinomio dado.

4(𝑐 + 𝑑 )2 − 7(𝑐 + 𝑑 ) − 15 El coeficiente del primer término es 4, se multiplica 4 al primer y tercer término, para el segundo término se deja expresado el producto. 4(4)(𝑐 + 𝑑 )2 − 7(4)(𝑐 + 𝑑 ) − 15(4) 16(𝑐 + 𝑑 )2 − 7(4)(𝑐 + 𝑑 ) − 60 √16(𝑐 + 𝑑 )2 = 4(𝑐 + 𝑑 ) 12 − 5 = 7 12(5) = 60 Se expresa el producto como: [4(𝑐 + 𝑑 ) − 12][4(𝑐 + 𝑑 ) + 5] Se divide este producto anterior por los divisores de 4 que son 4 y 1. [4(𝑐 + 𝑑 ) − 12] [4(𝑐 + 𝑑 ) − 12] 4 1 [(𝑐 + 𝑑 ) − 3][4(𝑐 + 𝑑 ) + 5] Al factorizar resulta: (𝒄 + 𝒅 − 𝟑)(𝟒𝒄 + 𝟒𝒅 + 𝟓)

Se determinan las raíces cuadradas Diferencia de de ambos términos del binomio dado. Al factorizar el binomio dado, se Cuadrados Perfectos 𝒙𝟐 − expresa el producto de la suma por 𝒃𝟐 la diferencia de esas raíces halladas anteriormente.

9𝑚2 𝑝6𝑤 − 169 Se extraen las raíces cuadradas de cada término: √9𝑚2 𝑝6𝑤 = 3𝑚𝑝3𝑤 √169 = 13

Caso

¿Cómo se resuelve?

Primero se verifica que sea un cubo perfecto:  El primero y cuarto término deben tener raíces cúbicas.  Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo. Cubo Perfecto  Que el tercer término sea el de un binomio. triplo del producto de la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la raíz cúbica del segundo. Al factorizar, se expresa como el cubo de la suma o diferencia de las raíces cúbicas del primer y cuarto término del polinomio dado.

Suma Diferencia Cubos Perfectos.

Ejemplo Los factores son la suma por la diferencia de esas raíces cuadradas: (𝟑𝒎𝒑𝟑𝒘 + 𝟏𝟑)(𝟑𝒎𝒑𝟑𝒘 − 𝟏𝟑) 64𝑥 9 − 125𝑦12 − 240𝑥 6 𝑦 4 + 300𝑥 3 𝑦 8 Ordenamos el polinomio 64𝑥 9 − 240𝑥 6 𝑦 4 + 300𝑥 3 𝑦 8 − 125𝑦12 Extraemos las raíces cúbicas del 1° y 4° término del polinomio 3 √64𝑥 9 = 4𝑥 3 3 √125𝑦 12 = 5𝑦 4 Verificamos que: 3(4𝑥 3 )2 (5𝑦 4 ) = 240𝑥 6 𝑦 4 3(4𝑥 3 )(5𝑦 4 )2 = 300𝑥 3 𝑦 8 Se trata de un cubo perfecto Al factorizar resulta: (𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒚𝟒 )𝟑

Veamos una diferencia de cubos: 216𝑚9 − 125 Extraemos las raíces cúbicas de cada término: 3 √216𝑚9 = 6𝑚3 3 Se extrae las raíces cúbicas del √125 = 5 binomio dado. La suma o diferencia Al factorizar: (6𝑚3 − 5)[(6𝑚3 )2 + (6𝑚3 )(5) + 52 ] de estas raíces constituyen el (6𝑚3 − 5)(36𝑚6 + 30𝑚3 + 25) o primer factor. de El segundo factor será igual al Veamos una suma de cubos perfectos: cuadrado de la primera raíz cúbica 125 27 3 15 menos o más el producto de las 8 𝑚 + 64 𝑛 raíces cúbicas anteriores más el Extraemos las raíces cúbicas de cada cuadrado de la raíz cúbica del término: segundo término. 3 125 5 √ 𝑚15 = 𝑚5 8 2 3

√

27 3 3 𝑛 = 𝑛 64 4

Al factorizar:

Caso

¿Cómo se resuelve?

Ejemplo 2 5 3 5 5 3 ( 𝑚5 + 𝑛) [( 𝑚5 ) + ( 𝑚5 ) ( 𝑛) 2 4 2 2 4 2 3 + ( 𝑛) ] 4 5 5 3 25 10 15 5 9 2 ( 𝑚 + 𝑛) [ 𝑚 + 𝑚 𝑛 + 𝑛 ] 2 4 4 8 16

.

PRÁCTICA DE REFUERZO A. Escriba la expresión algebraica que corresponda a cada situación presentada. Lenguaje Cotidiano El triple del producto de dos números desconocidos más la media geométrica de esos mismos números. (*) El cubo de un número desconocidos entre el cuádruplo de la diferencia de otros números desconocidos. (*) La edad desconocida Platón elevada a la sexta potencia más un quinto esa misma edad. La ganancia menos la pérdida dividido entre siete. La semi suma de dos cantidades desconocidas más un tercio la diferencia de esas cantidades. (*) La raíz cuarta, del cuadrado un número desconocido añadido a su mitad.

Lenguaje algebraico

B. Escriba un enunciado de la vida cotidiana que corresponda a la expresión algebraica dada. Lenguaje algebraico 2𝑥 − 5𝑦 4 (*) 𝑥3 − 𝑦3 (*) (𝑎 − 𝑏)3 5(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) (*) 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 3

√

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏

Lenguaje Cotidiano

C. Identifique los elementos de cada término algebraico. Término algebraico

Signo

Coeficiente

5𝑚3 𝑛3 4 𝑥 3 𝑚7 (*) −3(𝑎𝑚𝑏)3 (*)

2 3

Variable (es)

Grado en relación a la variable m

𝑥 −3 3

−√3𝑚𝑥 D. Diga si la expresión dada corresponde ser monomio o polinomio. Especifique si el polinomio es trinomio o binomio. Expresión algebraico (*)

Tipología

2𝑥−5𝑦 4

𝑥3 − 𝑦3 + 𝑧3 7𝑚3 − 8𝑚𝑛 − 9𝑛7 − 11 (*) 5(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) 3

9 √𝑚2 E. Ordene el polinomio dado. Siga la nomenclatura: Ascendente (A), Descendente (D) Lenguaje algebraico (∗)𝑐 − 𝑚4 𝑐 5 + 𝑚6 𝑐 9 − 𝑚2 𝑐 3 + 𝑚7 𝑐 11 − 9𝑚5 𝑐 7 𝑦 −𝑎 + 3𝑦 2𝑎 − 𝑦 −2𝑎 + 𝑦 3𝑎 + 𝑦 −3𝑎 + 𝑦 𝑎 2 2 1 𝑤 3 + 7𝑤 10 − 𝑤 7 − 𝑤 2 + 𝑤 5 + 𝑤 3 5 2 (∗)𝑝 𝑥−1 − 𝑝 𝑥+2 −4𝑝 𝑥+3 + 𝑝 𝑥 − 𝑝 𝑥+4 − 𝑝 𝑥−2 + 𝑝 𝑥+1 − 9𝑝 𝑥−3 6 4 4 𝑥 − 𝑥 𝑦 + 𝑥 3 𝑦 10 − 𝑥 5 𝑦 8 + 𝑥 2 𝑦 6 − 9𝑦 12 13

F. Resuelva los productos notables. 1. (∗)[(√𝑥 + 1) − 𝑥]

2

2. [(𝑥 + 1) − (√𝑥) + 𝑥] 3. (5 − 3𝑥 )3 1

2

1

2

2

4. (2 𝑥𝑦 2 − 3 𝑥 2 𝑦) (2 𝑥𝑦 2 + 3 𝑥 2 𝑦) 5. (2𝑥 + 3𝑧)(2𝑥 + 7𝑧) 6. (∗)(√7𝑥 + 2)(√7𝑥 − 3) 7. (1 − (𝑥 + 𝑦))((𝑥 + 𝑦) + 4) 8. [𝑥√𝑥 − 𝑦][𝑥√𝑥 + 𝑦]

Tipo de ordenamiento A: D: D: A: A:

9. (3𝑚 − 11𝑚2 𝑦)2 10. (∗)(𝑚2𝑥 − 4𝑛3𝑦 )3 11. (𝑚𝑎+1 − 17)(𝑚𝑎+1 − 13) 12. (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧)(𝑥𝑦 − 𝑦𝑧) − (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑧) 13. (∗)(7𝑥 − 2𝑦)(3𝑥 + 5𝑦) 1. (1 − 3𝑥 )8

G. Factorice las expresiones algebraicas dadas. 1. 14𝑥 2 − 11𝑥 − 15 2. 𝑥 8 − 81𝑦 2 3. (*)𝑎(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − 2𝑏(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − 3𝑐𝑥 − 3𝑐𝑦 + 3𝑐𝑧 4. 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑎𝑥 5. 𝑥 2 − 2√7𝑥 + 7 6. 100𝑥 6𝑎 − 169𝑦 8𝑏 7. (∗)216 − 8𝑚9 8. 𝑛2 𝑥 − 5𝑎2 𝑦 2 − 𝑛2 𝑦 2 + 5𝑎2 𝑥 9. (3𝑥 − 1)(√𝑥 − √𝑦) − 5√𝑥 3 + 5√𝑦 10. 3𝑎2 𝑏 + 6𝑎𝑏 − 5𝑎3 𝑏2 + 8𝑎2 𝑏𝑥 + 4𝑎𝑏2 𝑚 11. 9𝑚2 − 12𝑚𝑛 + 15𝑚3 𝑛2 − 24𝑎𝑛3 12. (∗)(75𝑥 2 − 80𝑦 2 ) + 𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 + (𝑥 + 𝑦) 13.

36(𝑚+𝑛)10 25

−

9(𝑚−𝑛)6 289

14. (∗)225𝑎2 − 169𝑏2 + 1 + 30𝑎 + 26𝑏𝑐 − 𝑐 2 15. 8 + 36𝑥 + 54𝑥 2 + 27𝑥 3 16. 125𝑎3 + 150𝑎2 𝑏 + 60𝑎𝑏2 + 8𝑏3 17. 512𝑤 9 − 27𝑣 6 18. (∗)𝑥 12 𝑦 9 + 27𝑧 15 19. 20 − 𝑥 − 𝑥 2 20. 729 − 64𝑚3 21. 𝑎2 − 𝑑 2 + 𝑛2 − 𝑐 2 − 2𝑎𝑛 − 2𝑐𝑑 22. (𝑚 + 𝑛)2 − 21(𝑚 + 𝑛) + 110 23. 7𝑥 2 + 31𝑥 − 20 24. 8𝑎2 𝑥 + 7𝑦 + 21𝑏𝑦 − 7𝑎𝑦 − 8𝑎3 𝑥 + 24𝑎2 𝑏𝑥 25. 𝑥 3 − 𝑦 3 − 𝑥 + 𝑦 26. 165 + 4𝑥 − 𝑥 2 27. (∗)49𝑎2 − 𝑥 2 − 9𝑦 2 + 6𝑥𝑦 28. 4 − 9𝑥 4 + 49𝑥 2 𝑦 2 29. 4𝑥 4 − 41𝑥 2 𝑦 2 + 64𝑦 4 30. (∗)9𝑢4 + 15𝑢2 𝑣 2 − 126𝑣 4 31. 36𝑝10 − 40𝑝5 + 9 32. (∗)25𝑗𝑘 − 15𝑗 2 + 13𝑗ℎ − 5ℎ𝑘 − 2ℎ2 33. 10ℎ2 − 15ℎ𝑘 − 4ℎ𝑗 + 6𝑗𝑘

Asignación No. 1: Desarrolle de las secciones A, B, C, D, E los problemas que tienen asterisco (*). Fecha de entrega:

Viernes, 29 de mayo del 2015.

Asignación No. 2: Desarrolle de las secciones F, G los problemas que tienen asterisco (*). Fecha de entrega:

Viernes, 5 de juno del 2015.

Criterios de Evaluación de la Asignación No. 1 y 2

Aspecto a evaluar Escritura algebraica Ordenamiento

Operaciones con Expresiones Algebraicas

Productos Notables

Lo hizo correctamente (puntaje)

Escribió la expresión algebraica adecuada. El polinomio de acuerdo al orden indicado. Adición Identificó los términos algebraicos semejantes En los radicales, extrajo las cantidades del radical. Eliminó el signo de agrupación. Resolvió la operación aplicando las reglas de la adición Escribió el total Multiplicación Multiplicó los coeficientes y los signos. Multiplicó la parte literal. Multiplicó todos los términos algebraicos. Escribió la respuesta. División Ordenó el polinomio, si el caso lo ameritaba. Dividió el primer término del dividendo entre el primer término del divisor Realizó el producto entre el cociente obtenido y el polinomio divisor. Redujo los términos semejantes. Expresó el cociente resultante Identificó el caso del producto notable. Aplicó la regla del producto notable. Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. Expresó la respuesta.

Lo hizo incorrectamente (puntaje)

1

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

0

1 2

0 0

2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2 1 1 2

0 0 0 0

2

0

1

0

Teorema del Binomio de Newton

Cocientes Notables

Factorización

Aplicó la regla del teorema del binomio de Newton. Resolvió las combinaciones C(n, r) Resolvió las potencias con las variables. Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. Determinó la respuesta. Identificó el caso del cociente notable. Aplicó la regla del cociente notable. Resolvió las operaciones aritméticas indicadas. Expresó la respuesta. Identificó el caso de factorización al aplicar la regla apropiada. Resolvió las operaciones indicadas. Expresó la respuesta.

1

0

1 1

0 0

2

0

1 1 1

0 0 0

2

0

1

0

2

0

2 1

0 0