Aufgaben Fortgeschrittene Finanzwissenschaft, WS 2009/10, 239.507
1. Termin (5. 10. 2009) 1. Gegeben sei die Transformationskurve x = 100 - 2G, 1
1
1
2
sowie die Nutzenfunktionen zweier Haushalte u1 = G 2 ( x1 ) 2 , u 2 = G 3 ( x 2 ) 3 ,
wobei G ein kollektives Gut bezeichnet und xh, h = 1, 2, ein privates, mit x = x1+ x2. Finden Sie eine beliebige Allokation (x1, x2, G), sodass x = x1+x2 und G auf der Transformationskurve liegen und überprüfen Sie, ob diese Allokation Pareto-effizient ist.
2. Termin (12. 10. 2009) 2. Betrachten Sie das vorhergehende Beispiel. Gegeben seien die individuellen
Anfangsausstattungen x1 = 60, x 2 = 40 ( x1 + x 2 = 100 ). Berechnen Sie das Lindahl Gleichgewicht (setzen Sie px = 1, d. h. die Grenzkosten des kollektiven Gutes G sind 2). 3. Termin (19.10.2009) 3. Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Haushalts uh(G,xh) = ( x h )α G1− α , die
Anfangsausstattung sei x h und es sei ein Preis pG gegeben. Bestimmen Sie die
Reaktionsfunktion dieses Haushalts in Abhängigkeit von einem Beitrag gk eines anderen Haushalts k (allgemein, sowie für α = 0,6, x h = 10 , pG = 2).
Betrachten Sie einen zweiten Haushalt k mit gleichen Präferenzen und gleicher Anfangsausstattung. Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht.
4. Termin (9. 11. 2009) 3. b) Zeigen Sie dass das Nashgleichgewicht in Beispiel 3 keine Pareto-effiziente Allokation 2 ). darstellt. (Berechnen Sie MRS1Gx + MRSGx
5. Termin (16. 11.2009) 4. Gegeben seien die Nutzenfunktionen zweier Haushalte (H = 2) 1
u1 (G, x1 ) = x1 + G 2 , u 2 (G, x 2 ) = x 2 + 2G 3 1
wobei G ein diskretes öffentliches Gut bezeichnet, xh, h = 1,2 ein privates. Die Anfangsausstattungen der beiden Haushalte seien x1 , x 2 . Berechnen Sie die Reservationspreise r1, r2. Die Kosten des kollektiven Gutes seien c = 2. Gibt es die Beiträge
g1, g2, sodass die Bereitstellung von G und Finanzierung mit g1, g2 eine Paretoverbesserung gegenüber G = 0 darstellt?
6. Termin (23. November 2009) 5.1. Betrachten Sie das Beispiel am Ende des Textes zum Clark-Groves Mechanismus,
aber mit r1 = 3.000 statt r1 = 5.000. Beschreiben Sie kurz den Pivotal Mechanismus. Welche Entscheidung kommt zustande? Welche Seitenzahlungen fallen an?
7. Termin (30. November 2009) 5.2. The problem of the commons: Lake Ec can be freely accessed by fishermen. The cost of
sending a boat out on the lake is r > 0. When b boats are sent out onto the lake, f(b) fish are caught in total [so each boat catches f(b)/b fish], where f'(b) > 0 and f"(b) < 0 at all b ≥ 0. The price of fish is p > 0, which is unaffected by the level of the catch from Lake Ec. a)
Characterize the equilibrium number of boats that are sent out on the lake.
b)
Characterize the optimal number of boats that should be sent out on the lake. Compare this with your answer to (a).
c)
What per-boat fishing tax would restore efficiency?
d)
Suppose that the lake is instead owned by a single individual who can choose how many boats to send out. What level would this owner choose?
Hint: Consider the precise meaning of f(b): the total amount of fish which is caught if b boats
are sent out. Obviously then, the derivative of f can be interpreted as the increase of the total catch, if a further boat is sent out. In contrast: The amount of fish, which is caught by this particular further boat itself, can be described by the average f(b)/b.
Assume that decisions to send out a further boat are made subsequently by independent fishermen. Given that b boats are already on the lake, a further boat will catch the average amount of fish. If the value of the catch (note: price p per unit of fish) exceeds the cost, the boat will be sent out. The equilibrium number of boats will therefore be determined by the condition that the value of (average) catch of the last boat equals cost r.
On the other hand, from an efficiency point of view, it is clearly optimal to send out a further boat, if the value of the additional total amount of fish, which is caught if one more boat is sent out, exceeds the cost of the further boat.
With f' > 0, f" < 0 (diminishing marginal returns): which relation must hold between b and bˆ , if b is defined by f'( b ) = r/p, and bˆ is defined by f( bˆ )/ bˆ = r/p (r and p are fixed positive numbers)? Draw a diagram with f(b) and illustrate how b and bˆ are determined.
8. Termin (7. Dezember 2009)
6. Gegeben sei die Nutzenfunktion u(c1 , F) ≡ c10,4 F0,6 , wobei c1 ein (universelles) Konsumgut und F die Freizeit bezeichnet. Weiters sei die Obergrenze der verfügbaren Zeit mit F = 16 gegeben, sowie der Lohnsatz w = 5, sowie der Preis des Konsumguts p1 = 1. a) Zeichnen
Sie
eine
(beliebige)
Indifferenzkurve
zur
Nutzenfunktion
sowie
die
Budgetgerade (Berechnen Sie einige Punkte auf der Indifferenzkurve). b) Formulieren und zeichnen Sie die Budgetgerade ohne Steuer bzw. für den Fall einer proportionalen Einkommensteuer τl = 0, 2 . c) Welcher Steuersatz τ1 auf das Konsumgut würde die gleiche Budgetgerade ergeben wie die Einkommensteuer τl = 0, 2 ? d) Zusatzaufgabe: Ermitteln Sie die optimale Haushaltsentscheidung ohne und mit Steuer.
9. Termin (15. Dezember 2009)
7. Gegeben seien zwei Güter und Arbeitszeit, sowie drei Steuern: τ1, τ2, τw. Die Güterpreise seien p1, p2 und der Lohnsatz sei w. a) Formulieren Sie die Budgetbedingung des Haushalts. Nehmen Sie jeweils eine entsprechende Umformung vor, um folgende zwei Situationen zu beschreiben: b) Es gibt keine Steuer auf Arbeitseinkommen. c) Es gibt keine Steuer auf Gut 2. Spezifizieren Sie diese drei Varianten der Budgetbedingung für τ1 = 0,1, τ2 = 0, 2, τw = 0,3. Berechnen Sie die äquivalenten Steuersätze τ1' , τ'2 für die Formulierung b), analog für die Formulierung c).
10. Termin (11. Jänner 2010)
8. Eine Näherungsformel (für "kleine" Steuersätze) zur Berechnung des Deadweight Loss (Excess Burden) einer Steuer im Partialmarkt lautet:
DWL = 12 τ2 pxη ,
wobei τ den Steuersatz, p den (fixen) Produzentenpreis ohne Steuer, q den Konsumentenpreis, x die nachgefragte Menge ohne Steuer und η die Nachfrageelastizität (deren Absolutbetrag) bezeichnen. q
C
p(1+ ) q p
E B
x x
x
Zu dieser Formel gelangt man, wenn man in der Formel für die Fläche des Dreiecks BEC,
(Δq ⋅ Δx) / 2 , die Größe Δx mit Hilfe der Definition der Nachfrageelastizität, η =
Δx / x Δq / q
eliminiert und q = p, Δq = pτ setzt. Zeigen Sie diese Herleitung genau. Berechnen Sie DWL für die Nachfragefunktion x = 100 - 2q für p (= q) = 20 und τ = 0,1.
Anmerkung: Gemäß dieser Formel ist der DWL quadratisch im Steuersatz. Bei einer genaueren Definition des DWL entsprechend dem Hicks'schen Maß wäre die kompensierte Nachfrageelastizität heranzuziehen. Vgl. Stiglitz (2000), Economics of the Public Sector, pp. 527-528 (Achtung: andere Bezeichnungen!).
11. Termin (18.. Jänner 2010)
9. Betrachten Sie ein Modell überlappender Generationen, die jeweils drei Perioden leben. In der Periode t = 0 kommen N0 = 1000 Erwerbstätige auf die Welt; in jeder Folgeperiode um jeweils 2 % mehr als in der Periode davor (runden). Jede Generation arbeitet zwei Perioden lang, in der dritten ist sie in Ruhestand.
Der Durchschnittslohn beträgt w0 = 5000 in Periode t = 0, er wächst mit konstanter Rate von 1 % pro Periode. Alle Personen, die in einer bestimmten Periode erwerbstätig sind (gleich ob in ihrer ersten oder zweiten Lebensperiode) bekommen den gleichen Lohn.
In der Periode t = 2 wird ein Umlageverfahren zur Rentenversicherung eingeführt, mit Beitragssatz τ von 20 % des Lohneinkommens.
a)
Wieviel zahlen die in Periode t = 2 Erwerbstätigen insgesamt ein? Wieviel kann daher an eine Person, die sich in Periode t = 2 im Ruhestand befindet, im Schnitt ausgezahlt werden?
b)
Wieviel bekommt eine Person der Generation t = 2, die in t = 4 in Pension geht, als durchschnittliche Auszahlung? Wie hoch ist der Barwert dieser Auszahlung, abgezinst auf Periode t = 2, mit einem Zinssatz r = 3,5%?
Welche Einzahlungen leistet diese Person in den Perioden t = 2 und t = 3? Wie groß ist der Barwert der Summe davon, bezogen auf t = 2?
Für welche interne Rendite i des Umlageverfahrens ist die Summe der auf t = 4 aufgezinsten Einzahlungen gleich der Auszahlung?
