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Aufgabe 1 (Berechnung von Dreiecksflächen - Tutorium)

h

g

Berechnen Sie die Flächen der Dreiecke mit folgenden Maßen: a) b)

g = 0,5 cm g = 3 cm

h = 4 cm h = 7 cm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) F = ½ g ∙ h = ½ ∙ 0,5 ∙ 4 = 1 cm² b) F = ½ ∙ 3 ∙ 7 = 10,5 cm²

-1-

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Aufgabe 2 (Dreiecksflächen im Koordinatensystem - Tutorium) g

C

y2

B

y1

A

h x1

x2

Wie groß ist die Fläche ABC für gegebene xi und yi (i=1,2)? a) b)

x1 = 3 x1 = a

x2 = 8 x2 = b

y1 = 5 y1 = c

y2 = 9 y2 = d

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

F = ½ ∙ (8 – 3) ∙ (9 – 5) = 10

b)

F = ½ ∙ (b – a) ∙ (d – c)

-2-

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Aufgabe 3 (Berechnen einer Geraden durch zwei angegebene Punkte - Tutorium) Welche funktionale Form haben die Geraden, die durch folgende Punkte führen? Zeichnen Sie die Geraden in ein Diagramm. a) b) c) d) e) f) g) h)

A(2; 5) B(4; 10) A(2; 3) B(-1; 5) A(3; 2) B(7; 1) A(-2; 5,5) B(4; 4) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus a) und b). Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus c) und d). Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden aus a) und c). Berechnen Sie die Fläche, die von der y-Achse und den Geraden a) und c) eingeschlossen wird.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Gleichungssystem: y1 = a + b x1; y2 = a + b x2 a)

5 = a + 2b ⇒ a=5-2b 10 = a + 4b ⇒ 10=5-2b+4b ⇒ 10=5+2b ⇒ 2b=5 ⇒ b=2,5 ⇒ a=0 ⇒ y = 2,5 x

b)

3= a + 2b ⇒ a = 3 – 2b 5= a – b ⇒ 5 = 3-3b ⇒ 3b = -2 ⇒ b=-2/3 ⇒ a = 3 + 4/3 = 13/3 ⇒ y = 13/3 – 2/3 x

c)

2= a + 3b ⇒ a = 2-3b 1= a + 7b ⇒ 1= 2+4b ⇒ 4b=-1 ⇒ b=-1/4 ⇒ a = 2+3/4 = 11/4 ⇒ y = 11/4 – 1/4x

d)

5,5= a – 2b ⇒ a = 5,5+2b 4= a + 4b ⇒ 4=5,5+6b ⇒ 6b=-1,5 ⇒ b=-1/4 ⇒ a = 5,5-2/4 = 5 ⇒ y = 5 – 1/4x

e)

2,5 x = 13/3 - 2/3 x ⇒ x = 26/19, y = 65/19

f)

11/4 – 1/4x = 5 – 1/4x ⇒ -9/4 = 0 ⇒ kein Schnittpunkt

g)

2,5 x = 11/4 -1/4 x ⇒ x = 1, y = 2,5

h)

g: ya (xa =0) = 0; yc (xc =0) = 11/4 ⇒ g = 11/4 h: h = 1 (x-Wert für den Schnittpunkt von a) und c)) ⇒ F = ½ * 11/4 * 1 = 11/8 = 1,375

-3-

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Aufgabe 4 (Potenzen und Wurzeln - Übung) Fassen Sie zusammen bzw. kürzen Sie: a)

x

n−2

x

2 n +5

x

m −3

 1   −2  x 

b)

−3

c)

 x 4 y −2 z 3    3  ab 

2

0,5 x −0,5 y 0,5

d)

Schreiben Sie mit gebrochenem Exponenten: e)

3

f)

x

x4

g)

3

1 x

4 5

h)

x2

Schreiben Sie unter eine gemeinsame Wurzel:

x⋅3 y

j)

4

k)

xy 2

l)

x6 y

x y

Schreiben Sie unter Verwendung von Wurzeln: 4

x 0,5

m)

2

x5

n)

o)

x− 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) x

e) x

j)

3

m)

1

3n+ m

b) x

f) x

2

yx 3

k)

x8 z 6 c) 4 6 2 y ab

 y d) 0,5   x

3

g) x − 3

h) x

x3 y 2

l)

−6

4

12

1

xy 2 = x2 y

x

-4-

y x

1 10

0,5

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Aufgabe 5 (Logarithmen - Tutorium) Schreiben Sie als Logarithmus a)

23 = 8

b)

a0,5 = c

c)

ex = 1

Berechnen Sie x aus: d) e)

2 log x = log 125 – log 5 1 log x = (log 32 + log 3 – log 1) 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) log2 8 = 3

b) loga c = 0,5

c) ln 1 = x

d) 2 log x = log (125/5) ⇒ log x² = log 25 ⇒ x = 5 (x = -5 ist keine zulässige Lösung) e) log x = 1/3 (log (9*3)) = log 271/3 ⇒ x = 3

-5-

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Aufgabe 6 (Quadratische Gleichungen - Tutorium) Lösen Sie die Gleichungen: a)

2x2 – 2x = 4

b)

x2 – 6x + 9 = 0

d)

x7 – 2x6 – 8x5 = 0

e)

x6 – 7x5 = 0

c)

4x2 – 2x + 4 = 0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Normalform: x2 + px + q = 0 ⇒ x1 / 2 = −

a) x 2 − x − 2 = 0 ⇒ x1 / 2 =

p ± 2

p2 −q 4

1 3 1 3 9 1 1 1 ⇒ x1 = + = 2 , x 2 = − = −1 ± +2 = ± 2 2 2 2 4 2 4 2

b) x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇒ x1 / 2 =

6 36 ± −9 = 3± 9−9 ⇒ x = 3 2 4

c) x 2 − 12 x + 1 = 0 ⇒ x1 / 2 =

1 1 1 ± −1 ⇒ − 1 < 0 ⇒ keine reelwertige Lösung ! 16 16 4

d) x 5 ( x 2 − 2 x − 8) = 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 / 3 =

2 4 ± + 8 = 1 ± 9 ⇒ x1 = 4 , x 2 = −2 2 4

e) x 5 ( x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 = 7

-6-

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Aufgabe 7 (Differentiationsregeln - Übung) Bestimmen Sie die erste Ableitung: a) d) g)

f ( x) = x12 f ( x) = 2 x 2 + 4 x 2 f ( x) = 2 x

b) e)

f ( x) = 4 x

h)

f ( x) = 4 x 7

f ( x) = x 3 + e x

c) f)

f ( x) = ln x + x 4 + 3

f ( x) = 2 x 2 ⋅ ln x

j)

f ( x) = x 2 e − x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: x−

a) f ′( x) = 12 x11

b) f ′( x) =

d) f ′( x) = 4 x + 4

e) f ′( x) = 3 x 2 + e x

4 g) f ′( x) = −4 x = − 3 x −3

1

4

3

4

h) f ′( x) = 4 x ln x + 2 x

-7-

c) f ′( x) = 7 4 x f) f ′( x) =

j)

1

x

3

4

+ 4x3

f ′( x) = 2 xe − x − x 2 e − x = xe − x (2 − x)

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Aufgabe 8 (höhere Ableitungen - Tutorium) Bestimmen sie die 1. und 2. Ableitung folgender Funktionen: a)

f ( x) = 2e x − x 2

b)

f ( x) = a x

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

f ′( x) = 2e x − 2 x f ′′( x) = 2e x − 2

b)

f ′( x) = a x (ln a ) ⋅ 2 x 2

f " ( x) = a x (ln a ) ⋅ 2 + a x (ln a ) 2 ⋅ 4 x 2 2

2

alternativ: logarithmisch ableiten: f ' ( x) = (ln f ( x))' f ( x) ln f ( x) = x 2 ln a

f ′( x) = 2 x(ln a)a x

2

f ′′( x) = 2(ln a)a x + 2 x(ln a)2 x(ln a)a x 2

2

-8-

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Aufgabe 9 (Kurvendiskussion - Tutorium) 2 a) Untersuchen Sie die Funktion f ( x) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 1 auf Extremwerte und 3 Wendestellen, und bestimmen Sie die Bereiche, in denen die Funktion konkav bzw. konvex ist. b) Untersuchen Sie die Funktion f ( x) = 10 x − 0,5 x 2 auf Nullstellen, Extremwerte und Wendestellen. Wo ist die Funktion konkav bzw. konvex? Zeichnen Sie die Funktion f (x) in ein Diagramm und zeigen Sie graphisch, wie man den Extremwert auch zeichnerisch mit Hilfe der Funktionen g ( x) = 10 x und h( x) = 0,5 x 2 herleiten kann.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: !

a)

Extremwerte:

⇒ x2 − 4x + 3 = 0 f ′( x) = 2 x 2 − 8 x + 6 = 0 ; f ′′( x) = 4 x − 8 f ′′(3) = 12 − 8 = 4 > 0 ⇒ Minimum bei x1 = 3 f ′′(1) = 4 − 8 = −4 < 0 ⇒ Maximum bei x2 = 1

⇒ x1 = 3; x2 = 1

!

⇒ x3 = 2 f ′′( x) = 4 x − 8 = 0 ⇒ Wendepunkt bei x3 = 2 f ′′′( x) = 4 ≠ 0 konkaver Bereich: Bedingung für Konkavität: f ′′( x) < 0 ⇒ 4x < 8 ⇒x 0 ⇒ 4x > 8 ⇒x>2 f ′′( x) = 4 x − 8 > 0 Funktion ist konvex für x > 2. Wendepunkte:

b) Nullstellen:

f ( x) = 10 x − 0,5 x 2 = 0

⇒ x1 = 0

⇒ 10 − 0,5 x = 0 ⇒ x2 = 20 f ′( x) = 10 − x = 0 ⇒ x3 = 10 Extremwerte: f ′′( x) = −1 < 0 ⇒ Maximum bei x3 = 10 Wendepunkte: Fehlanzeige da f ′′( x) ≠ 0 ∀x Bedingung für Konkavität f ′′( x) < 0 , Funktion ist im gesamten Bereich konkav Zeichnerisch: Abstand zwischen den beiden Funktionen muss am grössten sein. ⇒ gleiche Steigung (Maximum von 0,5x² bezogen auf 10x) y

-9x

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Aufgabe 10 (Partielle Differentiation - Tutorium) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktionen: a) z = f ( x, y ) = x 2 − 2 x + 3 y 2 + x 2 y 2 b) z = f ( x, y ) = x 2 ln y + y 2 ln x + xy + 7 x c) z = f ( x, y ) = 2 + x 4 e y y d) z = f ( x, y ) = x α y β

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

∂z = 2 x − 2 + 2 xy ² ; ∂x

∂z = 6 y + 2x2 y ∂y

b)

∂z y2 = 2(ln y ) x + + y; ∂x x

∂z x 2 = + 2(ln x) y + x ∂y y

c)

∂z 1 = + 4e y x 3 ; ∂x y 2

∂z 2x = − 3 + x 4e y ∂y y

d)

∂z z = αxα −1 y β = α ; ∂x x

∂z z = βxα y β −1 = β ∂y y

- 10 -

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Aufgabe 11 (totales Differential - Tutorium) Berechnen Sie das totale Differential: a) z = f ( x1 , x2 ) = ln( x12 + x22 ) b) z = f ( x1 , x2 ) = x1α x2β

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) dz =

2 x1 2x 2 dx1 + 2 2 2 dx2 = 2 ( x1dx1 + x2 dx2 ) 2 x1 + x2 x1 + x22 x + x2 2 1

b) dz = αx1α −1 x2β dx1 + βx1α x2β −1dx2 = x1α x2β (

α x1

dx1 +

- 11 -

β x2

dx2 )

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Aufgabe 12 (Produktionsmöglichkeitenkurve I - Übung) In einer Volkswirtschaft werden zwei Güter (Y1, 2) mit dem Faktor Arbeit (L) produziert. Die jeweiligen Produktionsfunktionen sind linear. a) Erklären Sie, warum die Produktionsmöglichkeitenkurve einen Optimalitätsgrad aufweist. b) Entwickeln sie aus den Angaben mit Hilfe eines 4-Quadrantenschemas graphisch die Transformationskurve / Produktionsmöglichkeitenkurve. c) Erklären Sie anhand der Graphik das Prinzip der Opportunitätskosten. Gehen Sie dabei auch auf den Verlauf der Produktionsfunktionen ein.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Sie stellt die maximalen Produktionsmengen eines Gutes für gegebene Produktionsfaktoren und gegebene Produktion des anderen Gutes dar.

b) Y2

Y2=f(L)

L

Y1

Y1=f(L) L

c) konstante Opportunitätskosten: Produktion von einer zusätzlichen Einheit Y1 „kostet“ immer die gleiche Anzahl an Einheiten von Y2. Ein steilerer Verlauf der Produktionsfunktion für Gut Y1 (höhere Grenzproduktivität) bewirkt geringere Opportunitätskosten bei diesem Gut (gemessen in Verzicht auf Einheiten von Gut Y2).

- 12 -

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Aufgabe 13 (Produktionsmöglichkeitenkurve IV - Übung) Gegeben ist eine Volkswirtschaft, die über eine Ressourcenausstattung von L = 6400 Stunden Arbeit pro Jahr verfügt und damit entweder Erdbeeren E durch pflücken produziert oder Zitronen Z durch Schütteln der entsprechenden Bäume herstellt. Die Produktionstechnologie dieser Volkswirtschaft ist durch die Transformationskurve L = 4⋅ E 2 + Z 2 repräsentiert. a) Wie viele Erdbeeren kann diese Volkswirtschaft maximal herstellen? b) Wie viele Zitronen kann diese Volkswirtschaft maximal herstellen? c) Klassifizieren Sie die 5 folgenden Kombinationen von E und Z unter Verwendung der Begriffe effiziente Produktion, ineffiziente Produktion, unmögliche Produktion. Geben Sie in jedem Fall eine ökonomische Begründung für Ihre Klassifikation.

E,Z

a 30 , 50

b 35 , 45

c 0 , 90

d 20 , 20

e 20×√3 , 40

d) Machen Sie für eine der ineffizienten Kombinationen von E und Z Vorschläge, wie hier der Übergang zu einer effizienten Produktion herbeigeführt werden könnte. e) Geben Sie für eine der als effizient klassifizierten Kombinationen a bis e die Grenzrate der Transformation an.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Z = 0 ⇒ 6400 = 4 ⋅ E 2 ⇒ E = 1600 = 40 b) E = 0 ⇒ 6400 = Z 2 ⇒ Z = 6400 = 80 c) a b E,Z 30 , 50 35 , 45 L-Bedarf 6100 6925 ineffizient unmöglich ⇒

c 0 , 90 8100 unmöglich

d 20 , 20 2000 ineffizient

e 20×√3 , 40 6400 effizient

d) Erhöhung der Produktion von E oder von Z oder einer Kombination aus E und Z e) Grenzrate der Transformation nur sinnvoll für effiziente Kombination e: dE 1 E = 12 6400 − Z 2 ⇒ = 4 (6400 − Z 2 ) −1 / 2 ⋅ (−2Z ) = − 12 (6400 − Z 2 ) −1 / 2 ⋅ Z dZ dE Z = 40 ⇒ = − 12 (6400 − 1600) −1 / 2 ⋅ 40 = −0,289 dZ

- 13 -

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Aufgabe 14 (Marktgleichgewicht - Übung) Ein vollkommener Markt befindet sich im Gleichgewicht. Durch die stark gestiegenen Rohölpreise verteuert sich die Produktion der Unternehmen. Stellen Sie diesen Sachverhalt graphisch in einem geeigneten Diagramm dar. Wie verändern sich gleichgewichtiger Preis und Menge? Welche Aspekte der Veränderung sind exogen, welche endogen?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: p A‘

A

p2 p* p1

x*

x

x1

Verschiebung von A nach A‘ ist exogen ⇒ Preis bleibt bei p1 ⇒ Nachfrageüberschuß ⇒ Nachfrageüberschuß führt zu Preiserhöhung bis neues Gleichgewicht p*, x* erreicht (endogen!)

- 14 -

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Aufgabe 15 (Produktionsfunktion - Übung) Gegeben ist die Produktionsfunktion: y = x10, 2 x 20,8 a) b) c) d)

Berechnen Sie die Grenzproduktivitäten der beiden Produktionsfaktoren. Zeichnen Sie die Produktionsfunktion, für x2 = 32. Wie verändert sich die Grenzproduktivität mit steigendem x1? Berechnen Sie die Isoquante für ein beliebiges Output-Niveau y .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

∂y ∂y = 0,2 x1−0,8 x20,8 , = 0,8 x10, 2 x2−0, 2 ∂x2 ∂x1

b) y = x10, 2 ⋅ 32 0,8 = 16 x10, 2 y

18 16

1

c) Sie nimmt ab, da

2

x1

3

∂2 y = −0,2 * 0,8 x1−1,8 x20,8 < 0 2 ∂x1

d) y = x10, 2 x 20,8 ⇒ y 5 = x1 x 24 ⇒ x1 =

(

y5 (oder x 2 = y 5 x1 4 x2

- 15 -

)

1/ 4

)

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Aufgabe 16 (Isoquanten - Übung) Zeichnen Sie Isoquanten für eine limitationale und eine substitutionale Produktionsfunktion (Achsenbeschriftung beachten!).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:

x2

limitational

substitutional

x1

mit x1 und x2 als Inputfaktoren der Produktion

- 16 -

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Aufgabe 17 (Grenzproduktivität und Isoquante - Tutorium) Angenommen, die Grenzproduktivität des Kapitals ist immer positiv, aber die Grenzproduktivität der Arbeit wird null wenn mehr Arbeiter als Kapitalgüter beschäftigt werden. Wie sehen die Isoquanten aus?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:

- 17 -

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Aufgabe 18 (Skalenerträge - Tutorium) Gegeben sei die Produktionsfunktion: y = x1α x 2β a) Bei welchen Werten von α und β treten konstante, fallende und steigende Skalenerträge auf? b) Für welche Konstellationen von α und β findet man für die Produktionsfaktoren sinkende Grenzerträge und dennoch für die Produktionsfunktion steigende Skalenerträge?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

b)

f(λx1,λx2) = λαx1αλβx2β = λα+βx1αx2β = λα+β y r = α+β = 1 ⇒ konstante Skalenerträge ⇒ r = α+β < 1 ⇒ sinkende Skalenerträge r = α+β > 1 ⇒ steigende Skalenerträge

α < 1, β < 1 ∧ α + β > 1

- 18 -

mit α, β > 0

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Aufgabe 19 (Grenzproduktivität und TRS - Übung) Gegeben ist folgende Produktionsfunktion: y = x11, 2 x 20,9 . a) Welchen Homogenitätsgrad und welche Art von Skalenerträgen weist diese Produktionsfunktion auf? b) Wie entwickeln sich die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren, wie die Durchschnittsproduktivitäten? c) Geben Sie die TRS an!

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) (λx 1 )1, 2 (λx 2 ) 0,9 = λ2,1 x 11, 2 x 02,9 = λ2,1 y ⇒ y(x1,x2) ist homogen vom Grad 2,1. ⇒ steigende Skalenerträge b) Grenzproduktivität: x20,9 ∂2 y ∂y = >0 0 , 24 = 1,2 x10, 2 x20,9 > 0 , ∂x1 ∂x12 x10,8 x1, 2 x11, 2 ∂y ∂2 y = 0,9 10,1 > 0 , − 0 , 09 0 = x10, 2 x20,9 > 0 , ∂x1 x1 x1 y x11, 2 = > 0, x2 x20,1 c) allg. TD: dy = ∂y TRS =

∂x1

∂ ( y x2 ) x1, 2 = −0,1 11,1 < 0 ∂x2 x2 dx1 + ∂y

!

∂x2

dx2 = 0 ⇒

dx2 αxα −1 x β αx = − 1α β −21 = − 2 βx1 dx1 βx1 x2

dx2 1,2 x10, 2 x20,9 1,2 x2 =− =− 1, 2 −0 ,1 dx1 0,9 x1 0,9 x1 x2

- 19 -

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Aufgabe 20 (Produktionsfunktion I - Tutorium) Gegeben ist die additiv separable Produktionsfunktion y = x1 + x 2 für einen Produktionsprozeß mit zwei Produktionsfaktoren x1 und x2. Berechnen Sie für diese Produktionsfunktion ... a) die Grenzproduktivitäten für die beiden Produktionsfaktoren. b) die Rate der technischen Substitution. c) den Homogenitätsgrad. d) Berechnen Sie den Homogenitätsgrad der substitutionalen Produktionsfunktion y = (0.5 x1ν + 0.5 xν2 ) ρ / ν .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

∂y 1 −1 / 2 ∂y 1 −1 / 2 = 2 ⋅ x1 , = ⋅ x2 ∂x1 ∂x 2 2

b)

∂y / ∂x1 dx 2 x =− =− 2 ∂y / ∂x 2 dx1 x1

c)

λx1 + λx 2 = λ ( x1 + x 2 ) = λ1 / 2 ⋅ y ⇒ Homogenitätsgrad = 1/2

d) (0.5(λx1 )ν + 0.5(λx 2 )ν ) ρ / ν = (0.5λν x1ν + 0.5λν xν2 ) ρ / ν = λ ρ (0.5 x1ν + 0.5 xν2 ) ρ / ν = λ ρ y ⇒ Homogenitätsgrad = ρ

- 20 -

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Aufgabe 21 (Produktionsfunktion II - Tutorium) Gehen Sie von einem Produktionsvorgang aus, in dem ein Gut Y mit den Produktionsfaktoren Arbeit L und Kapital K produziert wird. Dieser Produktionsvorgang läßt sich durch die Produktionsfunktion Y = L + K + Lδ K 1−δ darstellen. a) Geben Sie die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren in Abhängigkeit der Kapitalintensität K/L an. b) Ist diese Produktionsfunktion substitutional, vollständig substitutional oder limitational? [mit Begründung!] c) Geben Sie den Homogenitätsgrad an und interpretieren Sie diesen. d) Worin liegt der Unterschied zwischen der Aussage der Grenzproduktivitäten und der Aussage des Homogenitätsgrades?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

∂Y = 1 + δLδ −1 K 1−δ = 1 + δ ( K / L)1−δ ∂L ∂Y = 1 + (1 − δ ) Lδ K −δ = 1 + (1 − δ )( K / L) −δ ∂K

b) vollständig substitutional, da ein positiver Output mit dem Einsatz von allein einem der beiden Produktionsfaktoren erstellt werden kann, also bei L > 0 und K = 0 oder L = 0 und K > 0. c) die Produktionsfunktion ist linearhomogen, d.h. vom Grade 1, da λL + λK + (λL) δ (λK )1−δ = λ ( L + K ) + λδ λ1−δ Lδ K 1−δ = λ ( L + K + Lδ K 1−δ ) = λY dies bedeutet, daß eine Verdoppelung des Einsatzes beider Produktionsfaktoren zu einer Verdoppelung der produzierten Menge führt d) Grenzproduktivitäten: wie verändert sich die produzierte Menge, wenn ein Produktionsfaktor variiert und der andere konstant gehalten wird. Homogenitätsgrad: wie verändert sich die produzierte Menge wenn beide Produktionsfaktoren um den gleichen Faktor variiert werden.

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Aufgabe 22 (Technische Rate der Substitution - Tutorium) Zeigen Sie, dass für jede Cobb-Douglas Produktionsfunktion die TRS entlang eines Fahrstrahls durch den Ursprung konstant ist.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Fahrstrahl durch den Ursprung: x2 ist ein vielfaches von x1 ⇒ x2 = bx1

⇒ TRS(x1, x2) = TRS(x1, bx1) y = x1α x2β ⇒

αx αbx1 αb dx2 =− 2 =− =− = const. βx1 βx1 β dx1

- 22 -

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Aufgabe 23 (Gewinnmaximierung I - Übung) Ein Unternehmer produziert mit der Technologie y = x1αx2β. Die Preise der Inputfaktoren sind vom Markt mit w1 und w2 fest vorgegeben und kurzfristig kann nur der Faktor x1 variiert werden. a) b) c)

Wieviele Einheiten an x1 sollte er einsetzen, um den maximalen Gewinn zu erzielen? Erläutern Sie das Ergebnis anhand einer geeigneten Graphik. In welchem Verhältnis sollten die Produktionsfaktoren eingesetzt werden, falls das Unternehmen eine langfristige Gewinnmaximierung anstrebt?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

y = x1α x 2β

w1 , w2 > 0

Ziel: Gewinnmax. ⇒ max π = py − w1 x1 − w2 x 2 = p ( x1α x 2β ) − w1 x1 − w2 x 2 x1

dy dπ = MP1 αx1α −1 x 2β = = pαx1α −1 x 2β − w1 = 0 mit dx1 dx1 w ⇒ MP1 = 1 Grenzprodukt = realer Faktorpreis p w αx1α −1 x 2β = 1 p

⇒

x1α −1

w1 = pαx 2β

 w ⇒ x1* =  1 β  pα x 2

1

 α −1  pαx 2β  =    w1

b)

- 23 -

1

 1−α  

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c) max π = p ( x1α x 2β ) − w1 x1 − w2 x 2 x1 , x2

∂π = pαx1α −1 x2β − w1 = 0 ∂x1 ∂π = pβx1α x2β −1 − w2 = 0 ∂x2 α x 2 w1 = | TRS | ⇒ = β x1 w2

Der Betrag der Rate der technischen Substitution ist gleich dem umgekehrten Faktorpreisverhältnis (unabhängig von p)

x 2 β w1 = x1 α w2

- 24 -

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Aufgabe 24 (Gewinnmaximierung II - Tutorium) Ein Entrepreneur hat zur Geschäftseröffnung von seiner Hausbank einen Kredit von 1000 Geldeinheiten bewilligt bekommen. Dieses Budget soll optimal ausgenutzt werden. Er produziert entlang einer Leontief-Produktionsfunktion y = f ( x1 , x 2 ) = min{3 x1 ,5 x 2 } . Die Faktorpreise betragen w1 = 1 und w2 = 5 . a) Berechnen Sie den optimalen Faktoreinsatz. b) Stellen Sie Ihre Lösung aus Teilaufgabe a) graphisch dar, achten Sie dabei auf eine exakte Achsenbeschriftung! c) Wie lautet der Gewinn des Entrepreneurs bei einem Marktpreis von p = 10 ? d) Erklären Sie kurz, warum im Fall der obigen Leontieff-Produktionsfunktion für eine effiziente Produktion 3 x1 = 5 x 2 erfüllt sein muß.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung:

0

50

100

x2

150

200

250

1 a) Kostengleichung: C ( x) = x1 + 5 x 2 = 1000 ⇒ x 2 = 200 − x1 5 5 Produktionsfunktion: 3 x1 = 5 x 2 ⇒ x1 = x 2 3 Optimaler Faktoreinsatz: 5 1 4 1 5 x 2 = 200 − ⋅ x 2 = 200 − x 2 ⇒ x 2 = 200 ⇒ x 2* = 150 ⇒ x1* = ⋅ 150 = 250 3 3 3 5 3 b) Schaubild:

0

100

200

300

400

500

x1

c) y = 3 ⋅ 250 = 750 ⇒ G = 10 ⋅ 750 − 250 − 5 ⋅ 150 = 6500 d) Die Bedingung muß erfüllt sein, da dann bei der gegebenen Produktionsfunktion (Leontief) beide Elemente innerhalb des Minimum-Operators identisch sind. Eine alleinige Erhöhung eines der beiden Produktionsfaktoren würde eine Ressourcenverschwendung bedeuten.

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Aufgabe 25 (Kostenminimierung I - Übung) Ein Unternehmer produziert mit der Technologie y = x1α x2β . Die Preise der Inputfaktoren sind mit w1 und w2 fix vorgegeben. a) b)

Wie lautet die Minimalkostenkombination für y = y ? Skizzieren Sie auch die graphische Lösung zu diesem Problem. Geben Sie die Kostenfunktion c(y) an.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

Kostengleichung: C = w1x1 + w2x2 Zielfkt.: min C = w1 x1 + w2 x2 x1 , x2

NB y = x1α x 2β Lagrange: L = w1 x1 + w2 x 2 + λ( y − x1α x 2β ) (1)

! ∂L = w1 − λαx1α −1 x2β = 0 ∂x1

(2)

! ∂L = w2 − λβx1α x2β −1 = 0 ∂x2

(3)

! ∂L = y − x1α x 2β = 0 ∂λ

aus (4) x1* =

w1 α x2 (4) = w2 β x1 umgekehrtes Faktorpreisverhältnis = TRS x2 β w1 (wie bei Gewinnmax.) = x1 α w2

⇒

α w2 x2 β w1 α

α

in (3)

 α w2  β  α w2  α + β  x 2 y =  x 2  x 2 =   β w1   β w1 

⇒

  βw  x 2 =  y ⋅  1    α w2  

α

   

1 α+ β

=y

1 α+ β

α

 βw  α + β ⋅  1   α w2 

- 26 -

Lehrstuhl Prof. Dr. Uwe Cantner aus (4) x2* =

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β w1 x1 α w2 β

in (3)

 β w1   β w1   y = x  x1  = x1α + β   α w2   α w2 

⇒

1   αw  β  α + β α+ β 2    x1 = y ⋅  =y   βw1    

β

α 1

1

1

b)

c( y ) = w1 y

α +β

β

 αw  ⋅  2   βw1 

α

 α w2  α + β  β w1  α + β    + w2 y α + β   β w1   α w2  1

- 27 -

β α+ β

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Aufgabe 26 (Kostenminimierung II - Tutorium) Ein Unternehmen produziert mit der Technologie Y = L0 .4 K 0 .4 . Die Inputpreise sind mit w = 4 (Lohn) und r = 2 (Zins) gegeben.

a) b) c) d)

Stellen Sie die Kostengleichung des Unternehmens auf. Stellen Sie das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens dar. (Zielfunktion und Nebenbedingung) Mit welchem Faktoreinsatzverhältnis produziert das Unternehmen kostenminimal? Wie lautet die Kostenfunktion dieses Unternehmens?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) C = w ⋅ L + r ⋅ K = 4 L + 2 K b) min C = w ⋅ L + r ⋅ K L, K

NB

Y = L0, 4 K 0, 4

c) Λ = 4 L + 2 K + λ ⋅ (Y − L0.4 K 0.4 )

∂Λ  = 4 − λ ⋅ 0,4 ⋅ L− 0, 6 K 0, 4 = 0  4 K ∂L  ⇒ = ⇒ K = 2 L (in ∂Λ ∂λ ) ∂Λ 2 L = 2 − λ ⋅ 0,4 ⋅ L0, 4 K − 0, 6 = 0 ∂K  ∂Λ = Y − L0, 4 K 0, 4 = 0 ∂λ d) K = 2 L ⇒ Y = L K 0, 4

0, 4

=L

0, 4

(2 L )

0, 4

⇒ L = (2

− 0, 4

⋅Y )

1 0 ,8

1

1 1 0, 4 L = K ⇒ Y = L0, 4 K 0, 4 = ( K ) 0, 4 (K ) ⇒ K = (2 0, 4 ⋅ Y ) 0,8 2 2 in Kostengleichung: C (Y ) = 4 ⋅ (2

−0, 4

⋅Y )

1 0 ,8

+ 2 ⋅ (2

0, 4

⋅Y )

1 0 ,8

=Y

1 0 ,8

⋅ (2

- 28 -

1, 5

+2 )=Y 1, 5

1 0 ,8

⋅ 2 2,5 = Y 1, 25 ⋅ 2 2,5

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Aufgabe 27 (Kostenminimierung III - Tutorium) Ein Unternehmen produziert Y = 100 Outputeinheiten auf der Isoquante K = Y 2 / L unter Einsatz von K = 250 Kapitaleinheiten und L = 40 Arbeitseinheiten. Die Faktorpreise betragen wK = 2 und wL = 8 . a) Begründen Sie, warum diese Situation keine kostenminimale Lösung darstellt. Argumentieren Sie anhand der Grenzrate der technischen Substitution und der Faktorpreise. Geben Sie eine ökonomische Interpretation! b) Wie müßte das Unternehmen seinen Faktoreinsatz modifizieren, um kostenminimal zu produzieren? Ermitteln Sie die Lösung ohne Anwendung des Lagrangeansatzes! c) Wie groß ist die dabei erzielte Kostenersparnis?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Für eine kostenminimale Lösung muß das Verhältnis der Grenzproduktivitäten gleich dem Verhältnis der Faktorpreise sein, hier gilt jedoch 2 2  Y 2  Y  MPL w dK 8  100  =− = − − 2  =   =   = 6.25 ≠ L = = 4 MPK dL wK 2  40   L   L Interpretation: das technisch mögliche Austauschverhältnis (die Grenzrate der technischen Substitution) zwischen Arbeit und Kapital ist größer als das ökonomisch mögliche Austauschverhältnis (das Faktorpreisverhältnis) 2

wL dK  Y  100 100 2 * * b) − =  = =4⇒ L = = 50 , K = = 200 dL  L  wK 2 50 c) ΔC = 8 ⋅ (40 − 50) + 2 ⋅ (250 − 200) = −80 + 100 = 20

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Aufgabe 28 (Kostenminimierung IV - Tutorium) Gegeben ist eine vollständig substitutionale Produktionsfunktion Faktorpreise betragen w1 = 2 und w2 = 3 .

y = 5 x1 + 4 x 2 . Die

a) Bestimmen Sie die kostenminimale Faktorkombination ( x1 , x 2 ) zur Produktion von y = 100 Einheiten graphisch. [Hinweis: gefordert ist eine maßstabsgetreue Zeichnung, keine Skizze!] b) Interpretieren Sie die Lösung aus a) vor dem Hintergrund der Grenzproduktivitäten und Faktorpreise für die beiden Produktionsfaktoren. c) Wie hoch sind die minimalen Kosten zur Produktion von y = 100 Einheiten?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: K 3 − x2 2 2 y 4 y = 5 x1 + 4 x 2 ⇒ x1 = − x 2 ⇒ ( x1* , x 2* ) = (20,0) 5 5

a) K = 2 x1 + 3 x 2 ⇒ x1 =

x2 3

0

2

5

2

0

1

5

1

0

5 x1

0 0

5

1

0 1

5 2

0 2

5

b) Der Produktionsfaktor x1 weist eine höhere Grenzproduktivität als x 2 auf (5>4) und ist mit einem geringeren Faktorpreis verbunden (2 1 , da dann Grenzproduktivität abnehmend c) Kostengleichung: C = w ⋅ L (gibt die Kosten an, die bei einem Einsatz von L Einheiten Arbeit und einem Lohnsatz vom w tatsächlich anfallen) d) Kostenfunktion: L = (Y / A) α ⇒ C (Y ) = w ⋅ (Y / A) α (gibt die minimalen Kosten einer Produktion von Y Outputeinheiten an)

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Aufgabe 30 (Kostenarten - Tutorium) Gegeben ist folgende Kostenfunktion: c( y ) = y 2 + y + 1 Wie hoch sind die ... a) variablen Kosten cv(y)? b) Fixkosten cf(y)? c) durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y)? d) durchschnittlichen Fixkosten AFC(y)? e) durchschnittlichen Kosten AC(y)? f) Grenzkosten MC(y)? g) Zeichnen Sie die AVC(y), AC(y) und die MC(y) in ein Diagramm unter Angabe der Schnittpunkte und Minima.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) b) c) d) e)

cv(y) = y² + y cf (y) = 1 AVC(y) = cv(y)/y = y + 1 AFC(y) = cf (y)/y = 1/y AC(y) = c(y)/y = y + 1 + 1/y ∂c(y) f) MC(y) = = 2 y +1 ∂y g) Schnittpunkte: MC(y1) = AC(y1) ⇒ 2y + 1 = y + 1 + 1/y ⇒ y = 1/y ⇒ y2 = 1 ⇒ y1 = 1 MC(y2) = AVC(y2) ⇒ 2y + 1 = y + 1 ⇒ y2 = 0 AC(y3) = AVC(y3) ⇒ y + 1 + 1/y = y + 1⇒ 1/y ≠ 0 MC ′ = 2 ≠ 0 AVC ′ = 1 ≠ 0 1 ! AC ′ = 1 − 2 = 0 ⇒ y 2 = 1 ⇒ y = 1 y 2 AC ′′ = 3 > 0 y ⇒ AC(1) = 3 ⇒ Minimum bei (1; 3)

Minima:

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Aufgabe 31 (Faktornachfrage I - Tutorium) Ein Unternehmen produziert ein Gut y mit der Produktionsfunktion y = x . Das Unternehmen erzielt auf dem Markt einen Preis von p = 2 für dieses Gut und muß für den Produktionsfaktor x eine Entlohung in Höhe von w = 0.2 pro Einheit entrichten. a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Faktoreinsatzmenge und den dabei erzielten Gewinn. b) Erläutern Sie das Ergebnis der Gewinnmaximierung anhand einer geeigneten Grafik. Erklären Sie dabei den Einfluß von Änderungen des Faktorpreises und des Wertgrenzprodukts auf die Faktornachfrage. c) Erklären Sie anhand der Zeichnung aus b) welche ökonomischen Kräfte dafür sorgen, daß das Unternehmen nicht eine größere als die unter a) berechnete Menge des Produktionsfaktors nachfragt?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Π ( x) = p ⋅ x − w ⋅ x = 2 x − 0.2 ⋅ x dΠ ( x) = x −1 / 2 − 0.2 = 0 ⇒ x −1 = 0.04 ⇒ x * = 25 dx Π (25) = 2 25 − 0.2 ⋅ 25 = 10 − 5 = 5 b)

p

-

/1 2

/

2

x

w

x*

x

steigender Faktorpreis führt zu sinkender Faktornachfrage (w-Kurve nach oben) steigendes Wertgrenzprodukt führt zu steigender Faktornachfrage (z.B. p steigt, womit sich die Wertgrenzproduktskurve p ⋅ 12 x −1 / 2 nach oben verschiebt) c) Aufgrund des sinkenden Wertgrenzprodukts liegt das Wertgrenzprodukt bei einer größeren Menge als unter a) berechnet unterhalb des Faktorpreises, d.h. der zusätzliche Faktoreinsatz ist mit höheren Zusatzkosten verbunden als er an Erlöszuwachs erbringt. - 33 -

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Aufgabe 32 (Faktornachfrage II - Tutorium) Ein Unternehmen arbeitet mit einer Produktionsfunktion y = x1 + x 2 . Die Faktorpreise w1 und w2 , sowie der Güterpreis p sind exogen gegeben. a) Geben Sie die Faktornachfragefunktionen für die Produktionsfaktoren x1 und x 2 an. Gehen Sie davon aus, daß das Unternehmen seinen Gewinn maximieren möchte. b) Interpretieren Sie die Änderungen der Faktornachfragemengen, die sich als Konsequenz von Änderungen der Güter- und Faktorpreise ergeben ökonomisch. c) Welche Faktornachfragemenge ergeben sich und wie groß ist die produzierte Menge, wenn die Preise mit p = 120, w1 = 2, w2 = 3 gegeben sind.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Π = p ( x1 + x 2 ) − w1 x1 − w2 x 2  p  2w ∂Π 1 −1 / 2  = 2 px1 − w1 = 0 ⇒ x1−1 / 2 = 1 ⇒ x1 =  ∂x1 p  2 w1 

2

 p  2 w2 ∂Π 1 −1 / 2  = 2 px 2 − w2 = 0 ⇒ x 2−1 / 2 = ⇒ x 2 =  ∂x 2 p  2 w2 

2

b) xi ↑, wenn p ↑ : steigender Güterpreis ist Anreiz mehr zu produzieren xi ↓, wenn wi ↑ : steigender Faktorpreis erhöht die Kosten und senkt den Anreiz zur Produktion 2

 120  2 c) x1 =   = 30 = 900  2⋅2 2

 120  2 x2 =   = 20 = 400  2⋅3 y = 900 + 400 = 30 + 20 = 50

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Aufgabe 33 (Faktornachfrage III - Übung) Ein Produktionsprozeß ist mit einer Grenzproduktivitätsfunktion ∂y / ∂x1 = αx1α −1 x 2β für den Produktionsfaktor x1 verbunden. Kurzfristig ist der Produktionsfaktor x 2 auf dem Niveau x 2 = 16 fixiert. Die Güter- und Faktorpreise sind mit p = 1 , w1 = 5 und w2 = 3 gegeben. Ferner gilt β = 0,5 . Welche Menge an x1 wird eingesetzt, wenn der Gewinn maximiert werden soll und a) α = 0,5 b) α = 1 c) α = 1,25 ist. Illustrieren Sie Ihre Argumentation für die 3 Fälle a), b) und c) jeweils anhand einer geeigneten Zeichnung und denken Sie an die Bedeutung sinkender Grenzproduktivität. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Fall α = 0,5 pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ 0,5 x1−0,5 ⋅ 4 = 5 ⇒ x1−0,5 = 5 / 2 ⇒ x1* = (2 / 5) 2 = 4 / 25 Fall sinkender Grenzerträge mit eindeutigem Gewinnmaximum b) Fall α = 1 pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ x10 ⋅ 4 = 5 ⇒ 4 = 5 Widerspruch! Fall konstanter Grenzerträge ohne eindeutiges Gewinnmaximum c) Fall α = 1.25 pMP1 = w1 ⇔ 1 ⋅ 1,25 x10, 25 ⋅ 4 = 5 ⇒ 5 x10, 25 = 5 ⇒ x1* = 1 Fall steigender Grenzerträge mit Schnittpunkt der Kurven, der jedoch kein Gewinnmaximum darstellt a = 0.5

a =1

a = 1.25 pMP 1

5.5

5.5

6

w1

5.0

w1

5.0

w1

5

4.5 4

4.5

4.0

pMP 1

4.0

3.5 3

3.5 3.0

2

0.0

0.5

1.0 x1

1.5

3.0

2.5

pMP 1 2.0

0.0

0.5

1.0 x1

- 35 -

1.5

2.0

0.0

0.5

1.0 x1

1.5

2.0

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Aufgabe 34 (Güterangebot - Übung) Ein Unternehmer sieht sich folgender Kostenfunktion gegenüber: 1 c(y) = y 3 − y 2 + 5 y + 3 3 a) Leiten Sie daraus die kurzfristige inverse Angebotsfunktion ab. b) Skizzieren Sie den Verlauf der MC(y), der AVC(y) und der AC(y). Markieren Sie in dem Diagramm das langfristige Angebot des Unternehmens.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Voraussetzungen für das kurzfristige Angebot: max π = py − c( y ) y

! dπ = p − MC ( y ) = 0 dy

⇒

p = MC ( y )

d 2π = − MC ′( y ) < 0 dy 2

⇒

MC ′( y ) > 0

also:

b)

1. p = MC, 2. MC` > 0 3. MC > AVC 1. MC(y) = y 2 − 2 y + 5 p = y2 − 2y + 5 2. MC ′(y) = 2 y − 2 2y − 2 > 0 ⇒ y >1 1 3. AVC(y) = y 2 − y + 5 3 3 2 1 1 ⇒ y − 2 > y −1 ⇒ y > 1 ⇒ y > y2 − 2y + 5 > y2 − y + 5 2 3 3 3 2 3  y − 2 y + 5 für y > 2 ⇒ p( y) =  (kurzfristige inverse Angebotsfunktion) 0 sonst 1 3 AC(y) = y 2 − y + 5 + 3 y

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Aufgabe 35 (Angebot einer Industrie - Tutorium) Auf dem Markt für Flugzeuge (y) konkurrieren zwei Anbieter. Die inverse Angebotsfunktion des Unternehmens A lautet pA(yA) = 3yA + 100 und die des B pB(yB) = 2yB + 160. Wie ist das aggregierte Angebot auf diesem Markt formal darzustellen, wie graphisch?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: A: yA = (pA-100)/3 B: yB = (pB-160)/2 1. p < 100 : kein Angebot 2. bis p=160 nur Unternehmen A ⇒ 160=3yA+100 ⇒ yA=20 3. Addition der Angebotskurven p − 100 p − 160 2 p − 200 + 3 p − 480 5 p − 680 = = + y= 6 6 2 3    0 für p ≤ 100 0 für y ≤ 0   p − 100  , p(y) =  3 y + 100 für 0 < y ≤ 20 ⇒ y(p) =  für 100 < p ≤ 160 3  6 y + 680  für y > 20   5 p − 680 für p > 160 5  6 6

p

SB SA SA + SB

160 100

y

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Aufgabe 36 (Budgetrestriktion - Tutorium) Ein Haushalt mit einem Einkommen von 120 Geldeinheiten (GE) konsumiert 30 Einheiten von Gut 1 und 15 Einheiten von Gut 2. Der Preis von Gut 1 beträgt 3 GE, der Preis von Gut 2 beträgt 2 GE. Die konjunkturelle Entwicklung bewirkt einen Anstieg des Einkommens um 20 GE, eine Preiserhöhung für Gut 1 um 1 GE und eine Preissenkung für Gut 2 um 20%. a) Kann der Haushalt seine Konsumgewohnheiten beibehalten? b) Verdeutlichen Sie diesen Sachverhalt graphisch.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) alte Situation: y = p1x1 + p2x2 ⇒ 120 = 3∙30 + 2∙15 = 120 neue Situation: y = 140, p1 = 4, p2 = 1,6 ⇒ 140 < 4∙30 + 1,6∙15 = 144 Der HH kann sich das bisherige Güterbündel nicht mehr leisten. b)

x1 40 35 30

15

60

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87,5

x2

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Aufgabe 37 (Indifferenzkurven - Tutorium) a) Erklären Sie das in der mikroökonomischen Haushaltstheorie verwendete Konzept der Indifferenzkurven. b) Ein Konsument kann Güterbündel x = ( x1 , x2 ) konsumieren. Welche alternativen Güterbündel x A = (5, 7), x B = (1, 7), x C = (3, 2) können bei Gültigkeit der Nichtsättigungsannahme nicht auf derselben Indifferenzkurve liegen? c) Berechnen Sie die Rate(n) der Substitution zwischen dem(den) Güterbündel(n) auf der(den) Indifferenzkurve(n) der Teilaufgabe b).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Indifferenzkurve: Verbindungslinie aller Güterbündel, die der Haushalt gleich bewertet, d.h. die ihm den gleichen Nutzen stiften b) x1A > x1B ∧ x1A = x1B ⇒ A und B liegen auf unterschiedlichen Indifferenzkurven x1A > x1C ∧ x 2A > x 2C ⇒ A und C liegen auf unterschiedlichen Indifferenzkurven c)

∆x 2 x 2B − x 2C 7 − 2 5 = B = = − = −2.5 C ∆x1 x1 − x1 1− 3 2

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Aufgabe 38 (Nutzenmaximierung I - Übung) Ein Haushalt hat eine Nutzenfunktion u ( x1 , x 2 ) = x1 ⋅ x 2 und verfügt über ein Einkommen y = 100 . Auf den Märkten für die beiden Güter x1 und x 2 ergibt sich der Preisvektor ( p1 , p 2 ) = (2, 2) . a) Wie lautet der optimale Verbrauchsplan dieses Haushalts? b) Welches maximale Nutzenniveau kann er realisieren? c) Wie ändert sich dieses maximale Nutzenniveau wenn p1 auf 3 steigt? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Zielfunktion: Nutzenmaximierung max u = x1 ⋅ x 2 x1 , x2

NB

y = p1 x1 + p 2 x 2

Budgetbeschränkung

100 = 2 x1 + 2 x 2 L = x10,5 x 20,5 + λ(100 − 2 x1 − 2 x 2 ) ! ∂L  = 0,5 x1−0,5 x 20,5 − 2 λ = 0  x1−0,5 x 20,5 x ∂x1  ⇒ = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ x1 = x 2  ! 0 , 5 0 , 5 − ∂L x1 x1 x 2 = 0,5 x10,5 x 2−0,5 − 2 λ = 0  ∂x 2 ! ∂L = 100 − 2 x1 − 2 x 2 = 0 ⇒ 100 − 4 x1 = 0 ⇒ x1 = 25 = x 2 ∂λ b) u * (25;25) = 25 c) Es muss sinken, da nun weniger x1 konsumiert werden kann. max u = x1 ⋅ x 2 x1 , x2

NB

y = p1 x1 + p 2 x 2

Budgetbeschränkung

100 = 3x1 + 2 x 2 L = x10,5 x 20,5 + λ(100 − 3x1 − 2 x 2 ) ! ∂L  = 0,5 x1−0,5 x 20,5 − 3λ = 0  x1−0,5 x 20,5 3 x 3 2 ∂x1  ⇒ 0,5 −0,5 = ⇒ 2 = ⇒ x1 = x 2 !  ∂L x1 2 2 3 x1 x 2 = 0,5 x10,5 x 2−0,5 − 2 λ = 0 ∂x 2  ! ∂L = 100 − 3x1 − 2 x 2 = 0 ∂λ 2 50 ⇒ 100 − 3 * x 2 − 2 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 25 ; x1 = ≈ 16,66 3 3 ⇒ u * (16,66; 25) ≈ 20,41

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Aufgabe 39 (Nutzenmaximierung II - Tutorium) Es besteht die gleiche Situation wie in der vorherigen Aufgabe. Die Präferenzen des Haushalts werden nun jedoch durch die Nutzenfunktion u~(x1 ,x2 ) = 2 ⋅ (ln x1 + ln x2 ) repräsentiert. Wie verändert sich der optimale Verbrauchsplan dieses Haushalts?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Es werden die gleichen Gütermengen konsumiert wie in der vorigen Aufgabe, da es sich hierbei um eine monotone Transformation der obigen Nutzenfunktion handelt. Der Nutzen wird lediglich ordinal gemessen (und nicht kardinal wie die Produktionsfunktion). 4 ⋅ ln(u ) = 4 ⋅ ln( x10,5 x 20,5 ) = 4 ⋅ (0,5 ⋅ ln( x1 ) + 0,5 ⋅ ln( x 2 )) = 2 ⋅ ln( x1 ) + 2 ⋅ ln( x 2 ) = u~

über Lagrange: L = 4(0,5 ln x1 + 0,5 ln x 2 ) + λ(100 − 2 x1 − 2 x 2 ) ! ∂L 2  = − 2λ = 0  1 1 ∂x1 x1  ⇒λ= = ⇒ x1 = x 2 ⇒ ... !  ∂L 2 x x 1 2 = − 2 λ = 0  ∂x 2 x 2

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Aufgabe 40 (Indifferenzkurve und Preisverhältnis - Tutorium) Ein Haushalt hat eine Nutzenfunktion u ( x1 , x 2 ) = x1 x 2 und verfügt über ein Einkommen von 200 Geldeinheiten. Die Güterpreise sind mit p1 = 4 und p 2 = 2 gegeben. Der Haushalt konsumiert 40 Einheiten von Gut 1 und 20 Einheiten von Gut 2. a) b) c)

d)

Kann sich der Haushalt das Güterbündel (40, 20) leisten? Geben Sie eine ökonomische Begründung für die Tatsache, daß dieser Haushalt mit dem Güterbündel (40, 20) sein Nutzenmaximum nicht erreicht? Begründen Sie ökonomisch, in welche Richtung (im Sinne von weniger oder mehr) der Haushalt seine Konsummengen für die beiden Gütern ändern müßte, um sich dem Nutzenmaximum anzunähern? Zeigen Sie, daß die Bewegung um eine Einheit in dieser Richtung tatsächlich zu einer Erhöhung des Nutzenniveaus führt.

Hinweis: ein Einsatz des Lagrange-Verfahrens ist nicht notwendig.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) b)

ja, da y = 4 ⋅ 40 + 2 ⋅ 20 = 160 + 40 = 200

dx1 ∂u / ∂x 2 x1 40 p 2 = = = 2 ≠ 2 = = 0. 5 = dx 2 ∂u / ∂x1 x 2 20 p1 4 Die gewünschte Tauschrelation GRS stimmt nicht mit der Markttauschrelation p2/p1, die die Steigung der Budgetgeraden determiniert, überein. Daher kann kein Nutzenmaximum vorliegen. GRS = −

c)

Der Haushalt möchte (nach GRS) zwei Einheiten von Gut 1 gegen eine Einheit von Gut 2 eintauschen ( − dx1 = 2 ⋅ dx 2 ). Die gegebenen Marktpreise erlauben dagegen einen Tausch von einer Einheit von Gut 1 gegen zwei Einheiten von Gut 2, da p1 = 2 ⋅ p 2 . Somit ist es vorteilhaft für den Haushalt, weniger von Gut 1 und dafür mehr von Gut 2 zu konsumieren.

d)

x1 = 40 − 1 = 39 ⇒ 2 x 2 = 200 − 4 ⋅ 39 ⇒ x 2 = 44 / 2 = 22 u (39,22) = 39 ⋅ 22 = 858 > u (40,20) = 40 ⋅ 20 = 800

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Aufgabe 41 (Güterarten - Tutorium) In der Ausgangssituation konsumiert ein Haushalt 10 Einheiten Kartoffeln (pK = 2) und gibt den Rest seines verfügbaren Einkommens in Höhe von m = 30 für Fleisch (pF = 5) aus. a) In einem neuen Job erhält er nun ein Einkommen von m = 50 und Sie beobachten einen Konsum von xK = 8 und xF = 6,8. Welche Aussage können Sie über die Eigenschaften der beiden Güter für den Haushalt treffen? b) Nun verändert sich nicht das Einkommen im Vergleich zur Ausgangssituation, sondern der Preis der Kartoffeln. Dieser sinkt auf pK = 1. Wie könnte sich die Konsumentscheidung des Haushaltes verändern, falls es sich bei Kartoffeln um ein Giffen-Gut handelt?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Budgetgleichung: 30 = 2 ⋅10 + 5 ⋅ x F ⇒ xF = 2 a)

∆xk − 2 = = −0,1 < 0 ⇒ Kartoffeln sind ein inferiores Gut ∆m 20 ∆xF 4,8 = = 0,24 > 0 ⇒ Fleisch ist ein normales Gut ∆m 20

b) Der Konsum von Kartoffeln müsste zurückgehen und der Konsum von Fleisch steigen. xF

6

2 10

15

30

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xK

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Aufgabe 42 (Einkommens- und Substitutionseffekt - Übung) a) Eine Preisänderung bei einem Gut wirkt über zwei Effekte auf die veränderte Konsumentscheidung, den Einkommens- und den Substitutionseffekt. Erklären Sie die beiden Effekte. b) Ein Haushalt konsumiert in Periode 1 das Güterbündel E1. Nach einer Preissenkung bei Gut 1 wird das neue Güterbündel E2 konsumiert. Ergänzen Sie die Abbildung, so dass man den veränderten Konsum von Gut 1 in einen Einkommens- und einen Substitutionseffekt unterscheiden kann. Folgen Sie in Ihrer Darstellung der Argumentation von Slutsky. x2

E2 E1

0

x1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Als Einkommenseffekt wird in der Mikroökonomie die Nachfrageänderung nach einem Gut bezeichnet, die infolge einer Änderung des (realen) Einkommens eintritt. Als Substitutionseffekt wird in der Mikroökonomie die Nachfrageänderung nach einem Gut bezeichnet, die sich infolge einer Änderung der relativen Preise (d.h. des Preisverhältnisses) ergibt. b) x2

Slutsky: Kaufkraft konstant, d.h. Hilfsbudgetgerade durch E1

E2

E1

~ E

0 Substituionseffekt

x1

Einkommenseffekt

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Aufgabe 43 (Engel-Kurven - Übung) Ein Haushalt bewertet die Gütermengen x1 und x 2 anhand der Nutzenfunktion u ( x1 , x 2 ) = x1α x 2β . Er verfügt über ein Einkommen in Höhe y und ist mit Preisen p1 = 1 und p 2 = 2 konfrontiert. a) Leiten Sie die Engel-Kurven (Einkommens-Konsum-Kurven) für die Güter x1 und x 2 ab. [Hinweis: Lagrangefunktion aufstellen, Bedingungen 1. Ordnung ableiten und beachten, dass y hier variabel ist.] b) Interpretieren Sie den Verlauf der Engel-Kurven bei Variation der Parameter α und β (ceteris paribus).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) L = x1α x 2β + λ( y − x1 − 2 x 2 ) ∂L  = αx1α −1 x 2β − λ = 0  α x2 1 β ∂x1  ⇒ = ⇒ x2 = x1  ∂L α β −1 β x 2 2 α 1  = βx1 x 2 − 2 λ = 0  ∂x 2 β β ∂L  = y − x1 − 2 x 2 = 0 ⇒ y = x1 + x1 = 1 +  x1 α ∂λ  α β α y (Engel-Kurven) ⇒ x1 = y , x2 = α+ β 2(α + β )

b) Engel-Kurve von x1 wird steiler, wenn α steigt (Gewicht von x1 in der Nutzenfunktion) und flacher, wenn β steigt (Gewicht des anderen Gutes, x 2 , in der Nutzenfunktion). Interpretation von x 2 analog.

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Aufgabe 44 (Elastizitäten - Übung) Die Nachfragefunktion eines Haushalts lautet x1 =

mp2 . Berechnen Sie die p1

a) Preiselastizität der Nachfrage b) Kreuzpreiselastizität c) Einkommenselastizität

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: ⇒

x1 = m 0,5 p1

a) ε x1 , p1 = −

−0 , 5

p2

0,5

∂x1 p1 −1, 5 0 , 5 p1 = −(−0,5)m 0,5 p1 p2 = 0,5 ∂p1 x1 x1

b) ε x1 , p2 =

∂x1 p2 −0 , 5 p 2 −0 , 5 = 0,5m 0,5 p1 p2 = 0,5 ∂p2 x1 x1

c) ε x1 ,m =

∂x1 m −0 , 5 0,5 m = 0,5m −0,5 p1 p2 = 0,5 x1 ∂m x1

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Aufgabe 45 (Haushaltsnachfrage - Tutorium) Aus den Präferenzen eines Haushalts ergibt sich die Grenzrate der Substitution dx ∂u / ∂x1 3 x 2 . = − 2 = dx1 ∂u / ∂x 2 4 x1 Der Haushalt verfügt über ein Einkommen von y und findet die Preise p1 und p2 vor. a) Leiten Sie die Güternachfragefunktion dieses Haushaltes nach dem Gut 1 ab. b) Berechnen Sie die Preiselastizität und Einkommenselastizität der Nachfrage nach Gut 1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a)

3x2 p 4 p1 x1 = 1 ⇒ x2 = 4 x1 p 2 3 p2  4 p1  7 in Budgetrestriktion: y = p1 x1 + p 2 x 2 = p1 x1 + p 2  x1  = 3 p1 x1  3 p2  3 y Nachfragefunktion: x1 = 7 p1 ∂x1 p1 3 y p1 = =1 ∂p1 x1 7 p12 3 y 7 p1 ∂x y 3 y Einkommenselastizität der Nachfrage: ε x1 y = 1 =1 = ∂y x1 7 p1 3 y 7 p1

b) Preiselastizität der Nachfrage: ε x1 p1 = −

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Aufgabe 46 (Arbeitsangebot I - Übung) Ein Konsument (A) würde gerne möglichst viel konsumieren ohne viel Zeit mit Arbeit vergeuden zu müssen (u = u(C, R) mit C als Konsum und R als Freizeit). Diesem Wunsch stehen jedoch seine Budgetrestriktion, wie auch die Zeitrestriktion entgegen. a) Wie lautet die Budgetrestriktion bei einem Stundenlohn von w = 10 und einem Einkommen aus Vermögen von M = 20? b) Wie lautet die Zeitrestriktion unter der Annahme eines minimalen Schlafbedürfnisses von täglich acht Stunden? c) Angenommen u (C , R) = C ⋅ R , und der Preis des Konsums ist 1. Wie lautet das optimale Arbeitsangebot von A? d) Wie verändert sich diese Entscheidung falls sein Einkommen aus Vermögen um 10 GE steigt? e) Der Arbeitgeber ist mit der Arbeit von A sehr zufrieden und wünscht sich daher eine Ausweitung der Arbeitszeit auf das alte Niveau (Ergebnis aus c). Welchen Lohnsatz müsste er bezahlen, damit A einwilligt?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) wL + M = pC

⇒

10 ⋅ L + 20 = pC

b) L = L + R , 16 = L + R c) max u(C,R) = C ⋅ R C, R

NB 10 ⋅ (16 − R) + 20 = C max u~(R) = ( 10 ⋅ ( 16 − R) + 20 ) ⋅ R = ( 160 − 10 ⋅ R + 20 ) ⋅ R = 180 ⋅ R − 10 ⋅ R 2 R ! du~(R) = 180 − 20 ⋅ R = 0 ⇒R=9 ⇒ L = 16 − R = 7 dR d) max u~(R) = ( 10 ⋅ ( 16 − R) + 30 ) ⋅ R = ( 160 − 10 ⋅ R + 30 ) ⋅ R = 190 ⋅ R − 10 ⋅ R 2 R ! du~(R) = 190 − 20 ⋅ R = 0 ⇒ R = 9 ,5 ⇒ L = 16 − R = 6 ,5 dR e)

max uˆ(R,w) = (w ⋅ ( 16 − R) + 30 ) ⋅ R = ( 16w − w ⋅ R + 30 ) ⋅ R = 16w ⋅ R − w ⋅ R 2 + 30 ⋅ R R

! ∂uˆ(R,w) = 16 w − 2 w ⋅ R + 30 = 0 ∂R

(Einsetzen von R = 9 (aus c))

⇒ 16 w − 18w = −30 ⇒ w(16 − 18) = −30 ⇒ w =

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− 30 = 15 −2

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Aufgabe 47 (Arbeitsangebot II - Tutorium) Gegeben ist ein nutzenmaximierender Haushalt, der über seinen Konsum C und sein Arbeitsangebot L (in Stunden pro Tag) entscheiden muß. Die Nutzenfunktion ist durch u (C , R) = C ⋅ R gegeben, wobei R für Anzahl der Freizeitstunden pro Tag steht. Insgesamt stehen 16 Stunden pro Tag entweder für die Arbeit oder für Freizeitaktivitäten zur Verfügung. Weiterhin beträgt der Lohnsatz 5 Geldeinheiten pro geleistete Arbeitsstunde und der Haushalt verfügt über ein Vermögen von 20 Geldeinheiten. Der Preis des Konsums beträgt 1 Geldeinheit. a) Berechnen Sie die nutzenmaximalen Werte von C und L für diesen Haushalt. b) Gehen Sie nun von einem Workaholic-Haushalt aus, für den ∂u (C , R) / ∂R < 0 bzw. ∂u (C , L) / ∂L > 0 gilt. Wie lauten C und L in diesem Fall?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Ansatz: max u (C , R) = C ⋅ R , NB: R + L = 16 , C = 5 L + 20 {C , R}

Lagrange: Λ = C ⋅ 16 − L + λ(5 L + 20 − C ) ∂Λ / ∂C = 12 C −1 / 2 ⋅ (16 − L)1 / 2 − λ = 0

(i)

∂Λ / ∂L = − 12 (16 − L) −1 / 2 ⋅ C 1 / 2 + 5λ = 0 (ii) ∂Λ / ∂λ = 5 L + 20 − C = 0

(i) = (ii) in (iii) in (iii)

(iii)

: 12 C −1 / 2 ⋅ (16 − L)1 / 2 = 101 (16 − L) −1 / 2 ⋅ C 1 / 2 ⇔ 5 ⋅ (16 − L) = C : 5 ⋅ (16 − L) = C = 5 L + 20 ⇔ 80 − 5 L = 5 L + 20 ⇔ 10 L = 60 ⇔ L = 6 : C = 5 L + 20 = 5 ⋅ 6 + 20 = 50

direktes Einsetzen in die Nutzenfunktion: u (5 L + 20,16 − L) = (5 L + 20) ⋅ (16 − L) = 80 L − 5 L2 + 320 − 20 L = 320 + 60 L − 5 L2

d 320 + 60 L − 5 L2 1 60 − 10 L = ⋅ = 0 ⇒ L = 6 , C = 5 ⋅ 6 + 20 = 50 dL 2 320 + 60 L − 5 L2 b) weniger R und daher mehr L steigert den Nutzen ⇒ Mehreinsatz von L bis Zeitrestriktion R + L = 16 bindet ⇒ L = 16 ⇒ C durch Budgetrestriktion C = 5 L + 20 bestimmt ⇒ C = 100

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Aufgabe 48 (Intertemporale Konsumentscheidung - Übung) Die intertemporale Nutzenfunktion eines repräsentativen Haushaltes mit Konsum C 0 heute und Konsum C1 morgen lautet:  0,408   ln C1 u = u (C0 , C1 ) = 0,4 ln C0 +   1+ ρ  Der Haushalt hat heute ein Einkommen von 200 und morgen ebenfalls ein Einkommen von 200. Die Zeitpräferenzrate ist 0,02 und der Marktzinssatz beträgt 0,05. a) Stellen Sie die intertemporale Budgetbeschränkung des Haushaltes auf! b) Geben Sie die optimale Konsumplanung (C 0* , C1* ) des Haushaltes an (alle Zwischen- und Endergebnisse auf 2 Nachkommastellen runden)! c) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) ökonomisch!

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) C 0 (1 + r ) + C1 = m0 (1 + r ) + m1 1,05 ⋅ C 0 + C1 = 410 1 C 0 = 390,48 − C1 1,05 1   b) L = 0,4 ln C 0 + 0,4 ln C1 + λ C 0 − 390,48 + C1  1,05   ∂L 0,4 = +λ=0 ∂C 0 C 0 C 1 ∂L 0,4 1 ⇒ = 0 ⇒ C 0 ≈ 0,95 ⋅ C1 = λ=0 + 1,05 C1 ∂C1 C1 1,05 ∂L 1 1 = C 0 − 390,48 + C1 = 0 ⇒ 0,95 ⋅ C1 + C1 = 390,48 ∂λ 1,05 1,05 C1 = 205,26

C 0 = 195

c) Der Haushalt spart einen Teil eines Einkommens heute und hat daher morgen mehr zur Verfügung. Er konsumiert lieber morgen als heute, da der Zinssatz größer ist als die Zeitpräferenzrate.

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Aufgabe 49 (Elastizitäten I - Übung) Gegeben sind eine lineare Angebotsfunktion Nachfragefunktion p N ( x N ) = 60 − x N . a) b) c) d)

p A ( x A ) = 5x A

und

eine

lineare

Wie groß ist die Preiselastizität des Angebots im Marktgleichgewicht? Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage im Marktgleichgewicht? Interpretieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage ökonomisch. Wie wirkt sich technologischer Fortschritt bei der Produktion dieses Gutes auf die Preiselastizität der Nachfrage im neuen Marktgleichgewicht aus (im Sinne von steigen, konstant bleiben oder abnehmen)?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: Marktgleichgewicht: p A ( x) = p N ( x) ⇔ 5 x = 60 − x ⇒ x * = 10 ⇒ p * = 50 dx A p * 50 a) ε = ⋅ * = 0.2 ⋅ =1 dp A x 10 * A

b) ε *N = −

dx N p * 50 ⋅ * = 1⋅ =5 dp N x 10

c) 1%-ige Preiserhöhung (-senkung) bewirkt eine 5%-ige Nachfragemengensenkung (-erhöhung) d) TF verschiebt und/oder dreht die Angebotsfunktion ⇒ neues Marktgleichgewicht mit x = ~ x > x * und p = ~ p < p* ⇒ Preiselastizität der Nachfrage im neuen Marktgleichgewicht sinkt eindeutig: ~ ~ dx dx dx N p p* p p* ~ ε N = − N ⋅ ~ < ε *N = − N ⋅ * , da konstant und ~ < * dp N x dp N x dp N x x

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Aufgabe 50 (Elastizitäten II - Übung) Gegeben ist eine lineare Nachfragefunktion x( p) = a − bp , a, b > 0 , wobei p den Preis und x die nachgefragte Menge eines Gutes symbolisieren. a) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage in Abhängigkeit von x. b) Wie verändert sich die Preiselastizität der Nachfrage, wenn die auf dem Markt umgesetzte Menge von 0 ausgehend ansteigt? c) Zeichnen und interpretieren Sie eine über ihren gesamten Wertebereich vollkommen elastische und eine über ihren gesamten Wertebereich vollkommen unelastische Nachfragefunktion jeweils in ein eigenes Preis-Mengen-Diagramm.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) ε ( x) = −

dx p a/b − x/b a − x =b = dp x x x

b) Die Preiselastizität der Nachfrage sinkt von einem Wert von ε (0) = a / 0 = ∞ bei der Menge x = 0 bis auf einen Wert von ε (a ) = (a − a ) / a = 0 bei der Sättigungsmenge a. c) vollkommen elastisch: Zeichnung als horizontale Gerade im Preis-Mengen-Diagramm ⇒ unendliche Mengenreaktion auf eine (infinitesimale) Preisänderung vollkommen unelastisch: Zeichnung als vertikale Gerade im Preis-Mengen-Diagramm ⇒ keine Mengenreaktion auf eine (infinitesimale) Preisänderung

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Aufgabe 51 (Marktgleichgewicht und Monopol I - Übung) Das aggregierte Angebot auf einem Markt mit vollständiger Konkurrenz ist durch die Gleichung p ( x A ) = 100 + x A gegeben. Die Nachfrage kann durch p ( x N ) = 1000 − 0,5 ⋅ x N beschrieben werden. a) Welcher Preis und welche Menge werden sich auf diesem Markt im Gleichgewicht einstellen? b) Angenommen das Angebot wird von einem einzelnen Unternehmen produziert. Welchen Preis wird dieses verlangen um seinen Gewinn zu maximieren? c) Berechnen Sie den Lerner-Index. d) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente jeweils für die Teilaufgaben a) und b). Welche der beiden Lösungen ist gesamtwirtschaftlich vorteilhaft? Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Angebot = Nachfrage 100 + x A = 1000 − 0,5 ⋅ x N 1,5 x = 900 ⇒ x = 600 b)

x = x A = xN ⇒ p = 700

∂c = 100 + x (Angebotsfunktion = MC ( x)) ∂x max π = p ( x) x − c( x) = 1000 x − 0,5 x 2 − c( x) x

∂π ∂c ! = 1000 − x − = 0 ⇒ 1000 −x = 100  +x ⇒ x = 450; p = 775  ∂x ∂x MR MC

∂c ∂x = 775 − 550 = 0,29 c) L = p( x) 775 alternativ: 1 1 L= = = 0,29 ε xN , p 3,444 p( x) −

∂x N p 775 = 2⋅ = 3,444 ∂p x 450 x N ( p ) = 2000 − 2 p

ε xN , p = − NR :

∂x N = −2 ∂p KR = 12 ⋅ 300 ⋅ 600 = 90000  d) zu a)  ⇒ KR + PR = 270000 PR = 12 ⋅ 600 ⋅ 600 = 180000

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zu b)

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 KR = 12 ⋅ 225 ⋅ 450 = 50625  ⇒ KR + PR = 253125 1 PR = 2 ⋅ 450 ⋅ 450 + 450 ⋅ 225 = 202500

Beachte: Bei linearen Nachfragekurven (D) verläuft die Grenzertragskurve (MR) immer doppelt so steil wie die Nachfrage.

MR MC P 1000

MC

⇒ Steigung von D = -b 2 ∂ ( p ( x ) ⋅ x ) ∂ ( ax − bx ) MR = = a − 2bx = ∂x ∂x ⇒ Steigung von MR = -2b

p(x) = a-bx

775 700 550

D = p(xN) 100

MR 450

x

600

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Aufgabe 52 (Marktgleichgewicht und Monopol II - Tutorium) Beantworten Sie nun die vorangegangene Aufgabe unter der Annahme, dass die Nachfrage durch p( x N ) = 1000 − 2 ⋅ x N gegeben ist. a) Welcher Preis und welche Menge werden sich auf diesem Markt im Gleichgewicht einstellen? b) Angenommen das Angebot wird von einem einzelnen Unternehmen produziert. Welchen Preis wird dieses verlangen um seinen Gewinn zu maximieren? c) Berechnen Sie den Lerner-Index. d) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente jeweils für die Teilaufgaben a) und b). Welche der beiden Lösungen ist gesamtwirtschaftlich vorteilhaft? Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis auch graphisch. e) Wie unterscheidet sich die neue Situation insbesondere bezüglich des Grades der Monopolmacht?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Angebot = Nachfrage 100 + x A = 1000 − 2 ⋅ x N 3 x = 900 ⇒ x = 300 b)

x = x A = xN ⇒ p = 400

dc (aus Angebotsfunktion) = 100 + x dx max π = p(x)x − c(x) = 1000 ⋅ x − 2 x 2 − c( x) x

dπ dc =1000 − 4 x − = 0 ⇒1000 − 4 x =100 + x ⇒ x =180 dx dx !

⇒ p = 640 dc dx = 640 − 280 = 0,5625 c) L = p( x) 640 dx p 640 = 1,777 ε x N , p = − N = 0,5 ⋅ 180 dp x p( x) −

d)

zu a)

KR = 12 ⋅ 300 ⋅ 600 = 90000  ⇒ KR + PR = 135000 PR = 12 ⋅ 300 ⋅ 300 = 45000 

zu b)

 KR = 12 ⋅ 360 ⋅ 180 = 32400  ⇒ KR + PR = 113400 PR = 12 ⋅ 180 ⋅ 180 + 180 ⋅ 360 = 81000

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MR MC P 1000

MC

640

400 280

100

p(xN) MR 180

x

300

e) Verglichen werden die Werte des Lerner-Index. Im ersten Fall ist die Monopolstellung weniger ausgeprägt als im zweiten. Der Grund hierfür liegt in der Preiselastizität der Nachfrage. Diese ist in Aufgabe 1 absolut größer als in Aufgabe 2. Bei relativ unelastischer Nachfrage (Aufgabe 2) reduziert sich die nachgefragte Menge nicht so stark als Reaktion auf einen höheren Preis und somit kann der Monopolist den Preis relativ höher setzen um seinen Gewinn zu maximieren.

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Aufgabe 53 (Monopol bei isoelastischer Nachfrage - Tutorium) Ein Monopolist ist mit einer isoelastischen Nachfragefunktion p = x −1 / ε , ε > 0 konfrontiert und produziert mit konstanten Grenzkosten MC = 1 . a) Berechnen Sie Preis und Menge in Abhängigkeit von ε. b) In welchem Wertebereich von ε liegt das Gewinnmaximum? c) Interpretieren Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe b).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Π ( x) = px − 1 ⋅ x = x 1−1 / ε − x dΠ ( x) = (1 − 1 / ε ) x −1 / ε − 1 = 0 ⇒ x −1 / ε = 1 /(1 − 1 / ε ) ⇒ x = (1 − 1 / ε ) ε ⇒ p = 1 /(1 − 1 / ε ) dx b)

d 2 Π ( x) = −(1 / ε )(1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε < 0 ⇔ (1 / ε )(1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε > 0 2 dx ⇔ (1 − 1 / ε ) x −1−1 / ε > 0 (da ε > 0 ) (da x > 0 ) ⇔ 1 − 1/ ε > 0 ⇔ ε >1

− ε −1 dx p ⋅ p / p − ε = ε ). c) ε ist die Preiselastizität der Nachfrage ( x = p − ε ⇒ − dp x = εp Diese muß für ein Gewinnmaximum im elastischen Wertebereich liegen.

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Aufgabe 54 (Preisdiskriminierung - Übung) Ein Monopolist betreibe Preisdiskriminierung 3. Grades auf zwei gut segmentierten Märkten mit den folgenden inversen Nachfragefunktionen: p1 ( x1 ) = 18 − 2 ⋅ x1 und p2 ( x2 ) = 10 − 12 ⋅ x2 . Die Kostenfunktion laute c( x) = 50 + 2 ⋅ x a) Berechnen Sie Preise und Elastizitäten (ε x ,p ) auf den beiden Teilmärkten sowie den Gewinn des Monopolisten. b) Welche Beziehung besteht zwischen den Preisen auf den einzelnen Teilmärkten und den dortigen Elastizitäten?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Bedingung für Gewinnmaximum als bekannt vorausgesetzt: MR = MC (Grenzerlös=Grenzkosten) ! ∂ ( p1 ( x1 ) ⋅ x1 ) ∂ (18 x1 − 2 ⋅ x12 ) MR( x1 ) = = = 18 − 4 x1 = 2 ∂x1 ∂x1 ⇒ x1 = 4 MR( x2 ) =

= MC ( x1 + x2 )

p1 = 10 ! ∂ ( p2 ( x2 ) ⋅ x2 ) ∂ (10 x2 − 12 ⋅ x22 ) = = 10 − x2 = 2 = MC ( x1 + x2 ) ∂x2 ∂x2

⇒ x2 = 8 p2 = 6 ⇒ π = p1 x1 + p2 x2 − c( x1 + x2 ) = 40 + 48 − 74 = 14 ∂x1 p1 1 10 = 2 ⋅ = 1,25 4 ∂p1 x1 6 ∂x p = − 2 2 = 2 ⋅ = 1,5 8 ∂p2 x2

ε x1 , p1 = − ε x2 , p2

b) Inverse Beziehung zwischen Preisen und Elastizitäten: Je höher die Elastizität auf einem Teilmarkt, desto geringer der Preis .

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Aufgabe 55 (Spieltheorie - Tutorium) a) Die Spieler A und B stehen sich in einem strategischen Spiel gegenüber. Erklären Sie hierin die Begriffe Strategie und Auszahlung b) Untersuchen Sie das folgende alternative Spiel nach Gleichgewichten und charakterisieren Sie diese. B Links Rechts Oben 3 , 4 0 , 1 A Unten 4 , 3 1 , 2 c) Untersuchen Sie, ob für folgendes Spiel Gleichgewichte existieren und charakterisieren Sie diese. B Links Rechts Oben 3 , 4 0 , 0 A Unten 0 , 0 4 , 3 d) Welche Gleichgewichte finden Sie für das nachfolgende Spiel? B Links Rechts Oben -4 , -3 -1 , -9 A Unten -9 , -1 -2 , -2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Strategie = Handlungsalternative Auszahlung = Belohnung oder Bestrafung in Abhängigkeit der eigenen Strategiewahl und der Strategiewahl der Gegenspieler b) 1 Gleichgewicht in dominanten Strategien: {links,unten} c) 2 Nash-Gleichgewichte: {links,oben} und {rechts,unten} d) 1 Gleichgewicht in dominanten Strategien: {oben,links} [pareto-ineffizient]

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Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog

Aufgabe 56 (Duopol mit linearen Kostenfunktionen - Übung) Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und 2 besteht, deren Technologie durch die linearen Kostenfunktionen Ci ( xi ) = 10 xi (i = 1,2) beschrieben wird. Die Marktnachfrage sei p = 300 − 10( x1 + x2 ) . a) Ermitteln Sie für das Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht (Preis und Menge), die individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen, Produzenten- und Konsumentenrente sowie die Wohlfahrt. b) Vergleichen Sie die in Teilaufgabe a) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten, die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall ergeben würden.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) Cournot-Duopol: = 29/3 x1 x2 = 29/3 x = 58/3 H = 1/2 p = 320/3 Π1 = 8410/9 Π2 = 8410/9 Π = 16820/9 KR = 16820/9 PR = 16820/9 W = 33640/9

(Menge U1) (Menge U2) (Marktmenge) (Herfindahl-Index) (Marktpreis) (Gewinn U1) (Gewinn U2) (Gesamtgewinn) (Konsumentenrente) (Produzentenrente) (Wohlfahrt)

b) Vollständige Konkurrenz: x = 29 p = 10 Π = 0 KR = 4205 PR = 0 W = 4205

(Marktmenge) (Marktpreis) (Gesamtgewinn) (Konsumentenrente) (Produzentenrente) (Wohlfahrt)

Monopol: x p Π KR PR W

= = = = = =

29/2 155 4205/2 4205/4 4205/2 12615/4

(Marktmenge) (Marktpreis) (Gesamtgewinn) (Konsumentenrente) (Produzentenrente) (Wohlfahrt)

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Basismodul Mikroökonomik – Aufgabenkatalog

Aufgabe 57 (Duopol - Tutorium) Auf dem Markt für das homogene Gut y produzieren zwei symmetrische Unternehmen A und B. Wenn beide ihren Gewinn maximieren ist die angebotene Menge des Unternehmens A nur noch abhängig von der Produktion des B: 20 − 2 y B yA = 4 a) Wie lautet die Reaktionsfunktion von Unternehmen B? b) Welche Mengen setzen die Unternehmen im Gleichgewicht jeweils auf dem Markt ab? c) Zeichnen Sie die beiden Reaktionsfunktionen in ein y A / y B -Diagramm und interpretieren Sie den Schnittpunkt der beiden Kurven ökonomisch. d) Wie wirkt sich eine Kostensteigerung von Unternehmen B auf das Gleichgewicht aus? Identifizieren Sie mögliche neue Gleichgewichte und markieren Sie diese in der unter c) erstellten Zeichnung. [Hinweis: Achten Sie darauf, daß aus Ihrer Zeichnung die Koordinaten aller Achsenabstände und Schnittpunkte eindeutig hervorgehen.]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung: a) y B =

20 − 2 y A (da symmetrisch) 4

b) y A =

20 − 2 y A ⇒ 4 y A = 20 − 2 y A ⇒ 6 y A = 20 ⇒ y A = 20 ≈ 3,33 ⇒ y B = 20 ≈ 3,33 6 6 4

c) Erklärung: stabiles Gleichgewicht (Nash), kein Unternehmen hat einen Anreiz die eigenen Mengen zu verändern. yA 1

0

R

F

B

5

1

0

/

3

R

A

F yB

0 0

1

0 5

/

3

1

0

d) Marktanteil von A steigt; fett eingezeichneter Bereich auf RFA. - 61 -