TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS

DE

PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇAO

DO

GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS CM.Se.) EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

(Presidente)

JÁ~.,c'SYC'r~ s:ligio Fernandes Villaça

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1984

ll

BERTOLINO J0NIOR, RENATO Bifurcação Secundária Instável em Placas Retangulares (Rio de Janeiro) 1984. VIII, 109p.

29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenha-

ria Civil, 1984). Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE. 1. Estabilidade Elástica Estrutural I. II. Título (série).

COPPE/UFRJ

iii

Ved~eo a m~nha e6po6a

ANA MARIA

lV

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Ronaldo Carvalho Batista pela valiosa orienta-

- em todas as etapas deste trabalho. çao Ao Prof. João Cyro André e Prof. Jairo Porto que sempre me incentivaram e apoiaram na realização dos estudos de pós-graduação. A todos os professores da COPPE e da ESCOLA DE ENGENHARIA DE LINS pelos ensinamentos recebidos.

A minha esposa e filha, pela paciência, dedicação e estímulo. Aos meus pais e familiares, pela força e motivação. A todos os colegas e amigos que contribuiram, direta

e

indiretamente, para a realização deste trabalho.

A Universidade Estadual Paulista (UNESP - "Campus

de

Ilha Solteira") e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES-PICD), financiaram meus estudos de pos-gr~ duação. A Maurícia pelo excelente trabalho de desenho.

A Lilian pela esmerada elaboração gr;fica deste trabalho.

V

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Ciências CM.Se.)

BIFURCAÇÃO SECUNDÁRIA INSTÁVEL EM PLACAS RETANGULARES

Renato Be~tol~no Jún~o~

JUNHO DE 1984

Orientador: Prof. Ronaldo Carvalho Batista Programa:

Engenharia Civil

O comportamento não-linear elástico de placas esbeltas sob os efeitos das imperfeições iniciais e acoplamento

de

modos é analisado no presente trabalho.

Através dessa análise sao detectados pontos de bifu~ caçao secundária ao longo do caminho fundamental imperfeito

de

equilíbrio que podem ser de caráter estável ou instável.

A análise dos resultados apresentados neste trabalho, vem demonstrar que mesmo para geometrias práticas, uma

placa

sob compressao axial, pode perder sua estabilidade ainda em regime elástico e portanto antes da ocorrência de colapso plástico.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requiriments for the degree of Master of Science CM.Se.)

UNSTABLE SECONDARY BIFURCATIONS IN FLAT RETANGULAR PLATES

Renato Be~tolina Júnia~

JUNE, 19 8 4

Chairman: Prof. Ronaldo Carvalho Batista Department: Civil Engineering

The non-linear elastic behaviour in thin flat plates under the effects of initial imperfections and coupled modes is analysed in the presented work.

Through this analysis it is detected, along the imperfeçt fundamental equilibrium path, secondary points of bifurcation which may be st~ble

or unstable.

The obtained resul ts show i!hat

even for practical

geometries, a flat plate under uniaxial compression may loose its stability in the elastic regime and therefore, before the occurence of plastic colapse.

vii

fNDICE Pág. CAP!TULO I - INTRODUÇÃO

1

CAPfTULO II - FORMULAÇÃO TEÕRICA DO PROBLEMA

4

II.l Hipóteses Básicas Adotadas

4

II.2 Energia de Deformação Elástica

6

II.3 Energia Potencial das Cargas Externas 9

Aplicadas II.4 Energia Potencial Total

10

II.4.1 Variação Total da Energia Potencial Total

11

II.5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Equilíbrio

14

II.5.1 Equações Diferenciais Não-Lineares Incluindo Imperfeições Geométricas Iniciais

15

II.5.2 Equações Diferenciais Não-Lineares Incluindo Imperfeições Iniciais Equivalentes Causadas por Pressão Lateral

18

II.6 Equações Algébricas Não-Lineares de Equilíbrio

21

CAP!TULO III - ESTABILIDADE DE PLACAS GEOMETRICAMENTE PERFEITAS

31

III.l Introdução

31

III.2 Modo Não-Acoplado de Deformação

32

III.2.1 Caminho Fundamental de Equilíbrio e Ponto Crítico

32

viii Pág. III.2.2 Caminho Pós-Crítico de Equilíbrio III.3 Modo Acoplado de Deformação

35 41

CAPfTULO IV - ESTABILIDADE DE PLACAS COM IMPERFEIÇÕES GEOMfTRICAS INICIAIS IV.l Introdução

52 52

IV.2 Imperfeição Geométrica Inicial em um Onico Modo Crítico

57

IV.2.1 Modo de Imperfeição na Mesma Forma que do Modo Crítico Dominante

57

IV.2.2 Modo de Imperfeição em Forma Distinta do Modo Crítico Dominante

61

IV.3 Imperfeições Geométricas Iniciais em Ambos os Modos Críticos

71

CAPfTULO V - RELEVANCIA DOS RESULTADOS DA ANÁLISE NO PROJETO ESTRUTURAL V.l Introdução

82 82

V.2 Comparação e Análise dos Resultados para Distribuições de Tensões

84

CAPfTULO VI - CONCLUSÕES

93

BIBLIOGRAFIA

94

NOMENCLATURA

99

ANEXO

105

CAP!TULO I

INTRODUÇAO

É bem sabido que a teoria clássica da estabilidade indi

ca que uma placa

sob compressão axial em seu próprio plano

tem

um comportamento pós-crítico estável, e portanto tem sido sempre considerada como sendo insensível à imperfeições iniciais.

Entretanto, estudos experimentais e teóricos recentes têm mostrado a possibilidade de ocorrência de mudança brusca formas modais durante o processo de flambagem

e como

de

consequencia

final mudança de rigidez axial.

Para estudar este fenômeno, o presente trabalho

enfoca

o caso de acoplamento entre as formas modais simétrica e antimétrica, para a placa geometricamente perfeita e em presença de im perfeições geométricas iniciais.

Mostra-se que a presença de imperfeições geométricas iniciais, poderá levar à um acoplamento das formas modais em função da magnitude dessas imperfeições, originando pontos de bifuE caçoes secundárias estáveis e instáveis, ao longo de caminhos im perfeitos de equilíbrio.

Inicia-se este desenvolvimento no Capítulo II que apresenta a formulação teórica do problema, considerando as

hipóte-

2

ses básicas para uma placa esbelta.

As equaçoes diferenciais não-lineares de equilíbrio

e

de compatibilidade, do tipo VON KÁRMÁN, para grandes deslocamentos considerando imperfeiç6es geométricas iniciais, são obtidas via extremização do funcional de energia potencial total.

As equaçoes algébricas não-lineares de equilíbrio desenvolvidas para uma placa simplesmente apoiada em todo o

sao seu

contorno e submetida à uma força de compressão axial em seu plano médio.

A solução dessas equaçoes algébricas não-lineares de equilíbrio mostram que: a interação entre as formas modais simétrica e antimétrica, dependem das imperfeiç6es, isto é, não

ha-

vendo nenhuma imperfeição na placa, três soluç6es são possíveis, duas não-acopladas e a terceira acoplada; ocorrendo uma imperfei ção inicial quer na forma simétrica ou antimétrica, duas

solu-

ç6es são possíveis, uma não-acoplada e outra acoplada; quando as imperfeiç6es estão presentes em ambas as formas modais, existe u ma Única solução e esta é acoplada.

O Capítulo III apresenta o estudo da estabilidade placas geometricamente perfeitas,

de

levando a obtenção do caminho funda

mental de equilíbrio (que corresponde a um estado de da membrana) e do caminho pós-crít:icó locamentos fora de seu plano médio.

equilíbrio

de equilíbrio, envolvendo des

3

Este estudo mostra que o primeiro caminho pós-crítico bi furcado do caminho fundamental de equilíbrio, assumirá a forma mo dal simétrica, quando o numero de meias-ondas senoidais na forma simétrica (n) for igual à razão entre os lados da placa (y),

e

assumirá a forma modal antimétrica, quando o número de meias-ondas na forma antimétrica (m) for igual à razão entre os lados da placa (y).

Se n # y em# y, o primeiro caminho pós-crítico bi-

furcado do caminho fundamental de equilíbrio assumirá a forma mo dal simétrica quando y 2 < m•n e antimétrica quando y 2 > m•n.

O Capítulo IV apresenta o estudo da estabilidade de pl~ cas, em presença de imperfeições geométricas iniciais que contra riamente à postulação da teoria clássica, ao invés de sempre de~ truir pontos de bifurcação, podem originar, em função do acoplamento entre as formas modais, bifurcações secundárias estáveis, ou o que é mais surpreendente no caso de placas planas, bifurcaçoes secundárias instáveis ao

longo de caminhos imperfeitos

de

equilíbrio.

Finalmente, o Capítulo V demonstra, com base na análise dos resultados apresentados e no entendimento do comportamento não-linear estrutural, que uma placa imperfeita pode sob o efeito adicional da interação entre modos, ocasionadas por

estas mes

mas imperfeições, perder sua estabilidade em regime elástico antes da ocorrência de um colapso plástico.

Evidências qualitati-

vas e quantitativas através de análises da distribuição de sões normais e comparações com prescrições de normas de são ainda apresentadas neste Capítulo.

ten-

projeto

4

CAPfTULO II

FORMULAÇAO

II.l

TEÕRICA

DO

PROBLEMA

HIPÕTESES BÁSICAS ADOTADAS

O presente trabalho se restringe~ análise não-clássica da estabilidade de placas retangulares de espessura constante 'h', comprimento 'a' e largura 'b', constituída de

material

homogêneo isotrópico de comportamento elástico linear.

A placa é referida ao sistema de eixos cartesianos

y, z, onde os eixos x e y coincidem com os bordos da placa e

x, o

plano formado por eles, localiza-se na superfície média, confor me mostra a Figura II.l.a.

/, /

/ /

l

Y,v

z,w a.

COORDENADAS

DA

PLACA

RETANGULAR

b, TENSÕES NO ELEMENTO lflNITESIMAL DA PLACA

FIG. 11-1. SISTEMA DE EIXOS E COMPONENTES POSITIVAS DOS DESLOCAMENTOS E DAS TENSÕES(35)

5 As componentes positivas dos deslocamentos, u, v, w

e

das tensões que atuam em cada face de um elemento infinitesimal, sao indicadas respectivamente na Figura II.l.a e b.

~

Para uma placa esbelta, cuJa espessura e pequena compa rada com as outras dimensões, duas hipóteses básicas são consideradas com respeito ao seu comportamento,

a. as deformações de cisalhamento Yxz e Yyz sao despr~ zíveis, e as linhas normais à superfície média

an-

tes da deformação, permanecerão retas e normais

a

superfície média após a deformação da placa;

b. as tensões normais CTz e a sua correspondente deformação

são desprezíveis, e portanto a deflexão z transversal em qualquer ponto (x,y,z) e igual a deE

flexão transversal correspondente ao ponto (x,y,O), da superfície média da placa.

Para a análise da estabilidade de placas esbeltas,

su

jeitas a carregamento atuando em seu plano médio, a seguinte hi pótese pode ainda ser adotada,

c. se as condições de contorno, estáticas e cinemáticas adotadas são tais que rotações pré-críticas não são induzidas (ou pelo menos sao restringidas a vizinhan ça dos contornos; portanto desprezíveis), então,

o

estado de deformação pré-crítico pode ser considera do como um estado de membrana;

6

e além disso,

d. para tais condições de contorno, o alongamento

da

superfície média causada pela flexão, devida a

um

carregamento lateral adicional, pode ser desprezado; o que é equivalente -

conforme será demonstrado

as imperfeições geométricas iniciais na forma

de

meia-onda senoidal.

Como consequência das hipóteses 'a' e 'b', conhecidas como hipóteses de KIRCHOFF

(10), a placa pode ser tratada como

um problema bi-dimensional de tensões, e as hipóteses 'c' e 'd' permitem descrever o comportamento da placa através de uma equ~ ção diferencial com coeficientes constantes.

As equaçoes diferenciais de equilíbrio, lineares

e

não-lineares, serão obtidas via extremização do funcional de energia potencial total, a qual e composta das parcelas da energia de deformação elástica, U, e da parcela da energia potencial das cargas externas aplicadas,

II.2

n.

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO EL~STICA

A energia de deformação elástica para um elemento isotrópico tridimensional, Figura II.l.b, referido ao sistema coordenadas ortogonais arbitrárias, pode ser escrita,

de

7

U =

onde,

T

!f

(II-1)

TE dvol. vol.

representa o tensor de tensões e E

o tensor de defor

maçoes; ou ainda, levando em consideração as hipóteses básicas 'a' e 'b', a equação (II-1), fica:

jªjbjh/2

U = l 2

+ o E + T y )dxdydz y y xy xy

O O -h/2 !STRIBUIDAS APLICADAS NA PLACA

)J

Nyv 'y + Nxy ( u, y +v, X_ dxdy (II-10)

II.4

ENERGIA POTENCIAL TOTAL

A energia potencial total, V, da placa retangular,con~ titui-se das parcelas da energia de deformação elástica, UM

e

UF,e da parcela de energia potencial das cargas externas aplic~ das, íl.

V =

u +

V =

2

K

(II-11)

íl = UM+ UF + íl

rr

o o

[,~·S:·'"h' !e 1-\)) y :yJdxdy

+

11

J dxdy

+ 2vx x +2 (1-v)x 2 X y xy

-

+ N ( u, +v, )] dxdy xy y X

II.4.1

(II-12)

Variação Total da Energia Potencial Total

Considerando que o campo de deslocamentos da estrutura deformada em uma configuração vizinha à fundamental é definido por~

f

I

+ ~ , as deformações específicas e as mudanças de curva-

tura correspondentes ficam,

f I E = E + Ey( X X

f I Ey = Ey + Ey

f

Yxy= Yxy

+

f I Xx = Xx + XX

e,

I Yxy

f I Xy = Xy + Xy

(II-13)

f I Xxy= Xxy + Xxy

onde os super-Índices 'F' e 'I', referem

aos campos fundamen-

tal e incremental, respectivamente.

Considerando que o estado fundamental da placa comprimida axialmente seja um estado de membrana, tem-se que,

f

f

f

Xx = Xy = Xxy = o E

f

X

= u,x

(II-14)

12

-

\!U

=

'x

Por conveniência de escrita abandona-se a seguir o super-Índice 'I', apresentado em (II-13) reescrevendo as parcelas incrementais nas formas,

E:

E:

I

=

E:

I y =

E:

X

1

X

1

y

+

E: li

+

E:

X

li

y

e,

I 1 y li y xy = Yxy + xy

I Xx =

x'X

I Xy =

x'y

(II-15)

I 1 Xxy = Xxy

onde (') e ( 11 ) denotam respectivamente, componentes lineares

e

quadráticas.

Com a transformação V(~;À)

+

1 V(~F+~ ;À), que implica na

substituição de (II-13), (II-14) e (II-15) em (II-12), a variação total da energia potencial total, é dada por

F

V(~ +~

I

;.À)

(II-16)

onde,

+ llíl

(II-17)

13

V2

=

J

1-v K 2 (y ' ) dxdy + JªJb [(E~)2+(E~)2+ 2VE 1 E 1 + xy X y 2 2

o o

+

J dxdy+

D 2 +( •

......

•,

·· .

,, )(,

•,.

3'

2'

2.0

,S.O

.

.... .. -- ..

41

5/

4.0

-··

50

y

CARGAS CRÍTICAS DOS MODOS DE DESLOCAMENTOS NÃO·ACOPLADOS(24)

Observa-se nesta Figura, que o valor de n ou m que for nece o menor valor da carga crítica, A, depende da razao

y,

sempre associada a valores inteiros; e quanto maior o valor

de

c

y, Ac tende a um valor unitário.

35

III.2.2

Caminho Pós-Crítico de Equilíbrio,

O caminho pós-crítico de equilíbrio, para a condição nao -acoplada (III-1.i) e (III-1.ii), intercepta o caminho fundamental de equilíbrio no ponto crítico,

K

=

Kc

e A=

o ou K = Kc e

B = O, sendo dados pelas soluções das equações não-lineares

de

equilíbrio pós-crítico (III-5)

para o plano

A x A,

e

(III-12)

para o plano

A x B.

O modo simétrico não-acoplado

(Ai

O;

B

= O)

origina-

ra o primeiro caminho pós-crítico bifurcando do caminho fundamen tal de equilíbrio, quando n = y e o antimétrico (A= O; B ~ O), quando m = y.

Se n i y em I y, o primeiro caminho pós-críti-

co bifurcado do caminho fundamental de equilíbrio, será

(i) o modo simétrico, quando y 2 < n•m; ou, (ii) o modo antimétrico,

quando y 2 > n,m;

conforme ilustrado na Figura III.2.

A verificação da estabilidade do estado crítico de equilí \;;,--,5 o ( 7i. c . ) e pós-crí tj_ao inicial associf.do ao primeiro caminho não-acop~ ITlln

36

ii

'

Ã

Ã'IO

2

a. Y O para

quer valor arbitrário e pequeno de

B.

Assim, tanto o

o

qualestado

crítico de equilíbrio, quando os estados pós-críticos iniciais associados ao modo simétrico ou antimétrico, são estáveis.

Como mostra a Figura III.2, os caminhos pós-críticos de equilíbrio associados a

Xc

>

Xc

. min

(primeiro caminho) são instf

veis, já que os estados de equilíbrio, para cargas maiores

que

a carga crítica clássica, são sempre instáveis.

Apresenta-se nas Figuras III.3, os caminhos pós-críticos de equilíbrios, para cinco valores distintos de y, com a solução numérica das equações não-lineares (III-5) (III-12); que correspondem as ra III.2.

obtidos e

situações apresentadas pela Fig~

38

Ã

à 2'

CAMINHO

PÓS-CRÍTICO

2

2

...~ 1t CAMINHO

1

PÓS-cRi'T1co

... ~

n• 1 ffl=2

fJ.• 200 Ã~ ii

.,

< Ã~ Ã

_,

o

FIG, 111-3a.

CAMINHOS

o

PÓS-CRÍTICOS

DE

EQULÍBRIO,

à 2

Ã

f

2

,.

22 CAM1NHO

...

:

j • 1.0

PÓS-cRIT1co

CAMINHO

PÓS-CRITICO

...~ n=1 m,2

fJ.• 200

_,

FIG. 111- 3b.

_ B

Ã~e

< "ãe

o

CAMINHOS

Ã

_,

PÓS-CRÍTICOS

o

DE

EQUILÍBRIO,

'tf • 1.3

39

ii 2

2

-Ã

"•

n.,

m,

2

µ• 200

A~= A~ ã

_, Fl6.111-3o.

Ã

_,

o

CAMINHOS PÓS-CRÍTICOS

o

OE

EQUILIBRIO, -(

ii

=tt

ii

2

2

,.

2•

CAMINHO

CAMINHO PÓS- CRÍTICO

PÓS· CRÍTICO

-;.

"•

-ii

"•

n., ffl•2

µ, 200

l\! >l\~ _, FI 8.111- 3d.

ã o CAMINHOS

A

_, PÓS-CRÍTICOS

o DE

EQUILÍBRIO, -/'. 1.5

40

/1

à 2•

2

CAMINHO PÓS-CRÍTICO

2

,. -ã

'

11.

-Ã fie

CAMINHO PÓS~ CRÍTICO

n• I m,2 µ•200

/\! >A! é

_, FI G.111- 3 e.

o CAMINHOS

Ã

_, ' ' POS-CRITICOS

o DE

EQUILÍBRIO,

Í' • 2.0

41

Pode-se notar na Figura III.3, que quando,

(i) y = 1,0 e y = 1,3, (y < /2) Figura III.3.a e b, y 2 < n·m, o primeiro caminho pós-crítico bifurcado

modo

do caminho fundamental de equilíbrio é o do

simétrico;

·i·) (l

y

=

v"'2 L ,

F'igura III . 3 . c , y 2

= n, m, ,A n c

_ -B A , c

-lnd-lc.an

do que have~â ~emp~e o ac.opiamento ent~e o~

(iii) y

=

1,5 e y

=

modo~

2,0, (y > /2) Figura III.3.d e e,

y 2 > n·m, o primeiro caminho pós-crítico bifurcado do caminho fundamental é o do modo antimétrico.

III.3

MODO ACOPLADO DE DEFORMAÇÃO

A condição de acoplamento (III-1.iii), entre os

modos

simétrico e antimétrico, é expressa pelas equações (III-2)

e

(III-3) ou alternativamente por (III-4),

que representa a projeção da solução no plano A x

B,

podendo as

sumir neste plano a forma de uma elipse ou de uma hipérbole, de pendendo dos valores dos parâmetros envolvidos.

As possíveis si

tuações de acoplamento, entre modos isolados de deformação,

a

partir de pontos de bifurcação sobre caminhos pós-críticos

de

equilíbrio, estão mostradas na Figura III.4.

42

22 modo

1!? modo

1~ modo

2~ modo

22 modo

12

,,,... ~

~,..,,

11?modo

't'

.,.__

/

... .......,/

*- ,--~ ' .

.:;

/"'

modo

...

22 modo

d. ELIPSE

b.

HIPÉRBOLE, RAMI-

FICANDO-SE

MINHO

o PONTO DE 81 FURCA CÃO •

PRIMÁRIA

PONTO DE BIFURCAC.ÃO SECUNDÁRIA

FIG. 111-4,

00

11 CA·

PÓS- CRfr1co

e.

HIPÉRBOLE, RAMI·

FICANDO• H MINHO CAMINHOS

- - - CAMINHOS

FORMAS DE ACOPLAMENTOS ENTRE MODOS PARA SISTEMAS ESTRUTURAIS IDEAIS ( 5)

00 21 CA•

PÓS- CRt°TICO

ESTÁVEIS INSTÁVEIS

ISOLADOS

No presente caso, de uma placa retangular, a

projeção

da solução acoplada de (III-4), resulta sempre em uma hipérbole, ilustrada pela Figura III.4.c; representando o comportamento pós-crítico típico quando se considera o acoplamento entre

mo-

dos simétrico e antimétrico; isto será demonstrado mais adiante através da solução numérica de (III-2), (III-3) e (III-4).

As projeções dos caminhos acoplados de equilíbrio bre o plano A x

B,

so-

representados pela elipse, Figura III.4.a, e

as hipérboles, Figura III.4.b e c, assumem uma grande importân-

43

vel, pode pe~de~ ~ua e~tab{l{dade em um ponto de b{óu~cação ~ecundá~{o, implicando em uma mudança de configuração deformada da placa, associada ao caminho acoplado de equilíbrio.

Na Figura III.4, as intersecções da projeção (III-4), com os eixos coordenados

acoplada

(A, B), representam os pontos pos-

de bifurcação secundária sobre os caminhos não-acoplados -críticos de equilíbrio.

Para uma placa sob compressao uniforme axial em

seu

plano médio, os modos críticos podem ser, tanto o simétrico como o antimétrico, dependendo da relação entre lados, y.

Considerando que o primeiro caminho pós-crítico nao-acoplado seja no modo simétrico, a bifurcação ocorrera ao

longo

ao segundo caminho pós-crítico não-acoplado, correspondente

ao

modo antimétrico; este ponto de bifurcação é obtido de (III-4), tomando-se

A=

O e

B

~

O (intersecção da projeção com o eixo B),

J

1/ 2

(III-14)

que substituindo em (III-12) fornece o valor do parâmetro

de

carga crítica, associada ao ponto de bifurcação secundária,

A

c

+

(III-15)

Analogamente, considerando o modo antimétrico o primei ro modo não-acoplado, e o modo simétrico o segundo, as

expres-

sões para o ponto de intersecção - agora com o eixo A - e

para

44

a carga crítica associada, sao

cAb =

[

c-

A

(H,-E,)

J

l /

2

CIII-16)

(E 1 -H2-H,)

e,

1\

=

+

c

[

E 1 (H,-E,)

(III-17)

J

CE1-H2-H,)

Para cada valor fixo de y e combinações de pares de v~ lores inteiros (n,m) pode-se, com cy;b[y;(n,m)J dado por (III-15) ou (III-17), traçar curvas representando cy;b como uma função de y, resultando no espectro mostrado na Figura III.5.

2.1

1

1

1

- - - - NÃO-ACOPLADO

'v'~ .. \\ \ ----~ --·-í. "\ ·--"' ~ L?= 2.1

\

1,5

- - ACOPLADO

'-.

. 1

"\..)

\

\\

'•

'·º o:s

o

{

lj)

FUI. Ili - 5.

;:' 5A

~1

3,0

'-õA

~- J.

\

\5

4.0

5.P

J

l&-5

y

, CARGAS CRITICAS DOS ACOPLADOS

MODOS

DE

DESLOCAMENTOS

Observa-se nesta Figura, que em cada caso o menor

va-

lor da carga crítica de bifurcação, cy;b' associada ao acoplame:2 to entre os modos simétrico e antimétrico, é obtida

quando

45 y2

cAb

= n,m, que coincide com a carga crítica clássica,

A. c

Também,

~

converge para um valor unitario com o aumento de y, soque

mais lentamente do que

A. c

Apresenta-se nas Figuras III.6, as projeções dos minhos acoplados de equilíbrio sobre os planos

A x A, A x B

cae

A x B, obtidos com a solução numérica das equaçoes não-lineares (III-4), para os mesmos valores de y das Fi-

(III-2), (III-3) e guras III.3.

Ã

à ACOPLADO

2

NÃO-ACOPLADO

NÃO- ACOPLADO

l

ã

o

-1

o

-1

Ã

"º-ií .

1.56

/lo •

1.0

-Ã

CÃ = b

1. 90

J..l·• 200 n RI

o

•

•

ã

o -1

1

=2

DE PONTO DE

PON'10

FI 8. 111

-&a.

BIFURCAÇÃO

PRIMÁRIA

BIFURCAÇÃO

SECUNDÁ AIA

-1

CAMINHOS ACOPLADOS DE EQUILÍBRIO,

1' • 1.0

46

Ã

Ã

2

ACOPLADO

NÃO-ACOPLADO

e

Ã

_,

_,

o

_,

o 1

-ã

''-.

Ã[

1.19

li.!• 1.07

1

ºÃt, • 1.24

1

,.1., 200 n• ,

_,

m• 2

o

PONTO OE BIFURCACÃO

PRIMÁRIA

•

PONTO DE BIFURCACÃO

SECUNDÁRIA

FI 8. Ili - 6b.

CAMINHOS ACOPLADOS

o

ii

_,

-•. DE EQUILÍBRIO,

t ,• 1.5

47

à 3

3

ACOPLADO

ACOPLADO 2

•

o

- 1

e o

-1

1

1

lã °Ão =°Ã'b

200

m

2

n

~--,-~~~o /2).

(por

No caso do modo crítico dominante ser o simétrico exemplo, no caso y
K'B, [rn, -E, rn:•E,-11,J jj

,

, (E,•E,-11,JB' , 11,rr,) • o

(IV-13)

fornecendo o valor da imperfeição crítica, l / 2

s~·,o

=

-

(E,. -

H,.)

3

(IV-14)

67

A seguir, apresentam-se nas Figuras IV.8 e IV.9,os comportamentos pectivamente.

12

já descritos, para valores de y < Quando y =

12,

e y >

12,

re~

os pontos de bifurcações, primários

e secundários, coincidem em um único ponto (conforme mostram Figuras III.2 e III.6.c) e portanto, qualquer imperfeição

as ini-

cial destrói todos esses pontos críticos, resultando em comporta mentas não-lineares idênticos àqueles descritos na secção IV.2.1 (vide Figura IV.5).

li 2

ÍI

Ã

_,

_,

o

o

.4

.2

ã 2-

.4

ã. • ã: • o.o 12

- -•

$- lo) lo

o PONTO

DE BIFUACAC:ÃO AO LONBO DO CAMINHO IMPEA •

.2

FIITO OI

EQUILi'IAIO

2

Ã

-

--,_,~~~~.:::.=======Ot:======:.:.-~~~~...:~

• FIG. IV- 8.

y• •

ACOPLADO

- - NÃO-ACOPLADO

,.s ,

µ • 200 •

CAMINHOS DE EQUILIIRJO COM IIIPElll'EIÇAO DISTINTA DO MODO CRITICO DOMINANTE

EM l'ORMA

68

ii 2

Ã

B

_,

o

.Ã

1-

2~ Ão•

O

A! lp, p"I

Ão
ONTO DE BIFURCAÇÃO 00

CAMINHO

AO

IMPERfEITO

LONGO DE

EOUILÍIAIO -ACOPLADO ~ - NÃO-ACOPLADO

Y • 1.5

,

1-1 • 200

2

_,

FIG. IV-t.

e

o

,

-

CAMINHOS DE l!:QUILIBRIO COM IMPl!:Rl'!IÇAO !M l'ORMA DISTINTA DO MODO CRITICO DOMINANTE

69

Na Figura IV.10, está representado o espectro de valores dos parâmetros das cargas de bifurcação secundária, Ab

ao

longo do caminho original imperfeito de equilíbrio, em função de y.

e

Para qualquer valor de y, observa-se que o parâmetro Ab,

sempre menor do que o parâmetro de carga crítica de acoplamento,

ex e ,

ocorrendo assim, uma redução de carga quando se tem imper-

feições críticas iniciais em forma distinta do modo crítico

do-

minante.

3.r

'-

l -

•-

•- Sl!M IMPERFEIÇAO ( Ãc) IMPERFEIÇÃO CRÍTICA ( iiol

•

.

iu

\Í

2.o

,2.1

1' ..

y

"-.A..... ·~ / ...... '·, ......... / ........ ,,,"'1:t·--. ~ ................. J'//~

1. o

1.0

FI &. IV• 10.

1.2

•

--

. 1.4

1.6

.

1.8

CAR8AS DE BIFURCAÇÃO SECUNDÁRIA

Para cada par de valores (Ab; y), existe um Único valor do parâmetro de imperfeição critica,

A~

(ou p1